Муніципальний казенний загальноосвітній заклад
Поповська середня загальноосвітня школа
імені Героя Радянського Союзу Н.К. Горбаньова
Відкритий урок
вчителі математики
Вороніної Віри Володимирівни,
з математики у 9 класі
на тему: «Графічний спосіб розв'язання систем рівнянь»
Тип уроку:урок вивчення нового матеріалу
2017/2018 навчальний рік
Графічний спосіб розв'язання систем рівнянь. 9-й клас
Вороніна Віра Володимирівна, учитель математики.
чи уроку:
дидактичні:
відкрити спільно учнями новий спосіб розв'язання систем рівнянь;
вивести алгоритм розв'язання систем рівнянь графічним способом;
вміти визначати скільки розв'язків має система рівнянь;
вивчати знаходити рішення системи рівнянь графічним способом;
повторити побудову графіків елементарних функцій;
створити умови для контролю (самоконтролю) учнів:
виховні:
виховання відповідального ставлення до праці,
акуратності ведення записів.
Хід уроку.
I. Організаційний момент.
Що таке функція? (Слайд 3-11)
Що називається графіком функції?
Які види функцій ви знаєте?
Якою формулою задається лінійна функція? Що є графіком лінійної функції?
Якою формулою задається пряма пропорційність? Що її графіком?
Якою формулою задається зворотна пропорційність? Що її графіком?
Якою формулою задається квадратична функція? Що її графіком?
Яким рівнянням задається рівняння кола?
Що називають графіком рівняння із двома змінними; (слайд 12)
Організується знайомство з рівняннями, що використовуються у вищій математиці та їх графіками (строфоїда, Лемніската Бернуллі, астроіда, кардіоїда). (Слайд 13-16)
Розповідь вчителя супроводжується показом слайдів із цими графіками.
Виразіть змінну у через змінну х:
а) у - х² = 0
б) х + у + 2 = 0
в) 2х - у + 3 = 0
г) ху = -12
Чи є пара чисел (1; 0) рішенням рівняння
а) х² + у = 1;
б) ху + 3 = х;
в) у (х +2) = 0.
Що є рішенням системи рівнянь із двома змінними?
Яка з пар чисел є розв'язком системи рівнянь
а) (6; 3)
б) (- 3; - 6)
в) (2; - 1)
г) (3; 0)
З яких рівнянь можна скласти систему рівнянь, розв'язанням якої буде пара чисел (2; 1)
а) 2х - у = 3
б) 3х - 2у = 5
в) х² + у² = 4
г) ху = 2
ІІІ. Актуалізація знань учнів з вивченого матеріалу. (Слайд 20, 21)
Сьогодні ми повторимо і закріпимо один із способів розв'язання систем рівнянь. Закріплення вивченого матеріалу здійснюється за допомогою наочного сприйняття (на слайді представлено графічне рішення системи рівнянь):
Графіком рівняння з двома змінними називається безліч точок координатної площини, координати яких обертають рівняння у правильну рівність. Графіки рівнянь із двома невідомими дуже різноманітні.
Запитання щодо цього слайду:
Що є графіком рівняння x² + y²=25?
Що є графіком рівняння y = - x? +2x +5?
Координати будь-якої точки кола задовольнятимуть рівняння x² + y²=25, координати будь-якої точки параболи задовольнятимуть рівняння y = - x² +2x +5.
Координати яких точок задовольнятимуть і першому і другому рівнянням?
Скільки точок перетину даних графіків?
Скільки рішень має ця система?
Чи назвати ці рішення?
Що потрібно зробити, щоб графічно вирішити систему рівнянь із двома змінними?
Пропонується слайд, на якому наведено алгоритм графічного способу розв'язання систем рівнянь із двома невідомими.
Графічний спосібзастосуємо рішення будь-якої системи, але з допомогою графіків рівнянь можна приблизно знаходити рішення системи. Лише деякі знайдені рішення системи можуть бути точними. У цьому можна переконатися, підставивши їх координати рівняння системи.
IV. Застосування вивченого способу розв'язання систем рівнянь.
1. Розв'язати графічно систему рівнянь (слайд 23)
Що є графіком рівняння ху = 3?
Що є графіком рівняння 3х - у = 0?
2. Запишіть систему, що визначається цими рівняннями та її розв'язання. (слайд 24)
Постановка питань, що наводять:
Запишіть систему, яка визначається цими рівняннями?
Скільки точок перетину мають дані графіки?
Скільки розв'язків має дана система рівнянь?
Назвати рішення цієї системи рівнянь?
3. Виконання завдання з ДПА (слайд 25).
4. Розв'язати графічно систему рівнянь (слайд 26)
Завдання виконується учнями у зошитах. Рішення перевіряється.
V. Підсумки уроку.
Що називається рішенням системи рівнянь із двома змінними?
З яким способом розв'язання систем рівнянь із двома змінними ви познайомилися?
У чому його суть?
Чи дає цей спосіб точні результати?
У якому разі система рівнянь не матиме рішень?
VI. Домашнє завдання.
П. 18, № 420 (237), 425 (240)
На цьому уроці ми розглядатимемо рішення систем двох рівнянь із двома змінними. Спочатку розглянемо графічне рішення системи двох лінійних рівнянь, специфіку сукупності їх графіків. Далі вирішимо кілька систем графічним способом.
Тема: Системи рівнянь
Урок: Графічний метод розв'язання системи рівнянь
Розглянемо систему
Пару чисел яка одночасно є рішенням першого і другого рівняння системи, називають вирішенням системи рівнянь.
Вирішити систему рівнянь - це означає знайти її рішення, або встановити, що рішень немає. Ми розглянули графіки основних рівнянь, перейдемо до системи.
Приклад 1. Вирішити систему 
Рішення:
Це лінійні рівняння, графік кожного з них є пряма. Графік першого рівняння проходить через точки (0; 1) та (-1; 0). Графік другого рівняння проходить через точки (0; -1) та (-1; 0). Прямі перетинаються у точці (-1; 0), і є рішення системи рівнянь ( Мал. 1).
Рішенням системи є пара чисел Підставивши цю пару чисел у кожне рівняння, отримаємо правильну рівність.
Ми отримали єдине рішення лінійної системи.
Згадаймо, що при вирішенні лінійної системи можливі такі випадки:
система має єдине рішення - прямі перетинаються,
система не має рішень - прямі паралельні,
система має безліч рішень - прямі збігаються.
Ми розглянули окремий випадок системи, коли p(x; y) та q(x; y) - лінійні вирази від x та y.
Приклад 2. Розв'язати систему рівнянь 
Рішення:
Графік першого рівняння – пряма, графік другого рівняння – коло. Побудуємо перший графік за точками (рис. 2).
Центр кола у точці О(0; 0), радіус дорівнює 1.
Графіки перетинаються т. А(0; 1) і т. В(-1; 0).
Приклад 3. Розв'язати систему графічно
Рішення: Побудуємо графік першого рівняння - це коло із центром у т.О(0; 0) і радіусом 2. Графік другого рівняння - парабола. Вона зрушена щодо початку координат на 2 вгору, тобто. її вершина - точка (0; 2) (Рис. 3).
Графіки мають одну загальну точку - т. А (0; 2). Вона є рішенням системи. Підставимо пару чисел до рівняння, щоб перевірити правильність.
Приклад 4. Вирішити систему
Рішення: Побудуємо графік першого рівняння - це коло із центром у т.О(0; 0) і радіусом 1 (Рис. 4).
Побудуємо графік функції Це ламана (Мал. 5).
Тепер посунемо її на 1 вниз по осі oy. Це і буде графік функції
Помістимо обидва графіки в одну систему координат (Рис. 6).
Отримуємо три точки перетину - т. А (1; 0), т. В (-1; 0), т. С (0; -1).
Ми розглянули графічний спосіб вирішення систем. Якщо можна побудувати графік кожного рівняння і знайти координати точок перетину, цього методу цілком достатньо.
Але часто графічний метод дає змогу знайти лише наближене рішення системи чи відповісти питанням про кількість рішень. Тому потрібні інші методи, більш точні, і ними ми займемося на наступних уроках.
1. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Навч. Для загальноосвіт. Установ.- 4-те вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-192 с.: Іл.
2. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін - 4-е вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл.
3. Макарічев Ю. Н. Алгебра. 9 клас: навч. для учнів загальноосвіт. установ / Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, І. Є. Феоктистів. - 7-е вид., Випр. та дод. - М.: Мнемозіна, 2008.
4. Алімов Ш.А., Колягін Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 клас. 16-те вид. – М., 2011. – 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 12-е вид., Стер. - М.: 2010. - 224 с.: іл.
6. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 2. Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мішустіна та ін; За ред. А. Г. Мордковіча. - 12-е вид., Випр. - М.: 2010.-223 с.: іл.
1. Розділ College.ru з математики ().
2. Інтернет-проект "Завдання" ().
3. Освітній портал «Вирішую ЄДІ» ().
1. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін - 4-е вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл. №105, 107, 114, 115.
Алгебра 9 КЛАС
Графічний спосіб
розв'язання систем рівнянь
1. Знайдіть за графіком:
а) нулі функції;
б) область значень функції;
в) проміжки зростання та зменшення функції;
с) проміжки, в яких ≤0, ≥0.
d ) Найменше значення функції.
1.Із запропонованих формул виберіть ту формулу,
яка задає функцію, представлену на графіку
а ) у = - 3х +1; б) у = 2х +1;
в) у = 3х +1 .
Із запропонованих формул виберіть ту формулу, яка
задає функцію, представлену на графіку
б) у = - 2x 2 ; в) у = x 2 +1.
а) у = х 2 ;
Із запропонованих формул виберіть ту формулу, яка задає функцію, подану на графіку.
б) у = 2 х 3; в) y = х 3
а) у = 0,5 х 3;
Із запропонованих формул виберіть ту формулу, яка задає функцію, подану на графіку
а) у = 4/х; б) у = - 4/х;
Лінійне рівняння з
однією змінною
ax=b
- Лінійне рівняння з
двома змінними
Рівняння з двома змінними
Графіком рівняння з двома змінними називається безліч точок координатної площини, координати яких звертають рівняння у правильну рівність
Рівняння
Виражаємо у через х
3х+2у = 6
2у-х 2 =0
Даною формулою задається ….
Графіком служить
2х+у=0
гіпербола
квадратична
функція
у = -1,5 х +3
Лінійна
функція
пряма
у = 0,5 х 2
зворотна
пропорц-ність
у = -2х
парабола
пряма, пр-я
через поч. коорд.
пряма
пропорц-ність
Еліпс
х 2 у = 4 (2-у),
у = 8 / (х 2 +4)
Система рівнянь та її розв'язання
Визначення
- Системою рівнянь називається кілька рівнянь, об'єднаних фігурною дужкою. Фігурна дужка означає, що всі рівняння мають виконуватися одночасно
- Розв'язанням системи рівнянь із двома змінними називається пара значень змінних, що обертає кожне рівняння системи у правильну рівність
- Вирішити систему рівнянь - це означає знайти всі її рішення або встановити, що їх немає
Спосіб
підстановки
Спосіб
додавання
Методи розв'язання систем рівнянь
Спосіб
підстановки
Спосіб
додавання
Графічний спосіб
розв'язання систем рівнянь
1.Виразити у через х у кожному рівнянні.
2.Побудувати в одній системі координат графік
кожного рівняння.
3.Виразити у через х у кожному рівнянні.
4.Побудувати в одній системі координат графік
кожного рівняння
5.Визначити координати точки перетину
графіків.
6. Записати відповідь: х = ...; у=… , або (х; у)
Рішення системи графічним способом
Виразимо у
Побудуємо графік
першого рівняння
Побудуємо графік другого
рівняння -коло з
центром у точці О(0;0) та
радіусу 2.
Рішення системи графічним способом
Виразимо у
Побудуємо графік
першого рівняння
Побудуємо графік другого
рівняння -коло з
центром у точці О(0;0) та
радіусу 2.
х 2 +у 2 =4*
Система має 2 рішення:
Відповідь: (0; 2), (-2; 0)
1.Ми зарядку починаємо,
Наші руки розминаємо,
Розминаємо спину, плечі,
Щоб сидіти нам було легше
2. Крутим-вертим головою.
Розминаємо шию, стій!
Раз, два, три – нахил направо,
Раз, два, три-тепер ліворуч.
3. А тепер зупинись!
Піднімаємо руки вище,
Вдих і видих. Глибше дихаємо.
А тепер за парти сядемо.
Застосування рівнянь поширене у нашому житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Система рівнянь є набором математичних рівнянь, кожне з яких має певну кількість змінних. Систему прийнято позначати фігурною дужкою та все, що під цією дужкою - члени системи. Для вирішення систем цього роду застосовують безліч різноманітних способів.
Вирішити систему рівнянь означає знайти всі її можливі корені або довести те, що їх немає. Щоб розв'язати системи рівнянь із двома змінними зазвичай використовують такі методи: графічний спосіб, спосіб підстановки та складання.
Допустимо, дана система, яку потрібно вирішити графічно методом:
\[ \left\(\begin(matrix) x^2+y^2-2x+4y-20=0\\ 2x-y=-1 \end(matrix)\right.\]
Щоб розв'язати систему рівнянь графічним методом, потрібно:
* Побудувати графіки рівнянь в одній системі координат;
* Визначити координати точок перетину цих графіків, які є рішенням системи;
Виділяючи повні квадрати, отримуємо:
Грунтуючись на цьому отримаємо:
\[\left\(\begin(matrix)(x-1)^2+(y+2)^2)=25\\ 2x-y=-1 \end(matrix)\right.\]
Графіком першого рівняння [[x-1)^2+(y+2)^2=25\] є коло з центром і радіусом 5. Графіки рівнянь представлені на малюнку 6.
Графіком другого рівняння \ є рівняння прямої, що проходить через точки \ і \ Будуємо коло радіусом 5 з центром в точці \ і проводимо пряму через точки \ і \ Ці лінії перетинаються у двох точках \ і \
Виходячи з цього рішення системи: \
Відповідь: [(1; 3); (-3;-5); \]
Де можна вирішити систему рівнянь графічним методом онлайн?
Вирішити рівняння можна на нашому сайті https://сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете переглянути відео інструкцію та дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у нашій групі Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте до нашої групи, ми завжди раді допомогти вам.
Розглянемо такі рівняння:
1. 2 * x + 3 * y = 15;
2. x 2 + y 2 = 4;
4. 5*x 3 + y 2 = 8.
Кожне з наведених вище рівнянь є рівнянням з двома змінними. Безліч точок координатної площини, координати яких обертають рівняння у правильну числову рівність, називається графіком рівняння з двома невідомими.
Графік рівняння із двома змінними
Рівняння з двома змінними мають велику різноманітність графіків. Наприклад, для рівняння 2 * x + 3 * y = 15 графіком буде пряма лінія, для рівняння x 2 + y 2 = 4 графіком буде коло з радіусом 2, графіком рівняння y * x = 1 буде гіпербола і т.д.
У цілих рівнянь із двома змінними теж існує таке поняття, як ступінь. Визначається цей ступінь, так само як для цілого рівняння з однією змінною. Для цього приводять рівняння до вигляду, коли ліва частина є багаточленом стандартного виду, а права - нуль. Це здійснюється шляхом рівносильних перетворень.
Графічний спосіб розв'язання систем рівняння
Розберемося, як вирішувати системи рівнянь, які складатимуться з двох рівнянь із двома змінними. Розглянемо графічний спосіб розв'язання таких систем.
Приклад 1. Розв'язати систему рівнянь:
(x 2 + y 2 = 25
(y = -x 2 + 2 * x + 5).
Побудуємо графіки першого та другого рівнянь в одній системі координат. Графіком першого рівняння буде коло з центром на початку координат і радіусом 5. Графіком другого рівняння буде парабола з гілками, опущеними вниз.
Усі точки графіків задовольнятимуть кожен своєму рівнянню. Нам необхідно знайти такі точки, які будуть задовольняти як першому, так і другому рівнянню. Очевидно, що це будуть точки, у яких ці два графіки перетинаються.
Використовуючи наш малюнок, знаходимо приблизні значення координат, в яких ці точки перетинаються. Отримуємо такі результати:
A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).
Отже, наша система рівнянь має чотири розв'язки.
x1 ≈ -2,2; y1 -4,5;
x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;
x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;
x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.
Якщо підставити дані значення рівняння нашої системи, можна побачити, що перше і третє рішення є наближеними, а друге і четверте - точними. Графічний метод часто використовується, щоб оцінити кількість коренів і зразкові їх межі. Рішення виходять частіше наближеними, ніж точними.