Giới hạn chức năng- con số Một sẽ là giới hạn của một đại lượng biến đổi nào đó nếu trong quá trình thay đổi của nó, đại lượng biến đổi này tiến tới vô hạn Một.
Hay nói cách khác là số MỘT là giới hạn của hàm y = f(x) tại điểm x 0, nếu với bất kỳ chuỗi điểm nào từ miền định nghĩa của hàm số, không bằng x 0, và hội tụ đến điểm x 0 (lim x n = x0), dãy giá trị hàm tương ứng hội tụ về số MỘT.
Đồ thị của hàm số có giới hạn của nó, với một đối số có xu hướng tiến tới vô cùng, bằng L:
Nghĩa MỘT là giới hạn (giá trị giới hạn) của hàm f(x) tại điểm x 0 trong trường hợp với bất kỳ chuỗi điểm nào 
, hội tụ đến x 0, nhưng không chứa x 0 là một trong những phần tử của nó (tức là ở vùng lân cận bị thủng x 0), chuỗi các giá trị hàm 
hội tụ đến MỘT.
Giới hạn của hàm Cauchy.
Nghĩa MỘT sẽ được giới hạn của hàm f(x) tại điểm x 0 nếu với bất kỳ số không âm nào được lấy trước ε số không âm tương ứng sẽ được tìm thấy δ = δ(ε) sao cho với mỗi đối số x, thỏa mãn điều kiện 0 < | x - x0 | < δ , bất đẳng thức sẽ được thỏa mãn | f(x)A |< ε .
Sẽ rất đơn giản nếu bạn hiểu bản chất của giới hạn và các quy tắc cơ bản để tìm nó. Giới hạn của hàm là gì f (x) Tại x phấn đấu cho Một bằng MỘT, được viết như thế này:
Hơn nữa, giá trị mà biến hướng tới x, có thể không chỉ là số mà còn có thể là vô cùng (∞), đôi khi +∞ hoặc -∞ hoặc có thể không có giới hạn nào cả.
Để hiểu làm thế nào tìm giới hạn của hàm số, tốt nhất nên xem các ví dụ về giải pháp.
Cần tìm giới hạn của hàm f (x) = 1/x Tại:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
Hãy tìm giải pháp cho giới hạn đầu tiên. Để làm điều này, bạn chỉ cần thay thế x con số nó hướng tới, tức là 2, chúng tôi nhận được:
Hãy tìm giới hạn thứ hai của hàm số. Ở đây thay thế bằng 0 thuần túy xđiều đó là không thể, bởi vì Bạn không thể chia cho 0. Nhưng chúng ta có thể lấy các giá trị gần bằng 0, ví dụ: 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001, v.v. và giá trị của hàm f (x) sẽ tăng: 100; 1000; 10000; 100.000 và vân vân. Như vậy có thể hiểu rằng khi x→ 0 giá trị của hàm nằm dưới dấu giới hạn sẽ tăng vô hạn, tức là phấn đấu hướng tới vô cùng. Có nghĩa là:
Về giới hạn thứ ba. Tình huống tương tự như trường hợp trước, không thể thay thế ∞ ở dạng tinh khiết nhất của nó. Chúng ta cần xét trường hợp tăng không giới hạn x. Chúng tôi thay thế từng cái một 1000; 10000; 100000, v.v., chúng ta có giá trị của hàm f (x) = 1/x sẽ giảm: 0,001; 0,0001; 0,00001; vân vân, có xu hướng về không. Đó là lý do tại sao:
Cần tính giới hạn của hàm 
Bắt đầu giải ví dụ thứ hai, chúng ta thấy sự không chắc chắn. Từ đây chúng ta tìm được bậc cao nhất của tử số và mẫu số - đây là x 3, chúng ta lấy nó ra khỏi ngoặc ở tử số và mẫu số rồi rút gọn bằng:
Trả lời 
Bước đầu tiên trong tìm giới hạn này, thay thế giá trị 1 x, dẫn đến sự không chắc chắn. Để giải nó, hãy phân tích tử số và thực hiện việc này bằng phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x1 = -3;x 2= 1.
Vậy tử số sẽ là:
Trả lời 
Đây là định nghĩa về giá trị cụ thể của nó hoặc một khu vực nhất định mà hàm rơi vào, bị giới hạn bởi giới hạn.
Để giải quyết giới hạn, hãy làm theo các quy tắc:
Đã hiểu rõ bản chất và quy tắc giải giới hạn, bạn sẽ có được sự hiểu biết cơ bản về cách giải quyết chúng.
Giới hạn của hàm số ở vô cực:
|f(x) - a|< ε
при |x| >N
Xác định giới hạn Cauchy
Đặt hàm f (x)được xác định trong một lân cận nhất định của điểm ở vô cực, với |x| > Số a được gọi là giới hạn của hàm số f (x) vì x tiến tới vô cùng (), nếu với bất kỳ số nào, dù nhỏ, dương ε > 0
, tồn tại một số N ε > K, phụ thuộc vào ε, với mọi x, |x| > N ε, các giá trị hàm thuộc lân cận ε của điểm a:
|f (x)-a|< ε
.
Giới hạn của hàm số ở vô cực được ký hiệu như sau:
.
Hoặc tại .
Ký hiệu sau đây cũng thường được sử dụng:
.
Hãy viết định nghĩa này bằng cách sử dụng các ký hiệu logic của sự tồn tại và tính phổ quát:
.
Điều này giả định rằng các giá trị thuộc về miền của hàm.
Giới hạn một phía
Giới hạn trái của hàm số ở vô cực:
|f(x) - a|< ε
при x < -N
Thường có trường hợp hàm chỉ được xác định cho các giá trị dương hoặc âm của biến x (chính xác hơn là ở vùng lân cận của điểm hoặc ). Ngoài ra, các giới hạn ở vô cực đối với giá trị dương và âm của x có thể có các giá trị khác nhau. Sau đó giới hạn một phía được sử dụng.
Giới hạn trái ở vô cực hoặc giới hạn khi x tiến tới âm vô cực () được xác định như sau:
.
Giới hạn phải ở vô cực hoặc giới hạn khi x tiến tới cộng vô cùng ():
.
Giới hạn một phía ở vô cực thường được ký hiệu như sau:
;
.
Giới hạn vô hạn của hàm số ở vô cực
Giới hạn vô hạn của hàm số ở vô cực:
|f(x)| > M cho |x| >N
Định nghĩa giới hạn vô hạn theo Cauchy
Đặt hàm f (x)được xác định trong một lân cận nhất định của điểm ở vô cực, với |x| > K, trong đó K là số dương. Giới hạn của hàm f (x) vì x tiến tới vô cùng (), bằng vô cùng, nếu với bất kỳ số lớn tùy ý M > 0
, tồn tại một số như vậy N M > K, tùy thuộc vào M, với mọi x, |x| > N M, các giá trị hàm số thuộc lân cận của điểm ở vô cực:
|f (x) | >M.
Giới hạn vô hạn khi x tiến tới vô cùng được ký hiệu như sau:
.
Hoặc tại .
Sử dụng các ký hiệu logic của sự tồn tại và tính phổ quát, định nghĩa giới hạn vô hạn của hàm số có thể được viết như sau:
.
Tương tự, định nghĩa về giới hạn vô hạn của một số dấu bằng và được đưa ra:
.
.
Định nghĩa giới hạn một phía ở vô cực.
Giới hạn bên trái.
.
.
.
Đúng giới hạn.
.
.
.
Xác định giới hạn của hàm số theo Heine
Đặt hàm f (x)được xác định trên một số lân cận của điểm x ở vô cực 0
, ở đâu hoặc hoặc .
Số a (hữu hạn hoặc ở vô cùng) gọi là giới hạn của hàm f (x) tại điểm x 0
:
,
nếu với bất kỳ chuỗi nào (xn), hội tụ về x 0
:
,
có các phần tử thuộc về vùng lân cận, trình tự (f(xn)) hội tụ đến a:
.
Nếu chúng ta lấy lân cận của một điểm không dấu ở vô cực: , thì chúng ta thu được định nghĩa về giới hạn của hàm khi x tiến tới vô cùng, . 0 Nếu chúng ta lấy lân cận bên trái hoặc bên phải của điểm x ở vô cùng
: hoặc , khi đó chúng ta thu được định nghĩa của giới hạn khi x có xu hướng lần lượt âm vô cực và cộng vô cực.
Định nghĩa giới hạn của Heine và Cauchy là tương đương nhau.
Ví dụ
Ví dụ 1
.
Dùng định nghĩa Cauchy chứng tỏ
.
Hãy giới thiệu ký hiệu sau:
.
Hãy tìm miền định nghĩa của hàm số.
;
.
Vì tử số và mẫu số của phân số là đa thức nên hàm số được xác định cho mọi x ngoại trừ những điểm tại đó mẫu số biến mất. Hãy tìm những điểm này. Giải phương trình bậc hai. ;
Căn nguyên của phương trình:
Vì , thì và .
.
Do đó hàm được xác định tại .
.
Chúng ta sẽ sử dụng điều này sau. -1
:
.
Chúng ta hãy viết định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cùng theo Cauchy:
Hãy biến đổi sự khác biệt:
;
;
;
.
Chia tử số và mẫu số cho rồi nhân với
.
.
Cho phép .
Sau đó
Vì vậy, chúng tôi nhận thấy rằng khi ,
Nó theo sau đó
tại , và .
Vì bạn luôn có thể tăng nó lên, hãy lấy .
Chúng ta hãy viết định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cùng theo Cauchy:
Sau đó, đối với bất cứ ai,
1)
;
2)
.
Tại .
Điều này có nghĩa là .
Chúng ta hãy viết định nghĩa giới hạn của hàm số tại âm vô cực:
.
Cho phép . Sau đó
;
.
Chia tử số và mẫu số cho rồi nhân với
.
Nhập số dương và:
.
Suy ra rằng với bất kỳ số dương M nào cũng tồn tại một số sao cho ,
.
Điều này có nghĩa là .
2) Giải pháp khi x tiến tới cộng vô cùng
Hãy biến đổi chức năng ban đầu. Nhân tử số và mẫu số của phân số với và áp dụng công thức hiệu của bình phương:
.
Chúng tôi có:
.
Ta viết định nghĩa giới hạn phải của hàm số tại:
.
Hãy giới thiệu ký hiệu: .
Do đó hàm được xác định tại .
.
Nhân tử số và mẫu số với:
.
Cho phép
.
Hãy biến đổi sự khác biệt:
;
.
Chia tử số và mẫu số cho rồi nhân với
.
Nhập số dương và:
.
Cho phép .
tại và .
Vì điều này đúng với mọi số dương nên
.
Văn học đã qua sử dụng:
CM. Nikolsky. Giáo trình phân tích toán học. Tập 1. Mátxcơva, 1983.
Giới hạn đáng chú ý đầu tiên là đẳng thức sau:
\begin(phương trình)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(phương trình)
Vì với $\alpha\to(0)$ chúng ta có $\sin\alpha\to(0)$, họ nói rằng giới hạn đáng chú ý đầu tiên cho thấy sự không chắc chắn có dạng $\frac(0)(0)$. Nói chung, trong công thức (1), thay vì biến $\alpha$, bất kỳ biểu thức nào cũng có thể được đặt dưới dấu sin và trong mẫu số, miễn là đáp ứng được hai điều kiện:
- Các biểu thức dưới dấu sin và trong mẫu số đồng thời có xu hướng bằng 0, tức là có sự không chắc chắn ở dạng $\frac(0)(0)$.
- Các biểu thức dưới dấu sin và ở mẫu số đều giống nhau.
Hệ quả từ giới hạn đáng chú ý đầu tiên cũng thường được sử dụng:
\begin(phương trình) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(phương trình)
Mười một ví dụ được giải quyết trên trang này. Ví dụ số 1 được dành cho việc chứng minh công thức (2)-(4). Ví dụ số 2, số 3, số 4 và số 5 có lời giải kèm theo nhận xét chi tiết. Các ví dụ số 6-10 bao gồm các giải pháp hầu như không có nhận xét nào vì các giải thích chi tiết đã được đưa ra trong các ví dụ trước. Giải pháp sử dụng một số công thức lượng giác có thể tìm thấy.
Hãy để tôi lưu ý rằng sự hiện diện của các hàm lượng giác cùng với độ bất định $\frac (0) (0)$ không nhất thiết có nghĩa là áp dụng giới hạn đáng chú ý đầu tiên. Đôi khi các phép biến đổi lượng giác đơn giản là đủ - ví dụ, xem.
Ví dụ số 1
Chứng minh rằng $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) Vì $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, nên:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Vì $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ và $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Cái đó:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) Hãy thực hiện thay đổi $\alpha=\sin(y)$. Vì $\sin(0)=0$, nên từ điều kiện $\alpha\to(0)$ chúng ta có $y\to(0)$. Ngoài ra, còn có một lân cận của số 0 trong đó $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, vì vậy:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Đẳng thức $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ đã được chứng minh.
c) Hãy thay thế $\alpha=\tg(y)$. Vì $\tg(0)=0$, nên các điều kiện $\alpha\to(0)$ và $y\to(0)$ là tương đương. Ngoài ra, còn tồn tại một lân cận của số 0 trong đó $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, do đó, dựa vào kết quả của điểm a), ta sẽ có:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Đẳng thức $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ đã được chứng minh.
Các đẳng thức a), b), c) thường được sử dụng cùng với giới hạn đáng chú ý thứ nhất.
Ví dụ số 2
Tính giới hạn $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.
Vì $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ và $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, tức là. và cả tử số và mẫu số của phân số đồng thời có xu hướng về 0, thì ở đây chúng ta đang xử lý độ bất định có dạng $\frac(0)(0)$, tức là Xong. Ngoài ra, rõ ràng là các biểu thức dưới dấu sin và ở mẫu số trùng nhau (tức là và thỏa mãn):
Vì vậy, cả hai điều kiện được liệt kê ở đầu trang đều được đáp ứng. Từ đó công thức có thể áp dụng được, tức là $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
Trả lời: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
Ví dụ số 3
Tìm $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Vì $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ và $\lim_(x\to(0))x=0$, nên chúng ta đang xử lý độ bất định có dạng $\frac (0 )(0)$, tức là Xong. Tuy nhiên, các biểu thức dưới dấu sin và ở mẫu số không trùng nhau. Ở đây bạn cần điều chỉnh biểu thức ở mẫu số về dạng mong muốn. Chúng ta cần biểu thức $9x$ ở mẫu số thì nó sẽ trở thành đúng. Về cơ bản, chúng ta thiếu hệ số $9$ trong mẫu số, hệ số này không khó để nhập—chỉ cần nhân biểu thức ở mẫu số với $9$. Đương nhiên, để bù cho phép nhân với $9$, bạn sẽ phải chia ngay cho $9$:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
Bây giờ các biểu thức ở mẫu số và dưới dấu sin trùng nhau. Cả hai điều kiện cho giới hạn $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ đều được thỏa mãn. Do đó, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Và điều này có nghĩa là:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Trả lời: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Ví dụ số 4
Tìm $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Vì $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ và $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, ở đây chúng ta đang xử lý sự không chắc chắn của dạng $\frac(0)(0)$. Tuy nhiên, dạng của giới hạn đáng chú ý đầu tiên bị vi phạm. Tử số chứa $\sin(5x)$ yêu cầu mẫu số là $5x$. Trong tình huống này, cách dễ nhất là chia tử số cho $5x$ và nhân ngay với $5x$. Ngoài ra, chúng ta sẽ thực hiện thao tác tương tự với mẫu số, nhân và chia $\tg(8x)$ cho $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
Giảm $x$ và lấy hằng số $\frac(5)(8)$ bên ngoài dấu giới hạn, chúng ta nhận được:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Lưu ý rằng $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ đáp ứng đầy đủ các yêu cầu về giới hạn đáng chú ý đầu tiên. Để tìm $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$, công thức sau có thể áp dụng:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Trả lời: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Ví dụ số 5
Tìm $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Vì $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (hãy nhớ rằng $\cos(0)=1$) và $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, thì chúng ta đang xử lý sự bất định của dạng $\frac(0)(0)$. Tuy nhiên, để áp dụng giới hạn đáng chú ý đầu tiên, bạn nên loại bỏ cosin trong tử số, chuyển sang sin (để áp dụng công thức) hoặc tiếp tuyến (để áp dụng công thức). Điều này có thể được thực hiện bằng phép biến đổi sau:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Hãy quay trở lại giới hạn:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$
Phân số $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ đã gần với dạng cần thiết cho giới hạn đáng chú ý đầu tiên. Chúng ta hãy làm việc một chút với phân số $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, điều chỉnh nó về giới hạn đáng chú ý đầu tiên (lưu ý rằng các biểu thức trong tử số và dưới sin phải khớp nhau):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
Hãy quay trở lại giới hạn trong câu hỏi:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25. $$
Trả lời: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Ví dụ số 6
Tìm giới hạn $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
Vì $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ và $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, nên chúng ta đang đối mặt với sự không chắc chắn $\frac(0)(0)$. Hãy để chúng tôi tiết lộ nó với sự trợ giúp của giới hạn đáng chú ý đầu tiên. Để làm điều này, hãy chuyển từ cosin sang sin. Vì $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, nên:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Chuyển sang hàm sin trong giới hạn đã cho, ta sẽ có:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Trả lời: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Ví dụ số 7
Tính giới hạn $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ tùy thuộc vào $\alpha\neq \ beta$.
Những giải thích chi tiết đã được đưa ra trước đó, nhưng ở đây chúng tôi chỉ lưu ý rằng một lần nữa có sự không chắc chắn $\frac(0)(0)$. Hãy chuyển từ cosin sang sin bằng công thức
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Sử dụng công thức này, chúng tôi nhận được:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\phải| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Trả lời: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alpha^2)(2)$.
Ví dụ số 8
Tìm giới hạn $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
Vì $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (hãy nhớ rằng $\sin(0)=\tg(0)=0$) và $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, thì ở đây chúng ta đang xử lý sự bất định có dạng $\frac(0)(0)$. Hãy chia nhỏ nó như sau:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
Trả lời: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Ví dụ số 9
Tìm giới hạn $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
Vì $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ và $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, thì có sự bất định ở dạng $\frac(0)(0)$. Trước khi tiếp tục mở rộng, sẽ thuận tiện hơn khi thực hiện thay đổi biến sao cho biến mới có xu hướng về 0 (lưu ý rằng trong các công thức, biến $\alpha \to 0$). Cách dễ nhất là giới thiệu biến $t=x-3$. Tuy nhiên, để thuận tiện cho các phép biến đổi tiếp theo (có thể thấy lợi ích này trong quá trình thực hiện giải pháp được đưa ra bên dưới), nên thực hiện thay thế sau: $t=\frac(x-3)(2)$. Tôi lưu ý rằng cả hai phép thay thế đều có thể áp dụng trong trường hợp này, chỉ là phép thay thế thứ hai sẽ cho phép bạn làm việc ít hơn với phân số. Vì $x\to(3)$, nên $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Trả lời: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Ví dụ số 10
Tìm giới hạn $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.
Một lần nữa chúng ta lại phải đối mặt với sự không chắc chắn $\frac(0)(0)$. Trước khi tiếp tục mở rộng, sẽ thuận tiện hơn khi thực hiện thay đổi biến sao cho biến mới có xu hướng về 0 (lưu ý rằng trong các công thức, biến là $\alpha\to(0)$). Cách dễ nhất là giới thiệu biến $t=\frac(\pi)(2)-x$. Vì $x\to\frac(\pi)(2)$, nên $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
Trả lời: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
Ví dụ số 11
Tìm các giới hạn $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2 \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
Trong trường hợp này chúng ta không phải sử dụng giới hạn tuyệt vời đầu tiên. Xin lưu ý rằng cả giới hạn thứ nhất và giới hạn thứ hai chỉ chứa các hàm và số lượng giác. Thông thường trong các ví dụ thuộc loại này, có thể đơn giản hóa biểu thức nằm dưới dấu giới hạn. Hơn nữa, sau khi đơn giản hóa và giảm bớt một số yếu tố nói trên, sự không chắc chắn sẽ biến mất. Tôi đưa ra ví dụ này chỉ nhằm mục đích duy nhất: để chỉ ra rằng sự có mặt của các hàm lượng giác dưới dấu giới hạn không nhất thiết có nghĩa là việc sử dụng giới hạn đáng chú ý đầu tiên.
Vì $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (hãy nhớ rằng $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) và $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (để tôi nhắc bạn rằng $\cos\frac(\pi)(2)=0$), thì ta có xử lý sự không chắc chắn có dạng $\frac(0)(0)$. Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là chúng ta sẽ cần sử dụng giới hạn tuyệt vời đầu tiên. Để phát hiện độ không đảm bảo, chỉ cần xét đến $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Có một cách giải tương tự trong sách giải của Demidovich (số 475). Đối với giới hạn thứ hai, như trong các ví dụ trước trong phần này, chúng ta có độ bất định có dạng $\frac(0)(0)$. Tại sao nó lại phát sinh? Nó phát sinh vì $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ và $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Chúng ta sử dụng các giá trị này để biến đổi các biểu thức ở tử số và mẫu số. Mục tiêu hành động của chúng ta là viết tổng ở tử số và mẫu số dưới dạng tích. Nhân tiện, thường trong cùng một loại, việc thay đổi một biến sẽ rất thuận tiện, được thực hiện sao cho biến mới có xu hướng về 0 (ví dụ: xem ví dụ số 9 hoặc số 10 trên trang này). Tuy nhiên, trong ví dụ này không có ích gì khi thay thế, mặc dù nếu muốn, việc thay thế biến $t=x-\frac(2\pi)(3)$ không khó thực hiện.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
Như bạn có thể thấy, chúng ta không cần phải áp dụng giới hạn tuyệt vời đầu tiên. Tất nhiên, bạn có thể làm điều này nếu muốn (xem ghi chú bên dưới), nhưng điều đó là không cần thiết.
Giải pháp sử dụng giới hạn đáng chú ý đầu tiên là gì? hiển thị\ẩn
Sử dụng giới hạn đáng chú ý đầu tiên, chúng tôi nhận được:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ phải))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Trả lời: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
Chúng tôi tiếp tục phân tích các câu trả lời có sẵn cho lý thuyết giới hạn và hôm nay chúng tôi sẽ chỉ tập trung vào trường hợp một biến trong hàm hoặc một số trong dãy có xu hướng tiến tới vô cùng. Hướng dẫn tính giới hạn cho một biến tiến tới vô cùng đã được đưa ra trước đó; ở đây chúng tôi sẽ chỉ tập trung vào các trường hợp riêng lẻ không rõ ràng và đơn giản đối với mọi người.
Ví dụ 35. Chúng ta có một dãy ở dạng phân số, trong đó tử số và mẫu số chứa các hàm nghiệm.
Chúng ta cần tìm giới hạn khi số đó tiến tới vô cùng.
Ở đây không cần phải tiết lộ sự vô tỷ của tử số mà chỉ cần phân tích cẩn thận các nghiệm và tìm ra nơi chứa lũy thừa cao hơn của số.
Đầu tiên, gốc của tử số là số nhân n^4, nghĩa là n^2 có thể được lấy ra khỏi ngoặc.
Hãy làm tương tự với mẫu số.
Tiếp theo, chúng ta đánh giá ý nghĩa của biểu thức căn thức khi đi đến giới hạn.
Chúng tôi đã chia cho 0, điều này không chính xác trong khóa học ở trường, nhưng khi vượt qua giới hạn thì có thể chấp nhận được.
Chỉ với một sửa đổi “để ước tính vị trí của chức năng.”
Vì vậy, không phải giáo viên nào cũng có thể hiểu ký hiệu trên là đúng, mặc dù họ hiểu rằng kết quả thu được sẽ không thay đổi.
Cùng xem đáp án được biên soạn theo yêu cầu của giáo viên theo lý thuyết nhé.
Để đơn giản hóa, chúng tôi sẽ chỉ đánh giá các tiện ích bổ sung chính trong thư mục gốc 
Hơn nữa, ở tử số lũy thừa bằng 2, ở mẫu số 2/3, do đó tử số tăng nhanh hơn, nghĩa là giới hạn tiến về vô cùng.
Dấu của nó phụ thuộc vào các thừa số của n^2, n^(2/3) , nên nó dương.
Ví dụ 36. Xét một ví dụ về giới hạn của phép chia hàm số mũ. Có rất ít ví dụ thực tế thuộc loại này, vì vậy không phải tất cả học sinh đều dễ dàng thấy được cách bộc lộ những điều không chắc chắn nảy sinh.
Hệ số lớn nhất của tử số và mẫu số là 8^n và chúng ta đơn giản hóa bằng nó 
Tiếp theo, chúng tôi đánh giá sự đóng góp của từng thuật ngữ
Các số hạng 3/8 có xu hướng bằng 0 khi biến tiến tới vô cùng, vì 3/8<1
(свойство степенно-показательной функции).
Ví dụ 37. Giới hạn của dãy số có giai thừa được biểu thị bằng cách viết giai thừa thành thừa số chung lớn nhất của tử số và mẫu số.
Tiếp theo, chúng ta rút gọn và đánh giá giới hạn dựa trên giá trị của các chỉ số ở tử số và mẫu số.
Trong ví dụ của chúng ta, mẫu số tăng nhanh hơn nên giới hạn bằng 0. 
Sau đây được sử dụng ở đây
thuộc tính giai thừa.
Ví dụ 38. Không áp dụng quy tắc L'Hopital, ta so sánh chỉ số lớn nhất của biến ở tử số và mẫu số của phân số.
Vì mẫu số chứa số mũ cao nhất của biến 4>2 nên nó tăng nhanh hơn.
Từ đó chúng ta kết luận rằng giới hạn của hàm có xu hướng bằng không.
Ví dụ 39. Chúng ta khám phá tính đặc thù của dạng vô cực chia cho vô cực bằng cách loại bỏ x^4 khỏi tử số và mẫu số của phân số.
Kết quả của việc vượt qua giới hạn là chúng ta đạt được vô cùng.
Ví dụ 40. Ta có phép chia đa thức; ta cần xác định giới hạn khi biến tiến tới vô cùng.
Bậc cao nhất của biến ở tử số và mẫu số đều bằng 3, nghĩa là biên tồn tại và bằng biên hiện tại.
Hãy lấy x^3 và thực hiện đoạn văn đến giới hạn
Ví dụ 41. Chúng ta có một kỳ dị loại một lũy thừa vô cực.
Điều này có nghĩa là biểu thức trong ngoặc và bản thân chỉ báo phải được đặt dưới ranh giới quan trọng thứ hai.
Hãy viết tử số để làm nổi bật biểu thức trong đó giống với mẫu số.
Tiếp theo, chúng ta chuyển sang biểu thức chứa một cộng với một số hạng.
Bằng cấp phải được phân biệt bằng hệ số 1/(thuật ngữ).
Do đó, chúng ta thu được số mũ lũy thừa của giới hạn của hàm phân số. 
Để đánh giá điểm kỳ dị, chúng tôi đã sử dụng giới hạn thứ hai: 
Ví dụ 42. Chúng ta có một kỳ dị loại một lũy thừa vô cực.
Để phát hiện ra nó, người ta phải giảm hàm số xuống giới hạn đáng chú ý thứ hai.
Cách thực hiện được thể hiện chi tiết trong công thức sau 
Bạn có thể tìm thấy rất nhiều vấn đề tương tự. Bản chất của chúng là đạt được mức độ cần thiết trong số mũ và nó bằng giá trị nghịch đảo của số hạng trong ngoặc đơn.
Sử dụng phương pháp này chúng ta thu được số mũ. Tính toán tiếp theo được giảm xuống để tính giới hạn của mức độ số mũ.
Ở đây hàm mũ có xu hướng tiến tới vô cùng, vì giá trị lớn hơn một e=2,72>1.
Ví dụ 43 Trong mẫu số của phân số, chúng ta có độ bất định thuộc loại vô cực trừ vô cực, thực tế bằng phép chia cho 0.
Để loại bỏ gốc, chúng ta nhân với biểu thức liên hợp, sau đó sử dụng công thức hiệu bình phương để viết lại mẫu số.
Chúng ta lấy độ bất định của vô cực chia cho vô cực, vì vậy chúng ta lấy biến đến mức lớn nhất và giảm nó theo.
Tiếp theo, chúng ta đánh giá sự đóng góp của từng số hạng và tìm giới hạn của hàm số tại vô cùng 
Lý thuyết giới hạn là một trong những nhánh của phân tích toán học. Câu hỏi về việc giải giới hạn khá rộng rãi, vì có hàng chục phương pháp giải giới hạn thuộc nhiều loại khác nhau. Có hàng tá sắc thái và thủ thuật cho phép bạn giải quyết giới hạn này hoặc giới hạn kia. Tuy nhiên, chúng tôi vẫn sẽ cố gắng tìm hiểu các loại giới hạn chính thường gặp nhất trong thực tế.
Hãy bắt đầu với chính khái niệm về giới hạn. Nhưng trước tiên, một nền tảng lịch sử ngắn gọn. Có một người Pháp tên là Augustin Louis Cauchy sống vào thế kỷ 19, người đã đưa ra những định nghĩa chặt chẽ cho nhiều khái niệm về matan và đặt nền móng cho nó. Phải nói rằng nhà toán học đáng kính này đã, đang và sẽ nằm trong cơn ác mộng của tất cả sinh viên khoa vật lý và toán học, vì ông đã chứng minh được một số lượng lớn các định lý phân tích toán học, và một định lý còn nguy hiểm hơn định lý kia. Về vấn đề này, chúng tôi sẽ chưa xem xét xác định giới hạn Cauchy, nhưng chúng ta hãy thử làm hai việc:
1. Hiểu giới hạn là gì.
2. Học cách giải các loại giới hạn chính.
Tôi xin lỗi vì một số giải thích không khoa học, điều quan trọng là tài liệu phải dễ hiểu ngay cả đối với một ấm trà, trên thực tế, đây là nhiệm vụ của dự án.
Vậy giới hạn là gì?
Và chỉ là một ví dụ về lý do tại sao bà ngoại xù xì....
Mọi giới hạn đều bao gồm ba phần:
1) Biểu tượng giới hạn nổi tiếng.
2) Các mục dưới biểu tượng giới hạn, trong trường hợp này . Mục nhập có nội dung "X có xu hướng một." Thông thường - chính xác, mặc dù thay vì "X" trong thực tế có các biến khác. Trong các nhiệm vụ thực tế, vị trí của một có thể là bất kỳ số nào, cũng như vô cực ().
3) Hàm số dưới dấu giới hạn, trong trường hợp này .
Bản thân việc ghi âm 
đọc như thế này: “giới hạn của một hàm khi x tiến tới sự thống nhất.”
Chúng ta hãy xem câu hỏi quan trọng tiếp theo - biểu thức “x” nghĩa là gì? phấn đấu thành một"? Và “phấn đấu” có nghĩa là gì?
Khái niệm giới hạn là một khái niệm, có thể nói, năng động. Hãy xây dựng một chuỗi: đầu tiên , sau đó , , …, 
, ….
Tức là biểu thức “x phấn đấuđến một” nên được hiểu như sau: “x” luôn đảm nhận các giá trị tiếp cận sự thống nhất vô cùng gần gũi và gần như trùng khớp với nó.
Làm thế nào để giải quyết ví dụ trên? Dựa vào kết quả trên, bạn chỉ cần thay một hàm vào hàm số dưới dấu giới hạn:
Vì vậy, quy tắc đầu tiên: Khi đưa ra bất kỳ giới hạn nào, đầu tiên chúng ta chỉ cần thử thế số đó vào hàm.
Chúng ta đã xem xét giới hạn đơn giản nhất, nhưng những giới hạn này cũng xảy ra trong thực tế và không quá hiếm!
Ví dụ với vô cực:
Chúng ta hãy tìm hiểu nó là gì? Đây là trường hợp nó tăng không giới hạn, tức là: đầu tiên, sau đó, sau đó, rồi cứ thế đến vô cùng.
Điều gì xảy ra với chức năng tại thời điểm này?
, , 
, …
Vì vậy: if , thì hàm số có xu hướng trừ vô cực:
Nói một cách đại khái, theo quy tắc đầu tiên của chúng tôi, thay vì “X”, chúng tôi thay thế vô cực vào hàm và nhận được câu trả lời.
Một ví dụ khác với vô cực:
Một lần nữa chúng ta bắt đầu tăng đến vô cùng và xem xét hành vi của hàm: 
Kết luận: khi hàm tăng không giới hạn:
Và một loạt ví dụ khác:
Hãy cố gắng tự mình phân tích những điều sau đây và ghi nhớ những loại giới hạn đơn giản nhất:
, , , , 
, , , , 
,
Nếu còn nghi ngờ ở đâu đó, bạn có thể lấy máy tính ra và thực hành một chút.
Trong trường hợp đó, hãy cố gắng xây dựng chuỗi , , . Nếu , thì , , .
! Ghi chú: Nói đúng ra, cách tiếp cận này để xây dựng chuỗi nhiều số là không chính xác, nhưng để hiểu các ví dụ đơn giản nhất thì nó khá phù hợp.
Ngoài ra hãy chú ý đến điều sau đây. Ngay cả khi giới hạn được đưa ra với một số lớn ở trên cùng hoặc thậm chí với một triệu: , thì tất cả đều giống nhau 
, vì sớm hay muộn thì “X” sẽ bắt đầu có những giá trị khổng lồ đến mức so với một triệu thì đó sẽ là một vi khuẩn thực sự.
Những gì bạn cần nhớ và hiểu từ những điều trên?
1) Khi đưa ra bất kỳ giới hạn nào, đầu tiên chúng ta chỉ cần thay số đó vào hàm.
2) Bạn phải hiểu và giải ngay được những giới hạn đơn giản nhất, chẳng hạn như 
. . . vân vân.
Hơn nữa, giới hạn có ý nghĩa hình học rất tốt. Để hiểu rõ hơn về chủ đề này, tôi khuyên bạn nên đọc tài liệu giảng dạy Đồ thị và tính chất của hàm cơ bản. Sau khi đọc bài viết này, cuối cùng bạn không chỉ hiểu giới hạn là gì mà còn làm quen với các trường hợp thú vị khi giới hạn của hàm nói chung không tồn tại!
Thật không may, trong thực tế có rất ít quà tặng. Và do đó chúng ta chuyển sang xem xét các giới hạn phức tạp hơn. Nhân tiện, về chủ đề này có khóa học chuyên sâuở định dạng pdf, điều này đặc biệt hữu ích nếu bạn có RẤT ít thời gian chuẩn bị. Nhưng tất nhiên, tài liệu của trang web cũng không tệ hơn:
Bây giờ chúng ta sẽ xem xét nhóm giới hạn khi , và hàm số là một phân số có tử số và mẫu số chứa đa thức
Ví dụ:
Tính giới hạn 
Theo quy tắc của chúng tôi, chúng tôi sẽ cố gắng thay thế vô cực vào hàm. Đứng đầu chúng ta nhận được gì? Vô cực. Và điều gì xảy ra bên dưới? Cũng vô cùng. Vì vậy, chúng ta có cái gọi là sự không chắc chắn về loài. Người ta có thể nghĩ rằng , và câu trả lời đã sẵn sàng, nhưng trong trường hợp tổng quát thì điều này hoàn toàn không đúng và cần phải áp dụng một số kỹ thuật giải mà bây giờ chúng ta sẽ xem xét.
Làm thế nào để giải quyết các giới hạn của loại này?
Đầu tiên chúng ta nhìn vào tử số và tìm lũy thừa cao nhất: 
Sức mạnh dẫn đầu của tử số là hai.
Bây giờ chúng ta nhìn vào mẫu số và cũng tìm thấy nó có lũy thừa cao nhất: 
Mức độ cao nhất của mẫu số là hai.
Sau đó, chúng ta chọn lũy thừa cao nhất của tử số và mẫu số: trong ví dụ này, chúng giống nhau và bằng hai.
Vì vậy, cách giải như sau: để phát hiện độ bất định cần chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất.
Đây rồi, câu trả lời, và không phải là vô cùng.
Điều gì là quan trọng cơ bản trong việc thiết kế một quyết định?
Đầu tiên, chúng tôi chỉ ra sự không chắc chắn, nếu có.
Thứ hai, nên ngắt lời giải để giải thích trung gian. Tôi thường sử dụng dấu hiệu, nó không có bất kỳ ý nghĩa toán học nào mà có nghĩa là lời giải bị gián đoạn vì lời giải thích trung gian.
Thứ ba, trong giới hạn nên đánh dấu những gì đang diễn ra ở đâu. Khi tác phẩm được vẽ bằng tay, sẽ thuận tiện hơn khi thực hiện theo cách này: 
Tốt hơn là sử dụng một cây bút chì đơn giản để ghi chú.
Tất nhiên, bạn không cần phải làm bất cứ điều gì trong số này, nhưng sau đó, có thể giáo viên sẽ chỉ ra những thiếu sót trong cách giải hoặc bắt đầu đặt thêm câu hỏi về bài tập. Bạn có cần nó không?
Ví dụ 2
Tìm giới hạn 
Một lần nữa ở tử số và mẫu số, chúng ta tìm thấy ở mức độ cao nhất: 
Bậc tối đa của tử số: 3
Mức độ tối đa trong mẫu số: 4
Chọn vĩ đại nhất giá trị, trong trường hợp này là bốn.
Theo thuật toán của chúng tôi, để phát hiện độ không đảm bảo, chúng tôi chia tử số và mẫu số cho .
Bài tập hoàn chỉnh có thể trông như thế này:
Chia tử số và mẫu số cho
Ví dụ 3
Tìm giới hạn 
Mức độ tối đa của “X” ở tử số: 2
Mức độ tối đa của “X” trong mẫu số: 1 (có thể viết là)
Để phát hiện độ không đảm bảo, cần chia tử số và mẫu số cho . Giải pháp cuối cùng có thể trông như thế này:
Chia tử số và mẫu số cho
Ký hiệu không có nghĩa là chia cho 0 (bạn không thể chia cho 0), mà là chia cho một số vô cùng nhỏ.
Vì vậy, bằng cách phát hiện ra sự không chắc chắn về loài, chúng ta có thể số cuối cùng, bằng không hoặc vô cùng.
Các giới hạn không chắc chắn về loại và phương pháp giải chúng
Nhóm giới hạn tiếp theo có phần giống với các giới hạn vừa xét: tử số và mẫu số chứa đa thức, nhưng “x” không còn có xu hướng tiến tới vô cùng mà số hữu hạn.
Ví dụ 4
Giải giới hạn 
Trước tiên, hãy thử thay -1 vào phân số: 
Trong trường hợp này, thu được cái gọi là độ không đảm bảo.
Quy tắc chung: nếu tử số và mẫu số chứa đa thức và có dạng không chắc chắn thì phải tiết lộ bạn cần phân tích tử số và mẫu số.
Để làm điều này, thông thường bạn cần giải phương trình bậc hai và/hoặc sử dụng các công thức nhân viết tắt. Nếu những điều này đã bị lãng quên, hãy truy cập trang Các công thức và bảng toán học và đọc tài liệu giảng dạy Những công thức hot cho môn toán học đường. Nhân tiện, tốt nhất bạn nên in nó ra; nó được yêu cầu rất thường xuyên và thông tin được hấp thụ tốt hơn từ giấy.
Vì vậy, hãy giải quyết giới hạn của chúng ta 
Phân tích tử số và mẫu số
Để phân tích tử số, bạn cần giải phương trình bậc hai: 
Đầu tiên chúng tôi tìm thấy sự phân biệt đối xử:
Và căn bậc hai của nó: .
Nếu phân biệt lớn, ví dụ 361, chúng ta sử dụng máy tính; chức năng trích căn bậc hai là trên máy tính đơn giản nhất.
! Nếu gốc không được trích xuất toàn bộ (thu được một số phân số có dấu phẩy), rất có thể phân biệt đối xử đã được tính toán không chính xác hoặc có lỗi đánh máy trong tác vụ.
Tiếp theo chúng ta tìm thấy rễ: 
Như vậy:
Tất cả. Tử số được nhân tử hóa.
Mẫu số. Mẫu số đã là thừa số đơn giản nhất và không có cách nào đơn giản hóa nó.
Rõ ràng, nó có thể được rút ngắn thành:
Bây giờ chúng ta thay thế -1 vào biểu thức nằm dưới dấu giới hạn:
Đương nhiên, trong một bài kiểm tra, bài kiểm tra hay bài kiểm tra, lời giải không bao giờ được viết ra một cách chi tiết như vậy. Trong phiên bản cuối cùng, thiết kế sẽ trông giống như thế này:
Hãy phân tích tử số thành nhân tử. 
Ví dụ 5
Tính giới hạn 
Đầu tiên, phiên bản “hoàn thiện” của giải pháp
Hãy phân tích tử số và mẫu số.
Tử số:
Mẫu số: 
, 
Điều gì là quan trọng trong ví dụ này?
Đầu tiên, bạn phải hiểu rõ về cách biểu thị tử số, đầu tiên chúng ta lấy 2 trong ngoặc, sau đó sử dụng công thức tính hiệu bình phương. Đây là công thức bạn cần biết và xem.
Sự giới thiệu: Nếu trong một giới hạn (hầu hết mọi loại) có thể lấy một số ra khỏi ngoặc, thì chúng tôi luôn làm điều đó.
Hơn nữa, nên di chuyển những con số đó vượt quá biểu tượng giới hạn. Để làm gì? Vâng, chỉ để họ không cản đường. Điều chính là không để mất những con số này sau này trong quá trình giải quyết.
Xin lưu ý rằng ở giai đoạn cuối cùng của giải pháp, tôi đã loại bỏ hai biểu tượng giới hạn và sau đó là dấu trừ.
! Quan trọng
Trong quá trình giải quyết, hiện tượng phân đoạn kiểu xảy ra rất thường xuyên. Giảm phần nàynó bị cấm
. Đầu tiên bạn cần đổi dấu của tử số hoặc mẫu số (bỏ -1 ra khỏi ngoặc).
, tức là xuất hiện dấu trừ, dấu này được tính đến khi tính giới hạn và không cần phải mất nó chút nào.
Nói chung, tôi nhận thấy rằng hầu hết khi tìm giới hạn kiểu này, bạn phải giải hai phương trình bậc hai, nghĩa là cả tử số và mẫu số đều chứa tam thức bậc hai.
Phương pháp nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp
Chúng tôi tiếp tục xem xét sự không chắc chắn của hình thức
Loại giới hạn tiếp theo tương tự như loại trước. Điều duy nhất, ngoài đa thức, chúng ta sẽ thêm các nghiệm.
Ví dụ 6
Tìm giới hạn 
Hãy bắt đầu quyết định.
Đầu tiên chúng ta thử thay 3 vào biểu thức dưới dấu giới hạn
Tôi nhắc lại một lần nữa - đây là điều đầu tiên bạn cần làm đối với BẤT KỲ giới hạn nào. Hành động này thường được thực hiện trong đầu hoặc ở dạng nháp.
Đã đạt được sự không chắc chắn về hình thức cần phải loại bỏ. 
Như bạn có thể nhận thấy, tử số của chúng ta chứa hiệu của các nghiệm. Và trong toán học, thông lệ là loại bỏ gốc rễ, nếu có thể. Để làm gì? Và cuộc sống sẽ dễ dàng hơn nếu không có họ.