Математичні позначення(«Мова математики») - складна графічна система позначень, що служить для викладу абстрактних математичних ідей та суджень у людино-читаній формі. Складає (за своєю складністю та різноманітністю) значну частку немовних знакових систем, що застосовуються людством. У цій статті описується загальноприйнята міжнародна система позначень, хоча різні культури минулого мали свої власні, деякі з них навіть мають обмежене застосування досі.
Зазначимо, що математичні позначення, як правило, застосовуються спільно з письмовою формою якоїсь із природних мов.
Крім фундаментальної та прикладної математики, математичні позначення мають широке застосування у фізиці, а також (у неповному своєму обсязі) в інженерії, інформатиці, економіці, та й взагалі у всіх галузях людської діяльності, де застосовуються математичні моделі. Відмінності між власне математичним та прикладним стилем позначень будуть обумовлені під час тексту.
Енциклопедичний YouTube
1 / 5
✪ Знак / математики
✪ Математика 3 клас. Таблиця розрядів багатозначних чисел
✪ Безліч математики
✪ Математика 19. Математичні забави - Шишкіна школа
Субтитри
Вітання! Це відео не про математику, скоріше про етимологію та семіотики. Але впевнений, що вам сподобається. Поїхали! Ви ось в курсі, що пошук розв'язання кубічних рівнянь загалом зайняв у математиків кілька століть? Це частково чому? Тому що не було ясних символів для ясних думок, чи то річ наш час. Символів стільки, що й заплутатись можна. Але нас з вами не обдуриш, давайте розбиратися. Ось це - велика перегорнута літера А. Це насправді англійська літера, що вважається першою в словах "all" і "any". Російською цей символ, залежно від контексту, може читатися так: для будь-кого, кожен, кожному, все і таке інше. Такий ієрогліф називатимемо квантором загальності. А ось ще один квантор, але вже існування. Англійську букву е відобразили в Paint-е зліва направо, натякаючи цим на заморський дієслово "exist", по-нашому читатимемо: існує, знайдеться, є й іншим подібним чином. Знак оклику такому квантору існування додасть єдиності. Так, знаю, що ви вже не маленькі, але все ж таки мої оплески тим, хто впорався з цією вправою. Ну та гаразд, годі, давайте згадаємо числові множини. Натуральні числа використовуються за рахунку: 1, 2, 3, 4 тощо.<Ɛ (эпсилон), то тогда предел числовой последовательности xₙ , при n, стремящемся к бесконечности, равен числу a. Такие вот дела, ребята. Не беда, если вам не удалось прочесть это определение, главное в свое время его понять. Напоследок отмечу: множество тех, кто посмотрел этот ролик, но до сих пор не подписан на канал, не является пустым. Это меня очень печалит, так что во время финальной музыки покажу, как это исправить. Ну а остальным желаю мыслить критически, заниматься математикой! Счастливо! [Музыка / аплодиминнты]
Загальні відомості
Система складалася, на кшталт природних мов, історично (див. історія, математичних позначень), і організована на кшталт писемності природних мов, запозичуючи звідти також багато символів (передусім, з латинського та грецького алфавітів). Символи, як і звичайній писемності, зображуються контрастними лініями на рівномірному тлі (чорні на білому папері, світлі на темній дошці, контрастні на моніторі тощо. буд.), і значення їх визначається насамперед формою і взаємним расположением. Колір до уваги не приймається і зазвичай не використовується, але, при використанні літер , такі їх характеристики як накреслення і навіть гарнітура , що не впливають на сенс у звичайній писемності, в математичних позначеннях можуть відігравати значення.
Структура
Звичайні математичні позначення (зокрема, так звані математичні формули) пишуться загалом у рядок зліва направо, проте не обов'язково становлять послідовний рядок символів. Окремі блоки символів можуть розташовуватися у верхній або нижній половині рядка, навіть якщо символи не перекриваються вертикалями. Також деякі частини розташовуються цілком вище або нижче рядка. З граматичної сторони майже будь-яку «формулу» можна вважати ієрархічно організованою структурою типу дерева.
Стандартизація
Математичні позначення представляють систему у сенсі взаємозв'язку своїх компонентів, але, загалом, нескладають формальну систему (в розумінні самої математики). Вони, у складному разі, неможливо знайти навіть розібрані програмно . Як і будь-яка природна мова, «мова математики» сповнена неузгоджених позначень, омографів, різних (в середовищі своїх носіїв) трактувань того, що вважати правильним і т. п. не завжди однозначно вирішується питання, чи вважати два позначення різними символами або різними написаннями одного символу.
Деяка частина математичних позначень (в основному, пов'язана з вимірюваннями) стандартизована в ISO 31 -11, проте в цілому стандартизація позначень швидше відсутня.
Елементи математичних позначень
Числа
При необхідності застосувати систему числення з основою, меншою за десять, основа записується в нижній індекс: 20003 8 . Системи числення з підставами, більшими за десять, у загальноприйнятому математичному записі не застосовуються (хоча, зрозуміло, вивчаються самою наукою), оскільки для них не вистачає цифр. У зв'язку з розвитком інформатики стала актуальною шістнадцяткова система, обчислення, в якій цифри від 10 до 15 позначаються першими шістьма латинськими літерами від A до F. Для позначення таких чисел в інформатиці використовується кілька різних підходів, але в математику вони не перенесені.
Надрядкові та підрядкові знаки
Дужки, подібні до них символи та роздільники
Круглі дужки «()» використовуються:
Квадратні дужки нерідко застосовуються у значенні угруповання, коли доводиться використовувати багато пар дужок. У такому випадку вони ставляться зовні і (при акуратній друкарні) мають більшу висоту, ніж дужки, що стоять усередині.
Квадратні «» та круглі «()» дужки використовуються при позначенні закритих та відкритих проміжків відповідно.
Фігурні дужки «()» використовуються, як правило, для , хоча щодо них справедлива та ж застереження, що і для квадратних дужок. Ліва "(" і права ")" дужки можуть використовуватися окремо; їх призначення описано.
Символи кутових дужок. ⟨ ⟩ (\displaystyle \langle \;\rangle )» при акуратній друкарні повинні мати тупі кути і тим відрізнятися від схожих , що мають прямий або гострий кут. Насправді ж на це не слід сподіватися (особливо, при ручному записі формул) і розрізняти їх доводиться за допомогою інтуїції.
Часто використовуються пари симетричних (щодо вертикальної осі) символів, у тому числі і відмінних від перерахованих для виділення шматка формули. Призначення парних дужок описано.
Індекси
Залежно від розташування розрізняють верхні та нижні індекси. Верхній індекс може означати (але необов'язково означає) зведення в ступінь, про інші випадки використання.
Змінні
У науках зустрічаються набори величин, і будь-яка їх може приймати чи набір значень і називатися змінноївеличиною (варіантою), або лише одне значення і називатися константою. У математиці від фізичного сенсу величини часто відволікаються, і тоді змінна величина перетворюється на абстрактну(або числову) змінну, що позначається яким-небудь символом, не зайнятим спеціальними позначеннями, про які було сказано вище.
Змінна Xвважається заданою, якщо вказано безліч значень, що вона приймає. (x). Постійну величину зручно розглядати як змінну, у якої відповідна безліч (x)складається з одного елемента.
Функції та оператори
У математиці не вбачається суттєвої різниці між оператором(Унарним), відображеннямі функцією.
Однак, маються на увазі, що якщо для запису значення відображення від заданих аргументів необхідно вказувати , то символ відображення позначає функцію, в інших випадках швидше говорять про оператора. Символи деяких функцій єдиного аргументу використовуються і з дужками і без. Багато елементарних функцій, наприклад sin x (\displaystyle \sin x)або sin (x) (\displaystyle \sin(x)), але елементарні функції завжди називаються функціями.
Оператори та відносини (унарні та бінарні)
Функції
Функція може згадуватись у двох сенсах: як вираз її значення при заданих аргументах (пишеться f (x), f (x, y) (\displaystyle f(x),\f(x,y))і т. п.) або власне як функція. В останньому випадку ставиться лише символ функції, без дужок (хоча часто пишуть абияк).
Є багато позначень загальноприйнятих функцій, які у математичних роботах без додаткових пояснень. В іншому випадку функцію треба якось описувати і в фундаментальній математиці вона принципово не відрізняється від і точно позначається довільною літерою. Для позначення функцій-змінних найбільш популярна літера f, також часто застосовуються g і більшість грецьких.
Обумовлені (зарезервовані) позначення
Однак, однолітерним позначенням може бути, за бажання, надано іншого змісту. Наприклад, буква i часто використовується як позначення індексу в контексті, де комплексні числа не застосовуються, а буква може бути використана як змінна в будь-якій комбінаториці . Також, символи теорії множин (такі як « ⊂ (\displaystyle \subset )» та « ⊃ (\displaystyle \supset )») та обчислення висловлювань (такі як « ∧ (\displaystyle \wedge)» та « ∨ (\displaystyle \vee)») можуть бути використані в іншому сенсі, зазвичай як відношення порядку і бінарні операції відповідно.
Індексування
Індексування графічно зображується (зазвичай нижніми, іноді верхніми) і є, у певному сенсі, способом розширити інформаційне наповнення змінної. Проте, використовується воно в трьох кілька різних (хоч і перекриваються) сенсах.
Власне номери
Можна мати кілька різних змінних, позначаючи їх однією літерою, аналогічно до використання . Наприклад: x 1 , x 2 , x 3 … (\displaystyle x_(1),\ x_(2),\ x_(3)\ldots ). Зазвичай вони пов'язані якоюсь спільнотою, але це не обов'язково.
Більше того, як «індекси» можна використовувати не тільки числа, а й будь-які символи. Однак, коли у вигляді індексу пишеться інша змінна та вираз, цей запис інтерпретується як «змінна з номером, що визначається значенням індексного виразу».
У тензорному аналізі
У лінійній, алгебрі, тензорному аналізі, диференціальній геометрії з індексами (у вигляді змінних) записуються
Для позначення геометричних фігур та їх проекцій, для відображення відносини між ними, а також для стислості записів геометричних речень, алгоритмів розв'язання задач та доказу теорем в курсі використовується геометрична мова, Складений з позначень і символів, прийнятих в курсі математики (зокрема, в новому курсі геометрії в середній школі).
Все різноманіття позначень та символів, а також зв'язки між ними можуть бути поділені на дві групи:
група I - позначення геометричних фігур та відносин між ними;
група II позначення логічних операцій, що становлять синтаксичну основу геометричної мови.
Нижче наведено повний список математичних символів, що використовуються у цьому курсі. Особлива увага приділяється символам, які використовуються для позначення проекцій геометричних фігур.
Група I
СИМВОЛИ, ЩО ПОЗНАЧАЮТЬ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВІДНОСИНИ МІЖ НИМИ
А. Позначення геометричних фігур
1. Геометрична фігура позначається – Ф.
2. Крапки позначаються великими літерами латинського алфавіту або арабськими цифрами:
А, В, С, D, ..., L, М, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. Лінії, довільно розташовані стосовно площин проекцій, позначаються малими літерами латинського алфавіту:
а, b, с, d, ..., l, m, n, ...
Лінії рівня позначаються: h – горизонталь; f-фронталь.
Для прямих використовуються також такі позначення:
(АВ) - пряма, що проходить через точки А АВ;
[АВ) - промінь із початком у точці А;
[АВ] – відрізок прямий, обмежений точками А та В.
4. Поверхні позначаються малими літерами грецького алфавіту:
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
Щоб підкреслити спосіб завдання поверхні, слід вказувати геометричні елементи, якими визначається, наприклад:
α(а || b) - площина визначається паралельними прямими а і b;
β(d 1 d 2 gα) - поверхня β визначається напрямними d 1 і d 2 утворює g і площиною паралелізму α.
5. Кути позначаються:
∠ABC - кут з вершиною в точці В, а також ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...
6. Кутова: величина (градусна міра) позначається знаком, який ставиться над кутом:
Розмір кута АВС;
Розмір кута φ.
Прямий кут відзначається квадратом з точкою всередині
7. Відстань між геометричними фігурами позначаються двома вертикальними відрізками - ||.
Наприклад:
|АВ| - відстань між точками А та В (довжина відрізка АВ);
|Аа| - Відстань від точки А до лінії a;
|Аα| - Відстань від точки А до поверхні α;
| ab | - відстань між лініями а та b;
|αβ| відстань між поверхнями α та β.
8. Для площин проекцій прийнято позначення: π 1 і π 2 , де π 1 - горизонтальна площина проекцій;
π 2 -фрюнтальна площина проекцій.
При заміні площин проекцій або запровадження нових площин останні позначають π 3 , π 4 і т.д.
9. Осі проекцій позначаються: х, у, z, де х – вісь абсцис; у - вісь ординат; z – вісь аплікат.
Постійну пряму епюру Монжа позначають k.
10. Проекції точок, ліній, поверхонь будь-якої геометричної фігури позначаються тими ж літерами (або цифрами), що й оригінал, з додаванням верхнього індексу, що відповідає площині проекції, на якій вони отримані:
А", В", С", D", ..., L", М", N", горизонтальні проекції точок; А", В", С", D", ..., L", М" , N", ... фронтальні проекції точок; a", b", c", d", ..., l", m", n", - горизонтальні проекції ліній; а", b", с", d", ..., l", m ", n", ... фронтальні проекції ліній; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... горизонтальні проекції поверхонь; α", β", γ", δ",...,ζ" ,η",ν",... фронтальні проекції поверхонь.
11. Сліди площин (поверхень) позначаються тими самими літерами, що і горизонталь або фронталь, з додаванням підрядкового індексу 0α, що підкреслює, що ці лінії лежать у площині проекції та належать площині (поверхні) α.
Так: h 0α – горизонтальний слід площини (поверхні) α;
f 0α – фронтальний слід площини (поверхні) α.
12. Сліди прямих (ліній) позначаються великими літерами, з яких починаються слова, що визначають назву (латинською транскрипцією) площини проекції, яку перетинає лінія, з підрядковим індексом, що вказує на приналежність до лінії.
Наприклад: Ha - горизонтальний слід прямої (лінії) а;
F a – фронтальний слід прямої (лінії) a.
13. Послідовність точок, ліній (будь-якої фігури) відзначається підрядковими індексами 1,2,3,..., n:
А 1, А 2, А 3, ..., А n;
a 1, a 2, a 3, ..., a n;
α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ;
Ф 1, Ф 2, Ф 3, ..., Ф n і т. д.
Допоміжна проекція точки, отримана в результаті перетворення для отримання дійсної величини геометричної фігури, позначається тією самою літерою з підрядковим індексом 0:
A 0, B 0, З 0, D 0, ...
Аксонометричні проекції
14. Аксонометричні проекції точок, ліній, поверхонь позначаються тими самими літерами, що й натура з додаванням верхнього індексу 0:
А 0, В 0, З 0, D 0, ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
a 0, b 0, c 0, d 0, ...
α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...
15. Вторинні проекції позначаються шляхом додавання верхнього індексу 1:
А 1 0, В 1 0, З 1 0, D 1 0, ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...
Для полегшення читання креслень у підручнику під час оформлення ілюстративного матеріалу використано кілька кольорів, кожен із яких має певне смислове значення: лініями (точками) чорного кольору позначені вихідні дані; зелений колір використаний для допоміжних ліній графічних побудов; червоними лініями (точками) показані результати побудов чи ті геометричні елементи, куди слід звернути особливу увагу.
| № по пір. | Позначення | Зміст | Приклад символічного запису |
|---|---|---|---|
| 1 | ≡ | Збігаються | (АВ)≡(CD) - пряма, що проходить через точки А і В, збігається з прямою, що проходить через точки С та D |
| 2 | ≅ | Конгруентні | ∠ABC≅∠MNK - кут АВС конгруентний куту MNK |
| 3 | ∼ | Подібні | ΔАВС~ΔMNK - трикутники АВС і MNK подібні |
| 4 | || | Паралельні | α||β - площина α паралельна площині β |
| 5 | ⊥ | Перпендикулярні | а⊥b - прямі а та b перпендикулярні |
| 6 | Схрещуються | з d - прямі з і d схрещуються | |
| 7 | Дотичні | t l - Пряма t є дотичною до лінії l. βα - площина β, що стосується поверхні α |
|
| 8 | → | Відображаються | Ф 1 →Ф 2 - фігура Ф 1 відображається на фігуру Ф 2 |
| 9 | S | Центр проектування. Якщо центр проектування невласна точка, то його положення позначається стрілкою, вказує напрямок проектування | - |
| 10 | s | Напрямок проектування | - |
| 11 | P | Паралельне проектування | р s α Паралельне проектування - паралельне проектування на площину α у напрямку s |
| № по пір. | Позначення | Зміст | Приклад символічного запису | Приклад символічного запису у геометрії |
|---|---|---|---|---|
| 1 | M,N | Безліч | - | - |
| 2 | A,B,C,... | Елементи множини | - | - |
| 3 | { ... } | Складається з... | Ф(A, B, C,...) | Ф(A, B, C,... ) - фігура Ф складається з точок А, В,С, ... |
| 4 | ∅ | Порожня безліч | L - ∅ - множина L порожня (не містить елементів) | - |
| 5 | ∈ | Належить, є елементом | 2∈N (де N - безліч натуральних чисел) - число 2 належить множині N | А ∈ а - точка А належить прямий а (Точка А лежить на прямій а) |
| 6 | ⊂ | Включає, містить | N⊂М - множина N є частиною (підмножиною) множини всіх раціональних чисел | а⊂α - пряма а належить площині α (розуміється в значенні: безліч точок прямої а є підмножиною точок площини α) |
| 7 | ∪ | Об'єднання | С = A U В - безліч С є об'єднання множин A та В; (1, 2. 3, 4,5) = (1,2,3)∪(4,5) | ABCD = ∪ [ВС] ∪ - ламана лінія, ABCD є об'єднання відрізків [АВ], [ВС], |
| 8 | ∩ | Перетин множин | М=К∩L - множина М є перетин множин К і L (містить в собі елементи, що належать як множині До, так і множині L). М ∩ N = ∅- перетин множин М і N є порожня множина (Большості М і N не мають спільних елементів) | а = α ∩ β - пряма а є перетин площин α та β а ∩ b = ∅ - прямі а та b не перетинаються (Не мають спільних точок) |
| № по пір. | Позначення | Зміст | Приклад символічного запису |
|---|---|---|---|
| 1 | ∧ | Кон'юнкція речень; відповідає союзу "і". Пропозиція (р∧q) істинна тоді і тільки тоді, коли р і q обидва істинні | α∩β = ( К:K∈α∧K∈β) Перетин поверхонь α і β є безліч точок (лінія), що складається з усіх тих і тільки тих точок К, які належать як поверхні α, так і β |
| 2 | ∨ | диз'юнкція пропозицій; відповідає союзу "чи". Пропозиція (p∨q) істинно, коли істинно хоча б одне із пропозицій р або q (тобто або р, або q, або обидва). | - |
| 3 | ⇒ | Імплікація – логічне слідство. Пропозиція р⇒q означає: "якщо р, то q" | (а||с∧b||с)⇒a||b. Якщо дві прямі паралельні третій, то вони паралельні між собою |
| 4 | ⇔ | Пропозиція (р⇔q) розуміється в сенсі: "якщо р, то q; якщо q, то і р" | А∈α⇔А∈l⊂α. Точка належить площині, якщо вона належить до певної лінії, що належить цій площині. Справедливим є також і зворотне твердження: якщо точка належить певній лінії, що належить площині, вона належить і самої площині |
| 5 | ∀ | Квантор спільності читається: для кожного, для всіх, для будь-кого. Вираз ∀(x)P(x) означає: "для кожного x: має місце властивість Р(х)" | ∀(ΔАВС)( = 180°) Для кожного (для будь-якого) трикутника сума величин його кутів при вершинах дорівнює 180 ° |
| 6 | ∃ | Квантор існування читається: існує. Вираз ∃(х)P(х) означає: "існує х, що має властивість Р(х)" | (∀α)(∃a).Для будь-якої площини α існує пряма а, яка не належить площині α та паралельна площині α |
| 7 | ∃1 | Квантор єдиності існування, читається: існує єдине (-я, -й)... Вираз ∃1(x)(Рх) означає: "є єдине (тільки одне) х, що володіє властивістю Рх" | (∀ А, В)(А≠B)(∃1а)(а∋А, В) Для будь-яких двох різних точок А та В існує єдина пряма a, що проходить через ці точки. |
| 8 | (Px) | Заперечення висловлювання P(x) | аb(∃α )(α⊃а, Ь). Якщо прямі а і b схрещуються, то не існує площини а, яка містить їх |
| 9 | \ | Заперечення знаку | ≠ -відрізок [АВ] не дорівнює відрізку .а?b - лінія а не паралельна лінії b |
Коли люди тривалий час взаємодіють у межах певної сфери діяльності, вони починають шукати спосіб оптимізувати процес комунікації. Система математичних знаків та символів є штучною мовою, яка була розроблена, щоб зменшити обсяг графічно переданої інформації і при цьому повністю зберегти закладений у повідомлення зміст.
Будь-яка мова вимагає вивчення, і мова математики в цьому плані – не виняток. Щоб розуміти значення формул, рівнянь і графіків, потрібно заздалегідь володіти певною інформацією, розбиратися в термінах, системі позначень і т. д. За відсутності такого знання текст сприйматиметься як написаний незнайомою іноземною мовою.
Відповідно до запитів суспільства графічні символи для більш простих математичних операцій (наприклад, позначення додавання та віднімання) були вироблені раніше, ніж для складних понять на зразок інтеграла або диференціала. Чим складніше поняття, тим складнішим знаком воно зазвичай позначається.
Моделі утворення графічних позначень
На ранніх етапах розвитку цивілізації люди пов'язували найпростіші математичні операції із звичними їм поняттями з урахуванням асоціацій. Наприклад, у Стародавньому Єгипті додавання і віднімання позначалися малюнком ніг, що йдуть: спрямовані за напрямом читання рядки вони позначали «плюс», а у зворотний бік - «мінус».
Цифри, мабуть, у всіх культурах спочатку позначалися відповідною кількістю рис. Пізніше для запису почали використовувати умовні позначення - це економило час, і навіть місце на матеріальних носіях. Часто як символи використовувалися літери: така стратегія набула поширення в грецькій, латинській та багатьох інших мовах світу.
Історія виникнення математичних символів та знаків знає два найбільш продуктивні способи утворення графічних елементів.
Перетворення словесного уявлення
Спочатку будь-яке математичне поняття виражається деяким словом чи словосполученням і немає власного графічного уявлення (крім лексичного). Однак виконання розрахунків та написання формул словами - процедура тривала і займає невиправдано багато місця на матеріальному носії.
Поширений спосіб створення математичних символів – трансформація лексичного уявлення поняття у графічний елемент. Інакше висловлюючись, слово, що означає поняття, з часом скорочується чи перетворюється будь-яким іншим способом.
Наприклад, основною гіпотезою походження знака «плюс» є його скорочення від латинського et, аналогом якого у російській мові є спілка «і». Поступово в скорописі перша літера перестала писати, а tскоротилася до хреста.
Інший приклад - знак «ікс», що позначає невідоме, який спочатку був скороченням від арабського слова «щось». Подібним чином відбулися знаки для позначення квадратного кореня, відсотка, інтеграла, логарифму та ін У таблиці математичних символів і знаків можна зустріти більше десятка графічних елементів, що з'явилися таким чином.
Призначення довільного символу
Другий поширений варіант освіти математичних знаків та символів – призначення символу довільним чином. І тут слово і графічне позначення між собою пов'язані - знак зазвичай затверджується внаслідок рекомендації однієї з членів наукового співтовариства.
Наприклад, знаки множення, поділу, рівності були запропоновані математиками Вільямом Відредом, Йоганном Раном та Робертом Рекордом. У деяких випадках кілька математичних знаків могли бути введені у науку одним ученим. Зокрема, Готфрід Вільгельм Лейбніц запропонував цілу низку символів, у тому числі інтеграла, диференціала, похідної.
Найпростіші операції
Такі знаки, як «плюс» та «мінус», а також символи, що позначають множення та поділ, знає кожен школяр, незважаючи на те, що для останніх двох згаданих операцій є кілька можливих графічних знаків.
Можна з упевненістю говорити, що складати та віднімати люди вміли ще за багато тисячоліть до нашої ери, а ось стандартизовані математичні знаки та символи, що позначають дані дії та відомі нам сьогодні, з'явилися лише до XIV-XV століття.
Втім, незважаючи на встановлення певної домовленості в науковому співтоваристві, множення і в наш час може зображуватись трьома різними знаками (діагональний хрестик, крапка, зірочка), а розподіл - двома (горизонтальна риса з точками зверху та знизу або похила риса).
Латинські букви
Протягом багатьох століть наукове співтовариство використовувало для обміну інформацією виключно латину, і багато математичних термінів і знаків виявляють свої витоки саме в цій мові. У деяких випадках графічні елементи стали результатом скорочення слів, рідше їхнього навмисного чи випадкового перетворення (наприклад, внаслідок описки).
Позначення відсотка («%»), найімовірніше, походить від помилкового написання скорочення cto(cento, тобто "сота частка"). Подібним чином стався знак плюс, історія якого описана вище.
Набагато більше було утворено шляхом навмисного скорочення слова, хоча це завжди очевидно. Далеко не кожна людина дізнається у знаку квадратного кореня букву R, тобто перший знак у слові Radix («корінь»). Символ інтеграла також є першою буквою слова Summa, проте інтуїтивно вона схожа на прописну fбез горизонтальної межі. До речі, у першій публікації видавці припустилися саме такої помилки, надрукувавши f замість цього символу.
Грецькі літери
Як графічні позначення для різних понять використовуються не тільки латинські, але і в таблиці математичних символів можна знайти цілий ряд прикладів такого найменування.
Число Пі, що є відношенням довжини кола до її діаметра, походить від першої літери грецького слова, що позначає коло. Існує ще кілька менш відомих ірраціональних чисел, що позначаються літерами грецького абетки.
Вкрай поширеним знаком у математиці є «дельта», що відбиває величину зміни значення змінних. Ще одним уживаним знаком є "сигма", що виконує функцію знака суми.
Більше того, практично всі грецькі літери так чи інакше використовуються у математиці. Однак дані математичні знаки та символи та їх значення знають лише люди, які займаються наукою професійно. У побуті та повсякденному житті ці знання людині не потрібні.
Знаки логіки
Як не дивно, багато інтуїтивно зрозумілих символів були придумані зовсім недавно.
Зокрема, горизонтальна стрілка, яка замінює слово «отже», була запропонована лише в 1922 Квантори існування і загальності, тобто знаки, що читаються як: «існує…» і «для будь-якого…», були введені в 1897 і 1935 році відповідно.
Символи в галузі теорії множин були придумані в 1888-1889 роках. А перекреслене коло, яке сьогодні відоме будь-якому учню середньої школи як знак порожньої множини, з'явилося 1939 року.
Таким чином, знаки для таких непростих понять, як інтеграл або логарифм, були придумані на століття раніше, ніж деякі інтуїтивно зрозумілі символи, які легко сприймаються і засвоюються навіть без попередньої підготовки.
Математичні символи англійською
Зважаючи на те, що значна частина понять була описана в наукових працях латиною, ряд назв математичних знаків та символів англійською та російською мовами однакові. Наприклад: Plus ("плюс"), Integral ("інтеграл"), Delta function ("дельта-функція"), Perpendicular ("перпендикулярний"), Parallel ("паралельний"), Null ("нуль").
Частина понять у двох мовах називаються по-різному: так, розподіл - це Division, множення - Multiplication. У поодиноких випадках англійська назва для математичного знака набуває деякого поширення в російській мові: наприклад, коса риса останніми роками нерідко називається «слішем» (англ. Slash).
Таблиця символів
Найпростіший і найзручніший спосіб ознайомитися з переліком математичних знаків - подивитися спеціальну таблицю, в якій містяться знаки операцій, символи математичної логіки, теорії множин, геометрії, комбінаторики, математичного аналізу, лінійної алгебри. У цій таблиці представлені основні математичні знаки англійською.
Математичні знаки у текстовому редакторі
При виконанні різноманітних робіт часто потрібно використовувати формули, де використовуються знаки, відсутні на клавіатурі комп'ютера.
Як і графічні елементи практично будь-якої галузі знань, математичні знаки і символи у «Ворді» можна знайти у вкладці «Вставка». У версіях програми 2003 або 2007 року існує опція «Вставка символу»: при натисканні на кнопку в правій частині панелі користувач побачить таблицю, в якій представлені всі необхідні математичні знаки, грецькі малі та великі літери, різні види дужок та багато іншого.
У версіях програми, що вийшли після 2010 року, розроблено зручнішу опцію. При натисканні на кнопку «Формула» відбувається перехід до конструктора формул, де передбачено використання дробів, занесення даних під корінь, зміна регістру (для позначення ступенів або порядкових номерів змінних). Тут можуть бути знайдені всі знаки з таблиці, представленої вище.
Чи варто вивчати математичні символи
Система математичних позначень є штучна мова, яка лише спрощує процес запису, але не може принести розуміння предмета сторонньому спостерігачеві. Таким чином, запам'ятовування знаків без вивчення термінів, правил, логічних зв'язків між поняттями не призведе до опанування цієї галузі знань.
Людський мозок легко засвоює знаки, літери та скорочення - математичні позначення запам'ятовуються самі щодо предмета. Розуміння сенсу кожної конкретної дії створює настільки міцні знаки, що позначають терміни, а найчастіше і формули, пов'язані з ними, залишаються в пам'яті на багато років і навіть десятиліття.
На закінчення
Оскільки будь-яка мова, у тому числі штучна, є відкритою до змін та доповнень, число математичних знаків та символів неодмінно зростатиме з часом. Не виключено, що якісь елементи будуть замінені або скориговані, а інші стандартизовані в єдино можливому вигляді, що актуально, наприклад, для знаків множення або поділу.
Вміння користуватися математичними символами лише на рівні повного шкільного курсу є у світі практично необхідним. В умовах бурхливого розвитку інформаційних технологій та науки, повсюдної алгоритмізації та автоматизації володіння математичним апаратом слід сприймати як даність, а освоєння математичних символів – як невід'ємну його частину.
Оскільки розрахунки використовуються і в гуманітарній сфері, і в економіці, і в природничих науках, і, зрозуміло, в галузі техніки та високих технологій, розуміння математичних понять та знання символів стане корисним для будь-якого фахівця.
«Символи не є лише записом думок,
засобом її зображення та закріплення, -
ні, вони впливають на думку,
вони ... направляють її, і буває достатньо
перемістити їх на папері… для того, щоб
безпомилково досягти нових істин».
Л.Карно
Математичні знаки служать насамперед для точного (однозначно певного) запису математичних понять та речень. Їхня сукупність у реальних умовах їх застосування математиками становить те, що називається, математичною мовою.
Математичні знаки дозволяють записувати в компактній формі речення, громіздко виражені звичайною мовою. Це полегшує їхнє запам'ятовування.
Перш ніж використовувати у міркуваннях ті чи інші знаки, математик намагається сказати, кожен із новачків позначає. Інакше його можуть зрозуміти.
Але математики не завжди можуть сказати відразу, що відображає той чи інший символ, введений ними для математичної теорії. Наприклад, сотні років математики оперували негативними та комплексними числами, проте об'єктивний зміст цих чисел і дію з ними вдалося розкрити лише наприкінці XVIII та на початку XIX століття.
1. Символізм математичних кванторов
Подібно до звичайної мови, мова математичних знаків дозволяє обмінюватися встановленими математичними істинами, але будучи лише допоміжним засобом, що приєднується до звичайної мови і без неї існувати, не може.
Математичне визначення:
Звичайною мовою:
Межею функції F (x) в деякій точці X0 називається постійне число А, таке для довільного числа Е> 0 існує таке позитивне d(E), що з |X - X 0 | Запис у кванторах (математичною мовою) 2. Символізм математичних знаків та геометричних фігур. 1) Нескінченність - концепція, яка використовується в математиці, філософії та природничих науках. Нескінченність якогось поняття чи атрибута деякого об'єкта означає неможливість вказати йому межі чи кількісну міру. Термін нескінченність відповідає декільком різним поняттям, залежно від галузі застосування, чи то математика, фізика, філософія, теологія чи повсякденне життя. У математиці немає єдиного поняття нескінченності, вона наділяється особливими властивостями у кожному розділі. Більше того, ці різні «нескінченності» не взаємозамінні. Наприклад, теорія множин має на увазі різні нескінченності, причому одна може бути більшою за іншу. Скажімо, кількість цілих чисел нескінченно велике (воно називається лічильним). Щоб узагальнити поняття кількості елементів нескінченних множин, в математиці вводиться поняття потужності множини. При цьому немає однієї «нескінченної» потужності. Наприклад, потужність безлічі дійсних чисел більша за потужність цілих чисел, тому що між цими множинами не можна побудувати взаємно-однозначну відповідність, а цілі числа включені в дійсні. Таким чином, у цьому випадку одне кардинальне число (рівно потужності множини) «нескінченніше» іншого. Основоположником цих понять був німецький математик Георг Кантор. У математичному аналізі до безлічі дійсних чисел додаються два символи, плюс і мінус нескінченність, що застосовуються визначення граничних значень і збіжності. Слід зазначити, що у разі про «відчутної» нескінченності не йде, оскільки будь-яке твердження, що містить цей символ, можна записати, використовуючи лише кінцеві числа і квантори. Ці символи (як і багато інших) були введені для скорочення запису довших виразів. Нескінченність також нерозривно пов'язана з позначенням нескінченно малого, наприклад, ще Аристотель сказав: Нескінченність у більшості культур з'явилася як абстрактне кількісне позначення чогось незбагненно великого, стосовно сутностей без просторових чи тимчасових кордонів. 2) Коло — геометричне місце точок площини, відстань яких до заданої точки, званої центром кола, вбирається у заданого неотрицательного числа, званого радіусом цього кола. Якщо радіус дорівнює нулю, то коло вироджується у крапку. Окружність — геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки, яка називається центром, на задану ненульову відстань, яку називають її радіусом. 3) Квадрат (ромб) - є символом комбінації та впорядкування чотирьох різних елементів, наприклад чотири основні стихії або чотири пори року. Символ числа 4, рівності, простоти, прямоти, істини, справедливості, мудрості, честі. Симетрія є тією ідеєю за допомогою якої людина намагається осягнути гармонію і з давніх-давен вважалася символом прекрасного. Симетрією мають так звані "фігурні" вірші, текст яких має контур ромба. Ми - (Е.Березень, 1894р) 4) Прямокутник. З усіх геометричних форм це найбільш раціональна, найбільш надійна та правильна фігура; Емпірично це пояснюється тим фактом, що завжди і скрізь прямокутник був улюбленою формою. За допомогою нього людина пристосовувала простір або будь-який предмет для безпосереднього використання у побуті, наприклад: будинок, кімната, стіл, ліжко і т.п. 5) Пентагон – правильний п'ятикутник у вигляді зірки символ вічності, досконалості, всесвіту. Пентагон – амулет здоров'я, знак на дверях для того, щоб відігнати відьом, емблема Тота, Меркурія, кельтського Гавайна та ін, символ п'яти ран Ісуса Христа, благополуччя, удачі у євреїв, легендарний ключ Соломона; знак високого становища у суспільстві у Японців. 6) Правильний шестикутник, гексагон – символ достатку, краси, гармонії, свободи, шлюбу, символ числа 6, образ людини (дві руки, дві ноги, голова та тулуб). 7) Хрест – символ вищих сакральних цінностей. Хрест моделює духовний аспект, сходження духу, прагнення богу, до вічності. Хрест – універсальний символ єдності життя та смерті. 8) Трикутник - це геометрична фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що з'єднують ці три точки. 9) Шестикутна Зірка (Зірка Давида) – складається з двох накладених один на інший рівносторонніх трикутників. Одна з версій походження знака пов'язує його форму з формою квітки Білої лілії, що має шість пелюсток. Квітка традиційно розташовувалась під храмовим світильником, таким чином, що священик запалював вогонь, як би, у центрі Маґен Давида. У кабалі два трикутники символізують властиву людині дуальність: добро проти зла, духовне проти фізичного тощо. Трикутник, спрямований вістрям вгору, символізує наші добрі справи, які піднімаються на небеса і викликають потік благодаті, що сходить назад у цей світ (що символізує трикутник, спрямований вниз). Іноді Зірку Давида називають Зіркою Творця і пов'язують кожен із її шести кінців із одним із днів тижня, а центр – із суботою. 10) П'ятикутна Зірка - Основною емблемою більшовиків є червона п'ятикутна зірка, офіційно встановлена навесні 1918 року. Спочатку більшовицька пропаганда назвала її " Марсовою зіркою " ( нібито належить античному богу війни -- марсу ) , та був заявляти , що " П'ять променів зірки , означає союз трудящих всіх п'яти континентів у боротьбі проти капіталізму " . Насправді ж п'ятикутна зірка не має жодного відношення ні до войовничого божества Марса, ні до міжнародного пролетаріату, це - давній окультний знак (очевидно близькосхідного походження), що називається "Пентаграма" або "Зіркою Соломона". Зазначимо, що найчастіше пентаграма розміщувалася більшовиками на червоноармійському обмундируванні, у військовій техніці, різних знаках та всіляких атрибутах наочної агітації суто по-сатанинськи: двома “рогами” вгору. 3. Масонські знаки Масони Девіз:«Свобода. Рівність. Братство». Громадський рух вільних людей, які на основі вільного вибору дозволяють стати кращими, стати ближчими до Бога слідчо, вони визнані покращити світ. Знаки Променисте око (дельта) – знак стародавній, релігійний. Він говорить про те, що Бог наглядає над своїми творіннями. Зображенням цього знаку масони питали у Бога благословення на якісь грандіозні дії, на працю свою. Променисте око розташоване на фронтоні Казанського Собору в Санкт-Петербурзі. Поєднання циркуля та косинця в масонському знаку. Для непосвяченого - це знаряддя праці (муляра), а посвячених - це способи пізнання світу і співвідношення божественної премудрості і людського розуму. Для божественної премудрості немає неможливого, вона може прийняти і вид людський (-) і вид божественний (0), все може вмістити. Таким чином, людський розум осягає божественну премудрість, обіймає її. У філософії це твердження є постулатом про абсолютну та відносну істину. Шестикутна Зірка (Віфлеєма) Літера G - позначення бога (нім. - Got), великого геометра Всесвіту. Висновок Математичні знаки служать насамперед для точного запису математичних понять та речень. Їхня сукупність становить те, що називається математичною мовою.
«… завжди можна придумати більше, тому що кількість частин, на які можна розділити відрізок, не має межі; тому нескінченність потенційна, будь-коли дійсна, і яку б число поділів не задали, завжди потенційно можна розділити цей відрізок ще більше». Зауважимо, що Аристотель зробив великий внесок у усвідомлення нескінченності, розділивши її на потенційну та актуальну, і впритул підійшов з цього боку до основ математичного аналізу, також вказавши на п'ять джерел уявлення про неї:
Далі нескінченність набула розвитку у філософії та теології нарівні з точними науками. Наприклад, у теології нескінченність Бога й не так дає кількісне визначення, скільки означає необмеженість і незбагненність. У філософії це атрибут простору та часу.
Сучасна фізика впритул підходить до заперечуваної Аристотелем актуальності нескінченності — тобто доступності в реальному світі, а не лише в абстрактному. Наприклад, є поняття сингулярності, тісно пов'язане з чорними дірками та теорією великого вибуху: це точка в просторі-часі, в якій маса в нескінченно малому обсязі зосереджена з нескінченною щільністю. Вже є солідні непрямі докази існування чорних дірок, хоча теорія великого вибуху перебуває ще стадії розробки.
Коло - символ сонця, місяця. Один із найпоширеніших символів. А також є символом нескінченності, вічності, досконалості.
Вірш – ромб.
Серед темряви.
Око відпочиває.
Сутінки ночі живі.
Серце жадібно зітхає,
Шепіт зірок долітає часом.
І блакитні почуття тісняться натовпом.
Все забулося у блиску росистому.
Поцілуємо запашним!
Швидше блисни!
Знову шепні,
Як тоді:
«Так!»
Звісно, із цими твердженнями можна й не погоджуватися.
Однак ніхто не заперечуватиме, що будь-яке зображення викликає у людини асоціації. Але проблема в тому, що одні предмети, сюжети чи графічні елементи викликають у всіх людей (вірніше, у багатьох) однакові асоціації, а інші абсолютно різні.
Властивості трикутника як фігури: міцність, незмінність.
Аксіома А1 стереометрії говорить: «Через 3 точки простору, що не лежать на одній прямій, проходить площина, і до того ж тільки одна!»
Щоб перевірити глибину розуміння цього твердження, зазвичай ставлять завдання на засипку: «На столі сидять три мухи, на трьох кінцях столу. У певний момент вони розлітаються за трьома взаємно - перпендикулярними напрямками з однаковою швидкістю. Коли вони знову опиняться в одній площині? Відповіддю є той факт, що три точки завжди, у будь-який момент, визначають єдину площину. І саме 3 точки визначають трикутник, тому ця фігура в геометрії вважається найстійкішою та найміцнішою.
Трикутник зазвичай відносять до гострої, "наступальної" фігури, пов'язаної з чоловічим початком. Рівносторонній трикутник - чоловічий та сонячний знак, що представляє божество, вогонь, життя, серце, гору та сходження, добробут, гармонію та королівську владу. Перевернутий трикутник - жіночий та місячний символ, що уособлює воду, плодючість, дощ, божественну милість.
Державні символи США також містять Шестикутну Зірку в різних видах, зокрема є вона на Великій пресі США та на грошових знаках. Зірка Давида зображена на гербах німецьких міст Шер та Гербштедт, а також українських Тернополя та Конотопу. Три шестикінцеві зірки зображені на прапорі Бурунді та уособлюють національний девіз: «Єдність. Робота. Прогрес».
У християнстві шестикутна зірка – символ Христа, а саме з'єднання у Христі божественної та людської природи. Саме тому цей знак вписано до Православного Хреста.
Уряду”, що під повним контролем масонства.
Часто сатаністи малюють пентаграму двома кінцями вгору, щоб туди було легко вписати диявольську голову “Пентаграма Бафомета”. Портрет "Полум'яного революціонера" вміщений всередині "Пентаграми Бафомета", що є центральною частиною композиції проектованого в 1932 особливого чекістського ордена "Фелікса Дзержинського" (далі проект був відхилений Сталіним, глибоко ненависним "Залізного Фелікса").
Марксистські плани “всесвітньої пролетарської революції” мали явно масонське походження, ряд найвизначніших марксистів перебував у масонстві. До них належав Л.Троцький, саме він і запропонував зробити масонську пентаграму пізнавальною емблемою більшовизму.
Міжнародні масонські ложі таємно надавали більшовикам всебічну підтримку, особливо фінансову.
Масони - соратники Творця, сподвижники суспільного прогресу, проти інерції, відсталості та невігластва. Визначні представники масонства – Карамзін Микола Михайлович, Суворов Олександр Васильович, Кутузов Михайло Іларіонович, Пушкін Олександр Сергійович, Геббельс Йозеф.
Кутник, як правило, знизу - це людське пізнання світу. З погляду масонства, людина входить у світ, що пізнати божественний задум. А для пізнання потрібний інструментарій. Найефективніша наука у пізнанні світу – математика.
Кутник - найдавніший математичний інструмент, відомий з незапам'ятних часів. Градуювання косинця - вже великий крок уперед у математичному інструментарії пізнання. Людина пізнає світ з допомогою наук математика їх найперша, але з єдина.
Однак косинець дерев'яний, і він містить те, що може вмістити. Його не можна розсунути. Якщо ти спробуєш його розсунути, щоб він вміщав більше, ти поламаєш його.
Так люди, які намагаються пізнати всю нескінченність божественного задуму, або вмирають, або божеволіють. «Знай, свої межі!» - Ось що повідомляє Міру цей знак. Будь ти навіть Ейнштейн, Ньютон, Сахаров – найбільші уми людства! - розумій, що ти обмежений часом, коли ти народжений; у пізнанні світу, мовою, об'ємом мозку, різними людськими обмеженнями, життям твого тіла. Тому так, пізнавай, але розумій, що ти ніколи до кінця не пізнаєш!
А циркуль? Циркуль є божественна премудрість. Циркуль можна описати коло, а якщо розсунути йому ніжки, то буде пряма. А в символічних системах коло та пряма – дві протилежності. Пряма означає людину, її початок і кінець (як тире між двома датами - народження та смерті). Коло - символ божества, оскільки є досконалою фігурою. Вони один одному протистоять – божественна та людська постаті. Людина не досконала. Бог – досконалий у всьому.
Люди завжди пізнають істину, але завжди відносну істину. А абсолютна істина відома лише Богові.
Пізнавай все більше, усвідомлюючи, що не зможеш пізнати істину до кінця - які глибини ми знаходимо у звичайному циркулі з косинцем! Хто б міг подумати!
Ось у чому краса і чарівність масонської символіки, у її величезній інтелектуальній глибині.
Починаючи з епохи Середньовіччя циркуль як інструмент для викреслення бездоганних кіл став символом геометрії, космічного порядку та планомірних дій. У цей час часто малювали Бога Саваофа в образі творця та архітектора Всесвіту з циркулем у руках (Уїльям Блейк «Великий Архітектор», 1794).
Шестикутна Зірка, означала Єдність та Боротьбу Протилежностей, боротьбу Чоловіка та Жінки, Добра та Зла, Світла та Темряви. Не може одне існувати без іншого. Напруга, що виникає між цими протилежностями, створює світ у тому вигляді, як ми його знаємо.
Трикутник вгору означає – «Людина прагне Бога». Трикутник вниз - "Божество сходить до Людини". У їхньому поєднанні і існує наш світ, який і є з'єднанням Людського і Божественного. Літера G тут означає, що Бог живе у нашому світі. Він реально присутній у всьому, ним створеному.
Вирішальною силою розвитку математичної символіки є “вільна воля” математиків, а вимоги практики, математичних досліджень. Саме реальні математичні дослідження допомагають з'ясувати, яка система знаків якнайкраще відображає структуру кількісних і якісних відносин, внаслідок чого можуть бути ефективним знаряддям їх подальшого застосування у символах та емблемах.