О-о-о-о-о… ну і жерсть, наче вам сам собі вирок зачитав =) Втім, потім релаксація допоможе, тим більше сьогодні купив відповідні аксесуари. Тому приступимо до першого розділу, сподіваюся, до кінця статті збережу бадьорий настрій.
Взаємне розташування двох прямих
Той випадок, коли зал підспівує хором. Дві прямі можуть:
1) збігатися;
2) бути паралельними: ;
3) чи перетинатися у єдиній точці: .
Довідка для чайників : будь ласка, запам'ятайте математичний знакПеретин, він буде зустрічатися дуже часто. Запис позначає, що пряма перетинається із прямою в точці .
Як визначити взаємне розташування двох прямих?
Почнемо з першого випадку:
Дві прямі збігаються, тоді й лише тоді, коли їхні відповідні коефіцієнти пропорційнітобто існує така кількість «лямбда», що виконуються рівності
Розглянемо прямі та складемо три рівняння з відповідних коефіцієнтів: . З кожного рівняння випливає, що отже дані прямі збігаються.
Дійсно, якщо всі коефіцієнти рівняння 
помножити на -1 (змінити знаки), і всі коефіцієнти рівняння 
скоротити на 2, то вийде те саме рівняння: .
Другий випадок, коли прямі паралельні:
Дві прямі паралельні тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних пропорційні: 
, але.
Як приклад розглянемо дві прямі. Перевіряємо пропорційність відповідних коефіцієнтів при змінних: 
Однак цілком очевидно, що .
І третій випадок, коли прямі перетинаються:
Дві прямі перетинаються, тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних не пропорційнітобто НЕ існує такого значення «лямбда», щоб виконувались рівності 
Так, для прямих складемо систему: 
З першого рівняння випливає, що , а з другого рівняння: , отже, система несумісна(Рішень немає). Таким чином, коефіцієнти за змінних не пропорційні.
Висновок: прямі перетинаються
У практичні завданняможна використовувати щойно розглянуту схему рішення. Вона, до речі, дуже нагадує алгоритм перевірки векторів на колінеарність, що ми розглядали на уроці. Концепція лінійної (не) залежності векторів. Базис векторів. Але існує більш цивілізована упаковка:
Приклад 1
З'ясувати взаємне розташуванняпрямих: 
Рішеннязасноване на дослідженні напрямних векторів прямих:
а) З рівнянь знайдемо напрямні вектори прямих: 
.
Отже, вектори не колінеарні і прямі перетинаються.
Про всяк випадок поставлю на роздоріжжі камінь із покажчиками:
Інші перестрибують камінь і йдуть далі, прямо до Кащі Безсмертного =)
б) Знайдемо напрямні вектори прямих: 
Прямі мають той самий напрямний вектор, отже, вони або паралельні, або збігаються. Тут і визначник рахувати не треба.
Вочевидь, що коефіцієнти при невідомих пропорційні, у своїй .
З'ясуємо, чи справедлива рівність: 
Таким чином,
в) Знайдемо напрямні вектори прямих: 
Обчислимо визначник, складений координат даних векторів: 
отже, напрямні вектори колінеарні. Прямі або паралельні або збігаються.
Коефіцієнт пропорційності «лямбда» неважко побачити прямо із співвідношення колінеарних напрямних векторів. Втім, його можна знайти і через коефіцієнти самих рівнянь: 
.
Тепер з'ясуємо, чи справедлива рівність. Обидва вільні члени нульові, тому:
Отримане значення задовольняє даному рівнянню(Йому задовольняє взагалі будь-яке число).
Отже, прямі збігаються.
Відповідь:
Дуже скоро ви навчитеся (або навіть вже навчилися) вирішувати розглянуте завдання усно буквально за лічені секунди. У зв'язку з цим не бачу сенсу пропонувати щось для самостійного рішення, краще закладемо ще одну важливу цеглу в геометричний фундамент:
Як побудувати пряму, паралельну даній?
За незнання цієї найпростішого завданнясуворо карає Соловей-Розбійник.
Приклад 2
Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння паралельної прямої, яка проходить через точку .
Рішення: Позначимо невідому пряму буквою . Що про неї сказано за умови? Пряма проходить через крапку. А якщо прямі паралельні, то очевидно, що напрямний вектор прямий це підійде і для побудови прямої де.
Витягуємо напрямний вектор із рівняння:
Відповідь:
Геометрія прикладу виглядає невигадливо: 
Аналітична ж перевірка полягає у наступних кроків:
1) Перевіряємо, що у прямих той самий напрямний вектор (якщо рівняння прямої не спрощено належним чином, то вектори будуть колінеарні).
2) Перевіряємо, чи точка задовольняє отриманому рівнянню .
Аналітичну перевірку здебільшого легко виконати усно. Подивіться на два рівняння, і багато хто з вас швидко визначить паралельність прямих без будь-якого креслення.
Приклади для самостійного вирішення сьогодні будуть творчими. Тому що вам ще доведеться тягатися з Бабою-Ягою, а вона, знаєте, любителька всяких загадок.
Приклад 3
Скласти рівняння прямої, що проходить через точку, паралельну до прямої, якщо
Існує раціональний і не дуже раціональний спосібрішення. Найкоротший шлях – наприкінці уроку.
З паралельними прямими трохи попрацювали і до них повернемося. Випадок прямих, що збігаються, малоцікавий, тому розглянемо завдання, яке добре знайоме вам з шкільної програми:
Як знайти точку перетину двох прямих?
Якщо прямі 
перетинаються в точці , її координати є рішенням системи лінійних рівнянь 
Як знайти точку перетину прямих? Вирішити систему.
Ось вам і геометричний змістсистеми двох лінійних рівняньз двома невідомими– це дві перетинаються (найчастіше) прямі на площині.
Приклад 4
Знайти точку перетину прямих
Рішення: Існують два способи рішення – графічний та аналітичний
Графічний спосібполягає в тому, щоб просто накреслити дані прямі і дізнатися про точку перетину безпосередньо з креслення: 
Ось наша точка: . Для перевірки слід підставити її координати у кожне рівняння прямої, вони мають підійти і там, і там. Інакше кажучи, координати точки є рішенням системи . По суті ми розглянули графічний спосіб рішення системи лінійних рівняньіз двома рівняннями, двома невідомими.
Графічний спосіб, звичайно, непоганий, але є помітні мінуси. Ні, справа не в тому, що так вирішують семикласники, справа в тому, що на правильний і точний креслення піде час. Крім того, деякі прямі побудувати не так просто, та й сама точка перетину може знаходитися десь у тридесятому царстві за межами зошитового листа.
Тому точку перетину доцільніше шукати аналітичним методом. Вирішимо систему: 
Для вирішення системи використано метод почленного складання рівнянь. Щоб напрацювати відповідні навички, відвідайте урок Як розв'язати систему рівнянь?
Відповідь:
Перевірка тривіальна – координати точки перетину мають задовольняти кожному рівнянню системи.
Приклад 5
Знайти точку перетину прямих у разі, якщо вони перетинаються.
Це приклад самостійного рішення. Завдання зручно розбити на кілька етапів. Аналіз умови підказує, що необхідно:
1) Скласти рівняння прямої.
2) Скласти рівняння прямої.
3) З'ясувати взаємне розташування прямих.
4) Якщо прямі перетинаються, то знайти точку перетину.
Розробка алгоритму дій типова для багатьох геометричних завдань, і я на цьому неодноразово загострюватиму увагу.
Повне рішенняі відповідь наприкінці уроку:
Ще не стоптана і пара черевиків, як ми підібралися до другого розділу уроку:
Перпендикулярні до прямих. Відстань від точки до прямої.
Кут між прямими
Почнемо з типової та дуже важливого завдання. У першій частині ми дізналися, як побудувати пряму, паралельну даній, а зараз хатинка на курячих ніжках розгорнеться на 90 градусів:
Як побудувати пряму, перпендикулярну даній?
Приклад 6
Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння перпендикулярної прямої, що проходить через точку.
Рішення: За умовою відомо, що . Непогано знайти напрямний вектор прямий . Оскільки прямі перпендикулярні, фокус простий:
З рівняння «знімаємо» вектор нормалі: , який і буде напрямним вектором прямий .
Рівняння прямої складемо по точці і напрямному вектору:
Відповідь: 
Розгорнемо геометричний етюд:
М-да… Помаранчеве небо, помаранчеве море, помаранчевий верблюд.
Аналітична перевірка рішення:
1) З рівнянь витягуємо напрямні вектори 
та за допомогою скалярного твору векторівприходимо до висновку, що прямі справді перпендикулярні: .
До речі, можна використовувати вектори нормалі, це простіше.
2) Перевіряємо, чи задовольняє точка отриманого рівняння 
.
Перевірку, знову ж таки, легко виконати усно.
Приклад 7
Знайти точку перетину перпендикулярних прямих, якщо відомо рівняння 
і крапка .
Це приклад самостійного рішення. У завданні кілька дій, тому рішення зручно оформити за пунктами.
Наша захоплююча подорож продовжується:
Відстань від точки до прямої
Перед нами пряма смуга річки і наше завдання полягає в тому, щоб дійти до неї найкоротшим шляхом. Перешкод немає, і найоптимальнішим маршрутом буде рух перпендикуляром. Тобто відстань від точки до прямої – це довжина перпендикулярного відрізка.
Відстань у геометрії традиційно позначають грецькою літерою"ро", наприклад: - Відстань від точки "ем" до прямої "де".
Відстань від точки до прямої 
виражається формулою
Приклад 8
Знайти відстань від точки до прямої 
Рішення: все, що потрібно, це акуратно підставити числа в формулу і провести обчислення:
Відповідь: 
Виконаємо креслення: 
Знайдена відстань від точки до прямої – це точно довжина червоного відрізка. Якщо оформити креслення на картатий папіру масштабі 1 од. = 1 см (2 клітини), то відстань можна виміряти звичайною лінійкою.
Розглянемо ще одне завдання з цього ж креслення:
Завдання полягає в тому, щоб знайти координати точки , яка симетрична точці щодо прямої 
. Пропоную виконати дії самостійно, проте позначу алгоритм рішення із проміжними результатами:
1) Знаходимо пряму, яка перпендикулярна до прямої.
2) Знаходимо точку перетину прямих: 
.
Обидві дії детально розібрані в рамках цього уроку.
3) Крапка є серединою відрізка. Нам відомі координати середини та одного з кінців. за формулам координат середини відрізказнаходимо.
Не зайвим буде перевірити, що відстань також дорівнює 2,2 одиницям.
Труднощі тут можуть виникнути у обчисленнях, але у вежі чудово рятує мікрокалькулятор, що дозволяє вважати звичайні дроби. Неодноразово радив, пораджу й знову.
Як знайти відстань між двома паралельними прямими?
Приклад 9
Знайти відстань між двома паралельними прямими
Це ще один приклад для самостійного рішення. Трохи підкажу: тут безліч способів вирішення. Розбір польотів наприкінці уроку, але краще постарайтеся здогадатися самі, гадаю, вашу кмітливість вдалося непогано розігнати.
Кут між двома прямими
Що ні кут, то косяк: 
У геометрії за кут між двома прямими приймається МЕНШИЙ кут, з чого автоматично випливає, що він не може бути тупим. На малюнку кут, позначений червоною дугою, не вважається кутом між прямими, що перетинаються. А вважається таким його «зелений» сусід чи протилежно орієнтований"малиновий" кут.
Якщо прямі перпендикулярні, то за кут між ними можна приймати будь-який із 4 кутів.
Чим відрізняються кути? орієнтацією. По-перше, принципово важливим є напрямок «прокручування» кута. По-друге, негативно орієнтований кут записується зі знаком мінус, наприклад, якщо .
Навіщо це я розповів? Начебто можна обійтися і звичайним поняттям кута. Справа в тому, що у формулах, за якими ми знаходитимемо кути, запросто може вийти негативний результат, і це не повинно застати вас зненацька. Кут зі знаком «мінус» нічим не гірший і має цілком конкретний геометричний зміст. На кресленні для негативного кута слід обов'язково вказувати стрілкою його орієнтацію (за годинниковою стрілкою).
Як знайти кут між двома прямими?Існують дві робочі формули:
Приклад 10
Знайти кут між прямими
Рішенняі Спосіб перший
Розглянемо дві прямі, задані рівняннями у загальному вигляді: 
Якщо прямі не перпендикулярні, то орієнтованийкут між ними можна обчислити за допомогою формули: 
Найпильнішу увагу звернемо на знаменник – це точно скалярний добутокнапрямних векторів прямих:
Якщо , то знаменник формули перетворюється на нуль, а вектори будуть ортогональні і прямі перпендикулярні. Саме тому зроблено застереження про неперпендикулярність прямих у формулюванні.
Виходячи з вищесказаного, рішення зручно оформити у два кроки:
1) Обчислимо скалярний добуток напрямних векторів прямих:
, Отже, прямі не перпендикулярні.
2) Кут між прямими знайдемо за формулою:
За допомогою зворотної функціїлегко знайти й сам кут. У цьому використовуємо непарність арктангенса (див. Графіки та властивості елементарних функцій):
Відповідь: 
У відповіді вказуємо точне значення, а також наближене значення (бажано і в градусах, і радіанах), обчислене за допомогою калькулятора.
Ну, мінус, то мінус, нічого страшного. Ось геометрична ілюстрація: 
Не дивно, що кут вийшов негативною орієнтацією, адже за умови завдання першим номером йде пряма і «відкрутка» кута почалася саме з неї.
Якщо дуже хочеться отримати позитивний кут, потрібно поміняти прямі місцями, тобто коефіцієнти взяти з другого рівняння 
, а коефіцієнти взяти з першого рівняння. Коротше кажучи, почати потрібно з прямої 
.
Санкт-Петербурзький державний морський технічний університет
Кафедра комп'ютерної графікита інформаційного забезпечення
ЗАНЯТТЯ 3
ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ №3
Визначення відстані від точки до прямої лінії.
Визначити відстань між точкою та прямою лінією можна, виконавши такі побудови (див. рис.1):
· З точки Зопустити перпендикуляр на пряму а;
· Відзначити точку Доперетину перпендикуляра з прямою;
· Виміряти величину відрізка КС, Початком якого є задана точка, а кінцем зазначена точка перетину.
Рис.1. Відстань від точки до прямої.
В основі вирішення завдань такого типу лежить правило проектування прямого кута: прямий кут проектується без спотворення, якщо хоча б одна його сторона паралельна площині проекцій(Тобто займає приватне становище). Почнемо саме з такого випадку та розглянемо побудови для визначення відстані від точки Здо відрізка прямої АВ.
У цьому завданні немає тестових прикладів, а варіанти для виконання індивідуальних завданьнаведені в таблиці1 та таблиці2. Нижче описано розв'язання задачі, а відповідні побудови показано на рис.2.
1. Визначення відстані від точки до прямого приватного положення.
Спочатку будуються проекції крапки та відрізка. Проекція А1В1паралельна осі Х. Це означає, що відрізок АВпаралельний площині П2. Якщо з точки Зпровести перпендикуляр до АВ, то прямий кут проектується без спотворення саме на площину П2. Це дозволяє провести перпендикуляр із точки С2на проекцію А2В2.
Меню, що падає Креслення-Відрізок (Draw- Line) . Встановити курсор у крапку С2та зафіксувати її як першу точку відрізка. Зрушити курсор у напрямку нормалі до відрізка А2В2та зафіксувати на ньому другу точку в момент появи підказки Нормаль (Perpendicular) . Позначити збудовану точку К2. Увімкнути режим ОРТО(ORTHO) , і з точки К2провести вертикальну лінію зв'язку до перетину з проекцією А1 В1. Точку перетину позначити через К1. Крапка До, що лежить на відрізку АВ, є точкою перетину перпендикуляра, проведеного з точки З, з відрізок АВ. Таким чином, відрізок КСє відстанню від точки до прямої.
З побудов видно, що відрізок КСзаймає загальне становище і, отже, його проекції спотворені. Говорячи про відстань, завжди мається на увазі справжня величина відрізка, що виражає відстань. Отже, треба знайти справжню величину відрізка КС,повернувши його до приватного становища, наприклад, КС|| П1. Результат побудов показано на рис.2.
З наведених на рис.2 побудов, можна дійти невтішного висновку: приватне становище прямий (відрізок паралельний П1або П2) дозволяє швидко будувати проекції відстані від точки до прямої, але вони перекручені.
Рис.2. Визначення відстані від точки до прямого приватного положення.
2. Визначення відстані від точки до прямої загального становища.
Не завжди в початковій умовівідрізок займає приватне становище. При загальному початковому положеннівиконуються такі побудови визначення відстані від точки до прямой:
a) використовуючи метод перетворення креслення, перевести відрізок із загального становища на приватне – це дозволить побудувати проекції відстані (спотворені);
b) вдруге використовуючи метод, перевести відрізок, відповідний шуканій відстані у приватне становище – отримаємо проекцію відстані за величиною, що дорівнює дійсної.
Розглянемо послідовність побудов визначення відстані від точки Адо відрізка загального стану НД(Рис.3).
При першому обертанні необхідно отримати приватне положення відрізка УC. Для цього у шарі ТМРтреба з'єднати крапки В 2, С2і А2. Використовуючи команду Змінити-Повернути (Modify – Rotate) трикутник В2С2А2повернути навколо точки С2до положення, коли нова проекція В2*С2розташовуватиметься строго горизонтально (точка Знерухома і, отже, її нова проекція збігається з початковою та позначення С2*і З 1*можна на кресленні не показувати). В результаті будуть отримані нові проекції відрізку В2*С2та точки: А2*.Далі з точок А2*і В 2*проводяться вертикальні, а з точок В 1і А1горизонтальні лінії зв'язку. Перетин відповідних ліній визначить положення точок нової горизонтальної проекції: відрізка В1*С1і крапки А1*.
В отриманому приватному положенні можна побудувати проекції відстані для цього: з точки А1*будується нормаль до В1 * С1.Точка їхнього взаємного перетину – К1*.З цієї точки проводиться вертикальна лініязв'язку до перетину з проекцією В2 * С2.Зазначається точка К2*.В результаті отримано проекції відрізка АК, що є шуканою відстанню від точки Адо відрізка прямої НД.
Далі необхідно побудувати проекції відстані у початковій умові. Для цього з точки К1*зручно провести горизонтальну лініюдо перетину з проекцією В1С1та позначити точку перетину К1.Потім будується крапка К2на фронтальній проекції відрізка та проводяться проекції А1К1і А2К2.В результаті побудов отримані проекції відстані, а й у початковому та в новому приватному положенні відрізка НД,відрізок АКзаймає загальне становище, але це призводить до того, що його проекції спотворені.
При другому обертанні необхідно повернути відрізок АКу приватне становище, що дозволить визначити справжню величину відстані – проекція А2*К2**.Результат усіх побудов показано на рис.3.
ЗАВДАННЯ №3-1. Здо прямої лінії приватного становища, заданою відрізком АВ. Відповідь дати у мм (Таблиця 1).Прибрати проеціюючі прямі
Таблиця 1
ЗАВДАННЯ №3-2.Знайти справжню величину відстані від точки Mдо прямої лінії загального положення, заданої відрізком ED. Відповідь дати у мм (Таблиця 2).
Таблиця 2
Перевірка та залік виконаного ЗАВДАННЯ №3.
Визначення відстаней
Відстань від точки до точки і від точки до прямої
Відстань від точки до точкивизначається довжиною відрізка прямої, що з'єднує ці точки. Як було показано вище, це завдання можна вирішити або шляхом прямокутного трикутникаабо способом заміни площин проекцій, переводячи відрізок у положення лінії рівня.
Відстань від точки до прямоївимірюється відрізком перпендикуляра, проведеного з точки до прямої. Відрізок цього перпендикуляра зображується в натуральну величину на площині проекцій у тому випадку, якщо він проведений до прямої, що проеціює. Таким чином, спочатку пряму необхідно перевести в проецірующее положення, а потім із заданої точки опустити на неї перпендикуляр. На рис. 1 показано вирішення цього завдання. Для переведення прямого загального положення АВ у положення прямого рівня проводять x14 IIА1 В1. Потім АВ переводять у проецірующее положення введенням додаткової площини проекцій П5, для чого проводять нову вісь проекцій х45 А4 В4.
Малюнок 1
Аналогічно точкам А та В, на площину проекцій П5 проектують точку М.
Проекція К5 основи перпендикуляра, опущеного з точки М на пряму АВ, на площині проекцій П5 збігається з відповідними проекціями точок
А і В. Проекція М5 К5 перпендикуляра МК є натуральною величиною відстані від точки М до прямої АВ.
У системі площин проекцій П4/П5 перпендикуляр МК буде лінією рівня, оскільки лежить у площині, паралельній площині проекцій П5. Тому його проекція М4 К4 площину П4 паралельна x45 , тобто. перпендикулярна до проекції А4 В4 . Ці умови визначають положення проекції К4 основи перпендикуляра, яке знаходять, проводячи з М4 пряму паралельно х45 до перетину з проекцією А4 В4 . Інші проекції перпендикуляра знаходять шляхом проектування точки К на площині проекцій П1 і П2.
Відстань від точки до площини
Розв'язання цього завдання показано на рис. 2. Відстань від точки М до площини (АВС) вимірюється відрізком перпендикуляра, опущеного з точки на площину.
Малюнок 2
Так як перпендикуляр до проецірующей площині є лінія рівня, то переведемо в це положення задану площину, Внаслідок чого на новій введеній площині проекцій П4 отримаємо вироджену проекцію С4 В4 площині ABC. Далі на П4 проектуємо точку М. Натуральна величина відстані від точки М до площини визначається відрізком перпендикуляра
[МК] = [М4 К4]. Інші проекції перпендикуляра будуються так само, як і в попереднього завдання, тобто. з урахуванням того, що відрізок МК у системі площин проекцій П1/П4 є лінією рівня та його проекція М1 К1 паралельна осі
х14.
Відстань між двома прямими
Найкоротша відстань між прямими схрещуються вимірюється величиною відрізка загального перпендикуляра до них, що відсікається цими прямими. Завдання вирішується вибором (в результаті двох послідовних замін) площини проекцій, перпендикулярної однієї з прямих, що схрещуються. У цьому випадку відрізок перпендикуляра, що шукається, буде паралельний обраній площині проекцій і зобразиться на ній без спотворення. На рис. 3 показані дві прямі, що схрещуються, задані відрізками АВ і CD.
Малюнок 3
Прямі на початку спроектовані на площину проекцій П4 паралельну одній (будь-якої) з них, наприклад АВ, і перпендикулярну П1.
На поверхні проекцій П4 відрізок АВ зобразиться без спотворення. Потім відрізки проектують на нову площину П5 перпендикулярну до тієї ж прямої АВ і площині П4 . На площині проекцій П5 проекція перпендикулярного їй відрізка АВ вироджується в точку A5 = B5 а шукана величина N5 M5 відрізка NM перпендикулярна C5 D5 і зображується в натуральну величину. За допомогою відповідних ліній зв'язку будують проекції відрізка MN на початковому
креслення. Як було показано раніше, проекція N4 M4 шуканого відрізка на площину П4 паралельна осі проекцій x45 так як він в системі площин проекцій П4 /П5 є лінією рівня.
Завдання визначення відстані D між двома паралельними прямими АВ до CD - окремий випадокпопередньої (рис. 4).
Малюнок 4
Подвійний заміною площин проекцій паралельні прямі переводять у проецірующее положення, у результаті чого на площині проекцій П5 матимемо дві вироджені проекції А5 = В5 і С5 = D5 прямих АВ і CD. Відстань між ними D дорівнюватиме його натуральній величині.
Відстань від прямої до паралельної площині їй вимірюється відрізком перпендикуляра, опущеного з будь-якої точки прямої на площину. Тому досить площину загального положення перетворити на положення проецирующей площині, взяти напряму точку, і завдання буде зведено до визначення відстані від точки до площині.
Щоб визначити відстань між паралельними площинами, треба перевести в проецирующее становище і побудувати перпендикуляр до виродженим проекціям площин, відрізок якого з-поміж них і буде шуканої величиною відстані.
Ця стаття розповідає про тему « відстані від точки до прямої », розглядаються визначення відстані від точки до прямої з ілюстрованими прикладами методом координат. Кожен блок теорії наприкінці має показані приклади розв'язання таких завдань.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Відстань від точки до прямої знаходиться через визначення відстані від точки до точки. Розглянемо докладніше.
Нехай є пряма a і точка М 1 не належить заданої прямої. Через неї проведемо пряму b, розташовану перпендикулярно щодо прямої a. Точка перетину прямих візьмемо за Н1. Отримаємо, що М 1 Н 1 перпендикуляром, який опустили з точки М 1 до прямої a .
Визначення 1
Відстанню від точки М 1 до прямої aназивається відстань між точками М1 і Н1.
Бувають записи визначення із фігуруванням довжини перпендикуляра.
Визначення 2
Відстань від точки до прямоїназивають довжину перпендикуляра, проведеного з цієї точки до цієї прямої.
Визначення еквівалентні. Розглянемо малюнок, наведений нижче.
Відомо, що відстань від точки до прямої є найменшою з усіх можливих. Розглянемо це з прикладу.
Якщо взяти точку Q , що лежить на прямій a не збігається з точкою М 1 тоді отримаємо, що відрізок М 1 Q називається похилою, опущеної з М 1 до прямої a . Необхідно позначити, що перпендикуляр з точки М 1 є меншим, ніж будь-яка інша похила, проведена з точки до прямої.
Щоб довести це, розглянемо трикутник М 1 Q 1 Н 1 де М 1 Q 1 є гіпотенузою. Відомо, що її довжина завжди більша за довжину будь-якого з катетів. Отже, маємо, що M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Вихідні дані для знаходження від точки до прямої дозволяють використовувати кілька методів розв'язання: через теорему Піфагора, визначення синуса, косинуса, тангенсу кута та інші. Більшість завдань такого типу вирішують у школі під час уроків геометрії.
Коли при знаходженні відстані від точки до прямої можна ввести прямокутну систему координат, то застосовують метод координат. У цьому пункті розглянемо два основних методи знаходження шуканої відстані від заданої точки.
Перший спосіб має на увазі пошук відстані як перпендикуляра, проведеного з М 1 до прямої a . У другому способі використовується нормальне рівнянняпрямий а знаходження шуканої відстані.
Якщо на площині є точка з координатами M 1 (x 1 , y 1) розташована в прямокутної системикоординат, пряма a , а необхідно знайти відстань M 1 H 1 можна обчислити двома способами. Розглянемо їх.
Перший спосіб
Якщо є координати точки H 1 рівні x 2 y 2 тоді відстань від точки до прямої обчислюється по координатах з формули M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 .
Тепер перейдемо до знаходження координат точки Н1.
Відомо, що пряма лінія О х у відповідає рівнянню прямої на площині. Візьмемо спосіб завдання прямої через написання загального рівняння прямої або рівняння з кутовим коефіцієнтом. Складаємо рівняння прямої, яка проходить через точку М1 перпендикулярно заданої прямої a. Пряму позначимо буковою b. Н 1 є точкою перетину прямих a і b означає для визначення координат необхідно скористатися статтею, в якій йде мовапро координати точок перетину двох прямих.
Видно, що алгоритм знаходження відстані від заданої точки M 1 (x 1 , y 1) до прямої a проводиться згідно з пунктами:
Визначення 3
- знаходження загального рівняння прямої a має вигляд A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 або рівняння з кутовим коефіцієнтом, що має вигляд y = k 1 x + b 1 ;
- отримання загального рівняння прямої b , що має вигляд A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 або рівняння з кутовим коефіцієнтом y = k 2 x + b 2 якщо пряма b перетинає точку М 1 і є перпендикулярною до заданої прямої a ;
- визначення координат x 2 , y 2 точки Н 1 , що є точкою перетину a і b , для цього здійснюється рішення системи лінійних рівнянь A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 або y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
- обчислення шуканої відстані від точки до прямої, використовуючи формулу M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 .
Другий спосіб
Теорема здатна допомогти відповісти на питання про знаходження відстані від заданої точки дот заданої прямої на площині.
Теорема
Прямокутна система координат має О х у має точку M 1 (x 1 , y 1) , з якої проведена пряма до площини, що задається нормальним рівнянням площини, що має вигляд cosα · x + cos ? 1 + cos β · y 1 - p.
Доведення
Прямий а відповідає нормальне рівняння площини, що має вигляд cos α · x + cos β · y - p = 0 тоді n → = (cos α , cos β) вважається нормальним вектором прямої a при відстані від початку координат до прямої a з p одиницями . Необхідно зобразити всі дані на малюнку, додати точку з координатами M 1 (x 1 y 1) , де радіус-вектор точки М 1 - O M 1 → = (x 1 y 1) . Необхідно провести пряму від точки до прямої, яку позначимо M1H1. Необхідно показати проекції М 2 і Н 2 точок М 1 і Н 2 на пряму, що проходить через точку O з напрямним вектором виду n → = (cos α , cos β) , а числову проекцію вектора позначимо як O M 1 → = (x 1 y 1) до напрямку n → = (cos α , cos β) як n p n → O M 1 → .
Варіації залежать від розташування точки М 1 . Розглянемо малюнку, наведеному нижче.
Результати фіксуємо за допомогою формули M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Після чого наводимо рівність до такого виду M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p для того, щоб отримати n p n → OM → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .
Скалярний добутоквекторів у результаті дає перетворену формулу виду n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , яка є твором у координатній формі виду n → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Отже, отримуємо, що n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Звідси випливає, що M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Теорему доведено.
Отримуємо, що знаходження відстані від точки M 1 (x 1 , y 1) до прямої a на площині необхідно виконати кілька дій:
Визначення 4
- отримання нормального рівняння прямої a cos α · x + cos β · y - p = 0 за умови, що його немає в завданні;
- обчислення виразу cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , де отримане значення приймає M 1 H 1 .
Застосуємо ці методи на розв'язанні задач зі знаходженням відстані від точки до площини.
Приклад 1
Знайти відстань від точки з координатами M 1 (-1,2) до прямої 4 x - 3 y + 35 = 0 .
Рішення
Застосуємо перший спосіб вирішення.
Для цього необхідно знайти загальне рівнянняпрямий b , яка проходить через задану точку M 1 (- 1 , 2) перпендикулярно прямий 4 x - 3 y + 35 = 0 . З умови видно, що пряма b є перпендикулярною прямою a тоді її напрямний вектор має координати, рівні (4 , - 3) . Таким чином маємо можливість записати канонічне рівняння прямої b на площині, оскільки є координати точки М 1 належить прямий b . Визначимо координати напрямного вектора прямої b. Отримаємо, що x - (-1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Отримане канонічне рівняння необхідно перетворити на загальне. Тоді отримуємо, що
x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0
Зробимо знаходження координат точок перетину прямих, яке приймемо за позначення Н1. Перетворення виглядають таким чином:
4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 · 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 · 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5
З вище написаного маємо, що координати точки Н 1 дорівнюють (- 5 ; 5) .
Необхідно обчислити відстань від точки М1 до прямої a. Маємо, що координати точок M 1 (- 1 , 2) і H 1 (- 5 , 5) тоді підставляємо у формулу для знаходження відстані і отримуємо, що
M 1 H 1 = (-5 - (-1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5
Другий спосіб розв'язання.
Для того щоб вирішити іншим способом, необхідно отримати нормальне рівняння прямої. Обчислюємо значення множника, що нормує, і множимо обидві частини рівняння 4 x - 3 y + 35 = 0 . Звідси отримаємо, що множник, що нормує, дорівнює - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , а нормальне рівняння буде виду - 1 5 · 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 · 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .
За алгоритмом обчислення необхідно отримати нормальне рівняння прямої та обчислити його зі значеннями x = -1, y = 2. Тоді отримуємо, що
4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5
Звідси отримуємо, що відстань від точки M 1 (- 1 , 2) до заданої прямої 4 x - 3 y + 35 = 0 має значення - 5 = 5 .
Відповідь: 5 .
Видно, що в даному методіважливо використання нормального рівняння прямої, оскільки такий спосіб є найкоротшим. Але перший спосіб зручний тим, що послідовний і логічний, хоча має більше пунктів обчислення.
Приклад 2
На площині є прямокутна система координат О х у з точкою M 1 (8 , 0) і прямою y = 1 2 x + 1 . Знайти відстань від заданої точки до прямої.
Рішення
Рішення першим способом передбачає приведення заданого рівнянняз кутовим коефіцієнтом до рівняння загального вигляду. Для спрощення можна зробити по-іншому.
Якщо добуток кутових коефіцієнтів перпендикулярних прямих мають значення - 1 кутовий коефіцієнтпрямою перпендикулярною заданою y = 1 2 x + 1 має значення 2 . Тепер отримаємо рівняння прямої, що проходить через точку з координатами M 1 (8, 0). Маємо, що y – 0 = – 2 · (x – 8) ⇔ y = – 2 x + 16 .
Переходимо до знаходження координат точки Н 1 , тобто точок перетину y = - 2 x + 16 і y = 1 2 x + 1 . Складаємо систему рівнянь та отримуємо:
y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6 , 4)
Звідси випливає, що відстань від точки з координатами M 1 (8 , 0) до прямої y = 1 2 x + 1 дорівнює відстані від точки початку та точки кінця з координатами M 1 (8 , 0) та H 1 (6 , 4) . Обчислимо та отримаємо, що M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .
Рішення другим способом полягає у переході від рівняння з коефіцієнтом до його нормального виду. Тобто отримаємо y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0 тоді значення нормуючого множника буде - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 . Звідси випливає, що нормальне рівняння прямої набуває вигляду - 2 5 · 1 2 x - y + 1 = - 2 5 · 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Зробимо обчислення від точки M 1 8 0 до прямої виду - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Отримуємо:
M 1 H 1 = - 1 5 · 8 + 2 5 · 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5
Відповідь: 2 5 .
Приклад 3
Необхідно обчислити відстань від точки з координатами M 1 (- 2 , 4) до прямих 2 x - 3 = 0 та y + 1 = 0 .
Рішення
Отримуємо рівняння нормального виду прямої 2 x - 3 = 0:
2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 · 2 x - 3 = 1 2 · 0 ⇔ x - 3 2 = 0
Після чого переходимо до обчислення відстані від точки M 1 - 2 4 до прямої x - 3 2 = 0 . Отримуємо:
M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2
Рівняння прямої y + 1 = 0 має множник, що нормує, зі значенням рівним -1. Це означає, що рівняння набуде вигляду - y - 1 = 0 . Переходимо до обчислення відстані від точки M 1 (- 2 , 4) до прямої - y - 1 = 0 . Отримаємо, що вона дорівнює - 4 - 1 = 5 .
Відповідь: 3 1 2 та 5 .
Докладно розглянемо знаходження відстані від заданої точки площини до координатним осямПро х та Про у.
У прямокутній системі координат у осі О у є рівняння прямої, яке є неповним має види х = 0, а О х - y = 0. Рівняння нормальні для осей координат, тоді необхідно знайти відстань від точки з координатами M 1 x 1 , y 1 до прямих. Це робиться, виходячи з формул M 1 H 1 = x 1 і M 1 H 1 = y 1 . Розглянемо малюнку, наведеному нижче.
Приклад 4
Знайти відстань від точки M 1 (6 - 7) до координатних прямих, розташованих у площині О х у.
Рішення
Так як рівняння у = 0 відноситься до прямої Ох, можна знайти відстань від M 1 с заданими координатами, до цієї прямої, використовуючи формулу. Отримуємо, що 6 = 6 .
Так як рівняння х = 0 відноситься до прямої О у, то можна знайти відстань від М 1 до цієї прямої за формулою. Тоді отримаємо, що – 7 = 7 .
Відповідь:відстань від М 1 до О х має значення 6 а від М 1 до О у має значення 7 .
Коли в тривимірному просторімаємо точку з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) необхідно знайти відстань від точки A до прямої a .
Розглянемо два способи, які дозволяють проводити обчислення відстань від точки до прямої a розташованої в просторі. Перший випадок розглядає відстань від точки М 1 до прямої, де точка на прямій називається Н 1 є підставою перпендикуляра, проведеного з точки М 1 на пряму a . Другий випадок говорить про те, що точки цієї площини необхідно шукати як висоту паралелограма.
Перший спосіб
З визначення маємо, що відстань від точки М 1 розташованої на прямій а є довжиною перпендикуляра М 1 Н 1 тоді отримаємо, що при знайдених координатах точки Н 1 тоді знайдемо відстань між M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) і H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , виходячи з формули M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .
Отримуємо, що рішення йде до того, щоб знайти координати підстави перпендикуляра, проведеного з М 1 на пряму a . Це робиться наступним чином: Н 1 є точкою, де перетинаються пряма a з площиною, яка проходить через задану точку.
Отже, алгоритм визначення відстані від точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до прямої a простору має на увазі кілька пунктів:
Визначення 5
- складання рівняння площини в якості рівняння площини, що проходить через задану точку, що знаходиться перпендикулярно прямий;
- визначення координат (x 2 , y 2 , z 2) , що належали точці Н 1 , яка є точкою перетину прямої і площини χ ;
- обчислення відстані від точки до прямої за допомогою формули M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .
Другий спосіб
З умови маємо пряму a тоді можемо визначити напрямний вектор a → = a x , a y , a z з координатами x 3 , y 3 , z 3 і певної точки М 3 , що належить прямий a . За наявності координат точок M 1 (x 1 , y 1) і M 3 x 3 , y 3 , z 3 можна провести обчислення M 3 M 1 → :
M 3 M 1 → = (x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3)
Слід відкласти вектори a → = a x , a y , a z і M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 з точки М 3 з'єднаємо і отримаємо фігуру паралелограма. М1Н1 є висотою паралелограма.
Розглянемо малюнку, наведеному нижче.
Маємо, що висота М1Н1 є шуканою відстанню, тоді необхідно знайти її за формулою. Тобто шукаємо M1H1.
Позначимо площу паралелограма за букву S знаходиться за формулою, використовуючи вектор a → = (a x , a y , a z) і M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Формула площі має вигляд S = a → × M 3 M 1 → . Також площа фігури дорівнює добутку довжин його сторін на висоту, отримаємо, що S = a → · M 1 H 1 з a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 є довжиною вектора a → = (a x , a y , a z) , що є рівному боціпаралелограма. Отже, M 1 H 1 є відстанню від точки до прямої. Її знаходження здійснюється за формулою M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .
Для знаходження відстані від точки з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до прямої в просторі, необхідно виконати кілька пунктів алгоритму:
Визначення 6
- визначення напрямного вектора прямий a - a → = (a x, a, z);
- обчислення довжини напрямного вектора a → = a x 2 + a y 2 + a z 2;
- отримання координат x 3 , y 3 , z 3 , що належали точці М 3 знаходиться на прямій а;
- обчислення координат вектора M 3 M 1 → ;
- перебування векторного творувекторів a → (a x , a y , a z) і M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 як a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 для отримання довжини за формулою a → × M 3 M 1 → ;
- обчислення відстані від точки до прямої M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .
Розв'язання задач на знаходження відстані від заданої точки до заданої прямої у просторі
Приклад 5Знайти відстань від точки з координатами M 1 2 , - 4 , - 1 до прямої x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .
Рішення
Перший спосіб починається із запису рівняння площини χ , що проходить через М 1 і перпендикулярно заданій точці. Отримуємо вираз виду:
2 · (x - 2) - 1 · (y - (- 4)) + 5 · (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Потрібно знайти координати точки H 1 , яка є точкою перетину з площиною до заданої за умовою прямої. Слід переходити від канонічного виглядудо того, що перетинається. Тогла отримуємо систему рівнянь виду:
x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
Необхідно обчислити систему x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 за методом Крамера, тоді отримуємо, що:
∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0
Звідси маємо, що H 1 (1, - 1, 0).
M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11
Другий спосіб необхідно почати з пошуку координат у канонічному рівнянні. Для цього необхідно звернути увагу на знаменники дробу. Тоді a → = 2 , - 1 , 5 є напрямним вектором прямої x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Необхідно обчислити довжину за формулою a → = 2 2 + (-1) 2 + 5 2 = 30 .
Зрозуміло, що пряма x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 перетинає точку M 3 (- 1 , 0 , - 5) , звідси маємо, що вектор з початком координат M 3 (- 1 , 0 , - 5) та її кінцем у точці M 1 2 , - 4 , - 1 є M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Знаходимо векторний твір a → = (2 , - 1 , 5) та M 3 M 1 → = (3 , - 4 , 4) .
Ми отримуємо вираз виду a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 · i → + 15 · j → - 8 · k → + 20 · i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →
отримуємо, що довжина векторного твору дорівнює a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .
Є всі дані для використання формули обчислення відстані від точки для прямої, тому застосуємо її та отримаємо:
M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11
Відповідь: 11 .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter