\[(\Large(\text(Центральні та вписані кути)))]]
Визначення
Центральний кут – це кут, вершина якого лежить у центрі кола.
Вписаний кут - це кут, вершина якого лежить на колі.
Градусна міра дуги кола – це градусна міра центрального кута, що на неї спирається.
Теорема
Градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, яку він спирається.
Доведення
Доказ проведемо у два етапи: спочатку доведемо справедливість затвердження для випадку, коли одна із сторін вписаного кута містить діаметр. Нехай точка \(B\) - вершина вписаного кута \(ABC\) і \(BC\) - діаметр кола:
Трикутник \(AOB\) - рівнобедрений, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) - зовнішній, тоді \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), звідки \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Тепер розглянемо довільний вписаний кут (ABC). Проведемо діаметр кола \(BD\) з вершини вписаного кута. Можливі два випадки:
1) діаметр розрізав кут на два кути \(\angle ABD, \angle CBD\) (для кожного з яких теорема вірна за доведеним вище, отже вірна і для вихідного кута, який є сумою цих двох і означає дорівнює напівсумі дуг, на які вони спираються, тобто дорівнює половині дуги, яку він спирається). Мал. 1.
2) діаметр не розрізав кут на два кути, тоді у нас з'являється ще два нових вписаних кута \(\angle ABD, \angle CBD\) , у яких сторона містить діаметр, отже, для них теорема вірна, тоді вірна і для вихідного кута (який дорівнює різниці цих двох кутів, отже, дорівнює напіврізності дуг, на які вони спираються, тобто дорівнює половині дуги, на яку він спирається). Мал. 2.
Наслідки
1. Вписані кути, що спираються на ту саму дугу, рівні.
2. Вписаний кут, що спирається на півколо, прямий.
3. Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу.
\[(\Large(\text(Дотична до кола)))\]
Визначення
Існує три типи взаємного розташування прямого та кола:
1) пряма (a) перетинає коло у двох точках. Така пряма називається січною. У цьому випадку відстань (d) від центру кола до прямої менше радіуса (R) кола (рис. 3).
2) пряма (b) перетинає коло в одній точці. Така пряма називається дотичною, які загальна точка \(B\) – точкою дотику. У цьому випадку (d = R) (рис. 4).
Теорема
1. Дотична до кола перпендикулярна радіусу, проведеному в точку торкання.
2. Якщо пряма проходить через кінець радіуса кола і перпендикулярна до цього радіусу, то вона є дотичною до кола.
Слідство
Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні.
Доведення
Проведемо до кола з точки \(K\) дві дотичні \(KA\) і \(KB\):
Значить, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) як радіуси. Прямокутні трикутники \(\triangle KAO\) і \(\triangle KBO\) рівні по катету та гіпотенузі, отже, \(KA=KB\) .
Слідство
Центр кола \(O\) лежить на бісектрисі кута \(AKB\), утвореного двома дотичними, проведеними з однієї точки \(K\).
\[(\Large(\text(Теореми, пов'язані з кутами)))\]
Теорема про вугілля між січними
Кут між двома січними, проведеними з однієї точки, дорівнює напіврізності градусних заходів більшої і меншої дуг, що ними висікаються.
Доведення
Нехай \(M\) - точка, з якої проведено дві січучі як показано на малюнку:
Покажемо, що \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\angle DAB\) – зовнішній кут трикутника \(MAD\), тоді \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), звідки \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\)але кути \(\angle DAB\) і \(\angle MDA\) – вписані, тоді \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), що й потрібно було довести.
Теорема про вугілля між хордами, що перетинаються.
Кут між двома хордами, що перетинаються, дорівнює півсумі градусних заходів дуг, що ними висікаються: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]
Доведення
\(\angle BMA = \angle CMD\) як вертикальні.
З трикутника \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
Але \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\), звідки укладаємо, що \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ smile\over(CD)).\]
Теорема про вугілля між хордою та дотичною
Кут між дотичною і хордою, що проходить через точку дотику, дорівнює половині градусної міри дуги, що стягується хордою.
Доведення
Нехай пряма \(a\) стосується кола в точці \(A\) , \(AB\) - хорда цього кола, \(O\) - її центр. Нехай пряма, що містить (OB), перетинає (a) в точці (M). Доведемо, що \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
Позначимо \(\angle OAB = \alpha\). Так як \(OA\) та \(OB\) - радіуси, то \(OA = OB\) і \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Таким чином, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
Оскільки \(OA\) – радіус, проведений у точку торкання, то \(OA\perp a\) , тобто \(\angle OAM = 90^\circ\) , отже, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Теорема про дуги, що стягуються рівними хордами
Рівні хорди стягують рівні дуги, менші півкола.
І навпаки: рівні дуги стягуються рівними хордами.
Доведення
1) Нехай (AB = CD). Доведемо, що менші півкола дуги .
По трьох сторонах, отже, \(\angle AOB=\angle COD\) . Але т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) - центральні кути, що спираються на дуги \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)відповідно, то \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Якщо \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), то \(\triangle AOB=\triangle COD\)по обидва боки \(AO=BO=CO=DO\) і кут між ними \(\angle AOB=\angle COD\) . Отже, і (AB = CD) .
Теорема
Якщо радіус ділить хорду навпіл, він їй перпендикулярний.
Вірно і зворотне: якщо радіус перпендикулярний хорді, то точкою перетину він ділить її навпіл.
Доведення
1) Нехай \ (AN = NB \). Доведемо, що (OQ perp AB) .
Розглянемо \(\triangle AOB\): він рівнобедрений, т.к. \ (OA = OB \) - Радіуси кола. Т.к. \ (ON \) - Медіана, проведена до основи, то вона також є і висотою, отже, \ (ON \ perp AB \) .
2) Нехай (OQ perp AB). Доведемо, що (AN = NB) .
Аналогічно \(\triangle AOB\) - рівнобедрений, \(ON\) - висота, отже, \(ON\) - медіана. Отже, (AN = NB) .
\[(\Large(\text(Теореми, пов'язані з довжинами відрізків)))\]
Теорема про створення відрізків хорд
Якщо дві хорди кола перетинаються, то добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків іншої хорди.
Доведення
Нехай хорди (AB) і (CD) перетинаються в точці (E).
Розглянемо трикутники \(ADE\) та \(CBE\). У цих трикутниках кути \(1\) і \(2\) рівні, оскільки вони вписані і спираються на ту саму дугу \(BD\) , а кути \(3\) і \(4\) рівні як вертикальні. Трикутники \(ADE\) і (CBE\) подібні (за першою ознакою подоби трикутників).
Тоді \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), Звідки \ (AE \ cdot BE = CE \ cdot DE \) .
Теорема про дотичну та січну
Квадрат відрізка дотичної дорівнює добутку січе на її зовнішню частину.
Доведення
Нехай дотична проходить через точку \(M\) і стосується кола в точці \(A\). Нехай січна проходить через точку \(M\) і перетинає коло в точках \(B\) і \(C\) так що \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Розглянемо трикутники \(MBA\) і \(MCA\): \(\angle M\) - загальний, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). За теоремою про вугілля між дотичною та січною, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Таким чином, трикутники \(MBA\) і \(MCA\) подібні по двох кутах.
З подоби трикутників \(MBA\) та \(MCA\) маємо: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\)що рівносильно \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Слідство
Твір січної, проведеної з точки \(O\), на її зовнішню частину не залежить від вибору січної, проведеної з точки \(O\).
Сьогодні ми розглянемо черговий тип завдань 6 - цього разу з колом. Багато учнів не люблять їх та вважають складними. І даремно, оскільки такі завдання вирішуються елементарноякщо знати деякі теореми. Або не наважуються взагалі, якщо їх не знати.
Перш ніж говорити про основні властивості, дозвольте нагадати визначення:
Вписаний кут — той, у якого вершина лежить на самому колі, а сторони висікають на цьому колі хорду.
Центральний кут це будь-який кут з вершиною в центрі кола. Його сторони теж перетинають це коло і висікають у ньому хорду.
Отже, поняття вписаного та центрального кута нерозривно пов'язані з колом та хордами всередині неї. А тепер основне твердження:
Теорема. Центральний кут завжди вдвічі більше вписаного, що спирається на ту саму дугу.
Незважаючи на простоту твердження, існує цілий клас завдань 6, які вирішуються за допомогою нього — і ніяк інакше.
Завдання. Знайдіть гострий вписаний кут, що спирається на хорду, що дорівнює радіусу кола.
Нехай AB - хорда, що розглядається, O - центр кола. Додаткова побудова: OA та OB – радіуси кола. Отримаємо:
Розглянемо трикутник ABO. У ньому AB = OA = OB — усі сторони дорівнюють радіусу кола. Тому трикутник ABO є рівностороннім, і всі кути в ньому по 60°.
Нехай M - вершина вписаного кута. Оскільки кути O і M спираються на ту саму дугу AB , вписаний кут M в 2 рази менше центрального кута O . Маємо:
M = O : 2 = 60: 2 = 30
Завдання. Центральний кут на 36° більше вписаного кута, що спирається на ту саму дугу кола. Знайдіть вписаний кут.
Введемо позначення:
- AB - хорда кола;
- Точка O – центр кола, тому кут AOB – центральний;
- Точка C - вершина вписаного кута ACB.
Оскільки ми шукаємо вписаний кут ACB, позначимо його ACB = x. Тоді центральний кут AOB дорівнює x + 36. З іншого боку, центральний кут у 2 рази більший за вписаний. Маємо:
AOB = 2 · ACB;
x + 36 = 2 · x;
x = 36.
Ось ми і знайшли вписаний кут AOB - він дорівнює 36 °.
Коло - це кут в 360 °
Прочитавши підзаголовок, знаючі читачі, мабуть, зараз скажуть: "Фу!" Порівнювати коло з кутом не зовсім коректно. Щоб зрозуміти, про що мова, погляньте на класичне тригонометричне коло:
Навіщо ця картинка? А до того, що повний оборот – це кут 360 градусів. І якщо поділити його, скажімо, на 20 рівних частин, то розмір кожної з них буде 360: 20 = 18 градусів. Саме це потрібно для вирішення завдання B8.
Точки A, B і C лежать на колі і ділять її на три дуги, градусні заходи яких відносяться як 1:3:5. Знайдіть більший кут трикутника ABC.
Для початку знайдемо градусний захід кожної дуги. Нехай менша їх дорівнює x . На малюнку ця дуга позначена AB. Тоді решту дуг — BC і AC — можна виразити через AB: дуга BC = 3x; AC = 5x. У сумі ці дуги дають 360 градусів:
AB+BC+AC=360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.
Тепер розглянемо велику дугу AC, яка містить точку B. Ця дуга, як і відповідний центральний кут AOC дорівнює 5x = 5 · 40 = 200 градусів.
Кут ABC - найбільший з усіх кутів трикутника. Це вписаний кут, що спирається на ту саму дугу, що центральний кут AOC . Значить, кут ABC у 2 рази менший за AOC . Маємо:
ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100
Це і буде градусний захід більшого кута в трикутнику ABC.
Коло, описане навколо прямокутного трикутника
Цю теорему багато хто забуває. А дарма, адже деякі завдання B8 без неї взагалі не вирішуються. Точніше, вирішуються, але з таким обсягом обчислень, що ви швидше заснете, ніж дійдете відповіді.
Теорема. Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, лежить на середині гіпотенузи.
Що випливає з цієї теореми?
- Середина гіпотенузи рівновіддалена від усіх вершин трикутника. Це прямий наслідок теореми;
- Медіана, проведена до гіпотенузи, ділить вихідний трикутник на два рівнобедрених. Саме це потрібно для вирішення завдання B8.
У трикутнику ABC провели медіану CD. Кут C дорівнює 90 °, а кут B - 60 °. Знайдіть кут ACD.
Оскільки кут C дорівнює 90°, трикутник ABC прямокутний. Виходить, що CD - медіана, проведена до гіпотенузи. Отже, трикутники ADC та BDC – рівнобедрені.
Зокрема, розглянемо трикутник ADC. У ньому AD = CD. Але в рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні — див. «Завдання B8: відрізки та кути в трикутниках». Тому кут ACD = A .
Отже, залишилося з'ясувати, чому дорівнює кут A . Для цього знову звернемося до вихідного трикутника ABC. Позначимо кут A = x. Оскільки сума кутів у будь-якому трикутнику дорівнює 180°, маємо:
A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
х = 30.
Очевидно, останнє завдання можна вирішити по-іншому. Наприклад, легко довести, що трикутник BCD не просто рівнобедрений, а рівносторонній. Значить, кут BCD дорівнює 60 градусів. Звідси кут ACD дорівнює 90 − 60 = 30 градусів. Як бачите, можна використовувати різні рівнобедрені трикутники, але відповідь завжди буде та сама.
Планіметрія - це розділ геометрії, що вивчає властивості плоских фігур. До них відносяться не тільки всім відомі трикутники, квадрати, прямокутники, а й прямі та кути. У планіметрії також є такі поняття, як кути в колі: центральний і вписаний. Але що вони означають?
Що таке центральний кут?
Щоб зрозуміти, що таке центральний кут, потрібно дати визначення кола. Коло - це сукупність всіх точок, рівновіддалених від цієї точки (центру кола).
Дуже важливо відрізняти її від кола. Потрібно запам'ятати, що коло - це замкнута лінія, а коло - це частина площини, обмежена нею. У коло може бути вписаний багатокутник чи кут.
Центральний кут - це такий кут, вершина якого збігається з центром кола, а сторони перетинають коло у двох точках. Дуга, яку кут обмежує точками перетину, називається дугою, яку спирається даний кут.
Розглянемо приклад №1.
На малюнку кут AOB - центральний, тому що вершина кута та центр кола - це одна точка О. Він спирається на дугу AB, яка не містить точку С.
Чим вписаний кут відрізняється від центрального?
Однак, крім центральних, існують також вписані кути. У чому їхня відмінність? Як і центральний, вписаний у коло кут спирається певну дугу. Але його вершина не збігається з центром кола, а лежить на ньому.
Наведемо такий приклад.
Кут ACB називається кутом, вписаним у коло з центром у точці О. Точка З належить колу, тобто лежить у ньому. Кут спирається на дугу АВ.
Для того щоб успішно справлятися із завданнями з геометрії, недостатньо вміти розрізняти вписаний та центральний кути. Як правило, для їх вирішення потрібно точно знати, як знайти центральний кут у колі, та вміти обчислити його значення у градусах.
Отже, центральний кут дорівнює градусній мірі дуги, яку він спирається.
На малюнку кут АОВ спирається на дугу АВ, що дорівнює 66 °. Значить, кут АОВ також дорівнює 66 °.
Таким чином, центральні кути, що спираються на рівні дуги, дорівнюють.
На малюнку дуга DC дорівнює дузі AB. Отже, кут АОВ дорівнює куту DOC.
Може здатися, що кут, вписаний в коло, дорівнює центральному кутку, що спирається на ту саму дугу. Однак, це груба помилка. Насправді навіть просто подивившись на креслення і порівнявши ці кути між собою, можна побачити, що їх градусні заходи матимуть різні значення. Тож чому дорівнює вписаний в коло кут?
Градусна міра вписаного кута дорівнює одній другій від дуги, яку він спирається, чи половині центрального кута, якщо вони спираються однією дугу.
Розглянемо приклад. Кут АСВ спирається на дугу, що дорівнює 66°.
Значить, кут АСВ = 66 °: 2 = 33 °
Розглянемо деякі наслідки цієї теореми.
- Вписані кути, якщо вони спираються на ту саму дугу, хорду або рівні дуги, рівні.
- Якщо вписані кути спираються на одну хорду, але їх вершини лежать по різні боки від неї, сума градусних мір таких кутів становить 180 °, так як в цьому випадку обидва кути спираються на дуги, градусна міра яких в сумі становить 360 ° (все коло) , 360 °: 2 = 180 °
- Якщо вписаний кут спирається на діаметр даного кола, його градусна міра дорівнює 90 °, так як діаметр стягує дугу рівну 180 °, 180 °: 2 = 90 °
- Якщо центральний і вписаний кути в колі спираються однією дугу чи хорду, то вписаний кут дорівнює половині центрального.
Де можуть зустрітися завдання на цю тему? Їх види та способи вирішення
Так як коло та його властивості - це один з найважливіших розділів геометрії, планіметрії зокрема, то вписаний і центральний кути в колі - це тема, яка широко та докладно вивчається у шкільному курсі. Завдання, присвячені їх властивостям, зустрічаються в основному державному екзамені (ОДЕ) та єдиному державному іспиті (ЄДІ). Як правило, для вирішення цих завдань слід знайти кути на колі в градусах.
Кути, що спираються на одну дугу
Цей тип завдань є, мабуть, одним із найлегших, тому що для його вирішення потрібно знати всього дві прості властивості: якщо обидва кути є вписаними і спираються на одну хорду, вони рівні, якщо один з них – центральний, то відповідний вписаний кут дорівнює його половині. Однак при їх вирішенні потрібно бути вкрай уважним: іноді буває складно помітити цю властивість, і учні при вирішенні таких найпростіших завдань заходять у глухий кут. Розглянемо приклад.
Завдання №1
Дано коло з центром у точці О. Кут АОВ дорівнює 54 °. Знайти градусний захід кута АСВ.
Це завдання вирішується на одну дію. Єдине, що потрібно для того, щоб знайти відповідь на неї швидко - помітити, що дуга, на яку спираються обидва кути - загальна. Побачивши це, можна використовувати вже знайоме властивість. Кут АСВ дорівнює половині кута АОВ. Значить,
1) АОВ = 54 °: 2 = 27 °.
Відповідь: 54 °.
Кути, що спираються на різні дуги одного кола
Іноді за умов завдання безпосередньо не прописана величина дуги, яку спирається шуканий кут. Щоб її обчислити, потрібно проаналізувати величину даних кутів і зіставити їх із відомими властивостями кола.
Завдання 2
У колі з центром у точці О кут АОС дорівнює 120 °, а кут АОВ - 30 °. Знайдіть кут ВАС.
Для початку варто сказати, що можливе вирішення цього завдання за допомогою властивостей рівнобедрених трикутників, проте для цього потрібно виконати більшу кількість математичних дій. Тому тут буде наведено розбір рішення за допомогою властивостей центральних та вписаних кутів у колі.
Отже, кут АОС спирається на дугу АС і є центральним, отже, дуга АС дорівнює куту АОС.
Так само кут АОВ спирається на дугу АВ.
Знаючи це і градусну міру всього кола (360 °), можна легко знайти величину дуги ВС.
НД = 360 ° - АС - АВ
НД = 360 ° - 120 ° - 30 ° = 210 °
Вершина кута САВ, точка А, лежить на колі. Отже, кут САВ є вписаним і дорівнює половині дуги СВ.
Кут САВ = 210 °: 2 = 110 °
Відповідь: 110°
Завдання, засновані на співвідношенні дуг
Деякі завдання взагалі не містять даних про величини кутів, тому їх потрібно шукати, виходячи лише з відомих теорем та властивостей кола.
Завдання 1
Знайдіть кут, вписаний у коло, який спирається на хорду, що дорівнює радіусу даного кола.
Якщо подумки провести лінії, що з'єднують кінці відрізка з центром кола, то вийде трикутник. Розглянувши його, можна побачити, що це лінії є радіусами кола, отже, всі сторони трикутника рівні. Відомо, що всі кути рівностороннього трикутника дорівнюють 60°. Значить, дуга АВ, що містить вершину трикутника, дорівнює 60 °. Звідси знайдемо дугу АВ, яку спирається шуканий кут.
АВ = 360 ° - 60 ° = 300 °
Кут АВС = 300 °: 2 = 150 °
Відповідь: 150°
Завдання 2
У колі з центром у точці О дуги співвідносяться як 3:7. Знайдіть менший вписаний кут.
Для розв'язання позначимо одну частину за Х, тоді одна дуга дорівнює 3Х, а друга відповідно 7Х. Знаючи, що градусна міра кола дорівнює 360 °, складемо рівняння.
3Х + 7Х = 360 °
За умовою потрібно знайти менший кут. Вочевидь, що й величина кута прямо пропорційна дузі, яку він спирається, то шуканий (менший) кут відповідає дузі, що дорівнює 3Х.
Значить, менший кут дорівнює (36 ° * 3): 2 = 108 °: 2 = 54 °
Відповідь: 54°
У колі з центром у точці О кут АОВ дорівнює 60°, а довжина меншої дуги - 50. Обчисліть довжину більшої дуги.
Щоб обчислити довжину більшої дуги, потрібно скласти пропорцію - як менша дуга належить до більшої. Для цього обчислимо величину обох дуг у градусах. Менша дуга дорівнює куту, що на неї спирається. Її градусний захід становитиме 60°. Велика дуга дорівнює різниці градусної міри кола (вона дорівнює 360 ° незалежно від інших даних) і меншої дуги.
Велика дуга дорівнює 360 ° - 60 ° = 300 °.
Оскільки 300°: 60° = 5, то більша дуга в 5 разів більша за меншу.
Велика дуга = 50*5 = 250
Отже, звичайно, існують і інші підходи до вирішення подібних завдань, але вони так чи інакше засновані на властивостях центральних та вписаних кутів, трикутників та кола. Для того, щоб успішно їх вирішувати, необхідно уважно вивчати креслення та зіставляти його з даними завдання, а також вміти застосовувати свої теоретичні знання на практиці.
Центральний кут- Це кут, вершина якого знаходиться в центрі кола.
Вписаний кут- Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають її.
На малюнку - центральні та вписані кути, а також їх найважливіші властивості.
Отже, величина центрального кута дорівнює кутовий величині дуги, яку він спирається. Отже, центральний кут величиною 90 градусів спиратиметься на дугу, рівну 90°, тобто кола. Центральний кут, що дорівнює 60°, спирається на дугу 60 градусів, тобто на шосту частину кола.
Величина вписаного кута вдвічі менша від центрального, що спирається на ту ж дугу.
Також для вирішення завдань нам знадобиться поняття «хорда».
Рівні центральні кути спираються на рівні хорди.
1. Чому дорівнює вписаний кут, що спирається на діаметр кола? Відповідь дайте у градусах.
Вписаний кут, що спирається на діаметр, – прямий.
2. Центральний кут на 36° більше гострого вписаного кута, що спирається на ту саму дугу кола. Знайдіть вписаний кут. Відповідь дайте у градусах.
Нехай центральний кут дорівнює х, а вписаний кут, що спирається на ту ж дугу, дорівнює у.
Ми знаємо, що х = 2у.
Звідси 2у = 36 + у,
у = 36.
3. Радіус кола дорівнює 1. Знайдіть величину тупого вписаного кута, що спирається на хорду, що дорівнює . Відповідь дайте у градусах.
Нехай хорда АВ дорівнює. Тупий вписаний кут, що спирається на цю хорду, позначимо α.
У трикутнику АОВ сторони АВ і ОВ дорівнюють 1, сторона АВ дорівнює . Нам уже траплялися такі трикутники. Вочевидь, що трикутник АОВ - прямокутний і рівнобедрений, тобто кут АОВ дорівнює 90°.
Тоді дуга АСВ дорівнює 90 °, а дуга АКВ дорівнює 360 ° - 90 ° = 270 °.
Вписаний кут α спирається на дугу АКВ і дорівнює половині кутової величини цієї дуги, тобто 135 °.
Відповідь: 135.
4. Хорда AB поділяє коло на дві частини, градусні величини яких відносяться як 5:7. Під яким кутом видно цю хорду з точки C, що належить меншій дузі кола? Відповідь дайте у градусах.
Головне в цьому завданні - правильне креслення та розуміння умови. Як ви розумієте питання: «Під яким кутом хорда видно з точки С?»
Уявіть, що ви сидите в точці С, і вам необхідно бачити все, що відбувається на хорді АВ. Так, начебто хорда АВ - це екран у кінотеатрі:-)
Очевидно, що знайти потрібно кут АСВ.
Сума двох дуг, на які хорда АВ ділить коло, дорівнює 360 °, тобто
5х + 7х = 360 °
Звідси х = 30°, тоді вписаний кут АСВ спирається на дугу, рівну 210°.
Величина вписаного кута дорівнює половині кутової величини дуги, яку він спирається, отже, кут АСВ дорівнює 105°.
Центральний кут- це кут утворений двома радіусами кола. Приклад центрального кута - кут AOB, ВОС, СОЄ тощо.
Про центральному вугілліі дузі, укладеної між його сторонами, кажуть, що вони відповідаютьодин одному.
1. якщо центральні кути дугирівні.
2. якщо центральні кутине рівні, то більшому з них відповідає велика дуга.
Нехай AOB та COD два центральних кута,рівних чи нерівних. Повернемо сектор AOB навколо центру в напрямку, вказаному стрілкою, настільки, щоб радіус OA сумісвся з OC.
Значить, ці дуги будуть рівні.
Якщо ж центральні кутине рівні, то радіус OB піде не по OD, а по якомусь іншому напрямку, наприклад, по OE або OF. У тому й іншому випадку більшому кутку, мабуть, відповідає і велика дуга.
Теорема, доведена нами для одного кола, залишається вірною для рівних кілтому що такі кола нічим один від одного не відрізняються, крім свого становища.
Зворотні пропозиціїтак само буде вірним . В одному колі або в рівних колах:
1. якщо дугирівні, то й відповідні їм центральні кутирівні.
2. якщо дугине рівні, то більшій з них відповідає більший центральний кут.
У одному колі чи рівних колах центральні кути ставляться, як відповідні їм дуги. Або перефразувавши отримуємо, що центральний кут пропорційнийвідповідної йому дуги.