Розглянемо ПДСК (O, i,j,k) у просторі R 3 . Нехай  – деяка площина та вектор  Nперпендикулярний . Зафіксуємо на площині  довільну точку М 0 і візьмемо поточну точку М простору. Позначимо ` r =
і ` r 0 =
. Тоді
=`r – `r 0 , а точка М тоді і лише тоді, коли вектори ` Nі
ортогональні. Останнє можливо, коли

N .
= 0, тобто  N . (`r –`r 0) = 0, (9)

це рівняння називається векторним рівняннямплощині. Вектор ` Nназивають нормальнимвектор плоскої.

Якщо ` N =(А, У, З), М 0 ( х 0 , у 0 , z 0) , М( х, у, z) , то рівняння (9) набуде вигляду

А( х – х 0) + В( у – у 0) + С( z – z 0) = 0, (10).

Це рівняння називають рівнянням площини, що проходить через дану точкуперпендикулярно до заданого вектора.

До Як відомо, через три точки можна провести єдину площину. Нехай М 1 ( х 1 , у 1 , z 1), М 3 ( х 2 , у 2 , z 2), М 3 ( х 3 , у 3 , z 3). Знайдемо рівняння цієї площини. Відповідно до векторного рівняння (9), щоб записати це рівняння, необхідно знати точку площини та нормальний вектор. Крапка у нас є (наприклад М 1). А як нормальний вектор підійде будь-який вектор, перпендикулярний цій площині. Відомо, що векторний добуток двох векторів перпендикулярно до площини, в якій лежать ці вектори. Отже, векторний добуток векторів
і
можна взяти як нормальний вектор площини :

` N =


Тоді рівняння площини  в векторної формимає вигляд

. (

) =
.
.
= 0.

(зауважимо, що отримали умову компланарності векторів
,
,
).

Через координати точок М1, М2, М3 і М це рівняння запишеться так

, (11)

і називається рівнянням площини, проходить через три задані точкиМ 1 ( х 1 , у 1 , z 1), М 2 ( х 2 , у 2 , z 2), М 3 ( х 3 , у 3 , z 3).

Розглянемо знову рівняння (9), перетворимо його:

Ах + Ву + Cz +(–Ах 0 – Ву 0 – Cz 0) = 0 ,

Ах + Ву + Cz+D = 0, де D = (- Ах 0 – Ву 0 – Cz 0) .

Рівняння

Ах + Ву + Cz+D = 0, (12)

називається загальним рівняннямплощині. Тут векторN = ( A, B, C) – нормальний вектор площини (тобто вектор, перпендикулярний до площини). Справедлива теорема:

Теорема 4.2.

У просторі R 3 всяка площина може бути описана лінійним щодо змінних x y, zрівнянням та навпаки, Будь-яке рівняння першого ступеня визначає деяку площину.

Вивчимо розташування площини щодо системи координат за її загальним рівнянням Ах + Ву + Cz+ D = 0.

Якщо коефіцієнт D = 0, то координати точки О(0, 0, 0) задовольняють рівняння Ах + Ву + Cz= 0, отже, ця точка лежить площині, тобто. площину з рівнянням Ах + Ву + Cz= 0 проходить через початок координат.

Якщо у загальному рівнянні площини відсутня однаіз змінних (відповідний коефіцієнт дорівнює нулю), то площина паралельна однойменній осі координат. Наприклад, рівняння Ах + Cz + D= 0 визначає площину, паралельну осі ОУ. Дійсно, вектор нормалі має координати. ` N= (А, 0, С) і легко перевірити, що ` Nj. Але якщо площина і вектор перпендикулярні тому самому вектору, всі вони паралельні. Площина з рівнянням Ву + Cz= 0, у разі, проходить через вісь ОХ (тобто. ця вісь лежить на площині)

Відсутність двохзмінних у рівнянні площини означає, що площина паралельна відповідній координатної площини, наприклад, рівняння виду Ах + D= 0 визначає площину, паралельну площиніУОZ. Вектор нормалі має координати ` N= (А, 0, 0), він колінеарен вектору  i, і, отже, площина перпендикулярна вектору  i, Або паралельна площині УОZ.

Рівняння координатних площинмають вигляд: пл. ХОУ: z= 0, пл. XOZ: y= 0, пл. YOZ: x = 0.

Справді, площина ХОУ проходить через початок координат (D = 0) та вектор  k=(0, 0, 1) – її звичайний вектор. Аналогічно площини ХОZ та УОZ проходять через початок координат (D = 0) та вектори  j=(0, 1, 0) та  i = (1,0,0) – їх нормалі відповідно.

Якщо D0, то перетворимо загальне рівняння так

Ах + Ву+С z = –D,
,
.

Про позначивши тут
,
,
, отримаємо рівняння
, (13)

яке називається рівнянням площини у відрізках на осях. Тут а, b, c– величини відрізків, що відсікаються площиною на осях координат (рис.). Це рівняння зручно використовуватиме побудови площині у системі координат. Неважко переконатися, що точки ( а, 0, 0), (0. b, 0), (0, 0, з) лежать на площині. Прямі, що проходять через ці точки, називаються слідамиплощині координатних площинах.

Наприклад, збудуємо площину

2х – 3у + 4z –12 = 0.

Наведемо це рівняння до виду (13), отримаємо

Д ля побудови площини в системі координат відзначимо на осі ОХ точку (6, 0, 0), на осі ОУ точку (0, -4, 0), на осі ОZ – (0, 0, 3), з'єднаємо їх відрізками прямі ( сліди площини). Отриманий трикутник є частиною площини, що шукається, укладена між осями координат.

Таким чином, щоб знайти рівняння площинидостатньо знати

Або нормальний вектор цієї площини та будь-яку її точку (рівняння (10));

Або три точки, що лежать на площині (рівняння (11)).

Взаємне розташування площину просторі зручно вивчати за допомогою відповідних векторів. Якщо  – площина з нормальним вектором N, то

.

Висновок формули аналогічний тому, як це було зроблено для прямої на площині. Провести його самостійно.

Рівняння площини. Як скласти рівняння площини?
Взаємне розташуванняплощин. Завдання

Просторова геометрія не набагато складніша за «плоску» геометрію, і наші польоти в просторі починаються з цієї статті. Для засвоєння теми необхідно добре розібратися в векторахКрім того, бажано бути знайомим з геометрією площини – буде багато схожого, багато аналогій, тому інформація перетравиться значно краще. У серії моїх уроків 2D-світ відкривається статтею Рівняння прямої на площині. Але зараз Бетмен зійшов із плоского екрану телевізора і стартує з космодрому Байконур.

Почнемо з креслень та позначень. Схематично площину можна намалювати як паралелограма, що створює враження простору:

Площина нескінченна, але ми маємо можливість зобразити лише її шматочок. На практиці, крім паралелограма, також промальовують овал або навіть хмарку. Мені з технічних причин зручніше зображати площину саме так і саме в такому положенні. Реальні площини, які ми розглянемо в практичні приклади, Можуть розташовуватися як завгодно - подумки візьміть креслення в руки і покрутіть його в просторі, додавши площині будь-який нахил, будь-який кут.

Позначення: площині прийнято позначати маленькими грецькими літерами , мабуть, щоб не плутати їх з прямий на площиніабо з прямий у просторі. Я звик використовувати букву. На кресленні саме буква "сигма", а зовсім не дірочка. Хоча, дірка площина, це, безумовно, дуже кумедно.

У ряді випадків для позначення площин зручно використовувати ті ж самі грецькі літериз нижніми підрядковими індексами, наприклад, .

Очевидно, що площина однозначно визначається трьома. різними точками, що не лежать на одній прямій. Тому досить популярні трибуквенні позначення площин – за точками, що належать їм, наприклад, і т.д. Нерідко букви укладають у круглі дужки: щоб не переплутати площину з іншою геометричною фігурою.

Для досвідчених читачів наведу меню швидкого доступу:

• Як скласти рівняння площини за точкою та двома векторами?
• Як скласти рівняння площини за точкою та вектором нормалі?

і ми не будемо нудитися довгими очікуваннями:

Загальне рівняння площини

Загальне рівняння площини має вигляд , де коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю.

Ряд теоретичних викладок та практичних завданьсправедливі як для звичного ортонормованого базису, так і для афінного базисупростору (якщо масло - олійне, поверніться до уроку Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів). Для простоти будемо вважати, що всі події відбуваються в ортонормованому базисі та декартовій прямокутної системикоординат.

А тепер трохи потренуємо просторова уява. Нічого страшного, якщо у вас воно погане, зараз трохи розвинемо. Навіть для гри на нервах потрібні тренування.

У самому загальному випадкуколи числа не дорівнюють нулю, площина перетинає всі три координатні осі. Наприклад, так:

Ще раз повторюю, що площина нескінченно продовжується на всі боки, і у нас є можливість зобразити тільки її частину.

Розглянемо найпростіші рівняння площин:

Як розуміти дане рівняння? Вдумайтеся: «зет» ЗАВЖДИ, за будь-яких значень «ікс» і «ігрок» дорівнює нулю. Це рівняння «рідної» координатної площини. Справді, формально рівняння можна переписати так: , звідки добре видно, що нам по барабану, які значення набувають «ікс» та «ігрок», важливо, що «зет» дорівнює нулю.

Аналогічно:
- Рівняння координатної площини;
- Рівняння координатної площини.

Трохи ускладнимо завдання, розглянемо площину (тут і далі в параграфі припускаємо, що числові коефіцієнти не дорівнюють нулю). Перепишемо рівняння як: . Як його розуміти? «Ікс» ЗАВЖДИ, за будь-яких значень «гравець» і «зет» дорівнює деякому числу . Ця площина паралельна координатній площині. Наприклад, площина паралельна площині проходить через точку .

Аналогічно:
– рівняння площини, яка паралельна координатній площині;
- Рівняння площини, яка паралельна координатній площині .

Додамо членів: . Рівняння можна переписати так: тобто «зет» може бути будь-яким. Що це означає? "Ікс" і "ігрок" пов'язані співвідношенням , яке прокреслює в площині деяку пряму (дізнаєтеся рівняння прямої на площині?). Оскільки "зет" може бути будь-яким, то ця пряма "тиражується" на будь-якій висоті. Таким чином, рівняння визначає площину, паралельну координатній осі

Аналогічно:
– рівняння площини, яка паралельна координатній осі;
- Рівняння площини, яка паралельна координатній осі .

Якщо вільні члени нульові, то площини безпосередньо проходитимуть через відповідні осі. Наприклад, класична "пряма пропорційність": . Накресліть у площині пряму і подумки розмножте її вгору і вниз (оскільки «зет» будь-яке). Висновок: площина, задана рівняннямпроходить через координатну вісь.

Завершуємо огляд: рівняння площини проходить через початок координат. Ну, тут очевидно, що точка задовольняє даному рівнянню.

І, нарешті, випадок, зображений на кресленні: – площина дружить з усіма координатними осямиПри цьому вона завжди «відсікає» трикутник, який може розташовуватися в будь-якому з восьми октантів.

Лінійні нерівності у просторі

Для розуміння інформації необхідно добре вивчити лінійні нерівності на площині, оскільки багато речей буду схожі. Параграф матиме короткий оглядовий характер із кількома прикладами, оскільки матеріал практично зустрічається досить рідко.

Якщо рівняння задає площину, то нерівності
задають напівпростору. Якщо нерівність несувора (два останніх у списку), то рішення нерівності крім напівпростору входить і сама площину.

Приклад 5

Знайти одиничний нормальний вектор площині .

Рішення: Одиничний вектор - це вектор, довжина якого дорівнює одиниці. Позначимо даний векторчерез. Цілком зрозуміло, що вектори колінеарні:

Спочатку з рівняння площині знімемо вектор нормалі: .

Як знайти одиничний вектор? Для того щоб знайти одиничний вектор, потрібно кожнукоординату вектора розділити на довжину вектора.

Перепишемо вектор нормалі у вигляді та знайдемо його довжину:

Відповідно до вищесказаного:

Відповідь:

Перевірка: , Що потрібно перевірити.

Читачі, які уважно вивчили останній параграф уроку, мабуть, помітили, що координати одиничного вектора – це точно напрямні косинуси вектора:

Відвернемося від розібраного завдання: коли вам дано довільний ненульовий вектор, і за умовою потрібно знайти його напрямні косинуси (див. останні завдання уроку Скалярний добуток векторів), то ви, по суті, знаходите і одиничний вектор, колінеарний даному. Фактично два завдання в одному флаконі.

Необхідність знайти одиничний вектор нормалі виникає у деяких завданнях математичного аналізу.

З вивуджування нормального вектора розібралися, тепер відповімо на протилежне питання:

Як скласти рівняння площини за точкою та вектором нормалі?

Цю жорстку конструкцію вектора нормалі та точки добре знає мету для гри в дартс. Будь ласка, витягніть руку вперед і подумки оберіть довільну точку простору, наприклад, маленьку кішечку в серванті. Очевидно, що через цю точку можна провести єдину площину перпендикулярну вашій руці.

Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору виражається формулою:

Рівняння поверхні у просторі

Визначення. Будь-яке рівняння, що зв'язує координати x, y, z будь-якої точки поверхні, є рівнянням цієї поверхні.

Загальне рівняння площини

Визначення. Площиною називається поверхня, всі точки якої задовольняють загальному рівнянню:

Ax + By + Cz + D = 0,

де А, В, С – координати вектора

вектор нормали до площини. Можливі такі окремі випадки:

А = 0 - площина паралельна осі Ох

В = 0 - площина паралельна осі Оу

С = 0 - площина паралельна осі Оz

D = 0 – площина проходить через початок координат

А = В = 0 - площина паралельна площині хОу

А = С = 0 - площина паралельна площині хОz

В = С = 0 - площина паралельна площині yOz

А = D = 0 – площина проходить через вісь Ох

В = D = 0 – площина проходить через вісь Оу

З = D = 0 – площина проходить через вісь Oz

А = В = D = 0 – площина збігається з площиною хОу

А = С = D = 0 – площина збігається з площиною xOz

В = С = D = 0 – площина збігається з площиною yOz

Рівняння площини, що проходить через три точки

Для того, щоб через три якісь точки простору можна було провести єдину площину, необхідно, щоб ці точки не лежали на одній прямій. Розглянемо точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) у загальній декартовій системікоординат. Для того щоб довільна точка М(x, y, z) лежала в одній площині з точками М1, М2, М3 необхідно, щоб вектори були компланарні.

Таким чином,

Рівняння площини, що проходить через три точки:

Рівняння площини за двома точками та вектором, колінеарною площиною

Нехай задані точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) та вектор.

Складемо рівняння площини, що проходить через дані точки М1 і М2 і довільну точку М(х, у, z) паралельно вектору.

Вектори та вектор мають бути компланарні, тобто.

Рівняння площини:

Рівняння площини по одній точці та двом векторам, колінеарним площині

Нехай задані два вектори і колінеарні площини. Тоді для довільної точки М(х, у, z), належної площині, вектори мають бути компланарними. Рівняння площини:

Рівняння площини за точкою та вектором нормалі

Теорема. Якщо в просторі задана точка М0(х0, у0, z0), то рівняння площини, що проходить через точку М0 перпендикулярно до вектора нормалі (A, B, C) має вигляд:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

Доказ. Для довільної точки М(х, у, z), що належить площині, складемо вектор. Т.к. вектор - вектор нормалі, він перпендикулярний площині, отже, перпендикулярний і вектору. Тоді скалярний твір

Таким чином, отримуємо рівняння площини

Теорему доведено.

Можна показати, що будь-яке рівняння першого ступеня щодо декартових координат x, y, zє рівнянням деякої площини. Це рівняння записується як:

Ax+By+Cz+D=0

і називається загальним рівняннямплощині, причому координати A, B, Cтут є координати нормального вектора площини.

Розглянемо окремі випадки загального рівняння. З'ясуємо, як розташовується площина щодо системи координат, якщо один або декілька коефіцієнтів рівняння звертаються до нуля.

1. Вільний член дорівнює нулю D= 0.

У цьому випадку рівняння площини набуває вигляду Ax+Cy+Bz=0. Т.к. числа x=0, y=0, z=0 задовольняють рівняння площини, вона проходить через початок координат. Аналогічно, якщо B= 0, то площина паралельна осі Ойі C= 0 – площина паралельна осі Oz. Т.ч., якщо в рівнянні площини один із коефіцієнтів при поточній координаті дорівнює нулю, то площина паралельна відповідній координатній осі.

1. Коефіцієнт при поточній координаті та вільний член дорівнюють нулю. Наприклад, A = D= 0. У цьому випадку рівняння By + Cz= 0 відповідає площину, що проходить через початок координат (згідно з п.1). Крім того, враховуючи п.2, дана площинамає бути паралельна осі Ox. Отже, площина проходить через вісь Ox.

Аналогічно, при B=D=0 площина Ax+Cz=0 проходить через вісь Ой. При C=D=0 площина проходить через вісь Oz.

1. Два коефіцієнти за поточних координат рани нулю. Нехай, наприклад, A=B=0. Тоді площина Cz+D=0 в силу п.2 буде паралельна осям Oxі Ой, а отже паралельна координатній площині xOyі проходить через точку з координатою. Аналогічно, рівнянням Ax+D=0 і By+D=0 відповідають площині, паралельні координатним площинам. yOzі xOz.
2. Два коефіцієнти при поточних координатах та вільний член дорівнюють нулю. Нехай, наприклад, A=B=D=0. Тоді рівняння площини має вигляд Cz=0 або z=0. Ця площина проходить через початок координат і паралельна до осей Oxі Ой, Т. е. рівняння визначає координатну площину xOy. Аналогічно, x=0 – рівняння координатної площини yOzі y=0 – площина xOz.

приклади.

1. Скласти рівняння площини, що проходить паралельно до осі. Ой, через крапки M 1(1; 0; -1), M 2(-1; 2;0).

Тому що вісь Ойпаралельна , то рівняння площини Ax+Cy+D=0. Враховуючи, що M 1Î α, M 2Î α, підставимо координати цих точок у рівняння та отримаємо систему з двох лінійних рівняньз трьома невідомими

Поклавши D= 1, знайдемо A= 1 і C= 2. Отже, рівняння площини має вигляд x+ 2z+1=0.

1. Скласти рівняння площини, що проходить через точку M(2;3;-4) паралельно площині yOz(перпендикулярно до осі Ox).

Оскільки yOz||α, то рівнянняплощини буде Ax+D=0. З іншого боку MÎ α, тому 2A+D=0, D=-2A. Тому площина має рівняння x-2=0.

Можна ставити різними способами(одною точкою та вектором, двома точками та вектором, трьома точками та ін.). Саме з урахуванням цього рівняння площини може мати різні види. Також при дотриманні певних умов площини можуть бути паралельними, перпендикулярними, такими, що перетинаються і т.д. Про це і поговоримо у цій статті. Ми навчимося складати загальне рівняння площини і не лише.

Нормальний вид рівняння

Припустимо, є простір R 3 який має прямокутну координатну систему XYZ. Задамо вектор α, який буде випущений з початкової точки О. Через кінець вектора α проведемо площину П, яка буде перпендикулярна йому.

Позначимо на П довільну точку Q = (х, у, z). Радіус-вектор точки Q підпишемо літерою. При цьому довжина вектора дорівнює р=IαI і Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Це одиничний вектор, спрямований убік, як і вектор α. α, β і γ - це кути, які утворюються між вектором і позитивними напрямками осей простору х, у, z відповідно. Проекція будь-якої точки Q? на вектор ? постійною величиною, яка дорівнює р: (р, ?) = р (р? 0).

Зазначене рівняння має сенс, коли р = 0. Єдине, площина П у цьому випадку перетинатиме точку О (α=0), яка є початком координат, і одиничний вектор Ʋ, випущений з точки О, буде перпендикулярний до П, незважаючи на його напрям, що означає, що вектор Ʋ визначається з точність до знака. Попереднє рівняння є рівнянням нашої поверхні П, вираженим у векторній формі. А ось у координатах його вигляд буде таким:

Р тут більше або дорівнює 0. Ми знайшли рівняння площини у просторі у нормальному вигляді.

Загальне рівняння

Якщо рівняння в координатах помножимо на будь-яке число, яке не дорівнює нулю, отримаємо рівняння, еквівалентне даному, що визначає ту саму площину. Воно матиме такий вигляд:

Тут А, В, С – це числа, одночасно відмінні від нуля. Це рівняння називається як рівняння поверхні загального виду.

Рівняння площин. Приватні випадки

Рівняння в загальному виглядіможе видозмінюватися за наявності додаткових умов. Розглянемо деякі з них.

Припустимо, що коефіцієнт А дорівнює 0. Це означає, що дана площина паралельна до заданої осі Ох. І тут вид рівняння зміниться: Ву+Cz+D=0.

Аналогічно вигляд рівняння змінюватиметься і за таких умов:

• По-перше, якщо В=0, то рівняння зміниться на Ах+Cz+D=0, що свідчить про паралельність осі Оу.
• По-друге, якщо С=0, то рівняння перетворюється на Ах+Ву+D=0, що говорити про паралельність заданої осі Oz.
• По-третє, якщо D=0, рівняння буде виглядати як Ах+Ву+Cz=0, що означатиме, що площина перетинає О (початок координат).
• По-четверте, якщо A=B=0, то рівняння зміниться на Cz+D=0, що доводитиме паралельність до Oxy.
• По-п'яте, якщо B = C = 0, то рівняння стане Ах + D = 0, а це означає, що площина до Oyz паралельна.
• По-шосте, якщо A=C=0, то рівняння набуде вигляду Ву+D=0, тобто повідомлятиме про паралельність до Oxz.

Вид рівняння у відрізках

У разі коли числа А, В, С, D відмінні від нуля, вид рівняння (0) може бути наступним:

х/а + у/b + z/с = 1,

у якому а = -D/А, b = -D/В, з = -D/С.

Отримуємо в результаті Варто відзначити, що дана поверхня буде перетинати вісь Ох в точці з координатами (а, 0,0), Оу - (0, b, 0), а Oz - (0,0, с).

З урахуванням рівняння х/а + у/b + z/с = 1 неважко візуально уявити розміщення площини щодо заданої координатної системи.

Координати нормального вектора

Нормальний вектор n до площини П має координати, що є коефіцієнтами загального рівняння даної площини, тобто n (А, В, С).

Щоб визначити координати нормалі n, досить знати загальне рівняння заданої площині.

При використанні рівняння у відрізках, яке має вигляд х/а + у/b + z/с = 1, як і при використанні загального рівняння, можна записати координати будь-якого нормального вектора заданої площини: (1/а + 1/b + 1/ с).

Варто зазначити, що нормальний вектор допомагає вирішити різноманітні завдання. До найпоширеніших відносяться задачі, що полягають у доказі перпендикулярності або паралельності площин, завдання знаходження кутів між площинами або кутів між площинами і прямими.

Вигляд рівняння площини згідно з координатами точки та нормального вектора

Ненульовий вектор n, перпендикулярний до заданої площини, називають нормальним (нормаллю) для заданої площини.

Припустимо, що у координатному просторі (прямокутній координатній системі) Oxyz задані:

• точка Мₒ з координатами (хₒ, уₒ, zₒ);
• нульовий вектор n = А * i + В * j + С * k.

Потрібно скласти рівняння площини, яка проходитиме через точку Мₒ перпендикулярно до нормалі n.

У просторі виберемо будь-яку довільну точку та позначимо її М (х у, z). Нехай радіус-вектор будь-якої точки М (х,у,z) буде r=х*i+у*j+z*k, а радіус-вектор точки Мₒ (хₒ,уₒ,zₒ) - rₒ=хₒ*i+уₒ *j+zₒ*k. Точка М належатиме заданій площині, якщо вектор МₒМ буде перпендикулярний вектору n. Запишемо умову ортогональності за допомогою скалярного твору:

[МₒМ, n] = 0.

Оскільки МₒМ = r-rₒ, векторне рівняння площини виглядатиме так:

Це рівняння може мати й іншу форму. Для цього використовуються властивості скалярного твору, а перетворюється ліва сторонарівняння. = -. Якщо позначити як с, то вийде таке рівняння: - с = 0 або = с, яке виражає сталість проекцій на нормальний вектор радіус-векторів заданих точок, що належать до площини.

Тепер можна отримати координатний вид запису векторного рівняннянашої площині = 0. Оскільки r-rₒ = (х-хₒ)*i + (у-уₒ)*j + (z-zₒ)*k, а n = А*i+В*j+С*k ми маємо:

Виходить, у нас утворюється рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до нормалі n:

А*(х-хₒ)+В*(у-уₒ)С*(z-zₒ)=0.

Вид рівняння площини згідно з координатами двох точок та вектора, колінеарної площини

Задамо дві довільні точки М '(х',у',z') і М'(х',у',z'), а також вектор а (а',а',а').

Тепер ми зможемо скласти рівняння заданої площини, яка проходитиме через наявні точки М′ і М″, а також будь-яку точку М із координатами (х,у,z) паралельно заданому вектору а.

При цьому вектори М′М=(х-х′;у-у′;z-z′) та М″М=(х″-х′;у″-у′;z″-z′) повинні бути компланарними з вектором а=(а′,а″,а‴), а це означає, що (М′М, М″М, а)=0.

Отже, наше рівняння площини у просторі виглядатиме так:

Вигляд рівняння площини, що перетинає три точки

Припустимо, у нас є три точки: (х',у',z'), (х',у',z'), (х‴,у‴,z‴), які не належать до однієї прямої. Необхідно написати рівняння площини, що проходить через три точки. Теорія геометрії стверджує, що така площина дійсно існує, ось тільки вона єдина і неповторна. Оскільки ця площина перетинає точку (х′,у′,z′), вид її рівняння буде наступним:

Тут А, В, З відмінні від нуля одночасно. Також задана площина перетинає ще дві точки: (х ", у", z ") і (х, у, z,). У зв'язку з цим мають виконуватися такі умови:

Зараз ми можемо скласти однорідну системуз невідомими u, v, w:

У нашому у разі х,уабо z виступає довільною точкою, Що задовольняє рівняння (1). Враховуючи рівняння (1) та систему з рівнянь (2) та (3), систему рівнянь, зазначеної на малюнку вище, задовольняє вектор N (А, В, С), який є нетривіальним. Саме тому визначник цієї системи дорівнює нулю.

Рівняння (1), яке вийшло, це і є рівняння площини. Через три точки вона точно проходить, і це легко перевірити. Для цього потрібно розкласти наш визначник за елементами, що знаходяться у першому рядку. З існуючих властивостейвизначника випливає, що наша площина одночасно перетинає три спочатку задані точки (х',у',z'), (х',у',z'), (х‴,у‴,z‴). Тобто ми вирішили поставлене перед нами завдання.

Двогранний кут між площинами

Двогранний кут являє собою просторову геометричну фігуру, Утворену двома напівплощинами, які виходять з однієї прямої. Іншими словами, це частина простору, яка обмежується даними напівплощинами.

Допустимо, у нас є дві площини з наступними рівняннями:

Нам відомо, що вектори N=(А,В,С) та N¹=(А¹,В¹,С¹) перпендикулярні згідно заданим площинам. У зв'язку з цим кут φ між векторами N і N¹ дорівнює куту (двогранному), який знаходиться між цими площинами. Скалярний твірмає вигляд:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

саме тому

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(АА¹+ВВ¹+СС¹)/((√(А²+В²+С²))*(√(А¹)²+(В¹)²+(С¹)²)).

Достатньо врахувати, що 0≤φ≤π.

Насправді дві площини, що перетинаються, утворюють два кути (двогранні): φ 1 і φ 2 . Сума їх дорівнює π (φ 1 + φ 2 = π). Що ж до їх косинусів, їх абсолютні величини рівні, але вони різняться знаками, тобто cos φ 1 =-cos φ 2 . Якщо в рівнянні (0) замінити А, В і С на числа -А, -В і -С відповідно, то рівняння, яке ми отримаємо, визначатиме цю саму площину, єдине, кут φ в рівнянні cosφ = NN 1 / | N | | N 1 | буде замінено на π-φ.

Рівняння перпендикулярної площини

Перпендикулярними називаються площини, між якими кут дорівнює 90 градусів. Використовуючи матеріал, викладений вище, ми можемо знайти рівняння площини, перпендикулярної до іншої. Допустимо, у нас є дві площини: Ах + Ву + Cz + D = 0 і Ах + В¹у + С¹z + D = 0. Ми можемо стверджувати, що вони будуть перпендикулярними, якщо cosφ=0. Це означає, що NN¹=АА¹+ВВ¹+СС¹=0.

Рівняння паралельної площини

Паралельними називаються дві площини, які містять загальних точок.

Умова (їх рівняння ті ж, що і в попередньому пункті) полягає в тому, що вектори N і N¹, які перпендикулярні до них, колінеарні. А це означає, що виконуються наступні умовипропорційності:

А/А?=В/В?=С/С?.

Якщо умови пропорційності є розширеними - А/А?=В/В?=С/С?=DD?,

це свідчить у тому, що ці площини збігаються. А це означає, що рівняння Ах+Ву+Cz+D=0 і Ах+В¹у+С¹z+D¹=0 описують одну площину.

Відстань до площини від точки

Припустимо, ми маємо площину П, яка задана рівнянням (0). Необхідно знайти відстань від точки з координатами (хₒ,уₒ,zₒ)=Qₒ. Щоб це зробити, потрібно привести рівняння площини П до нормального вигляду:

(ρ,v)=р (р≥0).

У даному випадкуρ (х,у,z) є радіус-вектором нашої точки Q, розташованої на П, р - це довжина перпендикуляра П, який був випущений з нульової точки, v - це одиничний вектор, розташований у напрямі а.

Різниця ρ-ρº радіус-вектора будь-якої точки Q=(х,у,z), що належить П, а також радіус-вектора заданої точки Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) є таким вектором, абсолютна величинапроекції якого на v дорівнює відстані d, яку потрібно знайти від Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) до П:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, але

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) = р-(ρ 0 ,v).

Ось і виходить,

d=|(ρ0,v)-р|.

Таким чином, ми знайдемо абсолютне значенняотриманого виразу, тобто шукане d.

Використовуючи мову параметрів, отримуємо очевидне:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Якщо задана точка Q 0 знаходиться по інший бік від площини П, як і початок координат, між вектором ρ-ρ 0 і v знаходиться отже:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

У разі коли точка Q 0 спільно з початком координат розташовується по одну і ту ж сторону від П, то кут, що створюється, гострий, тобто:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

У результаті виходить, що у першому випадку (ρ 0 ,v)>р, у другому (ρ 0 ,v)<р.

Дотична площина та її рівняння

Що стосується площину до поверхні в точці дотику Мº - це площина, що містить всі можливі дотичні до кривих, проведених через цю точку на поверхні.

При такому вигляді рівняння поверхні F(х,у,z)=0 рівняння дотичної площини в дотичній точці М?(х?,??, z?) виглядатиме так:

F х (хº, уº, zº)(х-хº)+ F х (хº, уº, zº)(у-уº)+ F х (хº, уº, zº)(z-zº)=0.

Якщо задати поверхню у явній формі z=f (х,у), то дотична площина буде описана рівнянням:

z-zº =f(хº, уº)(х-хº)+f(хº, уº)(у-уº).

Перетин двох площин

Розташована система координат (прямокутна) Oxyz, дано дві площини П′ і П″, які перетинаються і не збігаються. Оскільки будь-яка площина, що знаходиться в прямокутній координатній системі, визначається загальним рівнянням, будемо вважати, що П′ і П″ задаються рівняннями А′х+В′у+С′z+D′=0 та А″х+В″у+ З z + D = 0. У такому разі маємо нормаль n' (А',В',С') площини П' і нормаль n''(А'',В''С') площини П'. Оскільки наші площини не паралельні і не збігаються, ці вектори є не колінеарними. Використовуючи мову математики, ми цю умову можемо записати так: n′≠ n″ ↔ (А′,В′,С′) ≠ (λ*А″,λ*В″,λ*С″), λϵR. Нехай пряма, що лежить на перетині П′ і П″, позначатиметься літерою а, у цьому випадку а = П′ ∩ П″.

а - це пряма, що складається з багатьох точок (загальних) площин П′ і П″. Це означає, що координати будь-якої точки, що належить прямій а, повинні одночасно задовольняти рівняння А'х+В'у+С'z+D'=0 і А'х+В'у+С'z+D'=0. Отже, координати точки будуть приватним рішенням наступної системи рівнянь:

У результаті виходить, що рішення (загальне) цієї системи рівнянь визначатиме координати кожної з точок прямої, яка виступатиме точкою перетину П′ і П″, і визначатиме пряму а в координатній системі Oxyz (прямокутної) у просторі.