Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.
Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, прийти до спільної думки про сутність парадоксів науковій спільнотіпоки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.
З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки я розумію, математичний апаратзастосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точкизору це виглядає, як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.
Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахіллес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".
Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницяхвимірювання часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:
За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу рівний першомуАхіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.
Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне рішенняпроблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.
Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.
Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.
У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моментичасу, але з них не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точокпростору в один момент часу, але за ними не можна визначити факт руху (звісно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагуТак це на те, що дві точки в часі і дві точки в просторі - це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.
середа, 4 липня 2018 р.
Дуже добре відмінності між безліччю та мультимножиною описані у Вікіпедії. Дивимося.
Як бачите, "у множині не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи у множині є, така множина називається "мультимножина". Подібну логіку абсурду розумним істотам не зрозуміти ніколи. Це рівень папуг, що говорятьі дресованих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають у ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.
Колись інженери, які збудували міст, під час випробувань мосту перебували у човні під мостом. Якщо міст обрушувався, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.
Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняттяЄ одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх з реальністю. Цією пуповиною є гроші. математичну теоріюмножин до самих математиків.
Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо у касі, видаємо зарплатню. Ось приходить до нас математик по свої гроші. Відраховуємо йому всю суму та розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри однієї гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі і вручаємо його математику " математична безлічзарплати". Пояснюємо математику, що решта купюр він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.
Насамперед спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - низьзя!". Далі почнуться запевнення нас у тому, що на купюрах однакової гідності є різні номери купюр, а отже, їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами – на монетах немає номерів. Тут математик почне судомно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількістьбруду, кристалічна структурата розташування атомів у кожної монети унікально...
А тепер у мене самий цікаве питання: де проходить та грань, за якою елементи мультимножини перетворюються на елементи множини і навпаки? Такої межі не існує – все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.
Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони із однаковою площею поля. Площа полів однакова – значить у нас вийшло мультимножина. Але якщо розглядати назви цих стадіонів - у нас виходить безліч, адже назви різні. Як бачите, той самий набір елементів одночасно є і безліччю, і мультимножиною. Як правильно? А ось тут математик-шаман-шуллер дістає з рукава козирний туз і починає нам розповідати або про множину, або про мультимножину. У будь-якому разі він переконає нас у своїй правоті.
Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, достатньо відповісти на одне питання: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Я вам покажу, без усяких "мислиме як єдине ціле" чи "не мислиме як єдине ціле".
неділя, 18 березня 2018 р.
Сума цифр числа - це танець шаманів з бубном, який до математики жодного стосунку не має. Так, на уроках математики нас вчать знаходити суму цифр числа та користуватися нею, але на те вони й шамани, щоб навчати нащадків своїм навичкам та премудростям, інакше шамани просто вимруть.
Вам потрібні докази? Відкрийте Вікіпедію та спробуйте знайти сторінку "Сума цифр числа". Її немає. Немає в математиці формули, якою можна знайти суму цифр будь-якого числа. Адже цифри – це графічні символи, За допомогою яких ми записуємо числа і мовою математики завдання звучить так: "Знайти суму графічних символів, що зображують будь-яке число". Математики це завдання вирішити що неспроможні, тоді як шамани - елементарно.
Давайте розберемося, що і як ми робимо для того, щоб знайти суму цифр заданого числа. Тож нехай у нас є число 12345. Що потрібно зробити для того, щоб знайти суму цифр цього числа? Розглянемо всі кроки по порядку.
1. Записуємо число на папірці. Що ми зробили? Ми перетворили число на графічний символ числа. Це не математична дія.
2. Розрізаємо одну отриману картинку на кілька картинок, що містять окремі цифри. Розрізання картинки - це математична дія.
3. Перетворюємо окремі графічні символи на числа. Це не математична дія.
4. Складаємо отримані числа. Це вже математика.
Сума цифр числа 12345 дорівнює 15. Ось такі ось "курси крою та шиття" від шаманів застосовують математики. Але це ще не все.
З погляду математики немає значення, у якій системі числення ми записуємо число. Так ось, у різних системахобчислення сума цифр однієї й тієї числа буде різною. У математиці система числення вказується як нижнього індексу праворуч від числа. З більшим числом 12345 я не хочу голову морочити, розглянемо число 26 зі статті про . Запишемо це число у двійковій, вісімковій, десятковій та шістнадцятковій системах числення. Ми не розглядатимемо кожен крок під мікроскопом, це ми вже зробили. Подивимося результат.
Як бачите, у різних системах числення сума цифр одного й того ж числа виходить різною. Подібний результат до математики жодного стосунку не має. Це все одно, що при визначенні площі прямокутника в метрах і сантиметрах ви отримували б різні результати.
Нуль у всіх системах числення виглядає однаково і суми цифр немає. Це ще один аргумент на користь того, що . Питання математикам: як у математиці позначається те, що є числом? Що для математиків нічого, крім чисел, не існує? Для шаманів я можу таке припустити, але для вчених – ні. Реальність складається не лише з чисел.
Отриманий результат слід як доказ те, що системи числення є одиницями виміру чисел. Адже ми не можемо порівнювати числа з різними одиницямивимірювання. Якщо одні й самі дії з різними одиницями виміру однієї й тієї величини призводять до різних результатів після їх порівняння, це має нічого спільного з математикою.
Що таке справжня математика? Це коли результат математичної діїне залежить від величини числа, що застосовується одиниці виміру і від того, хто цю дію виконує.
Ой! А це хіба не жіночий туалет?
- Дівчино! Це лабораторія з вивчення індефільної святості душ під час вознесіння на небеса! Німб зверху і стрілка вгору. Який ще туалет?
Жіночий... Німб зверху та стрілочка вниз – це чоловічий.
Якщо у вас перед очима кілька разів на день мелькає ось такий витвір дизайнерського мистецтва,
Тоді не дивно, що у своєму автомобілі ви раптом виявляєте дивний значок:
Особисто я роблю над собою зусилля, щоб в людині, яка кавала (одна картинка), побачити мінус чотири градуси (композиція з декількох картинок: знак мінус, цифра чотири, позначення градусів). І я не вважаю цю дівчину дурою, не знає фізику. Просто у неї дугою стереотип сприйняття графічних образів. І математики нас цього постійно навчають. Ось приклад.
1А - це не "мінус чотири градуси" або "один а". Це "какая людина" або число "двадцять шість" у шістнадцятковій системі числення. Ті люди, які постійно працюють у цій системі числення, автоматично сприймають цифру та букву як один графічний символ.
Сподіваюся, ви вже прочитали про числове коло і знаєте, чому воно називається числовим, де на ньому початок координат і в якій стороні позитивний напрямок. Якщо ні, то бігом! Якщо ви, звичайно, збираєтеся знаходити крапки на числового кола.
Позначаємо числа \(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π)(2) )\)
Як ви знаєте з минулої статті, радіус числового кола дорівнює \(1\). Отже, довжина кола дорівнює \(2π\) (обчислили за формулою \(l=2πR\)). З урахуванням цього відзначимо \(2π\) на числовому колі. Щоб відзначити це число потрібно пройти від \(0\) по числовому колу відстань дорівнює \(2π\) в позитивному напрямку, а так як довжина окружності \(2π\), то виходить, що ми зробимо повний оборот. Тобто, числу \(2π\) і \(0\) відповідає та сама точка. Не хвилюйтеся, кілька значень для однієї точки - це нормально для числового кола.
Тепер позначимо на числовому колі число (π). \(π\) - Це половина від \(2π\). Таким чином, щоб відзначити це число та відповідну йому точку, потрібно пройти від (0) у позитивному напрямку половину кола.
Зазначимо точку \(\frac(π)(2)\). \(\frac(π)(2)\) – це половина від \(π\), отже щоб відзначити це число, потрібно від \(0\) пройти в позитивному напрямку відстань рівну половині \(π\), тобто чверть кола.
Позначимо на колі точки \(-\)\(\frac(π)(2)\) . Рухаємось на таку ж відстань, як у Минулого разу, але у негативному напрямку.
Нанесемо (-π). Для цього пройдемо відстаньдорівнює половині кола в негативному напрямку.
Тепер розглянемо приклад складніше. Зазначимо на колі число \(\frac(3π)(2)\). Для цього дріб \(\frac(3)(2)\) переведемо в \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\) , т.е. е. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . Значить, потрібно від (0) в позитивний бікпройти відстань у підлогу кола і ще о чверть.
Завдання 1. Позначте на числовому колі точки \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) .
Позначаємо числа \(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\) ,\(\frac(7π)(6) )\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)
Вище ми знайшли значення в точках перетину числового кола з осями (x) і (y). Тепер визначимо положення проміжних точок. Для початку нанесемо крапки \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) і \(\frac(π)(6)\) .
\(\frac(π)(4)\) – це половина від \(\frac(π)(2)\) (тобто \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ (\frac(π)(2)\) \(:2)\) , тому відстань \(\frac(π)(4)\) - це половина чверті кола.
\(\frac(π)(4)\) – це третина від \(π\) (інакше кажучи,\(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), тому відстань \ (\frac(π)(3)\) - це третина від півкола.
\(\frac(π)(6)\) – це половина \(\frac(π)(3)\) (адже \(\frac(π)(6)\) \(=\)\(\frac (π)(3)\) \(:2\)) тому відстань \(\frac(π)(6)\) – це половина від відстані \(\frac(π)(3)\) .
Ось так вони розташовані один щодо одного:
Примітка:Розташування точок зі значенням \(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π)( 4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) краще просто запам'ятати. Без них числове коло, як комп'ютер без монітора, начебто й корисна штука, а використовувати вкрай незручно.
Давайте тепер позначимо на колі точку \(\frac(7π)(6)\) , для цього виконаємо такі перетворення: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\frac(6π + π) )(6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+\)\(\ frac(π)(6)\) . Звідси видно, що з нуля в позитивний бік треба пройти відстань \(π\), та був ще \(\frac(π)(6)\) .
Зазначимо на колі точку \(-\)\(\frac(4π)(3)\) . Перетворюємо: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . Значить треба від \(0\) пройти в негативну сторону відстань \(π\) і ще \(\frac(π)(3)\).
Нанесемо точку \(\frac(7π)(4)\) , для цього перетворимо \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4)\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π)(4) \). Отже, щоб поставити крапку зі значенням \(\frac(7π)(4)\) , треба від точки зі значенням \(2π\) пройти в негативну сторону відстань \(\frac(π)(4)\) .
Завдання 2. Позначте на числовому колі точки \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π)(6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .
Позначаємо числа \(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π)( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)
Запишемо \(10π\) у вигляді \(5 \cdot 2π\). Згадуємо, що \(2π\) – це відстань рівну довжинікола, тому щоб відзначити точку \(10π\), потрібно від нуля пройти відстань рівну \(5\) кіл. Неважко здогадатися, що ми опинимося знову в точці (0), просто зробимо п'ять обертів.
З цього прикладу можна зробити висновок:
Числам із різницею в \(2πn\), де \(n∈Z\) (тобто \(n\) - будь-яке ціле число) відповідає та сама точка.
Тобто, щоб поставити число зі значенням більше \(2π\) (або менше \(-2π\)), треба виділити з нього цілу парну кількість \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\) ...) і відкинути. Тим самим ми приберемо з-поміж тих, що не впливають на положення точки «порожні оберти».
Ще один висновок:
Точці, якій відповідає \(0\), також відповідають усі парні кількості \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).
Тепер нанесемо на коло \(-3π\). \(-3π=-π-2π\), значить \(-3π\) і \(–π\) знаходяться в одному місці на колі (оскільки відрізняються на «порожній оборот» в \(-2π\)).
До речі, там же будуть усі непарні (π).
Точці, якій відповідає \(π\), також відповідають усі непарні кількості \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).
Зараз позначимо число \(\frac(7π)(2)\). Як завжди, перетворюємо: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . Два пі - відкидаємо, і виходить що, для позначення числа \(\frac(7π)(2)\) потрібно від нуля в позитивний бік пройти відстань рівну \(π+\)\(\frac(π)(2)\ ) (Тобто половину кола і ще чверть).
Якщо розташувати одиничне числове коло на координатної площини, то для її точок можна знайти координати. Числове коло розташовують так, щоб її центр збігся з точкою початку координат площини, тобто точкою O (0; 0).
Зазвичай на одиничному числовому колі відзначають точки, що відповідають від початку відліку на колі.
- чвертям - 0 або 2π, π/2, π, (2π)/3,
- серединам чвертей - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- третинам чвертей - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
На координатній площині при зазначеному вище розташування на ній одиничного коламожна знайти координати, що відповідають цим точкам кола.
Координати кінців чвертей знайти дуже легко. У точки 0 кола координата x дорівнює 1, а y дорівнює 0. Можна позначити так A (0) = A (1; 0).
Кінець першої чверті розташовуватиметься на позитивній півосі ординат. Отже, B(π/2) = B(0; 1).
Кінець другої чверті знаходиться на негативній півосі абсцис: C(π) = C(-1; 0).
Кінець третьої чверті: D((2π)/3) = D(0; -1).
Але як знайти координати середини чвертей? Для цього будують прямокутний трикутник. Його гіпотенузою є відрізок від центру кола (або початку координат) до точки середини чверті кола. Це радіус кола. Оскільки коло одиничне, то гіпотенуза дорівнює 1. Далі проводять перпендикуляр з точки кола до будь-якої осі. Нехай буде до осі x. Виходить прямокутний трикутник, довжини катетів якого - це координати x і y точки кола.
Чверть кола становить 90º. А половина чверті становить 45 º. Оскільки гіпотенуза проведена до точки середини чверті, то кут між гіпотенузою та катетом, що виходить із початку координат, дорівнює 45º. Але сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 º. Отже, на кут між гіпотенузою та іншим катетом залишається 45º. Виходить рівнобедрений прямокутний трикутник.
З теореми Піфагора отримуємо рівняння x 2 + y 2 = 12. Оскільки x = y, а 1 2 = 1, то рівняння спрощується до x 2 + x 2 = 1. Вирішивши його, отримуємо x = √½ = 1/√2 = √2/2.
Таким чином, координати точки M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
У координатах точок середин інших чвертей будуть змінюватися тільки знаки, а модулі значень залишатимуться такими ж, оскільки прямокутний трикутник тільки перевертатиметься. Отримаємо:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)
При визначенні координат третіх частин чверті кола також будують прямокутний трикутник. Якщо брати точку π/6 і проводити перпендикуляр до осі x, то кут між гіпотенузою та катетом, що лежить на осі x, становитиме 30º. Відомо, що катет, що лежить проти кута в 30º, дорівнює половинігіпотенузи. Отже, ми знайшли координату y вона дорівнює ½.
Знаючи довжини гіпотенузи та одного з катетів, за теоремою Піфагора знаходимо інший катет:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2
Таким чином, T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
Для точки другої третини першої чверті (π/3) перпендикуляр на вісь краще провести осі y. Тоді кут на початку координат також буде 30º. Тут уже координата x дорівнюватиме ½, а y відповідно √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
Для інших точок третин чвертей змінюватимуться знаки та порядок значень координат. Усі точки, які ближче розташовані до осі x будуть мати за модулем значення координати x, що дорівнює √3/2. Ті точки, які ближче до осі y, матимуть за модулем значення y, що дорівнює √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)
Відеоурок «Визначення синуса та косинуса на одиничному колі» представляє наочний матеріалдля уроку з відповідної теми. У ході уроку розглядаються поняття синуса та косинуса для чисел, що відповідають точкам одиничного кола, описується безліч прикладів, що формують уміння вирішувати завдання, де використовується дана інтерпретаціяпонять. Зручне та зрозуміле ілюстрування рішень, докладно описаний перебіг міркувань допомагають швидше досягти цілей навчання, підвищити ефективність уроку.
Відеоурок починається з подання теми. На початку демонстрації дається визначення синуса та косинуса числа. На екрані демонструється одиничне коло з центром на початку координат, відзначаються точки перетину одиничного кола з осями координат А, В, С, D. У рамці виділено визначення, в якому зазначено, що якщо точці М, що належить одиничному колу, відповідає деяке число t, то абсцис цієї точки є косинусом числа t і позначається cos t, ордината точки є синусом і позначається sin t. Озвучування визначення супроводжується зображенням на одиничному колі точки М, зазначенням її абсциси та ординати. Подається коротка запис з допомогою позначень, що з М(t)=M(x;y), х= cos t, у= sin t. Вказуються обмеження, що накладаються на значення косинуса та синуса числа. Згідно з розглянутими даними, -1<=cos t<=1 и -1<= sin t<=1.
Також на малюнку легко відстежити, як змінюється знак функції залежно від того, в якій чверті знаходиться точка. На екрані складається таблиця, у якій кожної функції вказується її знак залежно від чверті. Знак cos t - плюс у першій та четвертій чвертях та мінус у другій та третій чвертях. Знак sin t - плюс у першій та другій чвертях, мінус у третій та четвертій чвертях.
Учням нагадується рівняння одиничного кола х 2 +у 2 =1. Зазначається, що після підстановки замість координат відповідних функцій отримаємо cos 2 t+ sin 2 t=1 - основне тригонометричне тотожність. Користуючись способом знаходження sin t і cos t за допомогою одиничного кола, заповнюється таблиця основних значень синуса та косинуса для чисел від 0 до 2π з кроком π/4 та для чисел від π/6 до 11π/6 з кроком π/6. На екрані показуються ці таблиці. За допомогою їх та малюнку вчитель може перевірити, як засвоєний матеріал і наскільки учням зрозуміло походження значень sin t та cos t.
Розглядається приклад, у якому обчислюється sin t та cos t для t=41π/4. Рішення ілюструється малюнком, на якому зображено одиничне коло з центром на початку координат. На ній відзначається точка 41/4. Помічено, що точка збігається з положенням точки π/4. Це доводиться за допомогою представлення даного дробу у вигляді змішаного 41π/4=π/4+2π·5. Користуючись таблицею значень косинуса, отримуємо значення cos π/4=√2/2 та sinπ/4=√2/2. З отриманих відомостей випливає, що cos 41π/4=√2/2 та sin 41π/4=√2/2.
У другому прикладі необхідно обчислити sin t і cos t для t = -25 / 3. На екрані зображується одиничне коло з позначеною на ній точкою t=-25π/3. Спочатку для вирішення завдання число -25π/3 представляється у вигляді змішаного дробу, щоб виявити, якому табличному значенню відповідатиме його sin t і cos t. Після перетворення отримуємо -25π/3=-π/3+2π·(-4). Очевидно, t=-25π/3 збігатиметься на колі з точкою -π/3 або 5π/3. З таблиці вибираємо відповідні значення синуса та косинуса cos 5π/3=1/2 та sin 5π/3=-√3/2. Ці значення будуть вірними і для числа cos (-25π/3)=1/2 і sin (-25π/3)=-√3/2. Завдання вирішено.
Аналогічно вирішується і приклад 3, в якому необхідно обчислити sin t та cos t для t=37π. Щоб розв'язати приклад, число 37π розкладається, відокремлюючи π і 2π. У такому поданні виходить 37π=π+2π·18. На одиничному колі, яке зображено поруч із рішенням, відзначається дана точка на перетині негативної частини осі ординат і одиничного кола - точка π. Очевидно, що значення синуса та косинуса числа збігатимуться з табличними значеннями π. З таблиці знаходимо значення sin π=-1 та cos π=0. Відповідно, ці ж значення шукані, тобто sin 37π=-1 і cos 37π=0.
У прикладі 4 потрібно обчислити sin t та cos t при t=-12π. Подаємо число у вигляді -12π=0+2π·(-6). Відповідно, точка -12π збігається з точкою 0. Значення косинуса та синуса цієї точки sin 0=1 та cos 0=0. Ці значення є шуканими sin (-12π)=1 і cos (-12π)=0.
У прикладі потрібно вирішити рівняння sin t=√3/2. У рішенні рівняння використовують поняття синуса числа. Оскільки він представляє ординату точки М(t), необхідно знайти точку з ординатою √3/2. На малюнку, що супроводжує рішення, видно, що ординаті √3/2 відповідають дві точки - перша /3 і друга 2/3. Враховуючи періодичність функції, відзначаємо, що t=π/3+2πk та t=2π/3+2πk для цілого k.
У прикладі 6 вирішується рівняння з косінус - cos t=-1/2. У пошуку розв'язків рівняння знаходимо на одиничному колі точки з абсцисою 2π/3. На екрані демонструється малюнок, на якому відзначається абсцис -1/2. Їй відповідають дві точки на колі - 2π/3 та -2π/3. Враховуючи періодичність функцій, знайдене рішення записується у вигляді t=2π/3+2πk і t=-2π/3+2πk, де k-ціле число.
У прикладі 7 розв'язується рівняння sin t-1=0. Щоб знайти рішення, рівняння перетворюється на вид sin t=1. Синусу 1 відповідає число π/2. Враховуючи періодичність функції, знайдене рішення записується як t=π/2+2πk, де k - ціле. Аналогічно прикладі 8 вирішується рівняння cos t+1=0. Перетворимо рівняння виду cos t=-1. Точка, абсцис якої дорівнює -1, відповідає числу π. Ця точка відзначена на одиничному колі, зображеному поруч із текстовим рішенням. Відповідно, розв'язком даного рівняння є число t=π+2πk, де k - ціле число. Не складнішим є рішення рівняння cos t+1=1 у прикладі 9. Перетворивши рівняння, отримуємо cos t=0. На одиничному колі, зображеному поруч із рішенням, відзначаємо точки -π/2 і -3π/2, у яких косинус набуває значення 0. Очевидно, розв'язанням даного рівняння буде ряд значень t=π/2+πk, де k - ціле число.
У прикладі 10 порівнюються значення sin 2 і cos 3. Щоб рішення було наочним, демонструється малюнок, де відзначені точки 2 і 3. Знаючи, що π/2 ≈ 1,57, оцінюємо віддаленість точок від неї. На малюнку зазначається, що точка 2 віддалена від π/2 на 0,43, тоді як 3 видалена на 1,43, тому точка 2 має більшу абсцису, ніж точка 3. Це означає, що sin 2> cos 3.
Приклад 11 визначає обчислення виразу sin 5π/4. Оскільки 5π/4 - це π/4+π, то, використовуючи формули наведення, вираз можна перетворити на вигляд - sin π/4. З таблиці вибираємо його значення – sin π/4=-√2/2. Аналогічно в прикладі 12 є значення виразу cos7π/6. Перетворюючи його на вигляд cos(π/6+π), отримуємо вираз - cos π/6. Табличне значення - cos π/6=-√3/2. Це значення буде рішенням.
Далі пропонується запам'ятати важливі рівності, які допомагають у розв'язанні задач - це sin(-t)=-sin t і cos(-t)=cos t. Фактично цей вираз відображає парність косинуса та непарність синуса. На зображенні одиничного кола поруч із рівностями можна побачити, як у координатній площині працюють дані рівності. Також видаються дві рівності, що відображають періодичність функцій, важливі для розв'язання задач sin(t+2πk)= sin t і cos(t+2πk)=cos t. Демонструються рівності, що відображають симетричне розташування точок на одиничному колі sin(t+π)= -sin t та cos (t+π)=-cos t. Поряд з рівностями будується зображення, на якому відображається розташування цих точок на одиничному колі. І останні представлені рівності sin(t+π/2)= cos t та cos (t+π/2)=- sin t.
Відеоурок «Визначення синуса і косинуса на одиничному колі» рекомендується застосовувати на традиційному шкільному уроці математик підвищення його ефективності, забезпечення наочності пояснення вчителя. З цією метою матеріал може використовуватися в ході дистанційного навчання. Посібник також може бути корисним для формування відповідних навичок вирішення завдань у учнів при самостійному освоєнні матеріалу.
ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ:
«Визначення синуса та косинуса на одиничному колі».
Дамо визначення синуса та косинуса числа
ВИЗНАЧЕННЯ: якщо точка М числової одиничного кола відповідає числу t(те), то абсцису точки М називають косинус числа t(те) і позначають cost, а ординату точки М називають синусом числа t(те) і позначають sint(рис).
Значить, якщо М(t) = М (x, y) (ем від те дорівнює ем з координатами ікс та ігорок), то x = cost, y = sint (ікс дорівнює косинус те, ігрок дорівнює синус те). Отже, - 1≤ cost ≤ 1, -1≤ sint ≤1(косинус те більше або одно мінус один, але менше або одно один; синус те більше або одно мінус один, але менше або одно один). Знаючи, що кожна точка числового кола має у системі xOy свої координати, можна скласти таблицю значення синуса і косинуса по чвертях кола, де значення косинуса позитивно в першій і четвертій чвертях і, відповідно, негативно в другій і третій чвертях.
Значення синуса позитивно у першій та другій чвертях і, відповідно, негативно у третій та четвертій чвертях. (Показати на кресленні)
Оскільки рівняння числового кола має вигляд х 2 + у 2 = 1(ікс квадрат плюс ігор квадрат одно одному), то отримуємо рівність:
(Косінус квадрат те плюс синус квадрат те дорівнює одиниці).
Спираючись на таблиці, які ми становили при визначенні координат точок числового кола, складемо таблиці для координат точок числового кола для значень cost і sint.
Розглянемо приклади.
ПРИКЛАД 1. Обчислити cos t і sin t, якщо t = (то дорівнює сорок один пі на чотири).
Рішення. Численню t = відповідає та ж точка числового кола, що і числу, тому що = ∙π = (10 +) ∙π = + 2π ∙ 5(сорок один пи на чотири дорівнює сумі пи на чотири та твори два пи на п'ять). Для точки t = по таблиці значення косінусів 1 маємо cos = і sin =. Отже,
ПРИКЛАД 2. Обчислити cos t і sin t, якщо t = (те дорівнює мінус двадцять п'ять пі на три).
РІШЕННЯ: Числа t = відповідає та ж точка числового кола, що і числу, тому що = ∙ π = - (8 +)∙π = + 2π ∙ (- 4) (мінус двадцять п'ять пі на три дорівнює сумі мінус пі на три та добутку двох пі на мінус чотири). А числу відповідає на числовому колі та сама точка, що й числу. А для точки t = таблиці 2 маємо cos = і sin = . Отже, cos () = і sin () =.
ПРИКЛАД 3. Обчислити cos t і sin t, якщо t = 37π; (Те дорівнює тридцять сім пі).
РІШЕННЯ: 37π = 36π + π = π + 2π ∙ 18.Отже, числу 37π відповідає та сама точка числового кола, що й числу π. А для точки t = π за таблицею 1 маємо cos π = -1, sin π = 0. Отже, cos37π = -1, sin37π = 0.
ПРИКЛАД 4. Обчислити cos t і sin t, якщо t = -12π (до мінус дванадцять пі).
РІШЕННЯ: - 12π = 0 + 2π ∙ (- 6), тобто числу - 12π відповідає та ж точка числового кола, що і числу нуль. А для точки t = 0 за таблицею 1 маємо cos 0 = 1, sin 0 = 0. Отже, cos (-12π) = 1, sin (-12π) = 0.
ПРИКЛАД 5. Розв'язати рівняння sin t = .
Рішення. Враховуючи, що sin t - це ордината точки М(t) (ем від тэ) числового кола, знайдемо на числовому кола точки з ординатою і запишемо яким числам t вони відповідають. Одна точка відповідає числу, а отже, і будь-якому числу виду + 2πk. Друга точка відповідає числу, а значить, і будь-якого виду + 2πk. Відповідь: t = + 2πk, де kϵZ (ка належить сет), t= + 2πk, де kϵZ (ка належить сет).
ПРИКЛАД 6. Розв'язати рівняння cos t = .
Рішення. Враховуючи, що cos t - це абсциса точки М(t) (ем від тэ) числового кола, знайдемо на числовому кола точки з абсцисою і запишемо яким числам t вони відповідають. Одна точка відповідає числу, отже, і будь-якому числу виду + 2πk. А друга точка відповідає числу або, отже, і будь-якому числу виду + 2πk або + 2πk.
Відповідь: t = + 2πk, t=+ 2πk (або ± + 2πk(плюс мінус два пі на три плюс два піки) , де kϵZ (ка належить сет).
ПРИКЛАД 7.Вирішити рівняння cos t = .
Рішення. Аналогічно попередньому прикладу на числовому колі потрібно знайти точки c абсцисою і записати, яким числам t вони відповідають.
По малюнку видно, що абсцис мають дві точки Е і S, а яким числам вони відповідають, ми поки що не зможемо сказати. До цього питання повернемося згодом.
ПРИКЛАД 8.Вирішити рівняння sin t = - 0,3.
Рішення. На числовому колі знайдемо точки з ординатою – 0,3 і запишемо, яким числам t вони відповідають.
Ординату - 0,3 мають дві точки P і H, а яким числам вони відповідають, ми поки що не зможемо сказати. До цього питання також повернемося пізніше.
ПРИКЛАД 9.Вирішити рівняння sin t -1 =0
Рішення. Перенесемо мінус одиницю в праву частину рівняння, отримаємо синус те одно одному (sin t = 1). На числовому колі нам потрібно знайти точку, у якої ордината дорівнює один. Ця точка відповідає числу, а значить усім числам виду + 2πk(пі на два плюс два піки).
Відповідь: t = + 2πk, kϵZ(ка належить сет).
ПРИКЛАД 10. Вирішити рівняння cos t + 1 = 0.
Перенесемо одиницю в праву частину рівняння, отримаємо косинус те рівно мінус один (cos t = - 1). Абсцис мінус один має точку числового кола, яка відповідає числу π, а це означає, і всі числам виду π+2πk. Відповідь: t = π + 2πk, kϵZ.
ПРИКЛАД 11. Розв'язати рівняння cos t + 1 = 1.
Перенесемо одиницю у праву частину рівняння, отримаємо косинус те дорівнює нулю(cos t = 0). Абсцис нуль мають точки В і D (рис 1), які відповідають числам, і т. д. Ці числа можна записати так + πk. Відповідь: t = + πk, kϵZ.
ПРИКЛАД 12. Яке з двох чисел більше, cos 2 чи cos 3? (Косінус двох або косинус трьох)
Рішення. Переформулюємо питання по-іншому: на числовому колі відзначені точки 2 і 3. Який з них абсцис більше?
На числовому колі відзначимо точки 2 і 3. Згадаємо, що. 3 на 1,43 (одну цілу сорок три сотих). Отже, точка 2 знаходиться ближче до точки, ніж точка 3, тому у неї абсцис більше (ми врахували, що абсци обидві негативні).
Відповідь: cos 2 > cos 3.
ПРИКЛАД 13. Обчислити sin (синус п'ять на чотири)
Рішення. sin(+ π) = - sin = (синус п'ять пі на чотири дорівнює сумі пі на чотири і пі дорівнює мінус синус пі на чотири дорівнює мінус корінь з двох на два).
ПРИКЛАД 14. Обчислити cos (косинус сім пі на шість).
cos(+ π) = - cos =. (представили сім пі на шість як суму пі на шість і пі та застосували третю рівність).
Для синуса та косинуса отримаємо деякі важливі формули.
1. Для будь-якого значення t справедливі рівність
sin(-t) = -sin t
cos(-t) = cos t
Синус від мінус те і мінус синус те
Косинус від міну те і косинус те.
По малюнку видно, що у точок Е і L, симетричних щодо осі абсцис, одна і та ж абсцис, це означає
cos(-t) = cost, але рівні за модулем і протилежні за знаком ординати (це означає sin(-t) = - sint.
2. Для будь-якого значення t справедливі рівність
sin (t+2πk) = sin t
cos (t+2πk) = cos t
Синус від те плюс два піки дорівнює синусу те
Косинус від те плюс два піки дорівнює косінусу те
Це правильно, оскільки числам t і t+2πk відповідає та сама точка.
3. Для будь-якого значення t справедливі рівність
sin (t+π) = -sin t
cos (t+π) = -cos t
Синус від те плюс пі дорівнює мінус синусу те
косинус від тэ плюс пі дорівнює мінус косинусу тэ
Нехай числу t відповідає точка E числового кола, тоді числу t+π відповідає точка L, яка симетрична точці E щодо початку координат. На малюнку видно, що з цих точок абсциси і ординати рівні за модулем і протилежні за знаком. Це означає,
cos(t +π)= - cost;
sin(t +π)= - sint.
4. Для будь-якого значення t справедливі рівність
sin(t+) = cos t
cos(t+) = -sin t
Синус тэ плюс пі на два дорівнює косинусу тэ
Косинус те плюс пі на два дорівнює мінус синусу те.