OPR1.
OPR2. giới hạn trên chính xác và được chỉ định bổ sung A.
OPR2'. 
UTV. OPR2. ó OPR2’.
=> OPR2 được đáp ứng, tức là M = sup A – giới hạn trên nhỏ nhất => M – giới hạn trên của tập A => 
(tức là 1) OPR2' đã được hoàn thành).
Dm 2) bằng sự mâu thuẫn, tức là giới hạn trên của tập A và M không phải là giới hạn trên nhỏ nhất - mâu thuẫn, vì M là giới hạn trên => thuộc tính 2) OPR2’ được thỏa mãn.
<= выполнено ОПР2’, т.е. 
Bởi vì M' ở trên cùng. Mặt của tập A, sl-but, M – cận trên nhỏ nhất của tập A => OPR2 được đáp ứng.
Vé số 2 trang 2
OPR3.
OPR4. cạnh dưới chính xác và được chỉ định inf A.
OPR4'. 
UTV. OPR4. ó OPR4’
Chứng minh tương tự với UTV. OPR2. ó OPR2’.
ĐỊNH LÝ!!!
ĐỐC-VO!!!
Bình luận: nếu tập A không bị chặn ở trên => nó không có giới hạn trên => 
Vé số 1 “SETTS GIỚI HẠN VÀ KHÔNG GIỚI HẠN. VÍ DỤ".
OPR1: số Một tên. giới hạn ở trên, Nếu như . Trong trường hợp này, M là trên cùng. cạnh của mn-va A.
Ví dụ: Và nó bị giới hạn từ trên cao. M = 3 – giới hạn trên. Bất kỳ số nào lớn hơn 3 đều là giới hạn trên.
OPR2: số Một tên. giới hạn bên dưới, Nếu như . Trong trường hợp này, m là số thấp hơn. cạnh của mn-va A.
Ví dụ:
N – giới hạn từ bên dưới. m = 1 – giới hạn dưới. Bất kỳ số nào nhỏ hơn 1 sẽ là giới hạn dưới.
OPR3: số Một tên. giới hạn, nếu nó bị giới hạn ở trên và dưới, tức là .
OPR3': số Một tên. giới hạn, Nếu như
CHÚNG TÔI CHỨNG MINH RẰNG OPR3 ó OPR3’
=> ND OPR3 => OPR3’
Chúng ta có: Hãy
Những thứ kia. hoàn thành OPR3'
<= Н.Д. ОПР3’ =>OPR3
Chúng tôi có: , tức là hoàn thành OPR3.
OPR4. Mn – trong A được gọi là không giới hạn, Nếu như
Vé số 3 “CHUỖI SỐ”.
OPR. Nếu với mỗi số tự nhiên ta đặt tương ứng một số theo quy luật nào đó thì số đó là tập hợp các số 
, gọi là dãy số. hãy biểu thị số của cái cuối cùng. ; con số - các yếu tố của chuỗi
Ví dụ:
OPR. Số a được gọi là giới hạn cuối cùng. , nếu (với mọi số dương)
Được chỉ định bởi:
Ví dụ:
Chỉ định: khu phố t.a.
Vé số 4 “B.M. CUỐI CÙNG VÀ CÁC THÁNH CỦA HỌ (2 ĐỊNH LÝ).”
OPR. Cái cuối cùng được gọi là vô cùng nhỏ (vô cùng nhỏ) nếu
Ví dụ: b.m.cuối cùng
SV-VA:
THEOREM_1!!! cứ để vậy đi - b.m. sau sinh thì:
1) Sau khi sinh 
b.m.cuối cùng
2) Sau khi sinh 
b.m.cuối cùng
ĐỐC-VO!!!
1) đã cho: b.m, tức là
Dm, cái gì b.m. sau khi sinh, tức là
Hãy chọn và gắn nhãn cho nó.
Bởi vì b.m. => cho số 
,
B.m. => cho số 
Bởi vì ghi số =>
2) Ừm, cái gì b.m.cuối cùng
Hãy chọn và chỉ định nó.
B.m. => đối với số,
B.m. => cho số
Số vé 4 trang 2
Bởi vì đặt số => def. b.m. cho , tức là b.m.
THEOREM_2!!!
Hãy để b.m.last, hạn chế. sau đó tích cực 
chuỗi b.m.dương
OPR. Sau khi sanh. giới hạn Nếu như
ĐỐC-VO!!!
Chúng tôi sửa nó.
Giới hạn. =>
B.m.cuối cùng => cho
Kết quả:
Hãy để b.m.cuối cùng. Sau đó cho 
b.m cuối cùng
Thật vậy, hãy xem xét sau khi sanh.
yêu tinh sau khi sanh. 
b.m, bởi vì b.m.
Ví dụ:
CÁI ĐÓ. theo THEOREM_2!!! 
Bình luận:
Từ THEOREM_1!!! Nó theo sau đó
1) tổng của bất kỳ số hữu hạn nào của b.m. sau khi sanh. có một b.m.last.
2) tích của bất kỳ số hữu hạn nào của b.m. sau khi sanh. có b.m. sau khi sanh.
Vé số 5 “CHUỖI BB VÀ MỐI QUAN HỆ CỦA CHÚNG VỚI CHUỖI BM.”
OPR. hãy gọi nó là b.b.last, nếu
Hãy biểu thị
ĐỊNH LÝ!!!Để b.b.last., Rồi b.m.last.
ĐỐC-VO!!!
Đã sửa Sau khi sanh
CÁI ĐÓ. 
b.m. sau khi sanh.
KẾT NỐI BB VỚI CHUỖI BM.
B.b. sau khi sanh. b.m. sau khi sanh. Mối quan hệ nghịch đảo.
Phiếu 18 tính chất giới hạn của hàm số (a) tính duy nhất của giới hạn. B) các hàm giới hạn có giới hạn.)
Tính duy nhất của giới hạn
ĐỊNH LÝ!!! Nếu f-i có giới hạn ở K®0 thì nó là duy nhất
ĐỐC-VO!!!(từ phía đối diện)
Cho phép 
Và 
Rassm 
X n¹a " N
Bởi vì 
Þ cho dãy (Xn ) đã cho 
Þ cho một dãy ( X n ) cho trước 
Cái đó. 
( f(x)-ch.p-t)ngược lại vì không thể có
b¹c 2 giới hạn khác nhau Þ in = c
.Với
Hậu quả
Câu 22 Giới hạn tuyệt vời thứ 2
Hậu quả 
(an-không a x =lna)
Bil22str4
Vé 23 thuộc tính bm hàm 
vé 24 chức năng bb và kết nối của họ với bb 
Vé 26.tương đương bm f-ii.(bảng, t.) 
vé 26 trang 2 
Vé 25. So sánh bm f-y. 
Vé 28. Nepr-t f-ii tại điểm. 
beat.28 
VÉ 30. Phân loại điểm gián đoạn của hàm số (định nghĩa và ví dụ)
Đặt f(x) def. ở một số U(a) (m.b. không bao gồm chính t.a.). t.a. gọi điện điểm dừng hàm f(x), nếu f không phải là hằng số trong t.a. gọi t.a. là điểm gián đoạn của hàm f(x).
Chắc chắn. 1)điểm dừng t.a. loại 1, if (tức là danh từ có giới hạn một chiều)
2) Ngoài ra, nếu, thì t.a- điểm dừng có thể tháo rời.
3) t.a. - điểm dừng loại thứ 2 , nếu đó không phải là vết nứt loại 1.
Ví dụ. 1)y=sgn(x). x=0-t.r. loại 1, vì
2)y= , x=0 –t. thiết bị một lần, bởi vì
3) y= x=0 – t.r. loại 2, vì
, 
Điểm gián đoạn loại 2.
3).
, 
x=0 là điểm gián đoạn loại 2.
4).
Không có điểm x=0 - điểm gián đoạn loại 2.
, . Điểm x=0 là điểm gián đoạn loại 2.
Vé số 2 “GIỚI HẠN TRÊN VÀ DƯỚI CỦA BỘ SỐ. ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI CỦA GIỚI THIỆU DƯỚI VÀ TRÊN CHÍNH XÁC CỦA MỘT TẬP HỢP.
OPR1. M – cận trên của tập A ó if .
OPR2. mặt nhỏ nhất trong tất cả các mặt trên của tập A, gọi là giới hạn trên chính xác và được chỉ định bổ sung A.
OPR2'. Số M được gọi là cạnh trên của số A nếu
UTV. OPR2. ó OPR2’.
=> OPR2 được đáp ứng, tức là M = sup A – giới hạn trên nhỏ nhất => M – giới hạn trên của tập A => (tức là 1) OPR2' đã được hoàn thành).
Dm 2) bằng sự mâu thuẫn, tức là giới hạn trên của tập A và M không phải là giới hạn trên nhỏ nhất - mâu thuẫn, vì M là giới hạn trên => thuộc tính 2) OPR2’ được thỏa mãn.
<= выполнено ОПР2’, т.е.
Rõ ràng M là giới hạn trên nhỏ nhất.
Dm bởi sự mâu thuẫn, tức là Cho M là mặt trên không nhỏ nhất. chỉ định theo St. 2) về sự mâu thuẫn này.
Bởi vì M' ở trên cùng. Mặt của tập A, sl-but, M – cận trên nhỏ nhất của tập A => OPR2 được đáp ứng.
Vé số 2 trang 2
OPR3. m – cận dưới của tập A ó if .
OPR4. mặt lớn nhất trong tất cả các mặt dưới của tập A, được gọi là cạnh dưới chính xác và được chỉ định inf A.
OPR4'. Số m được gọi là số chính xác của tập A nếu
UTV. OPR4. ó OPR4’
Chứng minh tương tự với UTV. OPR2. ó OPR2’.
ĐỊNH LÝ!!! Mọi tập hợp không trống được giới hạn trên (dưới) đều có giới hạn trên (dưới) chính xác.
ĐỐC-VO!!! Tập khác trống A – hữu hạn. từ trên xuống thì tập A có ít nhất một cận trên. Gọi Y là tập hợp tất cả các mặt trên của tập A, tức là và tập Y không trống, vì tập A có ít nhất một cận trên.
CÁI ĐÓ. các chuỗi không trống A và Y và liên tục theo gốc. có hiệu lực số tức là giới hạn trên của mn-va A. M = sup A.
Bình luận: nếu tập A không bị giới hạn ở trên => nó không có giới hạn trên => không có giới hạn trên chính xác. Trong trường hợp này đôi khi người ta tin rằng . Tương tự, nếu tập A không bị giới hạn. từ bên dưới, đôi khi người ta tin rằng
Sự tồn tại của bất kỳ tập hợp nào bị chặn trên (dưới) với giới hạn trên (chính xác dưới) là không rõ ràng và cần phải chứng minh. Hãy chứng minh định lý chính sau đây.
Định lý chính 2.1. Nếu Tập hợp các số được biểu thị dưới dạng phân số thập phân vô hạn được giới hạn ở trên (tương ứng ở dưới) và chứa ít nhất một phần tử, thì tập hợp này có giới hạn trên chính xác (tương ứng dưới chính xác).
Bằng chứng. Chúng ta sẽ chỉ tập trung vào việc chứng minh sự tồn tại của giới hạn trên chính xác cho bất kỳ tập hợp nào bị chặn ở trên, vì sự tồn tại của giới hạn dưới chính xác cho bất kỳ tập hợp nào bị chặn dưới đây được chứng minh theo cách hoàn toàn tương tự.
Vì vậy, cho tập hợp bị chặn từ trên tức là tồn tại một số M sao cho mỗi phần tử x của tập hợp thỏa mãn bất đẳng thức
Hai trường hợp có thể xảy ra:
1°. Trong số các phần tử của tập hợp có ít nhất một số không âm. 2°. Tất cả các phần tử của tập hợp đều là số âm. Chúng tôi sẽ xem xét các trường hợp này một cách riêng biệt.
1°. Chúng ta hãy chỉ xem xét các số không âm là một phần của tập hợp. Hãy biểu thị mỗi số này dưới dạng phân số thập phân vô hạn và xem xét các phần nguyên của các phân số thập phân này. Do bất đẳng thức, tất cả các phần nguyên không vượt quá số M, và do đó có phần nguyên lớn nhất, được biểu thị bằng Hãy để chúng tôi giữ trong số các số không âm của tập hợp những phần nguyên có phần nguyên bằng nhau và loại bỏ tất cả các số khác. Đối với số được lưu trữ, hãy xem xét vị trí thập phân đầu tiên sau dấu thập phân. Chúng ta biểu thị dấu lớn nhất trong số này bằng cách Chúng ta giữ trong số các số không âm của tập hợp những số có phần nguyên bằng nhau và chữ số thập phân đầu tiên bằng nhau và loại bỏ tất cả các số khác. Đối với các số được lưu trữ, hãy xem xét vị trí thập phân thứ hai sau dấu thập phân. Chúng tôi biểu thị dấu hiệu lớn nhất trong số các dấu hiệu này bằng cách Tiếp tục lý luận tương tự hơn nữa, chúng tôi sẽ lần lượt xác định vị trí thập phân của một số nhất định
Chúng ta hãy chứng minh rằng số x này chính xác là giới hạn trên của tập hợp. Để làm được điều này, chỉ cần chứng minh hai phát biểu: 1) mỗi phần tử x của tập hợp đều thỏa mãn bất đẳng thức 2) bất kể số x nào nhỏ hơn x, có ít nhất một phần tử x của tập hợp thỏa mãn bất đẳng thức
Trước tiên chúng ta chứng minh khẳng định 1). Vì x, theo cách xây dựng, là một số không âm nên bất kỳ phần tử âm x nào của tập hợp chắc chắn thỏa mãn bất đẳng thức
Do đó, chỉ cần chứng minh bất kỳ phần tử x không âm nào của tập hợp đều thỏa mãn bất đẳng thức
Giả sử một phần tử không âm nào đó không thỏa mãn bất đẳng thức Khi đó, theo quy tắc sắp xếp, có một số sao cho Nhưng quan hệ cuối cùng mâu thuẫn
mâu thuẫn với thực tế là số thập phân lớn nhất của các phần tử có phần nguyên và chữ số thập phân đầu tiên tương ứng bằng nhau được lấy là
Kết quả mâu thuẫn chứng minh câu 1).
Bây giờ chúng ta chứng minh khẳng định 2). Cho x là số bất kỳ thỏa mãn điều kiện cần chứng minh rằng có ít nhất một phần tử x của tập hợp thỏa mãn bất đẳng thức.
Nếu số x âm thì bất đẳng thức chắc chắn được thỏa mãn bởi phần tử x không âm của tập hợp (theo giả định, tồn tại ít nhất một phần tử như vậy).
Vẫn còn phải xem xét trường hợp số x thỏa mãn điều kiện là không âm. Giả sử từ điều kiện và quy tắc sắp xếp có một số sao cho
Mặt khác, từ cách xây dựng số (2.9), ta suy ra rằng với bất kỳ số nào cũng có một phần tử không âm của tập hợp sao cho phần nguyên và tất cả các chữ số thập phân đầu tiên đều giống với số x. Nói cách khác, với một số tồn tại một phần tử x sao cho
Bộ giới hạn. Các cạnh chính xác
công thức Moivre
Nó được A. Moivre tìm thấy vào năm 1707; ký hiệu hiện đại của nó được L. Euler đề xuất vào năm 1748.
z n =r n e trong j =r n(vì N j +tôi tội lỗi N j). (3)
Công thức (3) được chứng minh bằng quy nạp trên N.
Nhân số phức
Rõ ràng là cô ấy đúng. Hãy giả sử rằng nó đúng với một số người N, hãy chứng minh điều đó cho N+1. Chúng tôi có:
Đối với một cái cho trước, chúng ta sẽ tìm một cái thỏa mãn phương trình. Nói cách khác, chúng ta sẽ tìm được nghiệm. N- lũy thừa thứ của một số phức. Chúng tôi có tôi đang ở trong j = r tôi và tôi y Þ n j=y+2p k, kÎZ , r= chúng ta lấy công thức ở đâu
được sử dụng để tính toán gốc N- lũy thừa thứ của một số phức. Quá trình tìm gốc N- lũy thừa thứ của một số phức z có thể được mô tả như sau. Nếu số này không bằng 0 thì sẽ có chính xác các nghiệm như vậy N. Tất cả chúng sẽ là đỉnh cao của sự đúng đắn N- một hình vuông nội tiếp trong một hình tròn có bán kính . Một trong các đỉnh của đa giác này có đối số bằng.
Ví dụ. Tính toán. Do đó, trong trường hợp này, nó nhận ba giá trị:
Cơm. 1.7
Bình luận: Dấu so sánh nhỏ hơn, lớn hơn (<, >) không được xác định trong C .
1.3. Giới hạn trên và giới hạn dưới của tập số thực
Giới hạn và ranh giới của vô số.
Đặt E giới hạn ở trên:$b"xÎ Bán tại£ b.
b - giới hạn trên của tập hợp:"xÎE:x£ b.
Tập giới hạn:$Một"xÎ E: x³ Một.
Một - vô số của tập hợp:"xÎE: x ³ a.
Giá trị tối cao của tập hợp: b = hỗ trợ E là số thỏa mãn hai tính chất:
1)(b - cạnh trên)"xÎ Bán tại£ b.
2) (không kém) "e>0 $ xÎ E: x > b-đ.
Số chính xác được xác định tương tự một = thông tin E.Tập giới hạnE:$b"xÎ E: .
Bình luận: Nếu như b = hỗ trợ E, Cái đó -b= thông tin E¢, Ở đâu E¢- soi gương để E nhiều, E¢={xÎR:(-x)ÎE} .
Định lý 1. Một tập hợp không trống được giới hạn ở trên có giá trị tối cao.
Bằng chứng: Cho phép b giới hạn trên của tập hợp E Và MộtÎ E. Hãy ký hiệu bằng [ Một 1 ,b 1 ] đoạn nếu nó chứa các điểm từ E. Nếu không thì qua [ Một 1 ,b 1 ] biểu thị phân khúc
Cơm. 1.8
Chúng ta hãy lưu ý các thuộc tính của phân khúc được xây dựng này:
1) "xÎE: x£ b 1 .
2) EÇ[ Một 1 ,b 1 ] ¹ Æ .
Chúng tôi lặp lại quy trình này cho [ Một 1 ,b 1 ], v.v. Kết quả là chúng ta thu được một chuỗi các phân đoạn lồng nhau [ a k , b k], thỏa mãn các tính chất sau:
1)"xÎE: x £ b k .
2) EÇ[ Một k, b k ] ¹ Æ .
Việc chứng minh điều này được thực hiện bằng quy nạp. Giả sử rằng đoạn [ a k , b k] với các thuộc tính được chỉ định. Chia nó làm đôi bằng một dấu chấm. Bởi vì [ một k + 1 ,bk + 1 ] biểu thị rằng một trong các phân đoạn , có giao điểm không trống với E. Nếu cả hai đều chứa
Cơm. 1.9
điểm từ E, Cái đó [ một k + 1 ,bk + 1] hãy có một đoạn đúng. Phân đoạn kết quả có thuộc tính 1), 2). Độ dài của các đoạn này b k - a k =(b-a)/ 2k có xu hướng về 0, do đó chỉ có một số c chung cho tất cả các phân khúc này. Con số này là giới hạn trên chính xác của bộ này. Thật sự:
1) "xÎ E: x £ c.
Giả sử ngược lại: $ xÎ E:x>c, chúng ta hãy lấy, vì nó tồn tại sau đó, từ đó nó theo sau b n< x , điều này mâu thuẫn với điều kiện xÎ[ a n , b n].
Cơm. 1.10
2)"e> 0$ xÎE: x > c -đ.
Với mọi e đều có n: b n - một n< e . Hãy chọn bất kỳ xÎ[ a n , b n] . Do tính chất 1) nó sẽ đúng x< c, Bên cạnh đó
c-x£ b n - a n< e . Như vậy, yêu cầu x.
Cơm. 1.11
Tương tự, có thể chứng minh rằng của một tập hợp khác rỗng được giới hạn bên dưới có vô số.
Định lý 2. Mức tối cao chính xác (nếu nó tồn tại) là duy nhất.
Bằng chứng: Giả sử có hai mặt chính xác b 2 , b 1 , b 1 2 . Lấy e = b 2 -b 1 > 0. Bằng cách xác định chính xác giới hạn trên (đối với b 2)$xÎ E: x > b 2 - e = b 1, điều này mâu thuẫn với những gì b 1 cạnh trên.
Cơm. 1.12
Bình luận. Nó được chứng minh theo cách tương tự rằng cái vô hình là duy nhất.
Nếu E không bị chặn ở trên thì viết hỗ trợ E = +¥, tương tự, nếu E không bị giới hạn bên dưới thì viết thông tin E= -¥ .
Chúng ta hãy chứng minh một định lý khác dựa trên tính chất liên tục của số thực.
Chủ đề về sự tồn tại của khuôn mặt trên (dưới).Đầu tiên, hãy giới thiệu một vài định nghĩa.
Sự định nghĩa. Bộ số Xđược gọi là bị chặn ở trên nếu tồn tại số M sao cho x ≤ Mđối với bất kỳ phần tử nào x từ nhiều người X .
Sự định nghĩa. Bộ số Xđược gọi là giới hạn dưới nếu có một số tôi như vậy x ≥ mđối với bất kỳ phần tử nào x từ nhiều người X .
Sự định nghĩa. Bộ số Xđược gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và dưới.
Trong ký hiệu tượng trưng, các định nghĩa này sẽ như sau:
nhiều X giới hạn ở trên nếu ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M ,
giới hạn bên dưới nếu ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m Và
hạn chế nếu ∃m, M ∀x ∈ X: m ∆ x ∈ M .
Sự định nghĩa.Đối với bất kỳ số nào Một R số không âm
nó được gọi là giá trị tuyệt đối hoặc mô-đun. Đối với các giá trị tuyệt đối của số, bất đẳng thức sau có giá trị: |a+b| < |a|, suy ra từ định nghĩa mô đun của một số và từ các tiên đề về phép cộng và thứ tự.
Định lý 4.3.1. Bộ số X bị chặn khi và chỉ nếu có một số C sao cho với mọi phần tử x từ tập hợp này thì bất đẳng thức ≤ C.
Bằng chứng. Hãy để bộ X giới hạn. Hãy đặt C = tối đa (m, M)- số lớn nhất trong các số m và M. Khi đó, sử dụng tính chất của mô đun số thực, ta thu được các bất đẳng thức x ∼M∼M ∼C và x>m> −m> −C, ngụ ý rằng ≤ C .
Ngược lại, nếu bất đẳng thức ∼ C đúng thì −C ₫ x ₫ C . Đây là điều cần thiết nếu chúng ta đặt M = C và m = −C .◄
Con số M, giới hạn tập hợp X trên cùng, được gọi là giới hạn trên của tập hợp. Nếu như M- giới hạn trên của tập hợp X, thì bất kỳ số nào M’, cái nào lớn hơn M, cũng sẽ là giới hạn trên của tập hợp này. Vì vậy, chúng ta có thể nói về tập các giới hạn trên của tập hợp X. Chúng ta hãy biểu thị tập hợp các giới hạn trên bằng . Sau đó, ∀x ∈ X và ∀M ∈ bất đẳng thức sẽ được thỏa mãn x ≤M, do đó, theo tiên đề liên tục tồn tại một số sao cho x ≤ ≤ M. Số này được gọi là giới hạn trên chính xác của tập hợp số X hoặc giới hạn trên của tập hợp này hoặc mức cao nhất của tập hợp X và được chỉ định =sup X. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng mọi tập số khác rỗng bị chặn ở trên luôn có giới hạn trên.
Rõ ràng là sự bình đẳng = hỗ trợ X tương đương với hai điều kiện:
1) ∀x ∈ X bất đẳng thức x ≤ giữ, tức là - giới hạn trên của tập hợp X ;
2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X sao cho bất đẳng thức xε > −ε đúng, tức là giới hạn này không thể được cải thiện (giảm).
Tương tự, người ta có thể chứng minh rằng nếu một tập hợp bị chặn dưới đây thì nó có vô cùng nhỏ còn được gọi là vô số của tập X và được ký hiệu là inf X. Đẳng thức =inf X tương đương với điều kiện:
1) ∀x ∈ X bất bình đẳng giữ x ≥ ;
2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X sao cho bất đẳng thức đúng xε< + ε .
Nếu tập X có phần tử lớn nhất thì ta gọi nó là
phần tử lớn nhất của tập X và ký hiệu = max X . Sau đó
supX =. Tương tự, nếu có phần tử nhỏ nhất trong một tập hợp thì ta gọi nó là tối thiểu, ký hiệu là minX và nó sẽ là phần tử nhỏ nhất của tập hợp X .
Chúng ta hãy xây dựng một số tính chất của mặt trên và mặt dưới:
Bất động sản 1. Cho phép X- một số bộ số. Hãy ký hiệu bằng −X nhiều (− x| x ∈ X ). Sau đó sup (- X) = − inf X Và inf (- X) = − sup X .
Tài sản 2. Cho phép X- tập số nào đó λ – một số thực. Hãy ký hiệu bằng λX nhiều (λx | x ∈ X). Khi đó nếu λ ≥ 0 thì sup(λX) = λ supX , inf(λ X)= λ infX và nếu λ < 0, то sup(λ X)=λ infX , inf(λ X)=λ supX .
Thuộc tính 3. Cho phép X1 và X2- bộ số. Hãy ký hiệu bằng X1+X2 nhiều ( x1+ x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 ) và thông qua X1 − X2 nhiều (x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X2). Sau đó sup(X1 + X2)=supX1+supX2, inf(X1+X2)=infX1 +inf X2 , sup(X1 − X2) = sup X1 − inf X2 và inf(X1 − X2) = inf X1 − sup X2 .
Thuộc tính 4. Cho X1 và X2 là các tập hợp số có các phần tử không âm. Sau đó sup (X1*X2) = sup X1 *sup X2 , inf (X1*X2) = inf X1* inf X2 .
Ví dụ, chúng ta hãy chứng minh đẳng thức thứ nhất của Tính chất 3. Hãy để x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 và x=x1+x2. Sau đó x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X2 Và x ≤ sup X1 + sup X2, Ở đâu sup(X1 + X2) ≤ sup X1 + sup X2 .
Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, hãy lấy số y
Nguyên lý Archimedes và sự tồn tại của giới hạn trên và giới hạn dưới có thể được coi là một tiên đề thay vì tiên đề liên tục, khi đó tiên đề liên tục sẽ tiếp nối từ tiên đề mới này. (Hãy tự mình chứng minh điều đó).
PHÂN TÍCH TOÁN HỌC
Phần I
LÝ THUYẾT GIỚI HẠN. Giới hạn trình tự và giới hạn chức năng. Định lý tồn tại cho một tối cao chính xác.
Để biến x N nhận một chuỗi giá trị vô hạn
x 1 , x 2 , ..., x N , ..., (1)
và định luật biến đổi đã được biết x N, tức là với mọi số tự nhiên N bạn có thể chỉ định giá trị thích hợp x N. Vì vậy, người ta giả định rằng biến x N là một chức năng của N:
x N =f(n)
Chúng ta hãy định nghĩa một trong những khái niệm quan trọng nhất của phân tích toán học - giới hạn của một dãy, hay tương tự, giới hạn của một biến x N, chạy qua dãy x 1 , x 2 , ..., x N , ... . .
Sự định nghĩa. Số không đổi Một gọi điện giới hạn của chuỗi x 1 , x 2 , ..., x N , ... . hoặc giới hạn của một biến x N, nếu với số dương e nhỏ tùy ý tồn tại số tự nhiên như vậy N(tức là số N) rằng tất cả các giá trị của biến x N, bắt đầu từ x N, khác với Một có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn e. Định nghĩa này được viết ngắn gọn như sau:
| x N - Một |< (2)
trước mặt mọi người N N, hoặc, cái gì giống nhau,
Xác định giới hạn Cauchy. Một số A được gọi là giới hạn của hàm f (x) tại điểm a nếu hàm này được xác định trong một lân cận nào đó của điểm a, ngoại trừ chính điểm a và với mọi ε > 0 đều tồn tại δ > 0 sao cho mọi x thỏa mãn điều kiện |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
Xác định giới hạn Heine. Một số A được gọi là giới hạn của hàm f(x) tại một điểm a nếu hàm này được xác định trong một lân cận nào đó của điểm a, ngoại trừ chính điểm a đó, và với bất kỳ dãy nào sao cho 
hội tụ về số a thì dãy giá trị hàm tương ứng cũng hội tụ về số A.
Nếu hàm f(x) có giới hạn tại điểm a thì giới hạn này là duy nhất.
Số A 1 được gọi là giới hạn của hàm số f(x) bên trái tại điểm a nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 
Số A2 được gọi là giới hạn của hàm số f(x) ở bên phải tại điểm a nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho bất đẳng thức đúng với mọi 
Giới hạn bên trái được biểu thị bằng giới hạn bên phải - Các giới hạn này đặc trưng cho hành vi của hàm số bên trái và bên phải của điểm a. Chúng thường được gọi là giới hạn một chiều. Khi ký hiệu giới hạn một phía cho x → 0, số 0 đầu tiên thường được bỏ qua: và. Vì vậy, đối với chức năng 
Nếu với mọi ε > 0 tồn tại một lân cận δ của một điểm sao cho mọi x thỏa mãn điều kiện |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, thì người ta nói rằng hàm f(x) có giới hạn vô hạn tại điểm a:
Do đó, hàm số có giới hạn vô hạn tại điểm x = 0. Các giới hạn bằng +∞ và –∞ thường được phân biệt. Vì thế,
Nếu với mọi ε > 0 tồn tại một δ > 0 sao cho với mọi x > δ thì bất đẳng thức |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:
Định lý tồn tại cho một tối cao chính xác
Sự định nghĩa:АR mR, m là mặt trên (dưới) của А, nếu аА аm (аm).
Sự định nghĩa: Tập A được giới hạn từ phía trên (từ phía dưới), nếu tồn tại m sao cho aA, am (am) thỏa mãn.
Sự định nghĩa: SupA=m, nếu 1) m là giá trị lớn nhất của A
2) m’: m’
InfA = n, nếu 1) n là cực tiểu của A
2) n': n'>n => n' không phải là nhỏ nhất của A
Sự định nghĩa: SupA=m là số sao cho: 1) aA am
2) >0 a A, sao cho a a-
InfA = n là số sao cho: 1) 1) aA an
2) >0 a A, sao cho a E a+
Định lý: Bất kỳ tập AR khác trống nào được giới hạn từ phía trên đều có một giá trị tối cao chính xác và là một giá trị duy nhất.
Bằng chứng:
Hãy dựng số m trên trục số và chứng minh rằng đây là số lớn nhất của A.
[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - giới hạn trên của A
Đoạn [[m],[m]+1] - chia thành 10 phần
m 1 =max:aA)]
m 2 =max,m 1:aA)]
m k =max,m 1 ...m K-1:aA)]
[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - cạnh trên A
Chúng ta hãy chứng minh rằng m=[m],m 1 ...m K là lớn nhất và nó là duy nhất:
k: có điểm mà hàm số đạt cực đại, có điểm mà hàm số đạt cực tiểu.
Bằng chứng:
Giả sử hàm f(x) liên tục trên , thì theo Định lý 1 nó bị chặn trên khoảng này. Do đó, tập hợp các giá trị hàm bị hạn chế. Sau đó, nhờ nguyên tắc tối cao, tập hợp này có giới hạn trên và giới hạn dưới chính xác.
Chúng ta ký hiệu: và chỉ ra rằng đây sẽ là giá trị lớn nhất của hàm f(x) trên đoạn : .
Giả sử điều ngược lại, tức là .
Vì , thì f(x)< .
chúng ta hãy giới thiệu chức năng 
. Hàm này liên tục trên , vì -f(x) 0. Sau đó, theo định lý thứ nhất của Weierstrass, hàm này bị chặn trên .
Vì bất đẳng thức này đúng nên số này không phải là giới hạn trên chính xác của tập hợp các giá trị hàm. Chúng tôi đi đến một mâu thuẫn, có nghĩa là giả định của chúng tôi là không chính xác. Tương tự, người ta có thể chứng minh rằng hàm liên tục đạt giá trị nhỏ nhất trên một đoạn. Định lý đã được chứng minh.
CÁC CHỨC NĂNG KHÁC BIỆT Định lý Rolle và Lagrange.Công thức T
Eylor với số hạng dư ở dạng Lagrange. Định lý Rolle.
Nếu hàm f(x) liên tục trên khoảng đóng [a, b], có đạo hàm bên trong khoảng và nếu
f(a) = f(b) 0 thì trong khoảng [a, b] tồn tại ít nhất một giá trị x như vậy< x 0 < b), что
(Một 0 ) = 0.
f"(x Bằng chứng.
Hãy xem xét hai trường hợp. 1. Chức năng f(x) là hằng số trên khoảng [ một, b ]; Sau đó f"(x) = 0 cho bất cứ ai< x < b) x(a
, tức là phát biểu của định lý Rolle được thực hiện một cách tự động. 1. Chức năng 2. Chức năng không phải là hằng số (Hình 1); sau đó nó đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất hoặc cả hai giá trị này tại điểm bên trong của khoảng, bởi vì f(b) = f(a) , và nếu f(a) 1. Chức năng sẽ đưa vào trong khoảng.
|
|
Vì theo điều kiện, 1. Chức năng có tại thời điểm x 0 đạo hàm thì theo định lý về tiêu chuẩn cần thiết của một cực trị,
(Một 0 ) = 0 ,
và định lý Rolle đã được chứng minh.
Định lý Rolle có cách giải thích hình học đơn giản: Nếu cho cung AB của đường cong y = f(x), tại mỗi điểm của nó có một tiếp tuyến và hai đầu A và B cách trục Ox một khoảng bằng nhau thì trên cung này có ít nhất một điểm tại đó tiếp tuyến t của đường cong sẽ song song với dây cung co lại của cung và do đó với trục Ox(xem hình 1).
Nếu quay trục tọa độ một góc a thì hai đầu MỘT Và B vòng cung AB sẽ không còn ở cùng khoảng cách với trục Con bò đực", nhưng tiếp tuyến t vẫn sẽ song song với hợp âm AB(xem hình 1). Do đó, điều tự nhiên là kỳ vọng rằng định lý đúng: Nếu cho cung AB của đường cong y = f(x) có tiếp tuyến biến đổi liên tục thì trên cung này có ít nhất một điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với dây AB đối diện nó(Hình 2).
|
|
Định lý Lagrange. Nếu hàm f(x) liên tục trên một khoảng đóng[là hằng số trên khoảng [] và bên trong nó có đạo hàm f”(x) thì có ít nhất một giá trị x như vậy 0 thì trong khoảng [a, b] tồn tại ít nhất một giá trị x như vậy< x 0 < b), что
f(b) - f(a) = (b - a)f "(x).
f"(x Hãy xem xét chức năng trợ giúp
F(x) = f(x) - k(x - a),
Ở đâu 
- hệ số góc của dây cung AB(xem hình 2).
Hàm này thỏa mãn mọi điều kiện của định lý Rolle.
Trên thực tế, khi x = một chúng tôi có F(a) = f(a) - k(a - a) = f(a), Tại x = b chúng tôi có
Hơn nữa, do hàm 1. Chức năng Và k(x - a) liên tục trên [ một, b] và khả vi trong ( một, b), thì hàm F(x) = f(x) - k(x - a) liên tục trên [ một, b] và khả vi trong ( một, b).
Do đó, theo định lý Rolle, trong khoảng ( một, b) tồn tại một điểm như vậy x 0 , Cái gì
F"(x 0 ) = 0 ,
(Một 0 ) - k = 0
Từ đây chúng ta có
f(b) - f(a) = (b - a)f " (x 0 ) ,
Q.E.D.
Bởi vì a + (b - a) = b, thì giá trị một +(b - a), trong đó Q là một phân số dương thích hợp (0 < < 1) , bằng một số nào đó trong khoảng ( một, b), do đó công thức Lagrange có thể viết dưới dạng
f(b) - f(a) = (b - a)f "
Nếu bạn đặt a = x, b = x +x, Ở đâu b - a =x, khi đó công thức Lagrange sẽ được viết dưới dạng
y = f(x +x) - f(x) =xf"(x+x).
Trước đây người ta đã chứng minh rằng nếu một hàm bằng một hằng số Cở bất kỳ giá trị nào x trong khoảng thời gian (a, b), thì đạo hàm của nó bằng 0.
Bây giờ chúng ta hãy chứng minh định lý ngược lại, là hệ quả của định lý Lagrange:
Nếu đạo hàm f”(x) biến mất đối với bất kỳ giá trị nào của x trong khoảng (a, b), thì trong khoảng này f(x) = C.
Trên thực tế, nếu x 1 Và x 2 - bất kỳ hai giá trị nào trong khoảng (a, b), thì theo định lý Lagrange, ta có
f(x 2 ) - f(x 1 ) = (x 2 -x 1 )f"(x 0 ),
Ở đâu, x 1 < x 0 < x 2 . Nhưng kể từ khi f"(x 0 ) = 0 , Cái đó
f(x 2 ) - f(x 1 ) = 0,
điều đó chứng minh định lý của chúng tôi.
Một định lý quan trọng được suy ra trực tiếp từ điều này:
Nếu hai hàm f 1 (x) và f 2 (x) có cùng đạo hàm trong khoảng (a, b) thì chúng khác nhau một giá trị không đổi trên khoảng này.
Thật vậy, xét hàm
(x) = f 2 (x)-f 1 (x).
Khi đó với mọi giá trị x từ khoảng thời gian (a, b)
"(x) = f 2 "(x)-f 1 "(x) = 0.
Nhưng điều này có nghĩa là (x) = C và do đó
f 2 (x)-f 1 (x) = C.
Công thức Taylor. Hãy để khoảng thời gianhàm f(x) khả vi n lần và các đẳng thức sau giữ nguyên:
f(a) = f(b) = f "(a) = f ""(a)= ... = f (n-1) (a)=0
Sau đó trong khoảngcó ít nhất một giá trị với,tại đó
f (N) (c) = 0
f"(x Qua Định lý Rolle chúng tôi có
f"(x 0 ) = 0 ,
Ở đâu Một< x 0 < b . Sau đó f"(x) trên khoảng thỏa mãn định lý Rolle, vì, theo điều kiện, f"(a) = 0 Và f"(x 0 ) = 0 , và do đó
f ""(x 1 ) = 0 ,
Ở đâu Một< x 1 < x 0 .
Áp dụng định lý Rolle lần lượt cho các hàm f ""(x), f """(x), ..., f (n-1) (x), cuối cùng chúng tôi tìm thấy:
f (N) (c) = 0,
Ở đâu Một< c < x n-1 < b . Định lý đã được chứng minh.
Bây giờ chúng ta hãy rút ra Công thức Taylor với số hạng còn lại ở dạng Lagrange.
Hãy để chức năng f(x) có thể phân biệt được N lần trong khoảng thời gian.
Hãy xem xét chức năng trợ giúp
(x) = f(x) - P(x),
Hãy phân biệt N nhân với hàm (x). Sau đó chúng ta sẽ có
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(n-1) (x) = f (n-1) (x)-A n-1 - MỘT N (x - a),
(N) (x) = f (N) (x)-A N
Chúng ta yêu cầu hàm (x) thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle tổng quát. Sau đó chúng ta sẽ có
(1)
.
Vì hàm (x) thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle tổng quát thì tồn tại giá trị đó với (một< c < b) , Cái gì
(N) (c) = f (N) (c) - A N = 0 (2)