ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯ. ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

ಎರಡು ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ
U(x) ಮತ್ತು U* (x) = h + y U(x) ಜೊತೆಗೆ d > 0.
ಎರಡು ಪರ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಎರಡನೇ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವವರು A i h A2 ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತಾರೆ. ಬದಲಿಗೆ ಮೊದಲ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದರೆ ಏನು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಎರಡನೇ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯವು U*(x) = h - y ಮತ್ತು (i) y > 0 ನೊಂದಿಗೆ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವು ಹೇಗಿರುತ್ತದೆ?
U*(x) = h ಆಗಿರುವಾಗ ಪರ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ?
* *
"ಗೆ
1. ಎರಡು ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ವೀಕಾರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರಗಳುಧನಾತ್ಮಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ರೂಪಾಂತರದ ಮೂಲಕ ಪರಸ್ಪರ "ಅನುವಾದ" ಮಾಡಿದಾಗ (ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಪುಟ 74 ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ). U(x) ಎಂಬುದು U*(x) ಕಾರ್ಯದ ಧನಾತ್ಮಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಬಹುದಾದರೆ, ನಂತರ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯದ ಆಯ್ಕೆಯು ಪರ್ಯಾಯಗಳ ಕ್ರಮದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು b > 0 ಗಾಗಿ a ಮತ್ತು b ಎಂಬ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ನಿಜವಾಗಿದೆ
a + bU*(x) = U(x).
ನಾವು ಎರಡನೇ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
a + b (h + gU(x)) = U(x).
ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, U(x) ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ ಅಂಶವು ಒಂದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು 6 ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಾವು b = 1 /d ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಬೇಕು. ಹೀಗೆ ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ
a + - + U (x) = U (.g). 9
ಇದರ ನಂತರ, ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ U(x) ಮಾತ್ರ ಉಳಿಯುವಂತೆ ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು. a = -h/g ಮಾಡಿದಾಗ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.
ಈಗ ನಾವು ಆಕಾರ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ
a + b(h-gU(x)) = U(x).
ಹೊಂದಲು ಬಯಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶ, ನಾವು b = - - l/h ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಬೇಕು. ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಶ್ರೇಣಿಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.
ಈ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದ ನಿರ್ಧಾರ ತಯಾರಕರು ಎಲ್ಲಾ ಪರ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, A\ ಮತ್ತು A.2 ಪರ್ಯಾಯಗಳ ನಡುವೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವಾಗ, ಅದು A i ~ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಬರಬೇಕು

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಇನ್ನಷ್ಟು 2.1.5. ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯದ ವಿಶಿಷ್ಟತೆ:

1. ಗ್ರಾಹಕ ಆದ್ಯತೆಗಳು ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಉಪಯುಕ್ತತೆ. ಉಪಯುಕ್ತತೆ ಕಾರ್ಯ.
2.3.2. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಉಪಯುಕ್ತತೆ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಉಪಯುಕ್ತತೆ
ಉಪಯುಕ್ತತೆ ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗ್ರಾಹಕ. ಒಟ್ಟು ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಉಪಯುಕ್ತತೆ. ಮಾರ್ಜಿನಲ್ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಕಾನೂನು. ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಗರಿಷ್ಠೀಕರಣದ ತತ್ವ
ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಗ್ರಾಹಕ ಆಯ್ಕೆ, ಒಟ್ಟು ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಉಪಯುಕ್ತತೆ.

ಸಮತಲದ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು M (ಅಥವಾ ಸಮತಲದ ಕೆಲವು ಭಾಗ) ನೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯು ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ನಿಯಮವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ಸಮತಲದ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ” ವಿಮಾನ, ಎಂ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು, ನಂತರ A ನಿಂದ M ವರೆಗಿನ ಅಂತರವು ಪಾಯಿಂಟ್ M. B ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ f(M) = AM.

ಕೆಲವು ಫಂಕ್ಷನ್ u = f(M) ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ನಂತರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು M ಅನ್ನು x, y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಪಾಯಿಂಟ್ M ನಲ್ಲಿನ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು x, y, ಅಥವಾ ಅವರು ಹೇಳುವಂತೆ, u = f(M) x ಮತ್ತು y ಎಂಬ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. x, y ಎಂಬ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವನ್ನು f(x, y) ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; f(M) = f(x, y) ಆಗ u = f(x, y) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ f(M)=AM; ನೀವು ಕಾರ್ಟೇಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರೆ ಆಯತಾಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಪಾಯಿಂಟ್ A ನಲ್ಲಿ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಸಮನ್ವಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

u = √(x 2 + y 2)

146. P ಮತ್ತು Q ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು a, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ f(M) = d 2 1 - d 2 2, ಅಲ್ಲಿ d 1 - MP ಮತ್ತು d 2 - MQ. ಪಾಯಿಂಟ್ P ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು PQ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದರೆ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

147. ಸಮಸ್ಯೆ 146 ರ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, f(M) ಕಾರ್ಯದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ (ನೇರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಮನ್ವಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಸಮಸ್ಯೆ 146 ರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿ), ವೇಳೆ:

1) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು PQ ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು PQ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

2) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ P ನಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು QP ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

148. ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ಸೈಡ್ ಎ ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್ f(M) = d 2 1 - d 2 2 - d 2 3 + d 2 4 ಜೊತೆಗೆ ಚದರ ABCD, ಅಲ್ಲಿ d 1 = MA, d 2 = MB, d 3 = MC ಮತ್ತು d 4 = MD. ಚೌಕದ ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ (ಮತ್ತು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ವಿಭಾಗದ AC ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, Oy ಅಕ್ಷವನ್ನು BD ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ).

149. ಸಮಸ್ಯೆ 148 ರ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ A ನಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದರೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದರೆ, f(M) ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ (ನೇರವಾಗಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಸಮಸ್ಯೆ 148 ರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿ). ಅದರ ಬದಿಗಳು (ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷವು AB ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇದೆ, Oy ಅಕ್ಷ - ವಿಭಾಗದ AD ಉದ್ದಕ್ಕೂ).

150. f(x, y) = x 2 + y 2 - 6x + 8y ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು (ಅಕ್ಷಗಳ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ) ಪಾಯಿಂಟ್ O"(3; -4) ಗೆ ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಿದರೆ ಹೊಸ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

151. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ f(x, y) = x 2 - y 2 - 16. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು -45 ° ಕೋನದಲ್ಲಿ ತಿರುಗಿದರೆ ಹೊಸ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

152. f(x, y) = x 2 + y 2 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನ α ನಿಂದ ತಿರುಗಿಸಿದರೆ ಹೊಸ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

153. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಅದಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದಾಗ, ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ f(x,y) = x 2 - 4y 2 - 6x + 8y + 3 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಮೊದಲಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದಂತಹ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪದವಿ.

154. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಅದಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದಾಗ, ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ f(x, y) = x 2 - 4xy + 4y 2 + 2x + y - 7 ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದಂತಹ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ.

155. ಯಾವ ಕೋನದಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸಬೇಕು ಆದ್ದರಿಂದ ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ f (x, y) = x 2 - 2xy + y 2 - 6x + 3 ಕಾರ್ಯದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ?

156. ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ f(x, y) = 3x 2 + 2√3xy + y 2 ಕಾರ್ಯದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರದಿರುವಂತೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಯಾವ ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗಿಸಬೇಕು?

2. ಕಾರ್ಯಗಳು. ಕಾರ್ಯಗಳ ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು 21 2.11. F (x) ಎಂಬುದು T ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, f (ax) ಕಾರ್ಯವು T /a ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, f = f (ax + T) = f (ಕೊಡಲಿ), ಅಂದರೆ. T /a ಕಾರ್ಯವು f (ax) ನ ಅವಧಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. 2.12. f (x) = cos2 x ಕಾರ್ಯದ ಅವಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. 1 + ಕಾಸ್ 2x ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು: cos2 x = . ನಾವು ಆ ಅವಧಿ 2 ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ cos ಕಾರ್ಯಗಳು 2 x ಎಂಬುದು cos 2x ಕಾರ್ಯದ ಅವಧಿಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. cos x ಕಾರ್ಯದ ಅವಧಿಯು 2π ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮಸ್ಯೆ 2.11 ರ ಪ್ರಕಾರ cos 2x ಕಾರ್ಯದ ಅವಧಿಯು π ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 2.13. ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಧಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ: a) f (x) = sin 2πx; b) f (x) = | cos x|. ಉತ್ತರ: a) T = 1; ಬಿ) ಟಿ = π. ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ 2.14. f (x) = x2 ಮತ್ತು ϕ(x) = 2x ಎಂದು ಬಿಡಿ. ಹುಡುಕಿ: a) f [ϕ(x)], b) ϕ. 2.15. f (x + 1) ಅನ್ನು f (x - 1) = x2 ಎಂದು ಹುಡುಕಿ. 1 2.16. f (x) = ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. 1−x ಹುಡುಕಿ ϕ(x) = f (f ). 2.17. f (x) = 3x2 - 4x - 2 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. f (2x + 1) ಕಾರ್ಯವನ್ನು f (2x+1) = = Ax2 + Bx + C ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಎ, ಬಿ, ಸಿ 2.18. ಎರಡು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು f1 (x) = 5x + 4 ಮತ್ತು f2 (x) = 3x - 1. ಫಂಕ್ಷನ್ f (x) = f2 ಸಹ ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ, ಅಂದರೆ, ಇದು f (x) = Ax + B ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸ್ಥಿರ A ಮತ್ತು B. 3x + 7 5x + 4 ಮೌಲ್ಯಗಳು 2.19. f1 (x) = ಮತ್ತು f2 (x) = , 5x + 6 2x - 8 ಎಂಬ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಫ್ರಾಕ್ಷನಲ್ ಲೀನಿಯರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಂಕ್ಷನ್ f (x) = f1 ಸಹ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲ್ ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ, ಅಂದರೆ, ಇದು Ax + B f (x) = ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಿ A, B, C, D. Cx + D 22 ಪರಿಚಯ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ 2.20. ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ f: X ⊂ R → Y ⊂ R, f (3x + 5) = 45x2 - 12x + 3 ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. f (x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು f (x) = Ax2 + Bx ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ + ಸಿ. ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ 2.21. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು: √ 2+x a) f (x) = x + 1; ಬಿ) f (x) = lg; √ 2−x c) f (x) = 2 + x - x2 ; d) f (x) = arcsin (log2 x); 1 + x2 d) f (x) = cos (sin x) + arcsin. 2x 2.22. ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ: √ 1 a) f (x) = x2 + 33x + 270; ಬಿ) ಎಫ್ (x) = 2; x + 26x + 168 x+2 c) f (x) = ಲಾಗ್[(1 + x)(12 - x)]; d) f (x) = ಆರ್ಕ್ಸಿನ್; x−6 d) f (x) = (x + 9)(x + 8)(x - 14); 15 ಎಫ್) ಎಫ್ (x) = ಆರ್ಕ್ಸಿನ್; x - 11 -x f) f (x) = x2 + 13x + 42 + arcsin . 13 2.23. ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ: a) f (x, y) = log2 (x + y); √ b) f (x, y) = x2 - 4 + 4 - y 2 ; x2 + y 2 c) f (x, y) = ಆರ್ಕ್ಸಿನ್; 4 √ g) f (x, y) = xy. 2.24. ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ:    1 - ಲಾಗ್ x 3 - 2x    ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ a) f (x) =  1 ; b) f (x) =  √ 5 . √ x2 − 4x 3−x 2. ಕಾರ್ಯಗಳು. ಕಾರ್ಯಗಳ ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು 23 2.25. ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಿಸಿ: 4x - y 2 a) f (x, y) = ; log(1 - x2 - y 2) x2 + 2x + y 2 b) f (x, y) = . x2 - 2x + y 2 2.26. 2 2x + 2−x a) f1 (x) = 2−x , f2 (x) = , 2 f3 (x) = |x + 1| + |x - 1| ಸಹ; 2x - 2−x 3x + 1 b) ϕ1 (x) =, ϕ2 (x) = x, 2 3 -1 1+x ϕ3 (x) = lg ಬೆಸ; 1−x 2 c) ψ1 (x) = sin x - cos x, ψ2 (x) = 2x−x, ψ3 (x) = x3 + x2 - 2 ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ. 2.27. ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: 1 a) y = sin2 x; ಬಿ) ವೈ = ಪಾಪ x2; c) y = 1 + tan x; d) ವೈ = ಪಾಪ. x ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಆವರ್ತಕ? 2x 2.28. y = ಕಾರ್ಯವು ವಿಲೋಮ, 1 + 2x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. 2.29. y = x2 - 2x ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ವಿಲೋಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ: y1 = 1 + x + 1 ಮತ್ತು y2 = 1 - x + 1. 2.30. ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ: a) f1 (x) = x6 - 6x4 + 11x2 ; b) f2 (x) = x4 - 8x3 + 22x2. 2.31. ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ: 1 5 a) f1 (x) = √ ; b) f1 (x) = √ . 4x2 - 16x + 36 5x 2 - 10x + 55 24 ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಪರಿಚಯ 2.32. ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಧಿಕ ಮೌಲ್ಯಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು: a) f1 (x) = 3 sin x + 4 cos x; b) f2 (x) = 5 sin x + 12 cos x. 2.33. ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ನ ರೂಪವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ: a) z = 1 - x2 - y 2 ; ಬಿ) z = x2 + y 2; ಸಿ) z = x2 + y 2 ; d) z = x2 - y 2 2.34. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಮಟ್ಟದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ, z ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು −3 ರಿಂದ +3 ವರೆಗೆ 1: a) z = xy; b) z = y(x2 + 1). 2.35. y = x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ y = 2 -3 (x + 1) - 0.5 s √ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಡಿ. 2.36. y = sin x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ y = 3 sin(2x - 4) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪ್ಲ್ಯಾಟ್ ಮಾಡಿ. 2.37. ಮೂಲ ಕಾರ್ಯ ಸಂಶೋಧನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು (ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬಳಸದೆ), ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕಥಾವಸ್ತುವಿನ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು: 1 x a) y = 2 ; ಬಿ) ವೈ = 2; x +1 x +1 1 c) y = x4 - 2x2 + 5; d) y = 2; x + 4x + 5 2x - 5 ಡಿ) y = ; ಇ) y = x2 + 6x + 9 + 10. x−3 2.38. ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕಥಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು:   x, ವೇಳೆ - ∞< x < 1;    1 1 а) f (x) = x + , если 1 ≤ x ≤ 3;  2  2   4, если 3 < x < +∞; б) f (x) = |x − 1| + |x + 3|; в) f (x) = |x2 − 2x + 1|; г) f (x) = sin x + | sin x|, если 0 ≤ x ≤ 3π; д) f (x) = arccos(cos x); t+5 t+1 е) f (t) = ; ж) f (t) = . t−7 t2 + 2t + 2 3. Предел функции 25 3. Предел функции Рекомендуется по ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಅಧ್ಯಯನ ಉಪವಿಭಾಗಗಳು 1.4 ಮತ್ತು 1.5. ಪಾವತಿಸಬೇಕು ವಿಶೇಷ ಗಮನಉಪವಿಭಾಗ 1.4 ಗೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ನೆರೆಹೊರೆಗಳು, ಅವುಗಳ ಪದನಾಮಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರವಣಿಗೆಯ ರೂಪಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯಿರಿ. ಲಿಮ್ ಎಫ್ (x) = ಎ ಹೇಳಿಕೆ ಎಂದರೆ: ಎ ಅಂಶದ ಎ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ) ಅಂಶದ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆ x→x0 ಗಾಗಿ ಅಂಶದ x0 ರ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆ V (x0) ಇರುತ್ತದೆ ಅಂತಹ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ x ∈ V˙ (x0) ∩ X ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, f (x) ∈ U (A), ಇಲ್ಲಿ X ಎಂಬುದು f (x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು x0 ಎಂಬುದು X ಸೆಟ್‌ನ ಮಿತಿ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಬದಲಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೆರೆಹೊರೆಯ U (A), ಒಬ್ಬರು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ನೆರೆಹೊರೆ Uε (A) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೆರೆಹೊರೆ ˙ V (x0) ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಅಥವಾ ಅಸಮಪಾರ್ಶ್ವವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಬಹುದು, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಅಸಮಪಾರ್ಶ್ವದ ನೆರೆಹೊರೆಯಿಂದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ನೆರೆಹೊರೆ Vδ (x0) ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ನೆರೆಹೊರೆಯ V (x0) ಪಂಕ್ಚರ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂದರೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ x0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ x = x0, ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ x0 ನಲ್ಲಿ f (x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಲಿಮ್ ಎಫ್ (x) = ಎ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಯು (ಎಕ್ಸ್) ಗೆ ಸೇರ್ಪಡೆ ಎಫ್ (x) ⊂ ಯು (ಎ) ಹೊಂದಿರುವ x ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ (x) ಅನ್ನು x→x0 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಕು. ಎ) ಕಂಡುಬರುವ ಸೆಟ್ (x) x0 ನ ನೆರೆಹೊರೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಲಿಮ್ f (x) = A ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆಇದು x→x0 ತಪ್ಪಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, x0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ f (x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು lim f (x) = f (x0), ಆಗ ಸೆಟ್ (x) x x0 ಪಾಯಿಂಟ್ x0 ಅನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮಿತಿಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಯಾವುದೇ ವರ್ಗದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳುಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾ ವಾದ. 3.1. ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ: 1 1 a) lim x = x0 ; ಬಿ) ಲಿಮ್ = ; x→x0 x→2 x 2 1 1 1 c) lim = lim = lim = 0; x→+∞ x x→−∞ x x→∞ x 26 ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಪರಿಚಯ 1 1 ಡಿ) ಲಿಮ್ = +∞; ಇ) ಲಿಮ್ = -∞; x→0+0 x x→0−0 x 1 f) lim = 2; g) lim x2 = 4. x→1 x x→2 ಪರಿಹಾರ: a) lim x = x0 ನೇರವಾಗಿ x→x0 ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯು ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ನೆರೆಹೊರೆಯ Uε (x0) ˙ (|x - x0 |< ε) дана, то в качестве окрестности Vδ (x0) можно принять |x − x0 | < δ = ε, т.е. положить δ = ε; 1 1 б) докажем, что lim = . По определению предела x→2 x 2 мы должны доказать, что для любой заданной окрестности 1 ˙ Uε , ε >0 ನೆರೆಹೊರೆ V (2) ಇದೆ ಅಂದರೆ 2 ˙ 1 1 1 1 x ∈ V (2), ನಂತರ -< ε, т.е. ∈ Uε , что равносильно сле- x 2 x 2 дующим двум неравенствам: 1 1 −ε < − < +ε или x 2 1 1 1 − ε < < + ε. 2 x 2 Так как при достаточ- но малом ε все части этого неравенства по- ложительны, то 2 2 2, 1 + 2ε 1 - 2ε ಆದ್ದರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ- ಚಿತ್ರ. 3.1 2 2 ಆಸ್ತಿ, 1 + 2ε 1 - 2ε ಬಿಂದು x0 = 2 (ಅಸಮ್ಮಿತ) ನ ನೆರೆಹೊರೆಯಾಗಿದೆ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನೆರೆಹೊರೆಯ V (2) ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ (Fig. 3.1). 3. ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ 27 ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು 4ε 4ε 2− ,2 + ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು 1 + 2ε 1 - 2ε ˙ ˙ 4ε 4ε V (2) = Vδ1 ,δ2 (2), ಅಲ್ಲಿ δ1 =, δ2 =. 1 + 2ε 1 - 2ε 1 c) ಲಿಮ್ = 0 ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. x→+∞ x ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯ Uε (0) ಬಿಂದು y = 0 ಗೆ ನೆರೆಹೊರೆ V (+∞) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕು. ಅಂಶ +∞ ಅಂದರೆ x ∈ V (+∞), 1 ನಂತರ − 0< ε, или x 1 < ε. Так как x x → +∞, то можно считать, что x >0, ಚಿತ್ರ 3.2 ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು 1 1 ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಬರೆಯಬಹುದು< ε или x >= ಎಂ. +∞ ಅಂಶದ ನೆರೆಹೊರೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ x > M ಸೆಟ್ x ε VM (+∞) ಆಗಿದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ನೆರೆಹೊರೆಯ V (+∞) ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಇದು 1 ಲಿಮ್ = 0 (Fig. 3.2) ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. x→+∞ x 1 1 ನಾವು ಸಮಾನತೆಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಲಿಮ್ = 0 ಮತ್ತು ಲಿಮ್ = 0 ಅನ್ನು ಓದುಗರಿಗೆ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ. 28 ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪರಿಚಯ 1 ಸಮಾನತೆ ಲಿಮ್ = 0 ಎರಡು x→∞ x 1 1 ಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತೇವೆ: ಲಿಮ್ = 0 ಮತ್ತು ಲಿಮ್ = 0; x→−∞ x x→+∞ x d) ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು 1 ಲಿಮ್ = +∞ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. x→0+0 x UM (+∞) ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯ UM (+∞) ಗಾಗಿ ಬಲ ಅರೆ-ನೆರೆಹೊರೆ Vδ+ (0) (0) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ< x < δ) ← такая, что если + V1/M (0) x ∈ Vδ+ (0), то 1 ∈ UM (+∞). x Рис. 3.3 ನಂತರದ ಅರ್ಥ, 1 1 ಏನು > ಎಂ. x > 0, M > 0, ನಂತರ 0 ರಿಂದ< x < . Если поло- x M 1 жить δ = , то требуемая окрестность Vδ+ (0) найдена и ра- M 1 венство lim = 0 доказано (рис. 3.3). x→0+0 x 1 Аналогично можно доказать, что lim = −∞ (предлага- x→0−0 x ем проделать это самостоятельно); 1 е) докажем, что lim = 2. Предположим противное, т.е. x→1 x 1 что lim равен двум. Это означало бы: для любой окрест- x→1 x ˙ ности Uε (2) существует окрестность V (1) такая, что если ˙ 1 1 1 x ∈ V (1), то ∈ Uε (2), т.е. − 2 < ε, или 2 − ε < < ε + 2. x x x 3. Предел функции 29 Так как все части неравенства можно считать положительны- 1 1 ми, то 0, x > 0 ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯ √ √ y = x2 ಏಕತಾನವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ 4 - ε< |x| < 4 + ε. Поскольку x >0, √ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು ಮತ್ತು √ ನಂತರ 4 - ε ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು< x < 4 + ε. Точка x = 2 принадлежит интервалу √ √ (4 − ε; 4 + ε), т.е. этот интервал является окрестностью точ- ки 2, удовлетворяющей требуемому условию, которую и при- ˙ ˙ нимаем в качестве V (2). Существование V (2) доказано, а этим доказано, что lim x 2 = 4. x→2 3.2. Докажите самостоятельно, что 1 1 lim = +∞, lim = −∞. x→x0 +0 x − x0 x→x0 −0 x − x0 Указание: сделать замену x − x0 = t и применить задачу 3.1. 3.3. Используя теоремы о пределе произведения суммы и частного, докажите, что: а) lim xn = xn ; 0 x→x0 б) lim Pn (x) = lim (a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an) = x→x0 x→x0 = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x0 + an ; 0 0 30 Введение в математический анализ Pn (x) a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an в) lim = lim = x→x0 Qm (x) x→x0 b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x + bm a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x0 + an 0 0 = , b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x0 + bm 0 0 где n и m ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, AI ಮತ್ತು bi ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x0 + bm = 0, x0 0 0 ಸಹಜವಾಗಿ. ಪರಿಹಾರ: a) ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು: lim xn = lim (x · x · · · · · x). x→x0 x→x0 ರಿಂದ lim x = x0, ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಿತಿಯ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ x→x0 lim xn = lim x · lim x · · · · · lim x = xn ; 0 x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 b) ಕಾರ್ಯ Pn (x) ಎಂಬುದು (1 + n) ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಹೊಂದಿದೆ ಅಂತಿಮ ಮಿತಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, lim a0 xn = lim a0 lim xn = a0 xn . ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಿ) ಮೊತ್ತದ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ; ಸಿ) ಅಂಶ, ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಸ್ಯೆ 3.3 ರಲ್ಲಿನ Pn (x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು n (a0 = 0 ವೇಳೆ) ಕ್ರಮದ ಬಹುಪದ ಅಥವಾ ಬಹುಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 3.4. ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ: x2 + 2x - 3 a) lim (x2 + 3x + 4); ಬಿ) ಲಿಮ್ 2. x→2 x→3 2x + 4x - 5 ಪರಿಹಾರ. ಸಮಸ್ಯೆ 3.3 ರಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಐಟಂ ಬಿ) ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು: ಲಿಮ್ (x2 + 3x + 4) = 22 + 3 2 + 4 = 14; x→2 x2 + 2x - 3 32 + 2 3 - 3 12 ಲಿಮ್ 2 + 4x - 5 = 2+4 3−5 = . x→3 2x 2 3 25 5x2 - 20x + 15 3.5. ಎ = ಲಿಮ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. x→1 3x2 − 15x + 12 ಪರಿಹಾರ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಛೇದವು x0 = 1 ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗುವುದರಿಂದ, ಅಂಶದ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. x0 = 1 ನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶವೂ ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನಾವು 0/0 ನಂತಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮಿತಿಯನ್ನು x → x0 ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಲ್ಲಿ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಒತ್ತಿಹೇಳಿದ್ದೇವೆ