Cho mặt phẳng `alpha` song song với mặt phẳng `be`, đường thẳng `b` nằm trong mặt phẳng `be`, điểm `B` nằm trên đường `b`. Rõ ràng, khoảng cách từ điểm `B` đến mặt phẳng `alpha` bằng khoảng cách từ đường `b` đến mặt phẳng `alpha` và bằng khoảng cách giữa mặt phẳng `alpha` và `beta`.
Xét hai đường thẳng cắt nhau `a` và `b` . Vẽ mặt phẳng qua đường thẳng `a` song song với đường thẳng `b`. Hãy vẽ mặt phẳng qua đường thẳng `b`, vuông góc với mặt phẳng`alpha`, đặt giao tuyến của các mặt phẳng này là `b_1` (đường thẳng này là hình chiếu của đường thẳng `b` lên mặt phẳng `alpha`). Chúng ta hãy biểu thị điểm giao nhau của đường `a` và `b_1` là `A`. Điểm `A` là hình chiếu của một điểm `B` nào đó thẳng `b`. Từ thực tế là `AB_|_alpha` suy ra `AB_|_a` và `AB_|_b_1`; ngoài ra `b``||``b_1`, có nghĩa là `AB_|_b` - . Đường `AB` cắt đường xiên `a` và `b` và vuông góc với cả hai. Đoạn `AB` được gọi là vuông góc chung hai đường thẳng cắt nhau.
Độ dài đường vuông góc chung của các đường thẳng cắt nhau bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng đó`b` lên máy bay`alpha`.
* Khoảng cách giữa các đường giao nhau bằng độ dài đường vuông góc chung của chúng. Cho một đường thẳng `l_1` trong không gian với vectơ chỉ phương đã biết `veca_1` ( vectơ hướng dẫn một đường thẳng là một vectơ khác 0 song song với đường thẳng này), một đường thẳng `l_2` với vectơ chỉ phương đã biết `veca_2`, các điểm `A_1` và `A_2` lần lượt nằm trên `l_1` và `l_2`, Ngoài ra, vectơ `vec( A_1A_2)=vecr`. Cho đoạn `P_1P_2` vuông góc chung với `l_1` và `l_2` (xem Hình 9). Nhiệm vụ là tìm độ dài của đoạn này. Hãy biểu thị vectơ `vec(P_1P_2)` dưới dạng tổng `vec(P_1A_1)+vec(A_1A_2)+vec(A_2P_2)`. Sau đó, bằng cách sử dụng tính cộng tuyến của các vectơ `vec(P_1A_1)` và `veca_1`, `vec(A_2P_2)` và `veca_2`, chúng ta thu được cho vectơ `vec(P_1P_2)` biểu diễn `vec(P_1P_2)=xveca_1 +yveca_2+vecr`, trong đó `x` và `y` hiện là số chưa xác định. Những số này có thể được tìm thấy từ điều kiện vectơ `vec(P_1P_2)` vuông góc với vectơ `veca_1` và `veca_2`, tức là từ hệ phương trình tuyến tính sau:
x a → 1 + y a → 2 + r → · a → 1 = 0, x a → 1 + y a → 2 + r → · a → 2 = 0. \left\(\begin(array)(l)\left(x(\overrightarrow a)_1+y(\overrightarrow a)_2+\overrightarrow r\right)\cdot(\overrightarrow a)_1=0,\\\ left(x(\overrightarrow a)_1+y(\overrightarrow a)_2+\overrightarrow r\right)\cdot(\overrightarrow a)_2=0.\end(array)\right.
Sau đó, chúng ta tìm thấy độ dài của vectơ `vec(P_1P_2):`
`P_1P_2=sqrt((xveca_1+yveca_2+vecr)^2)`.
Tính khoảng cách giữa hai đường chéo chéo của hai mặt kề nhau của hình lập phương có cạnh `a`.
Cho một khối lập phương `A...D_1` có cạnh `a`. Hãy tìm khoảng cách giữa các dòng `AD_1` và `DC_1` (Hình 10). Hãy giới thiệu cơ sở `veca=vec(DA)`, `vecb=vec(DC)`, `vecc=vec(DD_1)`. Đối với các vectơ chỉ phương của các đường `AD_1` và `DC_1`, chúng ta có thể lấy `vec(AD_1)=vecc-veca` và `vec(DC_1)=vecb+vecc`. Nếu `P_1P_2` là đường vuông góc chung với các đường đang xét, thì `vec(P_1P_2)=x(vecc-veca)+y(vecb+vecc)+veca`.
Hãy lập hệ phương trình để tìm các số chưa biết `x` và `y`:
x c → - a → + y b → + c → + a → · c → - a → = 0 , x c → - a → + y b → + c → + a → · b → + c → = 0 . \left\(\begin(array)(l)\left(x\left(\overrightarrow c-\overrightarrow a\right)+y\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)+\overrightarrow a\right) \cdot\left(\overrightarrow c-\overrightarrow a\right)=0,\\\left(x\left(\overrightarrow c-\overrightarrow a\right)+y\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right )+\overrightarrow a\right)\cdot\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)=0.\end(array)\right.
Chúng ta hãy rút gọn hệ thống này thành một hệ thống tương đương:
2 x + y - 1 = 0, x + 2 y = 0. \left\(\begin(array)(l)2x+y-1=0,\\x+2y=0.\end(array)\right.
Từ đây chúng ta tìm thấy `x=2/3`, `y=-1/3`. Sau đó
`vec(P_1P_2)=2/3(vecc-veca)-1/3(vecb+vecc)+veca=1/3veca-1/3vecb+1/3vecc`,
Chưa đầy một phút trôi qua trước khi tôi tạo một tệp Verdov mới và tiếp tục như thế này chủ đề hấp dẫn. Bạn cần ghi lại những khoảnh khắc tâm trạng làm việc nên sẽ không có phần giới thiệu trữ tình. Sẽ có một trận đánh đòn tầm thường =)
Hai khoảng trống thẳng có thể:
1) lai giống;
2) cắt nhau tại điểm ;
3) song song;
4) phù hợp.
Trường hợp số 1 về cơ bản khác với các trường hợp khác. Hai đường thẳng cắt nhau nếu chúng không cùng thuộc một mặt phẳng. Nâng một cánh tay lên và duỗi cánh tay kia về phía trước - đây là một ví dụ về việc vượt qua các đường. Tại các điểm 2-4 các đường thẳng phải nằm trong một mặt phẳng.
Làm thế nào để tìm ra vị trí tương đối của các đường thẳng trong không gian?
Xét hai không gian trực tiếp:
- đường thẳng xác định bởi một điểm và một vectơ chỉ phương;
- Đường thẳng xác định bởi một điểm và một vectơ chỉ phương.
Để hiểu rõ hơn, chúng ta hãy vẽ sơ đồ: 
Hình vẽ cho thấy các đường thẳng giao nhau làm ví dụ.
Làm thế nào để đối phó với những đường thẳng này?
Vì các điểm đã biết nên dễ dàng tìm được vectơ.
Nếu thẳng lai giống, thì các vectơ không đồng phẳng(xem bài học Sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở của vectơ), và do đó, định thức gồm tọa độ của chúng khác 0. Hoặc, thực tế là giống nhau, nó sẽ khác 0: 
.
Trong trường hợp số 2-4, cấu trúc của chúng ta “rơi” vào một mặt phẳng và các vectơ đồng phẳng và sản phẩm hỗn hợp là tuyến tính vectơ phụ thuộc bằng 0: 
.
Hãy mở rộng thuật toán hơn nữa. Hãy giả sử rằng 
Do đó, các đường thẳng cắt nhau, song song hoặc trùng nhau.
Nếu các vectơ chỉ phương thẳng hàng thì các đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Đối với chiếc đinh cuối cùng, tôi đề xuất kỹ thuật sau: lấy bất kỳ điểm nào trên một đường thẳng và thay tọa độ của nó vào phương trình của đường thứ hai; nếu tọa độ “khớp” thì các đường thẳng trùng nhau; nếu chúng “không khớp” thì các đường thẳng song song.
Thuật toán rất đơn giản nhưng ví dụ thực tế vẫn không đau:
Ví dụ 11
Tìm vị trí tương đối của hai đường thẳng
Giải pháp: như trong nhiều bài toán hình học, việc xây dựng lời giải theo từng điểm là rất thuận tiện:
1) Lấy điểm và vectơ chỉ phương từ phương trình:
2) Tìm vectơ:
Do đó, các vectơ là đồng phẳng, có nghĩa là các đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng và có thể cắt nhau, song song hoặc trùng nhau.
4) Hãy kiểm tra sự cộng tuyến của các vectơ chỉ phương.
Hãy tạo một hệ thống từ tọa độ tương ứng của các vectơ này:
Từ mọi người do đó, các phương trình tuân theo rằng hệ thống nhất quán, tọa độ tương ứng của các vectơ tỷ lệ thuận và các vectơ thẳng hàng.
Kết luận: các đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
5) Hãy tìm hiểu xem các đường thẳng có điểm chung. Hãy lấy một điểm thuộc dòng đầu tiên và thay tọa độ của nó vào các phương trình của đường thẳng: 
Do đó, các đường thẳng không có điểm chung và chúng không có lựa chọn nào khác ngoài việc song song.
Trả lời:
Ví dụ thú vị Vì quyết định độc lập:
Ví dụ 12
Tìm vị trí tương đối của các đường thẳng
Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Xin lưu ý rằng dòng thứ hai có tham số là chữ cái. Hợp lý. TRONG trường hợp chung– đây là 2 dòng khác nhau nên mỗi dòng có thông số riêng.
Và một lần nữa tôi mong bạn đừng bỏ qua các ví dụ, các nhiệm vụ tôi đề xuất không hề ngẫu nhiên ;-)
Các vấn đề với một dòng trong không gian
Trong phần cuối của bài học tôi sẽ cố gắng xem xét số lượng tối đa nhiệm vụ khác nhau với các đường không gian. Trong trường hợp này, thứ tự ban đầu của câu chuyện sẽ được tuân theo: đầu tiên chúng ta sẽ xem xét các vấn đề về các đường giao nhau, sau đó là các đường giao nhau, và cuối cùng chúng ta sẽ nói về các đường thẳng song song trong không gian. Tuy nhiên, tôi phải nói rằng một số nhiệm vụ của bài học này có thể được xây dựng cho một số trường hợp về vị trí của các dòng cùng một lúc, và về vấn đề này, việc chia phần thành các đoạn văn có phần tùy tiện. Có nhiều hơn nữa ví dụ đơn giản, còn nhiều nữa ví dụ phức tạp, và tôi hy vọng mọi người sẽ tìm thấy thứ họ cần.
Vượt qua đường
Hãy để tôi nhắc bạn rằng các đường thẳng cắt nhau nếu không có mặt phẳng nào mà chúng cùng nằm trong đó. Khi tôi đang suy nghĩ về việc thực hành, một vấn đề về quái vật chợt nảy ra trong đầu tôi và bây giờ tôi rất vui được giới thiệu với bạn một con rồng có bốn đầu:
Ví dụ 13
Cho các đường thẳng. Yêu cầu:
a) chứng minh rằng các đường thẳng cắt nhau;
b) Tìm phương trình đường thẳng đi qua một điểm vuông góc với các đường thẳng đã cho;
c) Viết phương trình đường thẳng chứa vuông góc chung vượt qua đường;
d) Tìm khoảng cách giữa các đường thẳng.
Giải pháp: Người đi sẽ làm chủ con đường:
a) Chứng minh các đường thẳng cắt nhau. Hãy tìm các điểm và vectơ chỉ phương của các đường thẳng này: 
Hãy tìm vectơ:
Hãy tính toán tích hỗn hợp của vectơ:
Như vậy, các vectơ không đồng phẳng, nghĩa là các đường thẳng cắt nhau, đó là điều cần chứng minh.
Có lẽ mọi người từ lâu đã nhận thấy rằng để vượt qua các ranh giới, thuật toán xác minh là ngắn nhất.
b) Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với các đường thẳng. Hãy vẽ một sơ đồ: 
Để thay đổi tôi đã đăng trực tiếp VÌ thẳng, nhìn nó bị xóa một chút ở các điểm giao nhau. Lai tạo? Có, nói chung thì đường thẳng “de” sẽ cắt các đường thẳng ban đầu. Mặc dù ngay bây giờ chúng ta chưa quan tâm đến nó, chúng ta chỉ cần xây một đường vuông góc là xong.
Những gì được biết về trực tiếp “de”? Điểm thuộc về nó đã được biết. Không có đủ vector hướng dẫn.
Theo điều kiện, đường thẳng phải vuông góc với các đường thẳng, nghĩa là vectơ chỉ phương của nó sẽ vuông góc với các vectơ chỉ phương. Đã quen thuộc với Ví dụ 9, hãy tìm tích vectơ:
Hãy viết phương trình đường thẳng “de” bằng cách sử dụng một điểm và một vectơ chỉ phương:
Sẵn sàng. Về nguyên tắc, bạn có thể đổi dấu ở mẫu số và viết đáp án dưới dạng 
, nhưng không cần thiết phải làm điều này.
Để kiểm tra, bạn cần thay tọa độ của điểm vào phương trình đường thẳng thu được rồi sử dụng tích vô hướng của vectơđảm bảo rằng vectơ thực sự trực giao với vectơ chỉ phương “pe one” và “pe two”.
Làm thế nào để tìm phương trình đường thẳng chứa đường vuông góc chung?
c) Vấn đề này sẽ khó khăn hơn. Tôi khuyên những kẻ ngốc nên bỏ qua điểm này, tôi không muốn làm giảm đi sự cảm thông chân thành của bạn dành cho hình học giải tích=) Nhân tiện, có thể tốt hơn nếu những độc giả đã chuẩn bị kỹ hơn nên trì hoãn; thực tế là, do tính phức tạp của nó, ví dụ nên được đặt cuối cùng trong bài viết, nhưng theo tính logic của cách trình bày thì nó nên được đặt ở vị trí cuối cùng. nằm ở đây.
Vì vậy, bạn cần tìm phương trình đường thẳng chứa đường vuông góc chung của các đường xiên.
- đây là đoạn nối các đường thẳng này và vuông góc với các đường thẳng này: 
Đây là anh chàng đẹp trai của chúng ta: - vuông góc chung của các đường thẳng cắt nhau. Anh ấy là người duy nhất. Không có cái nào khác giống như vậy. Chúng ta cần tạo phương trình cho đường thẳng chứa đoạn này.
Những gì được biết về "ừm" trực tiếp? Vectơ chỉ phương của nó đã được biết, tìm thấy ở đoạn trước. Nhưng thật không may, chúng ta không biết một điểm nào thuộc đường thẳng “em”, cũng như chúng ta không biết các đầu của đường vuông góc – các điểm . Đường vuông góc này cắt hai đường thẳng ban đầu ở đâu? Ở Châu Phi, ở Nam Cực? Từ việc xem xét và phân tích tình trạng ban đầu, vẫn chưa rõ ràng về cách giải quyết vấn đề... Nhưng có bước đi xảo quyệt, liên quan đến việc sử dụng các phương trình đường thẳng tham số.
Chúng tôi sẽ đưa ra quyết định từng điểm một:
1) Viết lại phương trình dòng đầu tiên dưới dạng tham số: 
Hãy xem xét vấn đề. Chúng tôi không biết tọa độ. NHƯNG. Nếu một điểm thuộc một đường thẳng cho trước thì tọa độ của nó tương ứng với , chúng ta hãy biểu thị nó bằng . Khi đó tọa độ của điểm sẽ được viết dưới dạng:
Cuộc sống ngày càng tốt đẹp hơn, một điều chưa biết vẫn không phải là ba điều chưa biết.
2) Sự phẫn nộ tương tự phải được thực hiện ở điểm thứ hai. Chúng ta hãy viết lại phương trình của dòng thứ hai ở dạng tham số: 
Nếu một điểm thuộc một đường nhất định thì với một ý nghĩa rất cụ thể tọa độ của nó phải thỏa mãn các phương trình tham số:
Hoặc: 
3) Vector, giống như vectơ đã tìm thấy trước đó, sẽ là vectơ chỉ hướng của đường thẳng. Cách xây dựng một vectơ từ hai điểm đã được thảo luận ở phần thời xa xưa trong lớp Vector cho người giả. Bây giờ sự khác biệt là tọa độ của các vectơ được viết bằng giá trị chưa biết các thông số. Vậy thì sao? Không ai cấm trừ tọa độ tương ứng của phần đầu của vectơ khỏi tọa độ của phần cuối của vectơ.
Có hai điểm: 
.
Tìm vectơ:
4) Vì các vectơ chỉ phương thẳng hàng nên một vectơ được biểu diễn tuyến tính qua vectơ kia với hệ số tỷ lệ nhất định “lambda”:
Hoặc phối hợp khôn ngoan: 
Hóa ra là điều bình thường nhất hệ phương trình tuyến tính với ba ẩn số, có thể giải được theo tiêu chuẩn, ví dụ: Phương pháp Cramer. Nhưng ở đây có thể thoát ra với một chút tổn thất; từ phương trình thứ ba, chúng ta sẽ biểu thị “lambda” và thay thế nó vào phương trình thứ nhất và thứ hai:
Như vậy: 
và chúng ta không cần “lambda”. Việc các giá trị tham số giống nhau hoàn toàn là một tai nạn.
5) Bầu trời hoàn toàn quang đãng, hãy thay thế các giá trị tìm được 
theo quan điểm của chúng tôi:
Vectơ chỉ hướng không thực sự cần thiết vì vectơ tương ứng của nó đã được tìm thấy.
Việc kiểm tra sau một hành trình dài luôn là điều thú vị.
:
Các đẳng thức đúng thu được.
Hãy thay tọa độ điểm vào phương trình 
:
Các đẳng thức đúng thu được.
6) Hợp âm cuối cùng: hãy lập phương trình đường thẳng sử dụng một điểm (bạn có thể lấy) và vectơ chỉ phương:
Về nguyên tắc, bạn có thể chọn một điểm “tốt” với tọa độ nguyên vẹn, nhưng điều này chỉ mang tính thẩm mỹ.
Làm thế nào để tìm khoảng cách giữa các đường giao nhau?
d) Chúng ta cắt đầu thứ tư của con rồng.
Phương pháp một. Thậm chí không phải là một con đường, mà là một con đường nhỏ trường hợp đặc biệt. Khoảng cách giữa các đường thẳng cắt nhau bằng độ dài đường vuông góc chung của chúng: 
.
Điểm cực trị vuông góc chung 
được tìm thấy trong đoạn trước và nhiệm vụ là cơ bản:
Phương pháp hai. Trong thực tế, hầu hết các đầu của đường vuông góc chung đều không xác định được nên người ta sử dụng một cách tiếp cận khác. Các mặt phẳng song song có thể được vẽ qua hai đường thẳng cắt nhau và khoảng cách giữa các mặt phẳng này bằng khoảng cách giữa các đường thẳng này. Đặc biệt, một đường vuông góc chung nhô ra giữa các mặt phẳng này.
Trong quá trình hình học giải tích, từ những nhận xét trên, người ta rút ra công thức tìm khoảng cách giữa các đường thẳng cắt nhau: 
(thay vì điểm của chúng tôi “ừm một, hai” bạn có thể lấy điểm tùy ýđường thẳng).
Sản phẩm hỗn hợp của vectơđã tìm thấy ở điểm "a": 
.
Tích vectơ của vectơ tìm thấy trong đoạn “be”: 
, hãy tính độ dài của nó:
Như vậy:
Hãy tự hào trưng bày các danh hiệu thành một hàng:
Trả lời:
MỘT) 
, nghĩa là các đường thẳng cắt nhau, đó là điều cần phải chứng minh;
b) 
;
V) 
;
G) 
Bạn có thể nói gì khác về việc băng qua đường? Có một góc xác định giữa chúng. Nhưng công thức phổ quát Chúng ta sẽ xem xét góc trong đoạn tiếp theo:
Các không gian thẳng cắt nhau nhất thiết phải nằm trong cùng một mặt phẳng: 
Ý nghĩ đầu tiên là phải dùng hết sức mình đẩy tới điểm giao nhau. Và tôi nghĩ ngay, tại sao lại phủ nhận chính mình những mong muốn đúng đắn?! Chúng ta hãy lên trên cô ấy ngay bây giờ!
Làm thế nào để tìm điểm giao nhau của các đường không gian?
Ví dụ 14
Tìm giao điểm của đường
Giải pháp: Viết lại phương trình đường thẳng ở dạng tham số: 
Nhiệm vụ nàyđã được thảo luận chi tiết trong Ví dụ số 7 của bài học này (xem. Phương trình đường thẳng trong không gian). Và nhân tiện, tôi đã lấy các đường thẳng từ Ví dụ số 12. Tôi sẽ không nói dối, tôi quá lười để nghĩ ra những cái mới.
Lời giải này là tiêu chuẩn và đã từng gặp khi chúng ta cố gắng tìm ra các phương trình cho đường vuông góc chung của các đường giao nhau.
Giao điểm của các đường thẳng thuộc đường thẳng nên tọa độ của nó thỏa mãn các phương trình tham số của đường thẳng này và tương ứng với chúng khá ý nghĩa cụ thể tham số:
Nhưng điểm này cũng thuộc về dòng thứ hai, do đó: 
Chúng tôi đánh đồng các phương trình tương ứng và thực hiện đơn giản hóa: 
Đã nhận hệ thống ba phương trình tuyến tính với hai ẩn số. Nếu các đường thẳng cắt nhau (được chứng minh ở Ví dụ số 12) thì hệ thống nhất thiết phải nhất quán và có nghiệm duy nhất. Nó có thể được giải quyết phương pháp Gaussian, nhưng chúng ta đừng phạm tội với chủ nghĩa sùng bái ở trường mẫu giáo như vậy, hãy làm nó đơn giản hơn: từ phương trình đầu tiên, chúng ta biểu thị “te zero” và thay nó vào phương trình thứ hai và thứ ba: 
Hai phương trình cuối cùng về cơ bản là giống nhau, và từ đó dẫn đến kết quả là . Sau đó:
Hãy thay thế giá trị tìm thấy của tham số vào các phương trình: 
Trả lời:
Để kiểm tra, ta thay giá trị tìm được của tham số vào các phương trình: 
Các tọa độ tương tự đã thu được cần được kiểm tra. Những người đọc tỉ mỉ có thể thay thế tọa độ của điểm thành các phương trình chính tắc ban đầu của đường thẳng.
Nhân tiện, có thể làm ngược lại: tìm điểm qua “es zero” và kiểm tra nó qua “te zero”.
Một mê tín toán học nổi tiếng nói rằng: nơi thảo luận về giao điểm của các đường thẳng, luôn có mùi vuông góc.
Làm thế nào để dựng một đường không gian vuông góc với một đường thẳng cho trước?
(các đường cắt nhau)
Ví dụ 15
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm vuông góc với đường thẳng 
(các đường cắt nhau).
b) Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Ghi chú
: mệnh đề “các đường giao nhau” – có ý nghĩa. Thông qua điểm
bạn có thể vẽ vô số đường vuông góc sẽ giao nhau với đường thẳng “el”. Giải pháp duy nhất xảy ra trong trường hợp khi, thông qua điểm này một đường thẳng được vẽ vuông góc hai cho bởi một đường thẳng (xem Ví dụ số 13, điểm “b”).
MỘT) Giải pháp: Chúng tôi biểu thị dòng chưa biết bằng . Hãy vẽ một sơ đồ:
Những gì được biết về đường thẳng? Theo điều kiện, một điểm được đưa ra. Để lập phương trình đường thẳng cần tìm vectơ chỉ phương. Vectơ khá phù hợp với một vectơ như vậy nên chúng ta sẽ giải quyết nó. Chính xác hơn, chúng ta hãy lấy phần cuối chưa biết của vectơ bằng phần gáy.
1) Hãy lấy vectơ chỉ phương của nó ra khỏi các phương trình của đường thẳng “el” và viết lại các phương trình đó dưới dạng tham số: 
Nhiều người đoán rằng đây là lần thứ ba trong buổi học, ảo thuật gia sẽ nhận được thiên nga trắng từ một chiếc mũ. Xét một điểm có tọa độ chưa biết. Vì điểm là , tọa độ của nó thỏa mãn các phương trình tham số của đường thẳng “el” và chúng tương ứng với một giá trị tham số cụ thể:
Hoặc trong một dòng:
2) Theo điều kiện, các đường thẳng phải vuông góc nên vectơ chỉ phương của chúng trực giao. Và nếu các vectơ trực giao thì chúng sản phẩm chấm bằng 0: 
Chuyện gì đã xảy ra thế? Đơn giản nhất phương trình tuyến tính với một điều chưa biết: 
3) Giá trị của tham số đã biết, hãy tìm điểm:
Và vectơ chỉ phương:
.
4) Viết phương trình đường thẳng sử dụng điểm và vectơ chỉ phương 
:
Các mẫu số của tỷ lệ hóa ra là phân số và đây chính xác là trường hợp thích hợp để loại bỏ các phân số. Tôi sẽ nhân chúng với -2: 
Trả lời: 
Ghi chú
: một kết thúc chặt chẽ hơn cho lời giải được hình thức hóa như sau: hãy soạn phương trình của đường thẳng sử dụng một điểm và một vectơ chỉ phương 
. Thật vậy, nếu một vectơ là vectơ chỉ hướng của một đường thẳng thì vectơ thẳng hàng đương nhiên cũng sẽ là vectơ chỉ hướng của đường thẳng này.
Việc xác minh bao gồm hai giai đoạn:
1) kiểm tra tính trực giao của các vectơ chỉ phương của các đường thẳng;
2) chúng ta thay tọa độ của điểm vào phương trình của từng đường thẳng, chúng phải “khớp” cả chỗ đó và chỗ đó.
Đã có rất nhiều cuộc thảo luận về các hành động điển hình nên tôi đã kiểm tra bản nháp.
Nhân tiện, tôi quên một điểm khác - xây dựng điểm “zyu” điểm đối xứng"en" tương đối thẳng là "el". Tuy nhiên, có một “sự tương tự phẳng” hay có thể tìm thấy trong bài viết Các bài toán đơn giản nhất với đường thẳng trên mặt phẳng. Ở đây, sự khác biệt duy nhất sẽ nằm ở tọa độ “Z” bổ sung.
Làm thế nào để tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian?
b) Giải pháp: Hãy tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Phương pháp một. Khoảng cách này chính xác bằng độ dài đường vuông góc: . Giải pháp rất rõ ràng: nếu biết các điểm 
, Cái đó:
Phương pháp hai. TRONG vấn đề thực tếđáy của đường vuông góc thường là bí mật được niêm phong nên sử dụng công thức làm sẵn sẽ hợp lý hơn.
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng được biểu thị bằng công thức: 
, đâu là vectơ chỉ hướng của đường thẳng “el”, và – miễn phí một điểm thuộc một đường nhất định.
1) Từ phương trình đường thẳng 
chúng tôi lấy ra vectơ chỉ hướng và điểm dễ tiếp cận nhất.
2) Điểm được biết từ điều kiện, làm sắc nét vectơ:
3) Hãy tìm sản phẩm vector và tính độ dài của nó: 
4) Tính độ dài của vectơ dẫn hướng:
5) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là:
Hình học. lớp 11
Chủ đề bài học: Khoảng cách giữa các đường giao nhau
Ter-Ovanesyan G.L., giáo viên hạng mục cao nhất, người đoạt Giải thưởng Quỹ Soros
Mátxcơva
Chúng ta hãy xem xét vấn đề tìm khoảng cách giữa các đường giao nhau. Khoảng cách giữa các đường thẳng giao nhau là độ dài đường vuông góc chung với các đường thẳng đó.
Cho hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 có cạnh bằng đơn vị AB = 1. Bạn cần tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và DC 1: ρ(AB;DC 1) - ?
Hai đường thẳng này nằm trong các mặt phẳng song song: AB nằm trong mặt phẳng AA 1 B 1 B, DC 1 nằm trong mặt phẳng D 1 DC 1 C. Trước tiên chúng ta hãy tìm đường vuông góc của hai mặt phẳng này. Có rất nhiều đường vuông góc như vậy trong hình. Đây là đoạn BC, B 1 C 1, A 1 D 1 và AD. Trong số này, sẽ hợp lý khi chọn đoạn không chỉ vuông góc với các mặt phẳng này và do đó vuông góc với các đường thẳng AB và DC 1 của chúng ta mà còn đi qua các đường thẳng này. Đoạn như vậy là AD. Nó vuông góc với đường thẳng AB vì nó vuông góc với mặt phẳng AA 1 B 1 B và với đường thẳng DC 1 vì nó vuông góc với mặt phẳng D 1 DC 1 C. Điều này chứng tỏ AD là đường thẳng chung vuông góc với các đường thẳng cắt AB và DC 1. Khoảng cách giữa các đường thẳng này là độ dài đường vuông góc này, tức là độ dài của đoạn AD. Nhưng AD là cạnh của hình lập phương. Do đó khoảng cách là 1:
ρ(AB;DC 1)=AD=1
Hãy xem xét một vấn đề khác, phức tạp hơn một chút, về việc tìm khoảng cách giữa các đường giao nhau.
Chúng ta lại được cho một khối lập phương có cạnh bằng một. Bạn cần tìm khoảng cách giữa các đường chéo của các mặt đối diện. Nghĩa là, cho hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Cạnh AB=1. Bạn cần tìm khoảng cách giữa đường thẳng BA 1 và DC 1: ρ(A 1 B; DC 1) - ?
Hai đường thẳng này cắt nhau, nghĩa là khoảng cách chính là độ dài đường vuông góc chung. Thay vì vẽ một đường vuông góc tổng quát, bạn có thể lập công thức như sau: là độ dài đường vuông góc giữa mặt phẳng song song, trong đó những dòng này nằm. Đường thẳng BA 1 nằm trong mặt phẳng АВВ 1 А 1 và đường thẳng DC 1 nằm trong mặt phẳng D 1 DCC 1 . Chúng song song, có nghĩa là khoảng cách giữa chúng là khoảng cách giữa các đường thẳng này. Và khoảng cách giữa các mặt của hình lập phương là độ dài của cạnh. Ví dụ: chiều dài của xương sườn BC. Vì BC vuông góc với cả mặt phẳng АВВ 1 А 1 và mặt phẳng DСС 1 D 1. Điều này có nghĩa là khoảng cách giữa các đường thẳng cho trong điều kiện bằng khoảng cách giữa các mặt phẳng song song và bằng 1:
ρ(A 1 B;DC 1)=BC=1
Hãy xem xét một vấn đề khác về việc tìm khoảng cách giữa các đường giao nhau.
Hãy để chúng tôi nhận được cái đúng lăng kính tam giác, trong đó tất cả các cạnh đều được biết đến. Bạn cần tìm khoảng cách giữa các cạnh của đáy trên và đáy dưới. Tức là ta có lăng kính ABCA 1 B 1 C 1. Hơn nữa, AB=3=AA 1. Bạn cần tìm khoảng cách giữa các đường thẳng BC và A 1 C 1: ρ(BC;A 1 C 1) - ?
Vì các đường thẳng này cắt nhau nên khoảng cách giữa chúng là độ dài đường vuông góc chung hoặc độ dài đường vuông góc với mặt phẳng song song mà chúng nằm trong đó. Hãy tìm những mặt phẳng song song này.
Mặt trời trực tiếp nằm trong mặt phẳng ABC và đường thẳng A 1 C 1 nằm trong mặt phẳng A 1 B 1 C 1. Hai mặt phẳng này song song vì chúng là đáy trên và đáy của lăng kính. Điều này có nghĩa là khoảng cách giữa các đường thẳng của chúng ta là khoảng cách giữa các mặt phẳng song song này. Và khoảng cách giữa chúng đúng bằng chiều dài xương sườn bên AA 1, tức là bằng 3:
ρ(BC;A 1 C 1)=AA 1 =3
Trong này nhiệm vụ cụ thể bạn không chỉ có thể tìm thấy độ dài của đường vuông góc chung mà còn có thể tìm được cách xây dựng nó. Để làm điều này, từ tất cả các cạnh bên, chúng ta chọn một cạnh có điểm chung với đường thẳng BC và A 1 C 1. Trong hình của chúng tôi đây là cạnh CC 1. Nó sẽ vuông góc với đường thẳng A 1 C 1 vì nó vuông góc với mặt phẳng của đáy trên và vuông góc với đường thẳng BC vì nó vuông góc với mặt phẳng của đáy dưới. Vì vậy, chúng ta không chỉ có thể tìm thấy khoảng cách mà còn có thể xây dựng đường vuông góc tổng quát này.
Hôm nay trong bài học chúng ta nhớ lại cách tìm độ dài đường vuông góc chung giữa các đường thẳng cắt nhau.
Bài viết nhằm mục đích tìm khoảng cách giữa các đường giao nhau bằng phương pháp tọa độ. Việc xác định khoảng cách giữa các đường này sẽ được xem xét, chúng ta sẽ thu được một thuật toán với sự trợ giúp của thuật toán này, chúng ta sẽ biến đổi việc xác định khoảng cách giữa các đường giao nhau. Hãy củng cố chủ đề bằng cách giải các ví dụ tương tự.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Trước hết cần chứng minh định lý xác định mối liên hệ giữa các đường giao nhau đã cho.
chương vị trí tương đối các đường thẳng trong không gian nói rằng hai đường thẳng được gọi là cắt nhau nếu vị trí của chúng không nằm trong cùng một mặt phẳng.
Định lý
Qua mỗi cặp đường thẳng cắt nhau có thể đi qua một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho và chỉ có một mặt phẳng.
Bằng chứng
Theo điều kiện, chúng ta có các đường thẳng a và b nghiêng. Cần chứng minh tính thấm của một mặt phẳng đi qua đường thẳng b song song với đường thẳng a cho trước. Chứng minh tương tự phải được áp dụng cho đường thẳng a đi qua một mặt phẳng song song với đường thẳng b đã cho.
Đầu tiên bạn cần đánh dấu điểm Q trên dòng b. Nếu chúng ta làm theo định nghĩa về tính song song của các đường thẳng, chúng ta thấy rằng thông qua một điểm trong không gian, có thể vẽ một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước và chỉ một đường thẳng đó. Điều này có nghĩa là chỉ có một đường thẳng đi qua điểm Q và song song với đường thẳng a. Hãy lấy ký hiệu a a 1 .
Trong phần phương pháp xác định mặt phẳng, người ta đã nói rằng một mặt phẳng có thể đi qua hai đường thẳng giao nhau. Điều này có nghĩa là chúng ta thấy rằng các đường thẳng b và a 1 là các đường giao nhau mà mặt phẳng ký hiệu χ đi qua.
Dựa vào dấu hiệu đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có thể kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng χ, vì đường thẳng a song song với đường thẳng a 1 nằm trong mặt phẳng χ.
Mặt phẳng χ là duy nhất, vì một đường thẳng đi qua một đường thẳng cho trước nằm trong không gian thì song song với đường thẳng đã cho. Chúng ta hãy nhìn vào hình ảnh được cung cấp dưới đây.
Khi chuyển từ việc xác định khoảng cách giữa các đường thẳng cắt nhau, ta xác định khoảng cách thông qua khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với nó.
Định nghĩa 1
Khoảng cách giữa một trong các đường giao nhau và một mặt phẳng song song với nó đi qua đường thẳng kia được gọi là.
Nghĩa là, khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm cho trước đến mặt phẳng. Khi đó áp dụng được công thức xác định khoảng cách giữa các đường giao nhau.
Định nghĩa 2
Khoảng cách giữa các đường giao nhau gọi khoảng cách từ một điểm giao nhau của các đường thẳng đến một mặt phẳng đi qua một đường thẳng khác song song với đường thẳng thứ nhất.
Chúng tôi sẽ sản xuất xem xét chi tiếtđường thẳng a và b. Điểm M 1 nằm trên đường thẳng a, qua đường thẳng b vẽ mặt phẳng χ song song với đường thẳng a. Từ điểm M 1 vẽ đường vuông góc M 1 H 1 với mặt phẳng χ. Độ dài đường vuông góc này là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b. Chúng ta hãy nhìn vào hình dưới đây.
Tìm khoảng cách giữa các đường chéo - lý thuyết, ví dụ, giải pháp
Khoảng cách giữa các đường giao nhau được tìm thấy khi xây dựng một đoạn. Khoảng cách cần thiết bằng chiều dài của đoạn này. Theo các điều kiện của bài toán, độ dài của nó được xác định bằng định lý Pythagore, bằng dấu bằng hoặc bằng nhau của các hình tam giác hoặc các dấu khác.
Khi chúng ta có không gian ba chiều với hệ tọa độ O x y z với các đường thẳng a và b cho trước, thì việc tính toán phải được thực hiện bắt đầu từ khoảng cách giữa các giao điểm đã cho bằng phương pháp tọa độ. Chúng ta hãy xem xét chi tiết.
Theo điều kiện, giả sử χ là một mặt phẳng đi qua đường thẳng b và song song với đường thẳng a. Khoảng cách cần tìm giữa hai đường thẳng a và b bằng khoảng cách từ điểm M 1 nằm trên đường thẳng a đến mặt phẳng _ χ. Để thu được phương trình chuẩn tắc của mặt phẳng χ cần xác định tọa độ của điểm M 1 (x 1, y 1, z 1) nằm trên đường thẳng a. Khi đó ta thu được cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0, cần xác định khoảng cách M 1 H 1 từ điểm M 1 x 1, y 1, z 1 đến mặt phẳng χ . Các phép tính được thực hiện bằng công thức M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Khoảng cách yêu cầu bằng khoảng cách yêu cầu giữa các đường giao nhau.
Nhiệm vụ này liên quan đến việc lấy tọa độ của điểm M 1, nằm trên đường thẳng a, tìm phương trình bình thường mặt phẳng χ.
Việc xác định tọa độ điểm M 1 là cần thiết và khả thi nếu biết các dạng phương trình cơ bản của đường thẳng trong không gian. Để có được phương trình của mặt phẳng χ, cần xem xét kỹ hơn thuật toán tính toán.
Nếu xác định tọa độ x 2 , y 2 , z 2 qua điểm M 2 vẽ mặt phẳng χ thì ta thu được vectơ pháp tuyến của mặt phẳng χ có dạng vectơ n → = (A, B, C ). Theo đó, chúng ta có thể viết phương trình tổng quát mặt phẳng χ có dạng A · x - x 2 + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0.
Thay vì điểm M 2, có thể lấy bất kỳ điểm nào khác thuộc đường thẳng b vì mặt phẳng χ đi qua nó. Điều này có nghĩa là tọa độ của điểm M 2 đã được tìm thấy. Cần phải tiến hành tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng χ.
Ta có mặt phẳng χ đi qua đường thẳng b và song song với đường thẳng a. Điều này có nghĩa là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng χ vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng a, ký hiệu là a →, và vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng b, ký hiệu b →. Vector n → sẽ bằng sản phẩm vector a → và b →, tức là n → = a → × b →. Sau khi xác định tọa độ a x , a y , a z và b x , b y , b z của các vectơ chỉ phương của các đường thẳng a và b đã cho, ta tính được
n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z
Từ đây ta tìm được giá trị tọa độ A, B, C của vectơ pháp tuyến đối với mặt phẳng χ.
Ta biết phương trình tổng quát của mặt phẳng χ có dạng A · (x - x 2) + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0.
Cần đưa phương trình về dạng chuẩn cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Sau đó, bạn cần tính khoảng cách cần thiết giữa hai đường giao nhau a và b, dựa trên công thức M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p.
Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b, bạn phải làm theo thuật toán:
- xác định tọa độ (x 1, y 1, z 1) và x 2, y 2, z 2 của các điểm M 1 và M 2 lần lượt nằm trên các đường thẳng a và b;
- lấy tọa độ a x , a y , a z và b x , b y , b z thuộc các vectơ chỉ phương của đường thẳng a và b ;
- tìm tọa độ A, B, C thuộc vectơ n → trên mặt phẳng χ đi qua đường thẳng b nằm song song với a, theo đẳng thức n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z;
- viết phương trình tổng quát của mặt phẳng χ dưới dạng A · x - x 2 + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0;
- đưa phương trình kết quả của mặt phẳng χ về phương trình chuẩn tắc gõ cosα · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 ;
- tính khoảng cách M 1 H 1 từ M 1 x 1, y 1, z 1 đến mặt phẳng χ, dựa vào công thức M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - P.
Có hai đường thẳng cắt nhau tại hệ thống hình chữ nhật tọa độ O x y z không gian ba chiều. Dòng a được xác định phương trình tham sốđường thẳng trong không gian x = - 2 y = 1 + 2 λ z = 4 - 3 λ, đường thẳng b sử dụng phương trình chính tắcđường thẳng trong không gian x 1 = y - 1 - 2 = z + 4 6. Tìm khoảng cách giữa các đường giao nhau.
Giải pháp
Rõ ràng đường thẳng a cắt điểm M 1 (- 2, 1, 4) với vectơ chỉ phương a → = (0, 2, - 3), đường thẳng b cắt điểm M 2 (0, 1, - 4) ) với vectơ chỉ phương b → = (1 , - 2 , 6) .
Đầu tiên, bạn nên tính các vectơ chỉ phương a → = (0, 2, - 3) và b → = (1, - 2, 6) bằng công thức. Sau đó, chúng tôi nhận được điều đó
a → × b → = i → j → k → 0 2 - 3 1 - 2 6 = 6 i → - 3 j → - 2 k →
Từ đây ta suy ra n → = a → × b → là vectơ của mặt phẳng χ đi qua đường thẳng b song song với a có tọa độ 6, - 3, - 2. Chúng tôi nhận được:
6 (x - 0) - 3 (y - 1) - 2 (z - (- 4)) = 0 ⇔ 6 x - 3 y - 2 z - 5 = 0
Ta tìm hệ số chuẩn hóa cho phương trình tổng quát của mặt phẳng 6 x - 3 y - 2 z - 5 = 0. Hãy tính bằng công thức 1 6 2 + - 3 2 + - 2 2 = 1 7. Điều này có nghĩa là phương trình chuẩn sẽ có dạng 6 7 x - 3 7 y - 2 7 z - 5 7 = 0.
Cần sử dụng công thức để tìm khoảng cách từ điểm M 1 – 2, 1, 4 đến mặt phẳng, được cho bởi phương trình 6 7 x - 3 7 y - 2 7 z - 5 7 = 0 . Chúng tôi hiểu điều đó
M 1 H 1 = 6 7 (- 2) - 3 7 1 - 2 7 4 - 5 7 = - 28 7 = 4
Theo đó, khoảng cách cần thiết là khoảng cách giữa các đường giao nhau đã cho, giá trị là 4.
Trả lời: 4 .
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
Bài viết này tập trung tìm khoảng cách giữa các đường giao nhau bằng phương pháp tọa độ. Đầu tiên, định nghĩa về khoảng cách giữa các đường giao nhau được đưa ra. Tiếp theo, thu được một thuật toán cho phép người ta tìm khoảng cách giữa các đường giao nhau. Tóm lại, giải pháp cho ví dụ được phân tích chi tiết.
Điều hướng trang.
Khoảng cách giữa các đường giao nhau - định nghĩa.
Trước khi đưa ra định nghĩa về khoảng cách giữa các đường xiên, chúng ta hãy nhắc lại định nghĩa về đường xiên và chứng minh một định lý liên quan đến đường xiên.
Sự định nghĩa.
- đây là khoảng cách giữa một trong các đường giao nhau và một mặt phẳng song song với nó đi qua đường thẳng kia.
Ngược lại, khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song với nó là khoảng cách từ một điểm nào đó của đường thẳng đến mặt phẳng. Khi đó công thức sau đây về định nghĩa khoảng cách giữa các đường giao nhau là hợp lệ.
Sự định nghĩa.
Khoảng cách giữa các đường giao nhau là khoảng cách từ một điểm nhất định của một trong các đường thẳng cắt nhau đến một mặt phẳng đi qua một đường thẳng khác song song với đường thẳng thứ nhất.
Xét các đường giao nhau a và b. Hãy đánh dấu một điểm M 1 nhất định trên đường thẳng a, vẽ một mặt phẳng song song với đường thẳng a đến đường thẳng b và từ điểm M 1 hạ đường vuông góc M 1 H 1 với mặt phẳng. Độ dài đường vuông góc M 1 H 1 là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b.
Tìm khoảng cách giữa các đường giao nhau - lý thuyết, ví dụ, giải pháp.
Khi tìm khoảng cách giữa các đường giao nhau, khó khăn chính thường là nhìn hoặc dựng một đoạn có độ dài bằng khoảng cách mong muốn. Nếu một đoạn như vậy được xây dựng, thì tùy thuộc vào điều kiện của bài toán, độ dài của nó có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng định lý Pythagore, dấu bằng hoặc bằng nhau của các tam giác, v.v. Đây là thao tác chúng ta thực hiện khi tìm khoảng cách giữa các đường thẳng giao nhau trong bài học hình học lớp 10-11.
Nếu ở không gian ba chiều Oxyz được đưa vào và các đường giao nhau a và b được cho trong đó, khi đó phương pháp tọa độ cho phép chúng ta giải quyết được nhiệm vụ tính khoảng cách giữa các đường giao nhau đã cho. Chúng ta hãy xem xét nó một cách chi tiết.
Cho một mặt phẳng đi qua đường thẳng b và song song với đường thẳng a. Khi đó, khoảng cách cần thiết giữa các đường giao nhau a và b, theo định nghĩa, bằng khoảng cách từ một điểm M 1 nào đó nằm trên đường thẳng a đến mặt phẳng. Như vậy, nếu ta xác định được tọa độ của một điểm M 1 nào đó nằm trên đường thẳng a và thu được phương trình chuẩn tắc của mặt phẳng có dạng thì ta tính được khoảng cách từ điểm đó 
đến mặt phẳng bằng công thức (công thức này có được trong bài tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng). Và khoảng cách này bằng khoảng cách yêu cầu giữa các đường giao nhau.
Bây giờ chi tiết.
Vấn đề nằm ở việc tìm tọa độ của điểm M 1 nằm trên đường thẳng a và tìm phương trình pháp tuyến của mặt phẳng.
Không có khó khăn gì trong việc xác định tọa độ điểm M 1 nếu bạn biết rõ các dạng phương trình cơ bản của đường thẳng trong không gian. Nhưng cần nghiên cứu chi tiết hơn về việc thu được phương trình của mặt phẳng.
Nếu chúng ta xác định tọa độ của một điểm M 2 nhất định mà mặt phẳng đi qua và cũng thu được vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có dạng 
, khi đó chúng ta có thể viết phương trình tổng quát của mặt phẳng là .
Là điểm M 2, bạn có thể lấy bất kỳ điểm nào nằm trên đường thẳng b vì mặt phẳng đi qua đường thẳng b. Như vậy có thể coi là tìm được tọa độ của điểm M 2.
Vẫn còn phải lấy tọa độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Hãy làm điều này.
Mặt phẳng đi qua đường thẳng b và song song với đường thẳng a. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với cả vectơ chỉ phương của đường thẳng a (ký hiệu là ) và vectơ chỉ phương của đường thẳng b (ký hiệu là ). Khi đó chúng ta có thể lấy và làm vectơ, tức là . Đã xác định được tọa độ và vectơ chỉ phương của các đường thẳng a, b và tính được 
, ta sẽ tìm được tọa độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Vậy ta có phương trình tổng quát của mặt phẳng: .
Tất cả những gì còn lại là đưa phương trình tổng quát của mặt phẳng về dạng chuẩn và tính khoảng cách cần thiết giữa các đường giao nhau a và b bằng công thức.
Như vậy, để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b bạn cần:
Hãy xem giải pháp cho ví dụ.
Ví dụ.
Trong không gian ba chiều trong hệ tọa độ chữ nhật Oxyz cho hai đường thẳng cắt nhau a và b. Đường thẳng a được xác định