Сервіс для вирішення рівнянь онлайн допоможе вам вирішити будь-яке рівняння. Використовуючи наш сайт, ви отримаєте не просто відповідь рівняння, а й побачите докладне рішеннятобто покрокове відображення процесу отримання результату. Наш сервіс буде корисним старшокласникам загальноосвітніх шкіл та їхнім батькам. Учні зможуть підготуватись до контрольних, іспитів, перевірити свої знання, а батьки – проконтролювати рішення математичних рівняньсвоїми дітьми. Вміння розв'язувати рівняння – обов'язкова вимогадо школярів. Сервіс допоможе вам самонавчати і підвищувати рівень знань у галузі математичних рівнянь. З його допомогою ви зможете вирішити будь-яке рівняння: квадратне, кубічне, ірраціональне, тригонометричне та ін. онлайн сервіса безцінна, адже крім правильної відповіді ви отримуєте докладне рішення кожного рівняння. Переваги розв'язання рівнянь онлайн. Вирішити будь-яке рівняння онлайн на нашому сайті ви можете абсолютно безкоштовно. Сервіс повністю автоматичний, вам нічого не доведеться встановлювати на свій комп'ютер, достатньо буде лише ввести дані та програма видасть рішення. Будь-які помилки у розрахунках або друкарські помилки виключені. З нами вирішити будь-яке рівняння онлайн дуже просто, тому обов'язково використовуйте наш сайт для вирішення будь-яких видів рівнянь. Вам необхідно лише ввести дані та розрахунок буде виконано за лічені секунди. Програма працює самостійно, без людської участі, а ви отримуєте точну та докладну відповідь. Рішення рівняння в загальному вигляді. У такому рівнянні змінні коефіцієнти та коріння, що шукаються, пов'язані між собою. Старший ступінь змінної визначає порядок такого рівняння. Виходячи з цього, для рівнянь використовують різні методита теореми для знаходження рішень. Рішення рівнянь даного типу означає знаходження шуканого коріння в загальному вигляді. Наш сервіс дозволяє вирішити навіть найскладніше алгебраїчне рівняння онлайн. Ви можете отримати як загальне рішення рівняння, так і часткове для вказаних вами числових значень коефіцієнтів. Для вирішення рівняння алгебри на сайті достатньо коректно заповнити всього два поля: ліву і праву частини заданого рівняння. У алгебраїчних рівняньзі змінними коефіцієнтами нескінченна кількістьрішень, і поставивши певні умови, з багатьох рішень вибираються приватні. Квадратне рівняння. Квадратне рівняння має вигляд ax2+bx+с=0 при а>0. Розв'язання рівнянь квадратного виглядупередбачає знаходження значень x, у яких виконується рівність ax^2+bx+с=0. Для цього є значення дискримінанта за формулою D=b^2-4ac. Якщо дискримінант менший за нуль, то рівняння не має дійсних коренів (коріння знаходиться з поля комплексних чисел), якщо дорівнює нулю, то у рівняння один дійсний корінь, і якщо дискримінант більший за нуль, то рівняння має два дійсних кореня, які перебувають за формулою: D=-b+-sqrt/2а. Для вирішення квадратного рівняння онлайн вам достатньо запровадити коефіцієнти такого рівняння (цілі числа, дроби чи десяткові значення). За наявності знаків віднімання рівняння необхідно поставити мінус перед відповідними членами рівняння. Вирішити квадратне рівняння онлайн можна і залежно від параметра, тобто змінних коефіцієнтів рівняння. З цим завданням чудово справляється наш онлайн сервіс з знаходження загальних рішень. Лінійні рівняння. Для вирішення лінійних рівнянь(або системи рівнянь) на практиці використовуються чотири основні методи. Опишемо кожен метод докладно. Метод підстановки. Розв'язання рівнянь методом підстановки вимагає виразити одну змінну через інші. Після цього вираз підставляється на інші рівняння системи. Звідси і назва методу рішення, тобто замість змінної підставляється її вираз через інші змінні. На практиці метод вимагає складних обчисленьХоча і простий у розумінні, тому рішення такого рівняння онлайн допоможе заощадити час та полегшити обчислення. Вам достатньо вказати кількість невідомих у рівнянні та заповнити дані від лінійних рівнянь, далі сервіс зробить розрахунок. Метод Гауса. В основі методу найпростіші перетворення системи з метою прийти до рівносильної системи трикутного вигляду. Із неї по черзі визначаються невідомі. На практиці потрібно вирішити таке рівняння онлайн з докладним описомзавдяки чому ви добре засвоїте метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь. Запишіть у правильному форматі систему лінійних рівнянь та врахуйте кількість невідомих, щоб безпомилково виконати рішення системи. Метод Крамер. Цим методом вирішуються системи рівнянь у випадках, коли система єдине рішення. Головне математична діятут – це обчислення матричних визначників. Рішення рівнянь методом Крамера проводиться в режимі онлайн, результат ви отримуєте миттєво з повним та детальним описом. Достатньо лише заповнити систему коефіцієнтами та вибрати кількість невідомих змінних. Матричний метод. Цей метод полягає у зборі коефіцієнтів при невідомих у матрицю А, невідомих – у стовпець Х, а вільних членів у стовпець В. Таким чином система лінійних рівнянь зводиться до матричного рівняннявиду АхХ = Ст. У цього рівняння єдине рішення тільки якщо визначник матриці А відмінний від нуля, інакше система не має рішень, або нескінченну кількість рішень. Розв'язання рівнянь матричним методомполягає у знаходженні зворотної матриціА.
Вирази, рівняння та системи рівнянь
з комплексними числами
Сьогодні на занятті ми відпрацюємо типові дії з комплексними числами, а також освоїмо техніку розв'язання виразів, рівнянь та систем рівнянь, які ці числа містять. Даний практикум є продовженням уроку, і тому якщо ви неважливо орієнтуєтеся в темі, будь ласка, пройдіть за вказаним вище посиланням. Ну а більш підготовленим читачам пропоную відразу розігрітися:
Приклад 1
Спростити вираз 
якщо . Подати результат у тригонометричній формі та зобразити його на комплексній площині.
Рішення: Отже, потрібно підставити в «страшний» дріб, провести спрощення, і перекласти отримане комплексне числов тригонометричну форму. Плюс креслення.
Як краще оформити рішення? З «навороченим» алгебраїчним виразомвигідніше розумітися поетапно. По-перше, менше розсіюється увага, і, по-друге, якщо завдання не зарахують, то буде набагато простіше відшукати помилку.
1) Спочатку спростимо чисельник. Підставимо в нього значення, розкриємо дужки і поправимо зачіску:
…Так, такий ось Квазімодо від комплексних чисел вийшов…
Нагадую, що в ході перетворень використовуються абсолютно нехитрі речі – правило множення багаточленів і рівність, що вже стала банальною. Головне, бути уважним і не заплутатися у знаках.
2) Тепер на черзі знаменник. Якщо , то:
Зауважте, в якій незвичній інтерпретації використано формула квадрата суми. Як варіант, тут можна виконати перестановку 
підформулу. Результати, звісно, збігатимуться.
3) І, нарешті, весь вираз. Якщо , то:
Щоб позбутися дробу, помножимо чисельник і знаменник на поєднане знаменнику вираз. При цьому з метою застосування формули різниці квадратівслід попередньо (і вже обов'язково!)поставити негативну дійсну частину на 2-ге місце:
А зараз ключове правило:
НІ В ЯКОМУ РАЗІ НЕ квапимося! Краще перестрахуватися та прописати зайвий крок.
У виразах, рівняннях та системах з комплексними числами самовпевнені усні обчислення загрожує, як ніколи!
На завершальному кроці відбулося гарне скорочення і це просто чудова ознака.
Примітка : Строго кажучи, тут відбувся розподіл комплексного числа на комплексне число 50 (згадуємо, що). Про цей нюанс я замовчував досі і про нього ми ще поговоримо трохи згодом.
Позначимо наше досягнення буквою
Представимо отриманий результат у тригонометричній формі. Взагалі кажучи, тут можна обійтися без креслення, але якщо потрібно, - трохи раціональніше виконати його прямо зараз: 
Обчислимо модуль комплексного числа:
Якщо виконувати креслення у масштабі 1 од. = 1 см (2 зошити клітини), то отримане значення легко перевірити за допомогою звичайної лінійки.
Знайдемо аргумент. Так як число розташоване у 2-й координатній чверті, то:
Кут просто перевіряється транспортиром. Ось у чому полягає безперечний плюс креслення.
Таким чином: – число, що шукається в тригонометричній формі.
Виконаємо перевірку:
, у чому й потрібно переконатися.
Незнайомі значення синуса та косинуса зручно знаходити по тригонометричної таблиці.
Відповідь: 
Аналогічний приклад для самостійного рішення:
Приклад 2
Спростити вираз 
де . Зобразити отримане число на комплексній площині та записати його в показовою формою.
Постарайтеся не пропускати навчальні приклади. Здаються вони, можливо, і простими, але без тренування «сісти в калюжу» не просто легко, а дуже легко. Тому «набиваємо руку».
Нерідко завдання допускає не єдиний шлях розв'язання:
Приклад 3
Обчислити , якщо , 
Рішення: перш за все, звернемо увагу на оригінальну умову – одне число представлене в алгебраїчній, а інше – у тригонометричній формі, та ще й з градусами. Давайте відразу перепишемо його у більш звичному вигляді: 
.
У якій формі проводити обчислення? Вираз, очевидно, передбачає першочергове множення і подальше зведення в 10-у ступінь формулі Муавра, яка сформульована для тригонометричної форми комплексного числа Таким чином, видається більш логічним перетворити перше число. Знайдемо його модуль та аргумент: 
Використовуємо правило множення комплексних чисел у тригонометричній формі:
якщо , то
Роблячи дріб правильним, приходимо до висновку, що можна «скрутити» 4 обороти (Рад.):
Другий спосіб вирішенняполягає в тому, щоб перевести 2-ге число в форму алгебри 
, виконати множення в алгебраїчній формі, перевести результат у тригонометричну формута скористатися формулою Муавра.
Як бачите, одна «зайва» дія. Охочі можуть довести рішення до кінця та переконатися, що результати збігаються.
В умові нічого не сказано про форму підсумкового комплексного числа, тому:
Відповідь: 
Але «для краси» або на вимогу результат неважко уявити і в формі алгебри:
Самостійно:
Приклад 4
Спростити вираз
Тут слід згадати дії зі ступенями, хоча одного корисного правилау методичці немає, воно: .
І ще одне важливе зауваження: приклад можна вирішити у двох стилях. Перший варіант – працювати з двомачислами та миритися з дробами. Другий варіант – уявити кожне число у вигляді приватного двох чисел: 
і позбавитися чотирьохповерхівості. З формальної точки зору не має значення, як вирішувати, але змістовна відмінність є! Будь ласка, добре осмисліть:
- Це комплексне число;
– це приватне двох комплексних чисел ( і ), проте залежно від контексту можна сказати і так: число , подане у вигляді приватного двох комплексних чисел.
Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.
Вирази – добре, а рівняння – краще:
Рівняння з комплексними коефіцієнтами
Чим вони відрізняються від «звичайних» рівнянь? Коефіцієнтами =)
У світлі вищенаведеного зауваження почнемо з цього прикладу:
Приклад 5
Розв'язати рівняння 
І негайна преамбула за «гарячими слідами»: спочаткуправа частина рівняння позиціонується, як приватне двох комплексних чисел ( і 13), і тому поганим тоном переписати умову з числом (хоча це і не спричинить помилки). Більш виразно дана відмінність, до речі, проглядається в дробі – якщо, умовно кажучи, то це значення в першу чергу розуміється як «повноцінний» комплексний корінь рівняння, а чи не як дільник числа , і більше – як частина числа !
Рішення, В принципі, теж можна оформити покроково, але в даному випадку шкурка вичинки не стоїть. Початкове завдання полягає в тому, щоб спростити все, що не містить невідомої «зет», внаслідок чого рівняння зведеться до вигляду:
Впевнено спрощуємо середній дріб: 
Результат переносимо у праву частину та знаходимо різницю: 
Примітка
: і знову звертаю вашу увагу на змістовний момент – тут ми не відняли з числа, а підвели дроби до спільного знаменника! Слід зазначити, що вже в ході рішення можна працювати і з числами: 
, правда, у прикладі такий стиль швидше шкідливий, ніж корисний =)
За правилом пропорції виражаємо «зет»:
Тепер можна знову розділити і помножити на сполучене вираз, але підозріло схожі числа чисельника та знаменника підказують наступний хід: 
Відповідь:
З метою перевірки підставимо отримане значення ліву частинувихідного рівняння та проведемо спрощення:
- Отримана права частина вихідного рівняння, таким чином, корінь знайдено правильно.
…Зараз-зараз… підберу вам щось цікавіше… тримайте:
Приклад 6
Розв'язати рівняння 
Це рівняннязводиться до вигляду, отже, є лінійним. Натяк, думаю, зрозумілий - дерзайте!
Звичайно ж… як можна без нього прожити:
Квадратне рівняння з комплексними коефіцієнтами
На уроці Комплексні числа для чайниківми дізналися, що квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами може мати пов'язане комплексне коріння, після чого виникає закономірне питання: а чому, власне, самі коефіцієнти не можуть бути комплексними? Сформулюю загальний випадок:
Квадратне рівняння з довільними комплексними коефіцієнтами (1 або 2 з яких або всі три можуть бути, зокрема, і дійсними)має два і лише два комплексного кореня (Можливо один з яких або обидва дійсні). При цьому коріння (як дійсні, так і з ненульовою уявною частиною)можуть збігатися (бути кратними).
Квадратне рівняння з комплексними коефіцієнтами вирішується за такою самою схемою, що і «шкільне» рівняння, з деякими відмінностями у техніці обчислень:
Приклад 7
Знайти коріння квадратного рівняння 
Рішення: на першому місці розташована уявна одиниця, і, в принципі, її можна позбутися (помножуючи обидві частини на )Однак у цьому немає особливої потреби.
Для зручності випишемо коефіцієнти:
Не втрачаємо мінус у вільного члена! …Можливо не всім зрозуміло – перепишу рівняння в стандартному вигляді 
:
Обчислимо дискримінант:
А ось і головна перешкода: 
Застосування загальної формули вилучення кореня (Див. останній параграф статті Комплексні числа для чайників)
ускладнюється серйозними труднощами, пов'язаними з аргументом підкореного комплексного числа (переконайтеся самі). Але є й інший, «алгебраїчний» шлях! Корінь будемо шукати у вигляді: 
Зведемо обидві частини квадрат: 
Два комплексні числа рівні, якщо рівні їх дійсні та їх уявні частини. Таким чином, отримуємо таку систему: 
Систему простіше вирішити підбором (Грунтовніший шлях – висловити з 2-го рівняння – підставити в 1-е, отримати і вирішити біквадратне рівняння). Припускаючи, що автор завдання не викинув, висуваємо гіпотезу, що і цілі числа. З одного рівняння випливають, що «ікс» за модулембільше, ніж «ігрок». Крім того, позитивний твірповідомляє, що невідомі одного знака. Виходячи з вищесказаного, і орієнтуючись на 2-е рівняння, запишемо всі пари: 
Очевидно, що 1-му рівнянню системи задовольняють дві останні пари, таким чином: 
Не завадить проміжна перевірка: 
що й потрібно перевірити.
Як «робочий» корінь можна вибрати будь-якезначення. Зрозуміло, що краще взяти версію без мінусів:
Знаходимо коріння, не забуваючи, до речі, що: 
Відповідь: 
Перевіримо, чи задовольняють знайдені корені рівняння 
:
1) Підставимо: 
правильне рівність.
2) Підставимо: 
правильне рівність.
Таким чином, рішення знайдено правильно.
За мотивами щойно розібраного завдання:
Приклад 8
Знайти коріння рівняння
Слід зазначити, що квадратний корінь з суто комплексногочисла чудово витягується і за допомогою загальної формули 
, де 
тому у зразку наведено обидва способи. Друге корисне зауваження стосується того, що попереднє вилучення кореня з константи не спрощує рішення.
А тепер можна розслабитися - у цьому прикладі ви відбудетеся легким переляком:)
Приклад 9
Вирішити рівняння та виконати перевірку
Рішення та відповіді наприкінці уроку.
Заключний параграф статті присвячений
системі рівнянь із комплексними числами
Розслабилися і… не напружуємося =) Розглянемо найпростіший випадок – систему двох лінійних рівнянь із двома невідомими:
Приклад 10
Розв'язати систему рівнянь. Відповідь подати в алгебраїчній та показовій формах, зобразити коріння на кресленні. 
Рішення: вже сама умова підказує, що система має єдине рішення, тобто нам потрібно знайти два числа, які задовольняють кожномурівняння системи.
Систему реально вирішити «дитячим» способом (висловити одну змінну через іншу)
, проте набагато зручніше використовувати формули Крамера. Обчислимо головний визначник
системи:
Отже, система має єдине рішення.
Повторюся, що краще не поспішати та прописувати кроки максимально докладно:
Домножуємо чисельник та знаменник на уявну одиницю і отримуємо 1-й корінь:
Аналогічно: 
Отримано відповідні праві частини, ч.т.п.
Виконаємо креслення: 
Представимо коріння у показовій формі. Для цього потрібно знайти їх модулі та аргументи:
1) - арктангенс "двійки" обчислюється "погано", тому так і залишаємо: 
ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО З ОСВІТИ
ДЕРЖАВНИЙ ОСВІТНИЙ УСТАНОВА
ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ
«ВОРОНІЗЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА АГЛЕБРИ ТА ГЕОМЕТРІЇ
Комплексні числа
(Вибрані завдання)
ВИПУСКНА КВАЛІФІКАЦІЙНА РОБОТА
за фахом 050201.65 математика
(з додатковою спеціальністю 050202.65 інформатика)
Виконала: студентка 5 курсу
фізико-математичного
факультету
Науковий керівник:
Вороніж - 2008
1. Вступ……………………………………………………...…………..…
2. Комплексні числа (вибрані завдання)
2.1. Комплексні числа в формі алгебри….……...……….….
2.2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел…………..…
2.3. Тригонометрична форма комплексних чисел
2.4. Додаток теорії комплексних чисел до вирішення рівнянь 3-го та 4-го ступеня……………..………………………………………………………
2.5. Комплексні числа та параметри………...……………………...….
3. Висновок…………………………………………………….................
4. Список літератури………………………….…………………...............
1. Вступ
У програмі математики шкільного курсутеорія чисел вводиться з прикладів множин натуральних чисел, цілих, раціональних, ірраціональних, тобто. на безлічі дійсних чисел, зображення яких заповнюють всю числову вісь. Але вже у 8 класі запасу дійсних чисел не вистачає, вирішуючи квадратні рівняння за негативного дискримінанта. Тому було необхідно поповнити запас дійсних чисел за допомогою комплексних чисел, для яких квадратний корінь негативного числамає сенс.
Вибір теми «Комплексні числа», як теми моєї випускної кваліфікаційної роботи, у тому, що поняття комплексного числа розширює знання учнів про числових системах, про розв'язання широкого класу задач як алгебраїчного, так і геометричного змісту, про розв'язання рівнянь алгебри будь-якого ступеня і про розв'язання задач з параметрами.
У цій дипломній роботі розглянуто рішення 82-х завдань.
У першій частині основного розділу «Комплексні числа» наведено рішення задач з комплексними числами в формі алгебри, визначаються операції додавання, віднімання, множення, поділу, операція сполучення для комплексних чисел в формі алгебри, ступінь уявної одиниці, модуль комплексного числа, а також викладається правило вилучення квадратного кореняіз комплексного числа.
У другій частині вирішуються задачі на геометричну інтерпретацію комплексних чисел у вигляді точок або векторів комплексної площини.
У третій частині розглянуто дії над комплексними числами у тригонометричній формі. Використовуються формули: Муавра та витяг кореня з комплексного числа.
Четверта частина присвячена вирішенню рівнянь 3-го та 4-го ступенів.
При вирішенні завдань останньої частини «Комплексні числа та параметри» використовуються та закріплюються відомості, наведені у попередніх частинах. Серія завдань розділу присвячена визначенню родин ліній у комплексній площині, заданих рівняннями (нерівностями) з параметром. У частині вправ необхідно розв'язати рівняння з параметром (над полем З). Є завдання, де комплексна змінна задовольняє водночас низку умов. Особливістю розв'язання завдань цього розділу є зведення багатьох із них до розв'язання рівнянь (нерівностей, систем) другого ступеня, ірраціональних, тригонометричних із параметром.
Особливістю викладу матеріалу кожної частини є початкове введення теоретичних засад, а згодом практичне їх застосування під час вирішення завдань.
В кінці дипломної роботипредставлений список використаної літератури. У більшості з них досить докладно та доступно викладено теоретичний матеріал, розглянуто рішення деяких завдань та надано практичні завдання для самостійного вирішення. Особлива увагахочеться звернути на такі джерела, як:
1. Гордієнко Н.А., Бєляєва Е.С., Фірстов В.Є., Серебрякова І.В. Комплексні числа та їх застосування: Навчальний посібник. . Матеріал навчального посібникавикладено у вигляді лекційних та практичних занять.
2. Шклярський Д.О., Ченцов Н.М., Яглом І.М. Вибрані завдання та теореми елементарної математики. Арифметика та алгебра. Книга містить 320 завдань, що стосуються алгебри, арифметики та теорії чисел. За своїм характером ці завдання істотно відрізняються від стандартних шкільних завдань.
2. Комплексні числа (вибрані завдання)
2.1. Комплексні числа в формі алгебри
Рішення багатьох завдань математики, фізики зводиться до розв'язання рівнянь алгебри, тобто. рівнянь виду
,де a0, a1, …, an дійсні числа. Тому дослідження алгебраїчних рівнянь є одним із найважливіших питаньу математиці. Наприклад, дійсних коренів не має квадратне рівняння з негативним дискримінантом. Найпростішим таким рівнянням є рівняння
.Щоб це рівняння мало рішення, необхідно розширити безліч дійсних чисел шляхом приєднання до нього кореня рівняння
.Позначимо цей корінь через
. Таким чином, за визначенням , або ,отже,
. називається уявною одиницею. З його допомогою та за допомогою пари дійсних чисел і складається вираз виду.Отримане вираз назвали комплексними числами, оскільки вони містили як дійсну, так і уявну частини.
Отже, комплексними числами називаються вирази виду
, І – дійсні числа, а – деякий символ, що задовольняє умові . Число називається дійсною частиною комплексного числа, а число - його уявною частиною. Для позначення використовуються символи , .Комплексні числа виду
є дійсними числамиі, отже, безліч комплексних чисел містить у собі безліч дійсних чисел. Комплексні числа виду
називаються чисто уявними. Два комплексних числа виду і називаються рівними, якщо рівні їх дійсні та уявні частини, тобто. якщо виконуються рівності, .Алгебраїчна запис комплексних чисел дозволяє виконувати операції над ними по звичайним правиламалгебри.
Застосування рівнянь поширене у житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Для наочності вирішимо таке завдання:
Обчислити \[(z_1\cdot z_2)^(10),\] якщо \
Насамперед звернемо увагу на те, що одне число представлене в алгебраїчній, інше - у тригонометричній формі. Його необхідно спростити та привести до наступного виду
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).
Вираз говорить про те, що в першу чергу робимо множення і зведення в 10-у ступінь за формулою Муавра. Ця формула сформульована для тригонометричної форми комплексного числа. Отримаємо:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
Дотримуючись правил множення комплексних чисел у тригонометричній формі, зробимо таке:
У нашому випадку:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\) pi) (3).
Роблячи дріб [[frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] правильним, приходимо до висновку, що можна "скрутити" 4 обороти [[8\pi рад.):\]
\[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]
Відповідь: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
Дане рівняння можна вирішити ще одним способом, який зводиться до того, щоб привести 2-е число в форму алгебри, після чого виконати множення в формі алгебри, перевести результат в тригонометричну форму і застосувати формулу Муавра:
Де можна вирішити систему рівнянь із комплексними числами онлайн?
Вирішити систему рівнянь можна на нашому сайті https://сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете переглянути відео інструкцію та дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у нашій групі Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте до нашої групи, ми завжди раді допомогти вам.