Як знайти координати відрізка. Як обчислити довжину відрізка за заданими координатами

Відрізкомназивають частину прямої лінії, що складається з усіх точок цієї лінії, які розташовані між даними двома точками - їх називають кінцями відрізка.

Розглянемо перший приклад. Нехай у площині координат заданий двома точками якийсь відрізок. У даному випадкуйого довжину ми можемо визначити, застосовуючи теорему Піфагора.

Отже, у системі координат накреслимо відрізок із заданими координатами його кінців. (x1; y1) і (x2; y2) . На осі X і Y з кінців відрізка опустимо перпендикуляри. Відзначимо червоним кольором відрізки, що є на осі координат проекціями від вихідного відрізка. Після цього перенесемо паралельно до кінців відрізків відрізки-проекції. Отримуємо трикутник (прямокутний). Гіпотенузою у даного трикутникастане сам відрізок АВ, яке катетами є перенесені проекції.

Обчислимо довжину даних проекцій. Отже, на вісь Y довжина проекції дорівнює y2-y1 . а на вісь Х довжина проекції дорівнює x2-x1 . Застосуємо теорему Піфагора: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . В даному випадку |AB| є довжиною відрізка.

Якщо використовувати дану схемудля обчислення довжини відрізка, можна навіть відрізок і будувати. Тепер вирахуємо, яка довжина відрізка з координатами (1;3) і (2;5) . Застосовуючи теорему Піфагора, отримуємо: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . А це означає, що довжина нашого відрізка дорівнює 5:1/2 .

Розглянемо наступний спосіб знаходження довжини відрізка. Для цього нам необхідно знати координати двох точок у будь-якій системі. Розглянемо даний варіант, Застосовуючи двовимірну Декартову систему координат.

Отже, у двомірній системі координат дано координати крайніх точоквідрізка. Якщо проведемо прямі лінії через ці точки, вони мають бути перпендикулярними до осі координат, то отримаємо прямокутний трикутник. Початковий відрізок буде гіпотенузою отриманого трикутника. Катети трикутника утворюють відрізки, їхня довжина дорівнює проекції гіпотенузи на осі координат. Виходячи з теореми Піфагора, робимо висновок: щоб знайти довжину даного відрізкапотрібно знайти довжини проекцій на дві осі координат.

Знайдемо довжини проекцій (X та Y) вихідного відрізка на координатні осі. Їх обчислимо шляхом знаходження різниці координат точок по окремій осі: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .

Розрахуємо довжину відрізка А . для цього знайдемо квадратний корінь:

Якщо наш відрізок розташований між точками, координати яких 2;4 і 4;1 . то його довжина, відповідно, дорівнює √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .

система коментування CACKLE

як обчислити довжину відрізка по заданим координатам:Довжина відрізка Відрізком називають частину прямої лінії, що складається з усіх точок цієї лінії, які розташовані між цими двома точками - їх називають кінцями відрізка. Розглянемо

Існують три основні системи координат, що використовуються в геометрії, теоретичної механіки, інших розділах фізики: декартова, полярна та сферична. У цих системах координат кожна точка має три координати. Знаючи координати двох точок, можна визначити відстань між цими двома точками.

Вам знадобиться

Декартові, полярні та сферичні координати кінців відрізка

Спонсор розміщення P&G Як знайти довжину відрізка по координатах Як знайти довжину відрізка по точках Як знайти довжину сторони трикутника по координатах Як знайти довжину вектора

Інструкція

Розгляньте спочатку прямокутну декартову систему координат. Положення точки у просторі у цій системі координат визначається координатами x,yта z. З початку координат до точки проводиться радіус-вектор. Проекції цього радіусу-вектора на координатні осі і будуть координатами цієї точки.
Нехай у вас тепер є дві точки з координатами x1, y1, z1 та x2, y2 та z2 відповідно. Позначте r1 і r2, відповідно, радіус-вектори першої і другої точки. Очевидно, що відстань між цими двома точками дорівнюватиме модулю вектора r = r1-r2, де (r1-r2) - векторна різниця.
Координати вектора r, очевидно, будуть наступними: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Тоді модуль вектора r або відстань між двома точками дорівнюватиме: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)).

Полярні координати точки можна перевести в декартові в такий спосіб: x = r * cos?, y = r * sin?, z = z. Тоді відстань між двома точками з координатами r1, ?1 ,z1 і r2, ?2, z2 дорівнюватиме R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?) 1-r2*sin?2)^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin ?1*sin?2)+((z1-z2)^2))

Тепер розгляньте сферичну систему координат. У ній положення точки задається трьома координатами r, ? і?. r – відстань від початку координат до точки, ? і? - азимутальний та зенітний кут відповідно. Кут? аналогічний куту з таким же позначенням в полярної системикоординат, а? - кут між радіус-вектором r та віссю Z, причому 0

Переведемо сферичні координати в декартові: x = r * sin? * cos?, y = r * sin? * sin? * sin?, z = r * cos?. Відстань між точками з координатами r1, ?1, ?1 і r2, ?2 і ?2 дорівнюватиме R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2 )+((r1*sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = ((((( r1*sin?1)^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2) )+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2))

Як просто

Інші новини на тему:

Щоб визначити вектор у просторі, використовується система координат. При цьому потрібно враховувати, що, крім довжини (модуля), він характеризується ще й напрямком. Довжину вектора можна просто виміряти чи знайти за допомогою формул. - лінійка; - Транспортир. Спонсор розміщення P&G Статті

Щоб знайти проекцію вектора або відрізка на координатні осі, потрібно опустити перпендикуляри крайніх точок на кожну з осей. Якщо відомі координати вектора або відрізка, його проекцію на осі можна обчислити. Те саме можна зробити, якщо відома довжина вектора та кут між ним та віссю. Вам

Визначити відстань між двома точками можна, вимірявши довжину відрізка, що будується між ними. Якщо відомі координати точок, то відстань можна обчислити, користуючись математичними формулами. - лінійка; - далекомір; - Кутомір; - Поняття про декартових координатах. Спонсор

Вершина будь-якої плоскої чи об'ємної геометричної фігуриоднозначно визначається своїми координатами у просторі. Так само може бути однозначно визначена і будь-яка довільна точкав тій же системі координат, а це дає можливість обчислити відстань між цією довільною точкою та

Вектор - це величина, що характеризується своїм чисельним значеннямта напрямком. Інакше кажучи, вектор – це спрямований відрізок. Положення вектора AB у просторі визначається координатами точки початку вектора A і точки кінця вектора B. Розглянемо, як визначити координати середини вектора.

Знаючи просторові координатидвох точок в будь-якій системі можна без труднощів визначити довжину відрізка прямої між ними. Нижче описано як це зробити стосовно двовимірної і тривимірної Декартової (прямокутної) системи координат. Спонсор розміщення P&G Статті на тему "Як знайти

Для визначення відстані від точки до прямої необхідно знати рівняння прямої та координати точки у декартовій системі координат. Відстанню від точки до прямої буде перпендикуляр, проведений з цієї точки до прямої. Вам знадобиться координати точки та рівняння прямої Спонсор розміщення

Існують три основні системи координат, що використовуються в геометрії, теоретичній механіці, інших розділах фізики: декартова, полярна та сферична. У цих системах координат кожна точка має три координати. Знаючи координати двох точок, можна визначити відстань між цими двома точками.

Вам знадобиться

Декартові, полярні та сферичні координати кінців відрізка

Інструкція

Розгляньте спочатку прямокутну декартову систему координат. Положення точки у просторі у цій системі координат визначається координатами x, y та z. З початку координат до точки проводиться радіус-вектор. Проекції цього радіусу-вектора на координатні осі і будуть координатамицієї точки.
Нехай у вас тепер є дві точки з координатами x1,y1,z1 та x2,y2 та z2 відповідно. Позначте r1 і r2, відповідно, радіус-вектори першої і другої точки. Очевидно, що відстань між цими двома точками дорівнюватиме модулю вектора r = r1-r2, де (r1-r2) - векторна різниця.
Координати вектора r, очевидно, будуть наступними: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Тоді модуль вектора r або відстань між двома точками дорівнюватиме: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)).

Розгляньте тепер полярну систему координат, в якій координата точки задаватиметься радіальною координатою r (радіус-вектор у площині XY), кутовою координатою? (кутом між вектором r і віссю X) і координатою z, аналогічною координаті z в декартовій системі. Полярні координати точки можна перевести в декартові наступним чином: x = r * cos?, y = r * sin?, z = z. Тоді відстань між двома точками з координатами r1, ?1 ,z1 і r2, ?2, z2 дорівнюватиме R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin?2) )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2) +((z1-z2)^2))

Тепер розгляньте сферичну систему координат. У ній положення точки задається трьома. координатами r, ? і?. r – відстань від початку координат до точки, ? і? - азимутальний та зенітний кут відповідно. Кут? аналогічний куту з таким самим позначенням у полярній системі координат, а? - кут між радіус-вектором r і віссю Z, причому 0координатами r1, ?1, ?1 і r2, ?2 і ?2 дорівнюватиме R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?) 2*cos?2)^2)+((r1*sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2) ^2)) = (((r1*sin?1)^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2) +sin?1*sin?2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2))

Нехай відрізок заданий двома точками у площині координат, тоді можна знайти його довжину за допомогою теореми Піфагора.

Інструкція

Нехай задані координати кінців відрізка (x1-y1) та (x2-y2). Накресліть відрізок у системі координат.

Опустіть перпендикуляри з кінців відрізка на осі X та Y. Відрізки, помічені на малюнку червоним, є проекціями вихідного відрізка на осі координат.

Якщо виконати паралельне перенесення, відрізків-проекцій до кінців відрізків, то вийде прямокутний трикутник. Катетами цього трикутника будуть перенесені проекції, а гіпотенузою - сам відрізок AB.

Довжини проекцій легко обчислюються. Довжина проекції на вісь Y дорівнюватиме y2-y1, а довжина проекції на вісь X - x2-x1. Тоді за теоремою Піфагора | AB | ²- = (y2 - y1) ²- + (x2 - x1) ²-, де | AB | - Довжина відрізка.

Представивши цю схему знаходження довжини відрізка в загальному випадкулегко обчислювати довжину відрізка, не будуючи відрізок. Порахуємо довжину відрізка, координати кінців якого (1-3) та (2-5). Тоді |AB|²- = (2 - 1)²- + (5 - 3)²- = 1 + 4 = 5, таким чином довжина відрізка, що шукається, дорівнює 5^1/2.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!

Все цікаве

Визначити відстань між двома точками можна, вимірявши довжину відрізка, що будується між ними. Якщо відомі координати точок, відстань можна обчислити, користуючись математичними формулами. Вам знадобиться - лінійка; - далекомір; - ...

Вектор можна розглядати як упорядковану пару точок у просторі або спрямований відрізок. У шкільному курсі аналітичної геометріїчасто розглядаються різні завданнявизначення його проекцій - на координатні осі, на пряму, на площину…

Кожен матеріальний об'єкт займає у просторі своє місце. Координати фізичного тіла- це числові характеристикийого розміщення, що визначають взаємне становище предметів. Інструкція 1Уточніть, суму координат яких об'єктів необхідно…

У фізиці та математиці вектор характеризується величиною та напрямком, а поміщений у ортогональну системукоординат він однозначно задається парою точок - початковою та кінцевою. Відстань між точками визначає величину вектора, а кут нахилу.

Вектор як спрямований відрізок залежить не тільки від абсолютної величини(модуля), що дорівнює його довжині. Ще одна важлива характеристика – напрямок вектора. Воно може визначатися як координатами, так і кутом між вектором та віссю координат.

Вектор - відрізок, у якого є не лише довжина, а й напрямок. Вектори грають велику рольв математиці, але особливо у фізиці, оскільки фізика дуже часто має справу з величинами, які зручно представляти у вигляді векторів. Тому в…

Вершина будь-якої плоскої чи об'ємної геометричної фігури однозначно визначається своїми координатами у просторі. Так само може бути однозначно визначена і будь-яка довільна точка в тій же системі координат, а це дає можливість.

Вектор характеризується як абсолютної довжиною, а й напрямом. Тому для того, щоб «закріпити» його у просторі використовуються різні системикоординат. Саме знаючи координати вектора, можна визначити його довжину за допомогою…

Вектор – це величина, що характеризується своїм чисельним значенням та напрямком. Інакше кажучи, вектор – це спрямований відрізок. Положення вектора AB в просторі визначається координатами точки початку вектора A і точки кінця вектора B.

Довжина, як зазначалося, позначається знаком модуля.

Якщо дані дві точки площини і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Якщо дані дві точки простору і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Примітка: Формули залишаться коректними, якщо переставити місцями відповідні координати: і , але стандартніший перший варіант

Приклад 3

Рішення:за відповідною формулою:

Відповідь:

Для наочності виконаю креслення

Відрізок – це не вектор, і переміщати його кудись, звичайно, не можна. Крім того, якщо ви виконаєте креслення в масштабі: 1 од. = 1 см (дві зошити), то отриману відповідь можна перевірити звичайною лінійкою, безпосередньо вимірявши довжину відрізка.

Так, рішення коротке, але в ньому є ще пара важливих моментів, які хотілося б пояснити:

По-перше, у відповіді ставимо розмірність: «одиниці». В умові не сказано, ЩО це, міліметри, сантиметри, метри чи кілометри. Тому математично грамотним рішенням буде загальне формулювання: «одиниці» – скорочено «од.».

По-друге, повторимо шкільний матеріал, Корисний не тільки для розглянутої задачі:

Зверніть увагу на важливий технічний прийом – винесення множника з-під кореня. В результаті обчислень у нас вийшов результат і хороший математичний стиль передбачає винесення множника з-під кореня (якщо це можливо). Докладніше процес виглядає так: . Звичайно, залишити відповідь у вигляді не буде помилкою - але недоліком точно і вагомим аргументом для причіпки з боку викладача.

Ось інші поширені випадки:

Нерідко під коренем виходить достатньо велика кількістьнаприклад. Як бути у таких випадках? На калькуляторі перевіряємо, чи число ділиться на 4: . Так, розділилося націло, таким чином: . А може, число ще раз вдасться поділити на 4? . Таким чином: . У числа остання цифра непарна, тому розділити втретє на 4 явно не вдасться. Пробуємо поділити дев'ять: . В результаті:
Готово.

Висновок:якщо під коренем виходить невитягне націло число, то намагаємося винести множник з-під кореня - на калькуляторі перевіряємо, чи число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 і т.д.

У ході рішення різних завданькоріння зустрічаються часто, завжди намагайтеся витягувати множники з-під кореня, щоб уникнути нижчої оцінки і непотрібних проблем з доопрацюванням ваших рішень за зауваженням викладача.

Давайте заразом повторимо зведення коренів у квадрат та інші ступені:

Правила дій зі ступенями в загальному виглядіможна знайти в шкільному підручникуз алгебри, але, думаю, з наведених прикладів все чи майже все вже ясно.

Завдання для самостійного рішенняз відрізком у просторі:

Приклад 4

Дано крапки і . Знайти довжину відрізка.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.