Cái này - bài toán hình học cổ nhất.
Hướng dẫn từng bước
Phương pháp thứ 1. - Sử dụng tam giác “vàng” hoặc “Ai Cập”. Các cạnh của tam giác này có tỷ lệ 3:4:5 và góc đúng là 90 độ. Phẩm chất này đã được sử dụng rộng rãi bởi người Ai Cập cổ đại và các nền văn hóa cổ đại khác.
Minh họa.1. Xây dựng Golden, hoặc Tam giác Ai Cập
- Chúng tôi sản xuất ba thước đo (hoặc la bàn dây - một sợi dây trên hai chiếc đinh hoặc chốt) có chiều dài 3; 4; 5 mét. Người xưa thường sử dụng phương pháp thắt nút bằng khoảng cách bằng nhau giữa họ. Đơn vị chiều dài - " nốt sần».
- Chúng tôi đóng chốt tại điểm O và gắn thước “R3 - 3 hải lý” vào đó.
- Chúng tôi căng sợi dây dọc theo biên giới đã biết– hướng tới điểm dự định A.
- Vào thời điểm đường biên giới căng thẳng - điểm A, chúng ta lái xe vào chốt.
- Sau đó - một lần nữa từ điểm O, kéo dài thước đo R4 - dọc theo đường viền thứ hai. Chúng tôi chưa đẩy chốt vào.
- Sau đó, chúng tôi kéo dài thước đo R5 - từ A đến B.
- Chúng tôi đóng chốt tại giao điểm của số đo R2 và R3. - Cái này điểm mong muốn TRONG - đỉnh thứ ba của tam giác vàng, với các cạnh 3;4;5 và vuông góc tại điểm O.
Phương pháp thứ 2. Sử dụng la bàn.
La bàn có thể là dây thừng hoặc máy đếm bước. Cm:
Máy đếm bước la bàn của chúng tôi có bước 1 mét.
Hình 2. Máy đếm bước la bàn
Xây dựng - cũng theo Hình 1.
- Từ điểm tham chiếu - điểm O - góc lân cận vẽ một đoạn có độ dài tùy ý - nhưng lớn hơn bán kính la bàn = 1m - theo mỗi hướng tính từ tâm (đoạn AB).
- Chúng ta đặt chân la bàn tại điểm O.
- Ta vẽ một đường tròn có bán kính (bước la bàn) = 1 m. Chỉ cần vẽ các cung ngắn - mỗi cung 10-20 cm, tại giao điểm với đoạn được đánh dấu (qua các điểm A và B). Với hành động này, chúng tôi đã tìm thấy những điểm cách đều tâm- A và B. Khoảng cách từ trung tâm không quan trọng ở đây. Bạn có thể chỉ cần đánh dấu những điểm này bằng thước dây.
- Tiếp theo, bạn cần vẽ các cung có tâm tại các điểm A và B, nhưng một số (tùy ý) bán kính lớn hơn, hơn R=1m. Bạn có thể định cấu hình lại la bàn của chúng tôi thành bán kính lớn hơn nếu nó có độ cao có thể điều chỉnh được. Nhưng đối với một điều nhỏ như vậy nhiệm vụ hiện tại Tôi sẽ không muốn “kéo” nó. Hoặc khi không có sự điều chỉnh. Có thể thực hiện trong nửa phút la bàn dây.
- Chúng ta đặt chiếc đinh thứ nhất (hoặc chân của một chiếc la bàn có bán kính lớn hơn 1 m) lần lượt tại các điểm A và B. Và dùng chiếc đinh thứ hai vẽ hai cung tròn - ở trạng thái căng của sợi dây - sao cho chúng giao nhau với nhau. khác. Có thể có hai điểm: C và D, nhưng một là đủ - C. Và một lần nữa, các serif ngắn ở giao điểm tại điểm C sẽ đủ.
- Vẽ đường thẳng (đoạn) đi qua hai điểm C và D.
- Tất cả! Đoạn kết quả, hoặc đường thẳng, là hướng chính xác phía bắc:). Lấy làm tiếc, - ở một góc bên phải.
- Hình vẽ cho thấy hai trường hợp có sự khác biệt về ranh giới trên khu đất của người hàng xóm. Hình 3a cho thấy trường hợp hàng rào của hàng xóm di chuyển ra khỏi hướng mong muốn và gây bất lợi cho nó. Vào ngày 3b - anh ấy đã leo lên trang web của bạn. Trong tình huống 3a, có thể xây dựng hai điểm “hướng dẫn”: cả C và D. Trong tình huống 3b, chỉ có C.
- Đặt một cái chốt ở góc O và một cái chốt tạm thời ở điểm C, đồng thời căng một sợi dây từ C đến ranh giới phía sau của địa điểm. – Sao cho dây hầu như không chạm vào chốt O. Bằng cách đo từ điểm O - theo hướng D, chiều dài cạnh theo sơ đồ chung, bạn sẽ có được góc sau bên phải chắc chắn của trang web.
Hình 3. Sự thi công góc vuông– từ góc nhà hàng xóm, sử dụng máy đếm bước chân và la bàn dây
Nếu bạn có la bàn-máy đếm bước, thì bạn có thể làm mà không cần dây thừng. Trong ví dụ trước, chúng ta đã sử dụng sợi dây để vẽ các cung có bán kính lớn hơn bán kính của máy đếm bước. Hơn nữa bởi vì những cung này phải giao nhau ở đâu đó. Để vẽ các cung bằng máy đếm bước có cùng bán kính - 1m với đảm bảo giao điểm của chúng, điều cần thiết là các điểm A và B nằm trong vòng tròn có R = 1m.
- Sau đó đo các điểm cách đều này roulette- V các mặt khác nhau từ trung tâm nhưng luôn dọc theo đường AB (hàng rào của hàng xóm). Các điểm A và B càng gần tâm thì các điểm dẫn hướng: C và D càng xa nó, và càng xa phép đo chính xác hơn. Trong hình, khoảng cách này được lấy bằng khoảng 1/4 bán kính của máy đếm bước = 260mm.
Hình 4. Tạo góc vuông bằng la bàn và thước dây
- Sơ đồ hành động này không kém phần phù hợp khi xây dựng bất kỳ hình chữ nhật nào, đặc biệt là đường viền của nền móng hình chữ nhật. Bạn sẽ nhận được nó một cách hoàn hảo. Tất nhiên, các đường chéo của nó cần phải được kiểm tra, nhưng công sức chẳng phải đã giảm đi sao? – So với khi các đường chéo, các góc và các cạnh của đường viền móng được di chuyển qua lại cho đến khi các góc gặp nhau..
Thực ra chúng tôi đã quyết định bài toán hình học trên mặt đất. Để thực hiện hành động của bạn tự tin hơn trên trang web, hãy thực hành trên giấy - sử dụng la bàn thông thường. Về cơ bản thì không có gì khác biệt.
Để xây dựng bất kỳ bản vẽ nào hoặc thực hiện đánh dấu mặt phẳng của phôi trước khi xử lý nó, cần thực hiện một số thao tác đồ họa - cấu trúc hình học.
Trong hình. Hình 2.1 thể hiện một phần phẳng - một tấm. Để vẽ bản vẽ hoặc đánh dấu đường viền trên dải thép cho quá trình sản xuất tiếp theo, bạn cần thực hiện trên mặt phẳng xây dựng, những mặt chính được đánh số bằng số ghi trên mũi tên con trỏ. Bằng số 1 chỉ ra việc xây dựng các đường vuông góc lẫn nhau, phải được thực hiện ở một số nơi, với số lượng 2 - Vẽ các đường thẳng song song bằng số 3 – ghép các đường thẳng song song này với một cung có bán kính nhất định, một số 4 - Liên hợp của cung tròn và cung thẳng bán kính nhất định, trong đó trong trường hợp này bằng 10 mm, số 5 - ghép hai cung với một cung có bán kính nhất định.
Kết quả của việc thực hiện những công trình này và các công trình hình học khác, đường viền của bộ phận sẽ được vẽ.
Xây dựng hình học là một phương pháp giải một bài toán trong đó đáp án được đưa ra bằng đồ họa mà không cần bất kỳ phép tính nào. Việc xây dựng được thực hiện bằng các công cụ vẽ (hoặc đánh dấu) một cách cẩn thận nhất có thể, bởi vì độ chính xác của giải pháp phụ thuộc vào điều này.
dòng, cho bởi điều kiện các nhiệm vụ cũng như các công trình được thực hiện như những công việc vững chắc tinh tế, và kết quả của việc xây dựng được thực hiện như những công việc cơ bản vững chắc.
Khi bắt đầu vẽ hoặc đánh dấu, trước tiên bạn phải xác định cấu trúc hình học nào cần được áp dụng trong trường hợp này, tức là. phân tích thành phần đồ họa của hình ảnh.
Cơm. 2.1.
Phân tích thành phần đồ họa của hình ảnh gọi quá trình phân chia việc thực hiện bản vẽ thành các hoạt động đồ họa riêng biệt.
Việc xác định các thao tác cần thiết để xây dựng một bản vẽ giúp việc chọn cách thực hiện nó dễ dàng hơn. Ví dụ: nếu bạn cần vẽ, tấm như trong Hình. 2.1, thì việc phân tích đường viền của hình ảnh của nó dẫn chúng ta đến kết luận rằng chúng ta phải áp dụng các cấu trúc hình học sau: trong năm trường hợp, vẽ các đường trung tâm vuông góc với nhau (hình 1 trong một vòng tròn), trong bốn trường hợp vẽ đường song song(con số 2 ), vẽ hai đường tròn đồng tâm (0 50 và 70 mm), trong sáu trường hợp dựng hai đường thẳng song song với các cung có bán kính cho trước (hình 3 ) và ở phần bốn - ghép một cung và một cung thẳng có bán kính 10 mm (hình 4 ), trong bốn trường hợp, dựng một cặp hai cung có bán kính 5 mm (số 5 trong một vòng tròn).
Để thực hiện các công trình này, bạn cần nhớ hoặc nhắc lại trong sách giáo khoa các quy tắc vẽ chúng.
Trong trường hợp này, nên chọn cách hợp lý để hoàn thành bản vẽ. Sự lựa chọn cách hợp lý giải quyết một vấn đề làm giảm thời gian dành cho công việc. Ví dụ, khi xây dựng tam giác đều, nội tiếp trong một đường tròn, một phương pháp hợp lý hơn là dựng nó bằng xà ngang và hình vuông có góc 60° mà không cần xác định trước các đỉnh của tam giác (xem Hình 2.2, một, b). Một cách ít hợp lý hơn để giải bài toán tương tự là sử dụng compa và xà ngang để xác định sơ bộ các đỉnh của tam giác (xem Hình 2.2, V.).
Chia đoạn thẳng và dựng góc
Xây dựng góc vuông
Việc xây dựng một góc 90° bằng thanh ngang và hình vuông là hợp lý (Hình 2.2). Để làm điều này, chỉ cần vẽ một đường thẳng và khôi phục đường vuông góc với nó bằng hình vuông (Hình 2.2, MỘT). Điều hợp lý là xây dựng một đoạn vuông góc với đoạn nghiêng bằng cách di chuyển (Hình 2.2, b) hoặc quay (Hình 2.2, V.) quảng trường.
Cơm. 2.2.
Cấu tạo của góc tù và góc nhọn
Các phương pháp hợp lý để dựng các góc 120, 30 và 150, 60 và 120, 15 và 165, 75 và 105,45 và 135° được thể hiện trong Hình 2. 2.3, cho thấy vị trí của các hình vuông để tạo các góc này.
Cơm. 2.3.
Chia một góc thành hai phần bằng nhau
Từ đỉnh của một góc hãy vẽ một cung của đường tròn bán kính tùy ý(Hình 2.4).
Cơm. 2.4.
Từ điểm ΜηΝ giao điểm của cung với các cạnh của góc bằng giải pháp la bàn, hơn một nửa vòng cung ΜΝ, làm cho hai giao nhau tại một điểm MỘT serif.
Qua điểm nhận được MỘT và đỉnh của góc vẽ một đường thẳng (đường phân giác của góc).
Chia góc vuông thành ba phần bằng nhau
Từ đỉnh của một góc vuông, vẽ một cung tròn có bán kính tùy ý (Hình 2.5). Không làm thay đổi góc của la bàn, hãy tạo các rãnh từ các điểm giao nhau của cung với các cạnh của góc. Thông qua số điểm nhận được M Và Ν và đỉnh của góc được vẽ bởi các đường thẳng.
Cơm. 2.5.
Bằng cách này, chỉ có góc vuông mới có thể chia thành ba phần bằng nhau.
Dựng một góc bằng một góc cho trước. Từ đầu VỀ góc đã cho vẽ một cung có bán kính tùy ý R, cắt các cạnh của góc tại các điểm M Và N(Hình 2.6, MỘT). Sau đó vẽ một đoạn thẳng sẽ đóng vai trò là một trong các cạnh của góc mới. Từ điểm VỀ 1 trên đường thẳng này có cùng bán kính R vẽ một vòng cung để lấy điểm Ν 1 (Hình 2.6, b). Từ điểm này hãy mô tả một cung có bán kính R 1, tương đương với hợp âm MN. Giao điểm của các cung cho một điểm Μ 1, được nối bằng một đường thẳng tới đỉnh của góc mới (Hình 2.6, b).
Cơm. 2.6.
Chia một đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau. Từ cuối đoạn đã cho với lỗ mở la bàn lớn hơn một nửa chiều dài của nó, hãy mô tả các cung (Hình 2.7). Đường thẳng nối các điểm thu được M Và Ν, chia một đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau và vuông góc với nó.
Cơm. 2.7.
Dựng đường vuông góc ở cuối đoạn thẳng. Từ điểm tùy ýỒ, chiếm hết phân khúc rồi AB, mô tả đường tròn đi qua một điểm MỘT(điểm cuối của đoạn thẳng) và cắt đường thẳng tại điểm M(Hình 2.8).
Cơm. 2.8.
Qua điểm nhận được M và trung tâm VỀ vòng tròn vẽ một đường thẳng cho đến khi chúng gặp nhau phía đối diện vòng tròn tại một điểm N. Dừng hoàn toàn N nối một đường thẳng với một điểm MỘT.
Chia một đoạn đường cho một số bất kỳ phần bằng nhau. Từ bất kỳ đầu nào của đoạn, ví dụ từ một điểm MỘT,được thực hiện dưới góc nhọn một đường thẳng tới nó. Trên đó, với một chiếc la bàn đo lường, họ nằm xuống đúng số các đoạn bằng nhau có kích thước tùy ý (Hình 2.9). Điểm cuối cùng được kết nối với đầu thứ hai của đoạn đã cho (đến điểm TRONG). Từ tất cả các điểm chia, dùng thước kẻ và hình vuông vẽ các đường thẳng song song với đường thẳng 9V, sẽ chia đoạn AB thành số đã cho phần bằng nhau.
Cơm. 2.9.
Trong hình. Hình 2.10 minh họa cách áp dụng cấu trúc này để đánh dấu tâm các lỗ cách đều nhau trên một đường thẳng.
Thông thường, cần phải vẽ (“dựng”) một góc bằng một góc cho trước và việc dựng hình phải được thực hiện mà không cần sự trợ giúp của thước đo góc mà chỉ sử dụng la bàn và thước kẻ. Biết cách dựng hình tam giác có ba cạnh, chúng ta có thể giải được bài toán này. Hãy để nó nằm trên một đường thẳng MN(Hình 60 và 61) cần xây dựng tại điểm K góc bằng góc B. Điều này có nghĩa là nó cần thiết từ điểm K vẽ một đường thẳng với một thành phần MN góc bằng B.
Để làm điều này, hãy đánh dấu một điểm trên mỗi cạnh của một góc nhất định, ví dụ: MỘT Và VỚI, và kết nối MỘT Và VỚIđường thẳng. Chúng ta có được một hình tam giác ABC. Bây giờ chúng ta xây dựng trên một đường thẳng MN tam giác này sao cho đỉnh của nó TRONGđã ở điểm ĐẾN: lúc này một góc sẽ được dựng bằng góc TRONG. Vẽ một tam giác bằng ba cạnh VS, VA Và AC chúng ta có thể: trì hoãn (Hình 62) từ điểm ĐẾNđoạn KL, bình đẳng Mặt trời; chúng ta có được một điểm L; xung quanh K, vì ở gần tâm nên chúng ta mô tả một đường tròn có bán kính VA, và xung quanh L – bán kính SA. Dừng hoàn toàn R chúng tôi kết nối các giao điểm của các vòng tròn với ĐẾN và Z, ta được một hình tam giác KPL, bằng một hình tam giác ABC; có một góc trong đó ĐẾN= xấu. TRONG.
Việc xây dựng này được thực hiện nhanh hơn và thuận tiện hơn nếu từ trên xuống TRONGđặt các đoạn bằng nhau (với một độ phân giải của la bàn) và không di chuyển các chân của nó, mô tả một vòng tròn xung quanh điểm có cùng bán kính ĐẾN, như gần trung tâm.
Cách chia một góc làm đôi
Giả sử chúng ta cần chia một góc MỘT(Hình 63) thành hai phần bằng nhau bằng compa và thước kẻ, không dùng thước đo góc. Chúng tôi sẽ chỉ cho bạn cách làm điều đó.
Từ đầu MỘTđặt các đoạn bằng nhau trên các cạnh của góc AB Và AC(Biểu đồ 64; điều này được thực hiện bằng cách làm tan la bàn). Sau đó chúng ta đặt đầu la bàn vào các điểm TRONG Và VỚI và mô tả bán kính bằng nhau các cung cắt nhau tại một điểm D. Kết nối thẳng MỘT và D chia góc MỘT một nửa.
Hãy giải thích tại sao lại như vậy. Nếu điểm D kết nối với TRONG và C (Hình 65), thì ta được hai hình tam giác ADC Và ADB, y trong đó có mặt chung QUẢNG CÁO; bên AB bằng bên AC, MỘT ВD bằng ĐĨA CD. Các hình tam giác có ba cạnh bằng nhau, có nghĩa là các góc bằng nhau. XẤU Và ĐẮC, nằm chống lại các cạnh bằng nhau ВD Và đĩa CD. Vì thế, thẳng QUẢNG CÁO chia góc BẠN một nửa.
Ứng dụng
12. Tạo góc 45° mà không cần thước đo góc. Ở 22°30'. Ở 67°30'.
Lời giải: Chia góc vuông làm đôi, ta được góc 45°. Chia góc 45° làm đôi, chúng ta được góc 22°30'. Bằng cách xây dựng tổng các góc 45° + 22°30', chúng ta có được góc 67°30'.
Cách dựng tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa
Giả sử bạn cần tìm trên mặt đất khoảng cách giữa hai cột mốc MỘT Và TRONG(Quỷ 66), bị ngăn cách bởi một đầm lầy không thể vượt qua.
Làm thế nào để làm điều này?
Chúng ta có thể làm điều này: chọn một điểm cách xa đầm lầy VỚI, từ đó có thể nhìn thấy cả hai cột mốc và có thể đo được khoảng cách AC Và Mặt trời. Góc VỚI chúng tôi đo bằng cách sử dụng một thiết bị đo góc đặc biệt (được gọi là str o l b i e). Theo những dữ liệu này, tức là theo các cạnh được đo A.C. Và Mặt trời và góc VỚI giữa chúng, hãy xây dựng một hình tam giác ABC một nơi nào đó ở một vị trí thuận tiện như sau. Ví dụ: đã đo một cạnh đã biết theo đường thẳng (Hình 67) AC, xây dựng với nó tại điểm VỚI góc VỚI; ở phía bên kia của góc này, phía đã biết được đo Mặt trời. kết thúc các bên đã biết, tức là điểm MỘT Và TRONGđược nối với nhau bằng một đường thẳng. Kết quả là một hình tam giác trong đó hai cạnh và góc giữa chúng có kích thước được xác định trước.
Từ phương pháp dựng hình, rõ ràng là chỉ có thể dựng được một tam giác bằng cách sử dụng hai cạnh và góc xen giữa chúng. do đó, nếu hai cạnh của một tam giác này bằng hai cạnh của tam giác kia và các góc giữa các cạnh này bằng nhau thì các tam giác đó có thể chồng lên nhau bởi tất cả các điểm, tức là các cạnh thứ ba của chúng và các góc khác cũng phải bằng nhau. Điều này có nghĩa là sự bằng nhau của hai cạnh của hình tam giác và góc giữa chúng có thể đóng vai trò là dấu hiệu cho thấy sự bằng nhau hoàn toàn của những tam giác này. Tóm lại:
Hình tam giác bằng nhau ở cả hai bên và ở góc giữa chúng.
Khi xây dựng hoặc phát triển các dự án thiết kế nhà, thường phải xây dựng một góc bằng với góc hiện có. Mẫu đến để giải cứu kiến thức trường học hình học.
Hướng dẫn
- Một góc được tạo bởi hai đường thẳng xuất phát từ một điểm. Điểm này sẽ được gọi là đỉnh của góc và các đường thẳng sẽ là các cạnh của góc.
- Sử dụng ba chữ cái để biểu thị các góc: một ở trên cùng, hai ở hai bên. Góc được đặt tên bắt đầu bằng chữ cái đứng ở một bên, sau đó là chữ cái đứng ở đỉnh và sau đó là chữ cái ở phía bên kia. Sử dụng những cách khác để chỉ ra các góc nếu bạn muốn. Đôi khi chỉ có một chữ cái được đặt tên ở trên cùng. Bạn có thể đánh dấu các góc? chữ cái Hy Lạp, ví dụ: α, β, γ.
- Có những tình huống cần vẽ một góc sao cho nó bằng một góc đã cho. Nếu không thể sử dụng thước đo góc khi vẽ hình, bạn chỉ có thể thực hiện bằng thước kẻ và compa. Giả sử trên một đường thẳng được đánh dấu trong hình vẽ bằng các chữ cái MN, bạn cần dựng một góc tại điểm K sao cho nó bằng bằng góc B. Nghĩa là từ điểm K kẻ đường thẳng tạo thành một góc với đường thẳng MN thì bằng góc B.
- Đầu tiên, đánh dấu một điểm trên mỗi cạnh của một góc cho trước, ví dụ điểm A và C, sau đó nối điểm C và A bằng một đường thẳng. Lấy tam giác ABC.
- Bây giờ dựng tam giác đó trên đường thẳng MN sao cho đỉnh B của nó nằm trên đường thẳng tại điểm K. Sử dụng quy tắc dựng tam giác có ba cạnh. Nằm cách đoạn KL từ điểm K. Anh ấy phải là bằng với đoạn Mặt trời. Đạt được điểm L.
- Từ điểm K vẽ đường tròn có bán kính bằng đoạn BA. Từ L vẽ đường tròn bán kính CA. Nối điểm kết quả (P) giao điểm của hai đường tròn với K. Thu được tam giác KPL, tam giác này sẽ bằng tam giác ABC. Bằng cách này, bạn sẽ nhận được góc K. Nó sẽ bằng góc B. Để việc xây dựng này thuận tiện hơn và nhanh hơn, hãy đặt các đoạn bằng nhau từ đỉnh B, sử dụng một lỗ la bàn, không di chuyển hai chân, mô tả một vòng tròn có cùng bán kính từ điểm K