Величинами є кількісні значенняпредметів, довжин відрізків, часу, кутів тощо.
Визначення. Величина - результат виміру, представлений числом та найменуванням одиниці виміру.
Наприклад: 1 км; 5 год. 60 км/год; 15 кг; 180°.
Величиниможуть бути незалежними або залежними одна від одної. Зв'язок величин може бути жорстко встановлений (як наприклад, 1 дм = 10 см) або може відображати залежність між величинами, виражену формулою для визначення конкретного чисельного значення(Так, наприклад, шлях залежить від швидкості і тривалості руху; площа квадрата - від довжини його сторони і т. д.).
Основа метричної системи мір довжини - метр - була введена в Росії початку XIXстоліття, а до цього для вимірювання довжин використовувалися: аршин (= 71 см), верста (= 1067 м), коса сажень (= 2 м 13 см), махова сажень (= 1 м 76 см), проста сажень (= 1 м 52 см), чверть (= 18 см), лікоть (приблизно від 35 см до 46 см), п'ядь (від 18 до 23 см).
Як бачимо, було багато величиндля виміру довжини. Із введенням метричної системи заходів жорстко закріплено залежність величин довжини:
- 1 км = 1000 м; 1 м = 100 см;
- 1 дм = 10 см; 1 см = 10 мм.
У метричній системізаходів визначено одиниці виміру часу, довжини, маси, обсягу, площі та швидкості.
Між двома і більше величинами чи системами заходів також можна встановлювати залежність, вона зафіксована у формулах, а формули виведені дослідним шляхом.
Визначення. Дві взаємно залежні величини називаються пропорційними, Якщо ставлення їх значень залишається незмінним.
Постійне відношення двох величин називається коефіцієнтом пропорційності. Коефіцієнт пропорційностіпоказує, скільки одиниць однієї величини посідає одиницю інший величини. Якщо коефіцієнти дорівнюють. То й стосунки рівні.
Відстань є твір швидкості та часу руху: звідси вивели основну формулу руху:
де S- Шлях; V- Швидкість; t- Час.
Основна формула руху - це залежність відстані від швидкості та часу руху. Така залежність називається пряно пропорційною.
Визначення. Дві змінні величини прямо пропорційні, якщо зі збільшенням (або зменшенням) у кілька разів однієї величини інша величина збільшується (або зменшується) у стільки ж разів; тобто. відношення відповідних значень таких величин є постійною величиною.
При незмінному відстані швидкість і час пов'язані іншою залежністю, яка називається назад пропорційною.
Правило. Дві змінні величини обернено пропорційні, якщо зі збільшенням (або зменшенням) однієї величини в кілька разів інша величина зменшується (або збільшується) у стільки ж разів; тобто. Добуток відповідних значень таких величин є величиною постійної.
З формули руху можна вивести ще два співвідношення, що виражають пряму і зворотну залежністьвеличин, що входять до них:
t = S: V- час руху прямо пропорційнопройденим шляхом і назад пропорційношвидкість руху (для однакових відрізків шляху чим більше швидкість, тим менше часу потрібно для подолання відстані).
V = S: t- швидкість руху прямо пропорційнапройденим шляхом і назад пропорційначасу руху (для однакових відрізків шляху чим більше
часу рухається предмет, тим менша швидкість потрібна подолання відстаней).
Усі три формули руху рівносильні і застосовуються на вирішення завдань.
Конспект уроку з інформатики та ІКТ у 11 класі
Самарін Олександр Олександрович, учитель інформатики МБОУ Савінської ЗОШ, п. Савино, Іванівської області.Тема:«Моделювання залежностей між величинами».
Опис матеріалу:даний конспект уроку буде корисний вчителям інформатики та ІКТ, які реалізують загальноосвітні програмиу 11 класах. У ході уроку учні знайомляться з математичним моделюванням та засобами моделювання величин. Цей урок є вступним до теми «Технології інформаційного моделювання».
Ціль:створення умов для оволодіння дітьми знаннями математичного моделювання та закріпити вміння роботи в програмі Microsoft Exсеl.
Завдання:
- сформувати знання про математичне моделювання;
- закріпити навички роботи у програмі Microsoft Exсel.
Заплановані результати:
Предметні:
- Сформувати уявлення про математичне моделювання;
- сформувати уявлення про функціональне, табличне та графічному способахмоделювання.
Метапредметні:
- сформувати вміння та навички використання засобів інформаційних та комунікаційних технологійдля створення табличних та графічних моделей;
- сформувати навички раціонального використаннянаявних інструментів.
Особистісні:
- розуміти роль фундаментальних знаньяк основи сучасних інформаційних технологій.
Хід уроку:
Організаційний момент та актуалізація знань
Вчитель:«Здрастуйте, хлопці. Сьогодні ми з вами розпочинаємо нову велику тему"Технології інформаційного моделювання". Але спочатку давайте запишемо домашнє завдання§ 36, питання 1,3 підготувати усно, питання №2 письмово у зошиті». На екрані проектується домашнє завдання.
Діти відкривають щоденники та записують завдання. Вчитель пояснює домашнє завдання.
Вчитель:«Хлопці, давайте згадаємо, що таке «Модель», «Моделювання», « Комп'ютерне моделювання». На екран проектується слайд "Давайте згадаємо".
Діти:«Модель – це об'єкт-замінник, який за певних умов може замінювати об'єкт-оригінал. Модель відтворює цікаві для нас властивості та характеристики оригіналу.
Моделювання - це побудова моделей, призначених для вивчення та дослідження об'єктів, процесів чи явищ.
Комп'ютерне моделювання - це моделювання, що реалізується за допомогою комп'ютерної техніки».
Вчитель:«Як ви думаєте, а що таке математичне моделювання? Що воно собою являє?
Діти:"Це моделі, побудовані за допомогою математичних формул".
Вчитель:"Наведіть приклади математичної моделі".
Діти наводять приклади різних формул.
Вчитель:«Давайте розглянемо приклад. На екран проектуються приклади.
«Час падіння тіла залежить від його початкової висоти. Рівень захворюваності мешканців міста бронхіальною астмоюзалежить від концентрації шкідливих домішоку міському повітрі». На слайді наведено залежність одних величин від інших. Тема нашого сьогоднішнього заняття «Моделювання залежностей між величинами». На екран проектується тема заняття «Моделювання залежностей між величинами».
Діти записують тему у зошит.
Вивчення нового матеріалу
Вчитель:«Щоб реалізувати математичну модель на комп'ютері необхідно мати прийоми подання залежностей між величинами. Розглянемо різні методиуявлення залежностей. Будь-яке дослідження необхідно починати з виділення кількісних характеристикдосліджуваного об'єкта. Такі показники називаються величинами. На екран проектується визначення "величини".
Давайте пригадаємо, які три основні властивості має величина?»
Діти:"Ім'я, значення, тип"
Вчитель:«Правильно. Ім'я величини може бути смисловим та символічним. Наприклад, "час" - це смислове ім'я, а "t" - символічне ім'я. Діти, наведіть приклади смислового та символічного імен». На екран проектуються види імен та їх приклади.
Приклади дітей.
Вчитель:«Якщо значення величини не змінюється, вона називається постійної величиною чи константою. Приклад константи – швидкість світла у вакуумі – з = 2,998*10^8м/с. На екран проектуються значення величини.
А які постійні величиниви знаєте, хлопці?
Відповіді дітей.
Вчитель:А як ви вважаєте, яка величина називається змінною?
Відповіді дітей.
Вчитель:Отже, змінна величина – величина, значення якої може змінюватись. Наприклад, опис процесу падіння тіла змінними величинами є висота H і час падіння t.
Третьою властивістю величини є її тип. Тип визначає безліч значень, які може набувати величина. Основні типи величин: числовий, символьний, логічний. Ми розглядатимемо величини, числового типу. На екран проектуються основні типи величин.
А тепер повернемось, наприклад, падіння тіла на землю. Позначимо всі змінні величини, також вкажемо їх розмірності (розмірності визначають одиниці, у яких є значення величин). Отже, t(с) – час падіння, Н(м) – висота падіння. Залежність уявлятимемо, нехтуючи обліком опору повітря; прискорення вільного падіння g (м/с2) вважатимемо константою. У даному прикладізалежність між величинами є цілком определенной: значення Н однозначно визначає значення t. На екран проектується приклад 1.
Тепер докладніше розглянемо приклад про рівень захворюваності на жителів міста бронхіальною астмою. Забрудненість повітря характеризуватимемо концентрацією домішок – С (мг/м2), рівень захворюваності – число хронічно хворих на астму, що припадають на 1000 жителів даного міста– Р (бол./тис.). У цьому прикладі залежність між значеннями носить більше складний характер, Так як при тому самому рівні забрудненості в різні місяці в тому самому місті рівень захворюваності може бути різним, так як на нього впливають і інші фактори. На екран проектується приклад 2.
Розглянувши два приклади, робимо висновок, у першому прикладі залежність є функціональною, тоді як у другому немає. Якщо залежність між величинами вдається подати в математичної форми, то ми маємо математичну модель. На екран проектується виведення.
Математична модель – це сукупність кількісних характеристик деякого об'єкта (процесу) та зв'язків з-поміж них, представлених мовою математики. Перший приклад відбиває фізичний закон. Ця залежністьє кореневою. У складніших завданнях математичні моделі представляються як рівняння чи систем рівнянь. У другому прикладі залежність можна уявити не в функціональній формі, а в іншій (це ми розглядатимемо на наступних уроках). На екран проектується, що відбиває приклад 1.
Приклад падіння тіла розглянемо у табличному та графічному вигляді. Перевіримо закон всесвітнього падіння тіла експериментальним шляхом (у табличному та графічному вигляді). Будемо кидати сталеву кульку з шести метрової висоти, 9 метрової і так далі (через 3 метри), заміряючи початкову висоту положення кульки та час падіння. За результатами складемо таблицю та намалюємо графік. На екран проектується графік та таблиця прикладу 1.
Якщо кожну пару значень H і t з даної таблиці підставити у формулу для першого прикладу, то формула перетвориться на рівність. Виходить, модель працює добре.
У цьому прикладі розглянуто три способи моделювання величин: функціональний (формула), табличний та графічний; однак математичною моделлюпроцесу можна назвати лише формулу. На екран проектуються методи моделювання.
Хлопці, а як ви вважаєте, який спосіб моделювання найбільш універсальний? На екран проектується питання.
Формула універсальніша, вона дозволяє визначити час падіння тіла з будь-якої висоти; маючи формулу, можна легко створити таблицю та побудувати графік.
Інформаційні моделі, що описують розвиток систем у часі, називають динамічними моделями. У фізиці динамічні моделіописують рух тіл, у біології – розвиток організмів чи популяцій тварин, у хімії – перебіг хімічних реакційі т.д.
Фізкультхвилинка
Вчитель:«А зараз трохи відпочинемо. Хлопці, сядьте зручніше на стілець, розслабтеся, розправте плечі, прогніть спину, потягніться, покрутіть головою, «побалакайте ніжками». А тепер, не повертаючи голови, подивіться праворуч, ліворуч, вгору, вниз. А зараз слідкувати за рухи моєї руки». Вчителі водить рукою у різні боки.
Практична робота
Вчитель:"Хлопці, а тепер отримані знання ми закріпимо практичною роботою на комп'ютері". На екрані проектується завдання на практичну роботу.
Завдання
Побудуйте табличну та графічну залежності швидкості від часу
v=v0+a*t, якщо відомо, що з t = 2 з, v = 8 м/с. Початкова швидкість v0 дорівнює 2 м/с.
Хлопці виконують завдання у програмі Microsoft Excel. Потім завдання перевіряється. На екрані проектується правильна відповідь до практичної роботи.
Рефлексія та підбиття підсумків
Вчитель:«Хлопці, що сьогодні ви дізналися нового? Що було вам важко? З якими труднощами ви зіткнулися під час виконання практичної роботи?» На екран проектується рефлексія.
Відповіді дітей.
Вчитель:«Дякую за роботу на уроці. До побачення».
Залежність однієї випадкової величини від значень, які приймає інша випадкова величина ( фізична характеристика), у статистиці називається регресією. Якщо цій залежності надано аналітичного вигляду, то таку форму уявлення зображують рівнянням регресії.
Процедура пошуку передбачуваної залежності між різними числовими сукупностями зазвичай включає наступні етапи:
встановлення значущості зв'язку між ними;
можливість представлення цієї залежності у формі математичного виразу (рівняння регресії).
Перший етап у вказаному статистичному аналізістосується виявлення так званої кореляції, або кореляційної залежності. Кореляція сприймається як ознака, що вказує на взаємозв'язок низки числових послідовностей. Інакше висловлюючись, кореляція характеризує силу взаємозв'язку у даних. Якщо це стосується взаємозв'язку двох числових масивів xi та yi, то таку кореляцію називають парною.
При пошуку кореляційної залежності зазвичай виявляється ймовірний зв'язок однієї виміряної величини x (для якогось обмеженого діапазону її зміни, наприклад, від x1 до xn) з іншою виміряною величиною y (також змінюється в якомусь інтервалі y1...yn). У такому разі ми матимемо справу з двома числовими послідовностями, між якими і слід встановити наявність статистичного (кореляційного) зв'язку. На цьому етапі поки не ставиться завдання визначити, чи одна з цих випадкових величин функцією, а інша - аргументом. Знаходження кількісної залежності між ними у формі конкретного аналітичного виразу y = f(x) - це вже іншого аналізу, регресійного.
Таким чином, кореляційний аналіздозволяє зробити висновок про силу взаємозв'язку між парами даних х і у, а регресійний аналізвикористовується для прогнозування однієї змінної(у) на підставі іншої(х). Інакше кажучи, у разі намагаються виявити причинно-наслідковий зв'язок між аналізованими сукупностями.
Строго кажучи, прийнято розрізняти два види зв'язку між числовими сукупностями - це може бути функціональна залежність або статистична (випадкова). За наявності функціонального зв'язку кожному значенню фактора, що впливає (аргумента) відповідає строго певна величина іншого показника (функції), тобто. зміна результативного ознаки цілком зумовлено дією факторного ознаки.
Аналітично функціональна залежність представляється в такому вигляді: y = f (x).
У разі статистичного зв'язку значення одного фактора відповідає якесь наближене значення досліджуваного параметра, його точна величинає непередбачуваною, непрогнозованою, тому одержувані показники виявляються випадковими величинами. Це означає, що зміна результативного ознаки обумовлено впливом факторного ознаки лише частково, т.к. можлива дія та інших факторів, внесок яких позначений як є: y = ф(x) + є.
За характером кореляційні зв'язку – це співвідносні зв'язку. Прикладом кореляційного зв'язку показників комерційної діяльностіє, наприклад, залежність сум витрат обігу обсягу товарообігу. У цьому крім факторного ознаки х (обсягу товарообігу) на результативний ознака у (суму витрат звернення) впливають та інші чинники, зокрема і невраховані, породжують внесок є.
Для кількісної оцінкиіснування зв'язку між сукупностями випадкових величин, що вивчаються, використовується спеціальний статистичний показник - коефіцієнт кореляції r.
Якщо передбачається, що цей зв'язок можна описати лінійним рівнянням типу y=a+bx (де a та b - константи), то прийнято говорити про існування лінійної кореляції.
Коефіцієнт r – це безрозмірна величина, вона може змінюватися від 0 до ±1. Чим ближче значеннякоефіцієнта до одиниці (неважливо, з яким знаком), тим більшою впевненістю можна стверджувати, що між двома аналізованими сукупностями змінних існує лінійний зв'язок. Іншими словами, значення якоїсь однієї з цих випадкових величин (y) істотно залежить від того, яке значення набуває інша (x).
Якщо виявиться, що r = 1 (або -1), то має місце класичний випадок суто функціональної залежності (тобто реалізується ідеальний взаємозв'язок).
При аналізі двовимірної діаграми розсіювання можна знайти різні взаємозв'язки. Найпростішим варіантом є лінійний взаємозв'язок, який виражається в тому, що точки розміщуються випадковим чиномвздовж прямої лінії. Діаграма свідчить про відсутність взаємозв'язку, якщо точки розташовані випадково, і при переміщенні зліва направо неможливо виявити будь-який ухил (ні вгору, ні вниз).
Якщо точки на ній групуються вздовж кривої лінії, діаграма розсіювання характеризується нелінійним взаємозв'язком. Такі ситуації цілком можливі
Регресійного аналізу
Обробка результатів експерименту методом
При вивченні процесів функціонування складних системдоводиться мати справу з низкою одночасно діючих випадкових величин. Для з'ясування механізму явищ, причинно-наслідкових зв'язків між елементами системи тощо, за отриманими спостереженнями намагаємося встановити взаємовідносини цих величин.
У математичний аналіззалежність, наприклад, між двома величинами виражається поняттям функції
де кожному значенню однієї змінної відповідає лише одне значення інший. Така залежність зветься функціональною.
Набагато складніше справа з поняттям залежності випадкових величин. Як правило, між випадковими величинами (випадковими факторами), що визначають процес функціонування складних систем, зазвичай існує такий зв'язок, при якому зі зміною однієї величини змінюється розподіл іншої. Такий зв'язок називається стохастичної, або імовірнісний. При цьому величину зміни випадкового фактора Y, що відповідає зміні величини Х, можна розбити на два компоненти. Перший пов'язаний із залежністю Yвід X, а другий із впливом "власних" випадкових складових величин Yі X. Якщо перший компонент відсутній, то випадкові величини Yі Xє незалежними. Якщо відсутній другий компонент, то Yі Xзалежать функціонально. За наявності обох компонентів співвідношення між ними визначає силу або тісноту зв'язку між випадковими величинами. Yі X.
Існують різні показники, які характеризують ті чи інші сторони стохастичного зв'язку Так, лінійну залежністьміж випадковими величинами Xі Yвизначає коефіцієнт кореляції.
де – математичні очікування випадкових величин X та Y.
– середні квадратичні відхиленнявипадкових величин Xі Y.
Лінійна ймовірнісна залежність випадкових величин полягає в тому, що при зростанні однієї випадкової величини інша має тенденцію зростати (або зменшуватися) лінійному закону. Якщо випадкові величини Xі Yпов'язані строгою лінійною функціональною залежністю, наприклад,
y=b 0 +b 1 x 1,
то коефіцієнт кореляції дорівнюватиме ; причому знак відповідає знаку коефіцієнта b 1. Якщо величини Xі Yпов'язані довільною стохастичною залежністю, то коефіцієнт кореляції буде змінюватися в межах
Слід наголосити, що для незалежних випадкових величин коефіцієнт кореляції дорівнює нулю. Однак коефіцієнт кореляції як показник залежності між випадковими величинами має серйозні недоліки. По-перше, з рівності r= 0 не слідує незалежність випадкових величин Xі Y(за винятком випадкових величин, підпорядкованих нормальному законурозподіли, для яких r= 0 означає одночасно відсутність будь-якої залежності). По-друге, крайні значення також дуже корисні, оскільки відповідають не всякої функціональної залежності, лише суворо лінійної.
Повний описзалежності Yвід X, і притому виражене в точних функціональних співвідношеннях, можна отримати, знаючи умовну функціюрозподілу.
Слід зазначити, що при цьому одна з тих, що спостерігаються змінних величинвважається невипадковою. Фіксуючи одночасно значення двох випадкових величин Xі Y, ми при зіставленні їх значень можемо віднести всі помилки лише до величини Y. Таким чином, помилка спостереження складатиметься з власної випадкової помилки величини Yі з помилки зіставлення, що виникає через те, що з величиною Yзіставляється не зовсім те значення X, що мало місце насправді.
Проте відшукання умовної функції розподілу, зазвичай, виявляється дуже складним завданням. Найбільш просто досліджувати залежність між Хі Yпри нормальному розподілі Y, оскільки воно повністю визначається математичним очікуванням та дисперсією. В цьому випадку для опису залежності Yвід Xне потрібно будувати умовну функцію розподілу, а достатньо лише вказати, як за зміни параметра Xзмінюються математичне очікування та дисперсія величини Y.
Таким чином, ми приходимо до необхідності пошуку лише двох функцій:
(3.2)
Залежність умовної дисперсії Dвід параметра Хносить назву сходастичноїзалежності. Вона характеризує зміну точності методики спостережень при зміні параметра та використовується досить рідко.
Залежність умовного математичного очікування Mвід Xносить назву регресії, вона дає справжню залежність величин Хі У, позбавлену всіх випадкових нашарувань. Тому ідеальною метою будь-яких досліджень залежних величин є відшукання рівняння регресії, а дисперсія використовується лише з оцінки точності отриманого результату.
Поняття величини, що приймає різні чисельні значення, є відображенням змінності дійсності, що нас оточує.
Математика вивчає взаємозв'язки між різними величинами. З шкільного курсунам відомі формули, що пов'язують різні величини:
площа квадрата та довжину його сторони: S = а 2 ,
об'єм куба і довжину його ребра: V = а 3 ,
відстань, швидкість, час: S = V t,
вартість, ціну та кількість: М = з k та ін.
Дошкільнята не вивчають точні зв'язки, але трапляються з властивостями цих залежностей. Наприклад:
Чим довший шлях, тим більше часу необхідно витратити,
Чим більша ціна, тим більша вартість товару,
У більшого квадрата сторона довша.
Ці властивості використовуються дітьми в міркуваннях та допомагають їм правильно робити висновки.
4.5. Історія розвитку системи одиниць величин
Примітка: Лекція починається з повідомлень на теми:«Історія створення та розвитку систем одиниць величин»;«Міжнародна система одиниць», попередньо підготовленістудентами.
У розвитку одиниць величин можна назвати кілька періодів:
I. Одиниці довжини ототожнюються з частинами тіла:
долоня –ширина чотирьох пальців,
лікоть –довжина руки від кисті до ліктя,
фут -довжина ступні,
дюйм -довжина суглоба великого пальцята ін.
Як одиниці площі використовувалися такі одиниці: колодязь –площа, яку можна полити з одного колодязя,
соха чи плуг- Середня площа, оброблена за день сохою або плугом.
Нестача таких одиниць – нестабільні, необ'єктивні.
II. У XIV-XVI століттях з'являються об'єктивні одиниці у зв'язку з розвитком торгівлі:
дюйм– довжина трьох приставлених один до одного ячмінних зерен;
фут -ширина 64 ячмінних зерен, покладених пліч-о-пліч,
карат -маса насіння одного з видів бобів.
Недолік: немає взаємозв'язку між одиницями величин.
III. Введення одиниць, взаємопов'язаних один з одним:
3 аршини –сажень,
500 сажнів –верста,
7 верст -миля.
Недолік: різних країнахрізні одиниці величин, що гальмує міжнародні відносини, наприклад, торгівлю.
IV. Створення нової системи одиниць мови у Франції кінці XVIII в.
Основна одиниця довжини – метр –одна сорокамільйонна частина довжини земного меридіана, що проходить через Париж, «метр» - грец. metron - "захід".
Всі інші величини були пов'язані з метром, тому нова система величин отримала назву метричної системи заходів:
ар– площа квадрата із стороною 10 м;
літр -об'єм куба із довжиною ребра 0,1 м;
грам- Маса чистої води, Що займає об'єм куба з довжиною ребра 0,01 м.
Були введені десяткові кратні та подільні одиниці за допомогою приставок:
кіло – 10 3 деци – 10 -1
гекто – 10 2 санти – 10 -2
дека - 10 1 мілі - 10 -3.
Недолік: з розвитком павуки були потрібні нові одиниці і точніший вимір.
V. У 196Ог. XI Генеральна конференція заходів та ваг прийняла рішення про введення Міжнародної системиодиниць СІ.
SI - система міжнародна.
У цій системі 7 основних одиниць ( метр, кілограм, секунда, ампер, кельвін, моль, кандела) та 2 додаткові ( радіан, стерадіан).
Ці одиниці, визначені у курсі фізики, не змінюються за будь-яких умов.
Величини, що визначаються через них, називаються похідними величинами:
площа –квадратний метр - м 2
обсяг –кубічний метр - м 3
швидкість –метр за секунду - м/с та ін.
У нашій країні використовуються і позасистемні одиниці:
маса -тонна,
площа –гектар,
температура– градус Цельсія,
час –хвилина, година, рік, століття та ін.
Завдання для самостійної роботи.
Придумайте завдання для дошкільнят, що відображають властивості довжини, площі, маси, часу.
Придумайте план навчання дошкільнят виміру довжини (смужками), обсягу (склянками).
Придумайте розмову з дошкільнятами про системні одиниці величин: метр, кілограм, секунду та ін.
Випишіть старовинні одиницівеличин, які у дитячої літературі. Знайдіть у довідниках їх значення у системі СІ. У яких країнах вони зародились?
Наприклад, чому Дюймовочку так назвали? Чому дорівнює 1дюйм у мм?