Трикутник - це одна з найпоширеніших геометричних фігур, з якою ми знайомимося вже у початковій школі. З питанням, як знайти площу трикутника, стикається кожен школяр під час уроків геометрії. Так, які ж особливості знаходження площі цієї фігури можна назвати? У цій статті ми розглянемо основні формули, необхідні виконання такого завдання, і навіть розберемо види трикутників.
Види трикутників
Знайти площу трикутника можна абсолютно різними способами, тому що в геометрії виділяється не один вид фігур, що містять три кути. До таких видів належать:
- Тупокутний.
- Рівносторонній (правильний).
- Прямокутний трикутник.
- Рівностегновий.
Розглянемо докладніше кожен із існуючих типів трикутників.
Така геометрична фігура вважається найбільш поширеною під час вирішення геометричних завдань. Коли виникає необхідність накреслити будь-який трикутник, на допомогу приходить саме цей варіант.
У гострокутному трикутнику, як відомо за назвою, всі кути гострі й у сумі становлять 180°.
Такий трикутник також дуже поширений, проте зустрічається дещо рідше гострокутного. Наприклад, при вирішенні трикутників (тобто відомо кілька його сторін і кутів і потрібно знайти елементи, що залишилися) іноді потрібно визначити, є кут тупим чи ні. Косинус – це негативне число.
У величина одного з кутів перевищує 90°, тому два кути, що залишилися, можуть приймати маленькі значення (наприклад, 15° або зовсім 3°).
Щоб знайти площу трикутника цього типу, необхідно знати деякі нюанси, про які ми поговоримо далі.
Правильний та рівнобедрений трикутники
Правильним багатокутником називається фігура, що включає n кутів, у якої всі сторони і кути рівні. Таким є правильний трикутник. Оскільки сума всіх кутів трикутника становить 180°, кожен із трьох кутів дорівнює 60°.
Правильний трикутник завдяки його властивості також називають рівносторонньою фігурою.
Варто також відзначити, що в правильний трикутник можна вписати лише одне коло і біля нього можна описати лише одне коло, причому їх центри розташовані в одній точці.
Крім рівностороннього типу, можна також виділити рівнобедрений трикутник, який несильно від нього відрізняється. У такому трикутнику дві сторони та два кути рівні між собою, а третя сторона (до якої прилягають рівні кути) є основою.
На малюнку показано рівнобедрений трикутник DEF, кути D і F якого рівні, а DF є основою.
Прямокутний трикутник
Прямокутний трикутник названий так тому, що один із його кутів прямий, тобто дорівнює 90°. Інші два кути в сумі становлять 90°.
Найбільша сторона такого трикутника, що лежить проти кута в 90° є гіпотенузою, решта двох його сторін - це катети. Для цього типу трикутників застосовна теорема Піфагора:
Сума квадратів довжин катетів дорівнює квадрату довжини гіпотенузи.
На малюнку зображено прямокутний трикутник BAC з гіпотенузою AC та катетами AB та BC.
Щоб знайти площу трикутника з прямим кутом, потрібно знати числові значення його катетів.
Перейдемо до формул знаходження площі цієї фігури.
Основні формули знаходження площі
У геометрії можна виділити дві формули, які підходять для знаходження площі більшості видів трикутників, а саме для гострокутного, тупокутного, правильного та рівнобедреного трикутників. Розберемо кожну з них.
Збоку та висоті
Дана формула є універсальною для знаходження площі, яку ми розглядаємо фігури. Для цього достатньо знати довжину сторони та довжину проведеної до неї висоти. Сама формула (половина твору основи на висоту) виглядає так:
де A – сторона даного трикутника, а H – висота трикутника.
Наприклад, щоб знайти площу гострокутного трикутника ACB, потрібно помножити його сторону AB на висоту CD і розділити значення, що вийшло, на два.
Однак не завжди буває легко знайти площу трикутника у такий спосіб. Наприклад, щоб скористатися цією формулою для тупокутного трикутника необхідно продовжити одну з його сторін і тільки після цього провести до неї висоту.
Насправді ця формула застосовується частіше за інших.
По обидва боки і кут
Дана формула, як і попередня, підходить для більшості трикутників і за своїм змістом є наслідком формули знаходження площі по стороні і висоті трикутника. Тобто формулу, що розглядається, можна легко вивести з попередньої. Її формулювання виглядає так:
S = ½*sinO*A*B,
де A і B – це сторони трикутника, а O – кут між сторонами A та B.
Нагадаємо, що синус кута можна подивитися у спеціальній таблиці, названій на честь видатного радянського математика В. М. Брадіса.
А тепер перейдемо до інших формул, які підходять тільки для виняткових видів трикутників.
Площа прямокутного трикутника
Крім універсальної формули, що включає необхідність проводити висоту в трикутнику, площа трикутника, що містить прямий кут, можна знайти по його катетах.
Так, площа трикутника, що містить прямий кут, - це половина твору його катетів, або:
де a та b - катети прямокутного трикутника.
Правильний трикутник
Даний вид геометричних фігур відрізняється тим, що його площу можна знайти при зазначеній величині лише однієї його сторони (оскільки всі сторони правильного трикутника рівні). Отже, зустрівшись із завданням «знайти площу трикутника, коли сторони рівні», потрібно скористатися такою формулою:
S = A 2 *√3 / 4,
де A – це сторона рівностороннього трикутника.
Формула Герону
Останній варіант для знаходження площі трикутника – це формула Герона. Для того, щоб нею скористатися, необхідно знати довжини трьох сторін фігури. Формула Герона виглядає так:
S = √p · (p - a) · (p - b) · (p - c),
де a, b і c – це сторони цього трикутника.
Іноді завдання дано: «площа правильного трикутника - знайти довжину його боку». В даному випадку потрібно скористатися вже відомою нам формулою знаходження площі правильного трикутника та вивести з неї значення сторони (або її квадрата):
A 2 = 4S/√3.
Екзаменаційні завдання
У завданнях ДПА з математики зустрічається безліч формул. Крім цього, досить часто необхідно знайти площу трикутника на картатому папері.
В даному випадку найзручніше провести висоту до однієї зі сторін фігури, визначити по клітинах її довжину і скористатися універсальною формулою для знаходження площі:
Отже, після вивчення наведених у статті формул, у вас не виникнуть проблеми при знаходженні площі трикутника будь-якого виду.
Як ви можете пам'ятати зі шкільної програми з геометрії, трикутник - це фігура, утворена з трьох відрізків, що з'єднуються трьома точками, що не лежать на одній прямій. Трикутник утворює три кути, звідси і назва фігури. Визначення може бути іншим. Трикутник можна також назвати багатокутником з трьома кутами, відповідь буде так само вірною. Трикутники діляться за кількістю рівних сторін та за величиною кутів у фігурах. Так виділяють такі трикутники, як рівнобедрений, рівносторонній і різнобічний, а також прямокутний, гострокутний і тупокутний, відповідно.
Формул обчислення площі трикутника дуже багато. Вибирати, як визначити площу трикутника, тобто. якою формулою скористатися, лише вам. Але варто відзначити лише деякі позначення, які використовуються в багатьох формулах обчислення площі трикутника. Отже, запам'ятовуйте:
S – це площа трикутника,
a, b, c – це сторони трикутника,
h – це висота трикутника,
R – це радіус описаного кола,
p – це напівпериметр.
Ось основні позначення, які можуть знадобитися, якщо ви абсолютно забули курс геометрії. Нижче будуть наведені найбільш зрозумілі та нескладні варіанти обчислення невідомої та загадкової площі трикутника. Це не складно і стане в нагоді як вам у домашніх потребах, так і для допомоги своїм дітям. Згадаймо, як обчислити площу трикутника простіше простого:
У нашому випадку площа трикутника дорівнює: S = ½ * 2,2 см. * 2,5 см. = 2,75 кв. Пам'ятайте, що площа вимірюється квадратних сантиметрах (кв.см.).
Прямокутний трикутник та його площа.
Прямокутний трикутник - це трикутник, у якого один кут дорівнює 90 градусів (тому називається прямим). Прямий кут утворюють дві перпендикулярні лінії (у випадку з трикутником – два перпендикулярні відрізки). У прямокутному трикутнику прямий кут може лише один, т.к. сума всіх кутів одного будь-якого трикутника дорівнює 180 градусів. Виходить, що 2 інших кута повинні ділити між собою 90 градусів, що залишилися, наприклад 70 і 20, 45 і 45 і т.д. Отже, основне ви згадали, залишилося дізнатися, як знайти площу прямокутного трикутника. Уявимо, що перед нами такий прямокутний трикутник, і нам необхідно знайти його площу S.
1. Найпростіший спосіб визначення площі прямокутного трикутника обчислюється за такою формулою:
У нашому випадку площа прямокутного трикутника дорівнює: S = 2,5 см. * 3 см. / 2 = 3,75 кв.см.
У принципі, більше не потрібно вивіряння площі трикутника іншими методами, т.к. у побуті знадобиться і допоможе лише цей. Але існують і варіанти виміру площі трикутника через гострі кути.
2. Для інших способів обчислення необхідно мати таблицю косінусів, синусів та тангенсів. Поміркуйте самі, ось які варіанти обчислення площ прямокутного трикутника ще можна використовувати:
Ми вирішили скористатися першою формулою і з невеликими помарками (креслили в блокноті та використовували стару лінійку та транспортир), але у нас вийшов правильний розрахунок:
S = (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) = (3 * 3) / (2 * 1,2). У нас вийшли такі результати 3,6 = 3,7, але з урахуванням зсуву клітин цей нюанс нам можна пробачити.
Рівностегновий трикутник та його площа.
Якщо перед вами стоїть завдання обчислити формулу рівнобедреного трикутника, то найпростіше скористатися головною і як вважається класичною формулою площі трикутника.
Але для початку перед тим, як знайти площу рівнобедреного трикутника, дізнаємося, що це за фігура така. Рівностегновим трикутником називається трикутник, у якого дві сторони мають однакову довжину. Ці дві сторони називаються бічними, третя сторона називається основою. Не плутайте рівнобедрений трикутник із рівностороннім, тобто. правильним трикутником, у якого всі три сторони рівні. У такому трикутнику немає особливих тенденцій до кутів, точніше до їхньої величини. Однак кути в основі в рівнобедреному трикутнику рівні, але відрізняються від кута між рівними сторонами. Отже, першу і головну формулу ви вже знаєте, залишилося дізнатися, які формули визначення площі рівнобедреного трикутника відомі:
Трикутник - це така геометрична фігура, яка складається з трьох прямих, що з'єднуються в точках, що не лежать на одній прямій. Точки з'єднання прямих – це вершини трикутника, що позначаються латинськими літерами (наприклад, A, B, C). Прямі трикутники, що з'єднуються, називаються відрізками, які також прийнято позначати латинськими літерами. Розрізняють такі типи трикутників:
- Прямокутний.
- Тупокутний.
- Гострокутний.
- Різнобічний.
- Рівносторонній.
- Рівностегновий.
Загальні формули для обчислення площі трикутника
Формула площі трикутника по довжині та висоті
S = a * h / 2,
де а - це довжина сторони трикутника, площу якого потрібно знайти, h-довжина проведеної до основи висоти.
Формула Герону
S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
де - це квадратний корінь, p-напівпериметр трикутника, a, b, c - це довжина кожної сторони трикутника. Напівпериметр трикутника можна обчислити за формулою p=(a+b+c)/2.
Формула площі трикутника за величиною кута та довжиною відрізка
S = (a*b*sin(α))/2,
де b, c - це довжина сторін трикутника, sin (α) - синус кута між двома сторонами.
Формула площі трикутника по радіусу вписаного кола та трьом сторонам
S=p*r,
де p-це напівпериметр трикутника, площу якого потрібно знайти, r-радіус вписаної в цей трикутник кола.
Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного навколо нього кола
S = (a * b * c) / 4 * R,
де a,b,c-це величина довжини кожної сторони трикутника, R-радіус описаної навколо трикутника кола.
Формула площі трикутника за декартовими координатами точок
Декартові координати точок - це координати в системі xOy, де x-це абсциса, y-ордината. Декартовою системою координат xOy на площині називають взаємно перпендикулярні числові осі Oх і Oy із загальним початком відліку в точці О. Якщо задані координати точок на цій площині у вигляді A(x1, y1), B(x2, y2) та C(x3, y3) ), то можна обчислити площу трикутника за такою формулою, яка отримана з векторного добутку двох векторів.
S = | (x1 - x3) (y2 - y3) - (x2 - x3) (y1 - y3) |
де || позначає модуль.
Як знайти площу прямокутного трикутника
Прямокутний трикутник – це трикутник, у якого один кут становить 90 градусів. Такий кут трикутника може бути лише один.
Формула площі прямокутного трикутника за двома катетами
S = a * b / 2,
де a, b – це довжина катетів. Катетами називаються сторони, що належать до прямого кута.
Формула площі прямокутного трикутника з гіпотенузи та гострого кута
S = a * b * sin (α) / 2,
де a, b – це катети трикутника, а sin(α) – це синус кута, в якому перетинаються прямі a, b.
Формула площі прямокутного трикутника по катету та протилежному куту
S = a*b/2*tg(β),
де a, b – це катети трикутника, tg(β) – це тангенс кута, де з'єднуються катети a, b.
Як обчислити площу рівнобедреного трикутника
Рівностегновим називається такий трикутник, який має дві рівні сторони. Ці сторони називаються бічними, а інша сторона є основою. Для обчислення площі рівнобедреного трикутника можна використовувати одну з таких формул.
Основна формула для обчислення площі рівнобедреного трикутника
S=h*c/2,
де с - це основа трикутника, h-це висота трикутника, опущеного до основи.
Формула рівнобедреного трикутника збоку та основи
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
де с - основа трикутника, a- величина однієї з бічних сторін рівнобедреного трикутника.
Як знайти площу рівностороннього трикутника
Рівносторонній трикутник – це трикутник, у якого всі сторони рівні. Для обчислення площі рівностороннього трикутника можна використати таку формулу:
S = (√3 * a * a) / 4,
де a-це довжина сторони рівностороннього трикутника.
Наведені вище формули дозволять обчислити потрібну площу трикутника. Важливо пам'ятати, що для обчислення помилки трикутників потрібно враховувати тип трикутника та доступні дані, які можна використовувати для обчислення.
Формул для обчислення площі трикутника в інтернеті можна знайти понад 10. Чимало з них застосовується у завданнях з відомими сторонами та кутами трикутника. Однак є ряд складних прикладів де за умовою завдання відомі тільки одна сторона і кути трикутника, або радіус описаного або вписаного кола та ще одна характеристика. У разі просту формулу застосувати не вдасться.
Наведені нижче формули дозволять вирішити 95 відсотків завдань, у яких потрібно знайти площу трикутника.
Перейдемо до розгляду найпоширеніших формул площі.
Розглянемо трикутник зображений на малюнку нижче
На малюнку і далі у формулах введено класичні позначення всіх його характеристик
a, b, c – сторони трикутника,
R – радіус описаного кола,
r – радіус вписаного кола,
h[b],h[a],h[c] – висоти, проведені відповідно до сторін a,b,c.
alpha, beta, hamma – кути біля вершин.
Основні формули площі трикутника
1. Площа дорівнює половині добутку сторони трикутника на висоту опущеної до цієї сторони. На мові формул це визначення можна записати так
Таким чином, якщо відома сторона та висота – то площу знайде кожен школяр.
До речі, із цієї формули можна вивести одну корисну залежність між висотами
2. Якщо врахувати, що висота трикутника через сусідню сторону виражається залежністю
То з першої формули площі випливають однотипні другі
Уважно подивіться на формули – їх легко запам'ятати, оскільки у творі фігурує дві сторони та кут між ними. Якщо правильно позначити сторони та кути трикутника (як на малюнку вище), то отримаємо дві сторони a,b і кут пов'язаний з третьоюЗ (Хамма).
3. Для кутів трикутника справедливе співвідношення
Залежність дозволяє застосовувати у обчисленнях наступні формули площі трикутника
Приклади на цю залежність зустрічаються дуже рідко, але пам'ятати що така формула Ви повинні.
4. Якщо відома сторона і два прилеглі кути, то площа знаходиться за формулою
5. Формула площі через бік та котангенс прилеглих кутів наступна
Перестановкою індексів можна отримати залежність інших сторін.
6. Наведена нижче формула площі використовується в задачах, коли вершини трикутника задані на площині координатами . І тут площа дорівнює половині визначника взятого по модулю.
7. Формула Геронузастосовують у прикладах з відомими сторонами трикутника.
Спочатку знаходять напівпериметр трикутника
А потім визначають площу за формулою
або
Її часто використовують у коді програм калькуляторів.
8. Якщо відомі всі висоти трикутника то площу визначають за формулою
Вона складна для обчислення на калькуляторі, однак у пакетах MathCad, Mathematica, Maple площа знаходиться на «разів два».
9. Наступні формули використовують відомі радіуси вписаних та описаних кіл. 
Зокрема, якщо відомо радіус і сторони трикутника, або його периметр, то площа обчислюється згідно з формулою
10. У прикладах де задано сторони і радіус або діаметр описаного кола площа знаходять за формулою
11. Наступна формула визначає площу трикутника через сторону та кути трикутника.
Ну і насамкінець - окремі випадки:
Площа прямокутного трикутниказ катетами a та b дорівнює половині їх твору
Формула площі рівностороннього (правильного) трикутника=
= однієї четвертої добутку квадрату боку на корінь із трійки.
Концепція площі
Поняття площі будь-якої геометричної фігури, зокрема трикутника, пов'язуватимемо з такою фігурою, як квадрат. За одиницю площі будь-якої геометричної фігури прийматимемо площу квадрата, сторона якого дорівнює одиниці. Для повноти згадаємо дві основні властивості для поняття площ геометричних фігур.
Властивість 1:Якщо геометричні фігури рівні, значення їх площ також рівні.
Властивість 2:Будь-яка фігура може бути розбита на кілька фігур. Причому площа первісної фігури дорівнює сумі значень площ усіх складових її постатей.
Розглянемо приклад.
Приклад 1
Очевидно, що одна із сторін трикутника є діагоналлю прямокутника , у якого одна сторона має довжину $5$ (бо $5$ клітин), а друга $6$ (оскільки $6$ клітин). Отже, площа цього трикутника дорівнюватиме половині такого прямокутника. Площа прямокутника дорівнює
Тоді площа трикутника дорівнює
Відповідь: $15$.
Далі розглянемо кілька методів для знаходження площ трикутників, а саме за допомогою висоти та основи, за допомогою формули Герона та площа рівностороннього трикутника.
Як знайти площу трикутника через висоту та основу
Теорема 1
Площу трикутника можна знайти як половину добутку довжини сторони, на висоту, проведену до цієї сторони.
Математично це виглядає так
$S=\frac(1)(2)αh$
де $a$ – довжина сторони, $h$ – висота, проведена до неї.
Доведення.
Розглянемо трикутник $ABC$, де $AC=α$. До цієї сторони проведена висота $BH$, яка дорівнює $h$. Добудуємо його до квадрата $AXYC$ як малюнку 2.
Площа прямокутника $AXBH$ дорівнює $h\cdot AH$, а прямокутника $HBYC$ дорівнює $h\cdot HC$. Тоді
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Отже, потрібна площа трикутника, за якістю 2, дорівнює
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Теорему доведено.
Приклад 2
Знайти площу трикутника на малюнку нижче, якщо клітина має площу, рівну одиниці
Основа цього трикутника дорівнює $9$ (бо $9$ становить $9$ клітин). Висота також дорівнює $9$. Тоді, за теоремою 1, отримаємо
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Відповідь: $ 40,5 $.
Формула Герону
Теорема 2
Якщо нам дано три сторони трикутника $α$, $β$ і $γ$, то його площу можна знайти таким чином
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
тут $ρ$ означає півпериметр цього трикутника.
Доведення.
Розглянемо наступний малюнок:
За теоремою Піфагора з трикутника $ABH$ отримаємо
З трикутника $CBH$, за теоремою Піфагора, маємо
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
З цих двох співвідношень отримуємо рівність
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Оскільки $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, то $α+β+γ=2ρ$, отже
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
По теоремі 1, отримаємо
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$