Що таке бісектриса кута трикутника? На це питання у деяких людей з мови зривається відомий щур, що бігає по кутах і ділить кут навпіл". Якщо відповідь повинна бути "з гумором", то, можливо, вона правильна. наукової точкизору відповідь на це питання мала б звучати приблизно так: починається у вершині кута і ділить останній на дві рівні частини". У геометрії ця фігура також сприймається як відрізок бісектриси до її перетину з протилежною стороною трикутника. Це не є помилковою думкою. А що ще відомо про бісектрису кута, крім її визначення?
Як і у будь-кого геометричного місцяточок, вона має свої ознаки. Перший - швидше, навіть ознака, а теорема, яку можна коротко висловити так: "Якщо бісектрисою розділити протилежну їй бік на дві частини, їх відношення буде відповідати відношенню сторін великого трикутника " .
Друга властивість, яку вона має: точка перетину бісектрис усіх кутів називається інцентром.
Третя ознака: бісектриси одного внутрішнього і двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в центрі однієї з трьох в неї вписаних кіл.
Четверта властивість бісектриси кута трикутника в тому, що якщо кожен із них дорівнює, то останній є рівнобедреним.
П'ята ознака також стосується рівнобедреного трикутникаі є головним орієнтиром його розпізнавання на кресленні з бісектрис, а саме: в рівнобедреному трикутнику вона одночасно виконує роль медіани і висоти.
Бісектриса кута може бути побудована за допомогою циркуля та лінійки:
Шосте правило свідчить, що неможливо побудувати трикутник за допомогою останніх тільки за наявних бісектрис, як і неможливо побудувати таким способом подвоєння куба, квадратуру кола і трисекцію кута. Власне, це і є всі властивості бісектриси кута трикутника.
Якщо ви уважно читали попередній абзац, то, можливо, вас зацікавило одне словосполучення. "Що таке трисекція кута?" - Напевно запитаєте ви. Трисектриса трохи схожа з бісектрисою, але якщо накреслити останню, то кут поділиться на дві рівні частини, а при побудові трисекції - на три. Природно, що бісектриса кута запам'ятовується легше, адже трисекцію у школі не навчають. Але для повноти картини розповім і про неї.
Трисектрису, як я вже сказала, не можна побудувати тільки циркулем і лінійкою, але її можливо створити за допомогою правил Фудзити і деяких кривих: равлики Паскаля, квадратриси, конхоїди Нікомеда, конічних перерізів,
Завдання трисекції кута досить просто вирішуються за допомогою невсису.
У геометрії існує теорема про трисектриси кута. Називається вона теорема Морлі (Морлея). Вона стверджує, що точки перетину трисектрис кожного кута, що знаходяться посередині, будуть вершинами.
Маленький чорний трикутник усередині великого завжди буде рівнобічним. Ця теорема була відкрита британським ученим Френком Морлі у 1904 році.
Ось скільки всього можна дізнатися про поділ кута: трисектриса та бісектриса кута завжди вимагають детальних пояснень. Адже тут було наведено безліч ще не розкритих мною визначень: равлик Паскаля, конхоїда Нікомеда тощо. Не вагайтеся, про них можна написати ще більше.
Знайдіть (в см 2) площу S фігури, зображеної на картатий папіріз розміром клітини 1 см 1 см (див. рис.). У відповіді запишіть. 11 Знайдемо радіуси кіл, які утворюють кільце. Я вибрала ці відрізки, т.к. їм знайдуться прямокутні трикутники з катетами-целыми числами. R r R 2 = R 2 = 17 1 см r 2 = r 2 = 2 S = (R 2 – r 2) S = (17 – 2) S = 15 3 х 1 0 х В Відповідь розділимо на Застосуємо теорему Піфагора.
Знайдіть (в см 2) площу S фігури, зображеної на картатому папері з розміром клітини 1 см 1 см (див. рис.). У відповіді запишіть. 22 Знайдемо радіуси кіл, які утворюють кільце. r = 2. R знайдемо із трикутника. R r R 2 = R 2 = 10 1 см S = (R 2 – r 2) S = (10 – 2 2) S = 6 3 х 1 0 х В 3 6 Відповідь розділимо на Застосуємо теорему Піфагора.
Знайдіть (в см 2) площу S фігури, зображеної на картатому папері з розміром клітини 1 см 1 см (див. рис.). У відповіді запишіть. 33 Знайдемо радіуси кіл, які утворюють кільце. Я вибрала ці відрізки, т.к. їм знайдуться прямокутні трикутники з катетами-целыми числами. R r R 2 = R 2 = 17 1 см r 2 = r 2 = 10 S = (R 2 – r 2) S = (17 – 10) S = 7 3 х 1 0 х В 3 7 Відповідь розділимо на Застосуємо теорему Піфагора.
Знайдіть (в см 2) площу S фігури, зображеної на картатому папері з розміром клітини 1 см 1 см (див. рис.). У відповіді запишіть. 44 Знайдемо радіуси кіл, які утворюють кільце. r = 3. R знайдемо із трикутника. R r R 2 = R 2 = 13 1 см S = (R 2 – r 2) S = (13 – 3 2) S = 4 3 х 1 0 х В 3 4 Відповідь розділимо на Застосуємо теорему Піфагора.
Знайдіть (в см 2) площу S фігури, зображеної на картатому папері з розміром клітини 1 см 1 см (див. рис.). У відповіді запишіть. 55 Знайдемо радіуси кіл, які утворюють кільце. r = 2. R знайдемо із трикутника. R r R 2 = R 2 = 5 1 см S = (R 2 – r 2) S = (5 – 2 2) S = 1 3 х 1 0 х В 3 1 Відповідь розділимо на Застосуємо теорему Піфагора.
Привіт, друзі!До складу ЄДІ з математикивходять завдання пов'язані зі знаходженням площі кола або його частин (сектору, кільцевих елементів). Фігура задається на аркуші у клітку. В одних завданнях масштаб клітини задається 1×1 сантиметр, в інших він не обумовлюється – дається площа елемента кола чи кола.
Завдання неглибокі, необхідно пам'ятати формулу площі кола, вміти візуально (по клітинах) визначити радіус кола, яку від кола становить виділений сектор. До речі, на блозі про площу сектора. Її зміст до вирішення поданих нижче завдань відношення не має, але для тих, хто хоче згадати формулу площі кола та площі сектора буде дуже корисним. Розглянемо завдання (взяті з відкритого банку завдань):
Знайдіть (в см 2) площу S фігури, зображеної на папері з картатістю з розміром клітини 1 см х 1 см. У відповіді запишіть S/л.
Для того, щоб площа фігури (кільця) необхідно від площі кола радіусом рівним 2 відняти площу кола з радіусом 1. Формула площі кола:
Значить,
Розділимо результат на число Пі та запишемо відповідь.
Відповідь: 3
На папері на картатий намальовані два кола. Площа внутрішнього коладорівнює 51. Знайдіть площу заштрихованої фігури.
Площу заштрихованої фігури можна знайти обчисливши різницю між площею більшого колата площею меншого. Визначимо скільки разів площа більшого відрізняється від площі меншого. Нехай менший радіус дорівнює R, тоді його площа дорівнює:
Радіус більшого кола вдвічі більше (видно по клітинах). Значить, його площа дорівнює:
Отримали, що його площа у 4 рази більша.
Отже, вона дорівнює 51∙4 = 204 см 2
Таким чином, площа заштрихованої фігури дорівнює 204 - 51 = 153 см2.
*Другий спосіб. Можна було вирахувати радіус малого кола, потім визначити радіус більшого. Далі знайти площу більшого та обчислити площу шуканої фігури.
На папері на карті намальовано два кола. Площа внутрішнього кола дорівнює 1. Знайдіть площу заштрихованої фігури.
Це завдання в ході рішення практично не відрізняється від попереднього, різниця полягає лише в тому, що кола мають різні центри.
Незважаючи на те, що видно, що радіус більшого кола у 2 рази більше радіусуменшого, раджу вам визначити розмір клітини змінної х (ікс).
Так само, як і в попереднього завдання, Визначимо у скільки разів площа більшого відрізняється від площі меншого. Виразимо площу меншого кола, тому що його радіус дорівнює 3х:
Виразимо площу більшого кола, тому що його радіус дорівнює 6х:
Як видно, площа більшого кола у 4 рази більша.
Отже, вона дорівнює 1∙4 = 4 см 2
Таким чином, площа заштрихованої фігури дорівнює 4 – 1 = 3 см2.
Відповідь: 3
На папері на карті намальовано два кола. Площа внутрішнього кола дорівнює 9. Знайдіть площу заштрихованої фігури.
Позначимо розмір клітини змінної х (ікс).
Визначимо скільки разів площа більшого кола відрізняється від площі меншого. Виразимо площу меншого кола. Оскільки його радіус дорівнює 3∙ х, то
Виразимо площу більшого кола. Так як його радіус дорівнює 4∙ х, то
Розділимо площу більшого на площу меншого:
Тобто площа більшого кола у 16/9 разу більше площіменшого, отже, вона дорівнює:
Таким чином, площа заштрихованої фігури дорівнює 16 - 9 = 7 см2.
*Другий спосіб.
Обчислимо радіус меншого кола. Його площа дорівнює 9, отже,
Знайдемо розмір клітини, а потім зможемо визначити радіус більшого кола. Розмір клітини дорівнює:
Так як радіус більшого кола відповідає 4 клітинам, то його радіус дорівнюватиме:
Визначаємо площу більшого кола:
Знаходимо різницю: 16 - 9 = 7 см 2
Відповідь: 7
На папері на карті намальовано коло площею 48. Знайдіть площу заштрихованого сектора.
У цьому завдання очевидно, що заштрихована частина становить половину від площі всього кола, тобто 24.
Відповідь: 24
Невеликий результат.
У завданнях пов'язаних із площею сектора кола необхідно вміти визначати яку частку він становить від площі кола. Це зробити не складно, тому що в подібних задачах центральний кутсектора кратний 30 чи 45.
У завданнях пов'язаних із знаходженням площ кільцевих елементів є різні шляхидля вирішення обидва показані у вирішених завданнях. Спосіб, в якому розмір клітини позначається через змінну х і потім визначаються радіуси більш універсальний.
Але найголовніше – не запам'ятовувати ці способи. Можна знайти і третій та четвертий шлях розв'язання. Головне – це знати формулу площі кола та вміти логічно міркувати.
На цьому все. Успіху вам!
PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.