ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್ ಸರಳ ವಿವರಣೆ. ಐತಿಹಾಸಿಕ ಹಿನ್ನೆಲೆ, ಅಥವಾ ಅದು ಹೇಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಯಂ-ಸದೃಶವಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳು

19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಅಂತ್ಯದಿಂದ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ರೋಗಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಯಂ-ಸದೃಶ ವಸ್ತುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿವೆ. ಇವುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ:

ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾದ ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಧನಾತ್ಮಕ ಉದ್ದದ ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯಬಹುದು;
ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ತ್ರಿಕೋನ ("ಮೇಜುಬಟ್ಟೆ") ಮತ್ತು ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ಕಾರ್ಪೆಟ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಲಾದ ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳಾಗಿವೆ;
ಮೆಂಗರ್‌ನ ಸ್ಪಾಂಜ್ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಲಾದ ಕ್ಯಾಂಟರ್‌ನ ಅನಲಾಗ್ ಆಗಿದೆ;
ವೀಯರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಮತ್ತು ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ವಾರ್ಡೆನ್‌ರ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಿಯೂ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯ;
ಕೋಚ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಅನಂತ ಉದ್ದದ ಸ್ವಯಂ-ಛೇದಿಸದ ನಿರಂತರ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ;
ಪೀನೋ ಕರ್ವ್ - ಚೌಕದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನಿರಂತರ ವಕ್ರರೇಖೆ;
ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಕಣದ ಪಥವು ಸಂಭವನೀಯತೆ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರ Hausdorff ಆಯಾಮ ಎರಡು [ ] .

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನ

ಕಂಪ್ರೆಷನ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು

ಸ್ವಯಂ-ಸಾಮ್ಯತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಗಣಿತದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ವಿಮಾನದ ಸಂಕೋಚನದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ. ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ (ಮುಚ್ಚಿದ ಮತ್ತು ಸುತ್ತುವರಿದ) ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: Ψ : K ↦ ∪ i = 1 n ψ i (K) (\ displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _(i=1)^(n)\psi _(i)(K))

ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು Ψ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \Psi)ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಾದ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಕೋಚನ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬನಾಚ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ಈ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ನಮ್ಮ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನವು ಈ ನಿರ್ಮಾಣದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರದರ್ಶನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ψ i , i = 1 , … , n (\ displaystyle \psi _(i),\,i=1,\dots ,n)- ಹೋಲಿಕೆಯ ಪ್ರದರ್ಶನಗಳು, ಮತ್ತು n (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ n)- ಜನರೇಟರ್ ಲಿಂಕ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಅನುಗುಣವಾದ ಡೈನಾಮಿಕ್ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಪ್ಲೇನ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಆಧರಿಸಿ ಸುಂದರವಾದ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಇದು ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ನೀವು ಮಹತ್ವಾಕಾಂಕ್ಷೆಯ ವೇಗವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬಹುದು z n (\displaystyle z_(n))ಅನಂತಕ್ಕೆ (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಹೇಳಿ, ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆ n (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ n), ಇದರಲ್ಲಿ | z n | (\displaystyle |z_(n)|)ಸ್ಥಿರ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೀರುತ್ತದೆ ಎ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಎ)).

ಬಯೋಮಾರ್ಫ್‌ಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಜೀವಂತ ಜೀವಿಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸುವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಾಗಿವೆ.

ಸ್ಟೊಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್

ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಸ್ತುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ಟೊಕಾಸ್ಟಿಕ್ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ) ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳನ್ನು ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಸ್ಟೊಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಪಥ;
ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಪಥದ ಗಡಿ. 2001 ರಲ್ಲಿ, ಲಾಲರ್, ಸ್ಕ್ರಾಮ್ ಮತ್ತು ವರ್ನರ್ ಅದರ ಆಯಾಮವು 4/3 ಎಂದು ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ನ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು.
Schramm-Löwner ವಿಕಸನಗಳು ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಪರ್ಕೋಲೇಷನ್‌ನಂತಹ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಎರಡು-ಆಯಾಮದ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಅನುರೂಪವಾಗಿ ಬದಲಾಗದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಕರ್ವ್‌ಗಳಾಗಿವೆ.
ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಬಳಕೆಗೆ ಪ್ಲಾಸ್ಮಾ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಸ್ತುಗಳು

ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಸ್ತುಗಳು ( ಅರೆ-ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು) ರಚನೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಅಪೂರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ನಿಖರತೆಯಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶ ಅಮೂರ್ತ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್-ರೀತಿಯ ರಚನೆಗಳು (ಮೋಡದ ಗಡಿಗಳು, ತೀರಗಳು, ಮರಗಳು, ಸಸ್ಯದ ಎಲೆಗಳು, ಹವಳಗಳು, ...) ಅರೆ-ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಲವು ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ರಚನೆಯು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಜೀವಂತ ಕೋಶದ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಅಣುಗಳ ಗಾತ್ರದಿಂದ ವಿಧಿಸಲಾದ ಮಿತಿಗಳಿಂದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ರಚನೆಗಳು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ವನ್ಯಜೀವಿಗಳಲ್ಲಿ:
- ಸ್ಟಾರ್ಫಿಶ್ ಮತ್ತು ಅರ್ಚಿನ್ಗಳು
- ಹೂವುಗಳು ಮತ್ತು ಸಸ್ಯಗಳು (ಕೋಸುಗಡ್ಡೆ, ಎಲೆಕೋಸು)
- ಮರದ ಕಿರೀಟಗಳು ಮತ್ತು ಸಸ್ಯ ಎಲೆಗಳು
- ಹಣ್ಣು (ಅನಾನಸ್)
- ರಕ್ತಪರಿಚಲನಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಮಾನವರು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಣಿಗಳ ಶ್ವಾಸನಾಳಗಳು
ನಿರ್ಜೀವ ಸ್ವಭಾವದಲ್ಲಿ:
- ಭೌಗೋಳಿಕ ವಸ್ತುಗಳ ಗಡಿಗಳು (ದೇಶಗಳು, ಪ್ರದೇಶಗಳು, ನಗರಗಳು)
- ಕಿಟಕಿ ಗಾಜಿನ ಮೇಲೆ ಫ್ರಾಸ್ಟಿ ಮಾದರಿಗಳು
- ಸ್ಟ್ಯಾಲಕ್ಟೈಟ್ಸ್, ಸ್ಟಾಲಗ್ಮಿಟ್ಸ್, ಹೆಲಿಕ್ಟೈಟ್ಸ್.

ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ

ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ದ್ರವ ಹರಿವು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಸರಣ-ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು, ಜ್ವಾಲೆಗಳು, ಮೋಡಗಳು ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವುಗಳಂತಹ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವಾಗ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು ಸರಂಧ್ರ ವಸ್ತುಗಳ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪೆಟ್ರೋಕೆಮಿಕಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ. ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಮಾದರಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಅಂಗ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ರಕ್ತನಾಳದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ). ಕೋಚ್ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಿದ ನಂತರ, ಕರಾವಳಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಅದನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಯಿತು.

ರೇಡಿಯೋ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಂಟೆನಾಗಳು

ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ಸುಮಾರು ಒಂದು ಶತಮಾನದಿಂದ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ, ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ವಿದ್ಯಮಾನವು ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ: ಸೌಂದರ್ಯ ಮತ್ತು ವೈವಿಧ್ಯತೆಯ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಳ ವಿನ್ಯಾಸಗಳಿಂದ ಕೇವಲ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆಯಬಹುದು - ನಕಲು ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್

ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, "ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್" ಪದವು ಗಣಿತದ ಪದವಲ್ಲ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಗೆ ನೀಡಲಾದ ಹೆಸರು:

ಯಾವುದೇ ವರ್ಧನೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ;
(ಅಂದಾಜು) ಸ್ವಯಂ-ಸದೃಶವಾಗಿದೆ;
ಭಾಗಶಃ Hausdorff (ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್) ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ;
ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು.

19 ನೇ ಮತ್ತು 20 ನೇ ಶತಮಾನದ ತಿರುವಿನಲ್ಲಿ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಎಪಿಸೋಡಿಕ್ ಆಗಿತ್ತು, ಏಕೆಂದರೆ ಹಿಂದೆ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದಾದ "ಉತ್ತಮ" ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. 1872 ರಲ್ಲಿ, ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಕಾರ್ಲ್ ವೀರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು, ಅದು ಎಲ್ಲಿಯೂ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದರ ನಿರ್ಮಾಣವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಮೂರ್ತವಾಗಿತ್ತು ಮತ್ತು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿತ್ತು. ಆದ್ದರಿಂದ, 1904 ರಲ್ಲಿ, ಸ್ವೀಡನ್ ಹೆಲ್ಜ್ ವಾನ್ ಕೋಚ್ ನಿರಂತರ ವಕ್ರರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಂದಿತು, ಅದು ಎಲ್ಲಿಯೂ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸೆಳೆಯಲು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಇದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಬದಲಾಯಿತು. ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವನ್ನು "ಕೋಚ್ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸ್ವಯಂ-ಸಾಮ್ಯತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್‌ನ ಭವಿಷ್ಯದ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಕ ಫ್ರೆಂಚ್ ಪಾಲ್ ಪಿಯರೆ ಲೆವಿ ಎತ್ತಿಕೊಂಡರು. 1938 ರಲ್ಲಿ, ಅವರ ಲೇಖನ "ಪ್ಲೇನ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು" ಅನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು, ಇದು ಮತ್ತೊಂದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ - ಲೆವಿ ಸಿ-ಕರ್ವ್. ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಒಂದು ವರ್ಗದ ರಚನಾತ್ಮಕ (ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ) ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು.

ಮತ್ತೊಂದು ವರ್ಗವು ಡೈನಾಮಿಕ್ (ಬೀಜಗಣಿತ) ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ ಸೇರಿದೆ. ಈ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ಸಂಶೋಧನೆಯು 20 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಗ್ಯಾಸ್ಟನ್ ಜೂಲಿಯಾ ಮತ್ತು ಪಿಯರೆ ಫ್ಯಾಟೌ ಅವರ ಹೆಸರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. 1918 ರಲ್ಲಿ, ಜೂಲಿಯಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಕುರಿತು ಸುಮಾರು ಇನ್ನೂರು-ಪುಟಗಳ ಕೃತಿಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಇದು ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದೆ - ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೊಟ್ ಸೆಟ್‌ಗೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕುಟುಂಬ. ಈ ಕೃತಿಗೆ ಫ್ರೆಂಚ್ ಅಕಾಡೆಮಿಯಿಂದ ಬಹುಮಾನ ನೀಡಲಾಯಿತು, ಆದರೆ ಇದು ಒಂದೇ ಒಂದು ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ತೆರೆದ ವಸ್ತುಗಳ ಸೌಂದರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಶಂಸಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿತ್ತು. ಈ ಕೆಲಸವು ಆ ಕಾಲದ ಗಣಿತಜ್ಞರಲ್ಲಿ ಜೂಲಿಯಾಳನ್ನು ಪ್ರಸಿದ್ಧಗೊಳಿಸಿತು ಎಂಬ ವಾಸ್ತವದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅದನ್ನು ಶೀಘ್ರವಾಗಿ ಮರೆತುಬಿಡಲಾಯಿತು.

ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳ ಆಗಮನದೊಂದಿಗೆ ಅರ್ಧ ಶತಮಾನದ ನಂತರ ಜೂಲಿಯಾ ಮತ್ತು ಫ್ಯಾಟೌ ಅವರ ಕೆಲಸದತ್ತ ಮತ್ತೆ ಗಮನ ಹರಿಸಲಾಯಿತು: ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಪ್ರಪಂಚದ ಶ್ರೀಮಂತಿಕೆ ಮತ್ತು ಸೌಂದರ್ಯವನ್ನು ಅವರು ಗೋಚರಿಸುವಂತೆ ಮಾಡಿದರು. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್‌ನ ಚಿತ್ರಗಳೆಂದು ನಾವು ಈಗ ತಿಳಿದಿರುವ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಫ್ಯಾಟೌ ನೋಡಲು ಎಂದಿಗೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಯಿಂದ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿದ ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿ ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್.

1982 ರಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕ "ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಆಫ್ ನೇಚರ್" ಅನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು, ಇದರಲ್ಲಿ ಲೇಖಕರು ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು. ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ತನ್ನ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಲ್ಲಿ ಭಾರವಾದ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಮುಖ್ಯ ಒತ್ತು ನೀಡಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಓದುಗರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಮೇಲೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಮತ್ತು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಕಥೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆದ ವಿವರಣೆಗಳಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಲೇಖಕರು ಮೊನೊಗ್ರಾಫ್‌ನ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಘಟಕವನ್ನು ಕೌಶಲ್ಯದಿಂದ ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸಿದರು, ಪುಸ್ತಕವು ಹೆಚ್ಚು ಮಾರಾಟವಾದವು ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ಸಾರ್ವಜನಿಕರಿಗೆ ತಿಳಿದಿವೆ. ಗಣಿತಜ್ಞರಲ್ಲದವರಲ್ಲಿ ಅವರ ಯಶಸ್ಸಿಗೆ ಬಹುಮಟ್ಟಿಗೆ ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯೂ ಸಹ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ನಿರ್ಮಾಣಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಅದ್ಭುತ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ಸೌಂದರ್ಯದ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಸನಲ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಶಕ್ತಿಯುತವಾದಾಗ, ಕಲೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶನವೂ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು - ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಪೇಂಟಿಂಗ್, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಮಾಲೀಕರು ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಈಗ ಅಂತರ್ಜಾಲದಲ್ಲಿ ನೀವು ಈ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುವ ಅನೇಕ ಸೈಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ಮರ, ಕಡಲತೀರ, ಮೋಡ ಅಥವಾ ನಮ್ಮ ಕೈಯಲ್ಲಿರುವ ರಕ್ತನಾಳಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏನು ಹೊಂದಿವೆ? ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏನೂ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ರಚನೆಯ ಒಂದು ಆಸ್ತಿ ಇದೆ: ಅವು ಸ್ವಯಂ-ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಕೊಂಬೆಯಿಂದ, ಮರದ ಕಾಂಡದಿಂದ, ಚಿಕ್ಕ ಚಿಗುರುಗಳು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳಿಂದ ಚಿಕ್ಕವುಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಶಾಖೆ ಇಡೀ ಮರವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ರಕ್ತಪರಿಚಲನಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ: ಅಪಧಮನಿಗಳು ಅಪಧಮನಿಗಳಿಂದ ನಿರ್ಗಮಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಂದ ಆಮ್ಲಜನಕವು ಅಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಗಾಂಶಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವ ಚಿಕ್ಕ ಕ್ಯಾಪಿಲ್ಲರಿಗಳು. ಸಮುದ್ರ ತೀರದ ಉಪಗ್ರಹ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ: ನಾವು ಕೊಲ್ಲಿಗಳು ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ ದ್ವೀಪಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ; ಅದನ್ನು ನೋಡೋಣ, ಆದರೆ ಪಕ್ಷಿನೋಟದಿಂದ: ನಾವು ಕೊಲ್ಲಿಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಪ್ಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ; ಈಗ ನಾವು ಸಮುದ್ರತೀರದಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಪಾದಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ: ಉಳಿದವುಗಳಿಗಿಂತ ನೀರಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಚಾಚಿಕೊಂಡಿರುವ ಬೆಣಚುಕಲ್ಲುಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆ, ಕರಾವಳಿಯು, ಜೂಮ್ ಇನ್ ಮಾಡಿದಾಗ, ಅದರಂತೆಯೇ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಅಮೇರಿಕನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ (ಅವರು ಫ್ರಾನ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಬೆಳೆದರೂ) ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವಸ್ತುಗಳ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲಿಟಿ ಎಂದು ಕರೆದರು ಮತ್ತು ಅಂತಹ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸ್ವತಃ - ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು (ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಸ್‌ನಿಂದ - ಮುರಿದುಹೋಗಿವೆ).

ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, "ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್" ಪದವು ಗಣಿತದ ಪದವಲ್ಲ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಒಂದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ: ಇದು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚಳದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೇರ ರೇಖೆಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಅದರ ಯಾವುದೇ ಭಾಗವು ಸರಳವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ - ಒಂದು ವಿಭಾಗ ) (ಸರಿಸುಮಾರು) ಸ್ವಯಂ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಇದು ಭಾಗಶಃ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ (ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್) ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು.

ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತ

19 ನೇ ಮತ್ತು 20 ನೇ ಶತಮಾನದ ತಿರುವಿನಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಎಪಿಸೋಡಿಕ್ ಆಗಿತ್ತು, ಏಕೆಂದರೆ ಹಿಂದೆ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದಾದ "ಉತ್ತಮ" ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. 1872 ರಲ್ಲಿ, ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಕಾರ್ಲ್ ವೀರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು, ಅದು ಎಲ್ಲಿಯೂ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದರ ನಿರ್ಮಾಣವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಮೂರ್ತವಾಗಿತ್ತು ಮತ್ತು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿತ್ತು. ಆದ್ದರಿಂದ, 1904 ರಲ್ಲಿ, ಸ್ವೀಡನ್ ಹೆಲ್ಜ್ ವಾನ್ ಕೋಚ್ ನಿರಂತರ ವಕ್ರರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಂದಿತು, ಅದು ಎಲ್ಲಿಯೂ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸೆಳೆಯಲು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಇದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಬದಲಾಯಿತು. ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವನ್ನು "ಕೋಚ್ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸ್ವಯಂ-ಸಾಮ್ಯತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್‌ನ ಭವಿಷ್ಯದ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಕ ಫ್ರೆಂಚ್ ಪಾಲ್ ಪಿಯರೆ ಲೆವಿ ಎತ್ತಿಕೊಂಡರು. 1938 ರಲ್ಲಿ, ಅವರ ಲೇಖನ "ಪ್ಲೇನ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು" ಅನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು, ಇದು ಮತ್ತೊಂದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಿದೆ - ಲೆವಿ ಸಿ-ಕರ್ವ್. ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಒಂದು ವರ್ಗದ ರಚನಾತ್ಮಕ (ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ) ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು.

ಮತ್ತೊಂದು ವರ್ಗವು ಡೈನಾಮಿಕ್ (ಬೀಜಗಣಿತ) ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ ಸೇರಿದೆ. ಈ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಂಶೋಧನೆಯು 20 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು ಮತ್ತು ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಗ್ಯಾಸ್ಟನ್ ಜೂಲಿಯಾ ಮತ್ತು ಪಿಯರೆ ಫ್ಯಾಟೌ ಅವರ ಹೆಸರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. 1918 ರಲ್ಲಿ, ಜೂಲಿಯಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಕುರಿತು ಸುಮಾರು ಇನ್ನೂರು-ಪುಟಗಳ ಆತ್ಮಚರಿತ್ರೆಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಇದು ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್‌ಗೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕುಟುಂಬ. ಈ ಕೃತಿಗೆ ಫ್ರೆಂಚ್ ಅಕಾಡೆಮಿಯಿಂದ ಬಹುಮಾನ ನೀಡಲಾಯಿತು, ಆದರೆ ಇದು ಒಂದೇ ಒಂದು ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ತೆರೆದ ವಸ್ತುಗಳ ಸೌಂದರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಶಂಸಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿತ್ತು. ಈ ಕೆಲಸವು ಆ ಕಾಲದ ಗಣಿತಜ್ಞರಲ್ಲಿ ಜೂಲಿಯಾಳನ್ನು ಪ್ರಸಿದ್ಧಗೊಳಿಸಿತು ಎಂಬ ವಾಸ್ತವದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅದನ್ನು ಶೀಘ್ರವಾಗಿ ಮರೆತುಬಿಡಲಾಯಿತು. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳ ಆಗಮನದೊಂದಿಗೆ ಅರ್ಧ ಶತಮಾನದ ನಂತರ ಗಮನ ಮತ್ತೆ ಅದರತ್ತ ತಿರುಗಿತು: ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಪ್ರಪಂಚದ ಶ್ರೀಮಂತಿಕೆ ಮತ್ತು ಸೌಂದರ್ಯವನ್ನು ಅವರು ಗೋಚರಿಸುವಂತೆ ಮಾಡಿದರು.

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮಗಳು

ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯ ಆಯಾಮ (ಆಯಾಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ಈ ಆಕೃತಿಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಿಂದ, ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸಮತಲವಲ್ಲ) ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮೂರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಆಯಾಮವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು: ರೇಖೀಯ ಆಯಾಮಗಳ ಹೆಚ್ಚಳ, ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಂದ, ಒಂದು ಆಯಾಮದ (ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ) ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ (ವಿಭಾಗ) ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ (ಉದ್ದ) ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಹೆಚ್ಚಳ, ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ (ಒಂದು ಚದರ) ರೇಖೀಯ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಅದೇ ಹೆಚ್ಚಳವು ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ (ಪ್ರದೇಶ) 4 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಮೂರು ಆಯಾಮದ (ಘನ) - ಮೂಲಕ 8 ಬಾರಿ. ಅಂದರೆ, "ನೈಜ" (ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) ಆಯಾಮವನ್ನು ಅದರ ರೇಖೀಯ ಗಾತ್ರದ ಹೆಚ್ಚಳದ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗೆ ವಸ್ತುವಿನ "ಗಾತ್ರ" ದಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳದ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಅನುಪಾತ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಒಂದು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ D=log (2)/log (2)=1, ಸಮತಲ D=log (4)/log (2)=2, ಒಂದು ಪರಿಮಾಣ D=log (8)/log (2) ಗಾಗಿ )=3.
ನಾವು ಈಗ ಕೋಚ್ ಕರ್ವ್‌ನ ಆಯಾಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ, ಇದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಒಂದು ಘಟಕ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಮೂರು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಈ ವಿಭಾಗವಿಲ್ಲದೆ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ವಿಭಾಗದ ರೇಖೀಯ ಆಯಾಮಗಳು ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, ಕೋಚ್ ಕರ್ವ್‌ನ ಉದ್ದವು ಲಾಗ್ (4)/ಲಾಗ್ (3) ~ 1.26 ರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಕೋಚ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆಯಾಮವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿದೆ!

ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕಲೆ

ಕೋಚ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಯೋಜನೆ

ಯುದ್ಧ ಮತ್ತು ಶಾಂತಿ

ಮೇಲೆ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕರಾವಳಿಯಾಗಿದೆ. ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಕಥೆಯು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಪ್ರಯತ್ನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ನ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಲೇಖನದ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವರ ಪುಸ್ತಕ "ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಆಫ್ ನೇಚರ್" ನಲ್ಲಿಯೂ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ಮತ್ತು ವಿಲಕ್ಷಣ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮತ್ತು ಹವಾಮಾನಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಲೆವಿಸ್ ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್ ನಡೆಸಿದ ಪ್ರಯೋಗದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಎರಡು ದೇಶಗಳ ನಡುವಿನ ಸಶಸ್ತ್ರ ಸಂಘರ್ಷದ ಕಾರಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಗಣಿತದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಯತ್ನ ಅವರ ಸಂಶೋಧನೆಯ ನಿರ್ದೇಶನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಅವರು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ನಿಯತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕಾದಾಡುತ್ತಿರುವ ದೇಶಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಡಿಯ ಉದ್ದವಿದೆ. ಅವರು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳಿಗಾಗಿ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದಾಗ, ಸ್ಪೇನ್ ಮತ್ತು ಪೋರ್ಚುಗಲ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಡಿಯಲ್ಲಿನ ಡೇಟಾವು ವಿಭಿನ್ನ ಮೂಲಗಳಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಇದು ಅವನನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು: ದೇಶದ ಗಡಿಗಳ ಉದ್ದವು ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಆಡಳಿತಗಾರನ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದ, ಗಡಿ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ವರ್ಧನೆಯೊಂದಿಗೆ ಕರಾವಳಿಯ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಹೊಸ ಬಾಗುವಿಕೆಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಅಳತೆಗಳ ಒರಟುತನದಿಂದಾಗಿ ಈ ಹಿಂದೆ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಹಿಂದೆ ಲೆಕ್ಕಿಸದ ರೇಖೆಗಳ ಬಾಗುವಿಕೆಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿದರೆ, ಗಡಿಗಳ ಉದ್ದವು ಅನಂತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ! ನಿಜ, ಇದು ನಿಜವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ - ನಮ್ಮ ಅಳತೆಗಳ ನಿಖರತೆಯು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್ ಪರಿಣಾಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರಚನಾತ್ಮಕ (ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ) ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ರಚನಾತ್ಮಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಮಗೆ ಎರಡು ಸೂಕ್ತವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ತುಣುಕು ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಭವಿಷ್ಯದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ನ ಆಧಾರವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಅದರ ಕೆಲವು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ತುಣುಕಿನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಇದು ನಿರ್ಮಾಣದ ಮೊದಲ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ಮತ್ತೆ ಕೆಲವು ಭಾಗಗಳನ್ನು ತುಣುಕಿನಂತೆಯೇ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ನಾವು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಸಿದರೆ, ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಕೋಚ್ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ (ಹಿಂದಿನ ಪುಟದಲ್ಲಿ ಸೈಡ್‌ಬಾರ್ ನೋಡಿ). ಕೋಚ್ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಯಾವುದೇ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ("ಕೋಚ್ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್" ಇದು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ). ಆದರೆ ನಾವು ನಮ್ಮನ್ನು ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ - ಒಂದು ವಿಭಾಗ. ತುಣುಕು ಮುರಿದ ರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಮೊದಲ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ನಂತರ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ವಿಭಾಗವು ತುಣುಕಿನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟಕ ಭಾಗವು ಸ್ವತಃ ತುಣುಕಿನಂತೆಯೇ ಮುರಿದ ರೇಖೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅಂಕಿ ಇದರ ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಹಂತಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ.

ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ: ಡೈನಾಮಿಕ್ (ಬೀಜಗಣಿತ) ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು

ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಡೈನಾಮಿಕ್ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಸರು). ಇಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವರ್ತನೆಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯ (ಬಹುಪದೀಯ) f (z) ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಆರಂಭಿಕ ಪಾಯಿಂಟ್ z0 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ (ಸೈಡ್‌ಬಾರ್ ನೋಡಿ). ಈಗ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಹಿಂದಿನ ಒಂದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn ) ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದು z0 ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ವರ್ತಿಸಬಹುದು: n -> ∞ ಎಂದು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು; ಕೆಲವು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು; ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ; ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಸಹ ಸಾಧ್ಯ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ - ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ, ಅಂದರೆ, ಔಪಚಾರಿಕ ಮೊತ್ತ x + iy (ಇಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು). ನಾನು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವವನು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ, ಅಂದರೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸಂಖ್ಯೆ i^ 2 = -1. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಮೂಲಭೂತ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: ಸಂಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ಭಾಗಾಕಾರ, ವ್ಯವಕಲನ (ಹೋಲಿಕೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ). ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಸಮತಲದಲ್ಲಿ (ಇದನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವನ್ನು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು x ಮತ್ತು y ಜೊತೆಗಿನ ಒಂದು ಬಿಂದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಯಾವುದೇ ಪಾಯಿಂಟ್ z ಕಾರ್ಯದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ತನ್ನದೇ ಆದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ f (z), ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮತಲವನ್ನು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಭಾಗಗಳ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಸ್ಥಳಾಂತರದೊಂದಿಗೆ, ಅವರ ನಡವಳಿಕೆಯ ಸ್ವರೂಪವು ತೀವ್ರವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂತಹ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕವಲೊಡೆಯುವ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಎಫ್ (z) ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಇವು ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್‌ಗಳಾಗಿವೆ.

ಡ್ರ್ಯಾಗನ್ ಕುಟುಂಬ

ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ತುಣುಕನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಅದ್ಭುತವಾದ ವಿವಿಧ ರಚನಾತ್ಮಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.
ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ವಾಲ್ಯೂಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ "ಮೆಂಗರ್ ಸ್ಪಾಂಜ್", "ಸಿಯರ್‌ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ಪಿರಮಿಡ್" ಮತ್ತು ಇತರವು ಸೇರಿವೆ.
ಡ್ರ್ಯಾಗನ್ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ರಚನಾತ್ಮಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅವರು ತಮ್ಮ ಅನ್ವೇಷಕರ ಹೆಸರಿನಿಂದ "ಹೆವಿ-ಹಾರ್ಟರ್ ಡ್ರ್ಯಾಗನ್ಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ (ಅವುಗಳ ಆಕಾರದಲ್ಲಿ ಅವರು ಚೀನೀ ಡ್ರ್ಯಾಗನ್ಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತಾರೆ). ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾದದ್ದು: ನೀವು ಸಾಕಷ್ಟು ಉದ್ದವಾದ ಕಾಗದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು (ತೆಳುವಾದ ಕಾಗದ, ಉತ್ತಮ), ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಬಾಗಿ. ನಂತರ ಅದನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಬಗ್ಗಿಸಿ. ಹಲವಾರು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ನಂತರ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಐದು ಅಥವಾ ಆರು ಮಡಿಕೆಗಳ ನಂತರ ಸ್ಟ್ರಿಪ್ ತುಂಬಾ ದಪ್ಪವಾಗುತ್ತದೆ, ನಿಧಾನವಾಗಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಬಾಗುತ್ತದೆ), ನೀವು ಸ್ಟ್ರಿಪ್ ಅನ್ನು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಬಗ್ಗಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಮಡಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ 90˚ ಕೋನಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ನಂತರ ಪ್ರೊಫೈಲ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀವು ಡ್ರ್ಯಾಗನ್‌ನ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವ ನಮ್ಮ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಯತ್ನಗಳಂತೆ ಇದು ಅಂದಾಜು ಮಾತ್ರ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹಲವು ಹಂತಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ಬಹಳ ಸುಂದರವಾದ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ.

ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. fc (z) = z 2 +c ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇಲ್ಲಿ c ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು z0=0 ನೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಮಿಸೋಣ; ಸಿ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಅದು ಅನಂತಕ್ಕೆ ತಿರುಗಬಹುದು ಅಥವಾ ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಸಿ ಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಸ್ವತಃ ಮತ್ತು ಇತರ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಇದನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಅವರು ಈ ಗುಂಪಿನ ಅನೇಕ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು.

ಜೂಲಿಯಾ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಹೋಲುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳು ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ c ಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್ fc (z) ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ (ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದನ್ನು ಎರಡು ಅಸಂಬದ್ಧ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ).

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಜೀವನ

ಇತ್ತೀಚಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಮಾನವ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಶೋಧನೆಗಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ವಸ್ತು ಮತ್ತು ಈಗಾಗಲೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಪೇಂಟಿಂಗ್ ಜೊತೆಗೆ, ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಲು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಸ್ವಯಂ-ಸಾಮ್ಯತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಚಿತ್ರದ ಸಣ್ಣ ತುಣುಕನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು. ಮತ್ತು ನೀವು ಉಳಿದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ರೂಪಾಂತರಗಳು, ಸಂಪೂರ್ಣ ಫೈಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೆಮೊರಿ ಅಗತ್ಯವಿದೆ). ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಡಚಣೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಕೆಲವು ನೈಜ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಬಹಳ ತೋರಿಕೆಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತಿಳಿಸುವ ಸ್ಟೊಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು - ಪರಿಹಾರ ಅಂಶಗಳು, ಜಲಾಶಯಗಳ ಮೇಲ್ಮೈ, ಕೆಲವು ಸಸ್ಯಗಳು, ಇದನ್ನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಭೌಗೋಳಿಕ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಜ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಿಮ್ಯುಲೇಟೆಡ್ ವಸ್ತುಗಳ ಹೋಲಿಕೆ. ರೇಡಿಯೋ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ಕಳೆದ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಂಟೆನಾಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು. ಕಡಿಮೆ ಜಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಅವರು ಉತ್ತಮ ಗುಣಮಟ್ಟದ ಸಿಗ್ನಲ್ ಸ್ವಾಗತವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕರೆನ್ಸಿ ಏರಿಳಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ (ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ 30 ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಕಂಡುಹಿಡಿದರು). ಇದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಅದ್ಭುತವಾದ ಸುಂದರವಾದ ಮತ್ತು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಈ ಸಣ್ಣ ವಿಹಾರವನ್ನು ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

70 ರ ದಶಕದ ಅಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು 80 ರ ದಶಕದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮರ್ಗಳಲ್ಲಿ ದೃಢವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿತವಾಗಿವೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಎಂಬ ಪದವು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಸ್‌ನಿಂದ ಬಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇದರರ್ಥ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. 1975 ರಲ್ಲಿ ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಅವರು ಅನಿಯಮಿತ ಆದರೆ ಸ್ವಯಂ-ಸದೃಶವಾದ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಜನನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 1977 ರಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕ "ದಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಆಫ್ ನೇಚರ್" ಪ್ರಕಟಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಅವರ ಕೃತಿಗಳು 1875-1925 ರ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಅದೇ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿವೆ (ಪೊಯಿನ್‌ಕೇರ್, ಫ್ಯಾಟೌ, ಜೂಲಿಯಾ, ಕ್ಯಾಂಟರ್, ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆದರೆ ನಮ್ಮ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅವರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಒಂದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು.
ಇಂದು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಪಾತ್ರವು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಅವರು ಪಾರುಗಾಣಿಕಾಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತಾರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಾಗ, ಹಲವಾರು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಬಹಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಆಕಾರಗಳ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಕೃತಕ ಮೋಡಗಳು, ಪರ್ವತಗಳು ಮತ್ತು ಸಮುದ್ರ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವಾಗ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಚಿತ್ರಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾದವುಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ವಯಂ ಹೋಲಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ನ ಸಣ್ಣ ಭಾಗವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್‌ನ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಹೀಗಿದೆ: "ಒಂದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಎನ್ನುವುದು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಹೋಲುವ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ."

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್ (ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ತ್ರಿಕೋನ, ಕೋಚ್ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್, ಪೀನೋ ಕರ್ವ್, ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಅಟ್ರಾಕ್ಟರ್ಸ್) ಎಂಬ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳು ಇವೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದ ಅನೇಕ ಭೌತಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಮತ್ತು ರಚನೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ: ಪರ್ವತಗಳು, ಮೋಡಗಳು, ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ (ಸುಳಿಯ) ಹರಿವುಗಳು, ಬೇರುಗಳು, ಕೊಂಬೆಗಳು ಮತ್ತು ಮರಗಳ ಎಲೆಗಳು, ರಕ್ತನಾಳಗಳು, ಇದು ಸರಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿಲ್ಲ. ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ, ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಮೂಲ ಕೃತಿ "ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಆಫ್ ನೇಚರ್" ನಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಪ್ರಪಂಚದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಸ್ವರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಿದರು.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಅವರು 1977 ರಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಮೂಲಭೂತ ಕೃತಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್, ಫಾರ್ಮ್, ಚೋಸ್ ಮತ್ತು ಡೈಮೆನ್ಶನ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೊಟ್ ಪ್ರಕಾರ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಎಂಬ ಪದವು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಪದಗಳಾದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಸ್ - ಫ್ರಾಕ್ಷನಲ್ ಮತ್ತು ಫ್ರಾಂಜೆರ್ - ಟು ಬ್ರೇಕ್ ನಿಂದ ಬಂದಿದೆ, ಇದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ನ ಸಾರವನ್ನು "ಮುರಿದ", ಅನಿಯಮಿತ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ.

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ.

ಸಂಪೂರ್ಣ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು, ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ವರ್ಗಗಳಿವೆ.

1. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು.

ಈ ವರ್ಗದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ಹೆಚ್ಚು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿವೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಜನರೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮುರಿದ ರೇಖೆಯನ್ನು (ಅಥವಾ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈ) ಬಳಸಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಪಾಲಿಲೈನ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಜನರೇಟರ್ ಪಾಲಿಲೈನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಸ್ತುಗಳ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ - ಟ್ರಯಾಡಿಕ್ ಕೋಚ್ ಕರ್ವ್.

ತ್ರಿಕೋನ ಕೋಚ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ಮಾಣ.

ಉದ್ದ 1 ರ ನೇರ ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅದನ್ನು ಕರೆಯೋಣ ಬೀಜ. ಬೀಜವನ್ನು 1/3 ಉದ್ದದ ಮೂರು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ, ಮಧ್ಯದ ಭಾಗವನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು 1/3 ಉದ್ದದ ಎರಡು ಲಿಂಕ್‌ಗಳ ಮುರಿದ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ.

ಒಟ್ಟು 4/3 ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ 4 ಲಿಂಕ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮುರಿದ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೊದಲ ತಲೆಮಾರಿನ.

ಕೋಚ್ ಕರ್ವ್ನ ಮುಂದಿನ ಪೀಳಿಗೆಗೆ ತೆರಳಲು, ಪ್ರತಿ ಲಿಂಕ್ನ ಮಧ್ಯದ ಭಾಗವನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಬದಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಅಂತೆಯೇ, ಎರಡನೇ ಪೀಳಿಗೆಯ ಉದ್ದವು 16/9 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಮೂರನೆಯದು - 64/27. ನಾವು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಸಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಟ್ರಯಾಡಿಕ್ ಕೋಚ್ ಕರ್ವ್ ಆಗಿದೆ.

ಟ್ರೈಯಾಡಿಕ್ ಕೋಚ್ ಕರ್ವ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು "ರಾಕ್ಷಸರ" ಎಂದು ಏಕೆ ಕರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಉದ್ದವಿಲ್ಲ - ನಾವು ನೋಡಿದಂತೆ, ತಲೆಮಾರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಉದ್ದವು ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ - ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುಗಳು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಒಂದು ಒಳಹರಿವಿನ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ - ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಮೃದುವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಮೃದುತ್ವವು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಲೋಬಾಚೆವ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ರೀಮನ್‌ರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವಿಧಾನಗಳು ಟ್ರಯಾಡಿಕ್ ಕೋಚ್ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೋಚ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ದೈತ್ಯಾಕಾರದಂತೆ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು - ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳ ನಯವಾದ ನಿವಾಸಿಗಳಲ್ಲಿ "ದೈತ್ಯಾಕಾರದ".

ಹಾರ್ಟರ್-ಹೈಥ್ವೇ "ಡ್ರ್ಯಾಗನ್" ನಿರ್ಮಾಣ.

ಮತ್ತೊಂದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಸ್ತುವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ನಿರ್ಮಾಣ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ರಚನೆಯ ಅಂಶವು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿರುವ ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿರಲಿ. ಶೂನ್ಯ ಪೀಳಿಗೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಘಟಕ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಈ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಇದರಿಂದ ಕೋನವು ಮೇಲಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಬದಲಿಯೊಂದಿಗೆ ಲಿಂಕ್ನ ಮಧ್ಯದ ಸ್ಥಳಾಂತರವಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ನಂತರದ ತಲೆಮಾರುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ, ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೊಟ್ಟಮೊದಲ ಲಿಂಕ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಅಂಶದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಇದರಿಂದ ಲಿಂಕ್‌ನ ಮಧ್ಯವನ್ನು ಚಲನೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ಎಡಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಲಿಂಕ್‌ಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ, ದಿಕ್ಕುಗಳು ವಿಭಾಗಗಳ ಮಧ್ಯದ ಸ್ಥಳಾಂತರವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರಬೇಕು. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ತತ್ತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ತಲೆಮಾರುಗಳು ಮತ್ತು 11 ನೇ ಪೀಳಿಗೆಯನ್ನು ಅಂಕಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುವ n ನೊಂದಿಗೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಹಾರ್ಟರ್-ಹೈಥ್‌ವೇ ಡ್ರ್ಯಾಗನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ಮರಗಳು ಮತ್ತು ಪೊದೆಗಳ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವಾಗ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಬಳಕೆ ಅಗತ್ಯ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಟೆಕಶ್ಚರ್ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಗಳು).

2.ಬೀಜಗಣಿತ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್

ಇದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಗುಂಪು. ಎನ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಸ್ಪೇಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಾಗ, ಒಬ್ಬರು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು: ಹಂತದ ಭಾವಚಿತ್ರ, ಸ್ಥಿರ-ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಆಕರ್ಷಕ, ಇತ್ಯಾದಿ.
ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಡೈನಾಮಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಹಲವಾರು ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ನಂತರ ಡೈನಾಮಿಕ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸ್ವತಃ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಸ್ಥಿತಿಯು ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಯು (ಅಥವಾ, ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ, ಆಕರ್ಷಕ) ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದರಿಂದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪರಿಗಣನೆಯಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹಂತದ ಜಾಗವನ್ನು ಆಕರ್ಷಿಸುವವರ ಆಕರ್ಷಣೆಯ ಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಂತದ ಸ್ಥಳವು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿವಿಧ ಬಣ್ಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಕರ್ಷಣೆಯ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಣ್ಣದ ಹಂತದ ಭಾವಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು (ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ). ಬಣ್ಣ ಆಯ್ಕೆಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ವಿಲಕ್ಷಣ ಬಹುವರ್ಣದ ಮಾದರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವೆಂದರೆ ಪ್ರಾಚೀನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ರಚನೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ.

ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್.

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದರ ನಿರ್ಮಾಣದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ: Z = Z[i] * Z[i] + C, ಎಲ್ಲಿ ಝಿಮತ್ತು ಸಿ- ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಸ್ಥಿರ. ಆಯತಾಕಾರದ ಅಥವಾ ಚದರ ಪ್ರದೇಶದಿಂದ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾರಂಭದ ಹಂತಕ್ಕೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಉಪವಿಭಾಗ. ತನಕ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ Z[i]ತ್ರಿಜ್ಯ 2 ರ ವೃತ್ತವನ್ನು ಮೀರಿ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅದರ ಕೇಂದ್ರವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ (0,0), (ಇದರರ್ಥ ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಆಕರ್ಷಕವು ಅನಂತದಲ್ಲಿದೆ), ಅಥವಾ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ನಂತರ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ , 200-500) Z[i]ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ Z[i]ವೃತ್ತದ ಒಳಗೆ ಉಳಿದಿದೆ, ನೀವು ಬಿಂದುವಿನ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಬಹುದು ಸಿ(ಒಂದು ವೇಳೆ Z[i]ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಗಾಗಿ ವೃತ್ತದ ಒಳಗೆ ಉಳಿದಿದೆ, ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ರಾಸ್ಟರ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಪ್ಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ).

3. ಸ್ಟೊಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ವರ್ಗವೆಂದರೆ ಸ್ಟೊಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಕೆಲವು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ವಸ್ತುಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾದವುಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ - ಅಸಮಪಾರ್ಶ್ವದ ಮರಗಳು, ಒರಟಾದ ಕರಾವಳಿಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ. ಭೂಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಸಮುದ್ರ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮಾಡಲು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸ್ಟೊಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಇತರ ವರ್ಗೀಕರಣಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕ (ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ) ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕವಲ್ಲದ (ಸ್ಟೊಕಾಸ್ಟಿಕ್) ಆಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು.

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಬಳಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ಅದ್ಭುತವಾದ ಗಣಿತದ ಕಲೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಸರಳವಾದ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಸೌಂದರ್ಯ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ! ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಚಿತ್ರಗಳ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಲೆಗಳು, ಮರಗಳು ಮತ್ತು ಹೂವುಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತವೆ.

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಕೆಲವು ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿವೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ಚಿತ್ರಗಳ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಕಂಪ್ರೆಷನ್, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಭೂದೃಶ್ಯಗಳು, ಮರಗಳು, ಸಸ್ಯಗಳ ನಿರ್ಮಾಣ ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಟೆಕಶ್ಚರ್ಗಳ ಉತ್ಪಾದನೆ. ಆಧುನಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರವು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಸ್ತುಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದೆ. ಮತ್ತು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಗಣಿತದಲ್ಲಿಯೇ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಇಮೇಜ್ ಕಂಪ್ರೆಷನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳ ಪ್ರಯೋಜನಗಳೆಂದರೆ ಪ್ಯಾಕ್ ಮಾಡಲಾದ ಫೈಲ್‌ನ ಚಿಕ್ಕ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಇಮೇಜ್ ಮರುಪಡೆಯುವಿಕೆ ಸಮಯ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಪ್ಯಾಕ್ ಮಾಡಲಾದ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಪಿಕ್ಸಲೇಷನ್ ಉಂಟಾಗದಂತೆ ಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು. ಆದರೆ ಸಂಕೋಚನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಬಹಳ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗಂಟೆಗಳವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಲಾಸಿ ಪ್ಯಾಕೇಜಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನಿಮಗೆ jpeg ಸ್ವರೂಪದಂತೆಯೇ ಸಂಕೋಚನ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಕೆಲವು ಸಣ್ಣ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಹೋಲುವ ಚಿತ್ರದ ದೊಡ್ಡ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವುದನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಮತ್ತು ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಫೈಲ್‌ಗೆ ಯಾವ ತುಣುಕು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುವಾಗ, ಚದರ ಗ್ರಿಡ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ತುಣುಕುಗಳು ಚೌಕಗಳಾಗಿವೆ), ಇದು ಚಿತ್ರವನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವಾಗ ಸ್ವಲ್ಪ ಕೋನೀಯತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ; ಷಡ್ಭುಜೀಯ ಗ್ರಿಡ್ ಈ ನ್ಯೂನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
ಇಟರೇಟೆಡ್ ಹೊಸ ಇಮೇಜ್ ಫಾರ್ಮ್ಯಾಟ್ ಅನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದೆ, "ಸ್ಟಿಂಗ್", ಇದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮತ್ತು "ವೇವ್" (ಉದಾಹರಣೆಗೆ jpeg) ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದ ಸಂಕೋಚನವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಹೊಸ ಸ್ವರೂಪವು ನಂತರದ ಉತ್ತಮ-ಗುಣಮಟ್ಟದ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ನ ಸಾಧ್ಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಫೈಲ್ಗಳ ಪರಿಮಾಣವು ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸದ ಚಿತ್ರಗಳ ಪರಿಮಾಣದ 15-20% ಆಗಿದೆ.
ಪರ್ವತಗಳು, ಹೂವುಗಳು ಮತ್ತು ಮರಗಳನ್ನು ಹೋಲುವ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಕೆಲವು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಸಂಪಾದಕರು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3D ಸ್ಟುಡಿಯೋ MAX ನಿಂದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮೋಡಗಳು, ವರ್ಲ್ಡ್ ಬಿಲ್ಡರ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಪರ್ವತಗಳು. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮರಗಳು, ಪರ್ವತಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಭೂದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ಸರಳ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಪಿಸಿದಾಗ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಘನಗಳಾಗಿ ಒಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ.
ಗಣಿತದಲ್ಲಿಯೇ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್ ಪರಿಪೂರ್ಣವಾದ ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ; ಅಳತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧಿತ ಕಾರ್ಯ "ಕ್ಯಾಂಟರ್ಸ್ ಲ್ಯಾಡರ್" ಏಕವಚನ ಅಳತೆಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.
ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅನೇಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಸ್ತುಗಳ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣದಿಂದಾಗಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಭಾಗಗಳು ಅಥವಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು (ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿರುವ ಡೇಟಾದೊಂದಿಗೆ) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮರಗಳು, ಪರ್ವತ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮತ್ತು ಬಿರುಕುಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ನಿಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮಾದರಿಗಳು, ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಸ್ತುಗಳಂತೆ, "ಒರಟುತನ" ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯ ವರ್ಧನೆಯು ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದರೂ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಅಳತೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಏಕೀಕರಣ, ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಮತ್ತು ಈಗಾಗಲೇ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಸ್ತುಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ, ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನೀಲಿ ಅಸ್ವಸ್ಥತೆಯನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತಮ ರಚನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಿಜ್ಞಾನವು ಇನ್ನೂ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಂದೆ ಉತ್ತಮ ಭವಿಷ್ಯವಿದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಸೌಂದರ್ಯವು ದಣಿದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಮೇರುಕೃತಿಗಳನ್ನು ನಮಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ - ಕಣ್ಣನ್ನು ಆನಂದಿಸುವಂತಹವುಗಳು ಮತ್ತು ಮನಸ್ಸಿಗೆ ನಿಜವಾದ ಆನಂದವನ್ನು ತರುವಂತಹವುಗಳು.

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ

ಅನುಕ್ರಮ ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನ

ಈ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡುವಾಗ, ನೀವು ಸ್ವಯಂ-ರೀತಿಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ಪಿರಮಿಡ್). ನಾವು ನಿಯಮಿತ ಪಿರಮಿಡ್ (ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್) ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ನಂತರ ಅದರ ಮಧ್ಯಭಾಗವನ್ನು (ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್) ಕತ್ತರಿಸಿ, ನಾಲ್ಕು ಸಣ್ಣ ಪಿರಮಿಡ್ಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ನಾವು ಅದೇ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ನಿಷ್ಕಪಟ ಆದರೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವಿವರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಕೆಲವು IFS ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇರಲಿ, ಅಂದರೆ. ಕಂಪ್ರೆಷನ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಸ್=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಮ್ಮ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳು S i (x)=1/2*x+o i ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ o i ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಶೃಂಗಗಳು, i=1,..,4). ನಂತರ ನಾವು R n ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ A 1 ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ). ಮತ್ತು ನಾವು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k) ಸೆಟ್‌ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ k ನೊಂದಿಗೆ A k ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿರುವ ಸಿಸ್ಟಂನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಆಕರ್ಷಕವನ್ನು ಉತ್ತಮ ಮತ್ತು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಸ್.

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ(ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಪದ ಡಿಗ್ರಾಫ್ IFS, RIFSಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ ಗ್ರಾಫ್-ನಿರ್ದೇಶನ IFS) ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ನಮ್ಮ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಬಳಸಿ ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸುಲಭ.

ಪಾಯಿಂಟ್-ಬೈ-ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಧಾನ

ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಇದು ಸುಲಭವಾದ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಫ್ಲಾಟ್ ಸ್ವಯಂ-ಅಫೈನ್ ಸೆಟ್ನ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಬಿಡಿ (ಎಸ್

) - ಅಫೈನ್ ಸಂಕೋಚನಗಳ ಕೆಲವು ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಪ್ರದರ್ಶನ ಎಸ್

ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: ಎಸ್

ಸ್ಥಿರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗಾತ್ರ 2x2 ಮತ್ತು ಒ

ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಕಾಲಮ್.

ಮೊದಲ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ S 1 ನ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:
x:= o1;
ಸಂಕೋಚನದ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳು S 1 ,.., S m ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನೀವು ಪ್ರಾರಂಭದ ಹಂತವಾಗಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಬಿಂದುಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಂತರ ಹಲವಾರು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಕಗಳು ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.
ಪ್ರಸ್ತುತ ಬಿಂದು x=(x 1 ,x 2) ಅನ್ನು ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸೋಣ:
ಪುಟ್ಪಿಕ್ಸೆಲ್ (x 1 ,x 2 ,15);
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ 1 ರಿಂದ m ವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ x ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಮರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:
j:=ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ(m)+1;
x:=S j (x);
ನಾವು ಹಂತ 2 ಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ ಅಥವಾ, ನಾವು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದರೆ, ನಾವು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸೂಚನೆ. S i ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳ ಸಂಕುಚಿತ ಅನುಪಾತಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಅಸಮಾನವಾಗಿ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ತುಂಬಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳು S i ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ 3 ನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, 1 ರಿಂದ m ವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು p 1 =r 1 s,..,p m =r m s ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು, ಅಲ್ಲಿ r i ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳ ಸಂಕೋಚನ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ Si, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ s (ಸಾಮ್ಯತೆಯ ಆಯಾಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) r 1 s +...+r m s =1 ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನದಿಂದ.

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವಿಶೇಷಣ "ಫ್ರಾಕ್ಟಸ್" ನಿಂದ ಬಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಅನುವಾದದಲ್ಲಿ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಕ್ರಿಯಾಪದ "ಫ್ರೇಂಜರ್" ಎಂದರೆ ಒಡೆಯುವುದು, ಅಂದರೆ ಅನಿಯಮಿತ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವುದು. 70 ರ ದಶಕದ ಅಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು 80 ರ ದಶಕದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮರ್ಗಳಲ್ಲಿ ದೃಢವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿತವಾಗಿವೆ. ಈ ಪದವನ್ನು ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಅವರು 1975 ರಲ್ಲಿ ಅನಿಯಮಿತ ಆದರೆ ಸ್ವಯಂ-ಸದೃಶವಾದ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ರಚಿಸಿದರು. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಜನನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 1977 ರಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕ "ದಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಆಫ್ ನೇಚರ್" ನ ಪ್ರಕಟಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಅವರ ಕೃತಿಗಳು ಅದೇ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ 1875-1925ರ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದವು (ಪೊಯಿನ್‌ಕೇರ್, ಫ್ಯಾಟೌ, ಜೂಲಿಯಾ, ಕ್ಯಾಂಟರ್, ಹೌಸ್‌ಡಾರ್ಫ್).

ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳು

H.-O ಅವರ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ. ಪೀಟ್ಜೆನ್ ಮತ್ತು P.H. ರಿಕ್ಟರ್ "ದಿ ಬ್ಯೂಟಿ ಆಫ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್" M. 1993 ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮುದ್ರಣದೋಷಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮೂಲನೆ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಅನುಕೂಲವಾಗುವಂತೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಂತರ ನನಗೆ ಹೆಚ್ಚು ರಹಸ್ಯವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಈ "ಅರ್ಥವಾಗುವ" ಮತ್ತು "ಸರಳ" ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ರಾಕಿಂಗ್ ಜೀವನಶೈಲಿಯನ್ನು ಮುನ್ನಡೆಸುತ್ತವೆ.

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ z => z 2 +c ಏಕೆಂದರೆ z ಮತ್ತು c ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನಂತರ z = x + iy, c = p + iq ಅದನ್ನು ಕೊಳೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಮನುಷ್ಯನಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ವಾಸ್ತವಿಕವಾದ ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಹೋಗಲು x ಮತ್ತು y ಗೆ:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು (x,y) ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮತಲವನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು p ಮತ್ತು q, ಮತ್ತು ಡೈನಾಮಿಕ್ ಪದಗಳಿಗಿಂತ. ಮೊದಲನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (x, y) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ನಿರ್ಗಮಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಕಾರ್ಯದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡುವುದು ಅಥವಾ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡದಿರುವಾಗ (ಕಪ್ಪು ಬಣ್ಣ) ಅನುಮತಿಸುವ ಗರಿಷ್ಠ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಮೀರಿದೆ, ನಾವು ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್ನ ಪ್ರದರ್ಶನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ಜೋಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು (x,y) ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು p ಮತ್ತು q ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದರ ವರ್ಣರಂಜಿತ ಭವಿಷ್ಯವನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಿದರೆ, ನಾವು ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಮೇಲೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ದೇಹವನ್ನು ಕಪ್ಪು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಕಪ್ಪು ಬಣ್ಣವನ್ನು ಬೇರೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಬಣ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣದ ಸೆಟ್‌ನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಚಕ್ರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ದೇಹವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಸೆಟ್ಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಲೂಪ್ ನಿರ್ಗಮನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (z_ಮ್ಯಾಗ್ನಿಟ್ಯೂಡ್) ಅಥವಾ ಅದರಂತೆಯೇ ಏನನ್ನಾದರೂ ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಣ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ಇತರ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಬಣ್ಣದ ಸಂಖ್ಯೆ.

"ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್ ಮೈಕ್ರೋಸ್ಕೋಪ್" ನ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ಗಡಿ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು.

ಅಟ್ರಾಕ್ಟರ್‌ಗಳು ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಬಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಹೋರಾಟವನ್ನು ಮುನ್ನಡೆಸುವ ಕೇಂದ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಫ್ಲೋರಿಡ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಆಕರ್ಷಕಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ಗಡಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ನ ಗಡಿಯೊಳಗೆ ಪರಿಗಣನೆಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿದ್ಯಮಾನ - ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಭೂಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಸ್ತುಗಳು ಬಹಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಘಟಿತ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಸರಳವಾದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯವಲ್ಲ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳು ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ಕೋರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅದು ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ದೂರ ಹೋಗುವಾಗ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ತಮ್ಮ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಮತ್ತು ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪರಿಗಣನೆಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಸಮನಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರುವ ಗಡಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಒಬ್ಬರು ರಚಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ತೋರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿರುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಸ್ತುವಿನ ಮುಖಾಮುಖಿಗೆ ತಜ್ಞರ ಗ್ರಹಿಕೆಯನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಬಹುದು. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪ್ರಕೃತಿಯ ತಿಳುವಳಿಕೆಗಾಗಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಮತ್ತು ಸಮಯದಲ್ಲಿ. ಬಹುವರ್ಣದ ಬಣ್ಣಗಳು ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಸಂಗೀತವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಆಳವಾದ ಮುದ್ರೆಯನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ.

ಸಾವಿರಾರು ಪ್ರಕಟಣೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶಾಲವಾದ ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಮೀಸಲಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಿಂದ ದೂರವಿರುವ ಅನೇಕ ತಜ್ಞರಿಗೆ, ಈ ಪದವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಸದಾಗಿದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು, ಜ್ಞಾನದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ತಜ್ಞರಿಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ವಸ್ತುವಾಗಿ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸೈನ್ಸ್ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಸೈಪಿನ್ಸ್ಕಿ ಗ್ರಿಡ್

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮಗಳು ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವಾಗ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂದಾಗಿದೆ. ದೊಡ್ಡ ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಮುಖ್ಯ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೆಚ್ಚು ರಂಧ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇನಿಶಿಯೇಟರ್ ದೊಡ್ಡ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಟೆಂಪ್ಲೇಟ್ ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅಂತಹ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ನ ಆಯಾಮವು ln3/ln2 = 1.584962501 ಆಗಿದೆ.

ಹೊಂದಲು ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ಕಾರ್ಪೆಟ್, ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಅದನ್ನು ಒಂಬತ್ತು ಚೌಕಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ಒಂದನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ. ಉಳಿದ, ಚಿಕ್ಕ ಚೌಕಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಫ್ಲಾಟ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಗ್ರಿಡ್ ರಚನೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಅನಂತ ಸಂಪರ್ಕಗಳೊಂದಿಗೆ. ಅದರ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ಸ್ಪಾಂಜ್ ಅನ್ನು ಅಂತ್ಯದಿಂದ ಅಂತ್ಯದ ರೂಪಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂತ್ಯದಿಂದ ಕೊನೆಯವರೆಗೆ ಅಂಶವು ತನ್ನದೇ ಆದ ರೀತಿಯಿಂದ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಈ ರಚನೆಯು ಮೂಳೆ ಅಂಗಾಂಶದ ಒಂದು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಒಂದು ದಿನ ಅಂತಹ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ರಚನೆಗಳು ಕಟ್ಟಡ ರಚನೆಗಳ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗುತ್ತವೆ. ಅವರ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್, ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ನಂಬುತ್ತಾರೆ, ನಿಕಟ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಅರ್ಹರು.

ಕೋಚ್ ಕರ್ವ್

ಕೋಚ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಅತ್ಯಂತ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಹೆಲ್ಜ್ ವಾನ್ ಕೋಚ್ ಎಂಬ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು, ಅವರು ಜಾರ್ಜ್ ಕೊಂಟರ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಲ್ ವೀರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್ಸೆ ಅವರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ನಡವಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ವಿಚಿತ್ರ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡರು. ಇನಿಶಿಯೇಟರ್ ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಜನರೇಟರ್ ಒಂದು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಬದಿಗಳು ದೊಡ್ಡ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದದ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಕ್ಕೆ ಮತ್ತೆ ಮತ್ತೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತನ್ನ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಕೋಚ್ ಕರ್ವ್‌ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಕೋಚ್ ದ್ವೀಪಗಳು, ಕೋಚ್ ಕ್ರಾಸ್‌ಗಳು, ಕೋಚ್ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಚ್ ಕರ್ವ್‌ನ ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮುಖಕ್ಕೂ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರು. ಕೋಚ್ ಕರ್ವ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ln4/ln3 = 1.261859507.

ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರಾಟ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್

ಇದು ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ ಅಲ್ಲ, ನೀವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ನೋಡುತ್ತೀರಿ. ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಕೋಚ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಈ ವಸ್ತುವು ಅದರಂತೆಯೇ ಇಲ್ಲ. ಇನಿಶಿಯೇಟರ್ ಮತ್ತು ಜನರೇಟರ್ ಕೋಚ್ ಕರ್ವ್ ತತ್ವದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಬಳಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಕಲ್ಪನೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಕರ್ವ್ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರುವ ಬದಲು, ಚೌಕಗಳನ್ನು ಚೌಕಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ನಿಖರವಾಗಿ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಜಾಗವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ, ಇದು 3/2 = 1.5 ರ ಸರಳ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಡೇರೆರ್ ಪೆಂಟಗನ್

ಒಂದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಪೆಂಟಗನ್‌ಗಳ ಗುಂಪಿನಂತೆ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಹಿಂಡಿದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಪೆಂಟಗನ್ ಅನ್ನು ಇನಿಶಿಯೇಟರ್ ಆಗಿ ಮತ್ತು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಬದಿಯ ಸಣ್ಣ ಭಾಗದ ಅನುಪಾತವು ನಿಖರವಾಗಿ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗೋಲ್ಡನ್ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ (1.618033989 ಅಥವಾ 1/(2cos72)) ಜನರೇಟರ್ ಆಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. . ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಪೆಂಟಗನ್‌ನ ಮಧ್ಯದಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ 5 ಸಣ್ಣ ಪೆಂಟಗನ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ಅಂಟಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಇನಿಶಿಯೇಟರ್ ಆಗಿ ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ನ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಸ್ಟಾರ್ ಆಫ್ ಡೇವಿಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಕೋಚ್ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್ನ ಷಡ್ಭುಜೀಯ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಡೇರೆರ್ ಪೆಂಟಗನ್‌ನ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮವು ln6/ln(1+g) ಆಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ g ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನದ ದೊಡ್ಡ ಭಾಗದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಉದ್ದದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, g ಎಂಬುದು ಗೋಲ್ಡನ್ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮವು ಸರಿಸುಮಾರು 1.86171596 ಆಗಿದೆ. ಸ್ಟಾರ್ ಆಫ್ ಡೇವಿಡ್ ln6/ln3 ಅಥವಾ 1.630929754 ನ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ನ ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ವರ್ಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಆ ಪ್ರದೇಶದ ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶದೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಿದರೆ, ಎರಡು ವರ್ಧನೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಚಿತ್ರಗಳು ವಿವರವಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಚಿತ್ರ 1. ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ ಅಂದಾಜು

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್‌ನ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಅವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೂ ಎರಡರಲ್ಲೂ ನಾವು ಕಪ್ಪು ವೃತ್ತವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಇದರಿಂದ ಉರಿಯುತ್ತಿರುವ ಗ್ರಹಣಾಂಗಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ಣಾಯಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ಅಲ್ಲ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಈ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ Zn+1=ZnI + C, ಇದು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೊಟ್ ಮತ್ತು ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸುವ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು ವಿಚಿತ್ರವಾದ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಪ್ರಮಾಣದ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ವಿರೂಪಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಸ್ವಯಂ-ಸಾಮ್ಯತೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಇಡೀ ಚಿತ್ರವು ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮತ್ತು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಬಹಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ನ ಸಹಾಯವಿಲ್ಲದೆ ರಚಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವರ್ಣರಂಜಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಈ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಶಕ್ತಿಯುತವಾದ ಗಣಿತದ ಕೊಪ್ರೊಸೆಸರ್ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಮಾನಿಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಂತೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು 5-10 ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪರದೆಯ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವೂ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ನಂತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1000 ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು. ಹೋಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾದ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಒಂದು ಹಂತಕ್ಕೆ 250 ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಇಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತಿರುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ಸುಂದರವಾದ ಬಣ್ಣದಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರಾಯಶಃ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಚಿತ್ರಗಳು ಅವುಗಳ ಬಣ್ಣದ ಯೋಜನೆಗಳಿಂದಾಗಿ ಅಂತಹ ಮಹತ್ತರವಾದ ಸೌಂದರ್ಯದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತವೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯದ ಸುತ್ತಲೂ ಏರಿಳಿತಗೊಂಡರೆ, ಡಾಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಪ್ಪು ಬಣ್ಣಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವು ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದರೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಬೇರೆ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಬಹುಶಃ ನೀಲಿ ಅಥವಾ ಕೆಂಪು. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಎಲ್ಲಾ ಚಲನೆಯ ವೇಗಗಳಿಗೆ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ.

ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವೇಗವಾಗಿ ಚಲಿಸುವ ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ನಿಧಾನವಾದವುಗಳು ಹಳದಿ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಕಪ್ಪು ಕಲೆಗಳು ಬಹುಶಃ ಅತ್ಯಂತ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳು ಅನಂತವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಸರಳವಾದ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಬಹುದು. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳು ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ವಲ್ಪ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಪೇಪರ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆ ಇಲ್ಲದೆ 3 ಅಥವಾ 4 ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳವರೆಗೆ ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ಜರಡಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಬಹಳಷ್ಟು ಜೂಲಿಯಾಳೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ! ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್‌ನ ಕರಾವಳಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಹೋಗುವುದು ಸುಲಭ!

ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರಾಟ್ ಸೆಟ್

ಚಿತ್ರ 2. ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್

ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಮತ್ತು ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಶಃ ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಅನೇಕ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಜರ್ನಲ್‌ಗಳು, ಪುಸ್ತಕದ ಕವರ್‌ಗಳು, ಪೋಸ್ಟ್‌ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸ್ಕ್ರೀನ್ ಸೇವರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ ಬಹುಶಃ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಕೇಳಿದಾಗ ಜನರು ಹೊಂದಿರುವ ಮೊದಲ ಸಂಘವಾಗಿದೆ. ಈ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್, ಜ್ವಾಲೆಯ ಮರದಂತಹ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪ್ರದೇಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಯಂತ್ರವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, Zn+1=Zna+C ಸರಳ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ Z ಮತ್ತು C ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು a ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್, ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಇದು 2 ನೇ ಪದವಿಯ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, a = 2. ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ Zn+1=ZnІ+C ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್, ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿನ ಸೂಚಕವು ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶವು ಅನೇಕರನ್ನು ದಾರಿತಪ್ಪಿಸಿದೆ. ಈ ಪುಟದಲ್ಲಿ ನೀವು ಘಾತಾಂಕದ ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್‌ನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೀರಿ a.
ಚಿತ್ರ 3. a=3.5 ನಲ್ಲಿ ಗುಳ್ಳೆಗಳ ನೋಟ

Z=Z*tg(Z+C) ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಕೂಡ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿದೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಸೇಬನ್ನು ಹೋಲುವ ಪ್ರದೇಶದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೊಟ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಏರ್ ಬಬಲ್ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಸುಂದರವಾದ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಲು ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕಾನ್ಫಿಗರ್ ಮಾಡಲು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ.

ಬಹಳಷ್ಟು ಜೂಲಿಯಾ

ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ, ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್ಗಳು ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ರಚನೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಗ್ಯಾಸ್ಟನ್ ಜೂಲಿಯಾ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು, ಅವರ ನಂತರ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೆಸರಿಸಲಾಯಿತು. ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಮತ್ತು ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗಿನ ದೃಶ್ಯ ಪರಿಚಯದ ನಂತರ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಮೊದಲ ಪ್ರಶ್ನೆಯೆಂದರೆ "ಎರಡೂ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ರಚಿಸಿದರೆ, ಅವು ಏಕೆ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ?" ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್ನ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ನೋಡಿ. ವಿಚಿತ್ರವೆಂದರೆ, ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್ಗಳಿವೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವಾಗ (ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು), ವಿಭಿನ್ನ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 4. ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್

ಇದನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೋಡಲಾಗದಿದ್ದರೂ, ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೊಟ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅನೇಕ ಜೂಲಿಯಾ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್‌ನ ಪ್ರತಿ ಪಾಯಿಂಟ್ (ಅಥವಾ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ) ಜೂಲಿಯಾ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. Z=ZI+C ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಈ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ನೀವು ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೊಟ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಆರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹಿಗ್ಗಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಜೂಲಿಯಾ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಇದರ ಅರ್ಥವಲ್ಲ. ಈ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಗಣಿತದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ನೀವು ಈ ಹಂತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರೆ, ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಜೂಲಿಯಾ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ನೀವು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ವಿಜ್ಞಾನದ ಅತ್ಯಂತ ಚತುರ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳು ಮಾನವ ಜೀವನವನ್ನು ಆಮೂಲಾಗ್ರವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದ ಲಸಿಕೆ ಲಕ್ಷಾಂತರ ಜನರನ್ನು ಉಳಿಸಬಹುದು; ಶಸ್ತ್ರಾಸ್ತ್ರಗಳ ಸೃಷ್ಟಿ, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಈ ಜೀವಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ತೀರಾ ಇತ್ತೀಚೆಗೆ (ಮಾನವ ವಿಕಾಸದ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ) ನಾವು ವಿದ್ಯುಚ್ಛಕ್ತಿಯನ್ನು "ಪಳಗಿಸಲು" ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ - ಮತ್ತು ಈಗ ವಿದ್ಯುಚ್ಛಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕೂಲಕರ ಸಾಧನಗಳಿಲ್ಲದೆ ನಾವು ಜೀವನವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಕೆಲವು ಜನರು ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸುವ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳೂ ಇವೆ, ಆದರೂ ಅವು ನಮ್ಮ ಜೀವನದ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುತ್ತವೆ.

ಈ "ಅಪ್ರಜ್ಞಾಪೂರ್ವಕ" ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಗಿದೆ. ನೀವು ಬಹುಶಃ ಈ ಆಕರ್ಷಕ ಪದವನ್ನು ಮೊದಲು ಕೇಳಿದ್ದೀರಿ, ಆದರೆ ಇದರ ಅರ್ಥವೇನು ಮತ್ತು ಈ ಪದದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಮರೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆಯೇ?

ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕುತೂಹಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆ, ಅವನ ಸುತ್ತಲಿನ ಪ್ರಪಂಚವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಬಯಕೆ. ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಯತ್ನದಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ತೀರ್ಪುಗಳಲ್ಲಿ ತರ್ಕವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾನೆ. ಅವನ ಸುತ್ತ ನಡೆಯುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತಾ, ಏನಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದರ ತರ್ಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅವನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾನೆ. ಭೂಮಿಯ ಮೇಲಿನ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮನಸ್ಸುಗಳು ಈ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನಿರತವಾಗಿವೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಇರಬಾರದಂತಹ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಘಟನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯ. ಮತ್ತು ಈ ಸಂಪರ್ಕವು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಗಿದೆ.

ನಮ್ಮ ಪುಟ್ಟ ಮಗಳು, ನಾಲ್ಕೂವರೆ ವರ್ಷ, ಈಗ ಆ ಅದ್ಭುತ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ “ಯಾಕೆ?” ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ವಯಸ್ಕರು ನೀಡಲು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಉತ್ತರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹಲವು ಬಾರಿ ಮೀರಿದೆ. ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ಹಿಂದೆ, ನೆಲದಿಂದ ಬೆಳೆದ ಕೊಂಬೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಿರುವಾಗ, ನನ್ನ ಮಗಳು ಈ ಶಾಖೆಯು ಅದರ ಕೊಂಬೆಗಳು ಮತ್ತು ಕೊಂಬೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಃ ಮರದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ಗಮನಿಸಿದಳು. ಮತ್ತು, ಸಹಜವಾಗಿ, "ಏಕೆ?" ಎಂಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲಾಯಿತು, ಮಗುವಿಗೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸರಳವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಪೋಷಕರು ನೋಡಬೇಕಾಗಿತ್ತು.

ಮಗುವಿನಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮರದೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಶಾಖೆಯ ಹೋಲಿಕೆಯು ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರವಾದ ವೀಕ್ಷಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸ್ವಯಂ-ಸಾಮ್ಯತೆಯ ತತ್ವಕ್ಕೆ ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಸಾವಯವ ಮತ್ತು ಅಜೈವಿಕ ರೂಪಗಳು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಂಡಿವೆ. ಮೋಡಗಳು, ಸಮುದ್ರ ಚಿಪ್ಪುಗಳು, ಬಸವನ "ಮನೆ," ತೊಗಟೆ ಮತ್ತು ಮರಗಳ ಕಿರೀಟ, ರಕ್ತಪರಿಚಲನಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ಹೀಗೆ - ಈ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು.

⇡ ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್: ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪಿತಾಮಹ

"ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್" ಎಂಬ ಪದವು ಅದ್ಭುತ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಬೆನೈಟ್ ಬಿ. ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು.

ಅವರು ಸ್ವತಃ 1970 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಈ ಪದವನ್ನು ರಚಿಸಿದರು, ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಯಿಂದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಸ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಎರವಲು ಪಡೆದರು, ಅಲ್ಲಿ ಇದರ ಅಕ್ಷರಶಃ "ಮುರಿದ" ಅಥವಾ "ಪುಡಿಮಾಡಿದ" ಎಂದರ್ಥ. ಏನದು? ಇಂದು, "ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್" ಎಂಬ ಪದವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ರಚನೆಯ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ, ಅದು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸ್ವತಃ ಹೋಲುತ್ತದೆ.

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಗೆ ಗಣಿತದ ಆಧಾರವನ್ನು ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಹುಟ್ಟುವ ಹಲವು ವರ್ಷಗಳ ಮೊದಲು ಹಾಕಲಾಯಿತು, ಆದರೆ ಇದು ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಸಾಧನಗಳ ಆಗಮನದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಅವರ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ವೃತ್ತಿಜೀವನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಬೆನೈಟ್ IBM ಸಂಶೋಧನಾ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರು. ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಕೇಂದ್ರದ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳು ದೂರದವರೆಗೆ ಡೇಟಾವನ್ನು ರವಾನಿಸುವ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರು. ಸಂಶೋಧನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಶಬ್ದ ಹಸ್ತಕ್ಷೇಪದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ದೊಡ್ಡ ನಷ್ಟದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸಿದರು. ಬೆನೈಟ್ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಮತ್ತು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು - ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನವು ನಿಷ್ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದಾಗ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಶಬ್ದ ಹಸ್ತಕ್ಷೇಪದ ಸಂಭವವನ್ನು ಹೇಗೆ ಊಹಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು.

ಶಬ್ದ ಮಾಪನಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಮೂಲಕ ನೋಡುವಾಗ, ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಒಂದು ವಿಚಿತ್ರ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರು - ವಿಭಿನ್ನ ಮಾಪಕಗಳಲ್ಲಿನ ಶಬ್ದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ. ಇದು ಒಂದು ದಿನ, ಒಂದು ವಾರ ಅಥವಾ ಒಂದು ಗಂಟೆಯ ಶಬ್ದದ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಒಂದೇ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗ್ರಾಫ್ನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿತ್ತು, ಮತ್ತು ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅವರ ಜೀವಿತಾವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಅವರು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸರಳವಾಗಿ ಚಿತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಡುತ್ತಿದ್ದರು ಎಂದು ಪದೇ ಪದೇ ಹೇಳಿದರು. ಈ ಮನುಷ್ಯನು ಬಹಳ ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಯೋಚಿಸಿದನು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುವಾದಿಸಿದನು, ಅಲ್ಲಿ ಅವನ ಪ್ರಕಾರ, ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ಶ್ರೀಮಂತ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯಕ್ತಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪಿತಾಮಹನಾಗಿರುವುದು ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ನೀವು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ವಿಚಿತ್ರವಾದ ಸುಳಿಯ ಮಾದರಿಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಯೋಚಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳ ಸಾರದ ಅರಿವು ನಿಖರವಾಗಿ ಬರುತ್ತದೆ.

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮಾದರಿಯು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಕೈಯಾರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಈ ಹಿಂದೆ ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿತ್ತು; ಇದಕ್ಕೆ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಪಿಯರೆ ಜೋಸೆಫ್ ಲೂಯಿಸ್ ಫ್ಯಾಟೌ ಈ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ನ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಎಪ್ಪತ್ತು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ನಾವು ಸ್ವಯಂ ಹೋಲಿಕೆಯ ತತ್ವಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಿದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಅವರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್‌ನ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಗ್ಯಾಸ್ಟನ್ ಮಾರಿಸ್ ಜೂಲಿಯಾ ಅವರ ಸಂಶೋಧನೆಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು.

ಗ್ಯಾಸ್ಟನ್ ಜೂಲಿಯಾ (ಯಾವಾಗಲೂ ಮುಖವಾಡ ಧರಿಸಿ - ವಿಶ್ವ ಸಮರ I ರ ಗಾಯ)

ಫೀಡ್‌ಬ್ಯಾಕ್ ಲೂಪ್ ಮೂಲಕ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾದ ಸರಳ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರೆ ಅದು ಹೇಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಈ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಆಶ್ಚರ್ಯಪಟ್ಟರು. ನಾವು ಅದನ್ನು "ನಮ್ಮ ಬೆರಳುಗಳ ಮೇಲೆ" ವಿವರಿಸಿದರೆ, ಇದರರ್ಥ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೊಸ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಮತ್ತೆ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದೊಡ್ಡ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ.

ಅಂತಹ ಸೆಟ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ - ನೂರಾರು, ಸಾವಿರಾರು, ಮಿಲಿಯನ್. ಇದನ್ನು ಕೈಯಾರೆ ಮಾಡಲು ಸರಳವಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿತ್ತು. ಆದರೆ ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಸಾಧನಗಳು ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಲಭ್ಯವಾದಾಗ, ಅವರು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೊಸ ನೋಟವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿದ ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ, ಬೆನೈಟ್ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಿದರು. ಅದು ಅವನಿಗೆ ಸಿಕ್ಕಿತು.

ತರುವಾಯ, ಈ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡಲಾಯಿತು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಣ್ಣಗಳ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ) ಮತ್ತು ಇದುವರೆಗೆ ಮನುಷ್ಯ ರಚಿಸಿದ ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಎಫೆಸಸ್‌ನ ಹೆರಾಕ್ಲಿಟಸ್‌ಗೆ ಕಾರಣವಾದ ಪ್ರಾಚೀನ ಮಾತುಗಳು ಹೇಳುವಂತೆ, "ನೀವು ಒಂದೇ ನದಿಗೆ ಎರಡು ಬಾರಿ ಕಾಲಿಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ." ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಲು ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಇಮೇಜ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಎಷ್ಟು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡಿದರೂ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಇದೇ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಸ್ಪೇಸ್‌ನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹಲವು ಬಾರಿ ಝೂಮ್ ಮಾಡಿದಾಗ ಹೇಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಲು ಬಯಸುವವರು ಅನಿಮೇಟೆಡ್ GIF ಅನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು.

⇡ ಲಾರೆನ್ ಕಾರ್ಪೆಂಟರ್: ಪ್ರಕೃತಿಯಿಂದ ರಚಿಸಲಾದ ಕಲೆ

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿತು. ಇದು ಸ್ವಯಂ-ಸದೃಶ ಚಿತ್ರಗಳ ದೃಶ್ಯೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಅಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಮತ್ತು ತತ್ವಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡವರು ಕಲಾವಿದರು ಎಂದು ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ.

ಪೌರಾಣಿಕ ಪಿಕ್ಸರ್ ಸ್ಟುಡಿಯೊದ ಭವಿಷ್ಯದ ಸಹ-ಸಂಸ್ಥಾಪಕ ಲೊರೆನ್ ಸಿ. ಕಾರ್ಪೆಂಟರ್ 1967 ರಲ್ಲಿ ಬೋಯಿಂಗ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸರ್ವಿಸಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು, ಇದು ಹೊಸ ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ನಿಗಮದ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

1977 ರಲ್ಲಿ, ಅವರು ಮಾದರಿ ಹಾರುವ ಮಾದರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿದರು. ಲೊರೆನ್ ಅವರ ಜವಾಬ್ದಾರಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಮಾನದ ವಿನ್ಯಾಸದ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವುದು ಸೇರಿದೆ. ಅವರು ಹೊಸ ಮಾದರಿಗಳ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು, ಭವಿಷ್ಯದ ವಿಮಾನವನ್ನು ವಿವಿಧ ಕೋನಗಳಿಂದ ತೋರಿಸಿದರು. ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಪಿಕ್ಸರ್ ಅನಿಮೇಷನ್ ಸ್ಟುಡಿಯೋಸ್‌ನ ಭವಿಷ್ಯದ ಸಂಸ್ಥಾಪಕರು ಪರ್ವತಗಳ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹಿನ್ನೆಲೆಯಾಗಿ ಬಳಸುವ ಸೃಜನಶೀಲ ಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಂದರು. ಇಂದು, ಯಾವುದೇ ಶಾಲಾಮಕ್ಕಳು ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಕಳೆದ ಶತಮಾನದ ಎಪ್ಪತ್ತರ ದಶಕದ ಉತ್ತರಾರ್ಧದಲ್ಲಿ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳು ಅಂತಹ ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ - ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಸಂಪಾದಕರು ಇರಲಿಲ್ಲ, 3D ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ಗಾಗಿ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಬಾರದು. 1978 ರಲ್ಲಿ, ಲಾರೆನ್ ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್: ಫಾರ್ಮ್, ಚಾನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಡೈಮೆನ್ಶನ್ ಅನ್ನು ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿ ನೋಡಿದರು. ಈ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಅವರ ಗಮನ ಸೆಳೆದದ್ದು ಬೆನೈಟ್ ಅವರು ನಿಜ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಕಾರಗಳ ಬಹಳಷ್ಟು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ವಾದಿಸಿದರು.

ಈ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಿಲ್ಲ. ಅವರು ತಮ್ಮ ಸಂಶೋಧನೆಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ತಕ್ಷಣ, ಅವರು ಸಂಪೂರ್ಣ ಟೀಕೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಬೇಕಾಯಿತು ಎಂಬುದು ಸತ್ಯ. ಅವರ ಸಹೋದ್ಯೋಗಿಗಳು ಅವರನ್ನು ನಿಂದಿಸಿದ ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಿಷ್ಪ್ರಯೋಜಕತೆ. "ಹೌದು," ಅವರು ಹೇಳಿದರು, "ಇವು ಸುಂದರವಾದ ಚಿತ್ರಗಳು, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಇಲ್ಲ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ನಮೂನೆಗಳು ಕೇವಲ "ದೆವ್ವದ ಯಂತ್ರಗಳ" ಕೆಲಸದ ಉಪ-ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಂಬಿದವರೂ ಇದ್ದರು, ಇದು ಎಪ್ಪತ್ತರ ದಶಕದ ಉತ್ತರಾರ್ಧದಲ್ಲಿ ಅನೇಕರಿಗೆ ತುಂಬಾ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿ ಅನ್ವೇಷಿಸದ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಅವರು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ವಸ್ತುಗಳ ದೊಡ್ಡ ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ. ಮುಂದಿನ 25 ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ, ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಅವರ ಅನುಯಾಯಿಗಳು ಅಂತಹ "ಗಣಿತದ ಕುತೂಹಲ" ದ ಅಗಾಧ ಪ್ರಯೋಜನಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ಲಾರೆನ್ ಕಾರ್ಪೆಂಟರ್ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು.

ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಭವಿಷ್ಯದ ಆನಿಮೇಟರ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಗಂಭೀರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. ಕೇವಲ ಮೂರು ದಿನಗಳ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ, ಲಾರೆನ್ ತನ್ನ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರ್ವತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನೈಜ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವರು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದಾದ ಪರ್ವತ ಭೂದೃಶ್ಯವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು.

ಲಾರೆನ್ ತನ್ನ ಗುರಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಬಳಸಿದ ತತ್ವವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಇದು ದೊಡ್ಡ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಸಣ್ಣ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿತ್ತು, ಮತ್ತು ಇವುಗಳನ್ನು ಸಣ್ಣ ಗಾತ್ರದ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಕಿಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ದೊಡ್ಡ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಕಾರ್ಪೆಂಟರ್ ಅವುಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ ನಂತರ ವಾಸ್ತವಿಕ ಪರ್ವತ ಭೂದೃಶ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದುವವರೆಗೆ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತೆ ಮತ್ತೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದರು. ಹೀಗಾಗಿ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿದ ಮೊದಲ ಕಲಾವಿದನಾಗಲು ಅವರು ಯಶಸ್ವಿಯಾದರು. ಕೆಲಸದ ಮಾತು ತಿಳಿದ ತಕ್ಷಣ, ಪ್ರಪಂಚದಾದ್ಯಂತದ ಉತ್ಸಾಹಿಗಳು ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕೈಗೆತ್ತಿಕೊಂಡರು ಮತ್ತು ನೈಜ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸಲು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾರಂಭಿಸಿದರು.

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೊದಲ 3D ದೃಶ್ಯೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ

ಕೆಲವೇ ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ, ಲಾರೆನ್ ಕಾರ್ಪೆಂಟರ್ ತನ್ನ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ದೊಡ್ಡ ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಆನಿಮೇಟರ್ ಅವರಿಂದ Vol Libre ನ ಎರಡು ನಿಮಿಷಗಳ ಡೆಮೊವನ್ನು ರಚಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು 1980 ರಲ್ಲಿ ಸಿಗ್ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಯಿತು. ಈ ವೀಡಿಯೋ ನೋಡಿದ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಆಘಾತವಾಯಿತು ಮತ್ತು ಲಾರೆನ್‌ಗೆ ಲ್ಯೂಕಾಸ್‌ಫಿಲ್ಮ್‌ನಿಂದ ಆಹ್ವಾನ ಬಂದಿತು.

ಡಿಜಿಟಲ್ ಎಕ್ವಿಪ್‌ಮೆಂಟ್ ಕಾರ್ಪೊರೇಷನ್‌ನಿಂದ VAX-11/780 ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಐದು ಮೆಗಾಹರ್ಟ್ಜ್ ಗಡಿಯಾರದ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಅನಿಮೇಶನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಯಿತು, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಫ್ರೇಮ್ ನಿರೂಪಿಸಲು ಅರ್ಧ ಗಂಟೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿತು.

ಲ್ಯೂಕಾಸ್‌ಫಿಲ್ಮ್ ಲಿಮಿಟೆಡ್‌ಗಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿರುವ ಆನಿಮೇಟರ್ ಸ್ಟಾರ್ ಟ್ರೆಕ್ ಸಾಹಸದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪೂರ್ಣ-ಉದ್ದದ ಚಲನಚಿತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಅದೇ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 3D ಭೂದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿದರು. ದಿ ಕ್ರೋಧದ ಖಾನ್‌ನಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಪೆಂಟರ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ನ ಅದೇ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಹವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು.

ಪ್ರಸ್ತುತ, 3D ಭೂದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಎಲ್ಲಾ ಜನಪ್ರಿಯ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಇದೇ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. Terragen, Bryce, Vue ಮತ್ತು ಇತರ 3D ಸಂಪಾದಕರು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮತ್ತು ಟೆಕಶ್ಚರ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ.

⇡ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಂಟೆನಾಗಳು: ಕಡಿಮೆ ಹೆಚ್ಚು

ಕಳೆದ ಅರ್ಧ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಜೀವನವು ವೇಗವಾಗಿ ಬದಲಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದೆ. ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವರು ಆಧುನಿಕ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಲಘುವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಜೀವನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಆರಾಮದಾಯಕವಾಗಿಸುವ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ನೀವು ಬೇಗನೆ ಒಗ್ಗಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಅಪರೂಪಕ್ಕೆ ಯಾರಾದರೂ "ಇದು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬಂತು?" ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು "ಇದು ಹೇಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ?" ಮೈಕ್ರೊವೇವ್ ಉಪಹಾರವನ್ನು ಬಿಸಿಮಾಡುತ್ತದೆ - ಅದ್ಭುತವಾಗಿದೆ, ಸ್ಮಾರ್ಟ್ಫೋನ್ ನಿಮಗೆ ಇನ್ನೊಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಮಾತನಾಡಲು ಅವಕಾಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ - ಅದ್ಭುತವಾಗಿದೆ. ಇದು ನಮಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸಾಧ್ಯತೆಯಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ನಡೆಯುತ್ತಿರುವ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಕೇಳದಿದ್ದರೆ ಜೀವನವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸೆಲ್ ಫೋನ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಮೊದಲ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಹಿಂತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಆಂಟೆನಾಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ? ಅವರು ಮಧ್ಯಪ್ರವೇಶಿಸಿದರು, ಸಾಧನದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಆಗಾಗ್ಗೆ ಮುರಿಯುತ್ತಾರೆ. ಅವರು ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ವಿಸ್ಮೃತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಳುಗಿದ್ದಾರೆಂದು ನಾವು ನಂಬುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಭಾಗವೆಂದರೆ... ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್.

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮಾದರಿಗಳು ಅವುಗಳ ಮಾದರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಕರ್ಷಿಸುತ್ತವೆ. ಅವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಕಾಸ್ಮಿಕ್ ವಸ್ತುಗಳ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತವೆ - ನೀಹಾರಿಕೆಗಳು, ಗೆಲಕ್ಸಿ ಸಮೂಹಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಧ್ವನಿ ನೀಡಿದಾಗ, ಅವರ ಸಂಶೋಧನೆಯು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವವರಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿತು. ಬುಡಾಪೆಸ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಅವರ ಉಪನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಿದ ನಂತರ ನಾಥನ್ ಕೋಹೆನ್ ಎಂಬ ಈ ಹವ್ಯಾಸಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು, ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡ ಜ್ಞಾನದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯದ ಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದರು. ನಿಜ, ಅವನು ಇದನ್ನು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಮಾಡಿದನು ಮತ್ತು ಅವನ ಆವಿಷ್ಕಾರದಲ್ಲಿ ಅವಕಾಶವು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸಿದೆ. ರೇಡಿಯೊ ಹವ್ಯಾಸಿಯಾಗಿ, ನಾಥನ್ ಅವರು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂವೇದನೆಯೊಂದಿಗೆ ಆಂಟೆನಾವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರು.

ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಆಂಟೆನಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವ ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಅದರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾಥನ್ ಬಾಡಿಗೆಗೆ ಪಡೆದ ಬೋಸ್ಟನ್ ಡೌನ್‌ಟೌನ್‌ನಲ್ಲಿನ ಆಸ್ತಿಯ ಮಾಲೀಕರು ಛಾವಣಿಯ ಮೇಲೆ ದೊಡ್ಡ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿರೋಧಿಸಿದರು. ನಂತರ ನಾಥನ್ ವಿಭಿನ್ನ ಆಂಟೆನಾ ಆಕಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು, ಕನಿಷ್ಠ ಗಾತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರು. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ರೂಪಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದ ಕೋಹೆನ್, ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ತಂತಿಯಿಂದ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಾಡಿದರು - "ಕೋಚ್ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್". ಸ್ವೀಡಿಷ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಹೆಲ್ಜ್ ವಾನ್ ಕೋಚ್ 1904 ರಲ್ಲಿ ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಂದರು. ವಿಭಾಗವನ್ನು ಮೂರು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ಭಾಗವನ್ನು ಈ ವಿಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದಂತೆ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸ್ವಲ್ಪ ಕಷ್ಟ, ಆದರೆ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿದೆ.

ಕೋಚ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಇತರ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೂ ಇವೆ, ಆದರೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಂದಾಜು ಆಕಾರವು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಇರುತ್ತದೆ

ನಾಥನ್ ಆಂಟೆನಾವನ್ನು ರೇಡಿಯೊ ರಿಸೀವರ್‌ಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದಾಗ, ಅವನು ತುಂಬಾ ಆಶ್ಚರ್ಯಚಕಿತನಾದನು - ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಯು ನಾಟಕೀಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಯಿತು. ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಣಿಯ ನಂತರ, ಬೋಸ್ಟನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಭವಿಷ್ಯದ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಮಾಡಿದ ಆಂಟೆನಾವು ಹೆಚ್ಚಿನ ದಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಾಪಕ ಆವರ್ತನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ಅರಿತುಕೊಂಡರು. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಕರ್ವ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಆಂಟೆನಾದ ಆಕಾರವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಬ್ರಾಡ್‌ಬ್ಯಾಂಡ್ ಆಂಟೆನಾವನ್ನು ರಚಿಸಲು, ಸ್ವಯಂ-ಸದೃಶವಾದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಕರ್ವ್‌ನ ಆಕಾರವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಸಾಕು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನಾಥನ್ ಕೋಹೆನ್ ಸಹ ಮಂಡಿಸಿದರು.

ಲೇಖಕನು ತನ್ನ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಪೇಟೆಂಟ್ ಪಡೆದನು ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಂಟೆನಾಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಮತ್ತು ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಕಂಪನಿಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದನು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಂಟೆನಾ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್, ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ, ಅವನ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಸೆಲ್ ಫೋನ್ಗಳು ಬೃಹತ್ ಆಂಟೆನಾಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸರಿಯಾಗಿ ನಂಬಿದ್ದರು.

ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಇದು ಏನಾಯಿತು. ನಿಜ, ಇಂದಿನವರೆಗೂ ನಾಥನ್ ಅವರು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಂವಹನ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಅಕ್ರಮವಾಗಿ ತನ್ನ ಅನ್ವೇಷಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿರುವ ದೊಡ್ಡ ಸಂಸ್ಥೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾನೂನು ಹೋರಾಟದಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿದ್ದಾರೆ. ಮೊಟೊರೊಲಾದಂತಹ ಕೆಲವು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಮೊಬೈಲ್ ಸಾಧನ ತಯಾರಕರು ಈಗಾಗಲೇ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಂಟೆನಾದ ಸಂಶೋಧಕರೊಂದಿಗೆ ಸೌಹಾರ್ದಯುತ ಒಪ್ಪಂದವನ್ನು ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ.

⇡ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮಗಳು: ನಿಮ್ಮ ಮನಸ್ಸಿನಿಂದ ನೀವು ಅದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ

ಬೆನೈಟ್ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಅಮೇರಿಕನ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಎಡ್ವರ್ಡ್ ಕಾಸ್ನರ್ ಅವರಿಂದ ಎರವಲು ಪಡೆದರು.

ಎರಡನೆಯವರು, ಇತರ ಅನೇಕ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತಜ್ಞರಂತೆ, ಮಕ್ಕಳೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸಲು ಇಷ್ಟಪಟ್ಟರು, ಅವರಿಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಪಡೆದರು. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರ ಪರಿಣಾಮಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಡ್ವರ್ಡ್ ಕಾಸ್ನರ್ ಅವರ ಒಂಬತ್ತು ವರ್ಷದ ಸೋದರಳಿಯ ಈಗ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ "ಗೂಗೋಲ್" ಪದದೊಂದಿಗೆ ಬಂದರು, ಅಂದರೆ ನೂರು ಸೊನ್ನೆಗಳ ನಂತರ. ಆದರೆ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ. ಅಮೇರಿಕನ್ ಗಣಿತಜ್ಞರು US ಕರಾವಳಿಯು ಎಷ್ಟು ಉದ್ದವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಲು ಇಷ್ಟಪಟ್ಟರು. ಅವರ ಸಂವಾದಕನ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಕೇಳಿದ ನಂತರ, ಎಡ್ವರ್ಡ್ ಸ್ವತಃ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಹೇಳಿದರು. ಮುರಿದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉದ್ದವನ್ನು ಅಳತೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ನಿಖರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಕರಾವಳಿಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಾವು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ನಿಖರವಾಗಿ ಅಳತೆ ಮಾಡಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಪ್ರತಿ ಅಸಮಾನತೆಯ ಉದ್ದವನ್ನು ನೀವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ - ನೀವು ಪ್ರತಿ ಕೇಪ್, ಪ್ರತಿ ಕೊಲ್ಲಿ, ಬಂಡೆ, ಕಲ್ಲಿನ ಕಟ್ಟುಗಳ ಉದ್ದ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಲ್ಲು, ಮರಳಿನ ಧಾನ್ಯ, ಪರಮಾಣು ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಅಕ್ರಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುವುದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಹೊಸ ಅಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವಾಗ ಕರಾವಳಿಯ ಅಳತೆಯ ಉದ್ದವು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಳತೆ ಮಾಡುವಾಗ ಅಳತೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಅಳತೆಯ ಉದ್ದವು ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಕುತೂಹಲಕಾರಿಯಾಗಿ, ಎಡ್ವರ್ಡ್ ಅವರ ಅಪೇಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಸರಿಯಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೇಳುವಲ್ಲಿ ಮಕ್ಕಳು ವಯಸ್ಕರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿದ್ದರು, ಆದರೆ ಎರಡನೆಯವರು ಅಂತಹ ಅದ್ಭುತ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲು ತೊಂದರೆ ಅನುಭವಿಸಿದರು.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಮಾಪನಗಳಿಗೆ ಹೊಸ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಕರಾವಳಿಯು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಕರ್ವ್‌ಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದರರ್ಥ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅದಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು - ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿಯಮಿತ ಆಯಾಮ ಏನು ಎಂಬುದು ಯಾರಿಗಾದರೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಆಯಾಮವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಎರಡು ವೇಳೆ - ಒಂದು ಫ್ಲಾಟ್ ಫಿಗರ್, ಮೂರು - ಒಂದು ಪರಿಮಾಣ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಆಯಾಮದ ಈ ತಿಳುವಳಿಕೆಯು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಅಲ್ಲಿ ಈ ನಿಯತಾಂಕವು ಭಾಗಶಃ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ "ಒರಟುತನ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಒರಟುತನ, ಅದರ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಪ್ರಕಾರ, ಅದರ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಆಯಾಮಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಆಯಾಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರದ ಅಂದಾಜು ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಸ್ತುತ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಸ್ಟಾಕ್ ಎಕ್ಸ್‌ಚೇಂಜ್ ಬೆಲೆಗಳಲ್ಲಿನ ಏರಿಳಿತಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬಹುದು, ಜಾತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಏರಿಳಿತಗಳಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು ಅಥವಾ ಹರಿವಿನ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅನುಕರಿಸಬಹುದು. ಇಮೇಜ್ ಕಂಪ್ರೆಷನ್‌ನಂತಹ ಡೇಟಾ ಕಂಪ್ರೆಷನ್‌ಗಾಗಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ಮೂಲಕ, ನಿಮ್ಮ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪರದೆಯಲ್ಲಿ ಸುಂದರವಾದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಡಾಕ್ಟರೇಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.

⇡ ಬ್ರೌಸರ್‌ನಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್

ಯುವ ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮರ್ ಟೋಬಿ ಶಾಚ್‌ಮನ್‌ನಿಂದ ಆನ್‌ಲೈನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಡಿಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಬಹುಶಃ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಪ್ಯಾಟರ್ನ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಈ ಸರಳ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಎಡಿಟರ್ನ ಉಪಕರಣಗಳು ಸ್ವಯಂ ಹೋಲಿಕೆಯ ಅದೇ ತತ್ವವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ.

ನಿಮ್ಮ ವಿಲೇವಾರಿಯಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಎರಡು ಸರಳವಾದ ಆಕಾರಗಳಿವೆ - ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ವೃತ್ತ. ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ಯಾನ್ವಾಸ್‌ಗೆ ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು (ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅಳೆಯಲು, ಶಿಫ್ಟ್ ಕೀಲಿಯನ್ನು ಹಿಡಿದುಕೊಳ್ಳಿ) ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿ. ಬೂಲಿಯನ್ ಸೇರ್ಪಡೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವಿಕೆ, ಈ ಸರಳ ಅಂಶಗಳು ಹೊಸ, ಕಡಿಮೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ರೂಪಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಹೊಸ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ನಂತರ ಯೋಜನೆಗೆ ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಈ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಕಾರದ ಯಾವುದೇ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸಂಪಾದಿಸಬಹುದು. ಮೋಜಿನ ಚಟುವಟಿಕೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ನೀವು ರಚಿಸಬೇಕಾದ ಏಕೈಕ ಸಾಧನವೆಂದರೆ ಬ್ರೌಸರ್ ಎಂದು ನೀವು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ. ಈ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಂಪಾದಕದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ತತ್ವವನ್ನು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ, ಯೋಜನೆಯ ಅಧಿಕೃತ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ವೀಡಿಯೊವನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಲು ನಾವು ನಿಮಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ರಚಿಸುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

⇡ XaoS: ಪ್ರತಿ ರುಚಿಗೆ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು

ಅನೇಕ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಸಂಪಾದಕರು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಅಂತರ್ನಿರ್ಮಿತ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಉಪಕರಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದ್ವಿತೀಯಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮಾದರಿಯ ಉತ್ತಮ ಶ್ರುತಿಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಗಣಿತದ ನಿಖರವಾದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅಡ್ಡ-ಪ್ಲಾಟ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಸಂಪಾದಕ XaoS ರಕ್ಷಣೆಗೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಸ್ವಯಂ-ಸದೃಶವಾದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅದರೊಂದಿಗೆ ವಿವಿಧ ಮ್ಯಾನಿಪ್ಯುಲೇಷನ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಜ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನೀವು ಅದರ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ "ವಾಕ್" ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅನಿಮೇಟೆಡ್ ಚಲನೆಯನ್ನು XAF ಫೈಲ್ ಆಗಿ ಉಳಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು.

XaoS ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಲೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಇಮೇಜ್ ಪೋಸ್ಟ್-ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ ಫಿಲ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು - ಮಸುಕಾದ ಚಲನೆಯ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳ ನಡುವೆ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, 3D ಚಿತ್ರವನ್ನು ಅನುಕರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.

⇡ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಝೂಮರ್: ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜನರೇಟರ್

ಇತರ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಇಮೇಜ್ ಜನರೇಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಇದು ಹಲವಾರು ಪ್ರಯೋಜನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನುಸ್ಥಾಪನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ಚಿತ್ರದ ಬಣ್ಣದ ಪ್ಯಾಲೆಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ನೀವು RGB, CMYK, HVS ಮತ್ತು HSL ಬಣ್ಣದ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಛಾಯೆಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು.

ಬಣ್ಣದ ಛಾಯೆಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ತಲೆಕೆಳಗು ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಹ ಇದು ತುಂಬಾ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಬಣ್ಣವನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಲು, ಛಾಯೆಗಳ ಆವರ್ತಕ ಆಯ್ಕೆಯ ಕಾರ್ಯವಿದೆ - ನೀವು ಅನುಗುಣವಾದ ಮೋಡ್ ಅನ್ನು ಆನ್ ಮಾಡಿದಾಗ, ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಅನಿಮೇಟ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಝೂಮರ್ 85 ವಿಭಿನ್ನ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮೆನುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ಇಮೇಜ್ ಪೋಸ್ಟ್-ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ಗಾಗಿ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳಿವೆ, ಆದರೂ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ. ಪ್ರತಿ ನಿಯೋಜಿಸಲಾದ ಫಿಲ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ರದ್ದುಗೊಳಿಸಬಹುದು.

⇡ Mandelbulb3D: 3D ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಎಡಿಟರ್

"ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್" ಪದವನ್ನು ಬಳಸಿದಾಗ, ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಫ್ಲಾಟ್, ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು 2D ಆಯಾಮವನ್ನು ಮೀರಿದೆ. ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ, ಫ್ಲಾಟ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ರೂಪಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಕಾಣಬಹುದು, ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಿಂಚಿನ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಪರಿಮಾಣದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಆಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ 3D ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಒಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವಿವರಣೆಯು ಎಲೆಕೋಸಿನ ತಲೆಯಾಗಿದೆ. ಬಹುಶಃ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ಉತ್ತಮ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ರೋಮನೆಸ್ಕೊ ವಿಧ, ಹೂಕೋಸು ಮತ್ತು ಕೋಸುಗಡ್ಡೆಯ ಹೈಬ್ರಿಡ್.

ನೀವು ಈ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಸಹ ತಿನ್ನಬಹುದು

Mandelbulb3D ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 3D ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಈ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ನ ಲೇಖಕರಾದ ಡೇನಿಯಲ್ ವೈಟ್ ಮತ್ತು ಪಾಲ್ ನೈಲ್ಯಾಂಡರ್, ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರು. ಅವರು ರಚಿಸಿದ Mandelbulb3D ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ವಿಭಿನ್ನ ಆಕಾರಗಳ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ನಿಜವಾದ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಸಂಪಾದಕವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರಿಂದ, ಕೃತಕವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವಸ್ತುವು ನಂಬಲಾಗದಷ್ಟು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಮತ್ತು "ಜೀವಂತವಾಗಿ" ತೋರುತ್ತದೆ.

ಇದು ಸಸ್ಯವನ್ನು ಹೋಲಬಹುದು, ಇದು ವಿಚಿತ್ರ ಪ್ರಾಣಿ, ಗ್ರಹ ಅಥವಾ ಇನ್ನೇನಾದರೂ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಸುಧಾರಿತ ರೆಂಡರಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನಿಂದ ವರ್ಧಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ವಾಸ್ತವಿಕ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಪಾರದರ್ಶಕತೆ ಮತ್ತು ನೆರಳುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಕ್ಷೇತ್ರದ ಆಳದ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಅನುಕರಿಸಲು ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. Mandelbulb3D ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ರೆಂಡರಿಂಗ್ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನೀವು ಬೆಳಕಿನ ಮೂಲಗಳ ಛಾಯೆಗಳನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಬಹುದು, ಅನುಕರಿಸಿದ ವಸ್ತುವಿನ ವಿವರಗಳ ಹಿನ್ನೆಲೆ ಮತ್ತು ಮಟ್ಟವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ.

ಇನ್ಸೆಂಡಿಯಾ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಎಡಿಟರ್ ಡಬಲ್ ಇಮೇಜ್ ಸ್ಮೂಟಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತದೆ, ಐವತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಲೈಬ್ರರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಸಂಪಾದಿಸಲು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಅದರೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಹೊಸ ರೀತಿಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಇನ್ಸೆಂಡಿಯಾ ಟೆಕ್ಸ್ಚರ್ ಮತ್ತು ಮೆಟೀರಿಯಲ್ ಎಡಿಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ರೆಂಡರಿಂಗ್ ಎಂಜಿನ್ ನಿಮಗೆ ವಾಲ್ಯೂಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮಂಜು ಪರಿಣಾಮಗಳು ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಶೇಡರ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ರೆಂಡರಿಂಗ್ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬಫರ್ ಅನ್ನು ಉಳಿಸುವ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನಿಮೇಷನ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತದೆ.

Incendia ನಿಮಗೆ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಜನಪ್ರಿಯ 3D ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ ಫಾರ್ಮ್ಯಾಟ್‌ಗಳಿಗೆ ರಫ್ತು ಮಾಡಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ - OBJ ಮತ್ತು STL. ಇನ್ಸೆಂಡಿಯಾವು ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕಾ ಎಂಬ ಸಣ್ಣ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು 3D ಮಾದರಿಗೆ ರಫ್ತು ಮಾಡಲು ವಿಶೇಷ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಈ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು 3D ಮೇಲ್ಮೈಯ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಬ್ಲೆಂಡರ್, 3ಡಿಸ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಇತರರಂತಹ 3ಡಿ ಎಡಿಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ರಫ್ತು ಮಾಡಲಾದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು 3D ಯೋಜನೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು.

ಇತ್ತೀಚೆಗೆ, ಇನ್ಸೆಂಡಿಯಾ ಯೋಜನೆಯ ಕೆಲಸವು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ನಿಧಾನಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಲೇಖಕರು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾಯೋಜಕರನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದಾರೆ.

ಈ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ಸುಂದರವಾದ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ನೀವು ಸಾಕಷ್ಟು ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ. INCENDIA_EX\parameters ಫೋಲ್ಡರ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಳ ಲೈಬ್ರರಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ. PAR ಫೈಲ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಅನಿಮೇಟೆಡ್ ಸೇರಿದಂತೆ ಅತ್ಯಂತ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ನೀವು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು.

⇡ ಆರಲ್: ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ಹೇಗೆ ಹಾಡುತ್ತವೆ

ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿರುವ ಯೋಜನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದು ವಿನಾಯಿತಿಯನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಆಗಿದೆ. ಆರಲ್ ಎಂಬ ಯೋಜನೆಯು ಇನ್ಸೆಂಡಿಯಾವನ್ನು ರಚಿಸಿದ ಅದೇ ವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಧ್ವನಿಸುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಸಂಗೀತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಕಲ್ಪನೆಯು ತುಂಬಾ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಆರಲ್ ಎಂಬುದು ಆಡಿಯೊ ಸಂಪಾದಕವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಧುರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಇದು ಆಡಿಯೊ ಸಿಂಥಸೈಜರ್-ಸೀಕ್ವೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದೆ.

ಈ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಶಬ್ದಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ... ಸುಂದರವಾಗಿದೆ. ಆಧುನಿಕ ಲಯಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಇದು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ನಮಗೆ ತೋರುತ್ತದೆ, ಟೆಲಿವಿಷನ್ ಮತ್ತು ರೇಡಿಯೊ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳ ಸ್ಕ್ರೀನ್‌ಸೇವರ್‌ಗಳಿಗಾಗಿ ಧ್ವನಿಪಥಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಆಟಗಳಿಗೆ ಹಿನ್ನೆಲೆ ಸಂಗೀತದ “ಲೂಪ್‌ಗಳು” ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರಾಮಿರೊ ಅವರ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ಡೆಮೊವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಒದಗಿಸಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವರು ಆರಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭರವಸೆ ನೀಡುತ್ತಾರೆ - ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ನೀವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ನೋಟುಗಳ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್ ಹೇಗೆ ಧ್ವನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಆಲಿಸಿ, ಮತ್ತು.

ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್: ಸಂಗೀತ ವಿರಾಮ

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಇಲ್ಲದೆಯೂ ಸಹ ಸಂಗೀತವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದು. ಆದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಾಮರಸ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ತುಂಬಿರುವ ಮತ್ತು ದುರದೃಷ್ಟಕರ "ದಡ್ಡ" ಆಗಿ ಬದಲಾಗದ ಯಾರಾದರೂ ಮಾತ್ರ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಜೊನಾಥನ್ ಕೌಲ್ಟನ್ ಎಂಬ ಸಂಗೀತಗಾರನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲು ಇದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಅವರು ಇತರ ವಿಷಯಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಪಾಪ್ಯುಲರ್ ಸೈನ್ಸ್ ನಿಯತಕಾಲಿಕೆಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು ಇತರ ಪ್ರದರ್ಶಕರಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಕಾಲ್ಟನ್ ತನ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಕೃತಿಗಳನ್ನು ಕ್ರಿಯೇಟಿವ್ ಕಾಮನ್ಸ್ ಅಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್-ವಾಣಿಜ್ಯೇತರ ಪರವಾನಗಿ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸುತ್ತಾನೆ, ಇದು (ವಾಣಿಜ್ಯೇತರ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಬಳಸಿದಾಗ) ಉಚಿತ ನಕಲು, ವಿತರಣೆ, ಇತರರಿಗೆ ಕೃತಿಯ ವರ್ಗಾವಣೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ( ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕೃತಿಗಳ ರಚನೆ) ಇದರಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಜೊನಾಥನ್ ಕೋಲ್ಟನ್, ಸಹಜವಾಗಿ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹಾಡನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ.

⇡ ತೀರ್ಮಾನ

ನಮ್ಮನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಎಲ್ಲದರಲ್ಲೂ, ನಾವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದು ಅಪಘಾತವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಆದರ್ಶ ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ನಮಗೆ ಗ್ರಹಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕೃತಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪಿ, ಆದರ್ಶ ಬಿಲ್ಡರ್ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರ್. ಇದು ತುಂಬಾ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಎಲ್ಲೋ ಒಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ನೋಡದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಬೇರೆ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ನೋಡಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಜನರು ಇದನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಅನೇಕ ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೂಪಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಎಂಜಿನಿಯರ್‌ಗಳು ಶೆಲ್-ಆಕಾರದ ಸ್ಪೀಕರ್ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ, ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್-ಆಕಾರದ ಆಂಟೆನಾಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳು ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ರಹಸ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಖಚಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವು ಮಾನವರಿಂದ ಇನ್ನೂ ಪತ್ತೆಯಾಗಿಲ್ಲ.