1º. Показовими рівнянняминазивають рівняння, що містять змінну у показнику ступеня.
Рішення показових рівнянь засноване на властивості ступеня: два ступеня з одним і тим же основою рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхні показники.
2º. Основні способи розв'язання показових рівнянь:
1) найпростіше рівняння має рішення;
2) рівняння виду логарифмуванням на підставі a зводять до вигляду;
3) рівняння виду рівносильне рівнянню;
4) рівняння виду 
рівносильно рівнянню.
5) рівняння виду через заміну зводять до рівняння, а потім вирішують сукупність найпростіших показових рівнянь;
6) рівняння із взаємно зворотними величинами 
заміною зводять до рівняння, а потім вирішують сукупність рівнянь;
7) рівняння, однорідні щодо a g (x)і b g (x)за умови 
виду 
через заміну зводять до рівняння, та був вирішують сукупність рівнянь.
Класифікація показових рівнянь.
1. Рівняння, що вирішуються переходом до однієї основи.
Приклад 18. Розв'язати рівняння 
.
Рішення: Скористаємося тим, що всі підстави ступенів є ступенями числа 5: .
2. Рівняння, які вирішуються переходом до одного показника ступеня.
Ці рівняння вирішуються перетворенням вихідного рівняння на вигляд , Яке використанням властивості пропорції наводиться до найпростішого.
Приклад 19. Розв'язати рівняння:
3. Рівняння, що вирішуються винесенням загального множника за дужки.
Якщо у рівнянні кожен показник ступеня відрізняється від іншого на деяке число, рівняння вирішуються винесенням за дужки ступеня з найменшим показником.
Приклад 20. Розв'язати рівняння.
Рішення: Винесемо в лівій частині рівняння ступінь з найменшим показником за дужки:
Приклад 21. Розв'язати рівняння 
Рішення: Згрупуємо окремо в лівій частині рівняння доданки, що містять ступеня з основою 4, у правій частині - з основою 3, потім винесемо ступеня з найменшим показником за дужки:
4. Рівняння, що зводяться до квадратних (або кубічних) рівнянь.
До квадратного рівняння щодо нової змінної y зводяться рівняння:
а) виду підстановкою, при цьому;
б) виду підстановкою, причому.
Приклад 22. Розв'язати рівняння 
.
Рішення: Зробимо заміну змінної та вирішимо квадратне рівняння:
.
Відповідь: 0; 1.
5. Однорідні щодо показових функцій рівняння.
Рівняння виду є однорідним рівнянням другого ступеня щодо невідомих a xі b x. Такі рівняння зводяться попереднім розподілом обох частин і наступною підстановкою до квадратних рівнянь.
Приклад 23. Розв'язати рівняння.
Рішення: Розділимо обидві частини рівняння на:
Поклавши, отримаємо квадратне рівняння з корінням.
Тепер завдання зводиться до розв'язання сукупності рівнянь 
. З першого рівняння знаходимо, що . Друге рівняння не має коріння, тому що при будь-яких значеннях x.
Відповідь: -1/2.
6. Раціональні щодо показових функцій рівняння.
Приклад 24. Розв'язати рівняння.
Рішення: Розділимо чисельник і знаменник дробу на 3 xі отримаємо замість двох – одну показову функцію:
7. Рівняння виду 
.
Такі рівняння з безліччю допустимих значень (ОДЗ), що визначається умовою , логарифмування обох частин рівняння призводять до рівносильного рівняння , які у свою чергу рівносильні сукупності двох рівнянь або .
Приклад 25. Розв'язати рівняння: .
.
Дидактичний матеріал.
Розв'яжіть рівняння:
1. ; 2. ; 3. 
;
4. 
; 5. ; 6. ;
9. 
; 10. 
; 11. 
;
14. 
; 15. ;
16. 
; 17. 
;
18. ; 19. 
;
20. ; 21. 
;
22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
.
26. Знайдіть добуток коренів рівняння 
.
27. Знайдіть суму коренів рівняння 
.
Знайдіть значення виразу:
28. , де x 0- корінь рівняння ;
29. , де x 0- Цілий корінь рівняння 
.
Розв'яжіть рівняння:
31. 
; 32. .
Відповіді: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 5. 0; 6. 0; 7. -2; 8. 2; 9. 1, 3; 10. 8; 11. 5; 12. 1; 13. ¼; 14. 2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17. 0; 18. 1; 19. 0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23. 4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27. 3; 28. 11; 29. 54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .
Тема №8.
Показові нерівності.
1º. Нерівність, що містить змінну у показнику ступеня, називається показовою нерівністю.
2º. Вирішення показових нерівностей виду засноване на наступних твердженнях:
якщо, то нерівність рівносильна;
якщо, то нерівність рівносильна.
При розв'язанні показових нерівностей використовують самі прийоми, як і під час вирішення показових рівнянь.
Приклад 26. Розв'язати нерівність 
(методом переходу до однієї основи).
Рішення: Так як 
, то задану нерівність можна записати у вигляді: 
. Оскільки , то ця нерівність рівнозначна нерівності 
.
Розв'язавши останню нерівність, отримаємо .
Приклад 27. Розв'язати нерівність: ( методом винесення загального множника за дужки).
Рішення: Винесемо за дужки в лівій частині нерівності, у правій частині нерівності і розділимо обидві частини нерівності на (-2), змінивши знак нерівності на протилежний:
Оскільки , то при переході до нерівності показників знак нерівності знову змінюється протилежний. Отримуємо. Таким чином, багато всіх рішень даної нерівності є інтервал .
Приклад 28. Розв'язати нерівність ( методом введення нової змінної).
Рішення: Нехай . Тоді ця нерівність набуде вигляду: 
або 
, Рішенням якого є інтервал .
Звідси. Оскільки функція збільшується, то .
Дидактичний матеріал.
Вкажіть безліч розв'язків нерівності:
1. ; 2. ; 3. ;
6. При яких значеннях xточки графіка функції лежать нижче за пряму ?
7. При яких значеннях xточки графіка функції лежать не нижче прямої?
Розв'яжіть нерівність:
8. 
; 9. 
; 10. ;
13. Вкажіть найбільше ціле рішення нерівності 
.
14. Знайдіть добуток найбільшого цілого та найменшого цілого розв'язків нерівності 
.
Розв'яжіть нерівність:
15. ; 16. 
; 17. 
;
18. 
; 19. ; 20. ;
21. 
; 22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
; 26. 
.
Знайдіть область визначення функції:
27. 
; 28. 
.
29. Знайдіть безліч значень аргументу, при яких значення кожної з функцій більше 3:
і 
.
Відповіді: 11. 3; 12. 3; 13. -3; 14. 1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0) U (3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. (a)=a^(\frac( 1)(n))\) отримаємо, що \(\sqrt(3^3)=((3^3))^(\frac(1)(2))\). Далі, використовуючи властивість ступеня \((a^b)^c=a^(bc)\), отримуємо \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^(3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)
Також ми знаємо, що \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Застосувавши це до лівої частини, отримаємо: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3^ (1,5 + x-1) = 3 (x + 0,5) \).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)
Тепер згадаємо, що: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Цю формулу можна використовувати і у зворотний бік: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Тоді \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)
Застосувавши властивість \((a^b)^c=a^(bc)\) до правої частини, отримаємо: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1)·2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)
І ось тепер у нас підстави рівні і немає ніяких коефіцієнтів, що заважають, і т.д. Отже, можемо робити перехід.
приклад
. Розв'язати показове рівняння \(4^(x+0,5)-5·2^x+2=0\)
Рішення:
|
\(4^(x+0,5)-5·2^x+2=0\) |
Знов користуємося властивістю ступеня \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) у зворотному напрямку. |
|
|
\(4^x·4^(0,5)-5·2^x+2=0\) |
Тепер згадуємо, що (4 = 2 2). |
|
|
\((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) |
Використовуючи властивості ступеня, перетворюємо: |
|
|
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) |
Дивимося уважно на рівняння, і, бачимо, що тут напрошується заміна \(t=2^x\). |
|
|
\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) |
Однак ми знайшли значення (t), а нам потрібні (x). Повертаємось до іксів, роблячи зворотну заміну. |
|
|
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) |
Перетворюємо друге рівняння, використовуючи властивість негативного ступеня. |
|
|
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) |
…і дорішуємо до відповіді. |
|
|
\(x_1=1\) \(x_2=-1\) |
Відповідь : \(-1; 1\).
Залишається питання - як зрозуміти, коли якийсь метод застосовувати? Це приходить із досвідом. А доки ви його не напрацювали, користуйтеся загальною рекомендацією для вирішення складних завдань – «не знаєш, що робити – роби, що можеш». Тобто, шукайте, як ви можете перетворити рівняння в принципі, і пробуйте це робити - раптом чого і вийде? Головне у своїй робити лише математично обгрунтовані перетворення.
Показові рівняння, які не мають рішень
Розберемо ще дві ситуації, які часто ставлять у глухий кут учнів:
- Позитивне число в ступені дорівнює нулю, наприклад, \ (2 ^ x = 0 \);
- Позитивне число в ступені дорівнює від'ємному числу, наприклад, \ (2 ^ x = -4 \).
Спробуймо вирішити перебором. Якщо ікс - позитивне число, то зі зростанням ікса весь ступінь \(2^x\) буде тільки рости:
\ (x = 1 \); \ (2 ^ 1 = 2 \)
\ (x = 2 \); \ (2 ^ 2 = 4 \)
\ (x = 3 \); \ (2 ^ 3 = 8 \).
\ (x = 0 \); \(2^0=1\)
Теж повз. Залишаються негативні ікси. Згадавши властивість \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), перевіряємо:
\ (x = -1 \); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\ (x = -2 \); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\ (x = -3 \); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)
Незважаючи на те, що число з кожним кроком стає меншим, до нуля воно не дійде ніколи. Тож і негативний ступінь нас не врятував. Приходимо до логічного висновку:
Позитивне число будь-якою мірою залишиться позитивним числом.
Таким чином, обидва рівняння не мають вище рішень.
Показові рівняння з різними підставами
У практиці часом зустрічаються показові рівняння з різними підставами, які не зводяться один до одного, і при цьому з однаковими показниками ступеня. Виглядають вони так: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), де \(a\) та \(b\) - позитивні числа.
Наприклад:
\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)
Такі рівняння легко можна вирішити розподілом на будь-яку частину рівняння (зазвичай ділять на праву частину, тобто на \(b^(f(x))\). Так ділити можна, тому що позитивне число в будь-якій мірі позитивно (тобто, ми не ділимо на нуль).
\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)
приклад
. Розв'язати показове рівняння \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Рішення:
|
\(5^(x+7)=3^(x+7)\) |
Тут у нас не вийде ні п'ятірку перетворити на трійку, ні навпаки (принаймні, без використання). А значить ми не можемо прийти до вигляду (a (f (x)) = a (g (x))). У цьому показники однакові. |
|
|
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) |
Тепер згадуємо властивість \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) і використовуємо його зліва у зворотному напрямку. Справа ж просто скорочуємо дріб. |
|
|
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) |
Здавалося б, краще не стало. Але згадайте ще одну властивість ступеня: \(a^0=1\), інакше кажучи: «будь-яке число в нульовому ступені дорівнює \(1\)». Правильне й протилежне: «одиниця може бути як будь-яке число в нульової степени». Використовуємо це, роблячи основу праворуч так само як зліва. |
|
|
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) |
Вуаль! Позбавляємося підстав. |
|
|
Пишемо відповідь. |
Відповідь : \(-7\).
Іноді «однаковість» показників ступеня не очевидна, але вміле використання властивостей ступеня вирішує це питання.
приклад
. Розв'язати показове рівняння \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Рішення:
|
\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Рівняння виглядає зовсім сумно ... Мало того, що підстави не можна звести до однакового числа (сімка ні в якій мірі не буде дорівнює \(\frac(1)(3)\)), так ще й показники різні ... Однак давайте в показнику лівого ступеня двійку. |
|
|
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Пам'ятаючи властивість \((a^b)^c=a^(b·c)\) , перетворюємо зліва: |
|
|
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Тепер, згадуючи властивість негативного ступеня \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), перетворюємо праворуч: \((\frac(1)(3))^(-x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) |
|
|
\(49^(x-2)=3^(x-2)\) |
Алілуйя! Показники стали однакові! |
Відповідь : \(2\).