Алгоритм побудови графіків Графік функції y = sin (x-a) можна отримати паралельним перенесенням графіка функції y = sinx вздовж осі Ох на одиниць вправо. Графік функції y = sin (x+a) можна отримати паралельним перенесенням графіка функції y = sinx вздовж осі Ох на одиниць вліво.
0) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при 00) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при 07Алгоритм побудови графіків Графік функції y = sin (Кx) (К>0) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при 01 стисненням До разів) вздовж осі Ох. 0) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при 0 0) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при 01 стисненням до К разів) вздовж осі Ох."> 0) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при 00) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при 0 title="Алгоритм побудови графіків Графік функції y = sin (Кx) (К>0) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при 0
8 Стиснення та розтяг до осі ординат Побудувати графік функції у = sin2 х Побудувати графік функції у = sin K > 1 стиск 0 1 стиск 0 1 стиск 0 1 стиск 0 1 стиск 0 title="8 Сжатие и растяжение к оси ординат Построить график функции у = sin2 х Построить график функции у = sin K > 1 сжатие 0 !}
0) можна одержати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при К>1 розтягуванням у раз) уздовж осі Оу. Графік функції y = Кsin (x) (К>0) можна отримати з графіка функції y = sinx його з "title="Алгоритм побудови графіків: Графік функції y = Кsin (x) (К>0) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при К>1 розтягуванням в раз) уздовж осі Оу. Графік функції y = Кsin (x) (К>0) можна отримати з графіка функції y = sinx його" class="link_thumb"> 9 !}Алгоритм побудови графіків: Графік функції y = Кsin (x) (К>0) можна одержати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при К>1 розтягуванням в раз) уздовж осі Оу. Графік функції y = Кsin (x) (К>0) можна отримати з графіка функції y = sinx його стисненням (при 01 розтягуванням в раз) уздовж осі Оу. Графік функції y = Кsin (x) (К>0) можна отримати з графіка функції y = sinx його з"> 0) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при К>1 розтягуванням в разів) уздовж осі Оу. Графік функції y = Кsin (x>0) можна одержати з графіка функції y = sinx його стисненням (при 01 розтягуванням в раз) вздовж осі Оу. можна отримати з графіка функції y = sinx його з "title="Алгоритм побудови графіків: Графік функції y = Кsin (x) (К>0) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при К> 1 розтягуванням в До разів) вздовж осі Оу."> title="Алгоритм побудови графіків: Графік функції y = Кsin (x) (К>0) можна одержати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при К>1 розтягуванням в раз) уздовж осі Оу. Графік функції y = Кsin (x) (К>0) можна отримати з графіка функції y = sinx його з">!}
1 розтягування 0 1 розтягування 0 10 10 Стиснення та розтяг до осі абсцис K > 1 розтяг 0 1 розтяг 0 1 розтяг 0 1 розтяг 0 1 розтяг 0 title="10 Стиснення та розтяг до осі абсцис K > 1 розтяг 0
13 Зрушення вздовж осі ординат Побудувати графік функції у = sins +3 Побудувати графік функції у = sins-3 + вгору - вниз y = sinx y = sinx + 3 y = sinx y = sinx Перетворення графіка
X y 1 -2 Перевірка: y 1 = sinx; у 2 = sinx + 2; у 3 = sinx
Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Графіки тригонометричних функцій Функція у = sin x, її властивості Перетворення графіків тригонометричних функцій шляхом паралельного перенесення Перетворення графіків тригонометричних функцій шляхом стиснення та розширення Для цікавих…
тригонометричні функції Графіком функції у = sin x є синусоїда Властивості функції: D(y) =R Періодична (Т=2 ) Непарна (sin(-x)=-sin x) Нулі функції: у=0, sin x=0 при х = n, n Z y=sin x
тригонометричні функції Властивості функції у = sin x 5. Проміжки знаковості: У >0 при х (0+2 n ; +2 n) , n Z У
тригонометричні функції Властивості функції у= sin x 6. Проміжки монотонності: функція зростає на проміжках виду: - /2 +2 n ; / 2+2 n n Z y = sin x
тригонометричні функції Властивості функції у= sin x Проміжки монотонності: функція зменшується на проміжках виду: /2 +2 n ; 3 / 2+2 n n Z y=sin x
тригонометричні функції Властивості функції у = sin x 7. Точки екстремуму: Х мах = / 2 +2 n , n Z Х м in = - / 2 +2 n , n Z y = sin x
Тригонометричні функції Властивості функції у = sin x 8 . Область значень: Е(у) = -1;1 y = sin x
тригонометричні функції Перетворення графіків тригонометричних функцій Графік функції у = f (x +в) виходить з графіка функції у = f(x) паралельним перенесенням на (-в) одиниць вздовж осі абсцис Графік функції у = f (x)+а виходить з графіка функції у = f(x) паралельним перенесенням на (а) одиниць вздовж осі ординат
тригонометричні функції Перетворення графіків тригонометричних функцій Побудуйте графік Функції у = sin(x+ /4) згадати правила
тригонометричні функції Перетворення графіків тригонометричних функцій y = sin (x+ /4) Побудуйте графік функції: y=sin (x - /6)
тригонометричні функції Перетворення графіків тригонометричних функцій y = sin x + Побудуйте графік функції: y = sin (x - /6)
тригонометричні функції Перетворення графіків тригонометричних функцій y= sin x + Побудуйте графік функції: y=sin (x + /2) згадати правила
тригонометричні функції Графіком функції у = cos x є косінусоїда Перерахуйте властивості функції у = cos x sin(x+ /2)=cos x
тригонометричні функції Перетворення графіків тригонометричних функцій шляхом стиснення та розтягування Графік функції у = k f (x) виходить з графіка функції у = f(x) шляхом його розтягування в k разів (при k>1) вздовж осі ординат Графік функції у = k f (x ) Виходить з графіка функції у = f (x) шляхом його стиснення в k разів (при 0
тригонометричні функції Перетворення графіків тригонометричних функцій шляхом стиснення та розтягування y=sin2x y=sin4x Y=sin0.5x згадати правила
тригонометричні функції Перетворення графіків тригонометричних функцій шляхом стиснення та розтягування Графік функції у = f (kx) виходить з графіка функції у = f(x) шляхом його стиснення в k разів (при k>1) вздовж осі абсцис Графік функції у = f (kx ) Виходить з графіка функції у = f (x) шляхом його розтягнення в k разів (при 0
тригонометричні функції Перетворення графіків тригонометричних функцій шляхом стиснення та розтягування y = cos2x y = cos 0.5x згадати правила
тригонометричні функції Перетворення графіків тригонометричних функцій шляхом стиснення та розтягування Графіки функцій у = -f (kx) та у = - k f(x) виходять з графіків функцій у = f(kx) та y = k f(x) відповідно шляхом їх дзеркального відображення щодо осі абсцис синус - функція непарна, тому sin(-kx) = - sin (kx) косинус -функція парна, отже cos(-kx) = cos(kx)
тригонометричні функції Перетворення графіків тригонометричних функцій шляхом стиснення та розтягування y = - sin3x y = sin3x згадати правила
тригонометричні функції Перетворення графіків тригонометричних функцій шляхом стиснення та розтягування y=2cosx y=-2cosx згадати правила
тригонометричні функції Перетворення графіків тригонометричних функцій шляхом стиснення та розтягування Графік функції у = f (kx+b) виходить з графіка функції у = f(x) шляхом його паралельного перенесення на (-в /k) одиниць уздовж осі абсцис та шляхом стиснення в k разів (при k>1) або розтягнення в k разів (при 0
тригонометричні функції Перетворення графіків тригонометричних функцій шляхом стиснення та розтягування Y= cos(2x+ /3) y=cos(x+ /6) y= cos(2x+ /3) y= cos(2(x+ /6)) y = cos(2x+ /3) y= cos(2(x+ /6)) Y= cos(2x+ /3) y=cos2x згадати правила
тригонометричні функції Для допитливих… Подивіться, як виглядають графіки деяких інших триг. функцій: y = 1 / cos x або y=sec x (читається секонс) y = cosec x або y= 1/ sin x читається косеконс
За темою: методичні розробки, презентації та конспекти
ЦОР "Перетворення графіків тригонометричних функцій" 10-11 класи
Розділ навчальної програми: «Тригонометричні функції». Тип уроку: цифровий освітній ресурс комбінованого уроку алгебри. За формою викладу матеріалу:Комбінований (універсальний) ЦОР з...
Методична розробка уроку з математики: «Перетворення графіків тригонометричних функцій»
Методична розробка уроку з математики: "Перетворення графіків тригонометричних функцій" для учнів десятого класу. Урок супроводжується презентацією.
Побудова графіків тригонометричних функцій у 11 класі
Вчитель математики першої кваліфікаційної категорії МАОУ «Гімназія №37» м. Казань
Спірідонова Л.В.
- Тригонометричні функції числового аргументу
- y=sin(x)+m і y=cos(x)+m
- Побудова графіків функцій виду y=sin(x+t) і y=cos(x+t)
- Побудова графіків функцій виду y=A · sin(x) і y=A · cos(x)
- Приклади
Тригонометричні функції числового аргументу.
y=sin(x)
y=cos(x)
Побудова графіка функції y = sin x .
Побудова графіка функції y = sin x .
Побудова графіка функції y = sin x .
Побудова графіка функції y = sin x .
Властивості функції у = sin ( x ) .
всіх дійсних чисел ( R )
2. Області змін (Області значень) ,E(y)= [ - 1; 1 ] .
3. Функція у = sin ( x) непарна, т.к. sin (- x ) = - sin x
- π .
sin (x + 2 π ) = sin(x).
5. Функція безперервна
Зменшується: [ π /2; 3 π /2 ] .
6. Зростає: [ - π /2; π /2 ] .
+
+
+
-
-
-
Побудова графіка функції y = cos x .
Графік функції у = cos x виходить перенесенням
графіка функції у = sin x вліво на π /2.
Властивості функції у = с s ( x ) .
1. Областю визначення функції є безліч
всіх дійсних чисел ( R )
2. Області змін (Область значень),Е(у)= [ - 1; 1 ] .
3. Функція у = cos (х) парна, т.к. cos (- х ) = cos (х)
- Функція періодична, з головним періодом 2 π .
cos ( х + 2 π ) = cos (х) .
5. Функція безперервна
Зменшується: [ 0 ; π ] .
6. Зростає: [ π ; 2 π ] .
+
+
+
+
-
-
-
Побудова
графіків функцій виду
у = sin ( x ) + m
і
у = cos (х) + m.
0 або вниз, якщо m ." width="640" Паралельне перенесення графіка вздовж осі Оу
Графік функції y=f(x) + m виходить паралельним перенесенням графіка функції y=f(x) вгору на m одиниць, якщо m 0 ,
або вниз, якщо m .
0 y m 1 x" width="640" Перетворення: y= sin ( x ) +m
Зрушення у= sin ( x ) по осі y вгору, якщо m 0
m
0 y m 1 x" width="640" Перетворення: y= cos ( x ) +m
Зрушення у= cos ( x ) по осі y вгору , якщо m 0
m
Перетворення: y=sin ( x ) +m
Зрушення у= sin ( x ) по осі y вниз, якщо m 0
m
Перетворення: y=cos ( x ) + m
Зрушення у= cos ( x ) по осі y вниз, якщо m 0
m
Побудова
графіків функцій виду
у = sin ( x + t )
і
у = cos ( х + t )
0 і праворуч, якщо t 0." width="640" Паралельне перенесення графіка вздовж осі Ох
Графік функції y = f(x + t)виходить паралельним перенесенням графіка функції y=f(x)по осі х на |t| одиниць масштабу вліво, якщо t 0
і праворуч , якщо t 0.
0 y 1 x t" width="640" Перетворення: y = sin(x + t)
зрушення у= f(x) по осі х вліво, якщо t 0
t
0 y 1 x t" width="640" Перетворення: y = cos (x + t)
зрушення у= f(x) по осі х вліво, якщо t 0
t
Перетворення: y = sin (x + t)
зрушення у= f(x) по осі х праворуч, якщо t 0
t
Перетворення: y = cos (x + t)
зрушення у= f(x) по осі х праворуч, якщо t 0
t
0
1 та 0 а 1" width="640" Побудова графіків функцій виду у = А · sin ( x ) і y = А · cos ( x ) , при а 1 та 0 а 1
1 і стиском до осі Ох з коефіцієнтом 0 А." width="640" Стиснення та розтягування вздовж осі Ох
Графік функції у=А · f(x ) отримуємо розтягуванням графіка функції у= f(x) з коефіцієнтом А вздовж осі Ох, якщо А 1 і стиском до осі Ох з коефіцієнтом 0 А .
1 нехай а=1,5 y 1 x -1" width="640" Перетворення: y = a·sin ( x ), a 1
нехай а = 1,5
1 нехай а=1,5 y 1 x" width="640" Перетворення: y = a · cos ( x ), a 1
нехай а = 1,5
Перетворення: y = a·sin ( x ) , 0
нехай а = 0,5
Перетворення: y = a·cos ( x ), 0
нехай а = 0,5
sin (
y
x
y=sin(x) → y=sin(x- π )
x
sin (
y
y
sin (
x
y
x
- 1
y=cos(x) → y=cos(2x) → y=-cos(2x) → y=-cos(2x)+3
x
x
x
y
y
sin
y
sin
sin
sin
y
x
y
x
- 1
y=sin(x) → y=sin(x/3) → y=sin(x/3)-2
y
x
- 1
y=sin(x) → y=2sin(x) → y=2sin(x)-1
y
y
y
cos
y
cos x + 2
x
cos x + 2
cos x
y
x
- 1
y= cos(x) → y=1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) +2
y
x
- 1
y=cos (x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) →
Конспект уроку з алгебри у 10 класі
Васильєва Катерина Сергіївна,
вчитель математики
ОДБОУ «Смоленська спеціальна (корекційна)
загальноосвітня школа І та ІІ видів»
Смоленськ
Тема уроку: "Перетворення графіків тригонометричних функцій".
Назвамодуля: перетворення графіків тригонометричних функцій. Інтегруючадидактичнамета: відпрацювати навички побудови графіків тригонометричних функцій. Цільовий план дій для учнів:
- повторити основні властивості тригонометричних функцій; відпрацювати навичку перетворення графіків тригонометричних функцій; сприяти розвитку логічного мислення; виховувати інтерес до вивчення предмета.
Банк інформації.
Вхідний контроль. Назвіть властивості функцій y = sin x (рис. 1).Мал. 1
Властивості:
- D(y)=R E(y)=[-1;1], функція обмежена sin(-x)=-sinx, функція непарна Найменший позитивний період: 2π
sin (x+2πn) = sin x, n Z, x R. sin x = 0 при x = πk, k Z sin x> 0, x Є (2 πk; 2π + 2 πk), k Є Z sin x Найбільше значення, що дорівнює 1, y=sin x приймає в точках x=π/2+ 2πk, k Є Z. Найменше значення, що дорівнює -1, y=sin x приймає в точках x=3π/2+ 2πk, k Є Z.
Мал. 2
Властивості:
- D(y)=R E(y)=[-1;1], функція обмежена cos(-x)= cos x, функція парна Найменший позитивний період: 2π
cos (x+2πn)=cos x, n Є Z, x Є R cos x=0 при x=π/2+πk, kЄZ cos x>0, x Є (-π/2+2πk; π/2+ 2πk), k Є Z cos x Найбільше значення, що дорівнює 1, y=cos x набуває в точках x= 2πk, k Є Z. Найменше значення, що дорівнює -1, y=cos x набуває в точках x=π+ 2πk, k Є Z.
Рис . 3
Властивості:
- D(y)-множина всіх дійсних чисел, крім чисел виду x=π/2 +πk, k Є Z E(y)=(-∞;+ ∞), функція необмежена tg(-x)=-tg x, функція непарна найменший позитивний період: π
tg(x+π)= tg x tgx= 0 при x=πk, k Є Z tg x> 0, x Є (πk; π/2+πk), k Є Z tg x
Мал. 4
Властивості:
- D(y)-множина всіх дійсних чисел, крім чисел виду x=πk, k Є Z E(y)= (-∞;+ ∞), функція необмежена ctg(-x)=-ctg x, функція непарна Найменший позитивний період: π
ctg(x+π)=tg x ctg x = 0 при x=π/2+πk, k Є Z ctg x>0, x Є(πk; π/2+πk), k Є Z ctg x
Пояснення матеріалу.
- y=
f(x)+
a, де a - постійне число, треба перенести графік y=
f(x)
вздовж осі ординат. Якщо a>0, то графік переносимо паралельно самому собі нагору, якщо a Для побудови графіка функції y=
kf(x)
треба розтягнути графік функції y=
f(x)
в k
разів уздовж осі ординат. Якщо |
k|>1
, то відбувається розтягнення графіка вздовж осі OY, якщо 0k| , то – стиск. Графік функції y=
f(x+
b)
виходить із графіка y=
f(x)
шляхом паралельного перенесення вздовж осі абсцис. Якщо b>0, то графік переміщається вліво, якщо b
Для побудови графіка функції y= f(kx) треба розтягнути графік y= f(x) вздовж осі абсцис. Якщо | k|>1 , то відбувається стиснення графіка вздовж осі OХякщо 0
Закріплення матеріалу.
Рівень А
Приватнадидактичнамета: відпрацювати навичку побудови тригонометричних функцій шляхом перетворень.
Методичнийкоментардляучнів:
Oxу 3 рази.
Графік функції виходить із графіка шляхом розтягування вздовж осі Ой в 2 рази.
Графік функції виходить із графіка шляхом паралельного перенесення на 2 одиниці вгору вздовж осі Ой.
Графік функції виходить із графіка шляхом паралельного перенесення вздовж осі абсцис на одиниць вліво.
Г 
рафік функції виходить із графіка шляхом стиснення вздовж осі Ойу 4 рази.
Рівень Ст.
Приватнадидактичнамета: тригонометричнихфункцій шляхом послідовногозастосування перетворень.
Методичнийкоментардляучнів: побудуйте графіки функцій, виконавши перетворення.
Графік функції виходить із графіка шляхом паралельного перенесення вздовж осі абсцис на одиниць вправо.
Графік функції виходить із графіка функції шляхом послідовного виконання наступних перетворень:
1) паралельне перенесення на одиниці вліво вздовж осі абсцис
2) стиск уздовж осі Оy у 4 рази .
Графік функції виходить із графіка функції , кожна ордината якого змінюється -2 рази. Для цього виконуємо такі перетворення:
1) відображаємо симетрично щодо осі Ox,
2) розтягуємо вдвічі вздовж осі Ой.
послідовноговиконання наступних перетворень:
1) стиснення вздовж осі абсцис в 2 рази;
2) розтягування в 3 рази вздовж осі Ой;
3) паралельний перенесення на 1 одиницю вгору вздовж осі ординат.
Рівень З .
Приватнадидактичнамета: відпрацювати навичку побудови графіків тригонометричнихфункцій шляхом послідовногозастосування перетворень.
Методичний коментар для учнів : вкажіть , які перетворення потрібно виконати для побудови графіків . Побудуйте графіки .
1. 
Графік функції виходить з графіка функції шляхом послідовного виконання наступних перетворень:
1) відображення симетрично щодо осі Ox,
2) стиск у 2 рази вздовж осі Oy;
3) паралельне перенесення на 2 одиниці вниз уздовж осі Оy.
2.
Графік функції виходить із графіка функції послідовноговиконання наступних перетворень: виходить www. aiportal. ru/ services/ graph. html
Т Е М А: Перетворення графіків тригонометричних функцій із модулем.
ЦІЛЬ: Розгляд одержання графіків тригонометричних функцій виду
y= f(|x|);y = | f(x)| .
Розвивати математичну логіку та увагу.
ХІД УРОКУ:
Орг. момент: Оголошення теми, цілей та завдань уроку.
Вчитель: Сьогодні ми маємо навчитися будувати графіки функцій y = sin |x|; y = cos | x |
Y = | A sin x + b | ; Y = | A cos x + b | використовуючи наші знання про перетворення трансцендентних функцій виду y = f(|x|) та y = |f(x)| . Ви запитаєте: «Для чого це потрібно?» Справа в тому, що властивості функцій в цьому випадку змінюються, а ось як, це найкраще простежується, як ви знаєте, на графіку.
Давайте пригадаємо, як запишуться дані функції з використанням визначення
Діти: f(|x|) =
|f(x)| = 
Вчитель: Отже, щоб побудувати графік функції у =f(|x|), якщо відомий графік функції
у =f{ x), потрібно залишити на місці ту частину графіка функції у =f(x), яка
відповідає невід'ємній частині області визначення функції у =f(x). Відобразивши цю
частина симетрично щодо осі у, отримаємо іншу частину графіка, відповідну
негативної частини області визначення
Т. е. на графіку це виглядає наступним чином: y = f (x)
(Дані графіки будуються на дошці. Діти у зошитах)
Тепер з цього побудуємо графік функцій y = sin | x |; Y = | sin x | ; Y = | 2 sin x + 2 |
Рис 1. Y = sin x
Рис 2. Y = sin | x |
Тепер збудуємо графіки функцій Y = | sin x | та Y = |2 sin x + 2|
Щоб побудувати графік функції у = \f(x)\, якщо відомий графік функції у =f(x), потрібно залишити на місці ту його частину, деf(x) > О, і симетрично відобразити щодо осі х іншу його частину, деf(x) < 0.