Інструкція
Існує кілька способів вирішення лінійних функцій. Наведемо найбільше з них. Найчастіше використовується покроковий методпідстановки. В одному з рівнянь необхідно виразити одну змінну через іншу, та підставити в інше рівняння. І так доти, доки в одному з рівнянь не залишиться лише одна змінна. Щоб вирішити його необхідно з одного боку знака рівності залишити змінну (вона може бути з коефіцієнтом), а на інший бік знака рівності всі числові дані, не забувши при перенесенні змінити знак числа протилежний. Обчисливши одну змінну, підставте її в інші вирази, продовжіть обчислення за таким же алгоритмом.
Наприклад візьмемо систему лінійної функції, Що складається з двох рівнянь:
2х + у-7 = 0;
х-у-2 = 0.
З другого рівняння зручно виразити х:
х = у +2.
Як бачите, при перенесенні з однієї частини рівності в іншу, у змінних змінився знак, як і було описано вище.
Підставляємо отриманий вираз у перше рівняння, таким чином виключаючи з нього змінну х:
2*(у+2)+у-7=0.
Розкриваємо дужки:
2у+4+у-7=0.
Компонуємо змінні та числа, складаємо їх:
3у-3 = 0.
Переносимо у праву частину рівняння, змінюємо знак:
3у = 3.
Ділимо на загальний коефіцієнт, отримуємо:
у=1.
Підставляємо отримане значення у перший вираз:
х = у +2.
Отримуємо х=3.
Ще один спосіб вирішення подібних – це почленоване двох рівнянь для отримання нового з однією змінною. Рівняння можна помножити на певний коефіцієнт, головне при цьому помножити кожен член рівняння і не забути, а потім скласти або відняти одне рівняння. Цей метод дуже заощаджує при знаходженні лінійної функції.
Візьмемо вже знайому нам систему рівнянь із двома змінними:
2х + у-7 = 0;
х-у-2 = 0.
Легко помітити, що коефіцієнт при змінній у ідентичний у першому і другому рівнянні і відрізняється лише знаком. Отже, при почленном додаванні двох цих рівнянь ми отримаємо нове, але з однієї змінної.
2х + х + у-у-7-2 = 0;
3х-9 = 0.
Переносимо числові дані на правий бікрівняння, змінюючи при цьому знак:
3х = 9.
Знаходимо загальний множник, рівний коефіцієнту, що стоїть при х і поділи обидві частини рівняння на нього:
х = 3.
Отриманий можна підставити в будь-яке з рівнянь системи, щоб обчислити:
х-у-2 = 0;
3-у-2 = 0;
-у +1 = 0;
-у=-1;
у=1.
Також можна обчислювати дані, побудувавши точний графік. Для цього необхідно знайти нулі функції. Якщо одна із змінних дорівнює нулю, то така функція називається однорідною. Вирішивши такі рівняння, ви отримаєте дві точки, необхідні і достатні для побудови прямої - одна з них розташовуватиметься на осі х, інша на осі у.
Беремо будь-яке рівняння системи та підставляємо туди значення х=0:
2 * 0 + у-7 = 0;
Отримуємо у=7. Таким чином, перша точка, назвемо її А, матиме координати А(0;7).
Для того, щоб обчислити точку, що лежить на осі х, зручно підставити значення у=0 у друге рівняння системи:
х-0-2 = 0;
х = 2.
Друга точка (В) матиме координати (2;0).
на координатної сітцівідзначаємо отримані точки і ведемо через них пряму. Якщо ви збудуєте її досить точно, інші значення х і у можна буде обчислювати прямо по ній.
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
Розглянемо функцію y=k/y. Графіком цієї функції є лінія, яка називається в математиці гіперболою. Загальний вигляд гіперболи представлений на малюнку нижче. (На графіці представлена функція y дорівнює k розділити на x, у якої k дорівнює одиниці.)
Видно, що графік складається із двох частин. Ці частини називають гілками гіперболи. Варто відзначити також, що кожна гілка гіперболи підходить в одному з напрямків дедалі ближче до осей координат. Осі координат у разі називають асимптотами.
Взагалі будь-які прямі лінії, яких нескінченно наближається графік функції, але з досягає їх, називаються асимптотами. У гіперболи, як і параболи, є осі симетрії. Для гіперболи, представленої малюнку вище, це пряма y=x.
Тепер розберемося з двома спільними випадкамигіпербол. Графіком функції y = k/x, при k ≠0, буде гіпербола, гілки якої розташовані або в першому і третьому координатних кутах, при k>0, або в другому і четвертому координатних кутах, при k<0.
Основні властивості функції y = k/x при k>0
Графік функції y = k/x при k>0
5. y>0 при x>0; y6. Функція зменшується як у проміжку (-∞;0), і на проміжку (0;+∞).
10. Область значень функції двох відкритих проміжків (-∞;0) та (0;+∞).
Основні властивості функції y = k/x при k<0
Графік функції y = k/x при k<0
1. Крапка (0; 0) центр симетрії гіперболи.
2. Осі координат – асимптоти гіперболи.
4. Область визначення функції всіх х, крім х=0.
5. y>0 при x0.
6. Функція зростає як у проміжку (-∞;0), і на проміжку (0;+∞).
7. Функція не обмежена ні знизу, ні згори.
8. Функція не має ні найбільшого, ні найменшого значень.
9. Функція безперервна на проміжку (-∞;0) та на проміжку (0;+∞). Має розрив у точці х = 0.
>>Математика: Лінійна функціята її графік
Лінійна функція та її графік
Алгоритм побудови графіка рівняння ах + by + с = 0, який ми сформулювали в § 28, за всієї його чіткості та визначеності математикам не дуже подобається. Зазвичай вони висувають претензії до перших двох кроків алгоритму. Навіщо, кажуть вони, двічі розв'язувати рівняння щодо змінної у: спочатку ах1 + Ьу + с = О, потім ахг + Ьу + с = О? Чи не краще відразу виразити з рівняння ах + by + с = 0, тоді легше буде проводити обчислення (і, головне, швидше)? Давайте перевіримо. Розглянемо спочатку рівняння 3x - 2у + 6 = 0 (див. приклад 2 § 28).
Надаючи х конкретні значеннялегко обчислити відповідні значення у. Наприклад, за х = 0 отримуємо у = 3; при х = -2 маємо у = 0; при х = 2 маємо у = 6; при х = 4 одержуємо: у = 9.
Бачите, як легко і швидко знайдені точки (0; 3), (-2; 0), (2; 6) та (4; 9), які були виділені в прикладі 2 з § 28.
Так само рівняння Ьх - 2у = 0 (див. приклад 4 з § 28) можна було перетворити на вигляд 2у = 16 -3x. далі у = 2,5 x; неважко знайти точки (0; 0) та (2; 5), які задовольняють цьому рівнянню.
Нарешті, рівняння 3x + 2у - 16 = 0 з того ж прикладу можна перетворити на вигляд 2y = 16 -3x і далі неважко знайти точки (0; 0) та (2; 5), які йому задовольняють.
Розглянемо тепер зазначені перетворення на загальному вигляді.
Таким чином, лінійне рівняння (1) з двома змінними х і у завжди можна перетворити на вигляд
y = kx + m,(2) де k,m - числа (коефіцієнти), причому .
Цей приватний виглядлінійного рівняння називатимемо лінійною функцією.
За допомогою рівності (2) легко, вказавши конкретне значення х, обчислити відповідне значення у. Нехай, наприклад,
у = 2х + 3. Тоді:
якщо х = 0, то у = 3;
якщо х = 1, то у = 5;
якщо х = -1, то у = 1;
якщо х = 3, то у = 9 тощо.
Зазвичай ці результати оформляють як таблиці:
Значення у другого рядка таблиці називають значеннями лінійної функції у = 2х + 3, відповідно, в точках х = 0, х = 1, х = -1, х = -3.
У рівнянні (1) змінні хну рівноправні, а рівнянні (2) - немає: конкретні значення ми надаємо однієї з них - змінної х, тоді як значення змінної у залежить від обраного значення змінної х. Тому зазвичай кажуть, що х – незалежна змінна (або аргумент), у – залежна змінна.
Зверніть увагу: лінійна функція – це спеціальний виглядлінійного рівняння із двома змінними. Графіком рівнянняу - kx + т, як і будь-якого лінійного рівняння з двома змінними, є пряма - її називають також графком лінійної функції y = kx + тп. Отже, справедлива наступна теорема.
приклад 1.Побудувати графік лінійної функції у = 2х+3.
Рішення. Складемо таблицю:
У другій ситуації незалежна змінна х, що позначає, як і в першій ситуації, число днів, може набувати лише значень 1, 2, 3, ..., 16. Дійсно, якщо х = 16, то за формулою у = 500 - З0x знаходимо : у = 500 - 30 16 = 20. Отже, вже на 17-й день вивезти зі складу 30 т вугілля не вдасться, оскільки на складі до цього дня залишиться всього 20 т і процес вивезення вугілля доведеться припинити. Отже, уточнена математична модель другої ситуації виглядає так:
у = 500 - ЗОд: де х = 1, 2, 3, .... 16.
У третій ситуації незалежна зміннах теоретично може прийняти будь-яке невід'ємне значення (напр., значення х = 0, значення х = 2, значення х = 3,5 і т. д.), але практично турист не може крокувати з постійною швидкістюбез сну та відпочинку скільки завгодно часу. Отже, нам потрібно було зробити розумні обмеження на х, скажімо, 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).
Нагадаємо, що геометричною моделлю нестрогої подвійної нерівності 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .
Умовимося замість фрази «х належить множині X» писати (читають: «елемент х належить множині X», е – знак приналежності). Як бачите, наше знайомство з математичною мовою постійно продовжується.
Якщо лінійну функцію у = kx + m треба розглядати не за всіх значень х, а лише для значень х з деякого числового проміжку X, то пишуть:
Приклад 2. Побудувати графік лінійної функції:
Рішення, а) Складемо таблицю для лінійної функції y = 2x + 1
Побудуємо на координатної площинихОу точки (-3; 7) та (2; -3) і проведемо через них пряму лінію. Це графік рівняння у = -2x: + 1. Далі, виділимо відрізок, що з'єднує побудовані точки (рис. 38). Цей відрізок є графік лінійної функції у = -2х+1, дехе [-3, 2].
Зазвичай кажуть так: ми збудували графік лінійної функції у = - 2х + 1 на відрізку [- 3, 2].
б) Чим відрізняється цей приклад від попереднього? Лінійна функція та сама (у = -2х + 1), отже, і її графіком служить та ж пряма. Але – будьте уважні! - цього разу х е (-3, 2), тобто значення х = -3 і х = 2 не розглядаються, вони не належать інтервалу (- 3, 2). Як ми відзначали кінці інтервалу на координатній прямій? Світлими кружальцями (рис. 39), про це ми говорили в § 26. Так само і точки (-3; 7) і B; - 3) доведеться відзначити на кресленні світлими кружальцями. Це буде нагадувати нам про те, що беруться лише ті точки прямої у = - 2х + 1, які лежать між точками, позначеними кружальцями (рис. 40). Втім, іноді у таких випадках використовують не світлі кружечки, а стрілки (рис. 41). Це неважливо, головне, розуміти, про що йдеться.
приклад 3.Знайти найбільше та найменше значення лінійної функції на відрізку.
Рішення. Складемо таблицю для лінійної функції
Побудуємо на координатній площині хоуточки (0; 4) та (6; 7) і проведемо через них пряму - графік лінійної х функції (рис. 42).
Нам потрібно розглянути цю лінійну функцію не повністю, а на відрізку, тобто для хе.
Відповідний відрізок графіка виділено на кресленні. Зауважуємо, що найбільша ордината у точок, що належать виділеній частині, дорівнює 7 - це і є найбільше значеннялінійної функції на відрізку. Зазвичай використовують такий запис: у най =7.
Зазначаємо, що найменша ордината у точок, що належать виділеній малюнку 42 частини прямої, дорівнює 4 - це і є найменше значення лінійної функції на відрізку .
Зазвичай використовують такий запис: y найм. = 4.
приклад 4.Знайти у наиб і y найм. для лінійної функції y = -1,5 x + 3,5
а) на відрізку; б) на інтервалі (1,5);
в) на напівінтервалі.
Рішення. Складемо таблицю для лінійної функції у = -l,5x + 3,5:
Побудуємо на координатній площині хОу точки (1; 2) та (5; - 4) і проведемо через них пряму (рис. 43-47). Виділимо на побудованій прямій частину, що відповідає значенням х із відрізка (рис. 43), з інтервалу A, 5) (рис. 44), з напівінтервалу (рис. 47).
а) За допомогою малюнка 43 неважко дійти невтішного висновку, що у наиб = 2 (цього значення лінійна функція досягає при х = 1), а у найм. = - 4 (цього значення лінійна функція досягає при х = 5).
б) Використовуючи малюнок 44, робимо висновок: ні найбільшого, ні найменшого значень на заданому інтервалі даної лінійної функції немає. Чому? Справа в тому, що, на відміну від попереднього випадку, обидва кінці відрізка, в яких і досягалися найбільше і найменше значення, з розгляду виключені.
в) За допомогою малюнка 45 укладаємо, що y наб. = 2 (як і першому випадку), а найменшого значеннялінійної функції немає (як і в другому випадку).
г) Використовуючи малюнок 46, робимо висновок: у най = 3,5 (цього значення лінійна функція досягає при х = 0), а у найм. не існує.
д) За допомогою малюнка 47 робимо висновок: y най = -1 (цього значення лінійна функція досягає при х = 3), а у наиб., не існує.
Приклад 5. Побудувати графік лінійної функції
у = 2х - 6. За допомогою графіка відповісти на такі питання:
а) за якого значення х буде у = 0?
б) за яких значень х буде у > 0?
в) при яких значеннях х буде у< 0?
Рішення. Складемо таблицю для лінійної функції у = 2х-6:
Через точки (0; - 6) та (3; 0) проведемо пряму - графік функції у = 2х - 6 (рис. 48).
а) у = 0 при х = 3. Графік перетинає вісь х у точці х = 3, і є точка з ординатою у = 0.
б) у > 0 при х > 3. Якщо х > 3, то пряма розташована вище осі ж, значить, ординати відповідних точокпрямий позитивні.
в) у< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A
Зауважте, що в цьому прикладі ми за допомогою графіка вирішили:
а) рівняння 2х – 6 = 0 (отримали х = 3);
б) нерівність 2х - 6> 0 (отримали х> 3);
в) нерівність 2x – 6< 0 (получили х < 3).
Зауваження. У російській мові часто той самий об'єкт називають по-різному, наприклад: «будинок», «будівля», «споруди», «котедж», «особняк», «барак», «хибара», «хатинка». У математичній мові ситуація приблизно та сама. Скажімо, рівність із двома змінними у = кх + m, де до, m – конкретні числа, можна назвати лінійною функцією, можна назвати лінійним рівняннямз двома змінними х і у (або з двома невідомими х і у), можна назвати формулою, можна назвати співвідношенням, що зв'язує х і у, можна, нарешті, назвати залежністю між х та у. Це неважливо, головне, розуміти, що у всіх випадках мова йдео математичної моделіу = кх + m
.
Розглянемо графік лінійної функції, зображений малюнку 49, а. Якщо рухатися за цим графіком зліва направо, то ординати точок графіка постійно збільшуються, ми хіба що «піднімаємося в гору». У разі математики вживають термін зростання і кажуть так: якщо k>0, то лінійна функція у = kx + m зростає.
Розглянемо графік лінійної функції, зображений малюнку 49, б. Якщо рухатися за цим графіком зліва направо, то ординати точок графіка постійно зменшуються, ми хіба що «спускаємося з гірки». У таких випадках математики вживають термін спадання і говорять так: якщо k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.
Лінійна функція у житті
А тепер давайте підіб'ємо підсумок цієї теми. Ми з вами вже познайомилися з таким поняттям, як лінійна функція, знаємо її властивості та навчилися будувати графіки. Також, ви розглядали окремі випадки лінійної функції і дізналися від чого залежить взаємне розташуванняграфіків лінійних функцій Але, виявляється, у нашій повсякденному життіми також постійно перетинаємося з цією математичною моделлю.
Давайте з вами подумаємо, які реальні життєві ситуації пов'язані з таким поняттям, як лінійні функції? А також, між якими величинами чи життєвими ситуаціямиможливо, встановлювати лінійну залежність?
Багато хто з вас, напевно, не зовсім уявляє, навіщо їм потрібно вивчати лінійні функції, адже це навряд чи стане в нагоді подальшого життя. Але тут ви глибоко помиляєтеся, тому що з функціями ми стикаємося постійно та всюди. Оскільки навіть звичайна щомісячна квартплата також є функцією, яка залежить від багатьох змінних. А до цих змінних належать метраж площі, кількість мешканців, тарифів, використання електроенергії тощо.
Звичайно ж, найпоширенішими прикладами функцій лінійної залежності, З якими ми з вами стикалися - це уроки математики.
Ми з вами вирішували завдання, де знаходили відстані, які проїжджали машини, поїзди або проходили пішоходи за певної швидкості руху. Це і є лінійні функції часу руху. Але ці приклади можна застосувати не тільки в математиці, вони присутні в нашому повсякденному житті.
Калорійність молочних продуктів залежить від жирності, а така залежність, як правило, є лінійною функцією. Так, наприклад, зі збільшенням сметані відсотка жирності, збільшується і калорійність продукту.
Тепер давайте зробимо підрахунки і знайдемо значення k і b, розв'язавши систему рівнянь:
Тепер давайте виведемо формулу залежності:
У результаті ми отримали лінійну залежність.
Щоб знати швидкість розповсюдження звуку в залежності від температури, можливо, дізнатися, застосувавши формулу: v = 331 +0,6t де v - швидкість (в м / с), t - температура. Якщо ми накреслимо графік цієї залежності, побачимо, що він буде лінійним, тобто представляти пряму лінію.
І таких практичних використаннязнань у застосуванні лінійної функціональної залежностіможна перераховувати довго. Починаючи від плати за телефон, довжини та зростання волосся і навіть прислів'їв у літературі. І цей список можна продовжувати до нескінченності.
Календарно-тематичне планування з математики, відеоз математики онлайн , Математика в школі
А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ
ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ТА НЕРІВНОСТІ I
§ 3 Лінійні функції та їх графіки
Розглянемо рівність
у = 2х + 1. (1)
Кожному значенню літери х ця рівність ставить у відповідність цілком певне значеннялітери у . Якщо, наприклад, x = 0, то у = 20 + 1 = 1; якщо х = 10, то у = 2 10 + 1 = 21; при х = - 1 / 2 маємо у = 2 (- 1 / 2) + 1 = 0 і т. д. Звернемося до ще однієї рівності:
у = х 2 (2)
Кожному значенню х ця рівність, як і рівність (1), ставить у відповідність цілком певне значення у . Якщо, наприклад, х = 2, то у = 4; при х = - 3 отримуємо у = 9 тощо. буд. Рівності (1) і (2) пов'язують між собою дві величини х і у так, що кожному значенню однієї з них ( х ) ставиться у відповідність цілком певне значення іншої величини ( у ).
Якщо кожному значення величини хвідповідає цілком певне значення величини у, то ця величина уназивається функцією від х. Величина хпри цьому називається аргументом функції у.
Таким чином, формули (1) і (2) визначають дві різні функціїаргументу х .
Функція аргументу х , що має вигляд
у = ах + b , (3)
де а і b - Деякі задані числа, називається лінійної. Прикладом лінійної функції може бути будь-яка з функцій:
у = х
+ 2 (а
= 1, b
= 2);
у
= - 10 (а
= 0, b
= - 10);
у
= - 3х
(а
= - 3, b
= 0);
у
= 0 (а = b
= 0).
Як відомо з курсу VIII класу, графіком функції у = ах + bє пряма лінія. Тому дана функціяі називається лінійною.
Нагадаємо, як будується графік лінійної функції у = ах + b .
1. Графік функції у = b . При a = 0 лінійна функція у = ах + b має вигляд у = b . Її графіком служить пряма, паралельна осі х і перетинаюча вісь у у точці з ординатою b . На малюнку 1 ви бачите графік функції у = 2 ( b > 0), але в малюнку 2- графік функції у = - 1 (b < 0).
Якщо не тільки а , але і b одно нулю, то функція у = ах + b має вигляд у = 0. І тут її графік збігається з віссю х (Рис. 3.)
2. Графік функції у = ах . При b = 0 лінійна функція у = ах + b має вигляд у = ах .
Якщо а =/= 0, то її графіком є пряма, що проходить через початок координат і нахилена до осі х під кутом φ тангенс якого дорівнює а (Рис. 4). Для побудови прямої у = ах досить знайти якусь одну її точку, відмінну від початку координат. Вважаючи, наприклад, у рівності у = ах х = 1, отримаємо у = а . Отже, точка М із координатами (1; а ) лежить на нашій прямій (рис. 4). Проводячи тепер пряму через початок координат і точку М, отримуємо пряму у = аx .
На малюнку 5 для прикладу накреслено пряму у = 2х (а > 0), але в малюнку 6 - пряма у = - х (а < 0).
3. Графік функції у = ах + b .
Нехай b > 0. Тоді пряма у = ах + b у = ах на b одиниць нагору. Як приклад на малюнку 7 показано побудову прямий у = x / 2 + 3.
Якщо b < 0, то прямая у = ах + b виходить за допомогою паралельного зсуву прямої у = ах на - b одиниць униз. Як приклад на малюнку 8 показано побудову прямий у = x / 2 - 3
Пряму у = ах + b можна збудувати й іншим способом.
Будь-яка пряма повністю визначається двома своїми точками. Тому для побудови графіка функції у = ах + b достатньо знайти якісь дві його точки, а потім провести через них пряму лінію. Пояснимо це на прикладі функції у = - 2х + 3.
При х = 0 у = 3, а при х = 1 у = 1. Тому дві точки: М з координатами (0; 3) та N з координатами (1; 1) – лежать на нашій прямій. Відзначивши ці точки на площині координат та з'єднавши їх прямою лінією (рис. 9), отримаємо графік функції у = - 2х + 3.
Замість точок М та N можна було б взяти, звичайно, й інші дві точки. Наприклад, як значення х ми могли б вибрати не 0 і 1 як вище, а - 1 і 2,5. Тоді для у ми отримали відповідно значення 5 і - 2. Замість точок М і N ми мали б точки Р з координатами (- 1; 5) і Q з координатами (2,5; - 2). Ці дві точки, як і точки М і N, повністю визначають пряму у = - 2х + 3.
Вправи
15. На тому самому малюнку побудувати графіки функций:
а) у = - 4; б) у = -2; в) у = 0; г) у = 2; д) у = 4.
Чи перетинаються ці графіки з осями координат? Якщо перетинаються, то вкажіть координати точок перетину.
16. На тому самому малюнку побудувати графіки функций:
а) у = x / 4; б) у = x / 2; в) у =х ; г) у = 2х ; д) у = 4х .
17. На тому самому малюнку побудувати графіки функций:
а) у = - x / 4; б) у = - x / 2; в) у = - х ; г) у = - 2х ; д) у = - 4х .
Побудувати графіки даних функцій (№ 18-21) та визначити координати точок перетину цих графіків з осями координат.
18. у = 3+ х . 20. у = - 4 - х .
19. у = 2х - 2. 21. у = 0,5(1 - 3х ).
22. Побудувати графік функції
у = 2x - 4;
використовуючи цей графік, з'ясувати: а) при яких значеннях х y = 0;
б) за яких значень х значення у негативні та за яких - позитивні;
в) при яких значеннях х величини х і у мають однакові знаки;
г) за яких значень х величини х і у мають різні знаки.
23. Написати рівняння прямих, поданих на рисунках 10 та 11.
24. Які з відомих вам фізичних законівописуються за допомогою лінійних функцій?
25. Як побудувати графік функції у = - (ах + b ), якщо заданий графік функції у = ах + b ?