Практикум з диференціального обчислення. Геометричний зміст похідної

2. Функції. Найпростіші властивості функцій 21 2.11. Доведіть, що якщо f (x) періодична функція з періодом T , то функція f (ax) також періодична з періодом T /a. Рішення. Справді, f = f(ax + T) = f(ax), тобто. T/a один із періодів функції f(ax). 2.12. Знайдіть період функції f(x) = cos2 x. 1+cos 2x Рішення. Можемо записати: cos2 x = . Бачимо, що 2 період функції cos 2 x збігається із періодом функції cos 2x. Оскільки період функції cos x дорівнює 2π, то відповідно до завдання 2.11 період функції cos 2x дорівнює π. 2.13. Знайдіть період функцій: а) f(x) = sin 2πx; б) f(x) = | cos x|. Відповідь: а) T = 1; б) T = π. Завдання для самостійного рішення 2.14. Нехай f(x) = x2 і ϕ(x) = 2x. Знайдіть: а) f [ϕ(x)]; б) ϕ. 2.15. Знайдіть f(x + 1), якщо f(x − 1) = x2 . 1 2.16. Дана функція f(x) = . 1−x Знайдіть ϕ(x) = f(f). 2.17. Дано функцію f (x) = 3x2 − 4x − 2. Доведіть, що функція f (2x + 1) може бути представлена у вигляді f (2x+1) = = Ax2 + Bx + C. Знайдіть значення констант A, B, C . 2.18. Дано дві лінійні функції f1 (x) = 5x + 4 і f2 (x) = 3x − 1. Доведіть, що функція f (x) = f2 також лінійна, тобто має вигляд f (x) = Ax + B. Знайдіть значення кон- стант A та B. 3x + 7 5x + 4 2.19. Дано дві функції f1 (x) = і f2 (x) = , 5x + 6 2x − 8 звані дробово-лінійними. Доведіть, що функція f(x) = f1 також дробово-лінійна, тобто має вигляд Ax + Bf(x) = . Вкажіть значення констант A, B, C, D. Cx + D 22 Введення математичний аналіз 2.20. Для деякої функції f: X ⊂ R → Y ⊂ R відомо, що f (3x + 5) = 45x2 − 12x + 3. Доведіть, що функція f(x) може бути представлена у вигляді f(x) = Ax2 + Bx + C. Знайдіть значення констант A, B, C. 2.21. Знайдіть область визначення наступних функцій: √ 2+x а) f(x) = x + 1; б) f(x) = lg; √ 2−x в) f(x) = 2 + x − x2; г) f(x) = arcsin(log2 x); 1 + x2 д) f(x) = cos(sin x) + arcsin. 2x 2.22. Знайдіть сферу визначення наступних функцій: √ 1 а) f(x) = x2 + 33x + 270; б) f(x) = 2; x + 26x + 168 x+2 в) f(x) = lg[(1 + x)(12 − x)]; г) f(x) = arcsin; x−6 д) f(x) = (x + 9)(x + 8)(x − 14); 15 е) f(x) = arcsin; x − 11 −x ж) f(x) = x2 + 13x + 42 + arcsin . 13 2.23. Побудуйте область визначення наступних функцій: а) f(x, y) = log2(x + y); √ б) f(x, y) = x2 − 4 + 4 − y 2 ; x2 + y 2 в) f(x, y) = arcsin; 4 √ г) f(x, y) = xy. 2.24. Знайдіть область визначення наступних функцій:    1 − lg x 3 − 2x    arcsin а) f (x) =  1 ; б) f(x) =  √ 5 . √ x2 − 4x 3−x 2. Функції. Найпростіші властивості функцій 23 2.25. Знайдіть та побудуйте область визначення наступних функцій: 4x − y 2 а) f (x, y) = ; lg(1 − x2 − y 2) x2 + 2x + y 2 б) f(x, y) = . x2 − 2x + y 2 2.26. Доведіть, що функції 2 2x + 2−x а) f1 (x) = 2−x , f2 (x) = , 2 f3 (x) = |x + 1| + |x − 1| парні; 2x − 2−x 3x + 1 б) ϕ1 (x) = , ϕ2 (x) = x , 2 3 −1 1+x ϕ3 (x) = lg непарні; 1−x 2 в) ψ1 (x) = sin x − cos x, ψ2 (x) = 2x−x , ψ3 (x) = x3 + x2 − 2 загального вигляду. 2.27. Дано функції: 1 а) y = sin2 x; б) y = sin x2; в) y = 1 + tg x; г) y = sin. x Які з них періодичні? 2x 2.28. Доведіть, що функція y = має обернену, 1 + 2x і знайдіть її. 2.29. Доведіть, що функція y = x2 − 2x має дві зворотні √ √ ні: y1 = 1 + x + 1 і y2 = 1 − x + 1. 2.30. Доведіть, що такі функції обмежені знизу: а) f1 (x) = x6 − 6x4 + 11x2; б) f2 (x) = x4 - 8x3 + 22x2. 2.31. Доведіть, що такі функції обмежені зверху: 1 5 а) f1 (x) = √ ; б) f1 (x) = √. 4x2 − 16x + 36 5x 2 − 10x + 55 24 Вступ до математичного аналізу 2.32. Знайдіть найменше та найбільше значеннянаступних функцій: а) f1 (x) = 3 sin x + 4 cos x; б) f2(x) = 5 sin x + 12 cos x. 2.33. Охарактеризуйте вид графіка наступних функцій: а) z = 1 − x2 − y 2 ; б) z = x2 + y 2; в) z = x2 + y2; г) z = x2 − y2. 2.34. Накресліть лінії рівня даних функцій, надаючи значення z від −3 до +3 через 1: а) z = xy; б) z = y (x2 + 1). 2.35. Побудуйте графік функції y = 2 −3(x + 1) − 0,5 за допомогою перетворення графіка функції y = x. 2.36. Побудуйте графік функції y = 3 sin(2x − 4) за допомогою перетворення графіка функції y = sin x. 2.37. Застосовуючи елементарне дослідження функцій (без використання похідної) побудуйте графіки наступних функцій: 1 x а) y = 2 ; б) y = 2; x +1 x +1 1 в) y = x4 − 2x2 + 5; г) y = 2; x + 4x + 5 2x − 5 д) y = ; е) y = x2 + 6x + 9 + 10. x−3 2.38. Побудуйте графіки наступних функцій:   x, якщо − ∞< x < 1;    1 1 а) f (x) = x + , если 1 ≤ x ≤ 3;  2  2   4, если 3 < x < +∞; б) f (x) = |x − 1| + |x + 3|; в) f (x) = |x2 − 2x + 1|; г) f (x) = sin x + | sin x|, если 0 ≤ x ≤ 3π; д) f (x) = arccos(cos x); t+5 t+1 е) f (t) = ; ж) f (t) = . t−7 t2 + 2t + 2 3. Предел функции 25 3. Предел функции Рекомендуется по навчального посібникавивчити підрозділи 1.4 та 1.5. Слід звернути особлива увагана підрозділ 1.4 та знати всі типи околиць, їх позначення та форми запису у вигляді нерівностей. Твердження lim f (x) = A означає: для будь-якої околиці x (x0) сти U (A) (зокрема, скільки завгодно малої) елемента A знайдеться проколота околиця V (x0) елемента x0 така, що з умови x ∈ V˙ (x0) ∩ X слід, f (x) ∈ U (A), де X область визначення функції f (x), а x0 гранична точка множини X. Часто замість довільного околиці U (A) розглядають симетричне околиця Uε (A). При цьому околиця V (x0) може вийти як симетричною, так і несиметричною, але з будь-якої несиметричної околиці можна виділити симетричну Vδ (x0). Оскільки околиця V (x0) проколота, тобто. не містить точку x0 , то x = x0 і в точці x0 функція f (x) може бути не визначена. Щоб довести, що lim f(x) = A, достатньо знайти x→x0 безліч (x) тих значень x, для яких справедливе включення f(x) ⊂ U(A) для будь-якого околиці U(A). Якщо знайдена множина (x) є околицею x0 , то твердження lim f (x) = A справедливо, в іншому випадкувоно x→x0 неправильне. Зокрема, якщо функція f (x) у точці x0 визначена і lim f(x) = f (x0), то множина (x) міститиме і x→x0 точку x0 . Наведене визначення межі застосовується до будь-якого класу функций. У цьому розділі ми в основному займатимемося числовими функціямиодного числового аргументу. 3.1. З визначення межі, довести: 1 1 а) lim x = x0 ; б) lim =; x→x0 x→2 x 2 1 1 1 в) lim = lim = lim = 0; x→+∞ x x→−∞ x x→∞ x 26 Введення в математичний аналіз 1 1 г) lim = +∞; д) lim = −∞; е) lim = 2; ж) lim x2 = 4. x→1 x x→2 Рішення: а) затвердження lim x = x0 безпосередньо x→x0 випливає з визначення межі. Якщо околиця Uε (x0) ˙ (|x − x0 |< ε) дана, то в качестве окрестности Vδ (x0) можно принять |x − x0 | < δ = ε, т.е. положить δ = ε; 1 1 б) докажем, что lim = . По определению предела x→2 x 2 мы должны доказать, что для любой заданной окрестности 1 ˙ Uε , ε >0 існує околиця V (2) така, що якщо 2 1 1 1 1 x ∈ V (2), то −< ε, т.е. ∈ Uε , что равносильно сле- x 2 x 2 дующим двум неравенствам: 1 1 −ε < − < +ε или x 2 1 1 1 − ε < < + ε. 2 x 2 Так как при достаточ- но малом ε все части этого неравенства по- ложительны, то 2 2 2, 1 + 2ε 1 − 2ε отже, множе- Рис. 3.1 2 2 ство, 1 + 2ε 1 − 2ε є околицею точки x0 = 2 (несиметричною). Існування необхідної околиці V (2) доведено (рис. 3.1). 3. Межа функції 27 Можна для наочності цю околицю записати у вигляді 4ε 4ε 2− ,2 + і вважати 1 + 2ε 1 − 2ε ˙ 4ε 4ε V (2) = Vδ1 ,δ2 (2), де δ1 = , δ2 = . 1 + 2? елемента +∞ така, що якщо x ∈ V (+∞), 1 то − 0< ε, или x 1 < ε. Так как x x → +∞, то можно считать, что x >0, Мал. 3.2 тому знак модуля можна опустити 1 1 і записати< ε или x >= M. Безліч x > M є x ε VM (+∞) згідно з визначенням околиці елемента +∞. Існування околиці V (+∞), яка задовольняє відповідні умови, доведено. Тим самим було доведено, що 1 lim = 0 (рис. 3.2). x→+∞ x 1 1 Доказ рівностей lim = 0 і lim = 0 передаємо x→−∞ x x→∞ x ставимо читачеві. 28 Введення в математичний аналіз 1 Підкреслимо, що рівність lim = 0 дорівнює двом x→∞ x 1 1 рівностям: lim = 0 і lim = 0; x→−∞ x x→+∞ x г) доведемо рівність 1 lim = +∞. x→0+0 x UM (+∞) Потрібно довести, що для будь-якого околиці UM (+∞) існує права напівоколиця Vδ+ (0) (0< x < δ) ← такая, что если + V1/M (0) x ∈ Vδ+ (0), то 1 ∈ UM (+∞). x Рис. 3.3 Останнє означає, 1 1 що > M . Оскільки x > 0, M > 0, то 0< x < . Если поло- x M 1 жить δ = , то требуемая окрестность Vδ+ (0) найдена и ра- M 1 венство lim = 0 доказано (рис. 3.3). x→0+0 x 1 Аналогично можно доказать, что lim = −∞ (предлага- x→0−0 x ем проделать это самостоятельно); 1 е) докажем, что lim = 2. Предположим противное, т.е. x→1 x 1 что lim равен двум. Это означало бы: для любой окрест- x→1 x ˙ ности Uε (2) существует окрестность V (1) такая, что если ˙ 1 1 1 x ∈ V (1), то ∈ Uε (2), т.е. − 2 < ε, или 2 − ε < < ε + 2. x x x 3. Предел функции 29 Так как все части неравенства можно считать положительны- 1 1 ми, то 0, за x > 0 функція √ √ y = x2 монотонно зростає, тому 4 − ε< |x| < 4 + ε. Поскольку x >0, √ знак модуля можна опустити і запи- √ то сати 4 − ε< x < 4 + ε. Точка x = 2 принадлежит интервалу √ √ (4 − ε; 4 + ε), т.е. этот интервал является окрестностью точ- ки 2, удовлетворяющей требуемому условию, которую и при- ˙ ˙ нимаем в качестве V (2). Существование V (2) доказано, а этим доказано, что lim x 2 = 4. x→2 3.2. Докажите самостоятельно, что 1 1 lim = +∞, lim = −∞. x→x0 +0 x − x0 x→x0 −0 x − x0 Указание: сделать замену x − x0 = t и применить задачу 3.1. 3.3. Используя теоремы о пределе произведения суммы и частного, докажите, что: а) lim xn = xn ; 0 x→x0 б) lim Pn (x) = lim (a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an) = x→x0 x→x0 = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x0 + an ; 0 0 30 Введение в математический анализ Pn (x) a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an в) lim = lim = x→x0 Qm (x) x→x0 b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x + bm a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x0 + an 0 0 = , b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x0 + bm 0 0 где n и m натуральні числа, ai та bi константи, b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x0 + bm = 0, x0 0 0 звичайно. Рішення: а) можемо записати: lim xn = lim (x · x · · · · · x). x→x0 x→x0 Оскільки lim x = x0 , то за теоремою про межі твору x→x0 lim xn = lim x · lim x · · · · · lim x = xn ; 0 x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 б) функція Pn (x) являє собою суму (1 + n) доданків, кожне з яких має кінцева межанаприклад, lim a0 xn = lim a0 lim xn = a0 xn . Тому б) випливає з тео- 0 n→∞ x→x0 x→x0 реми про межу суми; в) випливає з теореми про межі частки, суми та твори. Функцію Pn (x) у задачі 3.3 називають багаточленом або поліномом порядку n (якщо a0 = 0). 3.4. Обчисліть такі межі: x2 + 2x − 3 а) lim (x2 + 3x + 4); б) lim 2 . x→2 x→3 2x + 4x − 5 Рішення. На основі доведеного в задачі 3.3, п. б) можемо записати: lim (x2 + 3x + 4) = 22 + 3 · 2 + 4 = 14; x→2 x2 + 2x − 3 32 + 2 · 3 − 3 12 lim 2 + 4x − 5 = 2+4·3−5 = . x→3 2x 2·3 25 5x2 − 20x + 15 3.5. Знайдіть A = lim. x→1 3x2 − 15x + 12 Рішення. У даному випадкузастосувати теорему про межі частки неможливо, оскільки знаменник звертається при x0 = 1 в нуль. Зауважимо, що і чисельник при x0 = 1 також обертається на нуль. Отримуємо невизначений вираз типу 0/0. Ми вже підкреслювали, що у визначенні межі за x → x0

Якщо зазначено правило, згідно з яким з кожною точкою M площини (або якоїсь частини площини) зіставляється деяке число u, то кажуть, що на площині (або на частині площини, «задана функція точки»; завдання функції символічно виражають рівністю виду u - Число u, що зіставляється з точкою M, називається значенням даної функції в точці M. Наприклад, якщо А - фіксована точка площини, M - довільна точка, то відстань А до M є функція точки M. У разі f(M) = AM.

Нехай дано деяку функцію u = f(М) і водночас введено систему координат. Тоді довільна точка M визначається координатами х, у. Відповідно до цього і значення цієї функції в точці M визначається координатами х, у, або, як ще кажуть, u = f(M) є функція двох змінних х і у. Функція двох змінних х, у позначається символом f(x, у); якщо f(M) = f(x, y) то формула u = f(x, у) називається виразом цієї функції у вибраній системі координат. Так, у попередньому прикладі f(M)=AM; якщо ввести декартову прямокутну системукоординат з початком у точці А, то отримаємо вираз цієї функції:

u = √(x 2 + y 2)

146. Дано дві точки Р і Q, відстань між якими дорівнює а, і функція f(M) = d 2 1 - d 2 2 де d 1 - МР і d 2 - MQ. Визначити вираз цієї функції, якщо як початок координат прийнято точку Р, а вісь Ох спрямована по відрізку PQ .

147. За умов задачі 146 визначити вираз функції f(M) (безпосередньо і за допомогою перетворення координат, використовуючи результат задачі 146), якщо:

1) початок координат вибрано в середині відрізка PQ, вісь Ох спрямована по відрізку PQ.

2) початок координат вибрано в точці Р, а вісь Ох спрямована по відрізку QP.

148. Дані: квадрат ABCD зі стороною а та функція f(M) = d 2 1 - d 2 2 - d 2 3 + d 2 4 , де d 1 = MA, d 2 = MB, d 3 = MC та d 4 = MD. Визначити вираз цієї функції, якщо за осі координат прийнято діагоналі квадрата (причому вісь Ох спрямована по відрізку AC , вісь Оу - по відрізку BD ).

149. За умов задачі 148 визначити вираз для f(M) (безпосередньо і за допомогою перетворення координат, використовуючи результат задачі 148), якщо початок координат вибрано в точці А, а осі координат направлені по його сторонах (вісь Ох - по відрізку AB , вісь Оу - за відрізком AD).

150. Дана функція f(х, у) = х 2 + у 2 - 6х + 8у. Визначити вираз цієї функції у новій координатній системі, якщо початок координат перенесено (без зміни напряму осей) у точку O"(3; -4).

151. Дана функція f(x, у) = х 2 - у 2 - 16. Визначити вираз цієї функції в новій координатній системі, якщо осі координат повернені на кут -45 °.

152. Дана функція f(x, y) = x 2 + y 2 . Визначити вираз цієї функції у новій координатній системі, якщо осі координат повернені на деякий кут α.

153. Знайти таку точку, щоб при перенесенні до неї початку координат вираз функції f(x,y) = x 2 - 4у 2 - 6х + 8у + 3 після перетворення не містило членів першого ступеня щодо нових змінних.

154. Знайти таку точку, щоб при перенесенні до неї початку координат вираз функції f(х, у) = х 2 - 4ху + 4у 2 + 2х + у - 7 не містило членів першого ступеня щодо нових змінних.

155. На який кут потрібно повернути осі координат, щоб вираз функції f(x, у) = х 2 - 2ху + у 2 - 6х + З після перетворення не містив члена з твором нових змінних?

156. На який кут потрібно повернути осі координат, щоб вираз функції f(x, у) = Зх 2 + 2√3ху + у 2 після перетворення не містив члена з твором нових змінних?

Нехай Р- графік функції y = f (x). Розглянемо Г т. А(x0,f(x0)) тощо. (x0+Δx,f(x0+Δx))

Нехай γ – кут нахилу січучої щодо осі ОХ. Якщо існує межа limγ=γ0 при Δх→0, то пряма, що проходить через А і утворює з віссю ОХ кут γ0, називається дотичною до Р у точці А.

Нехай С(f(x0+Δх), f(x0)) – точка, яка доповнює відрізок АВ до прямокутника. трикутника АВС. Т.к. АС//ОХ, то tgγ = Δу/Δх. Переходячи до межі, отримаємо: tgγ0=f′(x0)

Тобто. геометричний зміст похідної у тому, що f′(x0) – це тангенс кута нахилу дотичної до графіку y=f(x) у точці (x0,f(x0)).

Рівняння дотичної.

Знайдемо ур-е щодо графіку Г ф-и y=f(x) у точці А(х0, f(x0)): т.к. т. А належить Р і ур-ю дотичної, то f(x0)=kx0+b, звідки b= f(x0)-kx0, отже, дотична задається слід. Ур-м:

y=kx+f(x0)-kx0=f(x0)+k(х-x0)

Т.к. k= f′(x0), то

y=f(x0)+ f′(x0)(х-х0).

Визначення еластичності функції.

функції y = f(x) у точці х0 називається наступна межа

Eyx(x0) = lim ((Δy/y): (Δx/x)).

Еластичність Ey – це коефіцієнт пропорційності між відносними змінами величин y та x.)

Теорема Роля.

Якщо функція, безперервна на відрізку [ a;b] та диференційована на інтервалі ( a;b), приймає на кінцях цього інтервалу однакові значення, то цьому інтервалі знайдеться хоча б одна точка, у якій похідна функції дорівнює нулю.

Теорема Лагранжа.

Нехай функція f(x)

1. безперервна на відрізку [ a, b];

2. диференційована в інтервалі ( a, b).

Тоді існує точка з ( a, b) така, що

Формула (1) називається формулою Лагранжа, або формулою кінцевих прирощень

Теорема Коші.

Нехай дані дві функції f(x) і g(x) такі, що:

1. f(x) і g(x) визначені і безперервні на відрізку;

2. похідні та кінцеві на інтервалі;

3. похідні та не звертаються в нуль одночасно на інтервалі

(Якщо усунути умову 4, то необхідно посилити умову 3: g"(x) не повинна звертатися в нуль ніде в інтервалі ( a,b).)

Правило Лопіталя.

Теорема (правило Лопіталя). Нехай А – число, символ одностороннього краю (А=а±0) чи символ нескінченності (А=±∞). Нехай функції ƒ(х) і g(х) або обидві нескінченно малі, або обидві нескінченно великі за х→А. Тоді, якщо існує межа

(кінцевий або нескінченний),

то існує і межа

при цьому виконується рівність:

Похідні та диференціали вищих порядків.

Якщо для функції y=f(x) визначено похідну у(к-1) порядку (к-1), то похідну у(к) порядку (за умови її існування) визначають як похідну від похідної порядку (к-1), тобто. у(к) = (у(к-1)) '. Зокрема, у''=(y')'- похідна другого порядку, y'''=(y'')' – третього тощо.

Диференціали вищих порядків ф-і y=f(v) послідовно визначаються таким чином:

d2y = d (dy) - диф-л 2-го порядку

dny = d (d n-1 y) - диф-л n-гопорядку

Формула Тейлора. Формула Маклорен.

Теорема Тейлора.

Нехай функція f(x)має в точці x = a та деякої її околиці похідні порядку n+ 1. Тоді між точками a та x a знайдеться така точка, що справедлива така формула:

Формула (10) називається формулою Тейлора, а вираз

представляє залишковий член у формі Лагранжа. Зауважимо, що якщо функція f (n+ 1) (x) обмежена в околиці точки a,тоді залишковий член є нескінченно малою при xaбільше високого порядкуніж ( x-a)n.Таким чином, залишковий член можна записати у вигляді

R n+ 1 (x)= o((x-a)n)при xa.

Ця формазаписи залишкового члена називається формою Пеано.

Формулою Маклорена називається формула Тейлора при a = 0:

Залишковий член у формі Пеано для формули Маклорена має вигляд

R n+ 1 = o(x n)при x 0.

Наведемо розкладання деяких елементарних функційза формулою Маклорена

Знайдіть, виходячи з

визначення, похідну функції f(x) у точці x 0:

26. f(x) = x 3 x 0 - довільне число.

f ’(x) = =

f ′(x про)= = = = =3

27. f(x)=sinx, x про -довільне число

Похідної функції f(x) у точці x 0 називається межа відношення збільшення функції в цій точці до збільшення аргументу при прагненні останнього довільним чином до 0.

f ’(x) = =

f ′(x о)= = = = cosx 0

28. f (x) = , x про =9

f ’(x) = =

f ’(x) = = = =1/6

29. f(x)= ,x про =1

f ’(x) = =

f ’(x) = = = = =-2

30. f(x)=x½x½, x 0 =0

f ’(x) = =

Знайдіть еластичність функції f (x) у точці x0:

38. f(x) = x 4 x 0 = 9.

Нехай дані дві функції корисності
U(x) та U*(х) = h + y U(x) з д > 0.
Особа, яка приймає рішення, приходить на основі другої функції корисності щодо двох альтернатив до результату А і h А2. Що зміниться, якщо воно натомість орієнтуватиметься на першу функцію корисності?
Як би виглядала ваша відповідь, якщо друга функція корисності мала б форму U*(x) = h - у та (і) з у > 0?
Як упорядковуються альтернативи за U*(x) = h?
* *
"до
1. Дві функції корисності призводять до прийняття однакових рішеньтоді, коли їх можна взаємно «перевести» один в одного у вигляді позитивного лінійного перетворення (див. із цього приводу також с. 74). Якщо нам вдасться показати, що U(x) є позитивним лінійним перетворенням функції U*(x), тоді вибір функції корисності не вплине на впорядкування альтернатив. Ми шукаємо два числа а та b при b > 0, так щоб було правильно
a + bU * (x) = U (x).
Якщо підставити другу функцію корисності, матиме місце
а + b (h + gU (x)) = U (x).
На першому етапі ми визначаємо 6 таким чином, що фактор, на який множиться U(x), набуває значення одиниці. Очевидно, що ми маємо позначити b = 1/д. Таким чином, виходить
а + - + U(х) = U(.г). 9
Після цього ми повинні вибрати так, щоб в обох частинах рівняння залишилося лише U(x). Це вийде за а = -h/g.
Тепер ми шукаємо перетворення форми
a + b(h-gU(x)) = U(x).
Щоб отримати бажаний результат, ми маємо позначити Ь = - - l/h. Це було б негативним лінійним перетворенням і змінило ранговий порядок з точністю до навпаки.
Особа, яка приймає рішення і має цю функцію корисності, оцінює всі альтернативи з тим самим значенням. Тому воно має прийти і при здійсненні вибору між альтернативами А і А.2 до результату А і ~

Ще на тему 2.1.5. Однозначність функції корисності:

1. Споживчі переваги та гранична корисність. функція корисності.
2.3.2. Квадратична функція корисності та очікувана корисність
Корисність та раціональний споживач. Загальна та гранична корисність. Закон спадної граничної корисності. Принцип максимізації корисності
Кількісна теорія корисності. Поняття корисності, споживчого вибору, загальної та граничної корисності.