Chúng ta hãy đưa ra một số nhận xét giải thích về việc xác định một hàm bằng một biểu thức hoặc công thức phân tích có liên quan đến phân tích toán học vai trò cực kỳ quan trọng.
1° Trước hết, những hoạt động hoặc hành động phân tích nào có thể được đưa vào các công thức này? Đầu tiên, đây là tất cả các phép toán được nghiên cứu trong đại số và lượng giác cơ bản: các phép tính số học, lũy thừa (và trích rút căn), logarit, chuyển từ góc sang giá trị lượng giác của chúng và ngược lại [xem. dưới 48 - 51]. Tuy nhiên, điều quan trọng cần nhấn mạnh là khi thông tin về phân tích của chúng tôi phát triển, các hoạt động khác sẽ được thêm vào số lượng của chúng, trước hết là việc vượt qua giới hạn mà người đọc đã quen thuộc từ Chương I.
Như vậy, nội dung đầy đủ Thuật ngữ “biểu thức phân tích” hay “công thức” sẽ chỉ được tiết lộ dần dần.
2° Nhận xét thứ hai liên quan đến phạm vi xác định hàm số bằng biểu thức hoặc công thức phân tích.
Có thể nói, mỗi biểu thức phân tích chứa một đối số x đều có một phạm vi tự nhiên: đây là tập hợp tất cả các giá trị của x mà nó vẫn giữ ý nghĩa, nghĩa là nó có một giá trị thực, hữu hạn, được xác định rõ ràng. Hãy giải thích điều này bằng các ví dụ đơn giản.
Vì vậy, đối với biểu thức, vùng như vậy sẽ là toàn bộ tập hợp số thực. Đối với biểu thức, vùng này sẽ bị giảm xuống một khoảng đóng mà vượt quá giá trị của nó không còn là giá trị thực. Ngược lại, biểu thức sẽ phải bao gồm một khoảng mở như một vùng ứng dụng tự nhiên vì ở cuối mẫu số của nó chuyển thành 0. Đôi khi, phạm vi giá trị mà biểu thức vẫn giữ nguyên ý nghĩa của nó bao gồm các khoảng cách ly: đối với điều này sẽ có các khoảng thời gian - khoảng thời gian, v.v.
BẰNG ví dụ cuối cùng xét tổng của một cấp số nhân vô hạn
Nếu sau đó, như chúng ta biết, giới hạn này tồn tại và có ý nghĩa. Khi giới hạn bằng nhau hoặc hoàn toàn không tồn tại. Do đó, đối với biểu thức phân tích đã cho, phạm vi ứng dụng tự nhiên sẽ là khoảng mở
Trong phần trình bày tiếp theo, chúng ta sẽ phải xem xét cả các biểu thức phân tích phức tạp hơn và tổng quát hơn, đồng thời chúng ta sẽ nhiều lần nghiên cứu các tính chất của các hàm được chỉ định biểu hiện tương tự trong toàn bộ lĩnh vực mà nó vẫn giữ được ý nghĩa, tức là bằng cách nghiên cứu chính bộ máy phân tích.
Tuy nhiên, một tình huống khác cũng có thể xảy ra mà chúng tôi cho rằng cần thu hút sự chú ý của người đọc trước. Hãy tưởng tượng rằng một số câu hỏi cụ thể, trong đó biến x về cơ bản bị giới hạn bởi phạm vi biến thiên của X, dẫn đến việc xem xét hàm thừa nhận biểu thức phân tích. Mặc dù có thể xảy ra trường hợp biểu thức này có ý nghĩa bên ngoài vùng X, nhưng tất nhiên vẫn không thể vượt ra ngoài nó. Ở đây biểu thức phân tích đóng vai trò phụ trợ.
Ví dụ, nếu khám phá rơi tự dođiểm nặng từ độ cao so với mặt đất, chúng ta sẽ sử dụng công thức
Sẽ là vô lý nếu xem xét giá trị âm t hoặc các giá trị lớn hơn for, như dễ thấy, tại điểm sẽ rơi rồi xuống đất. Và điều này mặc dù thực tế là bản thân biểu thức vẫn giữ được ý nghĩa đối với tất cả những biểu thức có thật.
3° Có thể xảy ra trường hợp một hàm không được xác định theo cùng một công thức cho tất cả các giá trị của đối số, mà đối với một số - bởi một công thức và đối với những công thức khác - bởi một công thức khác. Một ví dụ về hàm như vậy trong khoảng là hàm được xác định bởi ba công thức sau:
và cuối cùng, nếu .
Chúng ta cũng hãy đề cập đến hàm Dirichlet (P. G. Lejeune-Dinchlet), được định nghĩa như sau:
Cuối cùng, cùng với Kronecker (L. Kroneckcf), chúng ta sẽ xem xét hàm mà ông gọi là “signum” và ký hiệu là
Hàm là sự tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp, được thiết lập theo quy tắc mỗi phần tử của một tập hợp được liên kết với một phần tử nào đó từ một tập hợp khác.
đồ thị của hàm số là quỹ tích các điểm của mặt phẳng, hoành độ (x) và tọa độ (y) có liên hệ với nhau bởi hàm đã chỉ định:
một điểm nằm (hoặc nằm) trên đồ thị của hàm số khi và chỉ khi .
Vì vậy, hàm số có thể được mô tả đầy đủ bằng đồ thị của nó.
Phương pháp bảng. Một cách khá phổ biến là chỉ định một bảng giá trị cá nhânđối số và các giá trị hàm tương ứng của chúng. Phương pháp xác định hàm này được sử dụng khi miền định nghĩa của hàm là một tập hữu hạn rời rạc.
Với phương pháp xác định hàm bằng bảng, có thể tính gần đúng các giá trị của hàm không có trong bảng, tương ứng với các giá trị trung gian của đối số. Để làm điều này, sử dụng phương pháp nội suy.
Ưu điểm của phương pháp xác định hàm dạng bảng là nó có thể xác định được hàm này hay hàm kia. giá trị cụ thể ngay lập tức mà không cần đo đạc hay tính toán bổ sung. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, bảng không xác định đầy đủ hàm mà chỉ xác định một số giá trị của đối số và không cung cấp sự thể hiện trực quan về bản chất của sự thay đổi trong hàm tùy thuộc vào sự thay đổi của đối số.
Phương pháp đồ họa. Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng có tọa độ thỏa mãn phương trình đã cho.
Phương pháp đồ họa để xác định hàm không phải lúc nào cũng có thể xác định chính xác các giá trị số của đối số. Tuy nhiên, nó có một lợi thế lớn so với các phương pháp khác - khả năng hiển thị. Trong kỹ thuật và vật lý, phương pháp đồ họa để xác định hàm số thường được sử dụng và đồ thị là cách duy nhất có sẵn cho việc này.
Để việc gán đồ họa của một hàm hoàn toàn chính xác theo quan điểm toán học, cần phải chỉ ra thiết kế hình học chính xác của đồ thị, thường được chỉ định bởi một phương trình. Điều này dẫn tới cách xác định hàm sau đây.
Phương pháp phân tích. Thông thường, quy luật thiết lập mối liên hệ giữa đối số và chức năng được xác định thông qua các công thức. Phương pháp xác định hàm này được gọi là phân tích.
Phương pháp này giúp mỗi giá trị số của đối số x có thể tìm được giá trị tương ứng của nó giá trị số hàm y chính xác hoặc với độ chính xác nào đó.
Nếu mối quan hệ giữa x và y được cho bởi một công thức giải theo y, tức là có dạng y = f(x), thì ta nói rằng hàm số của x được cho rõ ràng.
Nếu các giá trị x và y có liên quan bởi một số phương trình có dạng F(x,y) = 0, tức là. công thức không được giải cho y, có nghĩa là hàm y = f(x) được đưa ra một cách ngầm định.
Chức năng có thể được xác định công thức khác nhau TRÊN khu vực khác nhau lĩnh vực được giao của bạn.
Phương pháp phân tích là cách phổ biến nhất để xác định hàm. Tính cô đọng, ngắn gọn, khả năng tính giá trị của hàm khi giá trị tùy ý lập luận từ lĩnh vực định nghĩa, khả năng áp dụng bộ máy phân tích toán học vào một hàm nhất định là những ưu điểm chính của phương pháp phân tích xác định hàm. Những nhược điểm bao gồm thiếu khả năng hiển thị, được bù đắp bằng khả năng xây dựng biểu đồ và nhu cầu thực hiện các phép tính đôi khi rất cồng kềnh.
Phương pháp lời nói. Phương pháp này là sự phụ thuộc chức năngđược thể hiện bằng lời nói.
Ví dụ 1: hàm E(x) là phần nguyên của x. Nói chung, E(x) = [x] biểu thị số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Nói cách khác, nếu x = r + q, trong đó r là số nguyên (có thể âm) và q thuộc khoảng = r. Hàm E(x) = [x] không đổi trên khoảng = r.
Ví dụ 2: hàm số y = (x) - phần phân số những con số. Chính xác hơn, y =(x) = x - [x], trong đó [x] là phần nguyên của số x. Hàm này được xác định cho mọi x. Nếu x - số tùy ý, sau đó biểu diễn nó dưới dạng x = r + q (r = [x]), trong đó r là số nguyên và q nằm trong khoảng .
Chúng ta thấy rằng việc thêm n vào đối số x không làm thay đổi giá trị của hàm.
Số khác 0 nhỏ nhất trong n là , nên chu kỳ là sin 2x .
Giá trị đối số mà tại đó hàm bằng 0 được gọi là không (gốc) các hàm.
Một hàm có thể có nhiều số 0.
Ví dụ, chức năng y = x (x + 1)(x-3) có ba số không: x = 0, x = - 1, x =3.
Về mặt hình học, điểm 0 của hàm số là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục X .
Hình 7 thể hiện đồ thị của hàm có các số 0: x = a, x = b và x = c.
Nếu đồ thị của hàm số tiến vô hạn đến một đường nhất định khi nó di chuyển ra xa gốc tọa độ thì đường thẳng này được gọi là đường tiệm cận.
Hàm nghịch đảo
Cho hàm y=ƒ(x) có miền định nghĩa D và một tập hợp các giá trị E. Nếu mỗi giá trị yєE tương ứng với một giá trị xєD, thì hàm x=φ(y) được xác định bằng a miền định nghĩa E và tập hợp các giá trị D (xem Hình 102 ).
Hàm φ(y) như vậy được gọi là hàm nghịch đảo của hàm ƒ(x) và được viết bằng mẫu sau: x=j(y)=f -1 (y). Các hàm y=ƒ(x) và x=φ(y) được gọi là nghịch đảo lẫn nhau. Để tìm hàm x=φ(y), nghịch đảo của hàm y=ƒ (x), chỉ cần giải phương trình ƒ(x)=y cho x (nếu có thể).
1. Đối với hàm y=2x hàm nghịch đảo là hàm x=y/2;
2. Đối với hàm y=x2 xє hàm nghịch đảo là x=√y; lưu ý rằng đối với hàm y=x 2 được xác định trên đoạn [-1; 1], nghịch đảo không tồn tại, vì một giá trị của y tương ứng với hai giá trị của x (vì vậy, nếu y = 1/4 thì x1 = 1/2, x2 = -1/2).
Từ định nghĩa của hàm nghịch đảo, ta suy ra rằng hàm y=ƒ(x) có hàm nghịch đảo khi và chỉ khi hàm ƒ(x) chỉ định sự tương ứng một-một giữa các tập D và E. Theo đó, bất kỳ nghiêm ngặt hàm đơn điệu có điều ngược lại. Hơn nữa, nếu một hàm tăng (giảm) thì hàm nghịch đảo cũng tăng (giảm).
Lưu ý rằng hàm y=ƒ(x) và nghịch đảo của nó x=φ(y) được mô tả bằng cùng một đường cong, tức là đồ thị của chúng trùng nhau. Nếu chúng ta đồng ý rằng, như thường lệ, biến độc lập (tức là đối số) được ký hiệu là x và biến phụ thuộc là y, thì hàm nghịch đảo của hàm y=ƒ(x) sẽ được viết dưới dạng y=φ( x).
Điều này có nghĩa là điểm M 1 (x o;y o) của đường cong y=ƒ(x) trở thành điểm M 2 (y o;x o) của đường cong y=φ(x). Nhưng điểm M 1 và M 2 đối xứng qua đường thẳng y=x (xem Hình 103). Do đó, các đồ thị tương ứng với nhau hàm nghịch đảo y=ƒ(x) và y=φ(x) đối xứng qua đường phân giác của góc tọa độ thứ nhất và thứ ba.
Giả sử hàm y=ƒ(u) được xác định trên tập D, và hàm u= φ(x) trên tập D 1, và với x D 1 giá trị tương ứng u=φ(x) є D. Khi đó trên tập D 1 hàm u=ƒ(φ(x)), được gọi là hàm phức của x (hoặc chồng chất của các hàm đã cho, hoặc hàm của một hàm).
Biến u=φ(x) được gọi là đối số trung gian của hàm phức.
Ví dụ, hàm y=sin2x là sự chồng chất của hai hàm y=sinu và u=2x. Một hàm phức tạp có thể có nhiều đối số trung gian.
4. Các hàm cơ bản cơ bản và đồ thị của chúng.
Các hàm sau đây được gọi là các hàm cơ bản chính.
1) Hàm mũ y=a x,a>0, a ≠ 1. Trong hình. 104 biểu đồ được hiển thị hàm số mũ, tương ứng nhiều lý do khác nhauđộ.
2) Hàm lũy thừa y=x α, αєR. Ví dụ về đồ thị chức năng điện, tương ứng các chỉ số khác nhauđộ được cung cấp trong hình ảnh
3) Hàm logarit y=log a x, a>0,a≠1;Đồ thị hàm logarit, tương ứng với các cơ sở khác nhau, được hiển thị trong Hình. 106.
4) Các hàm lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Biểu đồ hàm lượng giác có dạng như trong hình. 107.
5) Hàm lượng giác nghịch đảo y=arcsinx, y=arccosх, y=arctgx, y=arcctgx. Trong hình. 108 thể hiện đồ thị của hàm lượng giác nghịch đảo.
Một hàm được xác định bởi một công thức duy nhất được tạo thành từ các công thức cơ bản hàm cơ bản và liên tục với sự giúp đỡ số hữu hạn các phép tính số học(cộng, trừ, nhân, chia) và các thao tác lấy hàm từ một hàm được gọi là hàm cơ bản.
Ví dụ về các hàm cơ bản là các hàm
Ví dụ về các hàm không cơ bản là các hàm
5. Khái niệm về giới hạn dãy số và hàm số. Tính chất của giới hạn.
Giới hạn chức năng (giá trị giới hạn của hàm) tại một điểm cho trước, giới hạn miền định nghĩa của hàm, là giá trị mà giá trị của hàm đang xét có xu hướng hướng tới khi đối số của nó hướng tới một điểm cho trước.
Trong toán học giới hạn của chuỗi Các phần tử của không gian mêtric hoặc không gian tôpô là một phần tử của cùng một không gian có tính chất “hút” các phần tử trình tự đã cho. Giới hạn của một dãy các phần tử của một không gian tôpô là một điểm sao cho mỗi lân cận của nó chứa tất cả các phần tử của dãy, bắt đầu từ một số nhất định. Trong không gian mêtric, các lân cận được xác định thông qua hàm khoảng cách, do đó khái niệm giới hạn được hình thành bằng ngôn ngữ khoảng cách. Trong lịch sử, đầu tiên là khái niệm giới hạn dãy số, phát sinh trong phân tích toán học, trong đó nó làm cơ sở cho một hệ thống gần đúng và được sử dụng rộng rãi trong việc xây dựng các phép tính vi phân và tích phân.
Chỉ định:
(đọc: giới hạn của chuỗi thứ x-n khi en tiến tới vô cùng bằng a)
Tính chất của dãy có giới hạn được gọi là sự hội tụ: nếu một dãy có giới hạn thì người ta nói rằng trình tự đã cho hội tụ; V. nếu không thì(nếu dãy không có giới hạn) người ta nói rằng dãy phân kỳ. Trong không gian Hausdorff và đặc biệt là không gian mêtric, mọi dãy con của dãy hội tụ đều hội tụ và giới hạn của nó trùng với giới hạn của dãy ban đầu. Nói cách khác, dãy phần tử của không gian Hausdorff không thể có hai giới hạn khác nhau. Tuy nhiên, có thể dãy này không có giới hạn, nhưng có một dãy con (của dãy đã cho) có giới hạn. Nếu từ một dãy điểm bất kỳ trong không gian có thể xác định được dãy con hội tụ thì ta nói rằng không gian nhất định có tính chất nén tuần tự (hoặc đơn giản là tính nén, nếu tính nén được xác định riêng theo trình tự).
Khái niệm giới hạn của dãy liên quan trực tiếp đến khái niệm (tập hợp) giới hạn: nếu một tập hợp có một điểm giới hạn thì tồn tại một dãy các phần tử của tập hợp này hội tụ về điểm này.
Sự định nghĩa
Cho một không gian tôpô và một dãy. Sau đó, nếu có một phần tử sao cho
tập mở chứa , ở đâu được gọi là giới hạn của dãy. Nếu không gian là số liệu thì giới hạn có thể được xác định bằng số liệu: nếu có một phần tử sao cho
số liệu ở đâu, nó được gọi là giới hạn.
· Nếu không gian được trang bị cấu trúc liên kết chống rời rạc thì giới hạn của bất kỳ chuỗi nào sẽ là bất kỳ phần tử nào của không gian.
6. Giới hạn của hàm số tại một điểm. Giới hạn một phía.
Hàm một biến. Xác định giới hạn của hàm số tại một điểm theo Cauchy. Con số b gọi là giới hạn của hàm Tại = f(x) Tại X, phấn đấu MỘT(hoặc tại thời điểm MỘT), nếu với mọi số dương tồn tại như vậy số dương với mọi x ≠ a, sao cho | x – Một | < , выполняется неравенство
| f(x) – Một | < .
Xác định giới hạn của hàm số tại một điểm theo Heine. Con số b gọi là giới hạn của hàm Tại = f(x) Tại X, phấn đấu MỘT(hoặc tại thời điểm MỘT), nếu với bất kỳ dãy nào ( x n ), hội tụ đến MỘT(nhằm mục đích MỘT, có số giới hạn MỘT) và ở bất kỳ giá trị nào nx n ≠ MỘT, dãy sau ( y n= f(x n)) hội tụ đến b.
Những định nghĩa này giả định rằng hàm Tại = f(x) được xác định trong một lân cận nào đó của điểm MỘT, ngoại trừ, có lẽ, chính điểm đó MỘT.
Định nghĩa Cauchy và Heine về giới hạn của hàm số tại một điểm là tương đương: nếu số bđóng vai trò là giới hạn cho một trong số chúng, thì điều này cũng đúng với điều thứ hai.
Giới hạn quy định được biểu thị như sau:
Về mặt hình học, sự tồn tại giới hạn của hàm số tại điểm Cauchy có nghĩa là với mọi số > 0 chúng ta có thể trỏ tới mặt phẳng tọa độ một hình chữ nhật như vậy có đáy 2 > 0, chiều cao 2 và tâm tại điểm ( MỘT; b) rằng tất cả các điểm của đồ thị của một hàm đã cho trên khoảng ( MỘT– ; MỘT+ ), có thể ngoại trừ điểm M(MỘT; f(MỘT)), nằm trong hình chữ nhật này
Giới hạn một phía trong phân tích toán học, giới hạn của một hàm số, hàm ý “tiếp cận” điểm giới hạn ở một phía. Các giới hạn như vậy được gọi tương ứng giới hạn bên trái(hoặc giới hạn bên trái) Và giới hạn bên phải (giới hạn bên phải). Hãy để một số tập hợp được đưa ra hàm số và số là điểm giới hạn của miền định nghĩa. có định nghĩa khác nhauđối với các giới hạn một phía của hàm số tại điểm, nhưng chúng đều tương đương nhau.
Hầu hết các chức năng có thể được thiết lập theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, phổ biến nhất là ba cách xác định chức năng sau: phân tích, dạng bảng và đồ họa.
Phương pháp phân tích xác định hàm số. Với phương pháp phân tích xác định, một hàm được xác định bằng cách sử dụng biểu thức phân tích, nghĩa là sử dụng công thức chỉ ra những hành động nào phải được thực hiện đối với giá trị của đối số để thu được giá trị tương ứng của hàm.
Trong đoạn 2 và 3, chúng ta đã gặp các hàm được xác định bằng công thức, tức là theo phương pháp phân tích. Ngoài ra, ở bước 2 đối với hàm, miền định nghĩa ) được thiết lập dựa trên các cân nhắc hình học và đối với hàm, miền định nghĩa đã được chỉ ra trong điều kiện. Ở bước 3 đối với hàm, miền định nghĩa cũng được xác định theo điều kiện. Tuy nhiên, rất thường một hàm được xác định chỉ bằng cách sử dụng một biểu thức phân tích (công thức) mà không có bất kỳ điều kiện bổ sung. Trong những trường hợp như vậy, theo miền định nghĩa của hàm, chúng ta sẽ hiểu tổng thể của tất cả các giá trị của đối số mà biểu thức này có ý nghĩa và dẫn đến các giá trị thực của hàm.
Ví dụ 1. Tìm miền xác định của hàm số
Giải pháp. Hàm chỉ được xác định bằng một công thức, miền định nghĩa của nó không được xác định và không có điều kiện bổ sung. Do đó, theo miền định nghĩa của hàm này, chúng ta phải hiểu tổng thể của tất cả các giá trị của đối số mà biểu thức có giá trị thực. Đối với điều này phải có . Giải quyết bất đẳng thức này, chúng ta đi đến kết luận rằng miền định nghĩa của hàm này là đoạn [-1.1].
Ví dụ 2. Tìm miền định nghĩa của hàm số.
Giải pháp. Miền định nghĩa rõ ràng bao gồm hai khoảng vô hạn, vì biểu thức không có ý nghĩa khi và được xác định cho tất cả các giá trị khác.
Bây giờ người đọc có thể dễ dàng thấy rằng đối với một hàm số miền định nghĩa sẽ là toàn bộ trục số và đối với một hàm số nó sẽ là một khoảng vô hạn.
Cần lưu ý rằng không thể xác định được hàm và công thức mà hàm này được chỉ định. Sử dụng cùng một công thức, bạn có thể đặt chức năng khác nhau. Trên thực tế, trong đoạn 2, chúng ta đã xem xét một hàm có miền định nghĩa; trong đoạn 3, một đồ thị được xây dựng cho một hàm có miền định nghĩa. Và cuối cùng, chúng ta vừa xem xét một hàm chỉ được xác định bởi một công thức mà không có bất kỳ điều kiện bổ sung nào. Miền của hàm này là toàn bộ dòng số. Ba chức năng này khác nhau vì chúng có khu vực khác nhau các định nghĩa. Nhưng chúng được chỉ định bằng cách sử dụng cùng một công thức.
Trường hợp ngược lại cũng có thể xảy ra khi cho trước một hàm ở các phần khác nhau của miền định nghĩa của nó. công thức khác nhau. Ví dụ, hãy xem xét hàm y được xác định cho tất cả các giá trị không âm như sau: tại lúc tức là
Hàm này được xác định bởi hai biểu thức phân tích hoạt động trong các phần khác nhau của miền định nghĩa. Đồ thị của chức năng này được hiển thị trong Hình. 18.
Phương pháp dạng bảng để xác định hàm. Khi chỉ định một hàm trong bảng, một bảng được biên dịch trong đó chỉ định một số giá trị đối số và giá trị hàm tương ứng. Các bảng logarit, bảng giá trị của hàm lượng giác và nhiều bảng khác được biết đến rộng rãi. Thông thường, cần phải sử dụng các bảng giá trị hàm thu được trực tiếp từ kinh nghiệm. Bảng dưới đây cho thấy kết quả thu được từ kinh nghiệm. điện trở suấtđồng (tính bằng cm - cm) ở các nhiệt độ khác nhau t (tính bằng độ):
Cách đồ họa để xác định một chức năng. Tại nhiệm vụ đồ họa một biểu đồ của hàm được đưa ra và các giá trị của nó tương ứng với các giá trị nhất định của đối số được tìm thấy trực tiếp từ biểu đồ này. Trong nhiều trường hợp, những đồ thị như vậy được vẽ bằng thiết bị ghi.
Một trong định nghĩa cổ điển Khái niệm “chức năng” được coi là một định nghĩa dựa trên sự tương ứng. Hãy để chúng tôi trình bày một số định nghĩa như vậy.
Định nghĩa 1
Một mối quan hệ trong đó mỗi giá trị của biến độc lập tương ứng với một giá trị của biến phụ thuộc được gọi là chức năng.
Định nghĩa 2
Cho hai tập hợp không trống $X$ và $Y$. Sự tương ứng $f$ khớp với mỗi $x\in X$ với một và chỉ một $y\in Y$ Được gọi chức năng($f:X → Y$).
Định nghĩa 3
Cho $M$ và $N$ là hai bộ số tùy ý. Một hàm $f$ được cho là được xác định trên $M$, lấy các giá trị từ $N$, nếu mỗi phần tử $x\in X$ được liên kết với một và chỉ một phần tử từ $N$.
Định nghĩa sau đây được đưa ra thông qua khái niệm kích thước thay đổi. Đại lượng thay đổi là đại lượng nghiên cứu này nhận các giá trị số khác nhau.
Định nghĩa 4
Đặt $M$ là tập hợp các giá trị của biến $x$. Khi đó, nếu mỗi giá trị $x\in M$ tương ứng với một giá trị cụ thể của một biến khác thì $y$ là một hàm của giá trị $x$ được xác định trên tập $M$.
Định nghĩa 5
Cho $X$ và $Y$ là một số bộ số. Một hàm là một tập $f$ gồm các cặp số có thứ tự $(x,\ y)$ sao cho $x\in X$, $y\in Y$ và mỗi $x$ được bao gồm trong một và chỉ một cặp số bộ này và mỗi $y$ nằm trong ít nhất một cặp.
Định nghĩa 6
Bất kỳ tập hợp $f=\(\left(x,\ y\right)\)$ của các cặp có thứ tự $\left(x,\ y\right)$ sao cho với mọi cặp $\left(x",\ y" \right)\in f$ và $\left(x"",\ y""\right)\in f$ từ điều kiện $y"≠ y""$ thì $x"≠x""$ là được gọi là một chức năng hoặc hiển thị.
Định nghĩa 7
Hàm $f:X → Y$ là một tập hợp các cặp $f$ có thứ tự $\left(x,\ y\right)\in X\times Y$ sao cho với mọi phần tử $x\in X$ đều có một phần tử duy nhất $y\in Y$ sao cho $\left(x,\ y\right)\in f$, nghĩa là hàm này là một bộ các đối tượng $\left(f,\ X,\ Y\right) $.
Trong những định nghĩa này
$x$ là biến độc lập.
$y$ là biến phụ thuộc.
Tất cả giá trị có thể Biến $x$ được gọi là miền miền của hàm và tất cả các giá trị có thể có của biến $y$ được gọi là miền miền của hàm.
Phương pháp phân tích xác định hàm số
Đối với phương pháp này, chúng ta cần khái niệm về biểu thức phân tích.
Định nghĩa 8
biểu thức phân tíchđược gọi là sản phẩm của tất cả những gì có thể các phép toán trên bất kỳ số và biến.
Cách phân tích để chỉ định một hàm là chỉ định nó bằng biểu thức phân tích.
Ví dụ 1
$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.
Ưu điểm:
- Bằng cách sử dụng các công thức, chúng ta có thể xác định giá trị của hàm cho bất kỳ giá trị nhất định biến $x$;
- Các hàm được xác định theo cách này có thể được nghiên cứu bằng cách sử dụng bộ máy phân tích toán học.
Nhược điểm:
- Tầm nhìn thấp.
- Đôi khi bạn phải thực hiện những phép tính rất cồng kềnh.
Phương pháp dạng bảng để xác định hàm
Phương pháp gán này bao gồm việc ghi lại các giá trị của biến phụ thuộc cho một số giá trị của biến độc lập. Tất cả điều này được nhập vào bảng.
Ví dụ 2
Hình 1.
Ngoài ra:Đối với bất kỳ giá trị nào của biến độc lập $x$ được nhập vào bảng, giá trị tương ứng của hàm $y$ sẽ được biết ngay lập tức.
Nhược điểm:
- Thông thường, không hoàn thành nhiệm vụ chức năng;
- Tầm nhìn thấp.
Hàm số là một định luật theo đó một số x từ bộ đã cho X, chỉ có một số y được gán, viết, trong khi x gọi là đối số của hàm, y gọi là giá trị của hàm.
có những cách khác nhau các nhiệm vụ chức năng.
1. Phương pháp phân tích.
Phương pháp phân tích
- Đây là cách phổ biến nhất để xác định một chức năng.
Nó bao gồm thực tế là hàm được đưa ra bởi một công thức thiết lập những thao tác nào cần được thực hiện trên x để tìm y. Ví dụ .
Hãy xem ví dụ đầu tiên - . Ở đây giá trị x = 1 tương ứng với , giá trị x = 3 tương ứng, v.v.
Chức năng có thể được đặt thành các bộ phận khác nhauđặt X theo các hàm khác nhau.
Ví dụ: 
Trong tất cả các ví dụ đã đưa ra trước đây về phương pháp cài đặt phân tích, chức năng này đã được chỉ định rõ ràng. Nghĩa là, bên phải là biến y và bên phải là công thức của biến x. Tuy nhiên, với phương pháp cài đặt phân tích, chức năng này cũng có thể được xác định ngầm.
Ví dụ . Ở đây, nếu cho biến x một giá trị thì để tìm giá trị của biến y (giá trị của hàm số) ta phải giải phương trình. Ví dụ, lần đầu tiên hàm đã cho với x = 3, ta sẽ giải phương trình:
. Nghĩa là giá trị của hàm số tại x = 3 là -4/3.
Với phương pháp cài đặt phân tích, hàm có thể được chỉ định theo tham số - đây là khi x và y được biểu thị thông qua một số tham số t. Ví dụ,
Ở đây tại t = 2, x = 2, y = 4. Nghĩa là giá trị của hàm số tại x = 2 là 4.
2. Phương pháp đồ họa.
Tại bằng đồ họađược giới thiệu hệ thống hình chữ nhật tọa độ và trong hệ tọa độ này, một tập hợp các điểm có tọa độ (x, y) được mô tả. Đồng thời. Ví dụ: 
3. Phương pháp lời nói.
Chức năng này được xác định bằng cách sử dụng một công thức bằng lời nói. Ví dụ cổ điển- Hàm Dirichlet.
“Hàm số bằng 1 nếu x là số hữu tỉ; hàm bằng 0 nếu x là số vô tỉ.”
4. Phương pháp bảng.
Phương pháp bảng thuận tiện nhất khi tập X hữu hạn. Với phương pháp này, một bảng được biên soạn trong đó mỗi phần tử của tập X được gán một số Y.
Ví dụ.