З трикутника АВС випадково вибирається точка Х. Знайти

    ТОЧКА ВИБОРУ- 1. Взагалі – будь-який набір обставин, у яких потрібно зробити вибір із кількох альтернатив. 2. Спеціальне вживання: фізична точка в лабіринті, де суб'єкт може вибрати будь-який із двох або більше напрямків. Тлумачний словник з психології

    точка вибору курсору екрану- Курсор маніпулятора типу «миша» є зображенням, що займає область з n х m пікселів на екрані (де n і m>1). Точка вибору – це піксель у зображенні курсору, який використовується для визначення координат останнього. Довідник технічного перекладача

    - (в титриметричному аналізі) момент титрування, коли число еквівалентів титранта, що додається, еквівалентно або дорівнює числу еквівалентів визначеної речовини в зразку. У деяких випадках спостерігають кілька точок еквівалентності, наступних ... Вікіпедія

    крапка- 4.8 точка (pixel): Мінімальний елемент матриці зображення, розташований на перетині п рядки і т стовпця, де п горизонтальна компонента (рядок), т вертикальна компонента (стовпець). Джерело …

    Точка плану- 37. Точка плану Упорядкована сукупність чисельних значень факторів, що відповідає умовам проведення досвіду Джерело: ГОСТ 24026 80: Дослідницькі випробування. Планування експерименту. Терміни та визначення … Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

    РДМУ 109-77: Методичні вказівки. Методика вибору та оптимізації контрольованих параметрів технологічних процесів- Термінологія РДМУ 10977: Методичні вказівки. Методика вибору та оптимізації контрольованих параметрів технологічних процесів: 73. Адекватність моделі Відповідність моделі з експериментальними даними за вибраним параметром оптимізації з… Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

    опорна точка- 3.7 опорна точка (reference position): Точка, в якій вимірюють рівень звуку (еквівалентний рівень звуку) або рівень звукового тиску для контролю ідентичності характеристик джерела шуму під час проведення випробувань з екраном та без екрана (5 … Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

    поріг вибору- 02.02.27 поріг вибору [reference threshold]: Гранична точка, що використовується в алгоритмі декодування, що рекомендується, для прийняття рішення про віднесення вимірювання до елемента або комбінації елементів. Джерело … Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

    Центральна точка плану- 38. Центральна точка плану Центр плану Точка плану, що відповідає нулям нормалізованої (безрозмірної) шкали за всіма факторами Джерело: ГОСТ 24026 80: Дослідницькі випробування. Планування експерименту. Терміни та визначення … Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

    Ця стаття містить незавершений переклад із іноземної мови. Ви можете допомогти проекту, перевівши її до кінця. Якщо ви знаєте, якою мовою написано фрагмент, вкажіть його у цьому шаблоні. Список серій канадського … Вікіпедія

    1) Н. т. Відображення Fмножини X така точка, що. Докази існування Н. т. і методи знаходження Н. т. важливі завдання математики, тому що розв'язання будь-якого рівняння шляхом перетворення його на вигляд зводиться до знаходження Н. т. Математична енциклопедія

Книги

  • Вразлива точка: роман, Стовер М.. Мейс Вінду – жива легенда. Старший член Ради джедаєв, досвідчений дипломат та чудовий воїн. Багато хто стверджує, що серед тих, хто живе, немає людини небезпечнішої за неї. Але він людина світу, а зараз…

"Критичні точки функції" - Критичні точки. приклади. Але, якщо f" (х0) = 0, то необов'язково, що точка х0 буде точкою екстремуму. Критичні точки функції Точки екстремуму. Визначення. Точки екстремуму (повторення). Необхідна умова екстремуму. Серед критичних точок є точки екстремуму.

«Види трикутників» - Точки називаються вершинами, а відрізки-сторонами. За величиною кутів розрізняють такі види. Види трикутників. По порівняльній довжині сторін розрізняють такі види трикутників.

"Межа функції в точці" - Прикладами безперервних функцій на всій числовій прямій є: Визначено в будь-якій точці. Складено із. Безперервна у будь-якій точці, у будь-якій. Не визначено у точці. Маємо: А тому межа. , то в такому випадку. Виключається із розгляду. Розглянемо функції, графіки яких зображені на наступних малюнках:

"Середня лінія трикутника" - Чому рівні відрізки DK, KF, FL, LE? Визначте сторони трикутника АВС. Чи є відрізок EF середньою лінією трикутника АВС? MK та PK – середні лінії трикутника АВС. DE – середня лінія трикутника АВС. а) Визначте сторону АВ, якщо DE = 4 див.

«Коливання точки» - - Комплексно пов'язані. 1. Приклади коливань. Загальне рішення = загальне рішення + часткове рішення однорідного у-я неоднорідного у-я. Жорсткість пружини. 7. Вільні коливання з в'язким опором. При p=k амплітуда необмежено зростає з часом. Лекція 3: Прямолінійні коливання матеріальної точки.

«Випадкові події» - 3. Подія А – внаслідок стрілянини по мішені хоча б одна куля влучила у ціль. 1. Нижче наведено різні події. 3. Сьогодні у Сочі барометр показує нормальний атмосферний тиск. Випадковою вважається подія, пов'язана із випадковим експериментом. Події «Покинута гральна кістка. Подія «При киданні кубика випало трохи більше 6 очок».

План-конспект розроблений

Трофімової Людмилою Олексіївною

Геометрична ймовірність

Цілі і завдання: 1) Познайомити учнів з одним із можливих способів завдання

ймовірності;

2) Повторення пройденого та закріплення навичок формалізації

текстових імовірнісних задач за допомогою геометричних фігур.

Результати навчання:

1) Знати визначення геометричної ймовірності вибору точки

усередині фігури на площині та прямій;

2) Вміти вирішувати найпростіші завдання на геометричну ймовірність,

знаючи площі фігур чи вміючи їх обчислювати.

I. Вибір точки фігури на площині.

приклад 1.Розглянемо уявний експеримент: точку навмання кидають на квадрат, сторона якого дорівнює 1. Постає питання, яка ймовірність події, яка полягає в тому, що відстань від цієї точки до найближчої сторони квадрата не більше ніж ?

У цьому завдання йдеться про так звану геометричні ймовірності.

Крапку навмання кидають у фігуру Fна площині. Якою є ймовірність того, що точка потрапляє в деяку фігуру G,яка міститься у фігурі F.

Відповідь залежить від того, який сенс ми вкладаємо у вираз «кинути крапку навмання».

Зазвичай цей вислів трактують так:

1. Покинута точка може потрапити в будь-яку частину фігури F.

2. Імовірність того, що крапка потрапляє у деяку фігуру Gвсередині фігури F,прямо пропорційна площі фігури G.

Підіб'ємо підсумок: нехай і - площі фігур Fі G. Ймовірність події А«точка Х належить фігурі G,яка міститься у фігурі F», рівна

Зауважимо, що площа фігури Gне більше, ніж площа фігури F,тому

Повернемося до нашого завдання. Фігура Fу цьому прикладі квадрат із стороною 1. Тому =1.

Крапка віддалена від межі квадрата не більше ніж на , якщо вона потрапила в заштриховану на малюнку фігуру G.Щоб знайти площу, потрібно з площі фігури Fвідняти площу внутрішнього квадрата зі стороною.

Тоді ймовірність того, що крапка потрапила у фігуру G,дорівнює

приклад 2.З трикутника АВС випадково вибирається точка Х. Знайти ймовірність того, що вона належить трикутнику, вершинами якого є середини сторін трикутника.

Рішення:Середні лінії трикутника розбивають його на 4 рівні трикутники. Значить,

Імовірність того, що точка Х належить трикутнику KMN, дорівнює:

Висновок. Імовірність влучення точки в деяку фігуру прямо пропорційна площі цієї фігури.

Завдання. Нетерплячі дуелянти.

Дуелі у місті Обережності рідко закінчуються сумним результатом. Справа в тому, що кожен дуелянт прибуває на місце зустрічі у випадковий момент часу між 5 і 6 годинами ранку і, чекаючи на суперника 5 хвилин, видаляється. У разі прибуття останнього в ці 5 хвилин дуель відбудеться. Яка частина дуелей справді закінчується поєдинком?

Рішення:Нехай хі упозначають час прибуття 1 т 2 дуелянтів відповідно, виміряне в частках години починаючи з 5 годин.

Дуелянти зустрічаються, якщо , тобто. x - < y< x + .

Зобразимо це на кресленні.

Заштрихована частина квадрата відповідає випадку, коли зустрічаються дуелянти.

Площа всього квадрата 1, площа заштрихованої частини:

.

Отже, шанси на поєдинок рівні.

II. Вибір точки з відрізка та дуги кола.

Розглянемо уявний експеримент, який полягає у випадковому виборі однієї точки Х із деякого відрізка MN.

Це можна розуміти так, ніби точку Х випадково «кидають» на відрізок. Елементарною подією цього досвіду може стати вибір будь-якої точки відрізка.

Нехай відрізок CD міститься у відрізку MN. Нас цікавить подія А , що полягає в тому, що обрана точка Х належить відрізку CD.

Метод обчислення цієї ймовірності той самий, що й фігур на площині: ймовірність пропорційна довжині відрізка CD.

Отже, ймовірність події А «точка Х належить відрізку CD, що міститься у відрізку MN» дорівнює, .

приклад 1.Усередині відрізка MN випадково вибирається точка Х. Знайдіть ймовірність того, що точка Х ближче до точки N, ніж до M.

Рішення:Нехай точка О – середина відрізку MN. Наша подія настане тоді, коли точка Х лежить усередині відрізка ON.

Тоді .

Нічого не змінюється, якщо точка Х вибирається з відрізка, та якщо з дуги деякої кривої лінії.

приклад 2.На колі дані точки А і В, причому ці точки не є діаметрально протилежними. На цьому ж колі вибирається точка С. Знайти ймовірність того, що відрізок ВС перетне діаметр кола, що проходить через точку А.

Рішення:Нехай довжина кола дорівнює L. Цікава для нас подія До «відрізок ВС перетинає діаметр DA» настає, тільки якщо т. С лежить на півкола DA, що не містить точку В. Довжина цього півкола дорівнює L.

.

приклад 3.На колі взято точку А. На окружність «кидають» точку В. Яка ймовірність того, що довжина хорда АВ буде меншою за радіус кола.

Рішення:Нехай r – радіус кола.

Для того щоб хорда АВ була коротшою за радіус кола, точка повинна потрапити на дугу В1АВ2, довжина якої дорівнює довжині кола.

Імовірність того, що довжина хорди АВ буде меншою за радіус кола, дорівнює:

III. Вибір точки з числового відрізка

Геометричну ймовірність можна застосовувати до числових проміжків. Припустимо, що випадково вибирається число Х, що задовольняє умові . Цей досвід можна замінити досвідом, у якому з відрізка на числовій прямій вибирається точка з координатою Х.

Розглянемо подію, яка полягає в тому, що точка з координатою Х обрана з відрізка , що міститься у відрізку . Цю подію позначимо. Його ймовірність дорівнює відношенню довжин відрізків і .

.

приклад 1.Знайти ймовірність того, що точка, яка випадково вибрана з відрізка , належить відрізку .

Рішення:За формулою геометричної ймовірності знаходимо:

.

приклад 2.Відповідно до правил дорожнього руху, пішохід може перейти вулицю у невстановленому місці, якщо в межах видимості немає пішохідних переходів. У місті Миргороді відстань між пішохідними переходами на вулиці Сонячній дорівнює 1 км. Пішохід переходить вулицю Сонячну десь між двома переходами. Він може бачити знак переходу не далі ніж за 100 м від себе. Знайдіть ймовірність того, що пішохід не порушує правила.

Рішення:Скористаємося геометричним методом. Розташуємо числову пряму так, що ділянка вулиці між переходами виявиться відрізком . Нехай пішохід підходить до вулиці в деякій точці з координатою Х. Пішохід не порушує правила, якщо він знаходиться на відстані більш ніж 0,1 км від кожного переходу, тобто 0,1

.

приклад 3.Поїзд проходить повз платформу за півхвилини. Якоїсь миті, зовсім випадково виглянувши зі свого купе у вікно, Іван Іванович побачив, що поїзд іде повз платформу. Іван Іванович дивився у вікно рівно десять секунд, а потім відвернувся. Знайдіть ймовірність того, що він бачив Івана Никифоровича, який стояв посередині платформи.

Рішення:Скористаємося геометричним методом. Будемо вести відлік за секунди. За 0 секунд приймемо момент, коли Іван Іванович зрівнявся з початком платформи. Тоді кінця платформи він досяг у момент 30 секунд. За Х сек. Позначимо момент, коли Іван Іванович визирнув у вікно. Отже, число Х випадково вибирається з відрізка . З Іваном зрівнявся на момент 15 секунд. Він побачив Івана Никифоровича, тільки якщо він визирнув у вікно не пізніше за цей момент, але не раніше, ніж за 10 секунд до цього. Таким чином, потрібно знайти геометричну ймовірність події. За формулою знаходимо

.

«Ймовірнісне підґрунтя»

На самому початку поеми «Мертві душі» двоє мужиків сперечаються щодо того, як далеко доїде колесо в екіпажі Чичикова:

«...два російських мужика, що стояли біля дверей шинку проти готелю, зробили деякі зауваження, що стояли втім, більше до екіпажу, ніж до того, хто сидів у ньому. «Бач ти», сказав один одному: «Ось яке колесо! Що ти думаєш, доїде те колесо, якби трапилося, до Москви, чи не доїде? – «Доїде», відповідав інший. «А до Казані, я думаю, не доїде?» «До Казані не доїде», відповідав інший».

Завдання на вирішення.

1. Знайти ймовірність того, що точка випадково кинута в квадрат ABCD зі стороною 4 потрапить у квадрат A1B1C1D1 зі стороною 3, що знаходиться всередині квадрата ABCD.

Відповідь. 9/16.

2. Дві особи А і В домовилися зустрітися в певному місці в проміжку часу від 900 до 1000. Кожна з них приходить навмання (у вказаний проміжок часу), незалежно від іншої і чекає 10 хвилин. Якою є ймовірність того, що вони зустрінуться?

Відповідь. 11/36.

3. У відрізку АВ довжини 3 випадково з'являється точка С. Визначити ймовірність того, що відстань від точки С до перевищує 1.

Відповідь. 2/3.

4. У коло радіусом 5 вписано трикутник найбільшої площі. Визначте можливість попадання в трикутник точки, випадково кинутої в коло.

5. Буратіно посадив на прямокутний лист розміром 20 см на 25 см круглу ляпку радіусом 1 см. Відразу після цього Буратіно посадив ще одну таку ж ляпку, яка цілком опинилася на аркуші. Знайдіть ймовірність того, що ці дві ляпки не стикаються.

6. У коло вписано квадрат ABCD. На цьому колі випадково вибирається точка М. Знайдіть ймовірність того, що ця точка лежить на: а) меншій дузі АВ; б) більшу дугу АВ.

Відповідь. а) 1/4; б) 3/4.

7. На відрізок випадково кидається точка Х. З якою ймовірністю виконується нерівність: а) ; б); в)?

Відповідь. а) 1/3; б) 1/3; в) 1/3.

8. Про село Іванове відомо лише, що воно знаходиться десь на шосе між Миргородом та Старгородом. Довжина шосе дорівнює 200 км. Знайдіть ймовірність того, що:

а) від Миргорода до Іваново шосе менше 20 км;

б) від Старгорода до Іваново шосе більше 130 км;

в) Іваново знаходиться менш ніж за 5 км від середини шляху між містами.

Відповідь. а) 0,1; б) 0,35; в) 0,05.

Додатковий матеріал

Геометричний підхід до ймовірності події не залежить від виду вимірювань геометричного простору: важливо лише, щоб безліч елементарних подій F і безліч G, що представляє подію А, були б однакового виду та однакових вимірювань.

2. Випадкова точка Х рівномірно розподілена у квадраті . Знайти ймовірність того, що квадрат із центром Х та сторонами довжини b, паралельними осям координат, цілком міститься у квадраті А.

Література:

1. Теорія ймовірностей та статистика / , . – 2-ге вид., перероблене. - М.: МЦНМО: підручники », 2008. - 256 с.: Іл.

2. Теорії ймовірностей та математична статистика в прикладах та задачах із застосуванням Excel / , . - Вид. 4-те. - Ростов н / Д: Фенікс, 2006. - 475 с.: Іл. - (Вища освіта).

3. П'ятдесят цікавих ймовірнісних завдань із рішеннями. Пров. з англ. / За ред. . 3-тє вид. - М.: Наука, Головна редакція фізико-математичної літератури, 1985. - 88 с.

4. Збірник завдань з теорії ймовірностей: Навч. Посібник для вузів. /, - 2-ге вид., Випр. І дод. - М.: Наука. Гол. ред. Фіз.-мат. Літ. - 1989. - 320с.

5. Факультативний курс з математики: Теорія ймовірностей: Навч. Посібник для 9-11 кл. середовищ. шк./ – 3-тє вид. перероб. - М.: Просвітництво, 1990. - 160 с.