Полярна система координат (полярні координати)

Полярна система координат на площині - це сукупність точки O, званої полюсом, і напівпрямої OX, званої полярною віссю. Крім того, задається масштабний відрізокдля виміру відстаней від точок площини до полюса. Як правило, на полярній осі вибирається вектор \vec(i) , доданий до точки O , довжина якого приймається за величину масштабного відрізка, а напрямок вектора задає позитивний напрямок на полярній осі (рис.2.28,а).

Положення точки M в полярної системикоординат визначається відстанню r ( полярним радіусом) від точки M до полюса (тобто. r=\vert\overrightarrow(OM)\vert) і кутом \varphi (полярним кутом ) між полярною віссю та вектором \overrightarrow(OM). Полярний радіус та полярний кут становлять полярні координатиточки M записується у вигляді M(r,\varphi) . Полярний кут вимірюється в радіанах та відраховується від полярної осі:

У позитивному напрямку (проти напрямку руху годинникової стрілки), якщо значення кута позитивне;

У негативному напрямку (у напрямку руху стрілки годинника), якщо значення кута негативне.

Полярний радіус визначений для будь-якої точки площини і набуває невід'ємних значень r\geqslant0 . Полярний кут \varphi визначений для будь-якої точки площини, за винятком полюса O і приймає значення -\pi<\varphi\leqslant\pi званими головними значеннями полярного кута. У деяких випадках доцільно вважати, що полярний кут визначений з точністю до доданків 2\pi n де n\in\mathbb(Z) . У цьому випадку значенням \varphi+2\pi n полярного кута для всіх n\in\mathbb(Z) відповідає один і той же напрямок радіус-вектора.

З полярною системою координат Or\varphi можна пов'язати прямокутну систему координат O\vec(i)\vec(j) , початок O якої збігається з полюсом, а вісь абсцис (точніше позитивна піввісь абсцис) - з полярною віссю. Вісь ординат добудовується перпендикулярно осі абсцис так, щоб вийшла права прямокутна система координат (рис.2.28,б). Довжини базисних векторів визначаються масштабним відрізком на осі полярної.

Навпаки, якщо на площині задана права прямокутна система координат, то, прийнявши позитивну піввісь абсцис за полярну вісь, отримаємо систему координат (пов'язану з даною прямокутною).

Виведемо формули, що зв'язують між собою прямокутні координати x,y точки M, відмінної від точки O, та її полярні координати r,\varphi. По рис.2.28,б отримуємо

\begin(cases)x=r\cdot\cos\varphi,\y=r\cdot\sin\varphi.\end(cases)

Ці формули дозволяють знайти прямокутні координати за відомими полярними координатами. Зворотний перехід виконується за формулами:

\left\(\begin(aligned)r&= \sqrt(x^2+y^2),\\ \cos\varphi&= \frac(x)(r)=\frac(x)(\sqrt(x^) 2+y^2)),\\sin\varphi&= \frac(y)(r)=\frac(y)(\sqrt(x^2+y^2)).\end(aligned)\right .

Останні дві рівності визначають полярний кут з точністю до доданків 2pi n , де n in mathbb (Z) . При x\ne0 їх слід, що \operatorname(tg)\frac(y)(x)\varphi~(-\pi<\varphi\leqslant\pi) знаходиться за формулами (рис.2.29):

\varphi=\left\(\begin(aligned)\operatorname(arctg)\frac(y)(x),\quad&x>0,\pi+\operatorname(arctg)\frac(y)(x),\ quad&x<0,\,y\geqslant0,\\-\pi+\operatorname{arctg}\frac{y}{x},\quad&x<0,\,y<0,\\\frac{\pi}{2},\quad&x=0,\,y>0,\\-\frac(\pi)(2),\quad&x=0,\,y<0.\end{aligned}\right.

Приклад 2.9.У полярній системі координат Or\varphi:

а) зобразити координатні лінії r=1,~r=2,~r=3,~\varphi=\frac(\pi)(4),~\varphi=\frac(\pi)(2);

б) зобразити точки M_1 ~ M_2 з полярними координатами r_1=3,~\varphi_1=\frac(9\pi)(4),~r_2=3,~\varphi=-\frac(7\pi)(4). Знайти основні значення полярних кутів цих точок;

в) знайти прямокутні координати точок M_1 ~ M_2 .

Рішення.а) Координатні лінії r=1,~r=2,~r=3 являють собою кола відповідних радіусів, а лінії \varphi=\frac(\pi)(4), \varphi=\frac(\pi)(2)і \varphi=\frac(3\pi)(4)- Напівпрямі (рис.2.30,а).

б) Побудуємо точки M_1\!\left(3,\frac(9\pi)(4)\right)і M_2\!\left(3,-\frac(7\pi)(4)\right)(Рис.2.30, б, в). Їх координати відрізняються полярним кутом, однак, мають одне й те саме головне значення \varphi=\frac(\pi)(4). Отже, це та сама точка, яка збігається з точкою M\!\left(3,\frac(\pi)(4)\right), Зображеної на рис.2.30,а.

в) З огляду на пункт "б" знайдемо прямокутні координати точки M . За формулами (2.17) отримуємо:

x=r\cdot\cos\varphi=3\cdot\cos\frac(\pi)(4)=\frac(3\sqrt(2))(2);~y=r\cdot\sin\frac( \pi)(4)=\frac(3\sqrt(2))(2),тобто M\!\left(\frac(3\sqrt(2))(2),\frac(3\sqrt(2))(2)\right).

Зауваження 2.8

1. Головне значення полярного кута можна вибрати інакше, наприклад, 0\leqslant\varphi<2\pi .

2. Відстань між двома точками M_1(r_1, \ varphi_1)і M_2(r_2, \ varphi_2)(довжина відрізка M_1M_2) обчислюється за формулою

M_1M_2=\sqrt(r_1^2+r_2^2-2\cdot r_1\cdot r_2\cdot\cos(\varphi_2-\varphi_1)),

що випливає з теореми косінусів (рис.2.31).

3. Орієнтована площа S_(\ast)^(\land) паралелограма (рис.2.31), побудованого на радіус-векторах і знаходиться за формулою

S_(\ast\overrightarrow(OM_1),\overrightarrow(OM_2))^(\land)=\overrightarrow(OM_1)\land\overrightarrow(OM_2)=r_1\cdot r_2\cdot\sin(\varphi_2-\varphi_1) .

Вона позитивна, якщо \varphi_1<\varphi_2 (при цьому орієнтація пари радіус- векторів \overrightarrow(OM_1)і \overrightarrow(OM_2)права), і негативна, якщо \varphi_1>\varphi_2(орієнтація пари радіус-векторів \overrightarrow(OM_1)і \overrightarrow(OM_2)ліва).

Приклад 2.10.Дано полярні координати \varphi_A=\frac(\pi)(3),~r_A=4і \varphi_B=\frac(2\pi)(3),~r_B=2точок A та B (рис.2.32). Потрібно знайти:

а) скалярний твір \bigl\langle\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB)\bigl\rangle;

б) довжину відрізка AB;

в) зовнішній твір \overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB);

г) площа S_(OAB) трикутника OAB;

д) координати середини C відрізка AB у прямокутній системі координат, пов'язаної з цією полярною.

Рішення.а) За визначенням скалярного твору знаходимо

\left\langle\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB)\right\rangle=\left|\overrightarrow(OA)\right|(\cdot)\left|\overrightarrow(OB)\right|\!\cdot \cos\psi=r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-varphi_A)=4\cdot2\cdot\cos\frac(\pi)(3)=4.

б) Знаходимо довжину відрізка (див. пункт 2 зауважень 2.8):

AB=\sqrt(r_A^2+r_B^2-2\cdot r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-varphi_A))=\sqrt(4^2+2^2-2\cdot4\cdot2\) cdot frac (1) (2)) = 2 sqrt (3).

в) Зовнішній твір знаходимо як орієнтовану площу паралелограма, побудованого на векторах і :

\overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB)=r_A\cdot r_B\cdot\sin(\varphi_B-varphi_A)=2\cdot4\cdot\sin\frac(\pi)(3)=4\sqrt( 3).

Площа позитивна, тому що вектори \overrightarrow(OA)і \overrightarrow(OB)утворюють праву пару (\varphi_A<\varphi_B) .

г) Площа трикутника OAB знаходимо як половину площі паралелограма, побудованого на радіус-векторах \overrightarrow(OA)і \overrightarrow(OB).

Так як S_(\ast\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB))=\left|\overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB)\right|=4\sqrt(3)(див. пункт "в"), то S_(OAB)=\frac(1)(2)\cdot4\sqrt(3)=2\sqrt(3).

д) За формулами (2.17) знаходимо прямокутні координати точок A і B:

\begin(gathered)x_A=r_A\cdot\cos\varphi_A=4\cdot\frac(1)(2)=2,\quad y_A=r_A\cdot\sin\varphi_A=4\cdot\frac(\sqrt( 3)) (2) = 2 \ sqrt (3); sin\varphi_B=2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)=\sqrt(3).\end(gathered)

а потім координати середини C відрізка AB (див. пункт 3 зауважень 2.1):

x_C=\frac(x_A+x_b)(2)=\frac(2+(-1))(2)=\frac(1)(2);\quad y_C=\frac(y_A+y_B)(2) = frac (2 sqrt (3) + sqrt (3)) (2) = frac (3 sqrt (3)) (2).

Приклад 2.11.На координатній площині Oxy зазначено точку A(4,-3) . Знайти:

а) полярні координати точки A" , образу точки A при повороті радіус-вектора \overrightarrow(OA)на кут \frac(\pi)(3) навколо початку координат (рис.2.33);

б) полярні координати точки A_1, образу точки A при інверсії площини щодо кола одиничного радіусу з центром на початку координат (див. приклад б перетворень площини в розд. 2.2.4).

Рішення.а) Знайдемо полярні координати точки A . За формулами (2.17), враховуючи рис.2.29, отримуємо:

r_A=\sqrt(x_A^2+y_A^2)=\sqrt(4^2+(-3)^2)=5;\quad\varphi_A=\operatorname(arctg)\frac(y_A)(x_A)= \operatorname(arctg)\frac(-3)(4)=-\operatorname(arctg)\frac(3)(4),

оскільки точка A лежить в чверті \text(IV).

При повороті радіус-вектора \overrightarrow(OA)навколо полюса на кут \frac(\pi)(3) полярний радіус не змінюється, а полярний кут збільшується. Отже, полярні координати точки A": r_(A")=r_(A)=5 \varphi_(A")=\varphi_(A)+\frac(\pi)(3)=\frac(\pi)(3)-\operatorname(arctg)\frac(3)(4), причому \varphi_(A") - головне значення полярного кута (-\pi<\varphi_{A"}\leqslant\pi) .

б) При інверсії щодо кола радіусу R полярні координати r",\varphi" образу виражаються через полярні координати r,\varphi прообразу наступними формулами:

r"=\frac(R^2)(r),\quad\varphi"=\varphi.

Тому, враховуючи пункт "а", знаходимо (для R=1):

r_(A_1)=\frac(1)(r_A)=\frac(1)(5),\quad\varphi_(A_1)=\varphi_(A)=-\operatorname(arctg)\frac(3)(4 ).

Сторінка 1

Y-координати будь-якої точки у першому квадранті позитивні.

Крапки у третьому і четвертому квадрантах мають негативні Y-координати, причому у третьому квадранті Х - координати точок негативні.

Координатне табло відображає точні Х- та Y-координати поточного розташування курсору ArchiCAD у системі координат.

У другому квадранті Х координати точок позитивні, а Y координати негативні.

Труднощі у тому, що розташування ферзей визначається лише їх Y-координатами, а Х - координати у поданні позиції немає у явному вигляді.

Під час пошуку рішення програма, наведена на рис. 4.7 перевіряє різні значення Y-координат ферзей. Де програми визначається порядок перебору інших варіантів.

Оскільки прийнято записувати спочатку Х - координату точки, та був вже Y-координату, то вираз - r - / Q - P ще визначає потрібної величини. Результат дорівнює частці від поділу різниці координат по осі X на різницю значень координат по осі Y, що відповідно до визначення дає величину, зворотну до значення нахилу прямої.

ЗНАЧЕННЯ КООРДИНАТ) та поміщає її у вихідну таблицю повідомлень та у вихідний список даних. Згодом ця команда, що містить Х- та Y-координати обраної позиції екрана, буде передана в основну ЕОМ.

Положення нової системи XOt Y щодо старої системи хОу буде визначено, якщо відомі координати а і Ь нового початку, за старою системою і кут між осями Ох і OtX. Позначимо через х і координати довільної точки М щодо старої системи, через X і Y-координати тієї ж точки відносно нової системи. Наше завдання полягає в тому, щоб старі координати х і у виразити через нові X та Y. У отримані формули перетворення повинні, очевидно, входити постійні а, Ъ і ос. Вирішення цього спільного завдання ми отримаємо з розгляду двох окремих випадків.

Вона посилається на два елементи у списку даних - X та Y. Дисплейний процесор нашого терміналу має окремі команди для переведення променя в нове положення за Х- та Y-координатами. Тому процедура виконання команди SET ORIGIN має генерувати дві команди дисплейного процесора. Крім того, необхідно визначити, який об'єкт ініціалізується за допомогою команди SET ORIGIN – сегмент або елемент. Для цього процедура опитує кореляційну таблицю, використовуючи поле параметра команди. У разі сегмента позиція на екрані задається в абсолютних координатах, а у випадку елемента - у відносних. Процедура, що виконує команду SET ORIGIN, має встановити чи очистити спеціальний біт відповідних команд дисплейного процесора.

Програма нескінченно довго обстежуватиме цю нескінченну область простору, так і не наблизившись до мети. Простір станів завдання про вісім ферз, визначений так, як це зроблено в цьому розділі, на перший погляд містить пастку саме такого роду. Але виявляється, що воно все-таки звичайно, оскільки Y-координати вибираються з обмеженої множини, і тому на дошку можна поставити безпечним чином не більше восьми ферзей.

Процедура, що виконує цю команду, надає чотири види засобів для інтерактивної генерації об'єктів. Першим засобом є узагальнена процедура малювання прямих ліній. Малювання здійснюється переміщенням спеціальної мітки на початок лінії та наступним переміщенням її в кінець лінії. При переміщенні мітки до кінця лінії генерується вектор, що з'єднує початок лінії та поточне положення мітки. Звільнивши клавішу на корпусі світлового пера, можна перемістити мітку з одного кінця лінії, що малюється на інший. Коли користувач вкаже на світлову кнопку ACCEPT, генерується команда L4, за допомогою якої X-Y координати намальованої лінії передаються в основну ЕОМ.

Сторінки: 1

Прямокутна система координат на площині утворюється двома перпендикулярними взаємно осями координат OX і OY. Осі координат перетинаються в точці O, яка називається початком координат, на кожній осі вибрано позитивний напрямок. У правосторонній системі координат позитивний напрямок осей вибирають так, щоб при напрямку осі OY вгору, вісь OX дивилася праворуч.

Чотири кути (I, II, III, IV), утворені осями координат X"X та Y"Y, називаються координатними кутами або квадрантами

Положення точки A на площині визначається двома координатами x та y. Координата x дорівнює довжині відрізка OB, координата y - довжині відрізка OC у вибраних одиницях виміру. Відрізки OB та OC визначаються лініями, проведеними з точки A паралельно осям Y"Y та X"X відповідно. Координата x називається абсцисою точки A, координата y – ординатою точки A. Записують так: .

Якщо точка A лежить у координатному кутку I, то точка A має позитивні абсцису та ординату. Якщо точка A лежить у координатному кутку II, то точка A має негативну абсцису та позитивну ординату. Якщо точка A лежить у координатному кутку III, то точка A має негативні абсцису та ординату. Якщо точка A лежить у координатному кутку IV, то точка A має позитивну абсцису та негативну ординату.

Прямокутна система координат у просторіутворюється трьома взаємно перпендикулярними осями координат OX, OY та OZ. Осі координат перетинаються в точці O, яка називається початком координат, на кожній осі вибрано позитивний напрямок, вказаний стрілками, і одиниця виміру відрізків на осях. Одиниці виміру зазвичай однакові всім осей (що є обов'язковим). OX – вісь абсцис, OY – вісь ординат, OZ – вісь аплікат.

Якщо великий палець правої руки прийняти напрям X, вказівний напрям Y, а середній напрям Z, то утворюється права система координат. Аналогічними пальцями лівої руки утворюється ліва система координат. Інакше кажучи, позитивний напрямок осей вибирають так, щоб при повороті осі OX проти годинникової стрілки на 90° її позитивний напрямок збіглося з позитивним напрямом осі OY, якщо цей поворот спостерігати з боку позитивного осі OZ. Праву та ліву системи координат неможливо поєднати так, щоб збіглися відповідні осі.

Положення точки A у просторі визначається трьома координатами x, y та z. Координата x дорівнює довжині відрізка OB, координата y – довжині відрізка OC, координата z – довжині відрізка OD у вибраних одиницях вимірювання. Відрізки OB, OC і OD визначаються площинами, проведеними з точки A паралельно площин YOZ, XOZ і XOY відповідно. Координата x називається абсцисою точки A, координата y - ординатою точки A, координата z - аплікати точки A. Записують так: .

Опр. Система координат (Про; , , ) зв. прямокутною, якщо: 1) базисні вектори мають одиничну довжину: = = = 1;

2) базові вектори попарно ортогональні (перпендикулярні): ⏊ ⏊ .

базисні вектори у своїй зазвичай позначають зв. базисними ортами, а координати позначають х, у, z. Осі координат називають: Ох-віссю абсцис, Оу - віссю ординат, Оz-віссю аплікат.

Теорема.Довжина вектора = (X, Y, Z) дорівнює кореню із суми квадратів його координат: | |=.

Док-во. Вектор представляється діагоналлю прямокутного паралелепіпеда зі сторонами Х , .

Довжини сторін паралелепіпеда рівні | Х |, | У |, | Z |. квадрат довжини діагоналі прямокутного парал. дорівнює сумі квадратів довжин його сторін (потрібно двічі застосувати теорему Піфагора). Звідси виходить потрібна формула.

Слідство.відстань між точками А() та В() дорівнює АВ= .

Док-во. АВ = | |, а =().

13.Величина векторної проекції на вісь. Напрямні косинуси.

Ось - це пряма, де обрано напрям. Нехай напрямок на осі задається одиничним вектором.

Нехай -довільний вектор і нехай А і В -ортогональні проекції точок А і В на пряму l. Вектор зв. векторної проекції на вісь l.

Опр. Величина векторної проекції на вісь l зв. координата вектора прямої l щодо базисного вектора , тобто. таке число, що =,.

Таким чином, ми розрізняємо проекцію вектора на вісь і величину векторної проекції на вісь: перше-це вектор, а друге - число. При паралельному перенесенні вектора вектора також зсувається паралельно на осі l. Тому величина проекції вектора залежить від вибору представника вектора . Також величина проекції суми векторів дорівнює сумі величин проекції.

Теорема.Розмір проекції вектора на вісь дорівнює добутку довжини цього вектора на косинус кута між вектором і віссю: =| |cosφ,де φ=<().

Док-во.розглянемо два випадки: 1) кут φ-гострий, 2) кут φ-тупий.

Напрямні косинуси.

Нехай α,β,γ –кути, які вектор =(X,Y,Z)складає з осями координат. Косинуси цих кутів, cosα, cosβ, cosγ зв. напрямними косинусами вектора.

α=<(Ox. ); β=<(Oy ); γ=<(Oz, .

Зрозуміло, що координати вектора дорівнюють величинам проекцій цього вектора на осі координат. Тому Х = = | cosα; Y= = |cosβ; Z = = | cosγ.

Звідси можемо знайти напрямні косинуси: cos = =; cosβ=; cosγ=