Як визначаються координати вектора? §3

Координати вектора

Величина називається абсцисою вектора, а число - його ординатою

Як утворюється базис на площині

Як утворюється базис у просторі

Базисом векторного простору називається впорядкована максимальна лінійно незалежна система векторів із цього простору.

Система векторів a1, a2, . . . , an з векторного простору V називається системою утворюють цього простору, якщо будь-який вектор з V лінійно виражається через вектори a1, a2, . . . , an.

Впорядкована система векторів є базисом векторного простору V тоді і лише тоді, коли вона є лінійно незалежною системою, що утворюють цей простір.

Що називається декартовим базисом

Якщо вектори e1, e2, e3 взаємно ортогональні і за модулем рівні одиниці, всі вони називаються ортами прямокутної декартової системи координат, а сам базис ортонормованим декартовим базисом.

Сформулювати властивості координат векторів у декартовому базисі

Що називається координатами точки

Відстань точки від координатних площин називають координатами точки.
Відстань АА 1 точки від площини П 1 називають аплікати точки і позначають у А, відстань АА 2 точки від площини П 2 - ординатою точки і позначають - у А, відстань АА 3 точки від площини П 3 - абсцисою точки і позначають х А.
Очевидно, координата точки аплікату z A є висота АА 1 координата точки ординату у A - глибина АА 2 координата точки абсцис х А - широта АА 3 .

Як обчислюються координати вектора, якщо відомі координати його кінця і початку

Як вираховувати відстань між двома точками якщо відомі їхні координати

Сама знаєш що АВ (x1-x2; y1-y2)
Відстань між точками є довжиною вектора АВ.

Що таке напрямні косинуси

Напрямні косинуси вектор– це косинуси кутів, які вектор утворює із позитивними півосями координат.

Напрямні косинуси однозначно задають напрямок вектора.

Що називається проекцією вектора на вісь, довести властивості проекцій.

Проекція векторана вісь l() називається довжина його компоненти на вісь l, взята зі знаком «плюс», якщо напрям компоненти збігається з напрямком осі l, і зі знаком «мінус», якщо напрямок компоненти протилежний напрямку осі.

Якщо = , то вважають = .

Теорема I Проекція вектора на вісь l дорівнює добутку його модуля на косинус кута між цим вектором та віссю l.

Доведення. Так як вектор = вільний, то можна припустити, що початок його лежить на осі l(Рис. 34).

Якщо кут гострий, то напрям компоненти = , вектора збігається з напрямком осі l(Рис 34,а).

У цьому випадку маємо = + = . Якщо ж кут (Рис. 34, б) , той напрямок компоненти = вектора протилежно напрямку осі l.Тоді отримуємо = = cos( - ) = сos

Те саме – на вектор.

Що таке скалярний добуток векторів

Скалярним творомдвох ненульових векторіва і b називається число, що дорівнює добутку довжин цих векторівна косинус кута між ними.

Сформулювати умову ортогональності векторів

Умова ортогональності векторів. a і b ортогональні (перпендикулярні), якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Довести властивості скалярного добутку векторів

Властивості скалярного твору векторів

Скалярний добуток вектора самого на себе завжди більший або дорівнює нулю:

Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектор дорівнює нульовому вектору:

a · a = 0<=>a = 0

Скалярний добуток вектора самого себе дорівнює квадрату його модуля:

Операція скалярного множення комунікативна:

Якщо скалярний добуток двох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори ортогональні:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0<=>a ┴ b

(αa) · b = α(a · b)
Операція скалярного множення дистрибутивна:

(a + b) · c = a · c + b · c

Вивести вираз скалярного твору через координати

Сформулювати властивості векторного твору

ТІЛЬКИ 1 ФОРМУЛУ

Зверху це визначник.

Аналітична геометрія

1. Довести теореми про загальне рівняння прямої на площині

2. Провести дослідження загального рівняння прямої на площині

3. Вивести рівняння прямої на площині з кутовим коефіцієнтом та рівняння прямої у відрізках на осях

4. Вивести канонічне рівняння прямої на площині, записати параметричні рівняння, вивести рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки

5. Як визначають кут між прямими на площині, якщо вони задані канонічними рівняннями чи рівняннями з кутовим коефіцієнтом?

6. Вивести умови паралельності, збігу та перпендикулярності прямих на площині

7. Отримати формулу для обчислення відстані від точки до прямої на площині

8. Довести теореми про загальне рівняння площини

9. Сформулювати та довести теорему про взаємне розташування пари площин

10. Провести дослідження загального рівняння площини

11. Отримати рівняння площини у відрізках та рівняння площини, що проходить через дві задані точки

12. Отримати формулу для обчислення відстані від точки до площини

13. Як обчислюється кут між площинами?

14. Вивести умови паралельності та перпендикулярності двох площин

15. Записати загальний вигляд рівнянь прямої у просторі, отримати канонічний вид рівнянь прямої у просторі

16. Вивести параметричні рівняння прямий у просторі, а також прямий, що проходить через дві точки простору.

17. Як визначаться кут між двома прямими у просторі? Записати умови паралельності та перпендикулярності прямих у просторі

18. Як визначається кут між прямою та площиною? Записати умови перпендикулярності та паралельності прямої та площини

19. Отримати умову приналежності двох прямих однієї площини

Математичний аналіз

1. Що таке функція, які методи її завдання?

2. Що таке парна та непарна функції, як будувати їх графіки

3. Що таке періодична та зворотна функції, як будувати їх графіки

4. Зобразити у графіках показову та логарифмічну функції при a>1, a<1.

5. Що таке гармонійна залежність, який вигляд її графіка?

6. Зобразити графіки y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx

7. Що таке проста функція. Графіки основних елементарних функцій

8. Як будувати графіки виду y = cf (x), y = f (cx), y = f (x) + c, y = f (x + c)

9. Що таке числова послідовність, які методи її завдання?

10. Що таке монотонна та обмежена послідовність?

11. Що називається межею послідовності? Записати визначення того, що це число не є межею даної послідовності

12. Сформулювати властивості меж послідовностей

13. Довести дві основні властивості послідовностей, що сходяться.

14. Яка з них дає необхідну умову збіжності?

15. Сформулювати теорему, яка дає достатню умову збіжності послідовності

16. Довести будь-яку з властивостей меж послідовностей

17. Що таке нескінченно мала (велика) послідовність?

18. Сформулювати властивості нескінченно малих послідовностей

19. Що називається межею функції?

20. Сформулювати властивості меж функцій

21. Що називається одностороннім межею?

22. Записати першу чудову межу і вивести її слідство

23. Записати другу чудову межу та вивести її слідства

24. Які функції називають нескінченно малою, обмеженою, нескінченно великою?

25. Сформулювати властивості нескінченно малих функцій, довести будь-яку з них

26. Які поняття вводяться для порівняння нескінченно малих функцій, дати їх визначення

27. Яка функція називається безперервною у заданій точці?

28. Сформулювати критерій безперервності та охарактеризувати види розривів

29. Що таке похідна функції у фіксованій точці?

30. Що називається односторонніми похідними?

31. Що таке диференціал функції і як він пов'язаний із збільшенням функції?

32. Фізичний зміст першої та другої похідних

33. Що таке похідна функція від функції?

34. Перерахувати властивості похідних, довести два з них (u+v)" та (uv)"

35. Записати таблицю похідних, довести будь-які дві формули

36. Який геометричний зміст похідної та диференціала?

37. Вивести рівняння дотичної та нормалі до графіка функції

38. Довести теорему про похідну складну функцію

39. Вивести похідну зворотної функції (навести приклад її знаходження)

40. Обґрунтувати теорему про обчислення похідних

41. Довести всі теореми про середнє для функцій, що диференціюються

42. Сформулювати та довести правило Лопіталя

43. Які функції називаються зростаючими та спадними на інтервалі?

44. Довести теореми про зв'язок похідної із зростанням функції

45. Що таке точки екстремуму?

46. Обґрунтувати необхідну умову екстремуму

47. Вивести два види достатньої умови екстремуму

48. Як знаходити найбільше та найменше значення функції на відрізку?

49. Що називається опуклою та увігнутою функцією?

50. Як дослідити функцію на опуклість та увігнутість? Що називається точками перегину?

51. Асимптоти - дати визначення, пояснити способи знаходження

52. Вивести формулу знаходження похідної (першої та другої) параметрично заданої функції

53. Що таке вектор-функція, її годограф та його механічний зміст?

54. Охарактеризувати за величиною та напрямом швидкість та прискорення матеріальної точки при рівномірному русі по колу

55. Охарактеризувати за величиною та напрямом швидкість та прискорення матеріальної точки при нерівномірному русі по колу

56. Отримати похідні функції y=e x , y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=lnx, y=arcsinx, y=arccosx

Що називається координатами вектора

Координати вектораназиваються проекції та даного вектора на осі та відповідно:

Величина називається абсцисою вектора, а число - його ординатою. Те, що вектор має координати і записується наступним чином: .

Прямокутна система координат

Щоб визначити поняття координат точок, нам необхідно ввести систему координат, в якій ми визначатимемо її координати. Одна й та сама точка у різних системах координат може мати різні координати. Тут ми розглядатимемо прямокутну систему координат у просторі.

Візьмемо у просторі точку $O$ і введемо для неї координати $(0,0,0)$. Назвемо її початком системи координат. Проведемо через неї три взаємно перпендикулярні осі $Ox$, $Oy$ і $Oz$, як на малюнку 1. Ці осі будуть називатися осями абсцис, ординат та аплікат відповідно. Залишилося лише ввести масштаб на осях (поодинокий відрізок) – прямокутна система координат у просторі готова (рис. 1)

Малюнок 1. Прямокутна система координат у просторі. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт

Координати точки

Тепер розберемо, як визначають у системі координати будь-якої точки. Візьмемо довільну точку $M$ (рис. 2).

Побудуємо на координатних осях прямокутний паралелепіпед, отже точки $O$ і $M$ протилежні його вершини (рис. 3).

Малюнок 3. Побудова прямокутного паралелепіпеда. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт

Тоді точка $M$ матиме координати $(X,Y,Z)$, де $X$ – значення числової осі $Ox$, $Y$ – значення числової осі $Oy$, а $Z$ – значення на числової осі $Oz$.

Приклад 1

Необхідно знайти рішення наступного завдання: написати координати вершин паралелепіпеда, зображеного малюнку 4.

Рішення.

Точка $O$ початок координат, отже, $O=(0,0,0)$.

Крапки $Q$, $N$ і $R$ лежать на осях $Ox$, $Oz$ і $Oy$, відповідно, значить

$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1.5)$, $R=(0,2.5,0)$

Точки $S$, $L$ і $M$ лежать у площинах $Oxz$, $Oxy$ і $Oyz$, відповідно, значить

$S=(2,0,1.5)$, $L=(2,2.5,0)$, $R=(0,2.5,1.5)$

Крапка $P$ має координати $P=(2,2.5,1.5)$

Координати вектора за двома точками та формула знаходження

Щоб дізнатися, як знайти вектор за координатами двох точок, необхідно розглянути введену раніше систему координат. У ній від точки $O$ у напрямку осі $Ox$ відкладемо одиничний вектор $\overline(i)$, у напрямку осі $Oy$ - одиничний вектор $\overline(j)$, а одиничний вектор $\overline(k) $ потрібно направляти по осі $ Oz $.

Для того щоб ввести поняття координат вектора, введемо наступну теорему (тут її доказ ми не розглядатимемо).

Теорема 1

Довільний вектор у просторі може бути розкладений за трьома будь-якими векторами, які не лежать в одній площині, причому коефіцієнти в такому розкладі будуть єдиним чином визначені.

Математично це виглядає так:

$\overline(δ)=m\overline(α)+n\overline(β)+l\overline(γ)$

Так як вектори $ \ overline (i) $, $ \ overline (j) $ і $ \ overline (k) $ побудовані на координатних осях прямокутної системи координат, то вони, очевидно, не будуть належати одній площині. Значить будь-який вектор $\overline(δ)$ в цій системі координат, за теоремою 1, може набувати наступного вигляду

$\overline(δ)=m\overline(i)+n\overline(j)+l\overline(k)$ (1)

де $n,m,l∈R$.

Визначення 1

Три вектори $\overline(i)$, $\overline(j)$ і $\overline(k)$ будуть називатися координатними векторами.

Визначення 2

Коефіцієнти перед векторами $\overline(i)$, $\overline(j)$ і $\overline(k)$ у розкладанні (1) будуть називатися координатами цього вектора у заданій нами системі координат, тобто

$ \ overline (δ) = (m, n, l) $

Лінійні операції над векторами

Теорема 2

Теорема про суму Координати суми будь-якого числа векторів визначаються сумою їх відповідних координат.

Доведення.

Будемо доводити цю теорему для двох векторів. Для 3-х і більше векторів підтвердження будується так. Нехай $\overline(α)=(α_1,α_2,α_3)$, $\overline(β)=(β_1,β_2,β_3)$.

Ці вектори можна записати в такий спосіб

$\overline(α)=α_1\overline(i)+ α_2\overline(j)+α_3\overline(k)$, $\overline(β)=β_1\overline(i)+ β_2\overline(j)+ β_3\overline(k)$

Знаходження координат вектора досить часто зустрічається умова багатьох завдань у математиці. Вміння знаходити координати вектора допоможе вам в інших, складніших завданнях зі схожою тематикою. У цій статті ми розглянемо формулу знаходження координат вектора та кілька завдань.

Знаходження координат вектора у площині

Що таке площину? Площиною вважається двовимірний простір, простір з двома вимірами (вимір x і вимір y). Наприклад, папір – площину. Поверхня столу – площина. Якась необ'ємна фігура (квадрат, трикутник, трапеція) теж є площиною. Таким чином, якщо за умови завдання потрібно знайти координати вектора, що лежить на площині, відразу згадуємо про x та y. Знайти координати такого вектора можна так: Координати AB вектора = (xB – xA; yB – xA). З формули видно, що з координат кінцевої точки потрібно відібрати координати початкової точки.

Приклад:

Вектор CD має початкові (5; 6) та кінцеві (7; 8) координати.
Знайти координати вектора.
Використовуючи вищезгадану формулу, отримаємо такий вираз: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
Таким чином, координати CD вектор = (2; 2).
Відповідно, x координата дорівнює двом, y координата - теж двом.

Знаходження координат вектора у просторі

Що таке місце? Простір це вже тривимірне вимір, де дано 3 координати: x, y, z. Якщо потрібно знайти вектор, який лежить у просторі, формула практично не змінюється. Додається лише одна координата. Для знаходження вектора потрібно від координат кінця відібрати координати початку. AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)

Приклад:

Вектор DF має початкові (2; 3; 1) та кінцеві (1; 5; 2).
Застосовуючи вищезазначену формулу, отримаємо: Координати вектора DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
Пам'ятайте, значення координат може бути негативним, у цьому немає жодної проблеми.

Як знайти координати вектора онлайн?

Якщо з якихось причин вам не хочеться знаходити координати самостійно, можна скористатися калькулятором онлайн . Для початку виберіть розмірність вектора. Розмірність вектора відповідає за його виміри. Розмірність 3 означає, що вектор перебуває у просторі, розмірність 2 – що у площині. Далі вставте координати точок у відповідні поля та програма визначить вам координати самого вектора. Все дуже просто.

Натиснувши кнопку, сторінка автоматично прокрутиться вниз і видасть вам правильну відповідь разом з етапами рішення.

Рекомендовано добре вивчити цю тему, оскільки поняття вектора зустрічається у математиці, а й у фізиці. Студенти факультету Інформаційних Технологій також вивчають тему векторів, але на складнішому рівні.

Нарешті у мене дісталися руки до великої та довгоочікуваної теми. аналітичної геометрії. Спочатку трохи про цей розділ вищої математики. Напевно, вам зараз згадався курс шкільної геометрії з численними теоремами, їх доказами, кресленнями тощо. Що приховувати, зненавиджений і часто малозрозумілий предмет для значної частки учнів. Аналітична геометрія, як не дивно, може здатися більш цікавою та доступною. Що означає прикметник «аналітична»? На думку відразу приходять два штамповані математичні обороти: «графічний метод рішення» та «аналітичний метод рішення». Графічний метод, Зрозуміло, пов'язані з побудовою графіків, креслень. Аналітичнийж методпередбачає вирішення завдань переважноза допомогою алгебраїчних процесів. У зв'язку з цим алгоритм розв'язання практично всіх завдань аналітичної геометрії простий і прозорий, часто досить акуратно застосувати потрібні формули – і відповідь готова! Ні, звичайно, зовсім без креслень тут не обійдеться, до того ж для кращого розуміння матеріалу я намагатимусь наводити їх понад необхідність.

Відкривається курс уроків з геометрії не претендує на теоретичну повноту, він орієнтований рішення практичних завдань. Я включу у свої лекції тільки те, що, на мій погляд, є важливим у практичному плані. Якщо вам потрібна повна довідка по якомусь підрозділу, рекомендую наступну цілком доступну літературу:

1) Річ, з якою, без жартів, знайомо кілька поколінь: Шкільний підручник з геометрії, автори – Л.С. Атанасян та Компанія. Ця вішалка шкільної роздягальні вже витримала 20 (!) перевидань, що, звичайно, не є межею.

2) Геометрія у 2 томах. Автори Л.С. Атанасян, Базильов В.Т. Це література для вищої школи, вам знадобиться перший том. З мого поля зору можуть випадати завдання, що рідко зустрічаються, і навчальний посібник надасть неоціненну допомогу.

Обидві книги можна завантажити безкоштовно в Інтернеті. Крім того, можете використовувати мій архів із готовими рішеннями, який можна знайти на сторінці Завантажити приклади з вищої математики.

З інструментальних засобів пропоную знову ж таки власну розробку – програмний комплексз аналітичної геометрії, який значно спростить життя та заощадить масу часу.

Передбачається, що читач знайомий з базовими геометричними поняттями та фігурами: точка, пряма, площина, трикутник, паралелограм, паралелепіпед, куб і т.д. Бажано пам'ятати деякі теореми, хоча б теорему Піфагора, привіт другорічникам)

Нині ж ми послідовно розглянемо: поняття вектора, дії з векторами, координати вектора. Далі рекомендую прочитати найважливішу статтю Скалярний добуток векторів, а також і Векторний та змішаний твір векторів. Не зайвою буде і локальне завдання - Розподіл відрізка в цьому відношенні. На основі вищезгаданої інформації можна освоїти рівняння прямої на площиніз найпростішими прикладами рішеньщо дозволить навчитися вирішувати завдання з геометрії. Також корисні такі статті: Рівняння площини у просторі, Рівняння прямої у просторі, Основні завдання на пряму та площину, інші розділи аналітичної геометрії. Природно, принагідно розглядатимуть типові завдання.

Концепція вектор. Вільний вектор

Спочатку повторимо шкільне визначення вектора. Векторназивається спрямованийвідрізок, для якого вказано його початок та кінець:

У разі початком відрізка є точка , кінцем відрізка – точка . Сам вектор позначений через . Напряммає важливе значення, якщо переставити стрілку в інший кінець відрізка, то вийде вектор , і це вже зовсім інший вектор. Поняття вектора зручно ототожнювати з рухом фізичного тіла: погодьтеся, зайти у двері інституту або вийти з дверей інституту – це різні речі.

Окремі точки площини, простору зручно вважати так званим нульовим вектором. У такого вектора кінець і початок збігаються.

!!! Примітка: Тут і далі можете вважати, що вектори лежать в одній площині або вважати, що вони розташовані в просторі - суть матеріалу, що викладається, справедлива і для площини і для простору.

Позначення:Багато хто відразу звернув увагу на паличку без стрілочки в позначенні і сказав, там же зверху ще стрілку ставлять! Правильно, можна записати зі стрілкою: , але допустима і запис , який я використовуватиму надалі. Чому? Мабуть, така звичка склалася з практичних міркувань, надто різнокаліберними та волохатими виходили мої стрілки у школі та ВНЗ. У навчальній літературі іноді взагалі не морочаться клинописом, а виділяють букви жирним шрифтом: , маючи на увазі тим самим, що це вектор.

То була стилістика, а зараз про способи запису векторів:

1) Вектори можна записати двома великими латинськими літерами:
і так далі. При цьому перша літера обов'язковопозначає точку-початок вектора, а друга літера - точку-кінець вектора.

2) Вектори також записують маленькими латинськими літерами:
Зокрема, наш вектор можна для стислості перепозначити маленькою латинською літерою.

Довжиноюабо модулемненульового вектора називається довжина відрізка. Довжина нульового вектора дорівнює нулю. Логічно.

Довжина вектора позначається знаком модуля: ,

Як знаходити довжину вектора ми дізнаємося (або повторимо, для кого як) трохи згодом.

Це були елементарні відомості про вектор, знайомі всім школярам. В аналітичній геометрії розглядається так званий вільний вектор.

Якщо дуже просто – вектор можна відкласти від будь-якої точки:

Такі вектори ми звикли називати рівними (визначення рівних векторів буде дано нижче), але чисто з математичної точки зору це ОДИН І ТОЙ Ж ВЕКТОР або вільний вектор. Чому вільний? Тому що в ході вирішення завдань ви можете «прилаштувати» той чи інший «шкільний» вектор у БУДЬ-ЯКУ, потрібну вам точку площини чи простору. Це дуже крута властивість! Уявіть спрямований відрізок довільної довжини та напрямки – його можна «клонувати» нескінченну кількість разів і в будь-якій точці простору, по суті, він існує СКРІЗЬ. Є така студентська приказка: Кожному лектору в ж**у по вектору. Адже не просто дотепна рима, все майже коректно – спрямований відрізок можна влаштувати і туди. Але не поспішайте радіти, частіше страждають самі студенти.

Отже, вільний вектор– це безліч однакових спрямованих відрізків. Шкільне визначення вектора, дане на початку параграфа: «Вектором називається спрямований відрізок…», має на увазі конкретнийспрямований відрізок, взятий з цієї множини, який прив'язаний до певної точки площини або простору.

Слід зазначити, що з погляду фізики поняття вільного вектора у випадку некоректно, і точка застосування має значення. Дійсно, прямий удар однакової сили по носі чи по лобі вистачить розвивати мій безглуздий приклад спричиняє різні наслідки. Втім, невільнівектори зустрічаються і в курсі вышмата (не ходіть туди:)).

Дії з векторами. Колінеарність векторів

У шкільному курсі геометрії розглядається ряд дій та правил із векторами: додавання за правилом трикутника, додавання за правилом паралелограма, правило різниці векторів, множення вектора на число, скалярний добуток векторів та ін.Для затравки повторимо два правила, які особливо актуальні на вирішення завдань аналітичної геометрії.

Правило складання векторів за правилом трикутників

Розглянемо два довільні ненульові вектори і :

Потрібно знайти суму даних векторів. Через те, що всі вектори вважаються вільними, відкладемо вектор від кінцявектор :

Сумою векторів і є вектор. Для кращого розуміння правила в нього доцільно вкласти фізичний зміст: нехай деяке тіло зробило шлях вектором, а потім вектором. Тоді сума векторів є вектором результуючого шляху з початком у точці відправлення і кінцем у точці прибуття. Аналогічне правило формулюється для будь-якої кількості векторів. Як кажуть, тіло може пройти свій шлях сильно підданим по зигзагу, а може і на автопілоті - по результуючого вектора суми.

До речі, якщо вектор відкласти початкувектора , то вийде еквівалентне правило паралелограмадодавання векторів.

Спочатку про колінеарність векторів. Два вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Грубо кажучи, йдеться про паралельні вектори. Але стосовно них завжди використовують прикметник «колінеарні».

Уявіть два колінеарні вектори. Якщо стрілки даних векторів спрямовані в однаковому напрямку, такі вектори називаються співспрямованими. Якщо стрілки дивляться в різні боки, вектори будуть протилежно спрямовані.

Позначення:колінеарність векторів записують звичним значком паралельності: при цьому можлива деталізація: (вектори сонаправлены) або (вектори спрямовані протилежно).

Творомненульового вектора число є такий вектор , довжина якого дорівнює , причому вектори і сонаправлены при і протилежно спрямовані при .

Правило множення вектора на число легко зрозуміти за допомогою малюнка:

Розбираємось детальніше:

1) Напрямок. Якщо множник негативний, то вектор змінює напрямокна протилежне.

2) Довжина. Якщо множник укладено в межах або , то довжина вектора зменшується. Так, довжина вектора вдвічі менша за довжину вектора . Якщо множник за модулем більше одиниці, то довжина вектора збільшуєтьсяв раз.

3) Зверніть увагу, що всі вектори колінеарніпри цьому один вектор виражений через інший, наприклад, . Назад теж справедливоЯкщо один вектор можна виразити через інший, то такі вектори обов'язково колінеарні. Таким чином: якщо ми множимо вектор на число, то вийде колінеарний(По відношенню до вихідного) вектор.

4) Вектори спрямовані. Вектори також співспрямовані. Будь-який вектор першої групи протилежно спрямований стосовно будь-якого вектора другої групи.

Які вектори є рівними?

Два вектори рівні, якщо вони спрямовані і мають однакову довжину. Зауважте, що сонаправленность передбачає колінеарність векторів. Визначення буде неточним (надлишковим), якщо сказати: «Два вектори рівні, якщо вони колінеарні, сонаправлены і мають однакову довжину».

З погляду поняття вільного вектора, рівні вектори – це той самий вектор, що вже йшлося у попередньому параграфі.

Координати вектора на площині та у просторі

Першим пунктом розглянемо вектори на площині. Зобразимо декартову прямокутну систему координат і від початку координат відкладемо одиничнівектори та :

Вектори та ортогональні. Ортогональні = Перпендикулярні. Рекомендую потихеньку звикати до термінів: замість паралельності та перпендикулярності використовуємо відповідно слова колінеарністьі ортогональність.

Позначення:ортогональність векторів записують звичним значком перпендикулярності, наприклад: .

Вектори, що розглядаються, називають координатними векторамиабо ортами. Дані вектори утворюють базисна площині. Що таке базис, думаю, інтуїтивно багатьом зрозуміло, більш детальну інформацію можна знайти у статті Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів.Простими словами, базис і початок координат задають всю систему - це своєрідний фундамент, на якому вирує повне і насичене геометричне життя.

Іноді побудований базис називають ортонормованимбазисом площини: «орто» – оскільки координатні вектори ортогональні, прикметник «нормований» означає одиничний, тобто. Довжина векторів базису дорівнює одиниці.

Позначення:базис зазвичай записують у круглих дужках, усередині яких у суворій послідовностіперераховуються базисні вектори, наприклад: . Координатні вектори не можнапереставляти місцями.

Будь-якийвектор плоскості єдиним чиномвиражається у вигляді:
, де - числаякі називаються координатами векторау цьому базисі. А сам вираз називається розкладання векторапо базису .

Вечеря подана:

Почнемо з першої літери алфавіту: . По кресленню добре видно, що з розкладанні вектора по базису використовуються щойно розглянуті:
1) правило множення вектора на число: і;
2) складання векторів за правилом трикутника: .

А тепер подумки відкладіть вектор від будь-якої іншої точки площини. Цілком очевидно, що його розкладання «невідступно слідуватиме за ним». Ось вона, свобода вектора - вектор "все носить при собі". Ця властивість, зрозуміло, справедлива будь-якого вектора. Смішно, що самі базисні (вільні) вектори не обов'язково відкладати від початку координат, один можна намалювати, наприклад, ліворуч унизу, а інший – праворуч вгорі, і від цього нічого не зміниться! Щоправда, робити так не потрібно, оскільки викладач теж виявить оригінальність і намалює вам зараховане в несподіваному місці.

Вектори , ілюструють в точності правило множення вектора на число, вектор направлений з базисним вектором , вектор спрямований протилежно до базисного вектора . У даних векторів одна з координат дорівнює нулю, прискіпливо можна записати так:

А базисні вектори, до речі, так: (по суті вони виражаються самі через себе).

І наостанок: , . До речі, що таке віднімання векторів, і чому я не розповів про правило віднімання? Десь у лінійній алгебрі, вже не пам'ятаю де, я зазначав, що віднімання – це окремий випадок складання. Так, розкладання векторів «де» і «е» спокійнісінько записуються як суми: , . Прослідкуйте за кресленням, як чітко у цих ситуаціях працює старе добре складання векторів за правилом трикутника.

Розглянуте розкладання виду іноді називають розкладанням вектора у системі орт(Тобто в системі одиничних векторів). Але це не єдиний спосіб запису вектора, поширений наступний варіант:

Або зі знаком рівності:

Самі базисні вектори записуються так: і

Тобто, у круглих дужках зазначаються координати вектора. У практичних завданнях використовуються усі три варіанти запису.

сумнівався, чи говорити, але все-таки скажу: координати векторів переставляти не можна. Суворо на першому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору , суворо на другому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору. Справді, і – це два різних вектори.

З координатами на площині розібралися. Тепер розглянемо вектори в тривимірному просторі, тут практично так само! Тільки додасться ще одна координата. Тривимірні креслення виконувати важко, тому обмежусь одним вектором, який для простоти відкладу від початку координат:

Будь-якийвектор тривимірного простору можна єдиним способомрозкласти по ортонормованому базису:
, де - Координати вектора (числа) в даному базисі.

Приклад з картинки: . Давайте подивимося, як тут працюють правила дій із векторами. По-перше, множення вектора на число: (червона стрілка), (зелена стрілка) та (малінова стрілка). По-друге, перед вами приклад додавання кількох, у разі трьох, векторов: . Вектор суми починається у вихідній точці відправлення (початок вектора) і втикається у підсумкову точку прибуття (кінець вектора).

Всі вектори тривимірного простору, природно, теж вільні, спробуйте подумки відкласти вектор від будь-якої іншої точки, і ви зрозумієте, що його розкладання залишиться при ньому.

Аналогічно плоскому випадку, крім запису широко використовуються версії зі дужками: або .

Якщо в розкладанні відсутній один (або два) координатні вектори, то замість них ставляться нулі. Приклади:
вектор (прискіпливо ) - запишемо;
вектор (прискіпливо ) - запишемо;
вектор (прискіпливо ) – запишемо.

Базисні вектори записуються так:

Ось, мабуть, і всі мінімальні теоретичні знання, необхідні вирішення завдань аналітичної геометрії. Можливо забагато термінів та визначень, тому чайникам рекомендую перечитати та осмислити цю інформацію ще раз. Та й будь-якому читачеві буде корисно іноді звертатися до базового уроку для кращого засвоєння матеріалу. Колінеарність, ортогональність, ортонормований базис, розкладання вектора – ці та інші поняття часто використовуватимуться надалі. Зазначу, що матеріалів сайту недостатньо для складання теоретичного заліку, колоквіуму з геометрії, тому що всі теореми (до того ж без доказів) я акуратно шифрую – на шкоду науковому стилю викладу, але плюсом до вашого розуміння предмета. Для отримання докладної теоретичної довідки прошу слідувати на уклін до професора Атанасяна.

А ми переходимо до практичної частини:

Найпростіші завдання аналітичної геометрії.
Дії з векторами в координатах

Завдання, які будуть розглянуті, дуже бажано навчитися вирішувати на повному автоматі, а формули запам'ятати напам'ять, навіть спеціально не запам'ятовувати, самі запам'ятаються =) Це дуже важливо, оскільки на найпростіших елементарних прикладах базуються інші завдання аналітичної геометрії, і буде прикро витрачати додатковий час на поїдання пішаків. Не потрібно застібати верхні гудзики на сорочці, багато речей знайомі вам зі школи.

Виклад матеріалу піде паралельним курсом – і площині, і простору. З тієї причини, що всі формули самі побачите.

Як знайти вектор по двох точках?

Якщо дані дві точки площини і , то вектор має такі координати:

Якщо дані дві точки простору і , то вектор має такі координати:

Тобто, з координат кінця векторапотрібно відняти відповідні координати початку вектора.

Завдання:Для тих самих точок запишіть формули знаходження координат вектора. Формули наприкінці уроку.

Приклад 1

Дано дві точки площини і . Знайти координати вектора

Рішення:за відповідною формулою:

Як варіант, можна було використати наступний запис:

Естети вирішать і так:

Особисто я звик до першої версії запису.

Відповідь:

За умовою не потрібно будувати креслення (що характерно для завдань аналітичної геометрії), але з метою пояснення деяких моментів чайникам, не полінуюся:

Обов'язково потрібно розуміти відмінність між координатами точок та координатами векторів:

Координати точок- Це звичайні координати у прямокутній системі координат. Відкладати крапки на координатній площині, гадаю, всі вміють ще з 5-6 класу. Кожна точка має суворе місце на площині, і переміщати їх кудись не можна.

Координати ж вектора- Це його розкладання по базису, в даному випадку. Будь-який вектор є вільним, тому за бажання чи необхідності ми легко можемо відкласти його від будь-якої іншої точки площини. Цікаво, що векторів можна взагалі будувати осі, прямокутну систему координат, потрібен лише базис, у разі ортонормований базис площини .

Записи координат точок і координат векторів начебто схожі: , а сенс координатабсолютно різний, і вам слід добре розуміти цю різницю. Ця відмінність, зрозуміло, справедлива і для простору.

Пані та панове, набиваємо руку:

Приклад 2

а) Дані точки та . Знайти вектори та .
б) Дані точки та . Знайти вектори та .
в) Дані точки та . Знайти вектори та .
г) Дані точки. Знайти вектори .

Мабуть, достатньо. Це приклади для самостійного рішення, постарайтеся ними не ігнорувати, окупиться;-). Креслення робити не потрібно. Рішення та відповіді наприкінці уроку.

Що важливо під час вирішення завдань аналітичної геометрії?Важливо бути гранично уважним, щоб не припуститися майстерної помилки «два плюс два і нулю». Відразу перепрошую, якщо де помилився =)

Як знайти довжину відрізка?

Довжина, як зазначалося, позначається знаком модуля.

Якщо дані дві точки площини і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Якщо дані дві точки простору і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Примітка: Формули залишаться коректними, якщо переставити місцями відповідні координати: і , але стандартніший перший варіант

Приклад 3

Рішення:за відповідною формулою:

Відповідь:

Для наочності виконаю креслення

Відрізок – це не вектор, і переміщати його кудись, звичайно, не можна. Крім того, якщо ви виконаєте креслення в масштабі: 1 од. = 1 см (дві зошити), то отриману відповідь можна перевірити звичайною лінійкою, безпосередньо вимірявши довжину відрізка.

Так, рішення коротке, але в ньому є ще кілька важливих моментів, які хотілося б пояснити:

По-перше, у відповіді ставимо розмірність: «одиниці». В умові не сказано, ЩО це, міліметри, сантиметри, метри чи кілометри. Тому математично грамотним рішенням буде загальне формулювання: «одиниці» – скорочено «од.».

По-друге, повторимо шкільний матеріал, який корисний не тільки для розглянутого завдання:

Зверніть увагу на важливий технічний прийом – винесення множника з-під кореня. В результаті обчислень у нас вийшов результат і хороший математичний стиль передбачає винесення множника з-під кореня (якщо це можливо). Докладніше процес виглядає так: . Звичайно, залишити відповідь у вигляді не буде помилкою - але недоліком точно і вагомим аргументом для причіпки з боку викладача.

Ось інші поширені випадки:

Нерідко під коренем виходить досить велика кількість, наприклад. Як бути у таких випадках? На калькуляторі перевіряємо, чи число ділиться на 4: . Так, розділилося націло, таким чином: . А може, число ще раз вдасться поділити на 4? . Таким чином: . У числа остання цифра непарна, тому розділити втретє на 4 явно не вдасться. Пробуємо поділити дев'ять: . В результаті:
Готово.

Висновок:якщо під коренем виходить невитягне націло число, то намагаємося винести множник з-під кореня - на калькуляторі перевіряємо, чи число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 і т.д.

У ході вирішення різних завдань коріння зустрічаються нерідко, завжди намагайтеся витягувати множники з-під кореня, щоб уникнути нижчої оцінки і непотрібних проблем з доопрацюванням ваших рішень за зауваженням викладача.

Давайте заразом повторимо зведення коренів у квадрат та інші ступені:

Правила дій зі ступенями у загальному вигляді можна знайти у шкільному підручнику з алгебри, але, гадаю, з наведених прикладів все чи майже все вже ясно.

Завдання для самостійного вирішення з відрізком у просторі:

Приклад 4

Дано крапки і . Знайти довжину відрізка.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Як знайти довжину вектора?

Якщо дано вектор площини, його довжина обчислюється за такою формулою.

Якщо дано вектор простору, то його довжина обчислюється за формулою .

Досі вважалося, що вектори розглядаються у просторі. Починаючи з цього моменту, вважатимемо, що всі вектори розглядаються на площині. Будемо також вважати, що на площині задана Декартова система координат (навіть якщо про це не йдеться), що представляє дві взаємно перпендикулярні числові осі – горизонтальна вісь та вертикальна вісь . Тоді кожній точці
на площині ставиться у відповідність пара чисел
які є її координатами. Назад, кожній парі чисел
відповідає точка площини така, що пара чисел
є її координатами.

З елементарної геометрії відомо, що якщо на площині є дві точки
і
, то відстань
між цими точками виражається через їх координати за формулою

Нехай на площині задано Декартову систему координат. Орт осі будемо позначати символом , А орт осі символом . Проекцію довільного вектора будемо позначати символом
на вісь символом
.

, а проекцію на вісь Нехай

- Довільний вектор на площині. Має місце така теорема.

Теорема 22. Для будь-якого вектора

на площині існує пара чисел
,
.

При цьому

Доведення. Нехай дано вектор . Відкладемо вектор від початку координат. Позначимо через вектора вектор-проекцію вектор від початку координат. Позначимо через вектора , а через

. Тоді, як видно з малюнка 21, має місце рівність

Відповідно до теореми 9,
,
Позначимо

. Тоді отримуємо Отже, доведено, що для будь-якого вектора
існує пара чисел

таких, що справедлива рівність При іншому розташуванні вектора

щодо осей доказ аналогічний.

Визначення. і Пара чисел
таких, що називаються координатами вектора . Число називається іксовою координатою, а число

щодо осей доказ аналогічний.

ігроковою координатою.
Пара ортів осей координат називається ортонормованим базисом на площині. Подання будь-якого вектора
у вигляді називається розкладанням вектора
.

по базису

Безпосередньо з визначення координат вектора слід, що й координати векторів рівні, то рівні самі вектори. Справедливим є також і зворотне твердження.

Теорема.

При цьому

Рівні вектори мають рівні координати.
і
,
.

. Доведемо, що

З рівності векторів випливає, що
Припустимо, що
.

, а
Тоді
і значить
, Що не так. Аналогічно, якщо
, але
, то
.
і
Звідси

, Що не так. Зрештою, якщо припустити, що і , то отримуємо, що
,
Це означає, що вектори

коллінеареи. Але це не так, оскільки вони перпендикулярні. Отже, залишається, що і Проекцію довільного , що й потрібно було довести. Отже, координати вектора повністю визначають сам вектор. Знаючи координати
і
можна побудувати сам вектор , побудувавши вектори
та склавши їх. Тому часто сам вектор
.

позначають у вигляді пари його координат та пишуть

. Такий запис означає, що

При цьому

, а проекцію на вісь
Безпосередньо з визначення координат вектора випливає наступна теорема. При складанні векторів їх координати складаються, а при множенні вектора число його координати множаться цього число. Записуються ці твердження у вигляді
, причому початок вектора
має координати

При цьому

, а проекцію на вісь
, а кінець вектора є точка вектора . Тоді координати вектора пов'язані з координатами його кінців такими співвідношеннями та нехай вектор-проекція вектора

сонаправлений з віссю (Див. рис. 22). Тоді т

як довжина відрізка на числовій осі дорівнює координаті правого кінця мінус координата лівого кінця. Якщо вектор

протиспрямований осі

(як на Мал. 23), то
Мал. 23.
Якщо

, то в цьому випадку
і тоді отримуємо Таким чином, за будь-якого розташування вектора

щодо осей координат його координата

дорівнює

Дані координати кінців вектора
:
. Знайти координати вектора
.

Рішення.

У наступній теоремі наводиться вираз довжини вектора через його координати.

Теорема 15.

, а проекцію на вісь
. Тоді

При цьому

, а проекцію на вісь і - вектор-проекції вектор на осі і відповідно. Тоді, як показано при доказі теореми 9, має місце рівність

При цьому вектори і взаємно перпендикулярні. При складанні цих векторів за правилом трикутника одержуємо прямокутний трикутник (див. мал. 24).

За теоремою Піфагора маємо

Отже

дорівнює

.Знайти .

Введемо поняття напрямних косінусів вектора.

щодо осей доказ аналогічний.

Нехай вектор
складає з віссю кут , а з віссю кут (див. мал. 25).

Отже,

Тому що для будь-якого вектора має місце рівність

Де - орт вектора тобто вектор одиничної довжини, сонаправленный з вектором , але

Вектор визначає напрямок вектора .
і
Його координати називаються напрямними косинусами вектора

. Напрямні косинуси вектора можна виразити через його координати за формулами

Має місце співвідношення

До цього моменту в цьому параграфі вважалося, що всі вектори розташовуються в одній площині. Тепер зробимо узагальнення для векторів у просторі. ,і .

Вважатимемо, що у просторі задана Декартова система координат з осями ,і Орти осей ,і будемо позначати символами

відповідно (Мал. 26).

Можна показати, що всі поняття та формули, які були отримані для векторів на площині, узагальнюються

Мал. 26.
векторів у просторі. Трійка векторів

, а проекцію на вісь ,і - вектор-проекції вектор називається ортонормованим базисом у просторі. ,і на осі

відповідно. Тоді

В свою чергу

Якщо позначити

То отримуємо рівність ,і Коефіцієнти перед базовими векторами називаються координатами вектора . Таким чином, для будь-якого вектора ,,у просторі існує трійка чисел , званих координатами вектора

Вектор таких, що для цього вектора справедливе уявлення
у цьому випадку також позначають у вигляді

. При цьому координати вектора дорівнюють проекціям цього вектора на координатні осі. де - Кут між вектором ,і віссю - Кут між вектором ,- Кут між вектором - Кут між вектором .

- Кут між вектором Довжина вектора

виражається через його координати за формулою
,
і
Справедливі твердження, що рівні вектори мають рівні координати, при складанні векторів їх координати складаються, а при множенні вектора на число його координати множаться на це число. називаються напрямними косинусами вектора