Лінійною функцією називається функція виду y=kx+b, де x-незалежна змінна, k та b-будь-які числа.
Графік лінійної функції є пряма.
1. Щоб побудувати графік функції,нам потрібні координати двох точок, що належать графіку функції. Щоб їх знайти, потрібно взяти два значення х, підставити їх на рівняння функції, і за ними обчислити відповідні значення y.
Наприклад, щоб побудувати графік функції y=x+2, зручно взяти x=0 та x=3, тоді ординати цих точок дорівнюватимуть y=2 та y=3. Отримаємо точки А(0;2) та В(3;3). З'єднаємо їх та отримаємо графік функції y=x+2:
2.
У формулі y=kx+b число k називається коефіцієнтом пропорційності:
якщо k>0, то функція y=kx+b зростає
якщо k
Коефіцієнт b показує усунення графіка функції вздовж осі OY:
якщо b>0, то графік функції y=kx+b виходить із графіка функціїy=kx зрушенням на b одиниць вгору вздовж осі OY
якщо b
На малюнку нижче зображено графіки функцій y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3
Зауважимо, що у всіх цих функціях коефіцієнт k більше нуля,та функції є зростаючими.Причому чим більше значення k, тим більше кут нахилу прямий до позитивного напрямку осі OX.
У всіх функціях b=3 – і бачимо, що це графіки перетинають вісь OY у точці (0;3)
Тепер розглянемо графіки функцій y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3
На цей раз у всіх функціях коефіцієнт k менше нуля,та функції спадають.Коефіцієнт b=3, і графіки як у попередньому випадку перетинають вісь OY в точці (0;3)
Розглянемо графіки функцій y=2x+3; y=2x; y=2x-3
Тепер у всіх рівняннях функцій коефіцієнти k дорівнюють 2. І ми отримали три паралельні прямі.
Але коефіцієнти b різні, і ці графіки перетинають вісь OY у різних точках:
Графік функції y=2x+3 (b=3) перетинає вісь OY у точці (0;3)
Графік функції y=2x (b=0) перетинає вісь OY у точці (0;0) – початку координат.
Графік функції y=2x-3 (b=-3) перетинає вісь OY у точці (0;-3)
Отже, якщо знаємо знаки коефіцієнтів k і b, можемо відразу уявити, як виглядає графік функції y=kx+b.
Якщо k 0
Якщо k>0 та b>0, то графік функції y=kx+b має вигляд:
Якщо k>0 та b, то графік функції y=kx+b має вигляд:
Якщо k, то графік функції y=kx+b має вигляд:
Якщо k=0, то функція y=kx+b перетворюється на функцію y=b та її графік має вигляд:
Ординати всіх точок графіка функції y=b дорівнюють b Якщо b=0, То графік функції y = kx (пряма пропорційність) проходить через початок координат:
3. Окремо відзначимо графік рівняння x = a.Графік цього рівняння є пряму лінію, паралельну осі OY всі точки якої мають абсцису x=a.
Наприклад, графік рівняння x=3 виглядає так:
Увага!Рівняння x=a перестав бути функцією, тому одному значенню аргументу відповідають різні значення функції, що відповідає визначенню функції.
4. Умова паралельності двох прямих:
Графік функції y=k 1 x+b 1 паралельний графіку функції y=k 2 x+b 2 якщо k 1 =k 2
5. Умова перепендикулярності двох прямих:
Графік функції y=k 1 x+b 1 перепендикулярний графіку функції y=k 2 x+b 2 якщо k 1 *k 2 =-1 або k 1 =-1/k 2
6. Точки перетину графіка функції y=kx+b із осями координат.
З віссю ОY. Абсцис будь-якої точки, що належить осі ОY дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОY потрібно в рівняння функції замість х підставити нуль. Отримаємо y=b. Тобто точка перетину з віссю OY має координати (0; b).
З віссю ОХ: Ордината будь-якої точки, що належить осі ОХ, дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОХ, потрібно в рівняння функції замість y підставити нуль. Отримаємо 0=kx+b. Звідси x=-b/k. Тобто точка перетину з віссю OX має координати (-b/k; 0):
Національний науково-дослідний університет
Кафедра прикладної геології
Реферат з вищої математики
На тему: «Основні елементарні функції,
їх властивості та графіки»
Виконав:
Перевірив:
викладач
Визначення. Функція, задана формулою у=а (де а>0, а≠1), називається показовою функцією з основою а.
Сформулюємо основні властивості показової функції:
1. Область визначення - безліч (R) всіх дійсних чисел.
2. Область значень – безліч (R+) всіх позитивних дійсних чисел.
3. При а > 1 функція зростає на всій числовій прямій; при 0<а<1 функция убывает.
4. Є функцією загального виду.
, на інтервалі xÎ [-3;3]
, на інтервалі xÎ [-3;3] Функція виду у(х)=х n , де n – число ÎR, називається статечною функцією. Число n може набувати ралічних значень: як цілі, так і дробові, як парні, так і непарні. Залежно від цього, статечна функція матиме різний вигляд. Розглянемо окремі випадки, які є статечними функціями та відображають основні властивості даного виду кривих у наступному порядку: статечна функція у=х² (функція з парним показником ступеня – парабола), статечна функція у=х³ (функція з непарним показником ступеня – кубічна парабола) функція у = √х (х у ступені ½) (функція з дробовим показником ступеня), функція з негативним цілим показником (гіпербол).
Ступінна функція у=х²
1. D(x)=R – функція визначена попри числової осі;
2. E(y)= і зростає на проміжку
Ступінна функція у=х³
1. Графік функції у = х називається кубічною параболою. Ступінна функція у=х³ має такі властивості:
2. D(x)=R – функція визначена попри числової осі;
3. E(y)=(-∞;∞) – функція набуває всіх значень на своїй області визначення;
4. При х = 0 у = 0 - функція проходить через початок координат O (0; 0).
5. Функція зростає по всій області визначення.
6. Функція є непарною (симетрична щодо початку координат).
, на інтервалі xÎ [-3;3] Залежно від числового множника, що стоїть перед х³, функція може бути крутою/пологою та зростати/зменшуватися.
Ступінна функція з цілим негативним показником:
Якщо показник ступеня n є непарним, то графік такої статечної функції називається гіперболою. Ступінна функція з цілим негативним показником ступеня має такі властивості:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для будь-якого n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), якщо n – непарне число; E(y)=(0;∞), якщо n – парне число;
3. Функція зменшується по всій області визначення, якщо n – непарне число; функція зростає на проміжку (-∞;0) і зменшується на проміжку (0;∞), якщо n – парне число.
4. Функція є непарною (симетрична щодо початку координат), якщо n – непарне число; функція є парною, якщо n – парне число.
5. Функція проходить через точки (1;1) та (-1;-1), якщо n – непарне число і через точки (1;1) та (-1;1), якщо n – парне число.
, на інтервалі xÎ [-3;3] Ступінна функція з дробовим показником
Ступінна функція з дробовим показником виду (картинка) має графік функції, зображений малюнку. Ступінна функція з дробовим показником ступеня має такі властивості: (картинка)
1. D(x) ÎR, якщо n – непарне число та D(x)= 
, на інтервалі xÎ 
, на інтервалі xÎ [-3;3]
Логарифмічна функція у = log a x має такі властивості:
1. Область визначення D(x)Î (0; + ∞).
2. Область значень E(y) Î (- ∞; + ∞)
3. Функція ні парна, ні непарна (загального вигляду).
4. Функція зростає на проміжку (0; + ∞) при a > 1, зменшується на (0; + ∞) при 0< а < 1.
Графік функції у = log a x може бути отриманий з графіка функції у = а х за допомогою перетворення симетрії щодо прямої у = х. На малюнку 9 побудовано графік логарифмічної функції а > 1, але в малюнку 10 - для 0< a < 1.
; на інтервалі xÎ 
; на інтервалі xÎ Функції y = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х називають тригонометричними функціями.
Функції у = sin х, у = tg х, у = ctg х непарні, а функція у = соs х парна.
Функція y = sin (x).
1. Область визначення D(x) ÎR.
2. Область значень E(y) Î [- 1; 1].
3. Функція періодична; основний період дорівнює 2?
4. Функція непарна.
5. Функція зростає на проміжках [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] і зменшується на проміжках [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n Î Z.
Графік функції у = sin (х) зображено малюнку 11.
1) Область визначення функції та область значень функції.
Область визначення функції - це безліч всіх допустимих дійсних значень аргументу x(змінною x), при яких функція y = f(x)визначено. Область значень функції - це безліч усіх дійсних значень y, що приймає функцію.
В елементарної математики вивчаються функції лише з безлічі дійсних чисел.
2) Нулі функції.
Нуль функції – таке значення аргументу, у якому значення функції дорівнює нулю.
3) Проміжки знакостійності функції.
Проміжки знакостійності функції – такі безлічі значень аргументу, у яких значення функції лише позитивні чи лише негативні.
4) Монотонність функції.
Зростаюча функція (у певному проміжку) - функція, яка має більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції.
Зменшуюча функція (у певному проміжку) - функція, яка має більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає менше значення функції.
5) парність (непарність) функції.
Четна функція - функція, у якої область визначення симетрична щодо початку координат та для будь-якого хв галузі визначення виконується рівність f(-x) = f(x). Графік парної функції симетричний щодо осі ординат.
Непарна функція - функція, у якої область визначення симетрична щодо початку координат та для будь-якого хв галузі визначення справедлива рівність f(-x) = - f(x). Графік непарної функції симетричний щодо початку координат.
6) Обмежена та необмежена функції.
Функція називається обмеженою, якщо є таке позитивне число M, що |f(x)| ≤ M для всіх значень x. Якщо такої кількості немає, то функція - необмежена.
7) Періодичність функції.
Функція f(x) - періодична, якщо існує таке відмінне від нуля число T, що для будь-якого x з області визначення функції має місце: f(x+T) = f(x). Таке найменше називається періодом функції. Усі тригонометричні функції є періодичними. (Тригонометричні формули).
19. Основні елементарні функції, їх властивості та графіки. Застосування функцій економіки.
Основні елементарні функції. Їх властивості та графіки
1. Лінійна функція.
Лінійною функцією називається функція виду , де х - змінна, а і b - дійсні числа.
Число аназивають кутовим коефіцієнтом прямої, він дорівнює тангенсу кута нахилу цієї прямої до позитивного напрямку осі абсцис. Графік лінійної функції є пряма лінія. Вона визначається двома точками.
Властивості лінійної функції
1. Область визначення - безліч всіх дійсних чисел: Д(y) = R
2. Безліч значень - безліч всіх дійсних чисел: Е(у) = R
3. Функція набуває нульового значення при або.
4. Функція зростає (зменшується) по всій області визначення.
5. Лінійна функція безперервна по всій області визначення, диференційована і .
2. Квадратична функція.
Функція виду , де х – змінна, коефіцієнти а, b, с – дійсні числа, називається квадратичні.
У цій статті ми розглянемо лінійну функцію, графік лінійної функції та його властивості. І, як завжди, вирішимо кілька завдань на цю тему.
Лінійною функцієюназивається функція виду
У рівнянні функції число , яке ми множимо називається коефіцієнтом нахилу.
Наприклад, у рівнянні функції ;
у рівнянні функції;
у рівнянні функції;
у рівнянні функції.
Графік лінійної функції є пряма лінія.
1 . Щоб побудувати графік функціїнам потрібні координати двох точок, що належать графіку функції. Щоб їх знайти, потрібно взяти два значення х, підставити в рівняння функції, і з них обчислити відповідні значення y.
Наприклад, щоб побудувати графік функції зручно взяти і , тоді ординати цих точок будуть рівні і .
Отримаємо точки А(0; 2) і В (3; 3). З'єднаємо їх і отримаємо графік функції:
2 . У рівнянні функції коефіцієнт відповідає за нахил графіка функції:
Title="k>0">!}
Коефіцієнт відповідає за зсув графіка вздовж осі:
Title="b>0">!}
На малюнку нижче зображені графіки функцій; ;
Зауважимо, що у всіх цих функціях коефіцієнт більше за нуль праворуч. Причому, що більше значення , то крутіше йде пряма.
У всіх функціях - і бачимо, що це графіки перетинають вісь OY у точці (0;3)
Тепер розглянемо графіки функцій; ;
На цей раз у всіх функціях коефіцієнт менше нуля, і всі графіки функцій нахилені вліво.
Зауважимо, що більше |k|, тим крутіше йде пряма. Коефіцієнт b той же, b=3, і графіки також як у попередньому випадку перетинають вісь OY у точці (0;3)
Розглянемо графіки функцій; ;
Тепер у всіх рівняннях функції коефіцієнти рівні. І ми отримали три паралельні прямі.
Але коефіцієнти b різні, і ці графіки перетинають вісь OY у різних точках:
Графік функції (b=3) перетинає вісь OY у точці (0;3)
Графік функції (b=0) перетинає вісь OY у точці (0;0) - початку координат.
Графік функції (b=-2) перетинає вісь OY у точці (0;-2)
Отже, якщо ми знаємо знаки коефіцієнтів k і b, можемо відразу уявити, як виглядає графік функції .
Якщо k<0 и b>0 , то графік функції має вигляд:
Якщо k>0 і b>0 ,то графік функції має вигляд:
Якщо k>0 та b<0 , то графік функції має вигляд:
Якщо k<0 и b<0 , то графік функції має вигляд:
Якщо k=0 ,то функція перетворюється на функцію і її графік має вигляд:
Ординати всіх точок графіка функції дорівнюють
Якщо b=0, то графік функції проходить через початок координат:
Це графік прямої пропорційності.
3 . Окремо відзначу графік рівняння. Графік цього рівняння є прямою лінією, паралельну осі всі точки якої мають абсцису .
Наприклад, графік рівняння виглядає так:
Увага!Рівняння перестав бути функцією, оскільки різним значенням аргументу відповідає одне й те значення функції, що відповідає .
4 . Умова паралельності двох прямих:
Графік функції паралельний графіку функції, якщо
5. Умова перпендикулярності двох прямих:
Графік функції перпендикулярний графіку функції, якщо або
6 . Точки перетину графіка функції з осями координат.
З віссю ОY.Абсцис будь-якої точки, що належить осі ОY дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОY потрібно в рівняння функції замість х підставити нуль. Отримаємо y=b. Тобто точка перетину з віссю OY має координати (0; b).
З віссю ОХ:Ордината будь-якої точки, що належить осі ОХ, дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОХ, потрібно в рівняння функції замість y підставити нуль. Отримаємо 0=kx+b. Звідси. Тобто точка перетину з віссю OX має координати (; 0):
Розглянемо розв'язання задач.
1 . Побудуйте графік функції, якщо відомо, що він проходить через точку А(-3;2) і паралельний прямий y=-4x.
У рівнянні функції два невідомі параметри: k та b. Тому в тексті завдання мають бути дві умови, що характеризують графік функції.
а) З того, що графік функції паралельний прямий y=-4x, випливає, що k=-4. Тобто рівняння функції має вигляд
б) Нам лишилося знайти b. Відомо, що графік функції проходить через точку А(-3; 2). Якщо точка належить графіку функції, то при підстановці її координат до рівняння функції ми отримаємо правильну рівність:
звідси b=-10
Таким чином, нам треба побудувати графік функції
Точка А(-3;2) нам відома, візьмемо точку B(0;-10)
Поставимо ці точки в координатній площині і з'єднаємо їх прямою:
2. Написати рівняння прямої, що проходить через точки A(1; 1); B(2;4).
Якщо пряма проходить через точки із заданими координатами, отже, координати точок задовольняють рівняння прямої . Тобто, якщо ми координати точок підставимо в рівняння прямий, то отримаємо правильну рівність.
Підставимо координати кожної точки в рівняння та отримаємо систему лінійних рівнянь.
Віднімемо з другого рівняння системи перше, і отримаємо . Підставимо значення k перше рівняння системи, і отримаємо b=-2.
Отже, рівняння прямої.
3 . Побудуйте графік рівняння 
Щоб знайти, при яких значеннях невідомого добуток кількох множників дорівнює нулю, потрібно кожен множник прирівняти до нуля та врахувати кожного множника.
Це рівняння немає обмежень на ОДЗ. Розкладемо на множники другу дужку та прирівняємо кожен множник до нуля. Отримаємо сукупність рівнянь:
Збудуємо графіки всіх рівнянь сукупності в одній коорднатній площині. Це і є графік рівняння :
4 . Побудуйте графік функції , якщо він перпендикулярний до прямої і проходить через точку М(-1;2)
Ми не будуватимемо графік, тільки знайдемо рівняння прямої.
а) Оскільки графік функції, якщо він перпендикулярний прямий, отже, звідси. Тобто рівняння функції має вигляд
б) Ми знаємо, що графік функції проходить через точку М(-1; 2). Підставимо її координати до рівняння функції. Отримаємо:
Звідси.
Отже, наша функція має вигляд: .
5 . Побудуйте графік функції 
Спростимо вираз, що стоїть у правій частині рівняння функції.
Важливо!Перш ніж спрощувати вираз, знайдемо його ОДЗ.
Знаменник дробу не може дорівнювати нулю, тому title="x1">, title="x-1">.!}
Тоді наша функція набуває вигляду:
Title="delim(lbrace)(matrix(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}
Тобто нам треба побудувати графік функції та виколоти на ньому дві точки: з абсцисами x=1 та x=-1:
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.