Формули прямої параболи. Канонічне рівняння параболи

Функція виду, де називається квадратичною функцією.

Графік квадратичної функції – парабола.

Розглянемо випадки:

I ВИПАДК, КЛАСИЧНА ПАРАБОЛА

Тобто , ,

Для побудови заповнюємо таблицю, підставляючи значення x формулу:

Зазначаємо точки (0; 0); (1; 1); (-1; 1) і т.д. на координатній площині (чим із меншим кроком ми беремо значення х (у даному випадку крок 1), і чим більше беремо значень х, тим плавніше буде крива), одержуємо параболу:

Неважко помітити, що й ми візьмемо випадок , , , тобто , ми отримаємо параболу, симетричну щодо осі (ох). Переконатись у цьому нескладно, заповнивши аналогічну таблицю:

II ВИПАД, «a» ВІДМІННО ВІД ОДИНКИ

Що ж буде, якщо ми братимемо , , ? Як зміниться поведінка параболи? При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

На першій картинці (див. вище) добре видно, що точки з таблиці для параболи (1; 1), (-1; 1) трансформувалися в точки (1; 4), (1; -4), тобто при тих же значення ординату кожної точки помножилася на 4. Це станеться з усіма ключовими точками вихідної таблиці. Аналогічно міркуємо у випадках картинок 2 та 3.

А при параболі «стане ширше» параболи:

Давайте підсумуємо:

1)Знак коефіцієнта відповідає за напрямок гілок. При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Абсолютна величинакоефіцієнта (модуля) відповідає за “розширення”, “стиснення” параболи. Чим більше , тим уже парабола, чим менше |a|, тим ширше парабола.

ІІІ ВИПАД, З'ЯВЛЯЄТЬСЯ «С»

Тепер давайте введемо в гру (тобто розглядаємо випадок, коли), розглядатимемо параболи виду. Неважко здогадатися (ви завжди можете звернутися до таблиці), що відбуватиметься зміщення параболи вздовж осі вгору або вниз залежно від знака:

IV ВИПАД, З'ЯВЛЯЄТЬСЯ «b»

Коли ж парабола "відірветься" від осі і, нарешті, "гулятиме" по всій координатній площині? Коли перестане бути рівним.

Тут для побудови параболи нам знадобиться формула для обчислення вершини: , .

Так ось у цій точці (як у точці (0; 0) нової системи координат) ми будуватимемо параболу, що вже нам під силу. Якщо маємо справу з нагодою , то від вершини відкладаємо один одиничний відрізок вправо, один вгору, - отримана точка - наша (аналогічно крок вліво, крок вгору - наша точка); якщо маємо справу з , наприклад, то від вершини відкладаємо один одиничний відрізок праворуч, два - вгору і т.д.

Наприклад, вершина параболи:

Тепер головне усвідомити, що в цій вершині ми будуватимемо параболу за шаблоном параболи, адже в нашому випадку.

При побудові параболи після знаходження координат вершини дужезручно враховувати такі моменти:

1) парабола обов'язково пройде через точку . Справді, підставивши формулу x=0, отримаємо, що . Тобто ордината точки перетину параболи з віссю (оу) це . У прикладі (вище), парабола перетинає вісь ординат у точці , оскільки .

2) віссю симетрії параболи є пряма , тому всі точки параболи будуть симетричні щодо неї. У нашому прикладі ми відразу беремо точку (0; -2) і будуємо їй симетричну щодо осі симетрії параболи, отримаємо точку (4; -2), через яку буде проходити парабола.

3) Прирівнюючи до ми дізнаємося точки перетину параболи з віссю (ох). Для цього вирішуємо рівняння. Залежно від дискримінанта, отримуватимемо одну (, ), дві (title="Rendered by QuickLaTeX.com)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . У попередньому прикладі у нас корінь з дискримінанта - не ціле число, при побудові нам особливо немає сенсу знаходити коріння, але ми бачимо чітко, що дві точки перетину з віссю (ох) у нас будуть (бо title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Отже, давайте виробимо

Алгоритм для побудови параболи, якщо вона задана у вигляді

1) визначаємо напрямок гілок (а>0 – вгору, a<0 – вниз)

2) знаходимо координати вершини параболи за формулою , .

3) знаходимо точку перетину параболи з віссю (оу) по вільному члену , будуємо точку, симетричну даної щодо осі симетрії параболи (треба зауважити, буває, що цю точку невигідно відзначати, наприклад, тому, що значення велике ... пропускаємо цей пункт ...)

4) У знайденій точці – вершині параболи (як і точці (0;0) нової системи координат) будуємо параболу . Якщо title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Знаходимо точки перетину параболи з віссю (оу) (якщо вони ще самі не спливли), вирішуючи рівняння

Приклад 1

Приклад 2

Зауваження 1.Якщо ж парабола спочатку нам задана у вигляді де - деякі числа (наприклад, ), то побудувати її буде ще легше, тому що нам вже задані координати вершини . Чому?

Візьмемо квадратний тричлен і виділимо в ньому повний квадрат: Подивіться, ось ми отримали, що , . Ми з вами раніше називали вершину параболи, тобто тепер.

Наприклад, . Зазначаємо на площині вершину параболи, розуміємо, що гілки спрямовані вниз, парабола розширена (відносно). Тобто виконуємо пункти 1; 3; 4; 5 з алгоритму побудови параболи (див. вище).

Примітка 2.Якщо парабола задана у вигляді, подібному до цього (тобто представлений у вигляді добутку двох лінійних множників), то відразу видно точки перетину параболи з віссю (ох). У разі – (0;0) і (4;0). В іншому ж діємо згідно з алгоритмом, розкривши дужки.

Заняття 10 . Криві другого порядку.

10.1. Еліпс. Канонічне рівняння. Напівосі, ексцентриситет, графік.

10.2. Гіперболу. Канонічне рівняння. Напівосі, ексцентриситет, асимптоти, графік.

10.3. Парабола. Канонічне рівняння. Параболи параметрів, графік.

Кривими другого порядку на площині називаються лінії, неявне завдання яких має вигляд:

де
- задані речові числа,
- Координати точок кривої. Найбільш важливими лініями серед кривих другого ладу є еліпс, гіпербола, парабола.

10.1. Еліпс. Канонічне рівняння. Напівосі, ексцентриситет, графік.

Визначення еліпса.Еліпсом називається плоска крива, яка має суму відстаней від двох фіксованих точок.
площині до будь-якої точки

(Тобто). Крапки
називаються фокусами еліпса.

Канонічне рівняння еліпса:
. (2)

(або вісь
) проходить через фокуси
, а початок координат – точка - знаходиться в центрі відрізка
(Рис.1). Еліпс (2) симетричний щодо осей координат та початку координат (центру еліпса). Постійні
,
називаються півосями еліпса.

Якщо еліпс заданий рівнянням (2), то фокуси еліпса так.

1) Спочатку визначаємо, де лежать фокуси: фокуси лежать на тій координатній осі, на якій розташовані більші півосі.

2) Потім обчислюється фокусна відстань (відстань від фокусів до початку координат).

При
фокуси лежать на осі
;
;
.

Ексцентриситетомеліпса називається величина: (при
);(при
).

У еліпса завжди
. Ексцентриситет є характеристикою стиснення еліпса.

Якщо еліпс (2) перемістити так, що центр еліпса потрапить до точки

,
, то рівняння отриманого еліпса має вигляд

10.2. Гіперболу. Канонічне рівняння. Напівосі, ексцентриситет, асимптоти, графік.

Визначення гіперболи.Гіперболою називається плоска крива, яка має абсолютну величину різниці відстаней від двох фіксованих точок.
площині до будь-якої точки
цією кривою є постійна величина, яка не залежить від точки
(Тобто). Крапки
називаються фокусами гіперболи.

Канонічне рівняння гіперболи:
або
. (3)

Таке рівняння виходить, якщо координатна вісь
(або вісь
) проходить через фокуси
, а початок координат – точка - знаходиться в центрі відрізка
. Гіперболи (3) симетричні щодо осей координат та початку координат. Постійні
,
називаються півосями гіперболи.

Фокус гіперболи знаходяться так.

У гіперболи
фокуси лежать на осі
:
(Рис. 2.а).

У гіперболи
фокуси лежать на осі
:
(Рис. 2.б)

Тут - фокусна відстань (відстань від фокусів до початку координат). Воно обчислюється за такою формулою:
.

Ексцентриситетомгіперболи називається величина:

(для
);(для
).

У гіперболи завжди
.

Асимптотами гіпербол(3) є дві прямі:
. Обидві гілки гіперболи необмежено наближаються до асимптотів зі зростанням .

Побудова графіка гіперболи слід проводити так: спочатку по півосях
будуємо допоміжний прямокутник із сторонами, паралельними осям координат; потім через протилежні вершини цього прямокутника проводимо прямі, це асимптоти гіперболи; нарешті зображаємо гілки гіперболи, вони стосуються середин відповідних сторін допоміжного прямокутника і наближаються зі зростанням до асимптотів (рис. 2).

Якщо гіперболи (3) перемістити так, що їхній центр потрапить у точку
, а півосі залишаться паралельними осям
,
, то рівняння отриманих гіперболів запишуться у вигляді

,
.

10.3. Парабола. Канонічне рівняння. Параболи параметрів, графік.

Визначення параболи.Параболою називається плоска крива, яка має для будь-якої точки
цієї кривої відстань від
до фіксованої точки площині (званої фокусом параболи) дорівнює відстані від
до фіксованої прямої на площині(названою директрисою параболи) .

Канонічне рівняння параболи:
, (4)

де - Постійна, звана параметромпараболи.

Крапка
параболи (4) називається вершиною параболи. Ось
є віссю симетрії. Фокус параболи (4) знаходиться в точці
, рівняння директриси
. Графіки параболи (4) зі значеннями
і
наведено на рис. 3.а та 3.б відповідно.

Рівняння
також визначає параболу на площині
, у якої порівняно з параболою (4), осі
,
змінилися місцями.

Якщо параболу (4) перемістити так, що її вершина потрапить до точки
, а вісь симетрії залишиться паралельна осі
, то рівняння отриманої параболи мають вигляд

Перейдемо до прикладів.

Приклад 1. Крива другого порядку задана рівнянням
. Дати назву цій кривій. Знайти її фокуси та ексцентриситет. Зобразити криву та її фокуси на площині
.

Рішення. Дана крива є еліпсом із центром у точці
та півосями
. У цьому легко переконатись, якщо провести заміну
. Це перетворення означає перехід від заданої декартової системи координат
до нової декартової системи координат
, у якої осі
паралельні осям
,
. Це перетворення координат називається зсувом системи
у крапку . У новій системі координат
рівняння кривої перетворюється на канонічне рівняння еліпса
, його графік наведено на рис. 4.

Знайдемо фокуси.
тому фокуси
еліпса розташовані на осі
.. У системі координат
:
. Т.к.
, у старій системі координат
фокуси мають координати.

Приклад 2. Дати назву кривої другого порядку і навести її графік.

Рішення. Виділимо повні квадрати за доданками, що містять змінні і .

Тепер рівняння кривої можна переписати так:

Отже, задана крива є еліпсом із центром у точці
та півосями
. Отримані відомості дають змогу намалювати його графік.

Приклад 3. Дати назву та навести графік лінії
.

Рішення. . Це – канонічне рівняння еліпса з центром у точці
та півосями
.

Оскільки,
, робимо висновок: задане рівняння визначає на площині
нижню половину еліпса (рис. 5).

Приклад 4. Дати назву кривої другого порядку
. Знайти її фокуси, ексцентриситет. Наведіть графік цієї кривої.

- канонічне рівняння гіперболи з півосями
.

Фокусна відстань.

Знак "мінус" стоїть перед доданком з тому фокуси
гіперболи лежать на осі
:. Гілки гіперболи розташовуються над та під віссю
.

- Ексцентриситет гіперболи.

Асимптоти гіперболи: .

Побудова графіка цієї гіперболи здійснюється відповідно до викладеного вище порядку дій: будуємо допоміжний прямокутник, проводимо асимптоти гіперболи, малюємо гілки гіперболи (див. рис.2.б).

Приклад 5. З'ясувати вид кривої, заданої рівнянням
та побудувати її графік.

- гіпербола з центром у точці
та півосями.

Т.к. , укладаємо: задане рівняння визначає ту частину гіперболи, яка лежить Праворуч від прямої
. Гіперболу краще намалювати у допоміжній системі координат
, отриманої із системи координат
зрушенням
, а потім жирною лінією виділити потрібну частину гіперболи

Приклад 6. З'ясувати вигляд кривої та намалювати її графік.

Рішення. Виділимо повний квадрат за доданками зі змінною :

Перепишемо рівняння кривої.

Це – рівняння параболи з вершиною у точці
. Перетворенням зрушення рівняння параболи наводиться до канонічного вигляду
, З якого видно, що параметр параболи. Фокус параболи в системі
має координати
,, а в системі
(Згідно з перетворенням зсуву). Графік параболи наведено на рис. 7.

Домашнє завдання.

1. Намалювати еліпси, задані рівняннями:
Знайти їх півосі, фокусна відстань, ексцентриситет і вказати на графіках еліпсів розташування їх фокусів.

2. Намалювати гіперболи, задані рівняннями:
Знайти їх півосі, фокусна відстань, ексцентриситет і вказати на графіках гіпербол розташування їх фокусів. Написати рівняння асимптот даних гіпербол.

3. Намалювати параболи, задані рівняннями:
. Знайти їх параметр, фокусна відстань та вказати на графіках парабол місце розташування фокусу.

4. Рівняння
визначає частину кривої 2-го порядку. Знайти канонічне рівняння цієї кривої, записати її назву, побудувати її графік та виділити на ньому ту частину кривої, яка відповідає вихідному рівнянню.

Параболою називається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки F і заданої прямої d не проходить через задану точку. Це геометричне визначення висловлює директоріальна властивість параболи.

Директоріальна властивість параболи

Точка F називається фокусом параболи, пряма d - директриса параболи, середина O перпендикуляра, опущеного з фокусу на директрису, - вершиною параболи, відстань p від фокусу до директриси - параметром параболи, а відстань \frac(p)(2) від вершини її фокус - фокусною відстанню (рис.3.45, а). Пряма, перпендикулярна директрисі і проходить через фокус, називається віссю параболи (фокальною віссю параболи). Відрізок FM , що з'єднує довільну точку M параболи з фокусом, називається фокальним радіусом точки M . Відрізок, що з'єднує дві точки параболи, називається хордою параболи.

Для довільної точки параболи відношення відстані до фокусу до відстані до директриси дорівнює одиниці. Порівнюючи директоріальні властивості і параболи, укладаємо, що ексцентриситет параболиза визначенням дорівнює одиниці (e = 1).

Геометричне визначення параболи, що виражає її директоріальне властивість, еквівалентно її аналітичному визначенню - лінії, що задається канонічним рівнянням параболи:

Дійсно, введемо прямокутну систему координат (рис.3.45 б). Вершину O параболи приймемо початок системи координат; пряму, що проходить через фокус перпендикулярно директрисі, приймемо за вісь абсцис (позитивний напрямок на ній від точки O до точки F); пряму, перпендикулярну до осі абсцис і проходить через вершину параболи, приймемо за вісь ординат (напрямок на осі ординат вибирається так, щоб прямокутна система координат Oxy виявилася правою).

Складемо рівняння параболи, використовуючи її геометричне визначення, що виражає директоріальну властивість параболи. У вибраній системі координат визначаємо координати фокусу F\!\left(\frac(p)(2);\,0\right)та рівняння директриси x=-\frac(p)(2) . Для довільної точки M(x,y) , що належить параболі, маємо:

FM=MM_d,

де M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right)- ортогональна проекція точки M(x, y) на директрису. Записуємо це рівняння у координатній формі:

\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\right)\)^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

Зводимо обидві частини рівняння квадрат: (\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Наводячи подібні члени, отримуємо канонічне рівняння параболи

y^2=2cdot pcdot x,тобто. обрана система координат є канонічною.

Проводячи міркування у зворотному порядку, можна показати, що всі точки, координати яких задовольняють рівнянню (3.51), і тільки вони належать геометричному місцю точок, званому параболою. Таким чином, аналітичне визначення параболи еквівалентне його геометричному визначенню, що виражає директоріальну властивість параболи.

Рівняння параболи у полярній системі координат

Рівняння параболи в полярній системі координат Frvarphi (рис.3.45,в) має вигляд

r = frac (p) (1-e \ cdot \ cos \ varphi),де p - Парабола параметр, а e = 1 - її ексцентриситет.

Справді, як полюс полярної системи координат виберемо фокус F параболи, а як полярної осі - промінь з початком у точці F , перпендикулярний директрисі і не перетинає її (рис.3.45,в). Тоді для довільної точки M(r,\varphi) , що належить параболі, згідно з геометричним визначенням (директоріальної властивості) параболи, маємо MM_d=r . Оскільки MM_d=p+r\cos\varphi, отримуємо рівняння параболи в координатній формі:

p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-cos\varphi),

що й потрібно було довести. Зауважимо, що в полярних координатах рівняння еліпса, гіперболи та параболи збігаються, але описують різні лінії, оскільки відрізняються ексцентриситетами (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 для ).

Геометричний зміст параметра в рівнянні параболи

Пояснимо геометричне значення параметра p у канонічному рівнянні параболи. Підставляючи рівняння (3.51) x=\frac(p)(2) , отримуємо y^2=p^2 , тобто. y=pm p . Отже, параметр p - це половина довжини хорди параболи, що проходить через її фокус перпендикулярно до осі параболи.

Фокальним параметром параболи, так само як для еліпса та для гіперболи, називається половина довжини хорди, що проходить через її фокус перпендикулярно до фокальної осі (див. рис.3.45,в). З рівняння параболи в полярних координатах при \varphi=\frac(\pi)(2)отримуємо r = p, тобто. Парабола збігається з її фокальним параметром.

Зауваження 3.11.

1. Параметр p параболи характеризує її форму. Чим більше p, тим ширші гілки параболи, чим ближче p до нуля, тим гілки параболи вже (рис.3.46).

2. Рівняння y^2=-2px (при p>0) визначає параболу, яка розташована зліва від осі ординат (рис. 3.47,a). Це рівняння зводиться до канонічного за допомогою зміни напряму осі абсцис (3.37). На рис. 3.47,a зображені задана система координат Oxy і канонічна Ox"y".

3. Рівняння (y-y_0) ^ 2 = 2p (x-x_0), \, p> 0визначає параболу з вершиною O"(x_0,y_0), вісь якої паралельна осі абсцис (рис.3.47,6). Це рівняння зводиться до канонічного за допомогою паралельного перенесення (3.36).

Рівняння (x-x_0) ^ 2 = 2p (y-y_0), \, p> 0, також визначає параболу з вершиною O"(x_0,y_0) , вісь якої паралельна осі ординат (рис.3.47,в). Це рівняння зводиться до канонічного за допомогою паралельного перенесення (3.36) і перейменування координатних осей (3.38). На рис. 3.47,б,в зображені задані системи координат Oxy і канонічні системи координат Ox"y".

4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0є параболою з вершиною в точці O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right), вісь якої паралельна осі ординат, гілки параболи спрямовані вгору (при a>0) або вниз (при a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\right)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,

яке наводиться до канонічного вигляду (y")^2=2px" , де p=\left|\frac(1)(2a)\right|, за допомогою заміни y"=x+\frac(b)(2a)і x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).

Знак вибирається збігається зі знаком старшого коефіцієнта a. Ця заміна відповідає композиції: паралельного перенесення (3.36) з x_0=-\frac(b)(2a)і y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), перейменування координатних осей (3.38), а у випадку a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 та a<0 соответственно.

5. Вісь абсцис канонічної системи координат є віссю симетрії параболиоскільки заміна змінної y на -y не змінює рівняння (3.51). Іншими словами, координати точки M(x,y) , що належить параболі, і координати точки M"(x,-y) , симетричній точці M щодо осі абсцис, задовольняють рівняння (3.S1). Осі канонічної системи координат називаються головними осями параболи.

Приклад 3.22. Зобразити параболу y^2=2x у канонічній системі координат Oxy. Знайти фокальний параметр, координати фокусу та рівняння директриси.

Рішення.Будуємо параболу, враховуючи її симетрію щодо осі абсцис (рис.3.49). При необхідності визначаємо координати деяких точок параболи. Наприклад, підставляючи x=2 рівняння параболи, отримуємо y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2. Отже, точки з координатами (2; 2), \, (2; -2) належать параболі.

Порівнюючи задане рівняння з канонічним (3.S1), визначаємо фокальний параметр: p=1. Координати фокусу x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, тобто. F\!\left(\frac(1)(2),\,0\right). Складаємо рівняння директриси x=-\frac(p)(2) , тобто. x=-\frac(1)(2) .

Загальні властивості еліпса, гіперболи, параболи

1. Директоріальне властивість можна використовувати як єдине визначення еліпса, гіперболи, параболи (див. рис.3.50): геометричне місце точок площини, для кожної з яких відношення відстані до заданої точки F (фокусу) до відстані до заданої прямої d (директриси), що не проходить через задану точку, постійно і дорівнює ексцентриситету e називається:

а) якщо 0\leqslant e<1 ;

б) , якщо e> 1;

в) параболою, якщо e=1.

2. Еліпс, гіпербола, парабола виходять у перерізах кругового конуса площинами і тому називаються конічними перерізами. Ця властивість також може бути геометричним визначенням еліпса, гіперболи, параболи.

3. До загальних властивостей еліпса, гіперболи і параболи можна віднести біссекторіальна властивістьїх дотичних. Під дотичноїдо лінії в деякій її точці K розуміється граничне положення сіючої KM, коли точка M, залишаючись на лінії, що розглядається, прагне до точки K. Пряма, перпендикулярна дотичної до лінії і проходить через точку дотику, називається нормаллюдо цієї лінії.

Біссекторіальна властивість дотичних (і нормалей) до еліпсу, гіперболі та параболі формулюється таким чином: дотична (нормаль) до еліпсу або гіперболі утворює рівні кути з фокальними радіусами точки дотику.(Рис.3.51, а, б); дотична (нормаль) до параболи утворює рівні кути з фокальним радіусом точки дотику та перпендикуляром, опущеним з неї на директрису(Рис.3.51, в). Іншими словами, дотична до еліпса в точці K є бісектриса зовнішнього кута трикутника F_1KF_2 (а нормаль - бісектриса внутрішнього кута F_1KF_2 трикутника); дотична до гіперболи є бісектрисою внутрішнього кута трикутника F_1KF_2 (а нормаль - бісектрисою зовнішнього кута); дотична до параболи є бісектрисою внутрішнього кута трикутника FKK_d (а нормаль - бісектрисою зовнішнього кута). Біссекторіальну властивість дотичної до параболи можна сформулювати так само, як для еліпса та гіперболи, якщо вважати, що парабола має другий фокус у нескінченно віддаленій точці.

4. З біссекторіальних властивостей випливають оптичні властивості еліпса, гіперболи та параболи, що пояснюють фізичне значення терміна "фокус". Уявімо собі поверхні, утворені обертанням еліпса, гіперболи або параболи навколо фокальної осі. Якщо на ці поверхні нанести відбивне покриття, то виходять еліптичне, гіперболічне та параболічне дзеркала. Відповідно до закону оптики, кут падіння променя світла на дзеркало дорівнює куту віддзеркалення, тобто. падаючий і відбитий промені утворюють рівні кути з нормаллю до поверхні, причому обидва промені та вісь обертання знаходяться в одній площині. Звідси отримуємо такі характеристики:

– якщо джерело світла перебуває у одному з фокусів еліптичного дзеркала, то промені світла, відбившись від дзеркала, збираються у іншому фокусі (рис.3.52,а);

- якщо джерело світла знаходиться в одному з фокусів гіперболічного дзеркала, то промені світла, відбившись від дзеркала, розходяться так, якби вони виходили з іншого фокусу (рис.3.52, б);

– якщо джерело світла перебуває у фокусі параболічного дзеркала, то промені світла, відбившись від дзеркала, йдуть паралельно фокальної осі (рис.3.52,в).

5. Діаметральна властивістьеліпса, гіперболи та параболи можна сформулювати наступним чином:

– середини паралельних хорд еліпса (гіпербол) лежать на одній прямій, що проходить через центр еліпса (гіпербол);

– середини паралельних хорд параболи лежать на прямій, колінеарній осі симетрії параболи.

Геометричне місце середин усіх паралельних хорд еліпса (гіперболи, параболи) називають діаметром еліпса (гіперболи, параболи), поєднаним до цих хордів.

Це визначення діаметра у вузькому значенні (див. приклад 2.8). Раніше було дано визначення діаметра у широкому сенсі, де діаметром еліпса, гіперболи, параболи, а також інших ліній другого порядку називається пряма, що містить середини всіх паралельних хорд. У вузькому значенні діаметром еліпса є будь-яка хорда, що проходить через його центр (рис.3.53 а); діаметром гіперболи є будь-яка пряма, що проходить через центр гіперболи (за винятком асимптот), або частина такої прямої (рис.3.53,6); діаметром параболи є будь-який промінь, що виходить з деякої точки параболи та колінеарної осі симетрії (рис.3.53,в).

Два діаметри, кожен з яких ділить навпіл усі хорди, паралельні іншому діаметру, називаються сполученими. На рис.3.53 напівжирними лініями зображені поєднані діаметри еліпса, гіперболи, параболи.

Дотичну до еліпсу (гіперболі, параболі) в точці K можна визначити як граничне положення паралельних сіючих M_1M_2 , коли точки M_1 і M_2 , залишаючись на лінії, що розглядається, прагнуть точки K . З цього визначення випливає, що дотична, паралельна хордам проходить через кінець діаметра, пов'язаного до цих хордів.

6. Еліпс, гіпербола та парабола мають, крім наведених вище, численні геометричні властивості та фізичні програми. Наприклад, рис.3.50 може бути ілюстрацією траєкторій руху космічних об'єктів, що у околиці центру F тяжіння.

- (Греч. parabole, від parabollo зближую). 1) алегорія, притча. 2) крива лінія, що походить від перерізу конуса площиною, паралельною до якої-небудь його виробляючої. 3) крива лінія, що утворюється під час польоту бомби, ядра тощо. п. Словник… … Словник іноземних слів російської мови

Іносказання, притча (Даль) Див. приклад … Словник синонімів

- (грец. parabole) пласка крива (2 го порядку). Парабола безліч точок М, відстані яких до цієї точки F (фокусу) і до цієї прямої D1D2 (директриси) рівні. У належній системі координат рівняння параболи має вигляд: y2=2px, де р=2OF. Великий Енциклопедичний словник

ПАРАБОЛА, математична крива, КОНІЧНЕ ПЕРЕЧЕННЯ, утворене точкою, що рухається таким чином, що її відстань до нерухомої точки, фокусу, дорівнює її відстані до нерухомої прямої, директриси. Парабола утворюється при розрізі конуса. Науково-технічний енциклопедичний словник

Жін., грец. алегорія, притча. | мат. крива характеристика, у складі конічних перерізів; розріз цукрової голови накіс, опостен (паралельно) протилежному боці. Парабольні обчислення. Параболічне прислів'я, іншомовність, іншомовність, переносне. Тлумачний словник Даля

парабола- ы, ж. parabole f. гр. parabole. 1. застар. Притча, алегорія. БАС 1. Француз, захочучи посміятися русаку, приїжджому до Парижа, запитав: Що таке парабол, фарибол і обол? Але той незабаром йому відповів: Параболе, є те, що ти не розумієш; Історичний словник галицизмів російської

ПАРАБОЛА- (1) незамкнута крива лінія 2-го порядку на площині, що є графіком функції у2 = 2рх, де параметр р. Параболу отримують при перетині кругового (див.) площиною, яка не проходить через його вершину і паралельна одній з його утворюють. Велика політехнічна енциклопедія

- (Від грецького parabole), плоска крива, відстані будь-якої точки M якої до даної точки F (фокуса) і до даної прямої D 1D1 (директриси) рівні (MD = MF) … Сучасна енциклопедія

ПАРАБОЛА, параболи, дружин. (грец. Parabole). 1. Крива другого порядку, що представляє конічний переріз прямого кругового конуса площиною, паралельною до однієї з утворюючих (мат.). || Шлях, що описується важким тілом (напр. кулею), кинутим під ... Тлумачний словник Ушакова

ПАРАБОЛА, ы, жен. У математиці: незамкнута крива, що складається з однієї гілки, що утворюється при перетині конічної поверхні площиною. | дод. параболічний, а, ое. Тлумачний словник Ожегова. С.І. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Тлумачний словник Ожегова

- «ПАРАБОЛА», Росія, 1992, кол., 30 хв. Документальне есе. Спроба зрозуміти містичну суть оповідей удмуртів маленького народу Поволжя. Режисер: Світлана Стасенко (див. Стасенко Світлана). Автор сценарію: Світлана Стасенко (див. СТАСЕНКО… … Енциклопедія кіно

Книги

Парабола план пошуку роботи мрії. Архетипи HR-менеджеров... , Марина Зоріна. Книга Марини Зоріної "Парабола задуму пошуку роботи мрії" заснована на реальному досвіді автора і наповнена корисною інформацією щодо закономірностей процесу внутрішнього рекрутменту.
Парабола мого життя, Тітта Руффо. Автор книги – найвідоміший італійський співак, соліст провідних оперних театрів світу. Спогади Тітта Руффо, написані жваво і безпосередньо, містять замальовки театрального життя першого…

Що таке парабола знають, мабуть, усі. А ось як її правильно, грамотно використовувати під час вирішення різних практичних завдань, розберемося нижче.

Спочатку позначимо основні поняття, що дає цьому терміну алгебра та геометрія. Розглянемо усі можливі види цього графіка.

Дізнаємося всі основні характеристики цієї функції. Зрозуміємо основи побудови кривої (геометрія). Навчимося знаходити вершину, інші основні величини графіка цього типу.

Дізнаємося: як правильно будується крива за рівнянням, на що треба звернути увагу. Подивимося основне практичне застосування цієї унікальної величини у житті.

Що таке парабола і як вона виглядає

Алгебра: під цим терміном розуміється графік квадратичної функції.

Геометрія: це крива другого порядку, що має низку певних особливостей:

Канонічне рівняння параболи

На малюнку зображено прямокутну систему координат (XOY), екстремум, напрямок гілок креслення функції вздовж осі абсцис.

Канонічне рівняння має вигляд:

y 2 = 2 * p * x,

де коефіцієнт p – фокальний параметр параболи (AF).

В алгебрі воно запишеться інакше:

y = a x 2 + b x + c (відомий шаблон: y = x 2).

Властивості та графік квадратичної функції

Функція має віссю симетрії та центром (екстремум). Область визначення – всі значення осі абсцис.

Область значень функції – (-∞, М) або (М, +∞) залежить від напрямку гілок кривої. Параметр М означає величину функції у вершині лінії.

Як визначити, куди спрямовані гілки параболи

Щоб знайти напрямок кривої такого типу з виразу, потрібно визначити знак перед першим параметром виразу алгебри. Якщо а 0 0, то вони спрямовані вгору. Якщо навпаки – вниз.

Як знайти вершину параболи за формулою

Знаходження екстремуму є основним етапом під час вирішення безлічі практичних завдань. Звичайно, можна відкрити спеціальні онлайн калькулятори, але краще це вміти робити самому.

Як її визначити? Є спеціальна формула. Коли b дорівнює 0, треба шукати координати цієї точки.

Формули знаходження вершини:

x 0 = -b/(2*a);
y0 = y(x0).

приклад.

Є функція у = 4 * x 2 + 16 * x - 25. Знайдемо вершини цієї функції.

Для такої лінії:

х = -16 / (2 * 4) = -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Отримуємо координати вершини (-2, -41).

Зміщення параболи

Класичний випадок, коли у квадратичній функції y = a x 2 + b x + c, другий та третій параметри дорівнюють 0, а = 1 – вершина знаходиться в точці (0; 0).

Рух осями абсцис або ординат обумовлено зміною параметрів b і c відповідно.Зсув лінії на площині буде здійснюватися рівно на кількість одиниць, чому дорівнює значення параметра.

приклад.

Маємо: b=2, c=3.

Це означає, що класичний вид кривої зрушить на 2 одиничні відрізки по осі абсцис і на 3 - по осі ординат.

Як будувати параболу за квадратним рівнянням

Школярам важливо засвоїти, як правильно накреслити параболу за заданими параметрами.

Аналізуючи вирази та рівняння, можна побачити наступне:

Точка перетину шуканої лінії з вектором ординат матиме значення, що дорівнює величині с.
Всі точки графіка (осі абсцис) будуть симетричні щодо основного екстремуму функції.

Крім того, місця перетину з ОХ можна знайти, знаючи дискримінант (D) такої функції:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Для цього потрібно прирівняти вираз до нуля.

Наявність коренів параболи залежить від результату:

D 0 , то х 1,2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D = 0, то х 1, 2 = -b/(2*a);
D 0 0, то немає точок перетину з вектором ОХ.

Отримуємо алгоритм побудови параболи:

визначити напрямок гілок;
знайти координати вершини;
знайти перетин з віссю ординат;
знайти перетин з віссю абсцис.

приклад 1.

Дана функція у = х 2 - 5 * х + 4. Необхідно побудувати параболу. Діємо за алгоритмом:

а = 1, отже, гілки спрямовані нагору;
координати екстремуму: х = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
з віссю ординат перетинається у значенні у = 4;
знайдемо дискримінант: D = 25 – 16 = 9;
шукаємо коріння:

Х 1 = (5 + 3)/2 = 4; (4, 0);
Х 2 = (5 – 3) / 2 = 1; (1, 0).

приклад 2.

Для функції у = 3 * х 2 - 2 * х - 1 потрібно побудувати параболу. Діємо за наведеним алгоритмом:

а = 3, отже, гілки спрямовані нагору;
координати екстремуму: х = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
з віссю у перетинатиметься у значенні у = -1;
знайдемо дискримінант: D = 4 + 12 = 16. Значить коріння:

Х 1 = (2 + 4)/6 = 1; (1; 0);
Х 2 = (2 – 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

За отриманими точками можна побудувати параболу.

Директриса, ексцентриситет, фокус параболи

З канонічного рівняння, фокус F має координати (p/2, 0).

Пряма АВ – директриса (свого роду хорда параболи певної довжини). Її рівняння: х = -р/2.

Ексцентриситет (константа) = 1.

Висновок

Ми розглянули тему, яку вивчають школярі у середній школі. Тепер ви знаєте, дивлячись на квадратичну функцію параболи, як знайти її вершину, в яку сторону будуть направлені гілки, чи є зміщення по осях, і, маючи алгоритм побудови, зможете накреслити її графік.