Лінійна залежність та лінійна незалежність векторів.
Векторні бази. Афінна система координат

В аудиторії знаходиться візок із шоколадками, і кожному відвідувачу сьогодні дістанеться солодка парочка – аналітична геометрія з лінійною алгеброю. У цій статті будуть порушені відразу два розділи вищої математики, і ми подивимося, як вони вживаються в одній обгортці. Зроби паузу, з'їж «Твікс»! …млинець, ну і нісенітниця суперечок. Хоча гаразд, забивати не буду, зрештою, на навчання має бути позитивний настрій.

Лінійна залежність векторів, лінійна незалежність векторів, базис векторівта ін терміни мають не тільки геометричну інтерпретацію, але, перш за все, алгебраїчний сенс. Саме поняття «вектор» з погляду лінійної алгебри – це далеко не завжди той «звичайний» вектор, який ми можемо зобразити на площині чи просторі. За доказом далеко ходити не потрібно, спробуйте намалювати вектор п'ятивимірного простору. Або вектор погоди, за яким я щойно сходив на Гісметео: – температура та атмосферний тиск відповідно. Приклад, звичайно, некоректний з точки зору властивостей векторного простору, проте ніхто не забороняє формалізувати дані параметри вектором. Дихання осені.

Ні, я не збираюся вантажити вас теорією, лінійними векторними просторами, завдання полягає в тому, щоб зрозумітивизначення та теореми. Нові терміни (лінійна залежність, незалежність, лінійна комбінація, базис і т.д.) придатні до всіх векторів з точки зору алгебри , але приклади будуть дані геометричні. Таким чином, все просто, доступно та наочно. Крім завдань аналітичної геометрії ми розглянемо деякі типові завдання алгебри. Для освоєння матеріалу бажано ознайомитись з уроками Вектори для чайниківі Як визначити обчислювач?

Лінійна залежність та незалежність векторів площини.
Базис площини та афінна система координат

Розглянемо площину комп'ютерного столу (просто столу, тумбочки, підлоги, стелі, кому що подобається). Завдання полягатиме в наступних діях:

1) Вибрати базис площини. Грубо кажучи, стільниця має довжину і ширину, тому інтуїтивно зрозуміло, що для побудови базису потрібно два вектори. Одного вектора явно мало, три вектори – зайва.

2) На основі обраного базису встановити систему координат(координатну сітку), щоб присвоїти координати всім предметам, що знаходяться на столі.

Не дивуйтесь, спочатку пояснення будуть на пальцях. Причому на ваших. Будь ласка, помістіть вказівний палець лівої рукина край стільниці так, щоб він дивився на монітор. Це буде вектор. Тепер помістіть мізинець правої рукина край столу так само - щоб він був спрямований на екран монітора. Це буде вектор. Усміхніться, ви чудово виглядаєте! Що можна сказати про вектори? Дані вектори колінеарні, а значить, лінійновиражаються один через одного:
, ну, чи навпаки: , де – деяке число, відмінне від нуля.

Картинку цього дійства можна переглянути на уроці Вектори для чайниківде я пояснював правило множення вектора на число.

Чи будуть ваші пальчики задавати базис на площині комп'ютерного столу? Очевидно, що ні. Колінеарні вектори подорожують туди-сюди одномунапрямку, а площина має довжину і ширину.

Такі вектори називають лінійно залежними.

Довідка: Слова «лінійний», «лінійно» позначають те що, що у математичних рівняннях, висловлюваннях немає квадратів, кубів, інших ступенів, логарифмів, синусів тощо. Є тільки лінійні (1-го ступеня) вирази та залежності.

Два векторні площині лінійно залежнітоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Схрестіть пальці на столі, щоб між ними був будь-який кут крім 0 або 180 градусів. Два векторні площинілінійно незалежні в тому й лише тому випадку, якщо вони не колінеарні. Отже, базис отримано. Не треба бентежитись, що базис вийшов «косим» з неперпендикулярними векторами різної довжини. Незабаром ми побачимо, що для його побудови придатний не тільки кут 90 градусів, і не тільки одиничні, рівні за довжиною вектори.

Будь-якийвектор плоскості єдиним чиномрозкладається по базису:
, де - дійсні числа. Числа називають координатами векторау цьому базисі.

Також кажуть, що векторпредставлений у вигляді лінійної комбінаціїбазисних векторів. Тобто вираз називають розкладання векторапо базисуабо лінійною комбінацієюбазових векторів.

Наприклад, можна сказати, що вектор розкладений за ортонормованим базисом площини, а можна сказати, що він представлений у вигляді лінійної комбінації векторів.

Сформулюємо визначення базисуформально: Базисом площининазивається пара лінійно незалежних (неколлінеарних) векторів, , при цьому будь-якийВектор площини є лінійною комбінацією базисних векторів.

Істотним моментом визначення є той факт, що вектори взяті у певному порядку. Базиси – це два абсолютно різні базиси! Як то кажуть, мізинець лівої руки не переставиш на місце мізинця правої руки.

З базисом розібралися, але його недостатньо, щоб задати координатну сітку та присвоїти координати кожному предмету вашого комп'ютерного столу. Чому замало? Вектори є вільними та блукають по всій площині. То як привласнити координати тим маленьким брудним точкам столу, які залишилися після бурхливих вихідних? Необхідний відправний орієнтир. І таким орієнтиром є знайома всім точка – початок координат. Розбираємось із системою координат:

Почну зі «шкільної» організації. Вже на вступному уроці Вектори для чайниківя виділяв деякі відмінності між прямокутною системою координат та ортонормованим базисом. Ось стандартна картина:

Коли говорять про прямокутної системи координат, то найчастіше мають на увазі початок координат, координатні осі та масштаб по осях. Спробуйте набрати в пошуковій системі «прямокутна система координат», і ви побачите, що багато джерел вам розповідатимуть про знайомі з 5-6-го класу координатні осі і про те, як відкладати точки на площині.

З іншого боку, складається враження, що прямокутну систему координат цілком можна визначити через ортонормований базис. І це майже так. Формулювання звучить так:

початком координат, і ортонормованийбазис задають декартову прямокутну систему координат площини . Тобто прямокутна система координат однозначновизначається єдиною точкою та двома одиничними ортогональними векторами. Саме тому ви бачите креслення, яке я привів вище – в геометричних завданнях часто (але далеко не завжди) малюють і вектори, і координатні осі.

Думаю, всім зрозуміло, що за допомогою точки (початку координат) та ортонормованого базису БУДЬ-ЯКІЙ ТОЧЦІ площині і БУДЬ-ЯКОМУ ВЕКТОРУ площиніможна присвоїти координати. Образно кажучи, "на площині все можна пронумерувати".

Чи мають координатні вектори бути одиничними? Ні, вони можуть мати довільну ненульову довжину. Розглянемо точку та два ортогональні вектори довільної ненульової довжини:

Такий базис називається ортогональним. Початок координат з векторами задають координатну сітку, і будь-яка точка площини будь-який вектор мають свої координати в даному базисі. Наприклад, або . Очевидна незручність полягає в тому, що координатні вектори у загальному випадкумають різні довжини, відмінні від одиниці. Якщо довжини дорівнюють одиниці, то виходить звичний ортонормований базис.

! Примітка : в ортогональному базисі, а також нижче в афінних базисах площини та простору одиниці по осях вважаються УМОВИМИ. Наприклад, в одній одиниці по осі абсцис міститься 4 см, в одній одиниці по осі ординат 2 см. Даної інформації достатньо, щоб при необхідності перевести «нестандартні» координати «наші звичайні сантиметри».

І друге питання, на яке вже насправді дана відповідь – чи обов'язково кут між базисними векторами має дорівнювати 90 градусам? Ні! Як свідчить визначення, базові вектори повинні бути лише неколінеарними. Відповідно кут може бути будь-яким, крім 0 та 180 градусів.

Точка площини, яка називається початком координат, і неколінеарнівектори , , задають афінну систему координат площини :

Іноді таку систему координат називають косокутноїсистемою. Як приклади на кресленні зображені точки та вектори:

Як розумієте, афінна система координат ще менш зручна, у ній не працюють формули довжин векторів та відрізків, які ми розглядали у другій частині уроку Вектори для чайників, багато смачні формули, пов'язані з скалярним твором векторів. Зате справедливі правила складання векторів і множення вектора на число, формули поділу відрізка в даному відношенні, а також деякі типи завдань, які ми швидко розглянемо.

А висновок такий, що найзручнішим окремим випадком афінної системи координат є декартова прямокутна система. Тому її, рідну, найчастіше і доводиться бачити. …Втім, все в цьому житті відносно – існує чимало ситуацій, в яких доречна саме косокутна (або якась інша, наприклад, полярна) система координат. Та й гуманоїдам такі системи можуть прийтись до смаку =)

Переходимо до практичної частини. Усі завдання даного уроку справедливі як прямокутної системи координат, так загального афінного випадку. Складного тут немає, весь матеріал доступний навіть школяру.

Як визначити колінеарність векторів площини?

Типова річ. Для того, щоб два вектори площини були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх відповідні координати були пропорційними. По суті, це покоординатна деталізація очевидного співвідношення.

Приклад 1

а) Перевірити, чи вектори колінеарні .
б) Чи утворять базис вектори?

Рішення:
а) З'ясуємо, чи існує для векторів коефіцієнт пропорційності такий, щоб виконувались рівності :

Обов'язково розповім про «піжонський» різновид застосування цього правила, який цілком прокочує на практиці. Ідея полягає в тому, щоб одразу скласти пропорцію і подивитися, чи буде вона вірною:

Складемо пропорцію із відносин відповідних координат векторів:

Скорочуємо:
, таким чином, відповідні координати пропорційні, отже,

Ставлення можна було скласти і навпаки, це рівноцінний варіант:

Для самоперевірки можна використовувати те, що колінеарні вектори лінійно виражаються один через одного. У разі мають місце рівності . Їхня справедливість легко перевіряється через елементарні дії з векторами:

б) Два вектори площини утворюють базис, якщо вони колінеарні (лінійно незалежні). Досліджуємо на колінеарність вектори. Складемо систему:

З першого рівняння випливає, що , з другого рівняння випливає, що , отже, система несумісна(Рішень немає). Таким чином, відповідні координати векторів не є пропорційними.

Висновок: вектори лінійно незалежні та утворюють базис.

Спрощена версія рішення виглядає так:

Складемо пропорцію з відповідних координат векторів:
, Отже, ці вектори лінійно незалежні і утворюють базис.

Зазвичай такий варіант бракують рецензенти, але виникає проблема у випадках, коли деякі координати дорівнюють нулю. Ось так: . Або так: . Або так: . Як тут діяти через пропорцію? (Справді, на нуль ж ділити не можна). Саме з цієї причини я назвав спрощене рішення «піжонським».

Відповідь:а), б) утворюють.

Невеликий творчий приклад для самостійного вирішення:

Приклад 2

За якого значення параметра вектори будуть колінеарними?

У зразку рішення параметр знайдено через пропорцію.

Існує витончений алгебраїчний спосіб перевірки векторів на колінеарність., систематизуємо наші знання і п'ятим пунктом додамо його:

Для двох векторів площини еквівалентні наступні твердження:

2) вектори утворюють базис;
3) вектори не колінеарні;

+ 5) визначник, складений із координат даних векторів, відмінний від нуля.

Відповідно, еквівалентні наступні протилежні твердження:
1) вектори лінійно залежні;
2) вектори не утворюють базис;
3) вектори колінеарні;
4) вектори можна лінійно виразити один через одного;
+ 5) визначник, складений з координат даних векторів, дорівнює нулю.

Я дуже і дуже сподіваюся, що на даний момент вам вже зрозумілі всі терміни і твердження, що зустрілися.

Розглянемо докладніше новий, п'ятий пункт: два вектори площини колінеарні тоді й лише тоді, коли визначник, складений координат даних векторів, дорівнює нулю:. Для застосування цієї ознаки, природно, потрібно вміти знаходити визначники.

ВирішимоПриклад 1 другим способом:

а)
, отже, ці вектори колінеарні.

б) Два вектори площини утворюють базис, якщо вони колінеарні (лінійно незалежні). Обчислимо визначник, складений координат векторів :
, Отже, вектори лінійно незалежні і утворюють базис.

Відповідь:а), б) утворюють.

Виглядає значно компактніше та симпатичніше, ніж рішення з пропорціями.

З допомогою розглянутого матеріалу можна встановлювати як колінеарність векторів, а й доводити паралельність відрізків, прямих. Розглянемо пару завдань із конкретними геометричними фігурами.

Приклад 3

Дано вершини чотирикутника. Довести, що чотирикутник є паралелограмом.

Доведення: Креслення в задачі будувати не потрібно, оскільки рішення буде чисто аналітичним Згадуємо визначення паралелограма:
Паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

Таким чином, необхідно довести:
1) паралельність протилежних сторін та ;
2) паралельність протилежних сторін та .

Доводимо:

1) Знайдемо вектори:

Обчислимо визначник, складений координат векторів :

2) Знайдемо вектори:

Вийшов той самий вектор («по шкільному» – рівні вектори). Колінеарність дуже очевидна, але рішення таки краще оформити з толком, з розстановкою. Обчислимо визначник, складений координат векторів :
, Отже, ці вектори колінеарні, і .

Висновок: Протилежні сторони чотирикутника попарно паралельні, отже, він є паралелограмом за визначенням. Що й потрібно було довести.

Більше фігур хороших та різних:

Приклад 4

Дано вершини чотирикутника. Довести, що чотирикутник є трапецією.

Для суворішого формулювання докази краще, звичайно, роздобути визначення трапеції, але досить і просто згадати, як вона виглядає.

Це завдання самостійного рішення. Повне рішення наприкінці уроку.

А тепер настав час потихеньку перебиратися з площини в простір:

Як визначити колінеарність векторів простору?

Правило дуже схоже. Для того щоб два вектори простору були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх відповідні координати були пропорційними.

Приклад 5

З'ясувати, чи колінеарні будуть наступні вектори простору:

а);
б)
в)

Рішення:
а) Перевіримо, чи є коефіцієнт пропорційності для відповідних координат векторів:

Система не має рішення, отже вектори не колінеарні.

«Спрощенка» оформляється перевіркою пропорції. В даному випадку:
– відповідні координати не пропорційні, отже вектори не колінеарні.

Відповідь:вектори не колінеарні.

б-в) Це пункти самостійного рішення. Спробуйте оформити його двома способами.

Існує метод перевірки просторових векторів на колінеарність та через визначник третього порядку, даний спосіб висвітлено у статті Векторний твір векторів.

Аналогічно плоскому випадку розглянутий інструментарій може застосовуватися з метою дослідження паралельності просторових відрізків і прямих.

Ласкаво просимо до другого розділу:

Лінійна залежність та незалежність векторів тривимірного простору.
Просторовий базис та афінна система координат

Багато закономірностей, які ми розглянули на площині, будуть справедливими і простору. Я постарався мінімізувати конспект з теорії, оскільки левова частка інформації вже розжована. Тим не менш, рекомендую уважно прочитати вступну частину, оскільки з'являться нові терміни та поняття.

Тепер замість площини комп'ютерного столу досліджуємо тривимірний простір. Спочатку створимо його базис. Хтось зараз знаходиться в приміщенні, хтось на вулиці, але в будь-якому разі нам нікуди не подітися від трьох вимірів: ширини, довжини та висоти. Тому для побудови базису потрібно три просторові вектори. Одного-двох векторів мало, четвертий – зайвий.

І знову розминаємось на пальцях. Будь ласка, підніміть руку вгору і розчепірте в різні боки великий, вказівний та середній палець. Це будуть вектори, вони дивляться у різні боки, мають різну довжину та мають різні кути між собою. Вітаю, базис тривимірного простору готовий! До речі, не потрібно демонструвати таке викладачам, як не крути пальцями, а від визначень нікуди не подітися =)

Далі поставимо важливе питання, будь-які три вектори утворюють базис тривимірного простору? Будь ласка, щільно притисніть три пальці до стільниці комп'ютерного столу. Що сталося? Три вектори розташувалися в одній площині, і, грубо кажучи, у нас зник один із вимірів – висота. Такі вектори є компланарнимиі цілком очевидно, що базису тривимірного простору не створюють.

Слід зазначити, що компланарні вектори нічого не винні лежати у одній площині, можуть перебувати у паралельних площинах (тільки робіть цього з пальцями, так відривався лише Сальвадор Далі =)).

Визначення: вектори називаються компланарнимиякщо існує площина, якою вони паралельні. Тут логічно додати, що якщо такої площини не існує, то вектори будуть не компланарні.

Три компланарні вектори завжди лінійно залежнітобто лінійно виражаються один через одного. Для простоти знову припустимо, що вони лежать в одній площині. По-перше, вектори мало того, що компланарні, можуть бути ще колінеарні, тоді будь-який вектор можна виразити через будь-який вектор. У другому випадку, якщо, наприклад, вектори не колінеарні, то третій вектор виражається через них єдиним чином: (а чому легко здогадатися за матеріалами попереднього розділу).

Справедливе та зворотне твердження: три некомпланарні вектори завжди лінійно незалежні, тобто аж ніяк не виражаються один через одного. І, очевидно, лише такі вектори можуть утворити базис тривимірного простору.

Визначення: Базисом тривимірного просторуназивається трійка лінійно незалежних (некомпланарних) векторів, взятих у певному порядкупри цьому будь-який вектор простору єдиним чиномрозкладається по даному базису , де координати вектора в даному базисі

Нагадую, також можна сказати, що вектор представлений у вигляді лінійної комбінаціїбазових векторів.

Поняття системи координат вводиться так само, як і для плоского випадку, достатньо однієї точки та будь-яких трьох лінійно незалежних векторів:

початком координат, і некомпланарнівектори , взяті у певному порядку, задають афінну систему координат тривимірного простору :

Звичайно, координатна сітка «коса» і малозручна, але побудована система координат дозволяє нам однозначновизначити координати будь-якого вектора та координати будь-якої точки простору. Аналогічно площині, в афінній системі координат простору не працюватимуть деякі формули, про які я вже згадував.

Найбільш звичним і зручним окремим випадком афінної системи координат є прямокутна система координат простору:

Точка простору, яка називається початком координат, і ортонормованийбазис задають декартову прямокутну систему координат простору . Знайоме зображення:

Перед тим, як перейти до практичних завдань, знову систематизуємо інформацію:

Для трьох векторів простору еквівалентні такі твердження:
1) вектори лінійно незалежні;
2) вектори утворюють базис;
3) вектори не компланарні;
4) вектори не можна лінійно виразити один через одного;
5) визначник, складений координат даних векторів, відмінний від нуля.

Протилежні висловлювання, гадаю, зрозумілі.

Лінійна залежність/незалежність векторів простору традиційно перевіряється за допомогою визначника (пункт 5). Практичні завдання, що залишилися, носитимуть яскраво виражений алгебраїчний характер. Пора повісити на цвях геометричну ключку і орудувати бейсбольною битою лінійною алгебри:

Три вектор просторукомпланарні тоді і лише тоді, коли визначник, складений координат даних векторів, дорівнює нулю:.

Звертаю увагу на невеликий технічний нюанс: координати векторів можна записувати не тільки у стовпці, а й у рядки (значення визначника від цього не зміниться – див. властивості визначників). Але набагато краще у стовпці, оскільки це вигідніше для вирішення деяких практичних завдань.

Тим читачам, які трошки забули методи розрахунку визначників, а може і взагалі слабо в них орієнтуються, рекомендую один із моїх найстаріших уроків: Як визначити обчислювач?

Приклад 6

Перевірити, чи утворюють базис тривимірного простору такі вектори:

Рішення: Фактично все рішення зводиться до обчислення визначника

а) Обчислимо визначник, складений із координат векторів (визначник розкритий по першому рядку):

, Отже, вектори лінійно незалежні (не компланарні) і утворюють базис тривимірного простору.

Відповідь: дані вектори утворюють базис

б) Це пункт самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Трапляються і творчі завдання:

Приклад 7

За якого значення параметра вектори будуть компланарні?

Рішення: Вектори компланарні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений координат даних векторів дорівнює нулю:

Фактично, потрібно вирішити рівняння з визначником. Налітаємо на нулі як шуліки на тушканчиків - визначник найвигідніше розкрити по другому рядку і відразу ж позбутися мінусів:

Проводимо подальші спрощення та зводимо справу до найпростішого лінійного рівняння:

Відповідь: при

Тут легко виконати перевірку, для цього потрібно підставити отримане значення у вихідний визначник і переконатися, що розкривши його заново.

На закінчення розглянемо ще одну типову задачу, яка носить більше алгебраїчний характер і зазвичай включається до курсу лінійної алгебри. Вона настільки поширена, що заслуговує на окремий топік:

Довести, що 3 вектори утворюють базис тривимірного простору
та знайти координати 4-го вектора в даному базисі

Приклад 8

Дано вектори. Показати, що вектори утворюють базис тривимірного простору та знайти координати вектора у цьому базисі.

Рішення: Спочатку розбираємось з умовою За умовою дано чотири вектори, і, як бачите, вони вже мають координати в деякому базисі. Який це базис – нас не цікавить. А цікавить така річ: три вектори цілком можуть утворювати новий базис. І перший етап повністю збігається з рішенням Прикладу 6, необхідно перевірити, чи вектори справді лінійно незалежні:

Обчислимо визначник, складений координат векторів :

, Отже, вектори лінійно незалежні і утворюють базис тривимірного простору.

! Важливо : координати векторів обов'язковозаписуємо у стовпцівизначника, а не в рядки. Інакше буде плутанина у подальшому алгоритмі розв'язання.– координати вектора метод Крамера тут – зовсім не айс;-)

І, як я вже зазначав, завдання має алгебраїчний характер. Вектори, які були розглянуті – це не обов'язково ті вектори, які можна намалювати у просторі, а насамперед, довільні вектори курсу лінійної алгебри. Для двовимірних векторів можна сформулювати і вирішити аналогічне завдання – рішення буде технічно набагато простіше, і тому я пройшов повз нього в попередньому параграфі.

Таке ж завдання з тривимірними векторами для самостійного вирішення:

Приклад 9

Дано вектори. Показати, що вектори утворюють базис і знайти координати вектора у цьому базисі. Систему лінійних рівнянь вирішити шляхом Крамера.

Повне рішення та зразковий зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Аналогічно можна розглянути чотиривимірне, п'ятивимірне і т.д. векторні простори , де вектори відповідно 4, 5 і більше координат. Для даних векторних просторів також існує поняття лінійної залежності, лінійної незалежності векторів, існує базис, у тому числі, ортонормований, розкладання вектора по базису. Так, такі простори неможливо намалювати геометрично, але в них працюють всі правила, властивості і теореми двох і трьох мірних випадків – чиста алгебра. поговорити у статті Приватні похідні функції трьох змінних, яка з'явилася раніше за цей урок.

Любіть вектори і вектори полюблять вас!

Найважливішим поняттям теорії лінійних просторів є лінійна залежність векторів. Перш ніж визначити це поняття, розглянемо кілька прикладів.

приклади. 1. Дана наступна система трьох векторів із простору Тк:

Легко помітити, що або

2. Візьмемо тепер іншу систему векторів з

Співвідношення, аналогічне до рівності (1), для цієї системи векторів безпосередньо побачити важко. Однак неважко перевірити, що

Коефіцієнти 4 -7,5 співвідношення (2) можна було б знайти наступним чином. Позначимо їх через невідомі, вирішуватимемо векторне рівняння:

Здійснивши зазначені операції множення і додавання і переходячи до рівності компонент векторів (2), отримуємо однорідну систему лінійних рівнянь щодо

Одним із рішень цієї системи є:

3. Розглянемо систему векторів:

Рівність

призводить до системи рівнянь, що має єдине – нульове – рішення. (Перевірте!) Таким чином, з рівності (3) випливає,

що Інакше кажучи, рівність (3) виконується тільки при

Системи векторів у прикладах 1-2 є лінійно залежними, система прикладу 3 - лінійно незалежною.

Визначення 3. Система векторів лінійного простору над полем називається лінійно залежною, якщо існують не всі рівні нулю числа поля Я, такі, що

Якщо для векторів рівність має місце лише тоді система векторів називається лінійно незалежної.

Зауважимо, що властивість лінійної залежності та незалежності є властивістю системи векторів. Однак у літературі широко використовують ті ж прикметники у застосуванні безпосередньо до самих векторів і кажуть, припускаючи вільність мови, «система лінійно незалежних векторів» і навіть вектори лінійно незалежні.

Якщо в системі є всього один вектор а, то за властивістю 6 (§ 2) випливає Отже, система, що складається з одного ненульового вектора, лінійно незалежна. Навпаки, будь-яка система векторів містить нульовий вектор 0, лінійно залежна. Наприклад, якщо то

Якщо система двох векторів лінійно залежна, має місце рівність при (або . тоді

т. е. вектори пропорційні. Отже, система двох векторів лінійно залежна тоді і лише тоді, коли вектори пропорційні.

Пропорційні вектори лежать на одній прямій; у зв'язку з цим і загальному випадку пропорційні вектори іноді називають колінеарними.

Зазначимо деякі властивості лінійної залежності векторів.

Властивість 1. Система векторів, що містить лінійно залежну підсистему, лінійно залежна.

Нехай лінійно залежна підсистема

Тоді існують не всі рівні нулю числа такі, що

Додавши до лівої частини цієї рівності інші вектори даної системи з нульовими коефіцієнтами, отримаємо необхідне.

З властивості 1 випливає, що будь-яка підсистема лінійно-незалежної системи векторів лінійно незалежна.

Властивість 2. Якщо система векторів

лінійно незалежна, а система векторів

лінійно залежна, вектор лінійно виражається через вектори системи (4).

Так як система векторів (5) лінійно залежна, то існують не всі рівні нулю числа такі, що

Якщо і тоді ненульові коефіцієнти будуть серед що означало б лінійну залежність системи (4). Значить, і

Властивість 3. Упорядкована система ненульових векторів

лінійно залежна тоді і лише тоді, коли деякий вектор є лінійною комбінацією попередніх векторів.

Нехай система лінійно залежить. Бо вектор лінійно незалежний. Позначимо через найменше натуральне число, у якому система лінійно залежна. (Таке існує: у крайньому випадку, якщо системи лінійно незалежні, то тоді існують не всі рівні нулю числа такі, що виконується рівність

Якби то ненульові коефіцієнти були б серед і виконувалася б рівність

що означало б лінійну залежність системи але це суперечило б вибору числа Значить, і тому

Назад, з рівності (7) за якістю 1 випливає лінійна залежність системи

З властивості 3 легко випливає, що система векторів тоді й лише тоді лінійно залежить, коли хоча б один її вектор лінійно виражається через інші. У цьому сенсі і кажуть, що поняття лінійної залежності еквівалентне поняттю лінійної виразності.

Властивість 4. Якщо вектор х лінійно виражається через вектори системи

а вектор лінійно виражається через інші вектори системи (8), вектор також лінійно виражається через ці вектори системи (8).

Справді,

Тепер можна довести одну з найважливіших теорем про лінійну залежність векторів.

Теорема 1. Якщо кожен вектор має лінійно незалежну систему

є лінійна комбінація векторів

то Іншими словами, в лінійно незалежній системі векторів, що є лінійними комбінаціями векторів число векторів не може бути більше

Доведення. 1-й крок. Побудуємо систему

За умовою кожен вектор системи (9), зокрема вектор лінійно виражається через вектори (10), тому система (11) лінійно залежна. За властивістю 3 в системі (11) деякий вектор де лінійно виражається через попередні вектори, а тому через вектори системи

отриманої з (11) видаленням вектора Звідси за якістю 4 маємо: кожен вектор системи (9) лінійно виражається через вектори системи (12).

2 крок. Застосовуючи ті ж міркування, що й на кроці, до систем векторів

та (12) та враховуючи, що система векторів лінійно незалежна, ми отримаємо систему векторів

якими лінійно виражаються всі вектори системи (9).

Якщо припустити, що те, продовжуючи цей процес, ми через кроки вичерпаємо всі вектори та отримаємо систему

таку, що кожен вектор системи (9), зокрема, лінійно виражається через вектори системи (14). Тоді система (9) виявляється лінійно залежною, що суперечить умові. Залишається прийняти, що

Розглянемо тепер, що означає лінійна залежність векторів у різних просторах.

1. Простір Якщо система двох векторів лінійно залежна, то тобто вектори колінеарні. Правильне і зворотне. Система трьох векторів простору лінійно залежить тоді й лише тоді, коли вони лежать в одній площині. (Доведіть!) Система чотирьох векторів простору завжди лінійно залежна. Справді, якщо будь-яка підсистема нашої системи є лінійно залежною, то і вся система лінійно залежною. Якщо ж власна підсистема не є лінійно залежною, то за попереднім це означає, що ніякі три вектори нашої системи не лежать на одній площині. Тоді з геометричних міркувань випливає існування дійсних чисел таких, що паралелепіпед з ребрами-векторами матиме діагональ, тобто в рівності

Лінійна залежність та незалежність векторів

Визначення лінійно залежної та незалежної систем векторів

Визначення 22

Нехай маємо систему з n-векторів і маємо набір чисел, тоді

(11)

називається лінійною комбінацією даної системи векторів із цим набором коефіцієнтів.

Визначення 23

Система векторів називається лінійно залежною, якщо існує такий набір коефіцієнтів, з яких хоча б один не дорівнює нулю, що лінійна комбінація даної системи векторів з цим набором коефіцієнтів дорівнює нульовому вектору:

Нехай тоді

Визначення 24 (через уявлення одного вектора системи у вигляді лінійної комбінації інших)

Система векторів називається лінійно залежною, якщо хоча б один із векторів цієї системи можна подати у вигляді лінійної комбінації інших векторів цієї системи.

Твердження 3

Визначення 23 та 24 еквівалентні.

Визначення 25(через нульову лінійну комбінацію)

Система векторів називається лінійно незалежною, якщо нульова лінійна комбінація цієї системи можлива лише за всіх рівних нулю.

Визначення 26(через неможливість уявлення одного вектора системи у вигляді лінійної комбінації інших)

Система векторів називається лінійно незалежною, якщо не один із векторів цієї системи не можна уявити у вигляді лінійної комбінації інших векторів цієї системи.

Властивості лінійно залежної та незалежної систем векторів

Теорема 2 (нульовий вектор у системі векторів)

Якщо системі векторів є нульовий вектор, то система лінійно залежна.

Нехай тоді.

Отримаємо , отже, за визначенням лінійно залежної системи векторів через нульову лінійну комбінацію (12) система лінійно залежна.

Теорема 3 (Залежна підсистема в системі векторів)

Якщо системі векторів є лінійно залежна підсистема, те й система лінійно залежна.

 Нехай-лінійно залежна підсистема, серед яких хоча б одне не дорівнює нулю:

Отже, за визначенням 23 система лінійно залежна. 

Теорема 4

Будь-яка підсистема лінійно-незалежної системи лінійно незалежна.

 Від протилежного. Нехай система лінійно незалежна і у ній є лінійно залежна підсистема. Але тоді за теоремою 3 вся система буде також лінійно залежною. Протиріччя. Отже, підсистема лінійно незалежної системи не може бути лінійно залежною.

Геометричний зміст лінійної залежності та незалежності системи векторів

Теорема 5

Два вектори або нейро залежні тоді і тільки тоді, коли.

 Необхідність.

і- лінійно залежні, що виконується умова. Тоді, тобто.

Достатність.

лінійно залежні. 

Наслідок 5.1

Нульовий вектор колінеарен будь-якому вектору

Наслідок 5.2

Для того щоб два вектори були лінійно незалежні необхідно і достатньо, щоб був не колінеарен.

Теорема 6

Для того, щоб система з трьох векторів була лінійно залежна, необхідно і достатньо, щоб ці вектори були компланарними. .

 Необхідність.

Лінійно залежні, отже, один вектор можна подати у вигляді лінійної комбінації двох інших.

де і. За правилом паралелограмає діагональ паралелограма зі сторонами, але паралелограм - плоска фігуракомпланарні- теж компланарні.

Достатність.

Компланарні. Прикладемо три вектори до точки:

– лінійно залежні

Наслідок 6.1

Нульовий вектор компланарен будь-якої пари векторів.

Наслідок 6.2

Для того щоб вектори були лінійно незалежні, необхідно і достатньо, щоб вони були не компланарні.

Наслідок 6.3

Будь-який вектор площини можна подати у вигляді лінійної комбінації будь-яких двох неколлінеарних векторів цієї ж площини.

Теорема 7

Будь-які чотири вектори у просторі лінійно залежні. .

 Розглянемо 4 випадки:

Проведемо площину через вектори, потім площину через вектори та площину через вектори. Потім проведемо площини, що проходять через точку D, паралельні парам векторів; ; відповідно. По лініях перетину площин будуємо паралелепіпед OB 1 D 1 C 1 ABDC.

Розглянемо OB 1 D 1 C 1 - Паралелограм по побудові за правилом паралелограма.

Розглянемо OADD 1 – паралелограм (з властивості паралелепіпеда), тоді

EMBED Equation.3.

По теоремі 1 такі, що. Тоді і за визначенням 24 система векторів лінійно залежна. 

Наслідок 7.1

Сумою трьох некомпланарних векторів у просторі є вектор, що збігається з діагоналлю паралелепіпеда, побудованого на цих трьох векторах, прикладених до загального початку, причому початок вектора суми збігається із загальним початком цих трьох векторів.

Наслідок 7.2

Якщо в просторі взяти 3 некомпланарні вектори, то будь-який вектор цього простору можна розкласти в лінійну комбінацію даних трьох векторів.

Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують такі числа , серед яких хоча б одне відмінно від нуля, що виконується рівність. >.

Якщо ж ця рівність виконується тільки в тому випадку, коли всі , то система векторів називається лінійно незалежною.

Теорема.Система векторів буде лінійно залежноютоді і лише тоді, коли хоча б один із її векторів є лінійною комбінацією інших.

приклад 1.Багаточлен є лінійною комбінацією багаточленів. Багаточлени становлять лінійно незалежну систему, так як багаточлен https ://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

приклад 2.Система матриць , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" є лінійно незалежною, так як лінійна комбінація дорівнює нульовій матриці тільки в тому випадку, коли https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21"> /images/image022_26.gif" width="40" лінійно залежною.

Рішення.

Складемо лінійну комбінацію даних векторів https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" 22">.

Прирівнюючи однойменні координати рівних векторів, отримуємо width="289" height="69">

Остаточно отримаємо

Система має єдине тривіальне рішення, тому лінійна комбінація даних векторів дорівнює нулю лише у разі, коли всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Тому система векторів лінійно незалежна.

приклад 4.Вектори лінійно незалежні. Якими будуть системи векторів

Рішення.

a).Складемо лінійну комбінацію та прирівняємо її до нуля

Використовуючи властивості операцій з векторами в лінійному просторі, перепишемо останню рівність у вигляді

Так як вектори лінійно незалежні, то коефіцієнти повинні бути дорівнюють нулю, тобто gif.

Отримана система рівнянь має єдине тривіальне рішення.

Оскільки рівність (*) виконується тільки при - лінійно незалежні;

b).Складемо рівність https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" (**)

Застосовуючи аналогічні міркування, отримаємо

Вирішуючи систему рівнянь методом Гауса, отримаємо

Остання система має безліч рішень https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Таким чином, існує, ненульовий набір коефіцієнтів, для якого виконується рівність (**) . Отже, система векторів – лінійно залежна.

Приклад 5Система векторів лінійно незалежна, а система векторів лінійно залежна. gif. (***)

У рівності (***) . Справді, система була б лінійно залежною.

Зі співвідношення (***) отримуємо або Позначимо.

Завдання для самостійного вирішення (в аудиторії)

1. Система, що містить нульовий вектор, є лінійно залежною.

2. Система, що складається з одного вектора а, лінійно залежна тоді і лише тоді, коли, а=0.

3. Система, що складається з двох векторів, лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли вектори пропорційні (тобто один з них виходить з іншого множенням на число).

4. Якщо до лінійно залежної системи додати вектор, то вийде лінійно залежна система.

5. Якщо з лінійно незалежної системи видалити вектор, отримана система векторів лінійна незалежна.

6. Якщо система Sлінійно незалежна, але стає лінійно залежною при додаванні вектора b, то вектор bлінійно виражається через вектори системи S.

c).Система матриць , у просторі матриць другого порядку.

10. Нехай система векторів a,b,cвекторного простору лінійно незалежно. Доведіть лінійну незалежність наступних систем векторів:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–довільне число

c).a+b, a+c, b+c.

11. Нехай a,b,c– три вектори на площині, у тому числі можна скласти трикутник. Чи ці вектори будуть лінійно залежні?

12. Дано два вектори a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Підібрати ще два чотиривимірні вектори a3 таa4так, щоб система a1,a2,a3,a4була лінійно незалежною .