Chủ đề trung bình số học và trung bình hình học được đưa vào chương trình toán lớp 6-7. Vì đoạn văn này khá dễ hiểu nên nhanh chóng được ôn lại và đến cuối năm học, học sinh sẽ quên mất. Nhưng kiến thức về thống kê cơ bản là cần thiết để vượt qua Kỳ thi Thống nhất cũng như kỳ thi SAT quốc tế. Và đối với cuộc sống hàng ngày, việc phát triển tư duy phân tích không bao giờ gây tổn hại.
Cách tính trung bình số học và trung bình hình học của các số
Giả sử có một dãy số: 11, 4 và 3. Trung bình số học là tổng của tất cả các số chia cho số của các số đã cho. Tức là trong trường hợp các số 11, 4, 3 thì đáp án sẽ là 6. Làm thế nào bạn có được số 6?
Giải: (11 + 4 + 3) / 3 = 6
Mẫu số phải chứa một số bằng số các số cần tìm trung bình cộng. Tổng chia hết cho 3 vì có ba số hạng.
Bây giờ chúng ta cần tìm ra ý nghĩa hình học. Giả sử có một dãy số: 4, 2 và 8.
Trung bình hình học của các số là tích của tất cả các số đã cho, nằm dưới căn số có lũy thừa bằng số của các số đã cho, tức là trong trường hợp các số 4, 2 và 8 thì đáp án sẽ là 4. Dưới đây là cách thực hiện. hóa ra:
Giải: ∛(4 × 2 × 8) = 4
Trong cả hai lựa chọn, chúng tôi nhận được câu trả lời hoàn toàn vì các số đặc biệt được lấy làm ví dụ. Điều này không phải lúc nào cũng xảy ra. Trong hầu hết các trường hợp, câu trả lời phải được làm tròn hoặc để ở gốc. Ví dụ: đối với các số 11, 7 và 20, trung bình số học là ≈ 12,67 và trung bình hình học là ∛1540. Và đối với số 6 và 5, đáp án sẽ lần lượt là 5,5 và √30.
Có thể xảy ra trường hợp trung bình số học bằng trung bình hình học không?
Tất nhiên là có thể. Nhưng chỉ trong hai trường hợp. Nếu có một dãy số chỉ gồm số một hoặc số không. Điều đáng chú ý là câu trả lời không phụ thuộc vào số lượng của họ.
Chứng minh bằng đơn vị: (1 + 1 + 1)/3 = 3/3 = 1 (trung bình số học).
∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(trung bình hình học).
Chứng minh bằng số 0: (0 + 0) / 2=0 (trung bình số học).
√(0 × 0) = 0 (trung bình hình học).
Không có lựa chọn nào khác và không thể được.
Giá trị trung bình hình học được áp dụng trong trường hợp các giá trị riêng lẻ của một đặc tính đại diện cho các giá trị động lực tương đối, được xây dựng dưới dạng giá trị chuỗi, theo tỷ lệ với cấp độ trước đó của từng cấp độ trong một chuỗi động lực, tức là đặc trưng cho hệ số tăng trưởng trung bình.
Chế độ và trung vị thường được tính toán trong các bài toán thống kê và chúng bổ sung cho các đặc điểm trung bình của dân số và được sử dụng trong thống kê toán học để phân tích loại chuỗi phân phối, có thể là chuẩn tắc, không đối xứng, đối xứng, v.v.
Cũng giống như trung vị, các giá trị của đặc tính chia dân số thành bốn phần bằng nhau được tính toán - tứ quý, thành năm phần - tạ, thành mười phần bằng nhau - giảm tốc độ, thành một trăm phần bằng nhau - phần trăm. Việc sử dụng phân phối của các đặc điểm được xem xét trong thống kê khi phân tích chuỗi biến thể cho phép chúng ta mô tả đặc điểm của dân số đang nghiên cứu một cách sâu sắc và chi tiết hơn.
Không giống như trung bình số học, trung bình hình học cho phép bạn ước tính mức độ thay đổi của một biến theo thời gian. Giá trị trung bình hình học là căn bậc n của tích của n giá trị (trong Excel sử dụng hàm =SRGEOM):
G = (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n
Một tham số tương tự - giá trị trung bình hình học của tỷ suất lợi nhuận - được xác định theo công thức:
G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n - 1,
trong đó R i là tỷ suất lợi nhuận ở kỳ thứ i.
Ví dụ: giả sử khoản đầu tư ban đầu là 100.000 USD vào cuối năm đầu tiên, nó giảm xuống còn 50.000 USD và đến cuối năm thứ hai, nó phục hồi về mức ban đầu là 100.000 USD. -thời gian năm bằng 0, vì số tiền ban đầu và số tiền cuối cùng bằng nhau. Tuy nhiên, trung bình số học của tỷ suất lợi nhuận hàng năm là = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 hoặc 25%, vì tỷ suất lợi nhuận trong năm đầu tiên R 1 = (50.000 - 100.000) / 100.000 = -0,5, và ở lần thứ hai R 2 = (100.000 - 50.000) / 50.000 = 1. Đồng thời, giá trị trung bình hình học của tỷ suất lợi nhuận trong hai năm bằng: G = [(1-0,5) * (1+ 1 )] 1/2 - 1 = S - 1 = 1 - 1 = 0. Do đó, giá trị trung bình hình học phản ánh chính xác hơn sự thay đổi (chính xác hơn là không có thay đổi) về khối lượng đầu tư trong khoảng thời gian hai năm so với trung bình số học.
Sự thật thú vị. Thứ nhất, trung bình hình học sẽ luôn nhỏ hơn trung bình số học của cùng một số. Trừ trường hợp tất cả các số lấy được đều bằng nhau. Thứ hai, bằng cách xem xét các tính chất của tam giác vuông, bạn có thể hiểu tại sao giá trị trung bình được gọi là hình học. Chiều cao của một tam giác vuông, hạ xuống cạnh huyền, là tỷ lệ trung bình giữa hình chiếu của hai chân lên cạnh huyền và mỗi chân là tỷ lệ trung bình giữa cạnh huyền và hình chiếu của nó lên cạnh huyền. Điều này đưa ra một cách hình học để xây dựng giá trị trung bình hình học của hai đoạn (độ dài): bạn cần xây dựng một đường tròn trên tổng của hai đoạn này dưới dạng đường kính, sau đó chiều cao được khôi phục từ điểm kết nối của chúng với giao điểm với đường tròn sẽ cho giá trị mong muốn:
Cơm. 4.
Thuộc tính quan trọng thứ hai của dữ liệu số là sự biến đổi của chúng, đặc trưng cho mức độ phân tán của dữ liệu. Hai mẫu khác nhau có thể khác nhau về cả phương tiện và phương sai.
Có năm ước tính về sự thay đổi dữ liệu:
phạm vi liên tứ phân vị,
sự phân tán,
độ lệch chuẩn,
hệ số biến thiên.
Phạm vi là sự khác biệt giữa các phần tử lớn nhất và nhỏ nhất của mẫu:
Phạm vi = X Max - X Min
Phạm vi của mẫu chứa lợi nhuận trung bình hàng năm của 15 quỹ tương hỗ có rủi ro rất cao có thể được tính bằng cách sử dụng mảng có thứ tự: Phạm vi = 18,5 - (-6,1) = 24,6. Điều này có nghĩa là sự khác biệt giữa lợi nhuận trung bình hàng năm cao nhất và thấp nhất của các quỹ có rủi ro rất cao là 24,6%.
Phạm vi đo lường mức độ lan truyền tổng thể của dữ liệu. Mặc dù phạm vi mẫu là một ước tính rất đơn giản về mức độ phân tán tổng thể của dữ liệu, điểm yếu của nó là nó không tính đến chính xác cách dữ liệu được phân bổ giữa các phần tử tối thiểu và tối đa. Thang B chứng minh rằng nếu một mẫu chứa ít nhất một giá trị cực trị thì phạm vi mẫu là ước tính rất thiếu chính xác về mức độ phân tán của dữ liệu.
Giá trị trung bình trong thống kê đóng vai trò quan trọng vì... chúng cho phép chúng ta có được đặc điểm chung của hiện tượng đang được phân tích. Tất nhiên, mức trung bình phổ biến nhất là . Nó xảy ra khi một chỉ báo tổng hợp được hình thành bằng cách sử dụng tổng các phần tử. Ví dụ: khối lượng của một số quả táo, tổng doanh thu mỗi ngày bán hàng, v.v. Nhưng điều này không phải lúc nào cũng xảy ra. Đôi khi một chỉ báo tổng hợp được hình thành không phải là kết quả của phép tính tổng mà là kết quả của các phép toán khác.
Hãy xem xét ví dụ sau. Lạm phát hàng tháng là sự thay đổi mức giá của một tháng so với tháng trước. Nếu biết tỷ lệ lạm phát từng tháng thì làm thế nào để có được giá trị hàng năm? Từ quan điểm thống kê, đây là chỉ số chuỗi nên câu trả lời đúng là: bằng cách nhân tỷ lệ lạm phát hàng tháng. Nghĩa là, tỷ lệ lạm phát tổng thể không phải là một con số mà là một sản phẩm. Bây giờ làm thế nào bạn có thể tìm ra lạm phát trung bình trong một tháng nếu có giá trị hàng năm? Không, không chia cho 12 mà lấy căn bậc 12 (mức độ phụ thuộc vào số thừa số). Nói chung, giá trị trung bình hình học được tính bằng công thức:
Nghĩa là, nó là nghiệm của tích của dữ liệu gốc, trong đó mức độ được xác định bởi số lượng các thừa số. Ví dụ: trung bình hình học của hai số là căn bậc hai của tích của chúng
của ba số - căn bậc ba của tích
vân vân.
Nếu mỗi số ban đầu được thay thế bằng trung bình hình học của chúng thì kết quả sẽ cho kết quả tương tự.
Để hiểu rõ hơn ý nghĩa hình học là gì và nó khác với ý nghĩa số học như thế nào, hãy xem hình dưới đây. Có một hình tam giác vuông được ghi trong một vòng tròn.
Đường trung tuyến bị lược bỏ khỏi một góc vuông Một(đến giữa cạnh huyền). Ngoài ra từ góc bên phải chiều cao được hạ xuống b, đó là tại điểm P chia cạnh huyền thành hai phần tôi Và N. Bởi vì Cạnh huyền là đường kính của đường tròn ngoại tiếp, trung tuyến là bán kính thì hiển nhiên độ dài của đường trung tuyến Một là trung bình số học của tôi Và N.
Hãy tính chiều cao là bao nhiêu b. Do sự giống nhau của các tam giác ABP Và BCP bình đẳng là đúng
Nghĩa là, chiều cao của một tam giác vuông là giá trị trung bình hình học của các đoạn mà nó chia cạnh huyền. Sự khác biệt rõ ràng như vậy.
Trong MS Excel, giá trị trung bình hình học có thể được tìm thấy bằng hàm SRGEOM.
Mọi thứ đều rất đơn giản: gọi hàm, chỉ định phạm vi và bạn đã hoàn tất.
Trong thực tế, chỉ báo này không được sử dụng thường xuyên như chỉ báo trung bình số học nhưng vẫn xảy ra. Ví dụ, có cái này chỉ số phát triển con người, được sử dụng để so sánh mức sống ở các quốc gia khác nhau. Nó được tính là giá trị trung bình hình học của một số chỉ số.
Có những giá trị trung bình khác. Về họ vào lúc khác.
Nó bị lạc trong việc tính toán mức trung bình.
Trung bình nghĩa tập hợp các số bằng tổng các số S chia cho số các số này. Tức là hóa ra trung bình nghĩa bằng: 19/4 = 4,75.
Xin lưu ý
Nếu bạn cần tìm giá trị trung bình hình học của chỉ hai số thì bạn không cần máy tính kỹ thuật: bạn có thể trích xuất căn bậc hai (căn bậc hai) của bất kỳ số nào bằng máy tính thông thường nhất.
Lời khuyên hữu ích
Không giống như giá trị trung bình số học, giá trị trung bình hình học không bị ảnh hưởng mạnh mẽ bởi độ lệch và biến động lớn giữa các giá trị riêng lẻ trong bộ chỉ số đang được nghiên cứu.
Nguồn:
- Máy tính trực tuyến tính toán giá trị trung bình hình học
- công thức trung bình hình học
Trung bình giá trị là một trong những đặc điểm của một tập hợp số. Biểu thị một số không thể nằm ngoài phạm vi được xác định bởi các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong tập hợp số đó. Trung bình giá trị số học là loại trung bình được sử dụng phổ biến nhất.
Hướng dẫn
Cộng tất cả các số trong tập hợp và chia chúng cho số số hạng để có được giá trị trung bình số học. Tùy theo điều kiện tính toán cụ thể, đôi khi việc chia từng số cho số giá trị trong tập hợp rồi tính tổng kết quả sẽ dễ dàng hơn.
Ví dụ: sử dụng tính năng được bao gồm trong HĐH Windows nếu bạn không thể tính trung bình số học trong đầu. Bạn có thể mở nó bằng hộp thoại khởi chạy chương trình. Để thực hiện việc này, hãy nhấn phím nóng WIN + R hoặc nhấp vào nút Bắt đầu và chọn Chạy từ menu chính. Sau đó gõ calc vào trường đầu vào và nhấn Enter hoặc nhấp vào nút OK. Điều tương tự có thể được thực hiện thông qua menu chính - mở nó ra, đi tới phần “Tất cả chương trình” và trong phần “Tiêu chuẩn” và chọn dòng “Máy tính”.
Nhập tuần tự tất cả các số trong bộ bằng cách nhấn phím Dấu cộng sau mỗi số (trừ số cuối cùng) hoặc nhấp vào nút tương ứng trong giao diện máy tính. Bạn cũng có thể nhập số từ bàn phím hoặc bằng cách nhấp vào các nút giao diện tương ứng.
Nhấn phím gạch chéo hoặc nhấp vào đây trong giao diện máy tính sau khi nhập giá trị đặt cuối cùng và gõ số số trong dãy. Sau đó nhấn dấu bằng và máy tính sẽ tính toán và hiển thị giá trị trung bình số học.
Bạn có thể sử dụng trình chỉnh sửa bảng tính Microsoft Excel cho mục đích tương tự. Trong trường hợp này, hãy khởi chạy trình chỉnh sửa và nhập tất cả các giá trị của dãy số vào các ô liền kề. Nếu sau khi nhập từng số, bạn nhấn Enter hoặc phím mũi tên xuống hoặc phải, trình soạn thảo sẽ tự chuyển tiêu điểm nhập sang ô liền kề.
Bấm vào ô bên cạnh số cuối cùng được nhập nếu bạn không muốn chỉ xem mức trung bình. Mở rộng menu thả xuống sigma (Σ) của Hy Lạp cho các lệnh Chỉnh sửa trên tab Trang chủ. Chọn dòng " Trung bình" và trình soạn thảo sẽ chèn công thức mong muốn để tính giá trị trung bình số học vào ô đã chọn. Nhấn phím Enter và giá trị sẽ được tính toán.
Giá trị trung bình số học là một trong những thước đo xu hướng trung tâm, được sử dụng rộng rãi trong toán học và tính toán thống kê. Tìm trung bình số học cho một số giá trị rất đơn giản, nhưng mỗi nhiệm vụ đều có những sắc thái riêng mà bạn cần biết để thực hiện các phép tính chính xác.
Trung bình số học là gì
Giá trị trung bình số học xác định giá trị trung bình cho toàn bộ dãy số ban đầu. Nói cách khác, từ một tập hợp số nhất định, một giá trị chung cho tất cả các phần tử được chọn, phép so sánh toán học của giá trị đó với tất cả các phần tử là gần bằng nhau. Trung bình số học được sử dụng chủ yếu trong việc chuẩn bị các báo cáo tài chính và thống kê hoặc để tính toán kết quả của các thí nghiệm tương tự.Cách tìm giá trị trung bình số học
Việc tìm giá trị trung bình số học của một dãy số nên bắt đầu bằng cách xác định tổng đại số của các giá trị này. Ví dụ: nếu mảng chứa các số 23, 43, 10, 74 và 34 thì tổng đại số của chúng sẽ bằng 184. Khi viết, trung bình số học được ký hiệu là chữ μ(mu) hoặc x(x với a thanh). Tiếp theo, tổng đại số phải được chia cho số lượng các số trong mảng. Trong ví dụ đang xem xét có năm số, vì vậy trung bình số học sẽ bằng 184/5 và sẽ là 36,8.Đặc điểm làm việc với số âm
Nếu mảng chứa số âm thì giá trị trung bình số học sẽ được tìm thấy bằng thuật toán tương tự. Sự khác biệt chỉ tồn tại khi tính toán trong môi trường lập trình, hoặc nếu bài toán có thêm điều kiện. Trong những trường hợp này, việc tìm giá trị trung bình số học của các số có dấu khác nhau được thực hiện theo ba bước:1. Tính trung bình cộng tổng quát bằng phương pháp chuẩn;
2. Tìm trung bình số học của số âm.
3. Tính trung bình cộng của các số dương.
Các câu trả lời của mỗi hành động được viết cách nhau bằng dấu phẩy.
Phân số tự nhiên và thập phân
Nếu mảng số được biểu diễn bằng phân số thập phân thì việc giải được thực hiện bằng phương pháp tính trung bình số học của các số nguyên nhưng kết quả được rút gọn theo yêu cầu của bài về độ chính xác của đáp án.Khi làm việc với các phân số tự nhiên, chúng phải được quy về mẫu số chung, được nhân với số lượng các số trong mảng. Tử số của đáp án sẽ là tổng các tử số đã cho của các phần tử phân số ban đầu.
- Máy tính kỹ thuật.
Hướng dẫn
Hãy nhớ rằng nói chung, giá trị trung bình hình học của các số được tìm thấy bằng cách nhân các số này và lấy căn lũy thừa của chúng, tương ứng với số lượng các số. Ví dụ: nếu bạn cần tìm giá trị trung bình hình học của năm số, thì bạn sẽ cần trích rút căn lũy thừa từ tích.
Để tìm giá trị trung bình hình học của hai số, hãy sử dụng quy tắc cơ bản. Tìm tích của chúng, sau đó lấy căn bậc hai của nó, vì số này là hai, tương ứng với lũy thừa của căn thức. Ví dụ, để tìm trung bình hình học của các số 16 và 4, hãy tìm tích của chúng 16 4=64. Từ số kết quả, rút ra căn bậc hai √64=8. Đây sẽ là giá trị mong muốn. Xin lưu ý rằng trung bình số học của hai số này lớn hơn và bằng 10. Nếu không trích xuất được toàn bộ gốc, hãy làm tròn kết quả theo thứ tự mong muốn.
Để tìm giá trị trung bình hình học của nhiều hơn hai số, hãy sử dụng quy tắc cơ bản. Để làm điều này, hãy tìm tích của tất cả các số mà bạn cần tìm giá trị trung bình hình học. Từ sản phẩm thu được, rút ra căn bậc hai của lũy thừa bằng số các số. Ví dụ: để tìm trung bình hình học của các số 2, 4 và 64, hãy tìm tích của chúng. 2 4 64=512. Vì bạn cần tìm kết quả của giá trị trung bình hình học của ba số, hãy lấy căn bậc ba của tích. Rất khó để thực hiện điều này bằng lời nói, vì vậy hãy sử dụng máy tính kỹ thuật. Với mục đích này, nó có một nút "x^y". Quay số 512, nhấn nút "x^y", sau đó quay số 3 và nhấn nút "1/x", để tìm giá trị 1/3, nhấn nút "=". Chúng ta thu được kết quả nâng 512 lên lũy thừa 1/3, tương ứng với căn bậc ba. Nhận 512^1/3=8. Đây là giá trị trung bình hình học của các số 2,4 và 64.
Sử dụng máy tính kỹ thuật, bạn có thể tìm giá trị trung bình hình học theo cách khác. Tìm nút đăng nhập trên bàn phím của bạn. Sau đó, lấy logarit của mỗi số, tìm tổng của chúng và chia cho số lượng. Lấy phản logarit từ số kết quả. Đây sẽ là giá trị trung bình hình học của các con số. Ví dụ: để tìm giá trị trung bình hình học của các số 2, 4 và 64 giống nhau, hãy thực hiện một bộ thao tác trên máy tính. Quay số 2, sau đó nhấn nút nhật ký, nhấn nút "+", quay số 4 và nhấn nhật ký và "+" lần nữa, quay số 64, nhấn nhật ký và "=". Kết quả sẽ là một số bằng tổng logarit thập phân của các số 2, 4 và 64. Chia số kết quả cho 3, vì đây là số các số cần tìm giá trị trung bình hình học. Từ kết quả, lấy phản logarit bằng cách chuyển nút chữ hoa và sử dụng cùng một khóa nhật ký. Kết quả sẽ là số 8, đây là giá trị trung bình hình học mong muốn.