Định nghĩa về giới hạn hữu hạn của một chuỗi được đưa ra. Các thuộc tính liên quan và định nghĩa tương đương sẽ được thảo luận. Một định nghĩa được đưa ra rằng điểm a không phải là giới hạn của dãy. Xét các ví dụ trong đó sự tồn tại của giới hạn được chứng minh bằng định nghĩa.
Ở đây chúng ta sẽ xem xét định nghĩa về giới hạn hữu hạn của dãy. Trường hợp dãy hội tụ về vô cùng được thảo luận ở trang “Định nghĩa dãy số lớn vô hạn”.
Sự định nghĩa .
(xn), nếu với mọi số dương ε > 0
tồn tại một số tự nhiên N ε phụ thuộc vào ε sao cho mọi số tự nhiên n > N ε bất đẳng thức
| x n - a|< ε
.
Giới hạn trình tự được ký hiệu như sau:
.
Hoặc tại .
Hãy biến đổi bất đẳng thức:
;
;
.
Khoảng mở (a - ε, a + ε) được gọi là ε - lân cận của điểm a.
Dãy số có giới hạn được gọi là dãy hội tụ. Người ta cũng nói rằng trình tự hội tụđến một. Dãy số không có giới hạn được gọi là.
khác nhau
Từ định nghĩa, suy ra rằng nếu một dãy có giới hạn a thì cho dù chúng ta chọn điểm a lân cận ε như thế nào thì ngoài giới hạn của nó chỉ có thể có một số hữu hạn các phần tử của dãy hoặc không có phần tử nào (trống bộ). Và bất kỳ vùng lân cận ε nào cũng chứa vô số phần tử. Trong thực tế, khi cho trước một số ε nhất định, nhờ đó chúng ta có số .
Vì vậy, tất cả các phần tử của dãy số , theo định nghĩa, đều nằm trong ε - lân cận của điểm a .
(1)
.
Các yếu tố đầu tiên có thể được đặt ở bất cứ đâu. Nghĩa là, bên ngoài vùng lân cận ε không thể có nhiều hơn các phần tử - nghĩa là một số hữu hạn.
Bây giờ hãy xem xét phát biểu ngược lại rằng số a không phải là giới hạn của dãy.
Số một không phải là giới hạn của dãy, nếu tồn tại sao cho với mọi số tự nhiên n đều có m tự nhiên như vậy > n, Cái gì
.
Hãy viết tuyên bố này bằng cách sử dụng các ký hiệu logic.
(2)
.
Tuyên bố rằng số a không phải là giới hạn của dãy, có nghĩa là
bạn có thể chọn một ε như vậy - vùng lân cận của điểm a, ngoài điểm đó sẽ có vô số phần tử của dãy.
Hãy xem một ví dụ. Cho một dãy có phần tử chung
(3)
Bất kỳ lân cận nào của một điểm đều chứa vô số phần tử. Tuy nhiên, điểm này không phải là giới hạn của dãy, vì bất kỳ lân cận nào của điểm cũng chứa vô số phần tử. Lấy ε - lân cận của một điểm với ε = 1
. (-1, +1)
Đây sẽ là khoảng thời gian > 2
.
Tất cả các phần tử ngoại trừ phần tử đầu tiên có n chẵn đều thuộc khoảng này. Nhưng tất cả các phần tử có n lẻ đều nằm ngoài khoảng này, vì chúng thỏa mãn bất đẳng thức x n
.
.
Vì số lượng phần tử lẻ là vô hạn nên sẽ có vô số phần tử nằm ngoài vùng lân cận đã chọn. Do đó, điểm không phải là giới hạn của dãy.
Bây giờ chúng tôi sẽ chỉ ra điều này, tuân thủ nghiêm ngặt tuyên bố (2). Điểm không phải là giới hạn của dãy (3), vì tồn tại sao cho, với mọi n tự nhiên, tồn tại một số lẻ mà bất đẳng thức đúng
Nó cũng có thể được chứng minh rằng bất kỳ điểm a nào cũng không thể là giới hạn của dãy này. Chúng ta luôn có thể chọn một ε - lân cận của điểm a không chứa điểm 0 hoặc điểm 2. Và khi đó bên ngoài lân cận đã chọn sẽ có vô số phần tử của dãy.
định nghĩa tương đương Chúng ta có thể đưa ra một định nghĩa tương đương về giới hạn của dãy nếu chúng ta mở rộng khái niệm ε - lân cận. Chúng ta sẽ có được một định nghĩa tương đương nếu, thay vì lân cận ε, nó chứa bất kỳ lân cận nào của điểm a. 1
Xác định lân cận của một điểm 2
Vùng lân cận của điểm a
bất kỳ khoảng mở nào chứa điểm này đều được gọi. Về mặt toán học, vùng lân cận được định nghĩa như sau: , trong đó ε
và ε
- số dương tùy ý., nếu với bất kỳ lân cận nào của nó có số tự nhiên N sao cho tất cả các phần tử của dãy có số đều thuộc lân cận này.
Định nghĩa này cũng có thể được trình bày dưới dạng mở rộng.
- số dương tùy ý., nếu với mọi số dương và tồn tại số tự nhiên N phụ thuộc vào và sao cho các bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên
.
Bằng chứng về sự tương đương của các định nghĩa
Hãy chứng minh rằng hai định nghĩa về giới hạn của dãy trình bày ở trên là tương đương nhau.
Gọi số a là giới hạn của dãy theo định nghĩa đầu tiên. Điều này có nghĩa là tồn tại một hàm sao cho với mọi số dương ε thì các bất đẳng thức sau được thỏa mãn:
(4)
Tại .
Hãy chứng minh rằng số a là giới hạn của dãy theo định nghĩa thứ hai. Nghĩa là, chúng ta cần chứng minh rằng tồn tại một hàm sao cho với mọi số dương ε 1
và ε 2
thỏa mãn các bất đẳng thức sau:
(5)
Tại .
Cho ta hai số dương: ε 1
và ε 2
.
.
Và đặt ε là nhỏ nhất trong số đó: .
Sau đó ; ; 1
và ε 2
.
.
Hãy sử dụng điều này trong (5): 1
và ε 2
thỏa mãn các bất đẳng thức sau:
(5)
Tại .
Nhưng bất đẳng thức được thỏa mãn với .
.
Khi đó bất đẳng thức (5) cũng được thỏa mãn với .
Nghĩa là, chúng ta đã tìm thấy một hàm thỏa mãn bất đẳng thức (5) với mọi số dương ε
Phần đầu tiên đã được chứng minh.
Bây giờ gọi số a là giới hạn của dãy theo định nghĩa thứ hai. Điều này có nghĩa là tồn tại một hàm sao cho với mọi số dương ε
Hãy chứng minh rằng số a là giới hạn của dãy theo định nghĩa đầu tiên. Để làm điều này bạn cần phải đặt .
Khi đó khi có bất đẳng thức sau:
(1)
.
Điều này tương ứng với định nghĩa đầu tiên với .
.
.
Sự tương đương của các định nghĩa đã được chứng minh.
.
.
Ví dụ
Tại .
Ở đây chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ trong đó chúng ta cần chứng minh rằng một số a cho trước là giới hạn của một dãy. Trong trường hợp này, bạn cần chỉ định một số dương tùy ý ε và xác định hàm N của ε sao cho bất đẳng thức được thỏa mãn với tất cả.
.
Ví dụ 1
Chứng minh điều đó.
.
Trong trường hợp của chúng tôi;
(1)
.
Hãy sử dụng các tính chất của bất đẳng thức. Sau đó nếu và , thì
.
Sau đó
.
Sự tương đương của các định nghĩa đã được chứng minh.
.
Điều này có nghĩa là số đó là giới hạn của dãy đã cho:
.
Ví dụ
Tại .
.
Ví dụ 2
.
Dùng định nghĩa giới hạn của dãy số, chứng minh rằng
Hãy viết định nghĩa giới hạn của dãy số:
.
Trong trường hợp của chúng tôi,; = 1, 2, 3, ...
Nhập số dương và:
.
Trong trường hợp của chúng tôi;
(1)
.
Nghĩa là, với bất kỳ số dương nào, chúng ta có thể lấy bất kỳ số tự nhiên nào lớn hơn hoặc bằng:
.
Ví dụ 3
.
Điều này có nghĩa là số đó là giới hạn của dãy đã cho:
.
Chúng tôi giới thiệu ký hiệu , .
Tại .
Điều này có nghĩa là số đó là giới hạn của chuỗi:
.
Ví dụ 4
Dùng định nghĩa giới hạn của dãy số, chứng minh rằng
.
Trong trường hợp của chúng tôi;
(1)
.
Hãy sử dụng các tính chất của bất đẳng thức. Sau đó nếu và , thì
.
Sau đó
.
Ví dụ 3
.
Điều này có nghĩa là số đó là giới hạn của dãy đã cho:
.
Ví dụ
Tại .
Điều này có nghĩa là số đó là giới hạn của chuỗi:
.
Văn học đã qua sử dụng:
L. D. Kudryavtsev. Giáo trình phân tích toán học. Tập 1. Mátxcơva, 2003.
CM. Nikolsky. Giáo trình phân tích toán học. Tập 1. Mátxcơva, 1983.
Hôm nay trong lớp chúng ta sẽ xem xét trình tự nghiêm ngặt Và định nghĩa chặt chẽ về giới hạn của hàm, đồng thời học cách giải quyết các vấn đề liên quan có tính chất lý thuyết. Bài viết chủ yếu dành cho sinh viên năm thứ nhất các chuyên ngành khoa học tự nhiên và kỹ thuật, những người bắt đầu nghiên cứu lý thuyết phân tích toán học và gặp khó khăn trong việc hiểu phần này của toán cao cấp. Ngoài ra, tài liệu này khá dễ tiếp cận đối với học sinh trung học.
Qua nhiều năm tồn tại của trang, tôi đã nhận được hàng chục lá thư với nội dung xấp xỉ như sau: “Tôi không hiểu rõ về phân tích toán học, tôi phải làm sao?”, “Tôi không hiểu gì về toán cả, tôi đang nghĩ đến việc bỏ học,” v.v. Và thực sự, chính matan là người thường làm mỏng nhóm học sinh sau buổi học đầu tiên. Tại sao lại như vậy? Bởi vì chủ đề phức tạp không thể tưởng tượng được? Không có gì! Lý thuyết phân tích toán học không quá khó mà đặc biệt. Và bạn cần phải chấp nhận và yêu cô ấy vì chính con người cô ấy =)
Hãy bắt đầu với trường hợp khó khăn nhất. Điều đầu tiên và quan trọng nhất là bạn không được bỏ dở việc học của mình. Hiểu đúng thì việc bỏ việc sẽ luôn được thực hiện kịp thời ;-) Tất nhiên, nếu trong một hoặc hai năm bạn cảm thấy chán ngấy với chuyên ngành mình đã chọn, thì vâng, bạn nên suy nghĩ lại (và đừng nổi giận!) về sự thay đổi hoạt động Nhưng bây giờ nó đáng để tiếp tục. Và xin hãy quên cụm từ “Tôi không hiểu gì cả” - không có chuyện bạn hoàn toàn không hiểu gì cả.
Phải làm gì nếu lý thuyết kém? Nhân tiện, điều này không chỉ áp dụng cho phân tích toán học. Nếu lý thuyết chưa tốt thì trước tiên bạn cần NGHIÊM TÚC tập trung vào thực hành. Trong trường hợp này, hai nhiệm vụ chiến lược được giải quyết cùng một lúc:
– Thứ nhất, một phần đáng kể kiến thức lý thuyết được hình thành thông qua thực hành. Và chính vì thế mà nhiều người hiểu lý thuyết qua… – đúng rồi! Không, không, bạn không nghĩ về điều đó đâu =))
– Và thứ hai, kỹ năng thực hành rất có thể sẽ “kéo” bạn vượt qua kỳ thi, cho dù… nhưng chúng ta đừng quá phấn khích nhé! Mọi thứ đều có thật và mọi thứ đều có thể được “nâng lên” trong một thời gian khá ngắn. Phân tích toán học là phần yêu thích của tôi trong toán học cao cấp, và do đó tôi không thể không giúp đỡ bạn:
Vào đầu học kỳ 1, giới hạn trình tự và giới hạn chức năng thường được đề cập. Bạn không hiểu những điều này là gì và không biết cách giải quyết chúng như thế nào? Bắt đầu với bài viết Giới hạn chức năng, trong đó bản thân khái niệm này được xem xét “trên ngón tay” và các ví dụ đơn giản nhất được phân tích. Tiếp theo, học các bài học khác về chủ đề này, bao gồm bài học về trong chuỗi, trên thực tế tôi đã đưa ra một định nghĩa chặt chẽ.
Bạn biết những ký hiệu nào ngoài dấu bất đẳng thức và mô đun?
– một thanh dọc dài ghi như sau: “như vậy”, “như vậy”, “như vậy” hoặc “như vậy”, trong trường hợp của chúng tôi, rõ ràng là chúng tôi đang nói về một con số - do đó “như vậy”;
– với mọi “en” lớn hơn ;
– dấu hiệu mô đun có nghĩa là khoảng cách, tức là mục này cho chúng ta biết rằng khoảng cách giữa các giá trị nhỏ hơn epsilon.
Chà, nó có khó đến chết người không? =)
Sau khi nắm vững cách thực hành, tôi mong được gặp bạn ở đoạn tiếp theo:
Và trên thực tế, chúng ta hãy suy nghĩ một chút - làm thế nào để xây dựng một định nghĩa chặt chẽ về trình tự? ...Điều đầu tiên tôi nghĩ đến trên thế giới bài học thực hành: “giới hạn của một dãy là số mà các thành viên của dãy tiến tới gần vô cùng.”
Được rồi, hãy viết nó ra tiếp theo :
Không khó để hiểu điều đó tiếp theo 
tiếp cận vô cùng gần với số –1 và các số hạng chẵn 
– đến “một”.
Hoặc có thể có hai giới hạn? Nhưng tại sao không có dãy nào có mười hoặc hai mươi dãy như vậy? Bạn có thể đi xa theo cách này. Về vấn đề này, thật hợp lý khi cho rằng nếu một dãy có giới hạn thì nó là duy nhất.
Ghi chú : dãy không có giới hạn, nhưng có thể phân biệt hai dãy con với nó (xem ở trên), mỗi dãy có giới hạn riêng.
Vì vậy, định nghĩa trên trở nên không thể chấp nhận được. Có, nó hoạt động cho các trường hợp như (mà tôi đã không sử dụng hoàn toàn chính xác trong các giải thích đơn giản về các ví dụ thực tế), nhưng bây giờ chúng ta cần tìm một định nghĩa chặt chẽ.
Hãy thử hai: “giới hạn của một chuỗi là con số mà TẤT CẢ các thành viên của chuỗi tiếp cận, có lẽ ngoại trừ cuối cùng số lượng." Điều này gần với sự thật hơn, nhưng vẫn không hoàn toàn chính xác. Vì vậy, ví dụ, trình tự 
một nửa số hạng hoàn toàn không tiến tới 0 - chúng chỉ đơn giản bằng nó =) Nhân tiện, “đèn nhấp nháy” thường có hai giá trị cố định.
Việc làm rõ công thức không khó, nhưng sau đó lại đặt ra một câu hỏi khác: làm thế nào để viết định nghĩa bằng ký hiệu toán học? Giới khoa học đã vật lộn với vấn đề này trong một thời gian dài cho đến khi tình hình được giải quyết nhạc trưởng nổi tiếng, về bản chất, đã chính thức hóa phép phân tích toán học cổ điển với tất cả sự chặt chẽ của nó. Cauchy đề nghị phẫu thuật môi trường xung quanh , điều này đã nâng cao đáng kể lý thuyết.
Hãy xem xét một số điểm và nó tùy ý-môi trường xung quanh:
Giá trị của "epsilon" luôn dương và hơn nữa, chúng ta có quyền tự mình lựa chọn. Giả sử rằng trong vùng lân cận này có nhiều thành viên (không nhất thiết là tất cả) trình tự nào đó. Làm thế nào để viết ra thực tế rằng, ví dụ, số hạng thứ mười nằm trong lân cận? Hãy để nó ở phía bên phải của nó. Khi đó khoảng cách giữa các điểm và phải nhỏ hơn “epsilon”: . Tuy nhiên, nếu “x phần mười” nằm ở bên trái điểm “a” thì hiệu sẽ âm và do đó phải thêm dấu vào đó. mô-đun: .
Sự định nghĩa: một số được gọi là giới hạn của dãy nếu cho bất kỳ môi trường xung quanh nó (được chọn trước) tồn tại một số tự nhiên như vậy TẤT CẢ các thành viên của dãy có số cao hơn sẽ ở trong vùng lân cận:
Hay nói ngắn gọn là: nếu
Nói cách khác, cho dù giá trị “epsilon” mà chúng ta lấy nhỏ đến đâu thì sớm hay muộn thì “đuôi vô hạn” của dãy sẽ HOÀN TOÀN nằm trong vùng lân cận này.
Ví dụ: “đuôi vô hạn” của dãy sẽ HOÀN TOÀN đi vào bất kỳ lân cận nhỏ tùy ý nào của điểm . Vì vậy, giá trị này là giới hạn của chuỗi theo định nghĩa. Hãy để tôi nhắc bạn rằng một dãy có giới hạn bằng 0 được gọi là vô cùng nhỏ.
Cần lưu ý rằng đối với một chuỗi thì không thể nói “cái đuôi bất tận” được nữa sẽ vào“- các thành viên có số lẻ thực tế bằng 0 và “không đi đâu cả” =) Đó là lý do tại sao động từ “sẽ xuất hiện” được sử dụng trong định nghĩa. Và tất nhiên, các thành viên của một chuỗi như thế này cũng “chẳng đi đến đâu”. Nhân tiện, hãy kiểm tra xem số đó có phải là giới hạn của nó hay không.
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng dãy không có giới hạn. Ví dụ, hãy xem xét một lân cận của điểm . Hoàn toàn rõ ràng rằng không có con số nào như vậy mà sau đó TẤT CẢ các số hạng sẽ kết thúc trong một vùng lân cận nhất định - các số hạng lẻ sẽ luôn “nhảy ra” thành “trừ một”. Vì lý do tương tự, không có giới hạn nào ở điểm này.
Hãy củng cố tài liệu với thực hành:
Ví dụ 1
Chứng minh rằng giới hạn của dãy bằng 0. Chỉ định số mà sau đó tất cả các thành viên của chuỗi được đảm bảo nằm trong bất kỳ lân cận nhỏ tùy ý nào của điểm.
Ghi chú : Đối với nhiều chuỗi, số tự nhiên cần thiết phụ thuộc vào giá trị - do đó có ký hiệu .
Giải pháp: coi như tùy ý có cái nào không số - sao cho TẤT CẢ thành viên có số cao hơn sẽ ở trong vùng lân cận này:
Để chứng tỏ sự tồn tại của số cần tìm, ta biểu diễn nó thông qua .
Vì đối với bất kỳ giá trị nào của “en”, dấu mô đun có thể bị loại bỏ:
Chúng tôi sử dụng các hành động “trường học” với sự bất bình đẳng mà tôi đã nhắc lại trong lớp Bất đẳng thức tuyến tính Và Miền chức năng. Trong trường hợp này, một tình huống quan trọng là “epsilon” và “en” đều dương:
Vì chúng ta đang nói về các số tự nhiên ở bên trái và bên phải thường là phân số nên nó cần được làm tròn:
Ghi chú : đôi khi một đơn vị được thêm vào bên phải để đảm bảo an toàn, nhưng trên thực tế, điều này là quá mức cần thiết. Nói một cách tương đối, nếu chúng ta làm giảm kết quả bằng cách làm tròn xuống thì số phù hợp gần nhất (“ba”) vẫn sẽ thỏa mãn bất đẳng thức ban đầu.
Bây giờ chúng ta xem xét sự bất bình đẳng và nhớ lại những gì chúng ta đã xem xét ban đầu tùy ý-khu phố, tức là "epsilon" có thể bằng bất cứ ai một số dương.
Phần kết luận: với mọi lân cận nhỏ tùy ý của một điểm, giá trị được tìm thấy 
. Vì vậy, một số là giới hạn của một chuỗi theo định nghĩa. Q.E.D.
Nhân tiện, từ kết quả thu được 
một mô hình tự nhiên có thể nhìn thấy rõ ràng: vùng lân cận càng nhỏ thì số càng lớn, sau đó TẤT CẢ các thành viên của chuỗi sẽ ở trong vùng lân cận này. Nhưng dù “epsilon” có nhỏ đến đâu thì vẫn sẽ luôn có một “cái đuôi vô hạn” bên trong và bên ngoài – ngay cả khi nó lớn. cuối cùng số lượng thành viên.
Ấn tượng của bạn thế nào? =) Tôi đồng ý là nó hơi lạ. Nhưng nghiêm túc! Hãy đọc lại và suy nghĩ lại mọi thứ.
Hãy xem một ví dụ tương tự và làm quen với các kỹ thuật kỹ thuật khác:
Ví dụ 2
Giải pháp: theo định nghĩa của dãy cần chứng minh rằng (nói to lên!!!).
Hãy xem xét tùy ý-khu vực lân cận của điểm và kiểm tra, nó có tồn tại không số tự nhiên - sao cho với mọi số lớn hơn, bất đẳng thức sau đúng: 
Để thể hiện sự tồn tại của , bạn cần diễn đạt “en” thông qua “epsilon”. Chúng tôi đơn giản hóa biểu thức dưới dấu hiệu mô đun: 
Mô-đun hủy dấu trừ: 
Mẫu số dương đối với bất kỳ chữ “en” nào, do đó, có thể loại bỏ các que tính:
Trộn bài: 
Bây giờ chúng ta cần trích căn bậc hai, nhưng điều đáng chú ý là đối với một số “epsilon” vế phải sẽ âm. Để tránh rắc rối này hãy tăng cường bất đẳng thức theo mô đun: 
Tại sao điều này có thể được thực hiện? Nếu nói một cách tương đối thì hóa ra , thì điều kiện cũng sẽ được thỏa mãn. Mô-đun có thể chỉ cần tăng con số mong muốn, và điều đó cũng sẽ phù hợp với chúng tôi! Nói một cách đại khái, nếu cái thứ một trăm phù hợp thì cái thứ hai trăm cũng phù hợp! Theo định nghĩa, bạn cần chỉ ra thực tế về sự tồn tại của con số(ít nhất là một số), sau đó tất cả các thành viên của chuỗi sẽ ở trong vùng lân cận. Nhân tiện, đây là lý do tại sao chúng tôi không sợ việc làm tròn phía bên phải lên trên.
Trích xuất gốc: 
Và làm tròn kết quả: 
Phần kết luận: bởi vì giá trị “epsilon” được chọn tùy ý, sau đó với bất kỳ lân cận nhỏ tùy ý nào của điểm, giá trị được tìm thấy 
, sao cho với mọi số lớn hơn thì bất đẳng thức đúng 
. Như vậy, 
theo định nghĩa. Q.E.D.
tôi khuyên đặc biệt hiểu được sự tăng cường và làm suy yếu của bất đẳng thức là những kỹ thuật phân tích toán học điển hình và rất phổ biến. Điều duy nhất bạn cần theo dõi là tính đúng đắn của hành động này hoặc hành động kia. Vì vậy, ví dụ, bất bình đẳng 
trong mọi trường hợp đều không thể nới lỏng, trừ, nói, một: 
Một lần nữa, có điều kiện: nếu số khớp chính xác thì số trước đó có thể không còn khớp nữa.
Ví dụ sau đây cho một giải pháp độc lập:
Ví dụ 3
Dùng định nghĩa dãy số, chứng minh rằng 
Lời giải và đáp án ngắn gọn ở cuối bài.
Nếu trình tự vô cùng lớn, thì định nghĩa giới hạn được phát biểu theo cách tương tự: một điểm được gọi là giới hạn của dãy nếu với bất kỳ, lớn như bạn muốn thì tồn tại một số sao cho mọi số lớn hơn đều thỏa mãn bất đẳng thức. Số đó được gọi là lân cận của điểm “cộng vô cùng”:
Nói cách khác, cho dù giá trị chúng ta lấy có lớn đến đâu thì “đuôi vô hạn” của dãy nhất thiết sẽ đi vào vùng lân cận của điểm, chỉ để lại một số hữu hạn số hạng ở bên trái.
Ví dụ tiêu chuẩn:
Và viết tắt: nếu
Đối với trường hợp này, hãy tự viết ra định nghĩa. Phiên bản chính xác nằm ở cuối bài học.
Khi bạn đã hiểu rõ về các ví dụ thực tế và tìm ra định nghĩa về giới hạn của dãy số, bạn có thể chuyển sang tài liệu về phép tính và/hoặc sổ ghi chép bài giảng của mình. Tôi khuyên bạn nên tải tập 1 của Bohan (đơn giản hơn - dành cho sinh viên tương ứng) và Fichtenholtz (chi tiết và chi tiết hơn). Trong số các tác giả khác, tôi giới thiệu Piskunov, người có khóa học hướng tới các trường đại học kỹ thuật.
Cố gắng nghiên cứu tận tâm các định lý liên quan đến giới hạn của dãy, cách chứng minh và hệ quả của chúng. Lúc đầu, lý thuyết có vẻ “mờ ám”, nhưng điều này là bình thường - bạn chỉ cần làm quen với nó. Và nhiều người thậm chí sẽ được nếm thử nó!
Định nghĩa nghiêm ngặt về giới hạn của hàm
Hãy bắt đầu với điều tương tự - làm thế nào để hình thành khái niệm này? Định nghĩa bằng lời về giới hạn của hàm số được xây dựng đơn giản hơn nhiều: “một số là giới hạn của hàm số nếu với “x” có xu hướng (cả trái và phải), các giá trị hàm tương ứng có xu hướng » (xem bản vẽ). Mọi thứ tưởng chừng như bình thường, nhưng lời nói là lời nói, ý nghĩa là ý nghĩa, biểu tượng là biểu tượng và ký hiệu toán học chặt chẽ thôi là chưa đủ. Và trong đoạn thứ hai, chúng ta sẽ làm quen với hai cách tiếp cận để giải quyết vấn đề này.
Hãy để hàm được xác định trên một khoảng nhất định, ngoại trừ điểm có thể. Trong tài liệu giáo dục, người ta thường chấp nhận rằng chức năng ở đó Khôngđịnh nghĩa: 
Sự lựa chọn này nhấn mạnh bản chất của giới hạn của hàm: "x" vô cùng gần gũi tiếp cận , và các giá trị tương ứng của hàm là vô cùng gần gũiĐẾN . Nói cách khác, khái niệm giới hạn không hàm ý “cách tiếp cận chính xác” đối với các điểm, mà cụ thể là xấp xỉ vô cùng gần, việc hàm có được xác định tại điểm đó hay không không quan trọng.
Không có gì ngạc nhiên khi định nghĩa đầu tiên về giới hạn của một hàm được xây dựng bằng hai dãy số. Thứ nhất, các khái niệm có liên quan với nhau, và thứ hai, giới hạn của hàm thường được nghiên cứu sau giới hạn của dãy.
Hãy xem xét trình tự 
điểm (không có trên bản vẽ), thuộc khoảng và khác với, cái mà hội tụĐẾN . Khi đó các giá trị hàm tương ứng cũng tạo thành một dãy số, các thành viên của dãy số này nằm trên trục tọa độ.
Giới hạn của hàm số theo Heine cho bất kỳ dãy điểm 
(thuộc và khác với), hội tụ về điểm , dãy giá trị hàm tương ứng hội tụ về .
Eduard Heine là một nhà toán học người Đức. ...Và cũng không cần phải nghĩ thế đâu, ở Châu Âu chỉ có một người đồng tính duy nhất - Gay-Lussac =)
Định nghĩa thứ hai về giới hạn đã được tạo ra... vâng, vâng, bạn nói đúng. Nhưng trước tiên, hãy hiểu thiết kế của nó. Xét một lân cận tùy ý của điểm khu phố (“da đen”). Dựa trên đoạn trước, mục này có nghĩa là một số giá trị hàm nằm bên trong vùng lân cận “epsilon”.
Bây giờ chúng ta tìm được vùng lân cận tương ứng với vùng lân cận đã cho (nhớ vẽ các đường chấm màu đen từ trái sang phải rồi từ trên xuống dưới). Lưu ý rằng giá trị được chọn dọc theo chiều dài của đoạn nhỏ hơn, trong trường hợp này - dọc theo chiều dài của đoạn ngắn hơn bên trái. Hơn nữa, vùng lân cận của một điểm thậm chí có thể bị giảm đi, vì trong định nghĩa sau đây thực tế sự tồn tại là quan trọng khu phố này. Và, tương tự, ký hiệu này có nghĩa là một số giá trị nằm trong vùng lân cận “delta”.
Giới hạn hàm Cauchy: một số được gọi là giới hạn của hàm số tại một điểm nếu cho bất kỳ được chọn trước hàng xóm (nhỏ như bạn muốn), tồn tại- lân cận của điểm, NHƯ LÀ, rằng: CHỈ có giá trị (thuộc về) bao gồm trong lĩnh vực này: (mũi tên đỏ)– VẬY NGAY LẬP TỨC các giá trị hàm tương ứng được đảm bảo vào -neighborhood: (mũi tên màu xanh).
Tôi phải cảnh báo bạn rằng để rõ ràng, tôi ứng biến một chút, vì vậy đừng lạm dụng =)
Mục nhập ngắn: , nếu
Bản chất của định nghĩa là gì? Nói một cách hình tượng, bằng cách giảm vô hạn vùng lân cận, chúng ta “đưa” các giá trị hàm đến giới hạn của chúng, khiến chúng không có lựa chọn nào khác ngoài việc tiếp cận một nơi khác. Khá bất thường, nhưng lại nghiêm ngặt! Để hiểu đầy đủ ý tưởng, hãy đọc lại từ ngữ một lần nữa.
! Chú ý: nếu bạn chỉ cần xây dựng định nghĩa của heine hoặc chỉ định nghĩa Cauchy xin đừng quên về có ý nghĩa nhận xét sơ bộ: "Hãy xem xét một hàm được xác định trong một khoảng nhất định, có thể ngoại trừ một điểm". Tôi đã nói điều này một lần ngay từ đầu và không lặp lại lần nào.
Theo định lý tương ứng của phân tích toán học, định nghĩa Heine và Cauchy là tương đương nhau, nhưng phương án thứ hai là nổi tiếng nhất (tất nhiên rồi!), còn được gọi là "giới hạn ngôn ngữ":
Ví dụ 4
Dùng định nghĩa giới hạn, chứng minh rằng 
Giải pháp: hàm được xác định trên toàn bộ trục số trừ điểm. Sử dụng định nghĩa, chúng ta chứng minh sự tồn tại giới hạn tại một điểm cho trước.
Ghi chú : giá trị của vùng lân cận “delta” phụ thuộc vào “epsilon”, do đó có tên gọi
Hãy xem xét tùy ý-khu vực xung quanh. Nhiệm vụ là sử dụng giá trị này để kiểm tra xem nó có tồn tại không- môi trường xung quanh, NHƯ LÀ, mà từ bất đẳng thức 
bất bình đẳng sau 
.
Giả sử rằng , chúng ta biến đổi bất đẳng thức cuối cùng: 
(khai triển tam thức bậc hai)
Số không đổi MỘT gọi điện giới hạn trình tự(x n ), nếu với mọi số dương nhỏ tùy ýε > 0 có một số N có tất cả các giá trị x n, với n>N, thỏa mãn bất đẳng thức
|x n - a|< ε. (6.1)
Viết nó ra như sau: hoặc x n → Một.
Bất đẳng thức (6.1) tương đương với bất đẳng thức kép
a- ε< x n < a + ε, (6.2)
điều đó có nghĩa là các điểm x n, bắt đầu từ một số n>N nào đó, nằm trong khoảng (a-ε, a+ ε ), tức là rơi vào cái gì nhỏε - lân cận của một điểm MỘT.
Dãy số có giới hạn được gọi là hội tụ, nếu không thì - khác nhau.
Khái niệm giới hạn hàm là sự khái quát hóa của khái niệm giới hạn dãy, vì giới hạn của dãy có thể được coi là giới hạn của hàm x n = f(n) của một đối số nguyên N.
Cho hàm f(x) và cho Một - điểm giới hạn miền định nghĩa của hàm này D(f), tức là một điểm như vậy, bất kỳ lân cận nào của nó chứa các điểm của tập D(f) khác với Một. chấm Một có thể thuộc hoặc không thuộc tập D(f).
Định nghĩa 1.Hằng số A được gọi là giới hạn chức năng f(x) Tại x→a, nếu với bất kỳ dãy (x n ) giá trị đối số nào có xu hướng MỘT, các dãy tương ứng (f(x n)) có cùng giới hạn A.
Định nghĩa này được gọi là bằng cách xác định giới hạn của hàm số theo Heine, hoặc " trong ngôn ngữ tuần tự”.
Định nghĩa 2. Hằng số A được gọi là giới hạn chức năng f(x) Tại x→a, nếu, bằng cách xác định một số dương nhỏ tùy ý ε, người ta có thể tìm thấy δ như vậy>0 (phụ thuộc vào ε), dành cho tất cả mọi người x, nằm trongε-lân cận của số MỘT, tức là Vì x, thỏa mãn bất đẳng thức
0 <
x-a< ε
, các giá trị của hàm f(x) sẽ nằm trongε- lân cận của số A, tức là|f(x)-A|<
ε.
Định nghĩa này được gọi là bằng cách xác định giới hạn của hàm theo Cauchy, hoặc “bằng ngôn ngữ ε - δ “.
Định nghĩa 1 và 2 là tương đương. Nếu hàm f(x) dạng x →a có giới hạn, bằng A, điều này được viết dưới dạng
. (6.3)
Trong trường hợp dãy (f(x n)) tăng (hoặc giảm) không giới hạn đối với bất kỳ phương pháp xấp xỉ nào xđến giới hạn của bạn MỘT, thì chúng ta sẽ nói rằng hàm f(x) có giới hạn vô hạn, và viết nó dưới dạng:
Một biến (tức là chuỗi hoặc hàm) có giới hạn bằng 0 được gọi là vô cùng nhỏ bé.
Một biến có giới hạn là vô cùng được gọi là vô cùng lớn.
Để tìm giới hạn trong thực tế, các định lý sau được sử dụng.
Định lý 1 . Nếu mọi giới hạn đều tồn tại
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Bình luận. Các biểu thức như 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - là không chắc chắn, ví dụ, tỷ số của hai đại lượng vô cùng nhỏ hoặc vô cùng lớn, và việc tìm ra giới hạn thuộc loại này được gọi là “khám phá độ không đảm bảo”.
Định lý 2. (6.7)
những thứ kia. người ta có thể đi đến giới hạn dựa trên lũy thừa với số mũ không đổi, cụ thể là, 
;
(6.8)
(6.9)
Định lý 3.
(6.10)
(6.11)
Ở đâu e » 2.7 - cơ số logarit tự nhiên. Công thức (6.10) và (6.11) được gọi là công thức đầu tiên giới hạn tuyệt vời và giới hạn đáng chú ý thứ hai.
Hệ quả của công thức (6.11) cũng được sử dụng trong thực tế:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
đặc biệt là giới hạn
Nếu x → a và đồng thời x > a thì viết x→a + 0. Cụ thể, nếu a = 0 thì thay vì ký hiệu 0+0 hãy viết +0. Tương tự nếu x→a và đồng thời x 
và được gọi tương ứng giới hạn bên phải Và giới hạn bên trái chức năng f(x) tại điểm MỘT. Để tồn tại giới hạn của hàm f(x) là x→a là cần và đủ để 
. Hàm f(x) được gọi là liên tục tại điểm x 0 nếu giới hạn
. (6.15)
Điều kiện (6.15) có thể được viết lại thành:
,
nghĩa là có thể đi đến giới hạn dưới dấu của một hàm số nếu nó liên tục tại một điểm cho trước.
Nếu đẳng thức (6.15) bị vi phạm thì chúng ta nói rằng Tại x = x o chức năng f(x) có khoảng cách Xét hàm số y = 1/x. Miền định nghĩa của hàm này là tập hợp R, ngoại trừ x = 0. Điểm x = 0 là điểm giới hạn của tập D(f), vì trong bất kỳ lân cận nào của nó, tức là trong bất kỳ khoảng mở nào chứa điểm 0, đều có các điểm thuộc D(f), nhưng bản thân nó không thuộc tập hợp này. Giá trị f(x o)= f(0) không được xác định nên tại điểm x o = 0 hàm số có tính gián đoạn.
Hàm f(x) được gọi là liên tục bên phải tại điểm x o nếu giới hạn
,
Và liên tục bên trái tại điểm x o, nếu giới hạn
.
Tính liên tục của hàm số tại một điểm x o tương đương với tính liên tục của nó tại điểm này cả về bên phải và bên trái.
Để hàm số liên tục tại một điểm x o, ví dụ, ở bên phải, trước hết cần phải có một giới hạn hữu hạn, và thứ hai, giới hạn này phải bằng f(x o). Do đó, nếu ít nhất một trong hai điều kiện này không được đáp ứng thì hàm số sẽ bị gián đoạn.
1. Nếu giới hạn tồn tại và không bằng f(x o), thì người ta nói rằng chức năng f(x) tại điểm x o có vỡ loại đầu tiên, hoặc bước nhảy vọt.
2. Nếu giới hạn là+∞ hoặc -∞ hoặc không tồn tại thì người ta nói như vậy trong điểm x o hàm số có sự gián đoạn loại thứ hai.
Ví dụ: hàm y = cot x tại x→ +0 có giới hạn bằng +∞, nghĩa là tại điểm x=0 nó có tính gián đoạn loại hai. Hàm y = E(x) (phần nguyên của x) tại các điểm có toàn bộ trục hoành có các điểm gián đoạn thuộc loại thứ nhất, hoặc các bước nhảy.
Hàm số liên tục tại mọi điểm trong khoảng được gọi là liên tục V. Một hàm liên tục được biểu diễn bằng một đường cong liền nét.
Nhiều vấn đề liên quan đến sự tăng trưởng liên tục của một đại lượng nào đó dẫn đến giới hạn đáng chú ý thứ hai. Ví dụ, những nhiệm vụ như vậy bao gồm: tăng trưởng tiền gửi theo quy luật lãi suất kép, tăng trưởng dân số đất nước, phân hủy chất phóng xạ, sinh sôi của vi khuẩn, v.v.
Hãy xem xét ví dụ về Ya. I. Perelman, đưa ra cách giải thích về số e trong bài toán lãi kép. Con số e có một giới hạn 
. Ở các ngân hàng tiết kiệm, tiền lãi được cộng vào vốn cố định hàng năm. Nếu việc gia nhập được thực hiện thường xuyên hơn thì vốn sẽ tăng nhanh hơn vì số tiền lớn hơn liên quan đến việc hình thành lãi suất. Hãy lấy một ví dụ thuần túy về mặt lý thuyết, rất đơn giản. Hãy gửi 100 deniers vào ngân hàng. đơn vị dựa trên 100% mỗi năm. Nếu tiền lãi được thêm vào vốn cố định chỉ sau một năm thì đến thời điểm này là 100 den. đơn vị sẽ chuyển thành 200 đơn vị tiền tệ. Bây giờ hãy xem 100 denize sẽ biến thành gì. đơn vị, nếu tiền lãi được thêm vào vốn cố định sáu tháng một lần. Sau sáu tháng, 100 den. đơn vị sẽ tăng lên 100×
1,5 = 150 và sau sáu tháng nữa - 150×
1,5 = 225 (đơn vị den.). Nếu việc gia nhập được thực hiện vào 1/3 năm một lần thì sau một năm là 100 den. đơn vị sẽ biến thành 100× (1 +1/3) 3" 237 (đơn vị den.). Chúng tôi sẽ tăng thời hạn cộng tiền lãi lên 0,1 năm, lên 0,01 năm, lên 0,001 năm, v.v. Sau đó ra khỏi 100 den. đơn vị sau một năm sẽ là:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (đơn vị den.),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (đơn vị den.),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (đơn vị den.).
Với việc giảm không giới hạn thời hạn cộng lãi, vốn tích lũy không tăng vô thời hạn mà đạt đến một giới hạn nhất định bằng khoảng 271. Vốn gửi 100% mỗi năm không thể tăng quá 2,71 lần, ngay cả khi lãi tích lũy đã được thêm vào thủ đô mỗi giây vì giới hạn
Ví dụ 3.1.Sử dụng định nghĩa giới hạn của một dãy số, chứng minh rằng dãy x n =(n-1)/n có giới hạn bằng 1.
Giải pháp.Chúng ta cần phải chứng minh điều đó, dù thế nào đi chăng nữaε > 0, bất kể chúng ta lấy bao nhiêu, vì nó tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi n N bất đẳng thức đúng|x n -1|< ε.
Hãy lấy mọi e > 0. Vì ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n thì tìm N là đủ để giải bất đẳng thức 1/n< đ. Do đó n>1/ e và do đó, N có thể được coi là phần nguyên của 1/ e , N = E(1/ e ). Qua đó ta đã chứng minh được giới hạn .
Ví dụ 3.2
. Tìm giới hạn của dãy số cho bởi một số hạng chung 
.
Giải pháp.Hãy áp dụng giới hạn của định lý tổng và tìm giới hạn của mỗi số hạng. Khi n→ ∞ tử số và mẫu số của mỗi số hạng đều tiến tới vô cùng và chúng ta không thể áp dụng trực tiếp định lý giới hạn thương. Vì vậy, trước tiên chúng ta biến đổi x n, chia tử số và mẫu số của số hạng đầu tiên cho n 2, và thứ hai trên N. Sau đó, áp dụng giới hạn của thương và giới hạn của định lý tổng, chúng ta tìm thấy:
.
Ví dụ 3.3. 
. Tìm thấy .
Giải pháp. 
.
Ở đây chúng ta sử dụng định lý giới hạn bậc: giới hạn bậc bằng bậc giới hạn của cơ số.
Ví dụ 3.4
. Tìm thấy ( 
).
Giải pháp.Không thể áp dụng định lý giới hạn sai phân vì chúng ta có dạng bất định ∞-∞ . Hãy biến đổi công thức của số hạng tổng quát:
.
Ví dụ 3.5 . Đã cho hàm số f(x)=2 1/x. Chứng minh rằng không có giới hạn.
Giải pháp.Hãy sử dụng định nghĩa 1 về giới hạn của hàm thông qua một dãy. Giả sử một dãy ( x n ) hội tụ về 0, tức là Hãy chứng minh rằng giá trị f(x n)= ứng xử khác nhau đối với các chuỗi khác nhau. Đặt xn = 1/n. Rõ ràng, khi đó giới hạn 
Bây giờ chúng ta hãy chọn làm x n một dãy có số hạng chung x n = -1/n, cũng có xu hướng tiến về 0. 
Vì vậy không có giới hạn.
Ví dụ 3.6 . Chứng minh rằng không có giới hạn.
Giải pháp.Cho x 1 , x 2 ,..., x n ,... là một dãy sao cho
. Chuỗi (f(x n)) = (sin x n) hoạt động như thế nào đối với các x n khác nhau → ∞
Nếu x n = p n thì sin x n = sin p n = 0 cho tất cả N và giới hạn Nếu
x n =2 p n+ p /2 thì sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 cho tất cả N và do đó là giới hạn. Vì vậy nó không tồn tại.
Widget để tính toán giới hạn trực tuyến
Trong cửa sổ phía trên, thay vì sin(x)/x, hãy nhập hàm có giới hạn mà bạn muốn tìm. Trong cửa sổ bên dưới, nhập số mà x có xu hướng và nhấp vào nút Tính toán, nhận giới hạn mong muốn. Và nếu trong cửa sổ kết quả bạn nhấp vào Hiển thị các bước ở góc trên bên phải, bạn sẽ nhận được giải pháp chi tiết.
Quy tắc nhập hàm: sqrt(x) - căn bậc hai, cbrt(x) - căn bậc ba, exp(x) - số mũ, ln(x) - logarit tự nhiên, sin(x) - sin, cos(x) - cosine, tan(x) - tang, cot(x) - cotang, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. Dấu hiệu: * nhân, / chia, ^ lũy thừa, thay vào đó vô cực Vô cực. Ví dụ: hàm được nhập dưới dạng sqrt(tan(x/2)).
Toán học là môn khoa học xây dựng nên thế giới. Cả nhà khoa học và người bình thường - không ai có thể làm được nếu không có nó. Đầu tiên, trẻ nhỏ được dạy đếm, sau đó cộng, trừ, nhân và chia; ở trường cấp hai, các ký hiệu chữ cái phát huy tác dụng, và ở trường trung học chúng không thể tránh được nữa.
Nhưng hôm nay chúng ta sẽ nói về nền tảng của toàn bộ toán học đã biết. Về một cộng đồng các con số được gọi là “giới hạn dãy số”.
Trình tự là gì và giới hạn của chúng ở đâu?
Ý nghĩa của từ “trình tự” không khó giải thích. Đây là sự sắp xếp những thứ mà ai đó hoặc thứ gì đó được đặt theo một thứ tự hoặc hàng đợi nhất định. Ví dụ: hàng đợi mua vé vào sở thú là một chuỗi. Và chỉ có thể có một! Ví dụ: nếu bạn nhìn vào hàng đợi ở cửa hàng, đây là một chuỗi. Và nếu một người trong hàng đợi này đột nhiên rời đi, thì đây là một hàng đợi khác, một thứ tự khác.
Từ “giới hạn” cũng dễ hiểu - đó là sự kết thúc của một điều gì đó. Tuy nhiên, trong toán học, giới hạn của dãy số là những giá trị trên trục số mà dãy số hướng tới. Tại sao nó phấn đấu mà không kết thúc? Rất đơn giản, trục số không có điểm kết thúc và hầu hết các chuỗi, giống như tia, chỉ có điểm bắt đầu và trông như thế này:
x 1, x 2, x 3,...x n...
Do đó, định nghĩa của dãy là một hàm của đối số tự nhiên. Nói một cách đơn giản hơn, đây là một chuỗi các thành viên của một tập hợp nhất định.
Dãy số được xây dựng như thế nào?
Một ví dụ đơn giản về dãy số có thể trông như sau: 1, 2, 3, 4, …n…
Trong hầu hết các trường hợp, vì mục đích thực tế, các chuỗi được xây dựng từ các con số và mỗi thành viên tiếp theo của chuỗi, hãy ký hiệu là X, có tên riêng. Ví dụ:
x 1 là thành viên đầu tiên của dãy;
x 2 là số hạng thứ hai của dãy;
x 3 là số hạng thứ ba;
x n là số hạng thứ n.
Trong các phương pháp thực tế, trình tự được đưa ra bởi một công thức chung trong đó có một biến nhất định. Ví dụ:
X n = 3n thì dãy số đó sẽ có dạng như sau:
Điều cần nhớ là khi viết trình tự nói chung, bạn có thể sử dụng bất kỳ chữ cái Latinh nào, không chỉ X. Ví dụ: y, z, k, v.v.
Cấp số cộng là một phần của dãy
Trước khi tìm giới hạn của dãy số, bạn nên tìm hiểu sâu hơn về khái niệm dãy số mà mọi người đều gặp phải khi còn học cấp hai. Cấp số cộng là một dãy số trong đó hiệu giữa các số hạng liền kề là không đổi.
Bài toán: “Cho a 1 = 15 và bậc tiến triển của dãy số d = 4. Hãy xây dựng 4 số hạng đầu tiên của dãy này"
Giải: a 1 = 15 (theo điều kiện) là số hạng đầu tiên của cấp số cộng (chuỗi số).
và 2 = 15+4=19 là số hạng thứ hai của cấp số nhân.
và 3 =19+4=23 là số hạng thứ ba.
và 4 =23+4=27 là số hạng thứ tư.
Tuy nhiên, sử dụng phương pháp này khó đạt được giá trị lớn, chẳng hạn lên tới 125. . Đặc biệt đối với những trường hợp như vậy, người ta đã rút ra một công thức thuận tiện cho việc thực hành: a n = a 1 + d(n-1). Trong trường hợp này, 125 =15+4(125-1)=511.
Các loại trình tự
Hầu hết các cảnh đều dài vô tận, đáng để bạn ghi nhớ suốt đời. Có hai loại dãy số thú vị. Giá trị đầu tiên được tính theo công thức a n =(-1) n. Các nhà toán học thường gọi chuỗi này là chớp nhoáng. Tại sao? Hãy kiểm tra dãy số của nó.
1, 1, -1, 1, -1, 1, v.v. Với ví dụ như thế này, có thể thấy rõ rằng các số trong dãy có thể dễ dàng lặp lại.
Trình tự giai thừa. Thật dễ dàng để đoán - công thức xác định chuỗi có chứa giai thừa. Ví dụ: a n = (n+1)!
Sau đó, trình tự sẽ trông như thế này:
a 2 = 1x2x3 = 6;
và 3 = 1x2x3x4 = 24, v.v.
Một dãy được xác định bởi một cấp số cộng được gọi là giảm vô hạn nếu bất đẳng thức -1 được thỏa mãn với mọi số hạng của nó và 3 = - 1/8, v.v. Thậm chí còn có một chuỗi bao gồm cùng một số. Vì vậy, n = 6 bao gồm vô số số sáu. Giới hạn dãy đã tồn tại từ lâu trong toán học. Tất nhiên, họ xứng đáng có được thiết kế có thẩm quyền của riêng mình. Vì vậy, đã đến lúc tìm hiểu định nghĩa về giới hạn dãy. Trước tiên, hãy xem xét chi tiết giới hạn của hàm tuyến tính: Thật dễ hiểu khi định nghĩa giới hạn của một dãy có thể được xây dựng như sau: đây là một con số nhất định mà tất cả các thành viên của dãy đều tiếp cận một cách vô hạn. Một ví dụ đơn giản: a x = 4x+1. Sau đó, trình tự sẽ trông như thế này. 5, 9, 13, 17, 21…x… Do đó, chuỗi này sẽ tăng vô hạn, nghĩa là giới hạn của nó bằng vô cùng là x→∞, và nó phải được viết như sau: Nếu chúng ta lấy một dãy tương tự, nhưng x tiến tới 1, chúng ta nhận được: Và dãy số sẽ như thế này: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944, v.v. Mỗi lần bạn cần thay số gần một hơn (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Từ loạt bài này rõ ràng giới hạn của hàm số là năm. Từ phần này, cần nhớ giới hạn của dãy số là gì, định nghĩa và phương pháp giải các bài toán đơn giản. Sau khi xem xét giới hạn của dãy số, định nghĩa và ví dụ của nó, bạn có thể chuyển sang một chủ đề phức tạp hơn. Tuyệt đối tất cả các giới hạn của dãy có thể được hình thành bằng một công thức, công thức này thường được phân tích trong học kỳ đầu tiên. Vậy tập hợp các chữ cái, mô-đun và dấu bất đẳng thức này có ý nghĩa gì? ∀ là một bộ định lượng phổ quát, thay thế các cụm từ “cho tất cả”, “cho mọi thứ”, v.v. ∃ là một bộ lượng hóa tồn tại, trong trường hợp này nó có nghĩa là có một giá trị N nào đó thuộc tập hợp số tự nhiên. Một thanh dọc dài theo sau N có nghĩa là tập hợp N đã cho là “sao cho”. Trong thực tế, nó có thể có nghĩa là “như vậy”, “như vậy”, v.v. Để củng cố tài liệu, hãy đọc to công thức. Phương pháp tìm giới hạn của dãy đã được thảo luận ở trên, mặc dù dễ sử dụng nhưng lại không hợp lý trong thực tế. Hãy thử tìm giới hạn cho hàm này: Nếu chúng ta thay thế các giá trị khác nhau của “x” (tăng dần: 10, 100, 1000, v.v.), thì chúng ta nhận được ∞ ở tử số nhưng cũng nhận được ∞ ở mẫu số. Điều này dẫn đến một phần khá kỳ lạ: Nhưng điều này có thực sự như vậy không? Việc tính giới hạn của một dãy số trong trường hợp này có vẻ khá dễ dàng. Có thể để nguyên mọi thứ vì câu trả lời đã sẵn sàng và nó đã được nhận trong những điều kiện hợp lý, nhưng có một cách khác dành riêng cho những trường hợp như vậy. Đầu tiên, chúng ta hãy tìm bậc cao nhất của tử số của phân số - đây là 1, vì x có thể được biểu diễn dưới dạng x 1. Bây giờ chúng ta hãy tìm mức độ cao nhất trong mẫu số. Ngoài ra 1. Hãy chia cả tử số và mẫu số cho biến ở mức độ cao nhất. Trong trường hợp này, chia phân số cho x 1. Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm giá trị mà mỗi số hạng chứa một biến có xu hướng hướng tới. Trong trường hợp này, phân số được xem xét. Khi x→∞, giá trị của mỗi phân số có xu hướng bằng 0. Khi gửi tác phẩm của mình bằng văn bản, bạn nên ghi chú thích cuối trang sau: Điều này dẫn đến biểu thức sau: Tất nhiên, các phân số chứa x không trở thành số 0! Nhưng giá trị của chúng quá nhỏ nên hoàn toàn được phép không tính đến nó trong tính toán. Thực tế, x sẽ không bao giờ bằng 0 trong trường hợp này, vì bạn không thể chia cho 0. Giả sử giáo sư có sẵn một chuỗi phức tạp, rõ ràng là được đưa ra bởi một công thức phức tạp không kém. Giáo sư đã tìm ra câu trả lời nhưng liệu có đúng không? Rốt cuộc, tất cả mọi người đều phạm sai lầm. Auguste Cauchy đã từng nghĩ ra một cách tuyệt vời để chứng minh giới hạn của dãy số. Phương pháp của ông được gọi là thao túng khu phố. Giả sử có một điểm a nhất định, lân cận của nó theo cả hai hướng trên trục số bằng ε (“epsilon”). Vì biến cuối cùng là khoảng cách nên giá trị của nó luôn dương. Bây giờ hãy xác định một số dãy x n và giả sử rằng số hạng thứ mười của dãy (x 10) nằm trong lân cận của a. Làm thế nào chúng ta có thể viết sự thật này bằng ngôn ngữ toán học? Giả sử x 10 nằm bên phải điểm a thì khoảng cách x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Bây giờ là lúc giải thích công thức đã thảo luận ở trên trong thực tế. Công bằng mà nói một số nhất định là điểm cuối của một dãy nếu với bất kỳ giới hạn nào của nó, bất đẳng thức ε>0 được thỏa mãn và toàn bộ vùng lân cận có số tự nhiên N riêng của nó, sao cho tất cả các thành viên của dãy có số cao hơn sẽ nằm trong dãy |x n - a|< ε. Với kiến thức như vậy, thật dễ dàng để giải các giới hạn dãy, chứng minh hoặc bác bỏ câu trả lời có sẵn. Các định lý về giới hạn của dãy là một thành phần quan trọng của lý thuyết, nếu không có nó thì không thể thực hành được. Chỉ có bốn định lý chính, việc ghi nhớ có thể đơn giản hóa rất nhiều quá trình giải hoặc chứng minh: Đôi khi bạn cần giải một bài toán nghịch đảo, để chứng minh giới hạn cho trước của một dãy số. Hãy xem một ví dụ. Chứng minh rằng giới hạn của dãy cho bởi công thức bằng 0. Theo quy tắc đã thảo luận ở trên, với bất kỳ dãy nào, bất đẳng thức |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Chúng ta hãy biểu diễn n thông qua “epsilon” để chứng tỏ sự tồn tại của một số nhất định và chứng minh sự tồn tại của giới hạn của dãy. Tại thời điểm này, điều quan trọng cần nhớ là “epsilon” và “en” là các số dương và không bằng 0. Bây giờ có thể tiếp tục những biến đổi sâu hơn bằng cách sử dụng kiến thức về bất đẳng thức đã học được ở trường trung học. Làm sao hóa ra n > -3 + 1/ε. Vì cần nhớ rằng chúng ta đang nói về số tự nhiên nên kết quả có thể được làm tròn bằng cách đặt trong ngoặc vuông. Do đó, người ta đã chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của vùng lân cận “epsilon” của điểm a = 0, sẽ tìm thấy một giá trị sao cho bất đẳng thức ban đầu được thỏa mãn. Từ đây chúng ta có thể nói một cách an toàn rằng số a là giới hạn của một dãy cho trước. Q.E.D. Phương pháp thuận tiện này có thể được sử dụng để chứng minh giới hạn của một dãy số, bất kể thoạt nhìn nó phức tạp đến mức nào. Điều chính là không hoảng sợ khi nhìn thấy nhiệm vụ. Sự tồn tại của giới hạn nhất quán là không cần thiết trong thực tế. Bạn có thể dễ dàng bắt gặp những dãy số thực sự không có hồi kết. Ví dụ: cùng một “đèn nhấp nháy” x n = (-1) n. Rõ ràng là một dãy chỉ gồm hai chữ số, lặp lại theo chu kỳ, không thể có giới hạn. Câu chuyện tương tự được lặp lại với các chuỗi bao gồm một số, số phân số, không chắc chắn về bất kỳ thứ tự nào trong quá trình tính toán (0/0, ∞/∞, ∞/0, v.v.). Tuy nhiên, cần nhớ rằng tính toán sai cũng có thể xảy ra. Đôi khi việc kiểm tra kỹ lời giải của riêng bạn sẽ giúp bạn tìm ra giới hạn trình tự. Một số ví dụ về trình tự và phương pháp giải chúng đã được thảo luận ở trên và bây giờ chúng ta hãy thử lấy một trường hợp cụ thể hơn và gọi nó là “chuỗi đơn điệu”. Định nghĩa: bất kỳ dãy nào cũng có thể được gọi là tăng đơn điệu nếu bất đẳng thức nghiêm ngặt x n đúng với nó< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >xn +1. Cùng với hai điều kiện này còn có những bất đẳng thức không chặt chẽ tương tự. Theo đó, x n ≤ x n +1 (chuỗi không giảm) và x n ≥ x n +1 (chuỗi không tăng). Nhưng sẽ dễ hiểu điều này hơn bằng các ví dụ. Dãy số theo công thức x n = 2+n tạo thành dãy số sau: 4, 5, 6, v.v. Đây là một dãy số tăng đơn điệu. Và nếu lấy x n =1/n, chúng ta sẽ có chuỗi: 1/3, ¼, 1/5, v.v. Đây là một dãy số giảm dần đơn điệu. Dãy số bị chặn là dãy có giới hạn. Dãy số hội tụ là dãy số có giới hạn vô cùng nhỏ. Vì vậy, giới hạn của một dãy bị chặn là số thực hoặc số phức bất kỳ. Hãy nhớ rằng chỉ có thể có một giới hạn. Giới hạn của dãy hội tụ là một đại lượng vô cùng nhỏ (thực hoặc phức). Nếu bạn vẽ sơ đồ trình tự thì đến một điểm nào đó nó sẽ có vẻ hội tụ, có xu hướng biến thành một giá trị nhất định. Do đó có tên - dãy hội tụ. Có thể có hoặc không có giới hạn cho trình tự như vậy. Đầu tiên, sẽ rất hữu ích khi hiểu khi nào nó tồn tại; từ đây bạn có thể bắt đầu chứng minh sự vắng mặt của giới hạn. Trong số các chuỗi đơn điệu, có sự hội tụ và phân kỳ. Hội tụ là một dãy được hình thành bởi tập x và có giới hạn thực hoặc giới hạn phức trong tập hợp này. Phân kỳ là một chuỗi không có giới hạn trong tập hợp của nó (không thực cũng không phức). Hơn nữa, chuỗi hội tụ nếu trong biểu diễn hình học, giới hạn trên và giới hạn dưới của nó hội tụ. Giới hạn của một chuỗi hội tụ có thể bằng 0 trong nhiều trường hợp, vì bất kỳ chuỗi vô hạn nào cũng có giới hạn đã biết (không). Cho dù bạn chọn chuỗi hội tụ nào thì chúng đều bị chặn, nhưng không phải tất cả các chuỗi bị chặn đều hội tụ. Tổng, hiệu, tích của hai dãy hội tụ cũng là một dãy hội tụ. Tuy nhiên, thương cũng có thể hội tụ nếu nó được xác định! Giới hạn chuỗi cũng quan trọng (trong hầu hết các trường hợp) như các chữ số và số: 1, 2, 15, 24, 362, v.v. Hóa ra một số thao tác có thể được thực hiện với các giới hạn. Đầu tiên, giống như các con số và các con số, giới hạn của bất kỳ chuỗi nào cũng có thể được cộng và trừ. Dựa vào định lý thứ ba về giới hạn của dãy, đẳng thức sau đây có giá trị: giới hạn của tổng các dãy bằng tổng các giới hạn của chúng. Thứ hai, dựa vào định lý thứ tư về giới hạn của dãy, đẳng thức sau đây đúng: giới hạn tích của số dãy thứ n bằng tích giới hạn của chúng. Điều tương tự cũng đúng đối với phép chia: giới hạn thương của hai dãy bằng thương của giới hạn của chúng, với điều kiện giới hạn đó không bằng 0. Xét cho cùng, nếu giới hạn của dãy bằng 0 thì sẽ xảy ra phép chia cho 0, điều này là không thể. Có vẻ như giới hạn của dãy số đã được thảo luận chi tiết, nhưng các cụm từ như số “vô cùng nhỏ” và “vô cùng lớn” được nhắc đến nhiều lần. Rõ ràng, nếu có một dãy 1/x, trong đó x→∞, thì phân số đó là vô cùng nhỏ, và nếu cùng một dãy, nhưng giới hạn tiến tới 0 (x→0), thì phân số đó trở thành một giá trị vô cùng lớn. Và số lượng như vậy có những đặc điểm riêng. Các tính chất của giới hạn của dãy có giá trị lớn hoặc nhỏ bất kỳ như sau: Trên thực tế, việc tính giới hạn của dãy không quá khó nếu bạn biết một thuật toán đơn giản. Nhưng giới hạn của sự nhất quán là một chủ đề đòi hỏi sự quan tâm và kiên trì tối đa. Tất nhiên, chỉ cần nắm được bản chất của giải pháp cho những biểu hiện như vậy là đủ. Bắt đầu từ việc nhỏ, bạn có thể đạt được những đỉnh cao lớn theo thời gian.Xác định giới hạn trình tự
Ký hiệu chung cho giới hạn của trình tự
Sự không chắc chắn và chắc chắn của giới hạn
Một khu phố là gì?
Định lý
Bằng chứng về trình tự
Hoặc có lẽ anh ấy không có ở đó?
Trình tự đơn điệu
Giới hạn của dãy hội tụ và bị chặn
Giới hạn của dãy đơn điệu
Các hành động khác nhau có giới hạn
Tính chất của đại lượng dãy