Фізичне та математичне моделювання. Фізичні та математичні моделі

Сторінка 3

Зі сказаного ясно, що фізичне та математичне моделювання (або, що те саме, фізичне та математичне дослідження) фізико-хімічних процесів не можна здійснити незалежно один від одного. Математичний опис та математична модель з'являються в результаті фізичного дослідження (моделювання) процесів. Оскільки математичне моделювання не є самоціллю, а є засобом для оптимального здійснення процесу, то результати його використовуються для створення оптимального фізичного об'єкта. Дослідження на цьому об'єкті (нове фізичне моделювання) дозволяють перевірити результати математичного моделювання та покращити математичну модель для вирішення нових завдань.

У книзі розглянуто застосування методів фізичного та математичного моделювання для вирішення низки технічних проблем, що виникають в інженерній практиці розробки, масштабування та управління хімічними процесами нафтопереробки.

Відносна роль та взаємозв'язок методів фізичного та математичного моделювання при дослідженнях - до певної міри питання кон'юнктурне, що залежить від рівня розвитку обчислювальної техніки, прикладної математики та техніки експериментальних досліджень. Ще порівняно недавно (до появи та впровадження у практику ЕОМ) фізичне моделювання було основним способом переходу від пробірки до заводу.

Слід зупинитися і на труднощах фізичного та математичного моделювання колонних апаратів, так як в даному випадку є двофазна система з важкомодельованими і розрахунковими моментами міжфазних переходів. Струмене впорскування і барботаж газу створюють складну гідродинамічну картину в колонних апаратах. Навіть найбільш спрощена (квазигомогенная) модель колонних апаратів призводить до нелінійним системам рівнянь у приватних похідних, аналіз яких у час навіть із використанням засобів електронно-обчислювальної техніки становить певні труднощі.

Наводиться короткий обнор робіт з фізичного та математичного моделювання процесів філ'трагдаї в газових та газоконденсатках родовищу. Визначаються основні напрями майбутніх досліджень щодо кожного з бачивши моделювання.

З існуючих методів найбільш широко застосовується фізичне та математичне моделювання. Цей поділ є умовним, оскільки обидва методи моделюють фізичні величини у вигляді самих фізичних величин. Відмінність у тому, що у першому випадку моделювання здійснюється з допомогою фізичних величин тієї ж природи, у другому - фізичний процес однієї природи замінюється фізичним процесом інший природи, але отже обидва фізичні явища підпорядковуються однаковим законам. Вони визнаються аналогічними та математично описуються рівняннями однакової структури. Так, електрична система з індуктивністю, ємністю і опором може бути математичною моделлю вантажу, що коливається на пружині. Тут зарядка конденсатора, а потім його розрядка внаслідок замикання через опір і ємність аналогічні відхилення вантажу від положення рівноваги та подальшого коливання.

У сучасній експериментальній практиці широко застосовують фізичне та математичне моделювання, яке є незамінним у тих випадках, коли не можна визначити параметри машин розрахунковими методами, а побудова їх дослідних зразків для експериментального дослідження потребує великих матеріальних витрат і часу.

Під час проектування розробки газоконденсатних родовищ проводять комплексне фізичне та математичне моделювання процесу диференціальної конденсації пластових сумішей. В результаті цих досліджень отримують величину тиску початку конденсації, прогнозні дані про динаміку випадання і подальшого випаровування рідкої фази при зменшенні тиску, складі і властивостях видобувної суміші, коефіцієнтах конденсато - і компонентовіддачі.

У багатьох випадках доцільно комбінувати установки фізичного та математичного моделювання на єдину систему, що дозволяє поєднати переваги обох методів.

Ця теорія, заснована на поєднанні фізичного та математичного моделювання, виходить з того, що вказаний вище масштабний ефект зумовлений переважно погіршенням структури потоків зі збільшенням розмірів апарату, і насамперед зростанням нерівномірності розподілу швидкостей по поперечному перерізу апарату.

Формування фізико-геологічної моделі базується на результатах фізичного та математичного моделювання. Так, при фізичному моделюванні створюються штучні моделі з близькими до гірських пород фізичними властивостями та з дотриманням умов подібності, при математичному моделюванні розраховуються фізичні поля для заданих фізичних властивостей з використанням відповідних рівнянь теорії потенційних полів чи диференціальних хвильових рівнянь.

У чому полягає важлива різниця між фізичним і математичним моделюванням.

Цей висновок підтверджується численними дослідами, фізичним та математичним моделюванням контуру.

При розробці нових процесів та апаратів застосовують фізичне та математичне моделювання.

Необхідно мати на увазі, що не можна протиставляти фізичне та математичне моделювання.

Так як поняття «моделювання» є досить загальним і універсальним, до способів моделювання відносяться такі різні підходи як, наприклад, метод мембранної аналогії (фізичне моделювання) і методи лінійного програмування (оптимізаційне математичне моделювання). Щоб упорядкувати вживання терміна «моделювання» вводять класифікацію різних способів моделювання. У найбільш загальної формі виділяються дві групи різних підходів до моделювання, що визначаються поняттями «фізичне моделювання» та «ідеальне моделювання».

Фізичне моделювання здійснюється шляхом відтворення досліджуваного процесу на моделі, що має в загальному випадку відмінну від оригіналу природу, однак однаковий математичний опис процесу функціонування.

Сукупність підходів до дослідження складних систем, що визначається терміном « математичне моделювання», є одним із різновидів ідеального моделювання. Математичне моделювання ґрунтується на використанні для дослідження системи сукупності математичних співвідношень (формул, рівнянь, операторів тощо), що визначають структуру досліджуваної системи та її поведінку.

Математична модель - це сукупність математичних об'єктів (чисел, символів, множин і т.д.), що відбивають найважливіші для дослідника властивості технічного об'єкта, процесу чи системи.

Математичне моделювання - це процес створення математичної моделі та оперування нею з метою отримання нової інформації про об'єкт дослідження.

Побудова математичної моделі реальної системи, процесу чи явища передбачає вирішення двох класів завдань, пов'язаних із побудовою «зовнішнього» та «внутрішнього» опису системи. Етап, пов'язаний із побудовою зовнішнього опису системи називається макропідходом. Етап, пов'язаний з побудовою внутрішнього опису системи, називається мікропідходом.

Макропідхід- спосіб, з якого виробляється зовнішній опис системи. На етапі побудови зовнішнього опису робиться упор на спільну поведінку всіх елементів системи, що точно вказується, як система відгукується на кожну з можливих зовнішніх (вхідних) впливів. Система розглядається як «чорна скринька», внутрішня будова якої невідома. У процесі побудови зовнішнього опису дослідник має можливість, впливаючи по-різному на вхід системи, аналізувати її реакцію на відповідні вхідні впливи. У цьому ступінь розмаїття вхідних впливів принципово пов'язані з розмаїттям станів виходів системи. Якщо кожну нову комбінацію вхідних впливів система реагує непередбачуваним чином, випробування необхідно продовжувати. Якщо на підставі отриманої інформації може бути побудована система, яка точно повторює поведінку досліджуваної, задачу макропідходу можна вважати вирішеною.

Отже, метод «чорної скриньки» полягає в тому, щоб виявити, наскільки це можливо, структуру системи та принципи її функціонування, спостерігаючи лише входи та виходи. Подібний спосіб опису системи певним чином аналогічний до табличного завдання функції.

При мікропідходіструктура системи передбачається відомою, тобто передбачається відомим внутрішнім механізмом перетворення вхідних сигналів у вихідні. Дослідження зводиться до розгляду окремих елементів системи. Вибір цих елементів неоднозначний і визначається завданнями дослідження та характером досліджуваної системи. При використанні мікропідходу вивчається структура кожного з виділених елементів, їх функції, сукупність та діапазон можливих змін параметрів.

Мікропідхід - спосіб, за допомогою якого виробляється внутрішній опис системи, тобто опис системи у функціональній формі.

Результатом цього етапу дослідження має з'явитися висновок залежностей, що визначають зв'язок між множинами вхідних параметрів, параметрів стану та вихідних параметрів системи. Перехід від зовнішнього опису системи до її опису називають завданням реалізації.

Завдання реалізації полягає у переході від зовнішнього опису системи до її внутрішнього опису. Завдання реалізації є одним із найважливіших завдань у дослідженні систем і, по суті, відображає абстрактне формулювання наукового підходу до побудови математичної моделі. У такій постановці завдання моделювання полягає у побудові безлічі станів та вхід-вихідного відображення досліджуваної системи на основі експериментальних даних. В даний час завдання реалізації вирішено у загальному вигляді для систем, у яких відображення вхід-вихід лінійно. Для нелінійних систем загального вирішення завдання реалізації поки що не знайдено.

Моделювання

Моделювання та його види

Моделювання є одним із основних методів сучасних наукових досліджень.

Моделювання –це дослідження об'єктів пізнання на їх моделях, побудова та вивчення моделей реально існуючих предметів, явищ та об'єктів, що конструюються. Це відтворення властивостей об'єкта, що вивчаються, або явища за допомогою моделі при її функціонуванні в певних умовах. Модель– це образ, структура чи матеріальне тіло, які відтворюють із тією чи іншою мірою подібності явище чи об'єкт. Модель ізоморфна (подібна, аналогічна) з натурою (оригіналом), узагальненням якої вона є. Вона відтворює найбільш характерні ознаки об'єкта, що вивчається, вибір яких визначається метою дослідження. Модель завжди приблизно відображає об'єкт або явище. В іншому випадку модель перетворюється на об'єкт і втрачає своє самостійне значення.

Для отримання рішення модель повинна бути досить простою і в той же час вона повинна відображати суть завдання, щоб знайдені з її допомогою результати мали сенс.

У процесі пізнання людина завжди, більш менш явно і свідомо, будує моделі ситуацій навколишнього світу і керує своєю поведінкою відповідно до висновків, отриманих ним при вивченні моделі. Модель завжди відповідає конкретній меті та обмежена рамками поставленого завдання. Модель системи управління для фахівця з автоматики докорінно відрізняється від моделі цієї системи для фахівця з надійності. Моделювання в конкретних науках пов'язують із з'ясуванням (або відтворенням) властивостей будь-якого об'єкта, процесу або явища за допомогою іншого об'єкта, процесу або явища, причому зазвичай передбачається дотримання певних кількісних співвідношень між моделлю та оригіналом. Розрізняють три види моделювання.

1. Математичне (абстрактне) моделювання ґрунтується на можливості опису досліджуваного процесу або явища мовою деякої наукової теорії (найчастіше математичною).

2. Аналогове моделювання ґрунтується на ізоморфізмі (подібності) явищ, що мають різну фізичну природу, але описуються однаковими математичними рівняннями. Прикладом може бути вивчення гідродинамічного процесу з допомогою дослідження електричного поля. Обидва ці явища описуються диференціальним рівнянням Лапласа в приватних похідних, вирішення якого звичайними методами можливе лише для окремих випадків. У той же час, експериментальні дослідження електричного поля набагато простіше відповідних досліджень у гідродинаміці.

3. Фізичне моделювання полягає у заміні вивчення деякого об'єкта чи явища експериментальним дослідженням його моделі, має ту ж фізичну природу. У науці будь-який експеримент, проведений з метою виявлення тих чи інших закономірностей досліджуваного явища чи перевірки правильності і меж застосування теоретичних результатів, фактично є моделювання, оскільки об'єкт дослідження – конкретна модель (зразок), що має певними фізичними властивостями. У техніку фізичне моделювання використовують тоді, коли важко провести натурний експеримент. В основу фізичного моделювання покладено теорію подібності та аналіз розмірностей. Необхідною умовою реалізації цього виду моделювання є геометрична подоба (подібність форми) та фізична подоба моделі та оригіналу: у подібні моменти часу та у подібних точках простору значення змінних величин, що характеризують явища, для оригіналу повинні бути пропорційні тим же значенням для моделі. Це дозволяє здійснювати відповідний перерахунок даних.

Математичне моделювання та обчислювальний експеримент.

Нині найбільшого поширення набули математичні моделі, реалізовані на ЕОМ. При побудові даних моделей можна назвати такі этапы:

1. Створення або вибір моделі, що відповідає поставленій задачі.

2. Створення умов функціонування моделі.

3. Експеримент на моделі.

4. Обробка результатів.

Розглянемо докладніше перелічені вище етапи.

На математичний опис досліджуваного об'єкта (процесу) першому етапі накладається ряд вимог: розв'язність використовуваних рівнянь, відповідність математичного описи досліджуваному процесу з припустимою точністю, адекватність прийнятих припущень, практична доцільність використання моделі. Ступінь задоволення цих вимог визначає характер математичного опису та є найбільш складною та трудомісткою частиною при створенні моделі.

Мал. 2.1. Схема процесу побудови математичної моделі

Реальні фізичні явища зазвичай дуже складні, і їх ніколи не можна проаналізувати точно і в повному обсязі. Побудова моделі завжди пов'язані з компромісом, тобто. з прийняттям припущень у яких справедливі рівняння моделі (рис. 2.1). Таким чином, щоб за допомогою моделі можна було отримати результати, що мають сенс, вона повинна бути досить детальною. У той же час вона повинна бути досить простою, щоб можна було отримати рішення при обмеженнях накладених на результат таких факторів як терміни, швидкодія ЕОМ, кваліфікація виконавців і т.д.

Математична модель, що відповідає вимогам першого етапу моделювання, обов'язково містить систему рівнянь основного визначального процесу або процесів. Лише така модель придатна для моделювання. Ця властивість є основою відмінності моделювання від розрахунку і визначає можливість використання моделі для моделювання. Розрахунок зазвичай базується на основі залежностей, отриманих раніше, при дослідженнях процесу, і тому відображає певні властивості об'єкта (процесу). Отже методику розрахунку можна назвати моделлю. Але функціонування такої моделі відтворює не досліджуваний процес, а вивчений. Очевидно, поняття моделювання та розрахунку чітко не розмежовуються, тому що при математичному моделюванні на ЕОМ алгоритм моделі зводиться до розрахунку. Але в цьому випадку розрахунок має допоміжний характер, так як результати розрахунку дозволяють отримати зміну кількісних характеристик моделі. Самостійного значення, яке має моделювання, у разі розрахунок мати неспроможна.

Розглянемо другий етап моделювання. Модель у ході експерименту так само, як і об'єкт, функціонує в певних умовах, які задаються програмою експерименту. Умови моделювання не входять у поняття моделі, тому з однією моделлю можна проводити різні експерименти при завданні різних умов моделювання. Математичному опису умов функціонування моделі, незважаючи на однозначність тлумачення, що здається, необхідно приділяти серйозну увагу. При описі математичної моделі деякі несуттєві процеси слід замінювати експериментальними даними та залежностями або трактувати спрощено. Якщо ці дані не будуть повністю відповідати передбачуваним умовам функціонування моделі, результати моделювання можуть бути неправильними.

Після отримання математичного опису моделі та умов функціонування складають алгоритми розрахунків, блок-схеми програм для ЕОМ, а потім програми.

У процесі налагодження програм їх складові та окремі програми загалом піддаються всебічної перевірки виявлення помилки чи недостатності математичного описи. Перевірку проводять шляхом зіставлення даних з відомими фактичними даними. Остаточною перевіркою є контрольний експеримент, який здійснюють за однакових умов з проведеним раніше експериментом безпосередньо на об'єкті. Збіг з достатньою точністю результатів експерименту на моделі та експерименту на об'єкті є підтвердженням відповідності моделі та об'єкта (адекватності моделі реальному об'єкту) та достовірності результатів подальших досліджень.

Налагоджена та відповідна прийнятим положенням програма моделювання на ЕОМ має всі необхідні елементи для проведення самостійного експерименту на моделі (третій етап), який називають також обчислювальним експериментом.

Четвертий етап математичного моделювання – обробка результатів не відрізняється від обробки результатів звичайного експерименту.

Докладніше розглянемо поширене нині поняття обчислювального експерименту. Обчислювальним експериментомназивається методологія та технологія досліджень, засновані на застосуванні прикладної математики та ЕОМ як технічної бази при використанні математичних моделей. У таблиці наведено порівняльну характеристику натурного та обчислювального експериментів. (Натурний експеримент поводиться в природних умовах та на реальних об'єктах).

Порівняльна характеристика натурного та обчислювального експериментів

Таблиця 2.1

	Натурний експеримент	Обчислювальний експеримент
Основні етапи	1. Аналіз та вибір схеми експерименту, уточнення елементів установки, її конструкції.	1. За підсумками аналізу об'єкта (процесу) вибирається чи створюється математична модель.
2. Розробка конструкторської документації, виготовлення експериментальної установки та її налагодження.	2. Для обраної математичної моделі складається алгоритм розрахунку, створюється програма машинного рахунку.
3. Пробне вимірювання параметрів на установці відповідно до програми експерименту.	3. Пробний машинний рахунок відповідно до програми обчислювального експерименту.
4. Детальний аналіз результатів експерименту, уточнення конструкції установки, її доведення, оцінка ступеня достовірності та точності проведених вимірів.	4. Детальний аналіз результатів розрахунків для уточнення та коригування алгоритму та програм рахунку, доведення програми.
5. Проведення чистових експериментів відповідно до програми.	5. Остаточний машинний рахунок відповідно до програми.
6. Обробка та аналіз експериментальних даних.	6. Аналіз результатів машинного рахунку.
Переваги	Як правило, більш достовірні дані про об'єкт (процес, що вивчається)	Широкі можливості, велика інформативність та доступність.

Дозволяє отримати значення всіх параметрів, що цікавлять.

Можливість якісно та кількісно простежити функціонування об'єкта (еволюцію процесів).

Порівняльна простота уточнення та розширення математичної моделі.
послідовність застосування цих формул; набір цих формул н умов зветься обчислювального алгоритму. Обчислювальний експеримент має багатоваріантний характер, оскільки рішення поставлених завдань часто залежить від численних вхідних параметрів. Проте кожен конкретний розрахунок у обчислювальному експерименті проводиться за фіксованих значень всіх параметрів. Тим часом, в результаті такого експерименту часто ставиться завдання визначення оптимального набору параметрів. Тому при створенні оптимальної установки доводиться проводити велику кількість розрахунків однотипних варіантів задачі, що відрізняються значенням деяких параметрів. При організації обчислювального експерименту використовуються ефективні чисельні методи.

3. Розробляються алгоритм та програма вирішення задачі на ЕОМ. Програмування рішень визначається тепер як мистецтвом і досвідом виконавця, а переростає в самостійну науку зі своїми принциповими підходами.

4. Проведення розрахунків на ЕОМ. Результат виходить у вигляді деякої цифрової інформації, яку далі потрібно буде розшифрувати. Точність інформації визначається при обчислювальному експерименті достовірністю моделі, покладеної основою експерименту, правильністю алгоритмів і програм (проводяться попередні «тестові» випробування).

5. Обробка результатів розрахунків, їх аналіз та висновки. На цьому етапі можуть виникнути необхідність уточнення математичної моделі (ускладнення або, навпаки, спрощення), пропозиції щодо створення спрощених інженерних способів вирішення та формул, що дають змогу отримати необхідну інформацію більш простим способом.

Можливості обчислювального експерименту ширше, ніж експерименту з фізичною моделлю, оскільки інформація більш детальна. Математична модель може бути порівняно просто уточнена чи розширена. Для цього достатньо змінити опис деяких її елементів. Крім того, нескладно виконати математичне моделювання за різних умов моделювання, що дає змогу отримати оптимальне поєднання конструкційних параметрів, показників роботи об'єкта (характеристик процесу). Для оптимізації зазначених параметрів доцільно використовувати методику планування експерименту, маючи на увазі під останнім обчислювальний експеримент.

Обчислювальний експеримент набуває виняткового значення у тих випадках, коли натурні експерименти та побудова фізичної моделі виявляються неможливими. Особливо яскраво можна проілюструвати значення обчислювального експерименту щодо масштабів сучасного впливу людини на природу. Те, що прийнято називати кліматом – стійкий середній розподіл температури, опадів, хмарності тощо, – є результатом складної взаємодії грандіозних фізичних процесів, що протікають в атмосфері, на поверхні землі та в океані. Характер і інтенсивність цих процесів в даний час змінюються значно швидше, ніж у порівняно, близькому геологічному минулому у зв'язку з впливом забруднення повітря індустріальними викидами вуглекислого газу, пилу і т. д. кліматичної системи, що враховує взаємодіючі між собою атмосфери океану та суші. Масштаби кліматичної системи настільки грандіозні, що експеримент навіть в одному якомусь регіоні надзвичайно дорогий, не кажучи вже про те, що вивести таку систему з рівноваги було б небезпечно. Таким чином, глобальний кліматичний експеримент можливий, але не натурний, а обчислювальний, який проводить дослідження не реальної кліматичної системи, а її математичної моделі.

У науці та техніці відомо чимало областей, у яких обчислювальний експеримент виявляється єдино можливим щодо складних систем.

Подібна інформація.

Фізичне та математичне моделювання