ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಸೂತ್ರಗಳು

"ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ" ಎಂಬ ವಿಷಯವನ್ನು 9 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯ ಗಣಿತದ ಆಳವಾದ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ ಈ ವಿಷಯವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ, ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಎದುರಿಸಬಹುದಾದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಗತಿಯು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದು, ನಾವು ಕೆಲವು ಗಣಿತದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಅಂಶವನ್ನು ಹಿಂದಿನದರಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸರಳ ವಿಧಗಳಿವೆ: ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತ, ಇದನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.

ಕೆಲವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸೋಣ, ಅದನ್ನು a1 ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. a1 ಗೆ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು d ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ನಂತರ ಸರಣಿಯ ಎರಡನೇ ಅಂಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಬಹುದು: a2 = a1+d. ಈಗ ಮತ್ತೆ d ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: a3 = a2+d. ಈ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸುತ್ತಾ, ನೀವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅದನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನಿಂದ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದಂತೆ, ಈ ಅನುಕ್ರಮದ n ನೇ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ: a = a1 + (n-1)*d. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, n=1 ಅನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು a1 = a1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, n = 2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸೂತ್ರವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: a2 = a1 + 1*d, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 5 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು a1 = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇದರರ್ಥ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಕಾರದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: 1, 6, 11, 16, 21, ... ನೀವು ಮಾಡಬಹುದಾದಂತೆ ನೋಡಿ, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸದಸ್ಯರು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ 5 ಹೆಚ್ಚು.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರಗಳು

ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಅದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ನೀವು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು: a1 ಮತ್ತು d. ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸರಣಿಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, d ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ; ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, d ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ n ನೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು? ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸುವ ಎರಡು ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

d = an+1-an, ಈ ಸೂತ್ರವು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

d = (-a1+an)/(n-1), ಲೇಖನದ ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಾವು d ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರೆ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. n=1 ಆಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ (0/0). ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸರಣಿಯ ಕನಿಷ್ಠ 2 ಅಂಶಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಂಬುದು ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ.

ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ಎರಡು ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಇನ್ನೊಂದು ಸೂತ್ರವಿದೆ.

ಮೊದಲ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತ

ಐತಿಹಾಸಿಕ ಪುರಾವೆಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮೊದಲು 18 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ "ರಾಜಕುಮಾರ" ಕಾರ್ಲ್ ಗೌಸ್ ಪಡೆದರು. ಜರ್ಮನ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ, ಹಳ್ಳಿಯ ಶಾಲೆಯೊಂದರ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಹುಡುಗನಾಗಿದ್ದಾಗ, 1 ರಿಂದ 100 ರವರೆಗಿನ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಮೊದಲ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯದನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವೆಂದು ಗಮನಿಸಿದರು (ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಅಂತಿಮ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ, ಅಂತಿಮ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಮೊತ್ತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು, ಅಂದರೆ 50 ರಿಂದ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: Sn = n/2*(an+a1). ಸೂಚಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಪ್ರಗತಿಯ ಎರಡು ಪದಗಳು (a ಮತ್ತು a1) ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ d ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1. ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, a1 ಮತ್ತು a ಸರಣಿಯ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಿ

ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ನಿಮಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ: ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, a13 = -5.6 ಮತ್ತು a1 = -12.1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾವು ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು d. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: d =(-1*(-12.1)+(-5.6))/12 = 0.54167. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು n=13 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದವು ತಿಳಿದಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಅಂಶಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಪ್ರಗತಿಯು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ a13>a1, ಆದರೂ |a13|<|a1|.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಗತಿಯ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಯಮಗಳು

ಹೊಸ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ: ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಗತಿಯ ಅಂಶಗಳು ಯಾವ ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತವೆ?

ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, a1 = -12.1 ಮತ್ತು d = 0.54167 ಪ್ರಗತಿಯು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆ n ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಸರಳವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: an>0 ಅಥವಾ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: a1 + (n-1)*d>0. ಅಜ್ಞಾತ n ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅದನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ: n>-1*a1/d + 1. ಈಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಉಳಿದಿದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 ಅಥವಾ n>23.338. n ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇದು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ 23 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಪದಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಈ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ 23 ನೇ ಮತ್ತು 24 ನೇ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: a23=-12.1 + 22*0.54167 = -0.18326 (ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ); a24=-12.1 + 23*0.54167 =0.3584 (ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯ). ಹೀಗಾಗಿ, ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸರಿಯಾಗಿದೆ: n=24 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3. ಎಷ್ಟು ಲಾಗ್‌ಗಳು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ?

ನಾವು ಒಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ: ಲಾಗಿಂಗ್ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಸಾನ್ ಲಾಗ್ಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಮೇಲೊಂದು ಜೋಡಿಸಲು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಯಿತು. ಒಟ್ಟು 10 ಸಾಲುಗಳು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು ಎಷ್ಟು ಲಾಗ್‌ಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು?

ಲಾಗ್‌ಗಳನ್ನು ಮಡಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಷಯವನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು: ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಸಾಲು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಒಂದು ಲಾಗ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ನಡೆಯುತ್ತದೆ, ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು d = 1 ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಲಾಗ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಮತ್ತು a1 = 1 (ಒಂದು ಲಾಗ್ ಮಾತ್ರ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ) ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು a10 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: a10 = 1 + 1 * (10-1) = 10. ಅಂದರೆ, ನೆಲದ ಮೇಲೆ ಇರುವ 10 ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, 10 ಲಾಗ್ಗಳು ಇರುತ್ತವೆ.

ಗಾಸ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ "ಪಿರಮಿಡ್" ರಚನೆಯ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: S10 = 10/2*(10+1) = 55 ಲಾಗ್‌ಗಳು.

ಮೊದಲ ಹಂತ

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ. ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತ (2019)

ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಕುಳಿತು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ನೀವು ಇಷ್ಟಪಡುವಷ್ಟು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವು ಇರಬಹುದು (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳು ಇವೆ). ನಾವು ಎಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆದರೂ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಯಾವುದು ಮೊದಲನೆಯದು, ಯಾವುದು ಎರಡನೆಯದು ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಕೊನೆಯವರೆಗೂ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ:

ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಮ್ಮ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ:

ನಿಯೋಜಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಸೆಕೆಂಡ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ. ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆ (ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಂತೆ) ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ನೇ ಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕೆಲವು ಅಕ್ಷರದ ಮೂಲಕ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ,), ಮತ್ತು ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಸದಸ್ಯರು ಈ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಅಕ್ಷರವಾಗಿದೆ: .

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ:

ನಾವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪಕ್ಕದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಇತ್ಯಾದಿ
ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
"ಪ್ರಗತಿ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ರೋಮನ್ ಲೇಖಕ ಬೋಥಿಯಸ್ 6 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ವಿಶಾಲವಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಯಿತು. "ಅಂಕಗಣಿತ" ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಿರಂತರ ಅನುಪಾತಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಯಿತು.

ಇದು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸದಸ್ಯರು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೇರಿಸಲಾದ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಅಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:

a)
b)
ಸಿ)
d)

ಅರ್ಥವಾಯಿತು? ನಮ್ಮ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ:
ಇದೆಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ - ಬಿ, ಸಿ.
ಅಲ್ಲಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ - a, d.

ನೀಡಲಾದ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ () ಮತ್ತು ಅದರ ನೇ ಪದದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎರಡುಅದನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಮಾರ್ಗ.

1. ವಿಧಾನ

ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ನೇ ಅವಧಿಯನ್ನು ತಲುಪುವವರೆಗೆ ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ರಗತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು. ಸಾರಾಂಶಿಸಲು ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಇಲ್ಲದಿರುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು - ಕೇವಲ ಮೂರು ಮೌಲ್ಯಗಳು:

ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿವರಿಸಿದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನೇ ಪದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ವಿಧಾನ

ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ನೇ ಅವಧಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಸಂಕಲನವು ನಮಗೆ ಒಂದು ಗಂಟೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ ನಾವು ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸತ್ಯವಲ್ಲ.
ಸಹಜವಾಗಿ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಂದಿದ್ದಾರೆ. ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡಿ... ಖಂಡಿತವಾಗಿ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಿ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದದ ಮೌಲ್ಯವು ಏನನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಬೇರೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ:

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀವೇ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ನೀವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ್ದೀರಾ? ಉತ್ತರದೊಂದಿಗೆ ನಿಮ್ಮ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ:

ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸೇರಿಸಿದಾಗ ನೀವು ಹಿಂದಿನ ವಿಧಾನದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ.
ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು "ವೈಯಕ್ತೀಕರಿಸಲು" ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ - ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯೋಣ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಸಮೀಕರಣ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಹುದು.

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ- ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಮೌಲ್ಯವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ಪ್ರಗತಿಗಳು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಅವರೋಹಣ- ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಮೌಲ್ಯವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಪ್ರಗತಿಗಳು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಪದಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ ಪದಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.
ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನಮಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ನಾವು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ಈ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಏನೆಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ಅಂದಿನಿಂದ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಸೂತ್ರವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ.
ಈ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನೇ ಮತ್ತು ನೇ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಆಸ್ತಿ

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ - ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ನಮಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ:
- ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ, ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಸುಲಭ, ನೀವು ಹೇಳುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ನಿಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಎಣಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ:

ಲೆಟ್, ಆಹ್, ನಂತರ:

ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಸರಿಯಿದೆ. ನಾವು ಮೊದಲು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ನಾವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏನೂ ಇಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಾವು ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಏನು? ಒಪ್ಪುತ್ತೇನೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ತಪ್ಪು ಮಾಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ.
ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂದು ಈಗ ಯೋಚಿಸಿ? ಖಂಡಿತ ಹೌದು, ಮತ್ತು ಅದನ್ನೇ ನಾವು ಈಗ ಹೊರತರಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪದವನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ, ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ - ಇದು ನಾವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಅದೇ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ:
, ನಂತರ:

ಪ್ರಗತಿಯ ಹಿಂದಿನ ಅವಧಿ:
ಪ್ರಗತಿಯ ಮುಂದಿನ ಅವಧಿ:

ಪ್ರಗತಿಯ ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ನಂತರದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸೋಣ:

ಪ್ರಗತಿಯ ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದದ ದ್ವಿಗುಣ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ತಿಳಿದಿರುವ ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಬೇಕು.

ಅದು ಸರಿ, ನಾವು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ವಸ್ತುವನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿರಿಸೋಣ. ಪ್ರಗತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀವೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ, ಅದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ.

ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ! ಪ್ರಗತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲವೂ ತಿಳಿದಿದೆ! ದಂತಕಥೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಗಣಿತಜ್ಞರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರಾದ "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ರಾಜ" - ಕಾರ್ಲ್ ಗೌಸ್ ಅವರಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಉಳಿದಿದೆ.

ಕಾರ್ಲ್ ಗೌಸ್ 9 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನವನಾಗಿದ್ದಾಗ, ಇತರ ತರಗತಿಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಕೆಲಸವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವಲ್ಲಿ ನಿರತರಾಗಿರುವ ಶಿಕ್ಷಕ, ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೆಲಸವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಿದರು: "ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು (ಇತರ ಮೂಲಗಳ ಪ್ರಕಾರ) ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ." ಒಂದು ನಿಮಿಷದ ನಂತರ ಅವರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು (ಇದು ಕಾರ್ಲ್ ಗೌಸ್) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ಶಿಕ್ಷಕರ ಆಶ್ಚರ್ಯವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಡೇರ್‌ಡೆವಿಲ್ ಸಹಪಾಠಿಗಳು ದೀರ್ಘ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ನಂತರ ತಪ್ಪು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆದರು ...

ಯಂಗ್ ಕಾರ್ಲ್ ಗೌಸ್ ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಗಮನಿಸಬಹುದಾದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರು.
ನಾವು -th ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ: ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಈ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯವು ಗೌಸ್ ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವಂತೆ ಅದರ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಏನು?

ನಮಗೆ ನೀಡಿದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸೋಣ. ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಅವರೊಂದಿಗೆ ವಿವಿಧ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ನೀವು ಅದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ್ದೀರಾ? ನೀವು ಏನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಿ? ಸರಿ! ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಈಗ ಹೇಳಿ, ನಮಗೆ ನೀಡಿರುವ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಜೋಡಿಗಳಿವೆ? ಸಹಜವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು, ಅಂದರೆ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಎರಡು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಜೋಡಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ನೇ ಪದವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಮೊತ್ತ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.
ನಿನಗೆ ಏನು ಸಿಕ್ಕಿತು?

ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ! ಈಗ ಕಾರ್ಲ್ ಗೌಸ್‌ಗೆ ಕೇಳಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ: th ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು th ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಷ್ಟು ಎಂದು ನೀವೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಎಷ್ಟು ಸಿಕ್ಕಿತು?
ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಗೌಸ್ ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದು ಅದನ್ನೇ?

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ 3 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಬುದ್ಧಿವಂತ ಜನರು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡರು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟ್ ಮತ್ತು ಆ ಕಾಲದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ನಿರ್ಮಾಣ ಯೋಜನೆ - ಪಿರಮಿಡ್ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ... ಚಿತ್ರವು ಅದರ ಒಂದು ಬದಿಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಗತಿ ಎಲ್ಲಿದೆ, ನೀವು ಹೇಳುತ್ತೀರಾ? ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಪಿರಮಿಡ್ ಗೋಡೆಯ ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮರಳಿನ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಏಕೆ ಇಲ್ಲ? ಬ್ಲಾಕ್ ಇಟ್ಟಿಗೆಗಳನ್ನು ತಳದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿದರೆ ಒಂದು ಗೋಡೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಬ್ಲಾಕ್ಗಳು ಬೇಕು ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ. ಮಾನಿಟರ್‌ನಾದ್ಯಂತ ನಿಮ್ಮ ಬೆರಳನ್ನು ಚಲಿಸುವಾಗ ನೀವು ಎಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ, ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಹೇಳಿದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನೀವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಾ?

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಗತಿಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: .
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
ನಮ್ಮ ಡೇಟಾವನ್ನು ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ (ಬ್ಲಾಕ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 2 ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ).

ವಿಧಾನ 1.

ವಿಧಾನ 2.

ಮತ್ತು ಈಗ ನೀವು ಮಾನಿಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು: ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಮ್ಮ ಪಿರಮಿಡ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಬ್ಲಾಕ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ. ಅರ್ಥವಾಯಿತು? ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ, ನೀವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ.
ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ತಳದಲ್ಲಿರುವ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳಿಂದ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದರಿಂದ? ಈ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಗೋಡೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಮರಳು ಇಟ್ಟಿಗೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.
ನೀವು ನಿರ್ವಹಿಸಿದ್ದೀರಾ?
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವೆಂದರೆ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳು:

ತರಬೇತಿ

ಕಾರ್ಯಗಳು:

ಮಾಷಾ ಬೇಸಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಆಕಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಪ್ರತಿದಿನ ಅವಳು ಸ್ಕ್ವಾಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತಾಳೆ. ಮೊದಲ ತರಬೇತಿ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಶಾ ಸ್ಕ್ವಾಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ ವಾರದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಸ್ಕ್ವಾಟ್ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ?
ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಷ್ಟು.
ಲಾಗ್‌ಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವಾಗ, ಪ್ರತಿ ಮೇಲಿನ ಪದರವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಲಾಗ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲಾಗರ್‌ಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಕಲ್ಲಿನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಮರದ ದಿಮ್ಮಿಗಳಿವೆ, ಕಲ್ಲಿನ ಅಡಿಪಾಯವು ಮರದ ದಿಮ್ಮಿಗಳಾಗಿದ್ದರೆ?

ಉತ್ತರಗಳು:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ
(ವಾರಗಳು = ದಿನಗಳು).
ಉತ್ತರ:ಎರಡು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ, ಮಾಶಾ ದಿನಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮೆ ಸ್ಕ್ವಾಟ್ಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು.
ಮೊದಲ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ, ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.
ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅರ್ಧವಾಗಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:
ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.
ಲಭ್ಯವಿರುವ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ:
ಉತ್ತರ:ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, a , ಪ್ರತಿ ಮೇಲಿನ ಪದರವು ಒಂದು ಲಾಗ್ನಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಪದರಗಳ ಗುಂಪೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.
ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:
ಉತ್ತರ:ಕಲ್ಲಿನಲ್ಲಿ ಮರದ ದಿಮ್ಮಿಗಳಿವೆ.

ಅದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸೋಣ

- ಪಕ್ಕದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮ. ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಹುದು.
ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದುಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನೇ ಪದವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - , ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರ ಆಸ್ತಿ- - ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು:

, ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ. ಸರಾಸರಿ ಮಟ್ಟ

ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ

ನಾವು ಕುಳಿತು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಇಷ್ಟಪಡುವಷ್ಟು ಇರಬಹುದು. ಆದರೆ ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಯಾವುದು ಮೊದಲನೆಯದು, ಯಾವುದು ಎರಡನೆಯದು ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಬಹುದು.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರಬಹುದು. ಮತ್ತು ನಾವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಿಯೋಜಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ನೇ ಸದಸ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅನುಕ್ರಮದ ನೇ ಪದವನ್ನು ಕೆಲವು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ ಅದು ತುಂಬಾ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೂತ್ರ

ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ:

ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ (ಇಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ). ಅಥವಾ (, ವ್ಯತ್ಯಾಸ).

n ನೇ ಅವಧಿಯ ಸೂತ್ರ

ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಹಿಂದಿನ ಅಥವಾ ಹಲವಾರು ಹಿಂದಿನದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಗತಿಯ ನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಒಂಬತ್ತನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದನ್ನು ಬಿಡಿ. ನಂತರ:

ಸರಿ, ಸೂತ್ರ ಏನು ಎಂಬುದು ಈಗ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆಯೇ?

ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದು? ತುಂಬಾ ಸರಳ: ಇದು ಪ್ರಸ್ತುತ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೈನಸ್ ಆಗಿದೆ:

ಈಗ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಸರಿ? ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಿಮಗಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ, n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ನೂರನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಮೊದಲ ಪದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು? ಇಲ್ಲಿದೆ ನೋಡಿ:

(ಇದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಇದನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಪ್ರಗತಿಯ ಅನುಕ್ರಮ ಪದಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರ:

ನಂತರ ನೂರನೇ ಪದವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಷ್ಟು?

ದಂತಕಥೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಮಹಾನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಕಾರ್ಲ್ ಗೌಸ್, 9 ವರ್ಷದ ಬಾಲಕನಾಗಿದ್ದಾಗ, ಈ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕೆಲವೇ ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದನು. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಉಪಾಂತ್ಯದ ಮೊತ್ತವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂತ್ಯದಿಂದ ಮೂರನೇ ಮತ್ತು 3 ನೇ ಮೊತ್ತವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅಂತಹ ಜೋಡಿಗಳು ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು? ಅದು ಸರಿ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,

ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ:
ಎಲ್ಲಾ ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ಗುಣಾಕಾರಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಅಂತಹ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದು. ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮೊದಲ ಪದ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಈ ಪ್ರಗತಿಗೆ ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರ:

ಅವೆಲ್ಲವೂ ಎರಡು-ಅಂಕಿಯಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದಾದರೆ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಪದಗಳಿವೆ?

ಬಹಳ ಸುಲಭ: .

ಪ್ರಗತಿಯ ಕೊನೆಯ ಅವಧಿಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಮೊತ್ತ:

ಉತ್ತರ:.

ಈಗ ನೀವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

ಪ್ರತಿದಿನ ಅಥ್ಲೀಟ್ ಹಿಂದಿನ ದಿನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೀಟರ್ ಓಡುತ್ತಾನೆ. ಮೊದಲ ದಿನ ಕಿಮೀ ಓಡಿದರೆ ಒಂದು ವಾರದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಓಡುತ್ತಾನೆ?
ಸೈಕ್ಲಿಸ್ಟ್ ಪ್ರತಿದಿನ ಹಿಂದಿನ ದಿನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತಾನೆ. ಮೊದಲ ದಿನ ಅವರು ಕಿ.ಮೀ. ಒಂದು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಕ್ರಮಿಸಲು ಅವನು ಎಷ್ಟು ದಿನ ಪ್ರಯಾಣಿಸಬೇಕು? ತನ್ನ ಪ್ರಯಾಣದ ಕೊನೆಯ ದಿನದಲ್ಲಿ ಅವನು ಎಷ್ಟು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತಾನೆ?
ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿನ ರೆಫ್ರಿಜರೇಟರ್‌ನ ಬೆಲೆ ಪ್ರತಿ ವರ್ಷವೂ ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆರು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಅದನ್ನು ರೂಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಮಾರಾಟ ಮಾಡಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ವರ್ಷ ರೆಫ್ರಿಜರೇಟರ್‌ನ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಉತ್ತರಗಳು:

ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದರ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, (ವಾರಗಳು = ದಿನಗಳು). ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:
.
ಉತ್ತರ:
ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: , ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನೀವು ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ಮೊತ್ತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:
ಮೂಲವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಸರಿಹೊಂದುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ತರ.
ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೊನೆಯ ದಿನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:
(ಕಿಮೀ).
ಉತ್ತರ:
ನೀಡಿದ: . ಹುಡುಕಿ: .
ಇದು ಸರಳವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ:
(ರಬ್).
ಉತ್ತರ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ

ಇದು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪಕ್ಕದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಹೆಚ್ಚಾಗಬಹುದು () ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಹುದು ().

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ

ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರ ಆಸ್ತಿ

ಅದರ ನೆರೆಯ ಪದಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ - ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತ

ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ:

ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d ರೂಪದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ d ಹಂತ ಪ್ರಗತಿ.ಅಂಕಗಣಿತದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ n-ನೇ ಪದದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಪ್ರಗತಿರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: An = A1+(n-1)d. ನಂತರ ಸದಸ್ಯರೊಬ್ಬರನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಪ್ರಗತಿ, ಸದಸ್ಯ ಪ್ರಗತಿಮತ್ತು ಹೆಜ್ಜೆ ಪ್ರಗತಿ, ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಪ್ರಗತಿ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಇದನ್ನು n = (An-A1+d)/d ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ mth ಪದವನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ ಪ್ರಗತಿಮತ್ತು ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಸದಸ್ಯ ಪ್ರಗತಿ- nth, ಆದರೆ n , ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಕರಣದಂತೆ, ಆದರೆ n ಮತ್ತು m ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಪ್ರಗತಿಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು: d = (An-Am)/(n-m). ನಂತರ n = (An-Am+md)/d.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣದ ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಪ್ರಗತಿ, ಹಾಗೆಯೇ ಅದರ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ, ನಂತರ ಈ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೊತ್ತ ಪ್ರಗತಿಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: S = ((A1+An)/2)n. ನಂತರ n = 2S/(A1+An) - chdenov ಪ್ರಗತಿ. An = A1+(n-1)d ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು: n = 2S/(2A1+(n-1)d). ಇದರಿಂದ ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ n ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಅನುಕ್ರಮವು ಕ್ರಮಪಡಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯ, ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಒಂದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ಅದರ ಹಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ತಿಳಿದಿರುವ ಪದಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಜೋಡಿ ಪಕ್ಕದ ಪದಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು (ಡಿ) ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು ನಂತರದ ಪದದಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು - ಇದು ಪ್ರಗತಿಯು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆಯೇ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಗತಿಯ ನೆರೆಯ ಪದಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಜೋಡಿಗೆ (aᵢ ಮತ್ತು aᵢ₊₁) ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಿರಿ: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

ಅಂತಹ ಪ್ರಗತಿಯ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಪದಗಳಿಗೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೊದಲನೆಯದು (a₁), ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು (d) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅನುಕ್ರಮದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಸದಸ್ಯರ ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆ (i) ತಿಳಿದಿರಬೇಕು. ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪದದ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಿರಿ: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ i ಯೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸದಸ್ಯರ ಜೊತೆಗೆ, ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ u ನೊಂದಿಗೆ ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಸದಸ್ಯರು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಿಂದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ (d) ಈ ಎರಡು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅವುಗಳ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಅದರ ಮೊದಲ ಪದದ (a₁) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಪದಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ (i) ಮೊತ್ತವನ್ನು (Sᵢ) ನೀಡಿದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು (d) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರವು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಮೊತ್ತವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮಾಡುವ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಿರಿ: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

ಮೊದಲ ಹಂತ

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ. ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತ (2019)

ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ

ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಮ್ಮ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ:

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ:

a)
b)
ಸಿ)
d)

1. ವಿಧಾನ

ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿವರಿಸಿದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನೇ ಪದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ವಿಧಾನ

ನೀವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ್ದೀರಾ? ಉತ್ತರದೊಂದಿಗೆ ನಿಮ್ಮ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಸಮೀಕರಣ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಹುದು.

ಅಂದಿನಿಂದ:

ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಆಸ್ತಿ

ಲೆಟ್, ಆಹ್, ನಂತರ:

ಪ್ರಗತಿಯ ಹಿಂದಿನ ಅವಧಿ:
ಪ್ರಗತಿಯ ಮುಂದಿನ ಅವಧಿ:

ಪ್ರಗತಿಯ ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ನಂತರದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸೋಣ:

ವಿಧಾನ 1.

ವಿಧಾನ 2.

ತರಬೇತಿ

ಕಾರ್ಯಗಳು:

ಮಾಷಾ ಬೇಸಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಆಕಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಪ್ರತಿದಿನ ಅವಳು ಸ್ಕ್ವಾಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತಾಳೆ. ಮೊದಲ ತರಬೇತಿ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಶಾ ಸ್ಕ್ವಾಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ ವಾರದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಸ್ಕ್ವಾಟ್ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ?
ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಷ್ಟು.
ಲಾಗ್‌ಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವಾಗ, ಪ್ರತಿ ಮೇಲಿನ ಪದರವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಲಾಗ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲಾಗರ್‌ಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಕಲ್ಲಿನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಮರದ ದಿಮ್ಮಿಗಳಿವೆ, ಕಲ್ಲಿನ ಅಡಿಪಾಯವು ಮರದ ದಿಮ್ಮಿಗಳಾಗಿದ್ದರೆ?

ಉತ್ತರಗಳು:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ
(ವಾರಗಳು = ದಿನಗಳು).
ಉತ್ತರ:ಎರಡು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ, ಮಾಶಾ ದಿನಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮೆ ಸ್ಕ್ವಾಟ್ಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು.
ಮೊದಲ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ, ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.
ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅರ್ಧವಾಗಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:
ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.
ಲಭ್ಯವಿರುವ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ:
ಉತ್ತರ:ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, a , ಪ್ರತಿ ಮೇಲಿನ ಪದರವು ಒಂದು ಲಾಗ್ನಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಪದರಗಳ ಗುಂಪೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.
ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:
ಉತ್ತರ:ಕಲ್ಲಿನಲ್ಲಿ ಮರದ ದಿಮ್ಮಿಗಳಿವೆ.

ಅದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸೋಣ

- ಪಕ್ಕದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮ. ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಹುದು.
ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದುಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನೇ ಪದವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - , ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರ ಆಸ್ತಿ- - ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು:

, ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ. ಸರಾಸರಿ ಮಟ್ಟ

ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ

ನಾವು ಕುಳಿತು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ನೇ ಸದಸ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ:

ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ:

n ನೇ ಅವಧಿಯ ಸೂತ್ರ

ಸರಿ, ಸೂತ್ರ ಏನು ಎಂಬುದು ಈಗ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆಯೇ?

ಈಗ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಸರಿ? ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಿಮಗಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

ಪರಿಹಾರ:

ಮೊದಲ ಪದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು? ಇಲ್ಲಿದೆ ನೋಡಿ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರ:

ನಂತರ ನೂರನೇ ಪದವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಷ್ಟು?

ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ:
ಎಲ್ಲಾ ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ಗುಣಾಕಾರಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಈ ಪ್ರಗತಿಗೆ ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರ:

ಅವೆಲ್ಲವೂ ಎರಡು-ಅಂಕಿಯಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದಾದರೆ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಪದಗಳಿವೆ?

ಬಹಳ ಸುಲಭ: .

ಪ್ರಗತಿಯ ಕೊನೆಯ ಅವಧಿಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಮೊತ್ತ:

ಉತ್ತರ:.

ಈಗ ನೀವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

ಪ್ರತಿದಿನ ಅಥ್ಲೀಟ್ ಹಿಂದಿನ ದಿನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೀಟರ್ ಓಡುತ್ತಾನೆ. ಮೊದಲ ದಿನ ಕಿಮೀ ಓಡಿದರೆ ಒಂದು ವಾರದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಓಡುತ್ತಾನೆ?
ಸೈಕ್ಲಿಸ್ಟ್ ಪ್ರತಿದಿನ ಹಿಂದಿನ ದಿನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತಾನೆ. ಮೊದಲ ದಿನ ಅವರು ಕಿ.ಮೀ. ಒಂದು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಕ್ರಮಿಸಲು ಅವನು ಎಷ್ಟು ದಿನ ಪ್ರಯಾಣಿಸಬೇಕು? ತನ್ನ ಪ್ರಯಾಣದ ಕೊನೆಯ ದಿನದಲ್ಲಿ ಅವನು ಎಷ್ಟು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತಾನೆ?
ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿನ ರೆಫ್ರಿಜರೇಟರ್‌ನ ಬೆಲೆ ಪ್ರತಿ ವರ್ಷವೂ ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆರು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಅದನ್ನು ರೂಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಮಾರಾಟ ಮಾಡಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ವರ್ಷ ರೆಫ್ರಿಜರೇಟರ್‌ನ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಉತ್ತರಗಳು:

ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದರ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, (ವಾರಗಳು = ದಿನಗಳು). ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:
.
ಉತ್ತರ:
ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: , ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನೀವು ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ಮೊತ್ತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:
ಮೂಲವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಸರಿಹೊಂದುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ತರ.
ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೊನೆಯ ದಿನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:
(ಕಿಮೀ).
ಉತ್ತರ:
ನೀಡಿದ: . ಹುಡುಕಿ: .
ಇದು ಸರಳವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ:
(ರಬ್).
ಉತ್ತರ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಹೆಚ್ಚಾಗಬಹುದು () ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಹುದು ().

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ

ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರ ಆಸ್ತಿ

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತ

ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ:

ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನುಕ್ರಮ \(2\); \(5\); \(8\); \(ಹನ್ನೊಂದು\); \(14\)... ಒಂದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಅಂಶವು ಹಿಂದಿನ ಒಂದರಿಂದ ಮೂರರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮೂರನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಿಂದಿನದರಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು):

ಈ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ \(d\) ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ (\(3\) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಪದವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, \(d\) ಸಹ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ \(d\) ಮೈನಸ್ ಆರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಅಂಶವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಗತಿಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಂಕೇತ

ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸಣ್ಣ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸದಸ್ಯರು(ಅಥವಾ ಅಂಶಗಳು).

ಅವುಗಳನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಂತೆ ಅದೇ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ \(a_n = \ಎಡ\(2; 5; 8; 11; 14...\ಬಲ\)\)

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಮೇಲೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಯು ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ (OGE ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ).

ಉದಾಹರಣೆ (OGE). ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ \(b_1=7; d=4\). \(b_5\) ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ:

ಉತ್ತರ: \(b_5=23\)

ಉದಾಹರಣೆ (OGE). ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: \(62; 49; 36...\) ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪದದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ..
ಪರಿಹಾರ:

	ನಮಗೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯವರಿಂದ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ಅಂಶದಿಂದ ಹಿಂದಿನದನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರ ಮೂಲಕ ಯಾವುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: \(d=49-62=-13\).
	ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ (ಮೊದಲ ಋಣಾತ್ಮಕ) ಅಂಶಕ್ಕೆ ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು.
	ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಉತ್ತರ: \(-3\)

ಉದಾಹರಣೆ (OGE). ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಹಲವಾರು ಸತತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: \(...5; x; 10; 12.5...\) \(x\) ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ:

	\(x\) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಮುಂದಿನ ಅಂಶವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಎಷ್ಟು ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ತಿಳಿದಿರುವ ಎರಡು ನೆರೆಯ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: \(d=12.5-10=2.5\).
	ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು: \(x=5+2.5=7.5\).
	ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಉತ್ತರ: \(7,5\).

ಉದಾಹರಣೆ (OGE). ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಆರು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ:

ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಆರು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಅರ್ಥಗಳು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ; ನಮಗೆ ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊದಲು ನಮಗೆ ನೀಡಲಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
ಮತ್ತು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಆರು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

ಅಗತ್ಯ ಮೊತ್ತ ಪತ್ತೆಯಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: \(S_6=9\).

ಉದಾಹರಣೆ (OGE). ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ:

ಉತ್ತರ: \(d=7\).

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಸೂತ್ರಗಳು

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು - ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಪಳಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಸರಪಳಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ( ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ).

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಹೆಡ್-ಆನ್" ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ ಬಹಳ ಅನಾನುಕೂಲವಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಐದನೇ ಅಂಶ \(b_5\), ಆದರೆ ಮುನ್ನೂರ ಎಂಬತ್ತಾರನೇ \(b_(386)\) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. ನಾವು ನಾಲ್ಕು \(385\) ಬಾರಿ ಸೇರಿಸಬೇಕೇ? ಅಥವಾ ಅಂತಿಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಮೊದಲ ಎಪ್ಪತ್ತಮೂರು ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. ನೀವು ಎಣಿಸಲು ಸುಸ್ತಾಗುತ್ತೀರಿ ...

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು "ಹೆಡ್-ಆನ್" ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ ಪಡೆದ ವಿಶೇಷ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯವಾದವುಗಳು ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು \(n\) ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ.

\(n\)ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರ: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ಇಲ್ಲಿ \(a_1\) ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದವಾಗಿದೆ;
\(n\) - ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆ;
\(a_n\) – ಸಂಖ್ಯೆ \(n\) ಜೊತೆಗೆ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದ

ಈ ಸೂತ್ರವು ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಮುನ್ನೂರನೇ ಅಥವಾ ಮಿಲಿಯನ್ ಅಂಶವನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\) ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ:

ಉತ್ತರ: \(b_(246)=1850\).

ಮೊದಲ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ಅಲ್ಲಿ

\(a_n\) – ಕೊನೆಯ ಸಾರಾಂಶ ಪದ;

ಉದಾಹರಣೆ (OGE). ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಷರತ್ತುಗಳು \(a_n=3.4n-0.6\) ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ \(25\) ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		ಮೊದಲ ಇಪ್ಪತ್ತೈದು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಇಪ್ಪತ್ತೈದನೇ ಪದಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ನೋಡಿ). \(n\) ಗಾಗಿ ಒಂದನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		ಈಗ \(n\) ಬದಲಿಗೆ ಇಪ್ಪತ್ತೈದನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇಪ್ಪತ್ತೈದನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		ಸರಿ, ಈಗ ನಾವು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		ಉತ್ತರ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: \(S_(25)=1090\).

ಮೊದಲ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತ \(n\) ಗೆ, ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು: ನೀವು ಕೇವಲ \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) ಬದಲಿಗೆ \(a_n\) ಅದಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು \(a_n=a_1+(n-1)d\). ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಮೊದಲ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ಅಲ್ಲಿ

\(S_n\) – ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೊತ್ತ \(n\) ಮೊದಲ ಅಂಶ;
\(a_1\) – ಮೊದಲ ಸಾರಾಂಶ ಪದ;
\(d\) - ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ;
\(n\) – ಒಟ್ಟು ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ \(33\)-ಮಾಜಿ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
ಪರಿಹಾರ:

ಉತ್ತರ: \(S_(33)=-231\).

ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಈಗ ನೀವು ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ. ನೀವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಿಷಯವನ್ನು ಮುಗಿಸೋಣ, ಆದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಯೋಚಿಸಿ (ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು ☺)

ಉದಾಹರಣೆ (OGE). ಪ್ರಗತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
ಪರಿಹಾರ:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		ಕಾರ್ಯವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದೇ ವಿಷಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲು ನಾವು \(d\) ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		ಈಗ ನಾನು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ \(d\) ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ ... ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ - ನಮಗೆ \(n\) ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಷ್ಟು ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಯೋಚಿಸೋಣ. ನಾವು ಮೊದಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಂಶವನ್ನು ತಲುಪಿದಾಗ ನಾವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ, ಈ ಅಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಹೇಗೆ? ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: ನಮ್ಮ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಲು ನಮಗೆ \(a_n\) ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಇದು ಏನಾಗುತ್ತದೆ \(n\) ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((ಎನ್-1)·0.3>19.3\) \(\|:0.3\)		ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು \(0.3\) ಮೂಲಕ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ.
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		ನಾವು ಮೈನಸ್ ಒಂದನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಮರೆಯುವುದಿಲ್ಲ
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕೋಣ...
\(n>65,333...\)		ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಂಶವು \(66\) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಅದರಂತೆ, ಕೊನೆಯ ಋಣಾತ್ಮಕವು \(n=65\) ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲ \(65\) ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		ಉತ್ತರ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: \(S_(65)=-630.5\).

ಉದಾಹರಣೆ (OGE). ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)th ನಿಂದ \(42\) ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಆದರೆ ಮೊದಲಿನಿಂದ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ \(26\) ನೇಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ. ಅಂತಹ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ನಮ್ಮ ಬಳಿ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲ. ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು? ಇದು ಸುಲಭ - \(26\)th ನಿಂದ \(42\)th ಗೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಮೊದಲು \(1\)th ನಿಂದ \(42\)th ಗೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಕಳೆಯಬೇಕು ಅದರಿಂದ ಮೊತ್ತ ಮೊದಲಿನಿಂದ \(25\)ನೇ (ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ).
	ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ \(a_1=-33\), ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ \(d=4\) (ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಮುಂದಿನದನ್ನು ಹುಡುಕಲು ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಅಂಶಕ್ಕೆ ನಾಲ್ಕನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ). ಇದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಮೊದಲ \(42\) -y ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	ಈಗ ಮೊದಲ \(25\) ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತ.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

ಉತ್ತರ: \(S=1683\).

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ, ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯಿಂದಾಗಿ ನಾವು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸದ ಇನ್ನೂ ಹಲವಾರು ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.