Центрошвидке прискорення- компонента прискорення точки, що характеризує швидкість зміни напрямку вектора швидкості для траєкторії з кривизною (друга компонента, тангенціальне прискорення, характеризує зміну модуля швидкості). Направлено до центру кривизни траєкторії, що й обумовлений термін. За величиною дорівнює квадрату швидкості, поділеному на радіус кривизни. Термін «відцентрове прискорення» еквівалентний терміну « нормальне прискорення». Ту складову суми сил, яка зумовлює це прискорення, називають доцентровою силою .
Найбільш простим прикладом доцентрового прискорення є вектор прискорення при рівномірному русі по колу (спрямований до центру окружності).
Загострювальне прискоренняв проекції на площину, перпендикулярну до осі, постає як доцентрове.
Енциклопедичний YouTube
-
1 / 5
A n = v 2 R (\displaystyle a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) a n = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\ ,)
де a n (\displaystyle a_(n)\ )- нормальне (відцентрове) прискорення, v (\displaystyle v\ )- (миттєва) лінійна швидкість руху по траєкторії, ω (\displaystyle \omega \ )- (миттєва) кутова-швидкість цього руху щодо центру кривизни траєкторії, R (\displaystyle R\)- радіус кривизни траєкторії у цій точці. (Зв'язок між першою формулою та другою очевидний, враховуючи v = R ( \ displaystyle v = \ omega R \ )).
Вирази вище включають абсолютні величини. Їх легко записати у векторному вигляді, домноживши на e R (\displaystyle \mathbf(e) _(R))- одиничний вектор від центру кривизни траєкторії до цієї точки:
a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf(a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf(e) _(R)= (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) a n = ω 2 R .Ці формули однаково застосовні до випадку руху з постійною (за абсолютною величиною) швидкістю, і до довільного випадку. Однак у другому треба мати на увазі, що доцентрове прискорення не є повний вектор прискорення, а лише його складова, перпендикулярна траєкторії (або, що те ж, перпендикулярна вектору миттєвої швидкості); в повний вектор прискорення тоді входить ще й тангенціальна складова ( тангенціальне прискорення) a τ = d v / d t (\displaystyle a_(\tau )=dv/dt\ ), у напрямку збігається з дотичною до траєкторії (або, що те саме, з миттєвою швидкістю) .
Мотивація та висновок
Те, що розкладання вектора прискорення на компоненти - одну вздовж дотичного до траєкторії вектора (тангенціальне прискорення) та іншу ортогональну йому (нормальне прискорення) - може бути зручним і корисним, досить очевидно саме собою. При русі з постійною за модулем швидкістю тангенціальна складова стає рівною нулю, тобто в цьому важливому окремому випадку залишається тількинормальна складова. Крім того, як можна побачити нижче, кожна з цих складових має яскраво виражені власні властивості та структуру, і нормальне прискорення містить у структурі своєї формули досить важливе та нетривіальне геометричне наповнення. Не кажучи вже про важливий окремий випадок руху по колу.
Формальний висновок
Розкладання прискорення на тангенціальну та нормальну компоненти (друга з яких і є доцентрове або нормальне прискорення) можна знайти, продиференціювавши за часом вектор швидкості , представлений у вигляді v = v e τ (\displaystyle \mathbf(v) =v\,\mathbf(e) _(\tau ))через одиничний вектор дотичної e τ (\displaystyle \mathbf (e) _(\tau )):
a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + d t d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n ( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v) (\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( n)\ ,)Тут використано позначення для одиничного вектора нормалі до траєкторії та l (\displaystyle l\)- для поточної довжини траєкторії ( l = l (t) (\displaystyle l=l(t)\ )); в останньому переході також використано очевидне
d l / d t = v (\displaystyle dl/dt=v\ )і, з геометричних міркувань,
d e d l = e n R . (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))=(\frac (\mathbf (e) _(n))(R)).)v 2 R e n (\displaystyle (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ ) Нормальним (відцентровим) прискоренням. При цьому його сенс, зміст об'єктів, що входять до нього, а також доказ того факту, що він дійсно ортогональний щодо вектора (тобто що e n (\displaystyle \mathbf(e) _(n)\ ) - дійсно вектор нормалі) - буде випливати з геометричних міркувань (втім, те, що похідна будь-якого вектора постійної довжини за часом перпендикулярна самому цьому вектору, - досить простий факт; в даному випадку ми застосовуємо це твердження для
d e τ d t (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt)))
Зауваження
Легко помітити, що абсолютна величина тангенціального прискорення залежить тільки від дорожнього прискорення, збігаючись з його абсолютною величиною, на відміну абсолютної величини нормального прискорення, яка від дорожнього прискорення не залежить, зате залежить від дорожньої швидкості. Наведені тут способи або їх варіанти можуть бути використані для введення таких понять, як кривизна кривої та радіус кривизни кривої (оскільки у випадку, коли крива - коло, R (\displaystyle R) збігається з радіусом такого кола; не дуже важко також показати, що коло в площині e τ , e n (\displaystyle \mathbf (e) _(\tau ),\,e_(n)) з центром у напрямку e n (\displaystyle e_(n)\ ) Наведені тут способи або їх варіанти можуть бути використані для введення таких понять, як кривизна кривої та радіус кривизни кривої (оскільки у випадку, коли крива - коло,від цієї точки на відстані
від неї - буде збігатися з даною кривою - траєкторією - з точністю до другого порядку трішки на відстані до цієї точки).
Історія
Першим правильні формули для доцентрового прискорення (або відцентрової сили) отримав, мабуть, Гюйгенс. Фактично з цього часу розгляд доцентрового прискорення входить у звичайну техніку вирішення механічних завдань і т.д.
Дещо пізніше ці формули відіграли істотну роль у відкритті закону всесвітнього тяжіння (формула доцентрового прискорення використовувалася для отримання закону залежності гравітаційної сили від відстані до джерела гравітації, виходячи з виведеного зі спостережень третього закону Кеплера).
Рівномірний рух по колу характеризується рухом тіла вздовж кола. При цьому змінюється лише напрямок швидкості, а її модуль залишається постійним.
У випадку тіло рухається по криволінійної траєкторії, і його складно описати. Для спрощення опису криволінійного руху його розбивають більш прості види руху. Зокрема один із таких видів і є рівномірний рух по колу. Будь-яку криву траєкторію руху можна розбити на ділянки досить малої величини, на яких тіло буде приблизно рухатися по дузі, що є частиною кола.
При русі тіла по колу лінійна швидкість спрямована по дотичній. Отже, навіть якщо тіло рухається дугою з постійною по модулю швидкістю, то напрям руху в кожній точці буде різним. Таким чином, будь-який рух по колу є рухом з прискоренням.
Уявіть собі коло, яким рухається матеріальна точка. У нульовий момент часу вона знаходиться в положенні A. Через деякий інтервал часу вона опиняється в точці B. Якщо провести два радіуси вектор з центру кола до точки A і точки B, то між ними вийде деякий кут. Назвемо його кут фі. Якщо за однакові проміжки часу точка повертається на однаковий кут фі, такий рух називається рівномірним, а швидкість називається кутовий.
Малюнок 1 – кутова швидкість.
Кутова швидкість вимірюється в обертах на секунду. Один оборот на секунду це коли точка проходить вздовж усього кола і повертається в початкове положення, витративши на це одну секунду. Такий оборот називається періодом звернення. Величина обернена до періоду обертання називається частота обертання. Тобто скільки обертів встигає зробити крапка протягом однієї секунди. Кут утворений двома радіусами векторами вимірюється в радіанах. Радіан це кут між двома радіус векторами, які вирізають на поверхні кола дугу довгою в радіус.
Швидкість руху точки по колу можна вимірювати і в радіанах за секунду. У такому разі переміщення точки на один радіан за секунду і називається швидкістю. Така швидкість називається кутовий. Тобто на скільки одиничних кутів встигає повернутися радіус вектор протягом однієї секунди. При рівномірному русі по колу кутова швидкість стала.
Для визначення прискорення руху по колу побудуємо малюнку вектора швидкості точок А і У. Кут між цими векторами дорівнює куту між радіус векторами. Так як прискорення це різниця між швидкостями, взятими через певний інтервал часу, поділена на цей інтервал. То за допомогою паралельного перенесення перенесемо початок вектора швидкості в точці А в точку В. Різницею цих векторів буде вектор дельта V. Якщо його розділити на хорду, що з'єднує точки А і В, за умови, що відстань між точками нескінченно мала, то ми й отримаємо вектор прискорення спрямований до центру кола. Який так само називають доцентровим прискоренням.
Так як лінійна швидкість рівномірно змінює напрямок, то рух по колу не можна назвати рівномірним, воно є рівноприскореним.
Кутова швидкість
Виберемо на колі крапку 1 . Збудуємо радіус. За одиницю часу точка переміститься до пункту 2 . У цьому радіус визначає кут. Кутова швидкість чисельно дорівнює куту повороту радіусу за одиницю часу.
Період та частота
Період обертання T- цей час, протягом якого тіло здійснює один оборот.
Частота обертання – це кількість обертів за одну секунду.
Частота та період взаємопов'язані співвідношенням
Зв'язок із кутовою швидкістю
Лінійна швидкість
Кожна точка на колі рухається із деякою швидкістю. Цю швидкість називають лінійною. Напрямок вектора лінійної швидкості завжди збігається з дотичною до кола.Наприклад, іскри з-під точильного верстата рухаються, повторюючи напрямок миттєвої швидкості.
Розглянемо точку на колі, яка здійснює один оборот, час, який витрачено – це є період T. Шлях, який долає точка - це довжина кола.
Центрошвидке прискорення
При русі коло вектор прискорення завжди перпендикулярний вектору швидкості, спрямований у центр кола.
Використовуючи попередні формули, можна вивести такі співвідношення
Точки, що лежать на одній прямій, що виходить із центру кола (наприклад, це можуть бути точки, які лежать на спиці колеса), матимуть однакові кутові швидкості, період і частоту. Тобто вони обертатимуться однаково, але з різними лінійними швидкостями. Чим далі точка від центру, тим швидше вона рухатиметься.
Закон складання швидкостей справедливий і для обертального руху. Якщо рух тіла чи системи відліку перестав бути рівномірним, то закон застосовується для миттєвих швидкостей. Наприклад, швидкість людини, що йде по краю каруселі, що обертається, дорівнює векторній сумі лінійної швидкості обертання краю каруселі і швидкості руху людини.
Земля бере участь у двох основних обертальних рухах: добовому (навколо своєї осі) та орбітальному (навколо Сонця). Період обертання Землі навколо Сонця становить 1 рік або 365 діб. Навколо своєї осі Земля обертається із заходу Схід, період цього обертання становить 1 добу чи 24 години. Широтою називається кут між площиною екватора та напрямом із центру Землі на точку її поверхні.
Згідно з другим законом Ньютона причиною будь-якого прискорення є сила. Якщо тіло, що рухається, відчуває доцентрове прискорення, то природа сил, дією яких викликано це прискорення, може бути різною. Наприклад, якщо тіло рухається по колу на прив'язаній до нього мотузці, то силою, що діє, є сила пружності.
Якщо тіло, що лежить на диску, обертається разом із диском навколо його осі, то такою силою є сила тертя. Якщо сила припинить свою дію, то далі тіло рухатиметься прямою
Розглянемо переміщення точки на колі з А до В. Лінійна швидкість дорівнює v Aі v Bвідповідно. Прискорення – зміна швидкості за одиницю часу. Знайдемо різницю векторів.
Джерело завдання: Рішення 3553.-20. ОДЕ 2016 Математика, І.В. Ященко. 36 варіантів.
Завдання 18.На діаграмі показано розподіл земель за категоріями Уральського, Приволзького, Південного та Далекосхідного федеральних округів. Визначте за діаграмою, у якому окрузі частка земель сільськогосподарського призначення найменша.
1) Уральський ФО
2) Приволзький ФО
3) Південний ФО
4) Далекосхідний ФО
Рішення.
Землі сільськогосподарського призначення пофарбовані сектором як горизонтальних ліній (див. малюнок). Потрібно вибрати округ, у якому площа такого сектора мінімальна. Аналіз малюнка показує, що це Далекосхідний федеральний округ.
Відповідь: 4.
Завдання 19.У бабусі 20 чашок: 10 із червоними квітами, решта із синіми. Бабуся наливає чай у випадково вибрану чашку. Знайдіть ймовірність того, що це буде чашка із синіми квітами.
Рішення.
Так як чашок з синіми квітами рівно 20-10 = 10 штук, а всього чашок 20, то ймовірність вибору навмання чашки з синіми квітами буде рівна
.Відповідь: 0,5.
Завдання 20.Центрошвидке прискорення при русі по колу (м/с2) можна обчислити за формулою a=w^2*R де w - кутова швидкість (с-1), a R - радіус кола. Користуючись цією формулою, знайдіть радіус R (в метрах), якщо кутова швидкість дорівнює 7,5 с-1, а доцентрове прискорення дорівнює 337,5 м/с2.
Рішення.
З формули висловимо радіус кола, отримаємо:
і обчислимо його, підставивши формулу дані , , маємо.
У природі рух тіла частіше відбувається за кривими лініями. Майже будь-який криволінійний рух можна представити як послідовність рухів по дугах кіл. У загальному випадку, при русі по колу швидкість тіла змінюється як за величиною,так і у напрямку.
Рівномірний рух по колу
Рух по колу називається рівномірним, якщо величина швидкості залишається незмінною.
За третім законом Ньютона будь-яка дія викликає рівну і протилежно спрямовану протидію. Центрошвидкій силі, з якою зв'язок діє на тіло, протидіє рівна за модулем і протилежно спрямована сила, з якою тіло діє на зв'язок. Цю силу F 6 назвали відцентровий,оскільки вона спрямована по радіусу від центру кола. Відцентрова сила дорівнює за модулем доцентрової:
приклади
Розглянемо випадок, коли спортсмен обертає навколо голови предмет, прив'язаний до кінця нитки. Спортсмен відчуває при цьому силу, прикладену до руки і тягне її назовні. Для утримання предмета на колі спортсмен (за допомогою нитки) тягне його всередину. Отже, за третім законом Ньютона, предмет (знов-таки за допомогою нитки) діє на руку з рівною і протилежно спрямованою силою, і це сила, яку відчуває рука спортсмена (рис. 3.23). Сила, що діє на предмет, - це спрямована всередину сила натягу нитки.
Інший приклад: на спортивний снаряд «молот» діє трос, утримуваний спортсменом (рис. 3.24).
Нагадаємо, що відцентрова сила діє не на тіло, що обертається, а на нитку. Якби відцентрова сила діяла на тіло,то при обриві нитки воно полетіло б по радіусу у бік від центру, як показано на рис 3.25, а. Однак насправді при обриві нитки тіло починає рухатися дотичною (рис 3.25, б) у напрямку швидкості, яку воно мало в момент обриву нитки.
Відцентрові сили знаходять широке застосування.
Центрифуга – пристрій, призначений для тренувань та випробувань льотчиків, спортсменів, космонавтів. Великий радіус (до 15 м) і велика потужність двигунів (кілька МВт) дозволяють створювати до прискорення до 400 м/с 2 . Відцентрова сила при цьому притискає тіла з силою, яка перевищує нормальну силу тяжіння на Землі більш ніж у 40 разів. Людина може витримувати тимчасове навантаження в 20-30 разів, якщо вона лежить перпендикулярно напрямку відцентрової сили, і в 6 разів, якщо лежить вздовж напрямку цієї сили.
3.8. Елементи опису руху людини
Рухи людини носять складний характер і важко піддаються опису. Однак у ряді випадків можна виділити суттєві моменти, що відрізняють одні види рухів від інших. Розглянемо, наприклад, чим відрізняється біг від ходьби.
Елементи крокальних рухів під час ходьби представлені на рис. 3.26. У крокальних рухах кожна нога по черзі буває опорною та переносною. В опорний період входять амортизація (гальмування руху тіла до опори) і відштовхування, в переносний - розгін і гальмування.
Послідовні рухи тіла людини та її ніг при ходьбі представлені на рис. 3.27.
Лінії А та В дають якісне зображення руху стоп ніг у процесі ходьби. Верхня лінія А відноситься до однієї ноги, нижня лінія - до іншої. Прямі ділянки відповідають моментам опори стопи об землю, дугоподібні ділянки – моментам руху стоп. Протягом часу (а) обидві ноги спираються на землю; потім (Ь)- нога А повітря, нога В продовжує спиратися; а після (с)- Знову обидві ноги спираються об землю. Чим швидше ходьба, тим коротшими стають проміжки (аі с).
На рис. 3.28 представлені послідовні рухи тіла людини під час бігу та графічне зображення рухів стоп. Як видно на малюнку, при бігу існують проміжки часу { b, d, /), коли обидві ноги перебувають у повітрі, а проміжків одночасного торкання ніг землі немає. Цим і відрізняється біг від ходьби.
Іншим поширеним видом руху є відштовхування від опори за різних стрибків. Відштовхування відбувається за рахунок випрямлення поштовхової ноги, махових рухів рук та тулуба. Завдання відштовхування - забезпечити максимальну величину вектора початкової швидкості загального центру мас спортсмена та його оптимальне напрямок. На рис. 3.29 показані фази
\ Розділ 4
ДИНАМІКА РУХУМАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ
Динамікою називається розділ механіки, у якому вивчається рух тіла з урахуванням його взаємодії коїться з іншими тілами.
У розділі «Кінематика» було введено поняття швидкостіі прискоренняматеріальної точки. Для реальних тіл ці поняття потребують уточнення, тому що для різних точок реального тілаці показники руху можуть бути різні. Наприклад, закручений футбольний м'яч не лише рухається вперед, а й обертається. Точки тіла, що обертається, рухаються з різними швидкостями. Тому спочатку розглядається динаміка матеріальної точки, а потім отримані результати поширюються на реальні тіла.