Основними тригонометричними функціями є функції y = sin (x), y = cos (x), y = tg (x), y = ctg (x). Розглянемо кожну з них окремо.
Y = sin(x)
Графік функції y = sin (x).
Основні властивості:
3. Функція непарна.
Y = cos(x)
Графік функції y = cos (x).
.jpg)
Основні властивості:
1. Область визначення вся числова вісь.
2. Функція обмежена. Безліч значень – відрізок [-1; 1].
3. Функція парна.
4.Функція періодична з найменшим позитивним періодомрівним 2*π.
Y = tg(x)
Графік функції y = tg (x).
.jpg)
Основні властивості:
1. Область визначення вся числова вісь, крім точок виду x=π/2 +π*k, де k - ціле.
3. Функція непарна.
Y = ctg (x)
Графік функції y = ctg (x).
.jpg)
Основні властивості:
1. Область визначення вся числова вісь, крім точок виду x=π*k, де k - ціле.
2. Функція необмежена. Безліч значення вся числова пряма.
3. Функція непарна.
4.Функція періодична з найменшим позитивним періодом, що дорівнює π.
Потрібна допомога у навчанні?
Попередня тема:
Назад Вперед
Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.
Тема уроку: "Функція у = cosx"
Урок №1
Цілі уроку: Ознайомити учнів із властивостями функції
Завдання уроку.
Освітня – формування функціональних уявлень на наочному матеріалі, формування умінь побудови графіків функції у=cosx, формувати навички вільного читання графіків, уміння відбивати властивості функції графіку.
Хід уроку
| № | Етап уроку | Демонстрація слайдів | Час |
| 1 | Організаційний момент.Вітання | ||
| 2 | Оголошення теми та мети уроку | ||
| 3 | Актуалізація опорних знань Виконання усних вправ. |
Фронтальне опитування |
|
| 4 | Викладення нового матеріалу Завдання на побудову графіка у = cosx на відрізку Обговорення властивостей функції у = cosx на відрізку Завдання на побудову ескізу графіка функції у = cosх Обговорення властивостей функції у = cosx |
Занесення властивостей до таблиці |
|
| 5 | Вирішення завдань за підручником №708, №709 |
Рішення відбувається у супроводі слайда №4 | |
| 6 | Завдання на побудову графіка функції зі зсувом вздовж осі ординат та вздовж осі абсцис. Обговорення властивостей функції |
||
| 7 | Самостійна роботаза підручником | №710 (1;3), №711 (1;3), №711 (1;3) |
|
| Підбиття підсумків. Підсумки уроку. Виставлення оцінок. |
|||
| 9 | Домашнє завдання | §40 №710(2;4), №711(2;4), №711(2;4). Побудувати графіки функцій у = cosx і описати властивості цієї функції. Додатково №717 (1) |
Мета уроку: Ознайомити учнів із властивостями функції у = cosx, навчання побудові графіка функції у = cosx, читання цього графіка, використання властивостей та графіка функції при розв'язанні рівнянь та нерівностей.
2. Оголошення теми та мети уроку супроводжується слайдом №2
3. Актуалізація опорних знань
Виконання усних вправ.
- Повторити визначення тригонометричних функцій та знаки значень цих функцій.
- Звернути увагу учнів на те, що для будь-кого дійсного числаможна вказати відповідну точку на одиничного кола, отже її абсцису і ординату, тобто. косинус і синус числа х: у = cosx та у = sinx, область визначення яких – всі дійсні числа.
Потім учні відповідають питання:
- При яких значеннях х функція у = cosx набуває значення, що дорівнює 0? 1? -1?
- Чи може функція у = cosx набувати значення більше 1, менше -1?
- При яких значеннях x функція у = cosx набуває найбільшого (найменшого) значення?
- Яка безліч значень функції у = cosx?
Відповіді на ці та наступні питання супроводжуються ілюстрацією на одиничному колі.
Повторивши знаки значень тригонометричних функцій у кожному чверті координатної площині, учням пропонується показати кілька точок одиничного кола, відповідних числам, косинус яких позитивне (негативне) число. Потім відповісти на запитання:
1) Який знак має значення функції у = cosx, якщо х =, х =,
0<х<, 0<х<, <х<, <х<2.5?
2) Вкажіть кілька значень х, у яких значення функції у = cosx позитивні, негативні.
3) Чи можна назвати всі значення числа , косинус яких позитивний, негативний?
4) Чи можна назвати всі значення аргументу х, у яких значення функції у = cosx позитивні, негативні?
5) парна або непарна функція = cosx.
6) Чому дорівнює період цієї функції?
4. Викладення нового матеріалу.
Узагальнення та конкретизація знань отриманих раніше: дослідження області визначення, безлічі значень, парності, періодичності дозволяє побудувати графік спочатку на відрізку, потім на відрізку, а потім на всій числовій прямій. Пояснення супроводжується слайдом №3.
Потім учні вчаться зображати ескіз графіка функції у = cosx за точками (0; 1), (; 0),
(:-1), (;0), (;1) і узагальнюють властивості функції, записуючи в таблицю.
Перевіряємо за допомогою слайду №4.
(На цьому етапі видаються опорні конспекти (додаток 1))
5. Закріплення первинних знань.
За допомогою ескізу графіка функції у=cosx учні відповідають питання №708, з допомогою таблиці властивостей функції у=cosх відповідають питання №709
6. Завдання на побудову графіка функції зі зсувом вздовж осі ординат та вздовж осі абсцис.
1. Слайд №5, 6
Під час розмови обговорюються характеристики цих функций.
7. Самостійна робота з підручника
№710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710
Розбити цей відрізок на два відрізки так, щоб на одному з них функція у = cosx зростала, а на іншому убувала:
Убуває; - Зростає
Убуває; - Зростає
Використовуючи властивість зростання або зменшення функції у = cosx, порівняти числа:
На відрізку функція у = cosx зменшується; , Отже, .
На відрізку функція у = cosx зростає;
<, следовательно, cos < cos
Знайти всі коріння рівняння, що належать відрізку:
1) cosx = х = ±+2 n, n Z
Відповідь: ; ; .
2) cosx = - х = ± 
8. Підбиття підсумків.
Виставлення оцінок.
На уроці навчилися будувати графік функції у = cosx, читати властивості цього графіка, будувати ескіз графіка, вирішувати завдання пов'язані з використанням графіка та властивостей функції у = cosx.
9. Домашнє завдання.
§40 №710(2;4), №711(2;4), №711(2;4). Побудувати графіки функцій у = cosx і описати властивості цієї функції.
Додатково №717(1).
Тема: "Функція у = cosx"
Урок №2
Цілі уроку: Повторити правила побудови графіка функції = cosx, навчитися застосовувати прийоми перетворення графіка, читання цього графіка, використання властивостей і графіка функції при вирішенні рівнянь і нерівностей.
Завдання уроку.
Освітня – формування функціональних уявлень на наочному матеріалі, формування умінь побудови графіків функції у=cosx у різних перетвореннях, формувати навички вільного читання графіків, вміння відбивати властивості функції графіку.
Розвиваюча – формування можливості аналізувати, узагальнювати отримані знання. Формування логічного мислення.
Виховна – активізувати інтерес до здобуття нових знань, виховання графічної культури, формування точності та акуратності під час виконання креслень.
Оснащені: мультимедійний проектор, екран, операційна система Microsoft Windows 98/Me/2000/XP, програма MS Office 2003: Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel.
Хід уроку
| № | Етап уроку | Демонстрація слайдів | Час |
| 1 | Організаційний момент.Вітання | 1 | |
| 2 | Оголошення теми та мети уроку | 2 | |
| 3 | Перевірка домашнього завдання | №717(1), Слайд №7 |
5 |
| 4 | Викладення нового матеріалу Завдання на побудову графіка шляхом стиснення та розтягування до осі ОХ Обговорення властивостей функції у = k cosx при k> 1 і 0 Завдання на побудову графіка шляхом стиснення та розтягування до орі ОУ Обговорення властивостей функції у = cos (k x) при k> 1 і 0 |
Слайд №8, 9 |
12 |
| 5 | Закріплення первинних знань.Розв'язання задач за підручником №713(1;3), №715(1) №716(1) |
№717(2) підручник стор. 208. При рішенні №715(1), №716(1) використовувати побудований графік функції у = cos2x. Слайд №10 | 5 |
| 6 | Завдання на побудову графіка функції симетричного щодо осі абсцис. 1. Організаційний момент. Вітання. 2. Оголошення теми та мети уроку супроводжується слайдом №2. 3. Перевірка домашнього завдання 4. Викладення нового матеріалу 1. Завдання на побудову графіка шляхом стиснення та розтягнення до осі ОХ. Обговорення властивостей функції у = k cosx при k> 1 і 0 Слайд №8 2. Завдання на побудову графіка шляхом стиснення та розтягнення до осі ОУ. Обговорення властивостей функції у = cos(kx) при k>1 та 0 Слайд №9 5. Закріплення первинних знань Розв'язання задач за підручником №713(1;3), №715(1) №716(1) Завдання №715(1) №716(1) перевіряємо за допомогою слайду №10 6. Завдання на побудову графіка функції симетричного щодо осі абсцис Обговорення властивостей функції .
Слайд №11 (використовувати опорний конспект (додаток 1)) 7. Самостійна робота Розв'язання тестових завдань .
(Половина учнів вирішує тести в XL (додаток 2), за комп'ютерами, друга половина на роздатковому матеріалі (додаток 3). Потім учні змінюються місцями.) 8. Підсумки уроку. В результаті вивчення теми учні навчилися будувати графік функції у = cosх, читати властивості функції, будувати графіки функції використовуючи різні перетворення, читати властивості графіків з перетвореннями, вирішувати найпростіші завдання використовуючи графіки та властивості функції у = cosх. Виставлення оцінок. 9. Домашнє завдання. §40 №717(3), №713(4), №715(4), №716(2). Додатково №719(2) (Перевірка слайд №13) На початку наступного уроку можна запропонувати учням виконати роботу з побудови графіків на готових матеріалах ( |
Урок та презентація на тему: "Функція y=cos(x). Визначення та графік функції"
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу
Алгебраїчні завдання з параметрами, 9–11 класи
Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.1"
Що вивчатимемо:
1. Визначення.
2. Графік функції.
3. Властивості функції Y = cos (X).
4. Приклади.
Визначення функції косинуса у = cos (x)
Діти, ми вже познайомилися з функцією Y = sin (X).
Згадаймо одну з формул привида : sin(X + π/2) = cos(X).
Завдяки цій формулі ми можемо стверджувати, що функції sin(X + π/2) і cos(X) тотожні, і їх графіки функцій збігаються.
Графік функції sin(X + π/2) виходить із графіка функції sin(X) паралельним перенесенням на π/2 одиниць вліво. Це буде графік функції Y=cos(X).
Графік функції Y=cos(X) також називають синусоїдою.
Властивості функції cos(x)
- Запишемо властивості нашої функції:
- Область визначення – безліч дійсних чисел.
- Функція парна. Згадаймо визначення парної функції. Функція називається парною, якщо виконується рівність y(-x)=y(x). Як пам'ятаємо з формул привида: cos(-x)=-cos(x), визначення виконалося, тоді косинус – парна функція.
- Функція Y=cos(X) зменшується на відрізку і збільшується на відрізку [π; 2π]. У цьому вся ми можемо переконатися на графіку нашої функції.
- Функція Y=cos(X) обмежена знизу та зверху. Ця властивість випливає з того, що
-1 ≤ cos(X) ≤ 1 - Найменше значення функції дорівнює -1 (при х = π + 2πk). Найбільше значення функції дорівнює 1 (при x = 2πk).
- Функція Y=cos(X) є безперервною функцією. Подивимося на графік і переконаємося, що наша функція не має розривів, це означає безперервність.
- Область значень відрізок [-1; 1]. Це також добре видно із графіка.
- Функція Y = cos (X) - періодична функція. Подивимося знову на графік і побачимо, що функція приймає ті самі значення через деякі проміжки.
Приклади з функцією cos(x)
1. Розв'язати рівняння cos(X)=(x - 2π) 2 + 1
Рішення: Побудуємо 2 графіки функції: y=cos(x) і y=(x - 2π) 2 + 1 (див. рисунок). _2.jpg)
y=(x - 2π) 2 + 1 - це парабола, зміщена вправо на 2π і вгору на 1. Наші графіки перетинаються в одній точці А(2π;1), і є відповідь: x = 2π.
2. Побудувати графік функції Y=cos(X) за х ≤ 0 та Y=sin(X) за x ≥ 0
Рішення: Щоб побудувати необхідний графік, давайте збудуємо два графіки функції по "шматочкам". Перший шматочок: y=cos(x) при х ≤ 0. Другий шматочок: y=sin(x)
при x ≥ 0. Зобразимо обидва "шматочки" на одному графіку.
_3.jpg)
3. Знайти найбільше та найменше значенняфункції Y = cos (X) на відрізку [π; 7π/4]
Рішення: Побудуємо графік функції та розглянемо наш відрізок [π; 7π/4]. На графіку видно, що найбільші та найменші значення досягаються на кінцях відрізка: у точках π та 7π/4 відповідно.
Відповідь: cos(π) = -1 – найменше значення, cos(7π/4) = найбільше значення.
_4.jpg)
4. Побудувати графік функції y=cos(π/3 - x) + 1
Рішення: cos(-x)= cos(x), тоді шуканий графік вийде шляхом перенесення графіка функції y=cos(x) на π/3 одиниць вправо та 1 одиницю вгору.
_5.jpg)
Завдання для самостійного вирішення
1)Вирішити рівняння: cos(x)= x – π/2.2) Розв'язати рівняння: cos(x)= - (x - π) 2 - 1.
3) Побудувати графік функції y = cos (π / 4 + x) - 2.
4) Побудувати графік функції y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Знайти найбільше та найменше значення функції y=cos(x) на відрізку .
6) Знайти найбільше та найменше значення функції y=cos(x) на відрізку [- π/6; 5π/4].
На цьому уроці ми докладно розглянемо функцію у = cos х, її основні властивості та графік. На початку уроку дамо визначення тригонометричної функції у = cost на координатному колі та розглянемо графік функції на колі та прямій. Покажемо періодичність цієї функції на графіку та розглянемо основні властивості функції. Наприкінці уроку вирішимо кілька найпростіших завдань із використанням графіка функції та її властивостей.
Тема: Тригонометричні функції
Урок: Функція y=cost, її основні властивості та графік
Функцією називається закон, яким кожному значенню незалежного аргументу ставиться у відповідність єдине значення функції.
Згадаймо визначення функціїНехай t- будь-яке дійсне число. Йому відповідає єдина точка Mна числовому колі. У точки Mє єдина абсциса. Вона і називається косинусом числа t.Кожному значенню аргументу tвідповідає лише одне значення функції (рис. 1).
Центральний кут чисельно дорівнює величині дуги у радіанах, тобто. Тому аргументом може бути і дійсне число, і кут в радіанах.
Якщо ми вміємо для кожного значення визначити, то можемо побудувати графік функції
Можна отримати графік функції та іншим способом. За формулами наведення 
тому графік косинуса - це синусоїда, зрушена по осі xналіво (рис.2).
Властивості функції
1) Область визначення:
2) Область значень: 
3) Функція парна:
4) Найменший позитивний період:
5) Координати точок перетину з віссю абсцис:
6) Координати точки перетину з віссю ординат:
7) Проміжки, на яких функція набуває позитивних значень:
8) Проміжки, на яких функція набуває негативних значень:
9) Проміжки зростання:
10) Проміжки зменшення:
11) Точки мінімуму: 
12) Мінімум функції: .
13) Точки максимуму: 
14) Максимум функції:
Ми розглянули основні властивості та графік функції Далі вони будуть використовуватися під час вирішення завдань.
Список литературы
1. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Підручник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2009.
2. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.
3. Віленкін Н.Я., Івашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.І. Алгебра та математичний аналіз для 10 класу (навчальний посібник для учнів шкіл та класів з поглибленим вивченням математики).-М.: Просвітництво, 1996.
4. Галицький М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.І. Поглиблене вивчення алгебри та математичного аналізу.-М.: Просвітництво, 1997.
5. Збірник завдань з математики для вступників до ВТУЗи (під ред. М.І.Сканаві).-М.: Вища школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебраїчний тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Завдання з алгебри та початку аналізу (посібник учнів 10-11 класів общеобразов. установ).-М.: Просвітництво, 2003.
8. Карп А.П. Збірник завдань з алгебри та початків аналізу: навч. посібник для 10-11 кл. з поглибл. вивч. математики.-М.: Просвітництво, 2006.
Домашнє завдання
Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.
№№ 16.6, 16.7, 16.9.
Додаткові веб-ресурси
3. Освітній портал для підготовки до іспитів ().