ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಅದರ ಅನ್ವಯ. ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು

23. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಸುಮಾರು ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್.y ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

y=ƒ(x) ಕಾರ್ಯವು x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ.

ನಂತರ, ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್, ಅದರ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾದ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು  у/х=ƒ"(x)+α ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ α→0 ∆х→0, ಅಥವಾ ∆у =ƒ"(x) ∆х+α ∆х.

ಹೀಗಾಗಿ, ∆у ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳವು ಎರಡು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ƒ"(x) ∆x ಮತ್ತು a ∆x, ಇದು ∆x→0 ಗೆ ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಪದವು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ಕಾರ್ಯ∆х ಅದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ರಿಂದ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಪದವು ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳ ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕ, ∆x ಗಿಂತ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ƒ"(x) ∆x ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೆಚ್ಚಳದ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗಕಾರ್ಯಗಳು ∆у.

ಫಂಕ್ಷನ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ y=ƒ(x) ಅನ್ನು ಅದರ ಹೆಚ್ಚಳದ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು dу (ಅಥವಾ dƒ(x)) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

dy=ƒ"(x) ∆x. (1)

dу ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೊದಲ ಆರ್ಡರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್.ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಅಂದರೆ y=x ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

y"=x"=1 ರಿಂದ, ನಂತರ, ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (1), ನಾವು dy=dx=∆x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಈ ವೇರಿಯೇಬಲ್: dх=∆х.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರ (1) ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

dy=ƒ"(х)dх, (2)

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯು ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸೂತ್ರದಿಂದ (2) ಸಮಾನತೆ dy/dx=ƒ"(x) ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ ಸಂಕೇತ

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ dy/dx ಅನ್ನು dy ಮತ್ತು dx ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಅನುಪಾತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಭೇದಾತ್ಮಕಕೆಳಗಿನ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

1. d(ಜೊತೆಗೆ)=0.

2. d(u+w-v)= du+dw-dv.

3. d(uv)=du·v+u·dv.

d(ಜೊತೆಗೆಯು)=ಜೊತೆಗೆd(u)

4. .

5. ವೈ= f(z), , ,

ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ರೂಪವು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ (ಬದಲಾಗದು): ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆವಾದವು ಸರಳವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ವಾದದ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಮೂಲಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು

ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ у=ƒ(x) ಕಾರ್ಯದ ∆у ಅನ್ನು ∆у=ƒ"(x) ∆х+α ∆х ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ α→0 ∆х→0, ಅಥವಾ ∆у= dy+α∆х.

∆y≈dy, (3)

ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿದೆ, ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ∆х.

ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಯಾವುದೇ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್‌ಗಿಂತ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸೂತ್ರ (3) ಅನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

24. ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟನೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ.

ಒಂದು ಆದಿಮ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಇಂಡಿಮೆನೈಟ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್

ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ (X) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕಾರ್ಯ ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ f (X) (ಅಥವಾ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ವಿರೋಧಿ ಉತ್ಪನ್ನ ಈ ಕಾರ್ಯ f (X)) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ . ಉದಾಹರಣೆ. ಕಾರ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ X. ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ ಜೊತೆಗೆ, ಒಂದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಜೊತೆಗೆ- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ(ಸ್ಥಿರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ). ಈ ಆಸ್ತಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಎರಡು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳು f (X) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ನಂತರ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಫ್ (X) ಈ ಕಾರ್ಯದ f (X), ನಂತರ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ f (X) ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ದಣಿದಿದೆ ಎಫ್ (X) + ಜೊತೆಗೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಫ್ (X) + ಜೊತೆಗೆ, ಎಲ್ಲಿ ಎಫ್ (X) - ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿರೋಧಿ f (X) ಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ, ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ f (X) ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು f (X) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಗ್ರ ಕಾರ್ಯ ; - ಸಮಗ್ರ , X - ಏಕೀಕರಣ ವೇರಿಯಬಲ್ ; ∫ - ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆ . ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಒಂದು ವೇಳೆ . ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಕಾರ್ಯಗಳು f (X) ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಇದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ? ಪ್ರಮೇಯ 2. ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ f (X) ನಿರಂತರ ಮೇಲೆ [ ಎ ; ಬಿ], ನಂತರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ f (X) ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಇದೆ . ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಮಾತ್ರ ನಾವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಳಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ನಂತರ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ.

25. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಮತ್ತುಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಅವಿಭಾಜ್ಯಮೂಲ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ರು.

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ fಮತ್ತು ಜಿ- ವೇರಿಯಬಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳು X, ಎಫ್- ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿರೋಧಿ f, ಎ, ಕೆ, ಸಿ- ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳು.



ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು

ಇಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಪಟ್ಟಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳು

(ಸೊನ್ನೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಏಕೀಕರಣದ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯೊಳಗೆ, ಸೊನ್ನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ)

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಪಟ್ಟಿ

ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಪಟ್ಟಿ

ಇಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳು

("ಲಾಂಗ್ ಲಾಗರಿಥಮ್")

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಪಟ್ಟಿ , ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಪಟ್ಟಿ

26. ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನರು ವೇರಿಯಬಲ್, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣದ ವಿಧಾನ.

ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿ ವಿಧಾನ (ಬದಲಿ ವಿಧಾನ)

ಪರ್ಯಾಯದ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣದ ವಿಧಾನವು ಹೊಸ ಏಕೀಕರಣ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಪರ್ಯಾಯ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಕೋಷ್ಟಕ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳುಪರ್ಯಾಯಗಳ ಆಯ್ಕೆ ಇಲ್ಲ. ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸದ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ ವೈ = f(X) ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಂತದಲ್ಲಿ Xಒಂದು ಸೀಮಿತ ಉತ್ಪನ್ನವಿದೆ

ನಂತರ, ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ನಲ್ಲಿ ಅಪರಿಮಿತ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಮಾನತೆ (1) ನಿಂದ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

(2)

(ಮೌಲ್ಯವು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ (2) ಮೊದಲ ಪದವು ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವಾಗ

ಇದು ಸಣ್ಣತನದ ಅದೇ ಕ್ರಮದ ಅನಂತವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯ ಪದವು ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಣ್ಣತನದ ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಅನುಪಾತವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರದ (2) ಮೊದಲ ಪದವು ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳದ ಮುಖ್ಯ, ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ; ಚಿಕ್ಕದಾದಷ್ಟೂ, ಈ ಭಾಗದ ಹೆಚ್ಚಳದ ಪ್ರಮಾಣವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ (ಮತ್ತು ಗಾಗಿ) ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಮುಖ್ಯ ಭಾಗ, ಅಂದರೆ

ಈ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ Xಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಿ

ಆದ್ದರಿಂದ,

(5)

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ y = f(X) ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು X- ಮೂಲ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯ,

ಹೆಚ್ಚಿದ ಮೌಲ್ಯ, ನಂತರ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತ X; ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ (5) ಇದು ದಾಖಲೆಯಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ (4) ಅದು ಅಲ್ಲ.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥಭೇದಾತ್ಮಕ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ y = f(X) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ( X; ವೈ), ಅದು ಬದಲಾದಾಗ Xಮೊತ್ತದಿಂದ.

ವಿಭಿನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ವಿಭಿನ್ನ ಆಕಾರದ ಅಸ್ಥಿರತೆ

ಇದರಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅದರ ವಾದಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಉತ್ಪನ್ನದಂತೆಯೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

(ಇದರೊಂದಿಗೆ - ನಿರಂತರ) (8)

(9)

(10)

(12)

ಸೂತ್ರಗಳು (8) - (12) ಪ್ರತಿ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಲಿ:

ಭೇದಾತ್ಮಕ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು

ಆದರೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ

(13)

ಇಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ (7) ಅದೇ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ವಾದವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಾದವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆಯೇ ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅದರ ವಾದದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಸ್ಥಿರತೆಭೇದಾತ್ಮಕ ಆಕಾರದ (ಅಸ್ಥಿರತೆ).

ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ (13) ಅನ್ನು , ರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತೇವೆ

ರೇಖೀಯ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ

ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು: ಮಧ್ಯಂತರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂಲಕ X. ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಹಾಕೋಣ

ಮತ್ತು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಈ ಸಮಾನತೆಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ಮೊದಲ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆ

ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ. ಏಕೆಂದರೆ

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅಂದಾಜು ln 1.01 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. ln 1.01 ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ವೈ= ಲಾಗ್ X. ಫಾರ್ಮುಲಾ (15) ರಲ್ಲಿ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ,

ಇದು ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು: ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯ ln 1.01 = 0.0100.

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಸಂಖ್ಯೆ
ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ

ಈ ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ

ನಂತರ ಸೂತ್ರ (15) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

(ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯ

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಅದರ ನಿಖರತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ದೋಷ.

ಅಂದಾಜು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೋಷ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯನಿಖರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ:

ಅಂದಾಜು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೋಷದ ಅನುಪಾತವು ಅನುಗುಣವಾದ ನಿಖರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ:

4/3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ರೂಟ್ನ ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು

ನಿಖರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (16) ಮತ್ತು (17) ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ರೇಖೀಯೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಹಲವಾರು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಅದರ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಲವಾರು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು) ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಉದಾಹರಣೆ.

ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆ x 0 = 1, y 0 = 2. ನಂತರ Δ x = 1.02 - 1 = 0.02; Δ y = 1.97 – 2 = -0.03. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ,

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾಗಿದೆ f ( 1, 2) = 3, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

ಕಾರ್ಯ ವಾದಗಳನ್ನು ಬಿಡಿ z = f (x, y)ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಅಸ್ಥಿರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಯುಮತ್ತು v: x = x (u, v), y = y (u, v).ನಂತರ ಕಾರ್ಯ fನಿಂದ ಕಾರ್ಯವೂ ಇದೆ ಯುಮತ್ತು v.ವಾದಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಯುಮತ್ತು v,ನೇರ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡದೆ

z = f (x(u, v), y(u, v)).ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ತಮ್ಮ ಎಲ್ಲಾ ವಾದಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವಾದವನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ ಯುಹೆಚ್ಚಳ Δu,ವಾದವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ v.ನಂತರ

ನೀವು ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ವಾದಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿಸಿದರೆ v,ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: . (2.8)

ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು (2.7) Δ ನಿಂದ ಭಾಗಿಸೋಣ ಯು, ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಗಳು (2.8) - Δ ನಲ್ಲಿ vಮತ್ತು Δ ನಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮಿತಿಗೆ ಸರಿಸಿ u→ 0 ಮತ್ತು Δ v→ 0. ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿರಂತರತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ನಾವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ,

ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಅವಕಾಶ x = x (t), y = y (t).ನಂತರ ಕಾರ್ಯ f(x,y)ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಟಿ, ಮತ್ತು ಇದು ಸಾಧ್ಯ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (2.9) ಬಳಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿನ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿಮೂಲಕ ಯುಮತ್ತು vಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಟಿ(ಸಹಜವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ x(ಟಿ)ಮತ್ತು ವೈ(ಟಿ)), ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಪಡೆಯಿರಿ:

(2.10)

ಎಂದು ಈಗ ಊಹಿಸೋಣ ಟಿವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ X, ಅದು Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿಸಂಬಂಧದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ y = y (x).ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಕರಣದಂತೆ, ಕಾರ್ಯ fಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ X.ಇದರೊಂದಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು (2.10) ಬಳಸುವುದು t = xಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

. (2.11)

ಈ ಸೂತ್ರವು ಕಾರ್ಯದ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡೋಣ fವಾದದ ಮೂಲಕ X: ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದು ಒಟ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಖಾಸಗಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

1. ಅವಕಾಶ z = xy,ಎಲ್ಲಿ x = ಯು² + v, y = uv². ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮತ್ತು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಮೂರರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳುಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಾದಗಳಿಗೆ:

ನಂತರ ಸೂತ್ರದಿಂದ (2.9) ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಯುಮತ್ತು v).

2. ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ z =ಪಾಪ( x+y²), ಎಲ್ಲಿ y = cos X.

ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಆಕಾರದ ಅಸ್ಥಿರತೆ.

ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ (2.5) ಮತ್ತು (2.9), ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕಾರ್ಯಗಳು z = f (x, y), ಎಲ್ಲಿ x = x(u,v), y = y(u,v),ಅಸ್ಥಿರ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೂಲಕ ಯುಮತ್ತು v:

(2.12)

ಆದ್ದರಿಂದ, ವಾದಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ ಯುಮತ್ತು vಈ ವಾದಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಂತೆಯೇ Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ಆಗಿದೆ ಅಸ್ಥಿರ(ಬದಲಾಗದ).

ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅವುಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು. ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು, ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.1.ಕಾರ್ಯ ನಲ್ಲಿನಿಂದ X, ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

F(x,y)= 0 , (3.1)

ಎಂದು ಕರೆದರು ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ರೂಪದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣವು (3.1) ನಿರ್ಧರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ನಲ್ಲಿಒಂದು ಅನನ್ಯ (ಮತ್ತು, ಮೇಲಾಗಿ, ನಿರಂತರ) ಕಾರ್ಯವಾಗಿ X. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣ

ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ನಲ್ಲಿಎರಡು-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ X: ಫಾರ್

ಅನನ್ಯ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪ್ರಮೇಯ 3.1(ಯಾವುದೇ ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲ). ಇರಲಿ:

1) ಕಾರ್ಯ F(x,y)ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ( x 0, y 0);

2) F (x 0 , y 0) = 0 ;

3) ಸ್ಥಿರವಾಗಿ xF(x,y)ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವಾಗ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ). ನಲ್ಲಿ.

ಎ) ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ( x 0, y 0)ಸಮೀಕರಣ (3.1) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ನಲ್ಲಿಏಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ X: y = f(x);

ಬಿ) ಯಾವಾಗ x = x 0ಈ ಕಾರ್ಯವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ y 0 : f (x 0) = y 0;

ಸಿ) ಕಾರ್ಯ f(x)ನಿರಂತರ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ y = f(x)ಮೂಲಕ X.

ಪ್ರಮೇಯ 3.2.ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ ನಲ್ಲಿನಿಂದ Xಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ (3.1), ಅಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ F(x,y)ಪ್ರಮೇಯ 3.1 ರ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಲೆಟ್, ಜೊತೆಗೆ, - ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳುಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಡಿಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (x,y),ಇದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (3.1) ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ . ನಂತರ ಕಾರ್ಯ ನಲ್ಲಿನಿಂದ Xಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಉದಾಹರಣೆ.

ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ
.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆ X 0 = 1, ನಲ್ಲಿ 0 = 2. ನಂತರ Δ x = 1.02 - 1 = 0.02; Δ y = 1.97 – 2 = -0.03. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
,

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾಗಿದೆ f ( 1, 2) = 3, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

ಕಾರ್ಯ ವಾದಗಳನ್ನು ಬಿಡಿ z = f (X, ವೈ) ಯುಮತ್ತು v: X = X (ಯು, v), ವೈ = ವೈ (ಯು, v). ನಂತರ ಕಾರ್ಯ f ನಿಂದ ಕಾರ್ಯವೂ ಇದೆ ಯುಮತ್ತು v. ವಾದಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಯು ಮತ್ತು v, ನೇರ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡದೆ

ವಾದವನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ ಯುಹೆಚ್ಚಳ Δ ಯು, ವಾದವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ v. ನಂತರ

ನೀವು ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ವಾದಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿಸಿದರೆ v, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: . (2.8)

ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು (2.7) Δ ನಿಂದ ಭಾಗಿಸೋಣ ಯು, ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಗಳು (2.8) - Δ ನಲ್ಲಿ vಮತ್ತು Δ ನಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮಿತಿಗೆ ಸರಿಸಿ ಯು→ 0 ಮತ್ತು Δ v→ 0. ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿರಂತರತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ನಾವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ,

ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಅವಕಾಶ X = X(ಟಿ), ವೈ = ವೈ(ಟಿ). ನಂತರ ಕಾರ್ಯ f (X, ವೈ) ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಟಿ, ಮತ್ತು ಇದು ಸಾಧ್ಯ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (2.9) ಬಳಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿನ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿಮೂಲಕ ಯು ಮತ್ತು vಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಟಿ(ಸಹಜವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ X(ಟಿ) ಮತ್ತು ವೈ(ಟಿ) ) , ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಪಡೆಯಿರಿ :

(2.10)

ಎಂದು ಈಗ ಊಹಿಸೋಣ ಟಿವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ X, ಅದು Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿಸಂಬಂಧದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ y = y (x).ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಕರಣದಂತೆ, ಕಾರ್ಯ fಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ X.ಇದರೊಂದಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು (2.10) ಬಳಸುವುದು ಟಿ = X ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ
, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

. (2.11)

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ನಂತರ ಸೂತ್ರದಿಂದ (2.9) ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಕಾರ್ಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ z = ಪಾಪ( X + ವೈ²), ಎಲ್ಲಿ ವೈ = cos X.

ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಆಕಾರದ ಅಸ್ಥಿರತೆ.

ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (2.5) ಮತ್ತು (2.9) ಬಳಸಿ, ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ z = f (X, ವೈ) , ಎಲ್ಲಿ X = X(ಯು, v), ವೈ = ವೈ(ಯು, v), ಅಸ್ಥಿರ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೂಲಕ ಯು ಮತ್ತು v:

(2.12)

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.1.ಕಾರ್ಯ ನಲ್ಲಿನಿಂದ X, ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

F(x,y)= 0 , (3.1)

ಎಂದು ಕರೆದರು ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ.

ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ನಲ್ಲಿಎರಡು-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ X:
ಫಾರ್

ವಿಶಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಸೂಚ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪ್ರಮೇಯ 3.1 (ಯಾವುದೇ ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲ). ಇರಲಿ:

ಎ) ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ( X 0 , ವೈ 0 ) ಸಮೀಕರಣ (3.1) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ನಲ್ಲಿಏಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ X: ವೈ = f(X) ;

ಬಿ) ಯಾವಾಗ x = x 0 ಈ ಕಾರ್ಯವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ನಲ್ಲಿ 0 : f (X 0 ) = ವೈ 0 ;

ಸಿ) ಕಾರ್ಯ f (X) ನಿರಂತರ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ವೈ = f (X) ಮೂಲಕ X.

ಪ್ರಮೇಯ 3.2. ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ ನಲ್ಲಿನಿಂದ Xಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ (3.1), ಅಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ (X, ವೈ) ಪ್ರಮೇಯ 3.1 ರ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಲೆಟ್, ಜೊತೆಗೆ,
- ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಡಿಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (x,y),ಇದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (3.1) ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ
. ನಂತರ ಕಾರ್ಯ ನಲ್ಲಿನಿಂದ Xಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

(3.2)

ಉದಾಹರಣೆ.ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ , ವೇಳೆ
. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
,
.

ನಂತರ ಸೂತ್ರದಿಂದ (3.2) ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.

ಉನ್ನತ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು.

ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳು z = f (X, ವೈ) ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಅಸ್ಥಿರ ಕಾರ್ಯಗಳು Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವುಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಹೆಸರಿಸೋಣ:

ಹೀಗಾಗಿ, 2 ನೇ ಕ್ರಮದ ನಾಲ್ಕು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನೂ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು Xಮತ್ತು ಮೂಲಕ ನಲ್ಲಿಮತ್ತು 3 ನೇ ಕ್ರಮದ ಎಂಟು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಉನ್ನತ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.2.ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಎನ್ - ನೇ ಆದೇಶಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ( ಎನ್- 1) ಆದೇಶ.

ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಹೊಂದಿವೆ ಪ್ರಮುಖ ಆಸ್ತಿ: ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಫಲಿತಾಂಶವು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
) ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ 3.3. ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ z = f (X, ವೈ) ಮತ್ತು ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು
ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ M(x,y)ಮತ್ತು ಅದರ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ, ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ

(3.3)

ಪರಿಣಾಮ. ಈ ಗುಣವು ಯಾವುದೇ ಆದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ.