Xác định trình tự. Dãy số

Nếu mọi người số tự nhiên n được gán cho một số số thực x n , thì họ nói rằng nó được đưa ra dãy số

x 1 , x 2 , … x n , …

Con số x 1 được gọi là thành viên của dãy với số 1 hoặc số hạng đầu tiên của dãy, con số x 2 - thành viên của chuỗi với số 2 hoặc thành viên thứ hai của chuỗi, v.v. Số xn được gọi là thành viên của dãy có số N.

Có hai cách để xác định dãy số - with và with công thức hồi quy.

Trình tự sử dụng công thức tính số hạng tổng quát của dãy– đây là một nhiệm vụ theo trình tự

x 1 , x 2 , … x n , …

sử dụng công thức biểu diễn sự phụ thuộc của số hạng x n vào số n của nó.

Ví dụ 1. Dãy số

1, 4, 9, … N 2 , …

được đưa ra bằng cách sử dụng công thức thuật ngữ chung

x n = N 2 , N = 1, 2, 3, …

Việc xác định một chuỗi bằng cách sử dụng công thức biểu thị thành viên chuỗi x n thông qua các thành viên của chuỗi có số đứng trước được gọi là xác định một chuỗi bằng cách sử dụng công thức hồi quy.

x 1 , x 2 , … x n , …

gọi điện theo thứ tự tăng dần, hơn thành viên trước đó.

Nói cách khác, đối với mọi người N

x N + 1 >x N

Ví dụ 3. Dãy số tự nhiên

1, 2, 3, … N, …

là dãy tăng dần.

Định nghĩa 2. Dãy số

x 1 , x 2 , … x n , …

gọi điện dãy giảm dần nếu mỗi thành viên của chuỗi này ít hơn thành viên trước đó.

Nói cách khác, đối với mọi người N= 1, 2, 3,… thỏa mãn bất đẳng thức

x N + 1 < x N

Ví dụ 4. Tiếp theo

được cho bởi công thức

là dãy giảm dần.

Ví dụ 5. Dãy số

1, - 1, 1, - 1, …

được cho bởi công thức

x n = (- 1) N , N = 1, 2, 3, …

không phải không tăng cũng không giảm sự liên tiếp.

Định nghĩa 3. Dãy số tăng và giảm được gọi là trình tự đơn điệu.

Chuỗi giới hạn và không giới hạn

Định nghĩa 4. Dãy số

x 1 , x 2 , … x n , …

gọi điện giới hạn ở trên, nếu tồn tại một số M sao cho mỗi phần tử của dãy này ít hơn số M

Nói cách khác, đối với mọi người N= 1, 2, 3,… thỏa mãn bất đẳng thức

Định nghĩa 5. Dãy số

x 1 , x 2 , … x n , …

gọi điện giới hạn bên dưới, nếu có một số m sao cho mỗi phần tử của dãy này hơn số m.

Nói cách khác, đối với mọi người N= 1, 2, 3,… thỏa mãn bất đẳng thức

Định nghĩa 6. Dãy số

x 1 , x 2 , … x n , …

được gọi là giới hạn nếu nó hạn chế cả trên và dưới.

Nói cách khác, tồn tại các số M và m sao cho với mọi N= 1, 2, 3,… thỏa mãn bất đẳng thức

tôi< x n < M

Định nghĩa 7. Dãy số có không bị giới hạn, gọi điện trình tự không giới hạn.

Ví dụ 6. Dãy số

1, 4, 9, … N 2 , …

được cho bởi công thức

x n = N 2 , N = 1, 2, 3, … ,

giới hạn bên dưới, ví dụ như số 0. Tuy nhiên, dãy số này không giới hạn từ trên cao.

Ví dụ 7. Tiếp theo

được cho bởi công thức

là trình tự giới hạn , vì đối với mọi người N= 1, 2, 3,… thỏa mãn bất đẳng thức

Trên trang web của chúng tôi, bạn cũng có thể làm quen với các tài liệu giáo dục do các giáo viên của trung tâm đào tạo Resolventa phát triển để chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất cấp Bang và Kỳ thi cấp Bang Thống nhất về toán học.

Dành cho học sinh muốn chuẩn bị tốt và đậu Kỳ thi thống nhất quốc gia về toán hoặc tiếng Nga TRÊN điểm cao, trung tâm đào tạo"Resolventa" tiến hành

các khóa học dự bị cho học sinh lớp 10 và 11

Vida y= f(x), x VỀ N, Ở đâu N– một tập hợp các số tự nhiên (hoặc một hàm của một đối số tự nhiên), ký hiệu là y=f(N) hoặc y 1 ,y 2 ,…, năm,…. Giá trị y 1 ,y 2 ,y 3 ,… được gọi lần lượt là thành viên thứ nhất, thứ hai, thứ ba, ... của dãy.

Ví dụ, đối với hàm y= N 2 có thể viết:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Các phương pháp xác định trình tự. Trình tự có thể được chỉ định theo nhiều cách khác nhau, trong đó ba điều đặc biệt quan trọng: phân tích, mô tả và tái diễn.

1. Một dãy số được đưa ra theo phương pháp giải tích nếu công thức của nó được đưa ra N thành viên thứ:

năm=f(N).

Ví dụ. năm= 2N - 1 – dãy số lẻ: 1, 3, 5, 7, 9,…

2. Mô tả cách thiết lập dãy số là nó giải thích trình tự được xây dựng từ những phần tử nào.

Ví dụ 1. “Tất cả các số hạng của dãy đều bằng 1.” Điều này có nghĩa là, chúng ta đang nói về về dãy cố định 1, 1, 1, …, 1, ….

Ví dụ 2. “Một dãy bao gồm tất cả số nguyên tố theo thứ tự tăng dần." Vậy dãy số đã cho là 2, 3, 5, 7, 11, …. Với phương pháp xác định trình tự này trong ví dụ này thật khó để trả lời phần tử thứ 1000 của dãy bằng gì.

3. Phương pháp lặp lại để xác định trình tự là chỉ định quy tắc cho phép bạn tính toán N-thành viên thứ của một chuỗi nếu các thành viên trước đó của nó đã được biết. Tên phương pháp lặp lại xuất phát từ từ Latinh tái diễn- sự trở lại. Thông thường, trong những trường hợp như vậy, một công thức được chỉ định cho phép người ta diễn đạt N thành viên thứ của chuỗi thông qua các thành viên trước đó và chỉ định 1–2 thành viên ban đầu của chuỗi.

Ví dụ 1. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 nếu N = 2, 3, 4,….

Đây y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Bạn có thể thấy rằng trình tự thu được trong ví dụ này cũng có thể được xác định bằng phương pháp phân tích: năm= 4N - 1.

Ví dụ 2. y 1 = 1; y 2 = 1; năm = năm –2 + năm–1 nếu N = 3, 4,….

Đây: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Dãy số trong ví dụ này được nghiên cứu đặc biệt trong toán học vì nó có một số tính chất thú vị và các ứng dụng. Nó được gọi là dãy Fibonacci, được đặt theo tên của nhà toán học người Ý thế kỷ 13. Rất dễ dàng để xác định dãy Fibonacci tuần hoàn nhưng lại rất khó về mặt phân tích. N Số Fibonacci thứ được thể hiện thông qua số seri công thức sau.

Thoạt nhìn, công thức cho N số Fibonacci thứ có vẻ không hợp lý, vì chỉ riêng công thức xác định dãy số tự nhiên đã chứa căn bậc hai, nhưng bạn có thể kiểm tra “thủ công” tính hợp lệ của công thức này trong vài lần đầu tiên N.

Tính chất của dãy số.

Dãy số – trường hợp đặc biệt hàm số, do đó một số tính chất của hàm cũng được xem xét cho dãy.

Sự định nghĩa . Dãy số tiếp theo ( năm} được gọi là tăng nếu mỗi số hạng của nó (trừ số hạng đầu tiên) lớn hơn số hạng trước:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Định nghĩa.Trình tự ( năm} được gọi là giảm nếu mỗi số hạng của nó (trừ số hạng đầu tiên) nhỏ hơn số hạng trước:

y 1 > y 2 > y 3 > … > năm> năm +1 > … .

Chuỗi tăng và giảm dần được kết hợp thuật ngữ chung- trình tự đơn điệu.

Ví dụ 1. y 1 = 1; năm= N 2 – dãy tăng dần.

Do đó, định lý sau đây là đúng (một tính chất đặc trưng của cấp số cộng). Một dãy số là số học khi và chỉ khi mỗi số hạng của nó ngoại trừ số hạng đầu tiên (và số hạng cuối cùng trong trường hợp dãy hữu hạn), bằng giá trị trung bình số học của các số hạng trước và sau.

Ví dụ. Ở giá trị nào x số 3 x + 2, 5x– 4 và 11 x+ 12 tạo thành cấp số cộng hữu hạn?

Theo tính chất đặc trưng, các biểu thức đã cho phải thỏa mãn mối quan hệ

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Giải phương trình này cho x= –5,5. Ở giá trị này x biểu thức đã cho 3 x + 2, 5x– 4 và 11 x+ 12 lần lượt lấy các giá trị –14,5, –31,5, –48,5. Cái này - cấp số cộng, chênh lệch của nó là –17.

Tiến triển hình học.

Một dãy số, tất cả các số hạng của nó đều khác 0 và mỗi số hạng của nó, bắt đầu từ số hạng thứ hai, thu được từ số hạng trước đó bằng cách nhân với cùng một số q, gọi điện cấp số nhân, và số q- mẫu số của cấp số nhân.

Vì vậy, một cấp số nhân là một dãy số ( b n), được xác định đệ quy bởi các quan hệ

b 1 = b, b n = b n –1 q (N = 2, 3, 4…).

(b Và q – số đã cho, b ≠ 0, q ≠ 0).

Ví dụ 1. 2, 6, 18, 54, ... – cấp số nhân tăng dần b = 2, q = 3.

Ví dụ 2. 2, –2, 2, –2, … – cấp số nhân b= 2,q= –1.

Ví dụ 3. 8, 8, 8, 8,… – cấp số nhân b= 8, q= 1.

Một cấp số nhân là một dãy tăng dần nếu b 1 > 0, q> 1 và giảm nếu b 1 > 0, 0 q

Một trong những tính chất hiển nhiên của cấp số nhân là nếu cấp số nhân là cấp số nhân thì cấp số bình phương cũng vậy, tức là.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... là cấp số nhân có số hạng đầu tiên bằng b 1 2 , và mẫu số là q 2 .

Công thức N- số hạng thứ của cấp số nhân có dạng

b n= b 1 qn– 1 .

Bạn có thể thu được công thức tính tổng các số hạng của một cấp số nhân hữu hạn.

Cho một cấp số nhân hữu hạn

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

cho phép S n – tổng số thành viên của nó, tức là

Sn= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Nó được chấp nhận rằng q Số 1. Để xác định Snáp dụng tiếp nhận nhân tạo: một số bị xử tử các phép biến đổi hình học biểu thức S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = Sn+ b n q– b 1 .

Như vậy, S n q= Sn +b n q – b 1 và do đó

Đây là công thức có umma n về cấp số nhânđối với trường hợp khi q≠ 1.

Tại q= 1 công thức không cần phải được rút ra riêng biệt; Sn= Một 1 N.

Cấp số cộng được gọi là cấp số nhân vì mỗi số hạng trong đó, ngoại trừ số hạng đầu tiên, đều bằng trung bình hình học của số hạng trước và số hạng tiếp theo. Quả thực, kể từ khi

bn=bn- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

kể từ đây, b n 2=bn– 1 bn+ 1 và định lý sau đây đúng (một tính chất đặc trưng của cấp số nhân):

một dãy số là một cấp số nhân khi và chỉ khi bình phương của mỗi số hạng của nó, ngoại trừ số hạng đầu tiên (và số hạng cuối cùng trong trường hợp dãy số hữu hạn), tương đương với sản phẩm thành viên trước đó và các thành viên tiếp theo.

Giới hạn nhất quán

Giả sử có một dãy ( c n} = {1/N}. Chuỗi này được gọi là hài, vì mỗi số hạng của nó, bắt đầu từ số thứ hai, là giá trị trung bình hài giữa số hạng trước và số hạng tiếp theo. Trung bình số hình học Một Và b có một số

TRONG nếu không thì trình tự được gọi là phân kỳ.

Dựa trên định nghĩa này, ví dụ, người ta có thể chứng minh sự tồn tại của giới hạn A=0 cho chuỗi hài hòa ( c n} = {1/N). Cho ε nhỏ tùy ý số dương. Sự khác biệt được xem xét

Liệu một điều như vậy có tồn tại? N cái đó dành cho tất cả mọi người n ≥ N bất đẳng thức 1 đúng /N ? Nếu chúng ta coi nó như N số tự nhiên nào lớn hơn 1/ε , sau đó cho mọi người n ≥ N bất đẳng thức 1 đúng /n ≤ 1/N ε, Q.E.D.

Việc chứng minh sự tồn tại của giới hạn đối với một dãy cụ thể đôi khi có thể rất khó khăn. Các trình tự xảy ra thường xuyên nhất đã được nghiên cứu kỹ lưỡng và được liệt kê trong sách tham khảo. Có sẵn định lý quan trọng, cho phép người ta rút ra kết luận về sự hiện diện của giới hạn đối với một dãy đã cho (và thậm chí tính toán nó), dựa trên các dãy đã được nghiên cứu.

Định lý 1. Nếu một dãy có giới hạn thì nó bị chặn.

Định lý 2. Nếu một dãy số đơn điệu và bị chặn thì nó có giới hạn.

Định lý 3. Nếu dãy ( MỘT} có một giới hạn MỘT, thì các dãy ( Có thể}, {MỘT+ c) và (| MỘT|} có giới hạn cA, MỘT +c, |MỘT| tương ứng (ở đây c- số tùy ý).

Định lý 4. Nếu dãy ( MỘT} Và ( b n) có giới hạn bằng MỘT Và B chảo + qbn) có giới hạn pA+ qB.

Định lý 5. Nếu dãy ( MỘT) Và ( b n) có giới hạn bằng MỘT Và B tương ứng thì dãy ( a n b n) có giới hạn AB.

Định lý 6. Nếu dãy ( MỘT} Và ( b n) có giới hạn bằng MỘT Và B tương ứng, và ngoài ra, b n ≠ 0 và B≠ 0 thì dãy ( một n / b n) có giới hạn A/B.

Anna Chugainova

Định nghĩa của một dãy số được đưa ra. Ví dụ về các chuỗi tăng vô hạn, hội tụ và phân kỳ được xem xét. Một dãy chứa tất cả các số hữu tỷ được xem xét.

Sự định nghĩa .
Dãy số (xn) là một định luật (quy tắc) theo đó, với mọi số tự nhiên n = 1, 2, 3, . . . một số x n nhất định được chỉ định.
Phần tử xn được gọi là nhiệm kỳ thứ n hoặc một phần tử của dãy.

Dãy số này được ký hiệu là số hạng thứ n được đặt trong dấu ngoặc nhọn: .
, , .

Các chỉ định sau đây cũng có thể: . Chúng chỉ ra rõ ràng rằng chỉ số n thuộc về tập hợp các số tự nhiên và bản thân dãy số này có vô số số hạng. Dưới đây là một số trình tự ví dụ: Nói cách khác, dãy số là một hàm có miền định nghĩa là tập hợp các số tự nhiên. Số phần tử của dãy là vô hạn. Trong số các phần tử cũng có thể có các thành viên có

cùng giá trị

. Ngoài ra, một dãy có thể được coi là một tập hợp các số được đánh số bao gồm vô số phần tử.

Chúng ta sẽ chủ yếu quan tâm đến câu hỏi các dãy hành xử như thế nào khi n tiến tới vô cùng: .

Tài liệu này được trình bày trong phần Giới hạn của dãy - các định lý và tính chất cơ bản. Ở đây chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ về trình tự.
.
Ví dụ về trình tự Ví dụ về dãy tăng vô hạn Hãy xem xét trình tự.

Bây giờ hãy xem xét một dãy có một số hạng chung.
.
Đây là một số thành viên đầu tiên: Khi số n tăng lên, các phần tử của dãy này tăng vô hạn theo giá trị tuyệt đối , nhưng không có dấu hiệu hằng

. Nghĩa là, trình tự này có xu hướng: tại .

Ví dụ về dãy hội tụ về số hữu hạn
.
Hãy xem xét trình tự. = 0 Thành viên chung của cô ấy. = 0 Các thuật ngữ đầu tiên có dạng sau: > 0 Có thể thấy rằng khi số n tăng lên thì các phần tử của dãy này tiến dần đến giá trị giới hạn a

: Tại . Vì vậy, mỗi số hạng tiếp theo gần bằng 0 hơn số hạng trước. Theo một nghĩa nào đó, chúng ta có thể coi rằng có một giá trị gần đúng cho số a
.
có lỗi. = 0 Rõ ràng là khi n tăng, sai số này có xu hướng bằng 0, nghĩa là bằng cách chọn n, sai số có thể được làm nhỏ đến mức mong muốn. Hơn nữa, với bất kỳ lỗi nào cho trước ε
.
bạn có thể chỉ định một số N sao cho đối với tất cả các phần tử có số lớn hơn N:, độ lệch của số đó so với giá trị giới hạn a sẽ không vượt quá sai số ε:. > 0 Tiếp theo, hãy xem xét trình tự. = 0 Thành viên chung của cô ấy. = 0 Đây là một số thành viên đầu tiên của nó:

Trong chuỗi này, các số hạng chẵn đều bằng 0. Các số hạng có n lẻ thì bằng nhau.

Do đó, khi n tăng thì giá trị của chúng tiến gần đến giá trị giới hạn a

.

.
Điều này cũng xuất phát từ thực tế là
,
Giống như trong ví dụ trước, chúng ta có thể chỉ định một lỗi nhỏ tùy ý ε 1 = 0 , nhờ đó có thể tìm được số N sao cho các phần tử có số lớn hơn N sẽ lệch khỏi giá trị giới hạn a với số tiền không vượt quá sai số quy định. Do đó dãy này hội tụ về giá trị a:
,
Giống như trong ví dụ trước, chúng ta có thể chỉ định một lỗi nhỏ tùy ý ε 2 = 2 : Tại .

Ví dụ về trình tự phân kỳ

Hãy xem xét một chuỗi với thuật ngữ phổ biến sau:
.
Đây là những thành viên đầu tiên của nó:
.
Có thể thấy các số hạng có số chẵn:

.
hội tụ về giá trị a

. Thành viên với (0; 1) số lẻ , chúng ta luôn có thể tìm được các thành viên của dãy sẽ ở gần điểm này hoặc trùng với điểm đó một cách tùy ý.

Sau đó, từ dãy ban đầu người ta có thể chọn một dãy con sẽ hội tụ về điểm tùy ý từ khoảng thời gian .

Nghĩa là, khi số n tăng lên thì các phần tử của dãy con sẽ ngày càng tiến gần đến điểm đã chọn trước. = 0 Ví dụ: đối với điểm a
.
= 0 .

bạn có thể chọn dãy sau: = 1 Đối với điểm a
.
Hãy chọn dãy con sau: = 1 .

Các số hạng của dãy con này hội tụ về giá trị a Vì có các dãy con hội tụ vềý nghĩa khác nhau

, thì bản thân dãy ban đầu không hội tụ về bất kỳ số nào.

Dãy số chứa tất cả các số hữu tỉ

Bây giờ hãy xây dựng một dãy chứa tất cả các số hữu tỷ. Hơn nữa, mỗi số hữu tỷ sẽ xuất hiện theo trình tự như vậy vô số lần. Số hữu tỉ r có thể được biểu diễn dưới dạng:
,
mẫu sau
số nguyên ở đâu; - tự nhiên.

Chúng ta cần liên kết mỗi số tự nhiên n với một cặp số p và q sao cho bất kỳ cặp p và q nào cũng có trong dãy của chúng ta. Để làm điều này, hãy vẽ trục p và q trên mặt phẳng. Chúng ta vẽ các đường lưới thông qua các giá trị nguyên của p và q. (0; 0) Khi đó mỗi nút của lưới này sẽ tương ứng < 1 số hữu tỉ

. Toàn bộ tập hợp số hữu tỷ sẽ được biểu diễn bằng một tập hợp các nút. Chúng ta cần tìm cách đánh số tất cả các nút để không bỏ sót nút nào. Điều này rất dễ thực hiện nếu bạn đánh số các nút theo hình vuông, tâm của chúng nằm ở điểm
.
(xem hình). Trong trường hợp này, phần dưới của hình vuông có q chúng tôi không cần nó. Vì vậy chúng không được thể hiện trong hình. Vì vậy, đối với cạnh trên của hình vuông đầu tiên, chúng ta có:

.
Tiếp theo chúng ta đánh số

.
hội tụ về giá trị a

phần trên cùng

hình vuông sau: Chúng ta đánh số phần trên của hình vuông sau:, thì dãy không hội tụ về bất kỳ số nào.

Phần kết luận

Ở đây chúng tôi đã đưa ra một định nghĩa chính xác về dãy số. Chúng tôi cũng nêu vấn đề về sự hội tụ của nó, dựa trên những ý tưởng trực quan. Định nghĩa chính xác sự hội tụ được thảo luận trên trang Xác định giới hạn của chuỗi. Các tính chất và định lý liên quan được nêu trên trang

Khái niệm dãy số.

Giả sử mỗi số tự nhiên n tương ứng với một số a n , thì ta nói rằng đã cho một hàm a n =f(n), hàm này được gọi là dãy số. Ký hiệu là a n ,n=1,2,… hoặc (a n ).

Các số a 1 , a 2 , ... được gọi là thành viên của dãy hoặc các phần tử của dãy, n là thành viên tổng quát của dãy, n là số của thành viên a n .

Theo định nghĩa, bất kỳ chuỗi nào cũng chứa tập vô hạn các phần tử.

Ví dụ về dãy số.

số học cấp số nhân – cấp số có dạng:

nghĩa là, một chuỗi các số (thuật ngữ của cấp số nhân), mỗi số, bắt đầu từ số thứ hai, được lấy từ số trước bằng cách thêm vào đó một số không đổi d (bước hoặc hiệu của cấp số):
.

Bất kỳ số hạng nào của cấp số nhân đều có thể được tính bằng công thức số hạng tổng quát:

Bất kỳ thành viên nào của một cấp số cộng, bắt đầu từ cấp số thứ hai, là trung bình số học của cấp số trước và thành viên tiếp theo của cấp số cộng:

Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng có thể được biểu diễn bằng công thức:

Tổng n số hạng liên tiếp của một cấp số cộng bắt đầu bằng số hạng k:

Một ví dụ về tổng của cấp số cộng là tổng của một chuỗi số tự nhiên bao gồm n:

hình học cấp số - dãy số
(thành viên của một cấp số), trong đó mỗi số tiếp theo, bắt đầu từ số thứ hai, được lấy từ số trước bằng cách nhân nó với một số nhất định q (mẫu số của cấp số), trong đó
,
:

Bất kỳ số hạng nào của cấp số nhân đều có thể được tính bằng công thức:

Nếu b 1 > 0 và q > 1, cấp số nhân là một dãy tăng nếu 0

Sự tiến triển có tên từ đặc tính đặc trưng của nó:
nghĩa là, mỗi số hạng bằng giá trị trung bình hình học của các số hạng lân cận.

Tích của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân có thể được tính bằng công thức:

Tích của các số hạng của cấp số nhân bắt đầu bằng số hạng thứ k và kết thúc bằng số hạng thứ n có thể được tính bằng công thức:

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

Nếu như

, thì khi nào
, Và

Tại
.

Giới hạn nhất quán

Một dãy được gọi là tăng nếu mỗi phần tử lớn hơn dãy trước. Một dãy được gọi là dãy giảm nếu mỗi phần tử nhỏ hơn dãy trước.

Dãy x n được gọi là bị chặn nếu có các số m và M sao cho mọi số tự nhiên n đều thỏa mãn điều kiện
.

Có thể xảy ra trường hợp tất cả các thành viên của dãy (an ) với số n tăng không giới hạn sẽ tiến tới số m nào đó.

Một số a được gọi là giới hạn của dãy X n nếu với mọi Ε>0 tồn tại một số (phụ thuộc vào Ε) n 0 =n o (Ε) sao cho
bất bình đẳng giữ
với mọi (tự nhiên)n>n 0 .

Trong trường hợp này họ viết
hoặc

Sự hội tụ của trình tự.

Dãy số có giới hạn là số hữu hạn được gọi là hội tụ về a:

Nếu một dãy không có giới hạn hữu hạn (đếm được) thì nó sẽ được gọi là phân kỳ.

Ý nghĩa hình học.

Nếu như
thì tất cả các phần tử của dãy này, ngoại trừ số cuối cùng, sẽ rơi vào một lân cận Ε tùy ý của điểm a. Về mặt hình học, giới hạn của một chuỗi có nghĩa là tất cả các giá trị của nó nằm trên một đoạn nhất định.