ಈ ಪಾಠವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸರಳವಾದ ಜೀವನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಜನರು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಾರೆ: ವಸ್ತುವನ್ನು ಹಲವಾರು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದಾಗ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೇಕ್ ಅನ್ನು ಹತ್ತು ಜನರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಲು. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಕೇಕ್ ತುಂಡು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭಾಗದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದಾಗ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಸಾಧ್ಯ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x ನಿಂದ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಭಾಗಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ 7 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು (ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ) ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದೀರಿ. ಮುಂದೆ ನಾವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಾಗರೂಪದ ಒಂದು ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯ , ಬಹುಪದಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. - ಅಂಶ ಛೇದ.
ಉದಾಹರಣೆಗಳುತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು:
- ಭಾಗಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು; - ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು. ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಶವು , ಮತ್ತು ಛೇದವು .
ಅರ್ಥ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಗಯಾರಾದರೂ ಹಾಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು , ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.
ಮೊದಲ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಾಗಅದರಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 1.ಎ) , ಬಿ) , ಸಿ) ಗಾಗಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ
ಪರಿಹಾರ.ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ: a) , b) , c) - ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ (ನೀವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ).
ಉತ್ತರ: a) 3; ಬಿ) 1; ಸಿ) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಯಾವುದೇ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಎರಡು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ: 1) ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು, 2) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಅಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳುಅಕ್ಷರದ ಅಸ್ಥಿರ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಮಾನ್ಯ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು- ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವ ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ODZಅಥವಾ ಡೊಮೇನ್.
ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಕ್ಷರಶಃ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯವು ಅಮಾನ್ಯವಾಗಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 2.
ಪರಿಹಾರ.ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಲು, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗದಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಛೇದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮಾತ್ರ ಅಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವು , ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಆದ್ದರಿಂದ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ.
ಉತ್ತರ: -5.
ಉದಾಹರಣೆಯ ಪರಿಹಾರದಿಂದ, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಿಯಮವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ - ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.
ಇದೇ ರೀತಿಯ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 3.ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿ .
ಪರಿಹಾರ..
ಉತ್ತರ..
ಉದಾಹರಣೆ 4.ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ..
ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಇತರ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಿವೆ - ಹುಡುಕಿ ಡೊಮೇನ್ಅಥವಾ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿ (APV). ಇದರರ್ಥ ಎಲ್ಲಾ ಮಾನ್ಯ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಇವುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು ಇದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.
ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ ನಾವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಅಕ್ಕಿ. 1
ಹೀಗಾಗಿ, ಭಿನ್ನರಾಶಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಡೊಮೇನ್ 3 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ.
ಉತ್ತರ..
ಉದಾಹರಣೆ 5.ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ..
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಾವು ಚಿತ್ರಿಸೋಣ:
ಅಕ್ಕಿ. 2
ಉತ್ತರ..
ಉದಾಹರಣೆ 6.
ಪರಿಹಾರ.. ನಾವು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ: ಅಥವಾ, ಇತ್ಯಾದಿ.
ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಈ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಾವು ಚಿತ್ರಿಸೋಣ:
ಅಕ್ಕಿ. 3. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್
ಈ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.
ಉತ್ತರ..
ಚರ್ಚಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಜನೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಎದುರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಕೌಟುಂಬಿಕತೆ ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 7.ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ..
ನಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಹಾಗಲ್ಲ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ವಾದಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ: 
.
ಅಂತಿಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು 8 ನಲ್ಲಿ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೂಲವನ್ನು ಸಹ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ಇದು ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ.
ಉತ್ತರ..
ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ: ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಭಾಗವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ?
48. ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವಿಧಗಳು.
ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ಭಾಗಾಕಾರ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ಬೇರುಗಳ ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಘಾತ), ನಂತರ ಅದನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ಬರೆದವುಗಳಲ್ಲಿ, 1, 2 ಮತ್ತು 6 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.
ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲೆ ಬರೆದವುಗಳಲ್ಲಿ, 3 ಮತ್ತು 4 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿವೆ.
ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲೆ ಬರೆದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ, 1, 2, 3, 4 ಮತ್ತು 6 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು.
ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ (ಅಥವಾ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು), ಅಂತಹ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೇಲೆ ಬರೆದವುಗಳಲ್ಲಿ, 5 ಮತ್ತು 7 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿವೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿರಬಹುದು. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು, ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ.
49. ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್.
ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 48 ರಿಂದ 1, 2, 6 ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ.
ಛೇದವನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಮಾಡುವ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 48 ರಿಂದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 3 ಎಲ್ಲಾ o ಗೆ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಹೊರತುಪಡಿಸಿ , ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 4 a ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ a, b, c ಗೆ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ
ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ತಿರುಗುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮ ಶಕ್ತಿಯ ಮೂಲದ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 5 ಕೇವಲ a, b ಗೆ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 7 ಮತ್ತು (ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 48 ನೋಡಿ) ಮಾತ್ರ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ.
ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಆಯ್ದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ. ಯಾವಾಗ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
50. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಒಂದೇ ರೂಪಾಂತರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಗುರುತು.
ನಾವು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. 0 ಮತ್ತು 3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಒಂದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮಾನತೆ ನಿಜ), ಅಥವಾ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ).
ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು,
ಆಂಶಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ
ಗುರಿಗಳು:ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿ.
ತರಗತಿಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ
I. ಸಾಂಸ್ಥಿಕ ಕ್ಷಣ.
II. ಮೌಖಿಕ ಕೆಲಸ.
* ಬದಲಿಗೆ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಭಾಗವನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ:
ಎ) ; ಬಿ) ; ವಿ) ; ಜಿ) ;
ಡಿ) ; ಇ) ; ಮತ್ತು) ; h)
III. ಹೊಸ ವಸ್ತುಗಳ ವಿವರಣೆ.
ಹೊಸ ವಸ್ತುಗಳ ವಿವರಣೆಯು ಮೂರು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ:
1. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ನವೀಕರಿಸುವುದು.
2. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಾಗವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಪರಿಗಣನೆ.
3. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಿಯಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.
ಜ್ಞಾನವನ್ನು ನವೀಕರಿಸುವಾಗ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಕೇಳಬಹುದು:
ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು:
- ಯಾವ ಭಾಗವನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?
- ಪ್ರತಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೇ?
- ಅದರಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಾಗದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?
ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ನೀವು ಕೆಲಸವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಕೇಳಬಹುದು.
ನಿಯೋಜನೆ: ವೇರಿಯಬಲ್ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:
ನಲ್ಲಿ X = 4; 0; 1.
ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಯಾವಾಗ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ X= 1 ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. ಇದು ಅವರಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ: ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅದರ ಛೇದವನ್ನು ಶೂನ್ಯವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುವ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗವಾಗಿ ಬದಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಈ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸ್ವತಃ ರೂಪಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಗಟ್ಟಿಯಾಗಿ ಮಾತನಾಡಬೇಕು).
ಇದರ ನಂತರ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಶಿಕ್ಷಕರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತಾರೆ.
1) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
2) ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಛೇದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು. ಕಂಡುಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮಾನ್ಯವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
IV. ಕೌಶಲ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳ ರಚನೆ.
1. № 10, № 11.
ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಧ್ವನಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು X= 4, ಅಥವಾ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ X ≠ 4.
ಎರಡೂ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಸರಿಯಾಗಿವೆ; ಸ್ವರೂಪವು ಸರಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯ.
ಮಾದರಿ ಫಾರ್ಮ್:
4X (X + 1) = 0
ಉತ್ತರ: X≠ 0 ಮತ್ತು X≠ 1 (ಅಥವಾ 0 ಮತ್ತು –1 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು).
3. ಸಂ. 14 (ಎ, ಸಿ), ಸಂ. 15.
ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಾಗ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡಬೇಕು.
ಜಿ) 
ಉತ್ತರ: X = 0.
ಎಲ್ಲಾ ತಾರ್ಕಿಕತೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಮೇಲ್ವಿಚಾರಣೆ ಮಾಡಿ.
ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ತರಬೇತಿ ಹೊಂದಿರುವ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆ 18 ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 20 ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು.
ಪರಿಹಾರ
ಒಂದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ, ದೊಡ್ಡದು ಚಿಕ್ಕ ಛೇದವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಯಾವ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎ 2 + 5 ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಎಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ 2 ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಾರದು ಎ, ನಂತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎ 2 + 5 ಯಾವಾಗ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎ = 0.
ಉತ್ತರ: ಎ = 0.
ಇದೇ ರೀತಿ ವಾದಿಸುತ್ತಾ, ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ( ಎ– 3) 2 + 1 ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ಉತ್ತರ: ಎ = 3.
ಪರಿಹಾರ
.
ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು.
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ವೇಳೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (2 X +
+ ನಲ್ಲಿ) 2 + 9 ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂದಿನಿಂದ (2 X + ನಲ್ಲಿ 2 ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯ (2 X + ನಲ್ಲಿ) 2 + 9 ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ 9.
ಆಗ ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೌಲ್ಯ = 2.
V. ಪಾಠದ ಸಾರಾಂಶ.
ಪದೇ ಪದೇ ಕೇಳಲಾಗುವ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು:
- ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಂದು ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?
- ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಯಾವುವು?
- ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?
- ಎಲ್ಲಾ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿವೆಯೇ? ಅಂತಹ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿ.
ಮನೆಕೆಲಸ:ಸಂ. 12, ಸಂ. 14 (ಬಿ, ಡಿ), ಸಂ. 212.