Слово «відповідність» у російській мові вживається досить часто, воно означає співвідношення між чимось, що виражає узгодженість, рівність у будь-якому відношенні ( тлумачний словникОжегова).
У житті часто доводиться чути: «Цей підручник відповідає цій програмі, а цей підручник не відповідає (але може відповідати іншій програмі); це яблуко відповідає найвищому сорту, а це лише першому». Ми говоримо, що цій відповіді на іспиті відповідає оцінка «відмінно», цій – «добре». Ми говоримо, що цій людині відповідає (себто підходить) одяг 46 розміру. Відповідно до інструкції слід чинити так, а не інакше. Спостерігається відповідність між кількістю сонячних днівна рік та врожайністю культури.
Якщо спробувати проаналізувати ці приклади, можна помітити, що у всіх випадках мова йдепро два класи об'єктів, причому між об'єктами з одного класу встановлюється по певним правиламякийсь зв'язок з об'єктами іншого класу. Наприклад, у разі відповідності одягу певного розміру, один клас об'єктів – це люди, а інший клас об'єктів – це деякі натуральні числаграють роль розмірів одягу. Правило, яким встановлюється відповідність, можемо задати, наприклад, з допомогою природного алгоритму – примірки конкретного костюма чи визначення «на око» його придатності.
Ми розглядатимемо відповідності, для яких класи об'єктів, між якими встановлюється відповідність і правило встановлення відповідності, цілком визначені. Численні приклади таких відповідностей вивчалися у школі. Насамперед, це, звичайно, функції. Будь-яка функція є прикладом відповідності. Справді, розглянемо, наприклад, функцію у = х+ 3. Якщо не говориться спеціально про область визначення функції, то вважають, що кожному числовому значенню аргументу хвідповідає числове значення у, що знаходиться за правилом: до хпотрібно додати 3. У цьому випадку відповідність встановлюється між множинами R і R дійсних чисел.
Зауважимо, що встановлення зв'язків між двома множинами Xі Yпов'язано з розглядом пар об'єктів, утворених з елементів множини Xта відповідних елементів множини Y.
Визначення. Відповідністюміж множинами Xі Yназивають всяку непусту підмножину декартового твору X ´ Y.
Безліч Xназивається областю відправленнявідповідності, безліч Y – областю прибуттявідповідності.
Відповідності між множинами прийнято позначати великими літерами латинського алфавіту, наприклад, R, S, Т. Якщо R- деяка відповідність між множинами Xі Y, то, згідно з визначенням, відповідності, RÍ Х´ Yі R≠ Æ. Раз відповідність між множинами Xі Yє всяка підмножина декартового твору Х ´ Y, тобто. є безліччю впорядкованих пар, то способи завдання відповідності по суті такі самі, як і способи завдання множин. Отже, відповідність Rміж множинами Xі Yможна задати:
а) перерахуванням всіх пар елементів ( х, y) Î R;
б) зазначенням характеристичної властивості, яким володіють усі пари ( х, у) множини Rі не має жодна пара, яка не є його елементом.
Приміри.
1) Відповідність Rміж множинами X= (20, 25) та Y= (4, 5, 6) поставлено вказівкою характеристичного властивості: « хкратно у»,
х Î Х, у Î Y. Тоді безліч R = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.
2) Відповідність Rміж множинами X= (2, 4, 6, 8) та
Y= (1, 3, 5) задано безліччю пар R = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.
Якщо R- Відповідність між двома числовими множинами Xі Y, то, зобразивши всі пари чисел, що знаходяться у відповідності Rна координатної площини, отримаємо фігуру, яка називається графіком відповідності R. Назад, будь-яке підмножина точок координатної площини вважають графіком деякої відповідності між числовими множинами Xі Y.
Граф відповідності
Для наочного зображення відповідності між кінцевими множинами крім графіка застосовуються графи. (Від грецького слова"графо" - пишу, порівняйте: графік, телеграф).
Для побудови графа відповідності між множинами Xі Yелементи кожної з множин зображують точками на площині, після проводять стрілки від х Î Хдо у Î Yякщо пара ( х, у) належить цій відповідності. Виходить креслення, що складається з точок та стрілок.
П р і м е р. Відповідність Rміж множинами X= (2, 3, 4, 5) та Y= (4, 9) задано перерахуванням пар R = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.
Так само можна записати 4 R 4, 3R 9. І взагалі, якщо пара
(х, y) Î R, то кажуть, що елементу х Î Хвідповідає елемент у Î Yта записують хRу. Елемент 2 Î Хназивається прообразом елемента
4 Î Yвідповідно Rі позначається 4 R-1 2. Аналогічно можна записати 4 R -1 4, 9R -1 3.
Варіант 1
№
Відповідністю між множинами X і Y називається будь-яке _________________________________ ________________________________________________________________ Х х Y .
№2. На малюнках відповідності між множинами задано за допомогою графів. Вкажіть граф відповідності, в якому область визначення відповідності не збігається з множиною відправлення відповідності.
№
1
) графік, 2) граф, 3) перерахування пар, 4) характеристична властивість
а 
) б) а<
b
№4. На якому малюнку зображено графіки зворотних відповідностей?
а 
) б) в) г)
№5. Між множинами М = (А, Б, В, Г, Д) та N = (1, 2, 3, 4, 5) задано відповідність Q : «елемент m йде в російському алфавіті під номером n ». Вкажіть вірні твердження:
Безліч M та N є рівносильними.
Область визначення відповідності Q збігається з безліччю значень.
№6. (Практичне завдання). Між множинами А = (1, 2, 3, 4, 5) та В = (2, 4, 6, 8,10) задано відповідність Т: « а менше b на 2"
Перерахуйте пари відповідності Т
Задайте відповідність Т -1 , зворотне до цього, перерахуйте його пари
Побудуйте графіки відповідності Т і Т -1 в одній системі координат
Тест на тему «Відповідності між множинами»
Варіант 2
№1. Встав пропущені слова у реченні:
Відповідністю між множинами X і Y називається безліч ______________________________, перша компонента яких _____________________ множини Х, а друга - ___________________.
№2. На малюнках відповідності між множинами задано за допомогою графів. Вкажіть граф відповідності, де безліч значень відповідності збігається з безліччю прибуття відповідності.
№3. Зіставте назву способу завдання відповідності та її зображення.
1), перерахування пар 2) характеристична властивість; 3) графік; 4) граф
а) б) а<
b
в) Р = ((2; 3), (5; 6), (4; 5)) г)
№4. На якому малюнку зображено графік взаємно однозначної відповідності?
а ) б) в) г)
№5. Між множинами А = (1, 2, 3, 4, ) і В = (2, 4, 6, 8, 9) задано відповідність Q: « а менше b у 3 рази». Вкажіть вірні твердження:
Відповідність є взаємно однозначною.
Відповідність « b більше а в 3 рази» є зворотним.
Область визначення відповідності Q не збігається з його безліччю відправлення.
№6. (Практичне завдання). Між множинами М = (1, 2, 3, 4, 5) і N = (1, 2, 4, 6, 8,10) задано відповідність Т: m 2 = n
Перелічіть пари відповідності Т.
Перерахуйте пари відповідності Т-1, зворотного даному, побудуйте його граф.
Побудуйте графіки відповідності Т і Т -1 в одній системі координат.
Тест на тему «Відповідності між множинами»
Таблиця відповіді.
1 варіант.
2 варіант.
Підмножина; декартова твори множин
Упорядкованих пар; належить; безлічі У
1г, 2а, 3в, 4б
1в, 2б, 3г, 4а
а, б
б,в
Критерій оцінки:
№1 – 2 бали
№2 – 1 бал
№3 – 1 бал
№4 – 1 бал
№5 – 3 бали
№6 – 4 бали
Разом 12 балів.
Позначки:
12-11 балів – 5
10 – 9 балів – 4
8 – 6 балів – 3
Менше 6 балів – 2
Варіант 1
№1. Встав пропущені слова у реченні:
Відношенням на множині X називається будь-яке _________________________________ ________________________________________________________________ Х х Х.
№2. На множині А = (1, 2, 3, 4, 5, 6) задані різні відносини:
Вкажіть графи:
№
ставленням еквівалентності.
ставленням порядку
ставленням паралельності на безлічі прямих площин
№
а ) б) в) г)
№5. Порівняти відносини, задані на безлічі будинків та їх властивості:
«мати стільки ж поверхів»
«мати більше квартир»
«Бути побудованим раніше на 2 роки»
Рефлексивність
Симетричність
Антисиметричність
Транзитивність
№хне старше у», Заданого на безлічі дітей. Чи це ставлення ставленням порядку?
Ольга 7років
Микола 8 років
Валентин 9років
Анатолій 8 років
Світлана 7 років
Петро 7 років
Тест на тему «Відносини між множинами»
Варіант 2
№1. Встав пропущені слова у реченні:
Відношенням на множині X називається множина ______________________________, обидві компоненти яких _____________________ множині Х.
№2. На безлічі (2, 3, 5, 7, 9) задані різні відносини:
Вкажіть графи:
№
3. За графом визначити, які із відносин є:
ставленням порядку
ставленням «менше або одно» на множині N
№4. На якому малюнку зображено граф відносини між множинами?
а ) б) в) г)
№5. Зіставити відносини, задані на безлічі учнів класу та його властивості:
«жити на тій же вулиці»
«Бути старше на 1 рік»
«жити ближче до школи»
Рефлексивність
Симетричність
Антисиметричність
Транзитивність
№6. (Практичне завдання). Побудуйте граф відносини « хмає ту ж стать, що і у», Заданого на безлічі дітей. Чи це ставлення ставленням еквівалентності?
Ольга
Микола
Валентин
Анатолій
Світлана
Петро
Тест на тему «Відносини між множинами»
Таблиця відповіді.
1 варіант.
2 варіант.
Підмножина; декартового твору безлічі (декартового квадрата)
Упорядкованих пар; належать; безлічі Х
1а, 2а, 3а, б, 4б, 5а, 6б, 7б
1б, в, 2в, 3б, 4в, 5б, 6в, 7в
1а, 2б, 3а,г
1а, в, 2в
а - 1, 2, 4; б - 3, 4; у 3
а - 1, 2, 4; б - 3, в - 3, 4
Критерій оцінки:
№1 – 2 бали
№2 – 7 балів
№3 – 3 бали
№4 – 1 бал
№5 – 3 бали
№6 – 2 бали
Разом 18 балів.
Позначки:
18-17 балів – 5
16 – 13 балів – 4
12 – 9 балів – 3
Менш 9 балів – 2
Тіснота зв'язку елементів у системі визначається фізичними, а вірніше, природними відносинамиміж ними або іншими основними властивостями системи, наприклад, економічними, соціальними, що характеризують розвиток людського суспільства.
Глибина таких зв'язків залежить від рівня системи в ієрархії систем, що належать до предметної областііснування досліджуваного складного об'єкту. До зв'язків відносяться як загальні відносини між складовими систему елементами природи та суспільства, так і приватні, що стосуються певного обмеженого кола її елементів. У зв'язку зі сказаним ці зв'язки називаються або загальними законамиприроди (фундаментальними),або приватними, що належать до обмеженого набору явищ (Емпіричними законами)або до тенденцій, що виявляються у вигляді якихось повторень у масових явищахта іменованих закономірностями.
Фундаментальні зв'язки називаються законами. Закон - це філософська категорія, що має властивості загальності по відношенню до всіх природним предметам, явищ, подій. У зв'язку з цим визначення закону звучить так: закон – це суттєве, стійке, повторюване ставлення між будь-якими явищами.
Закон висловлює певний зв'язок між самими системами, складовими елементамиоб'єднань предметів та явищ, а також усередині самих предметів та явищ.
Не всякий зв'язок є законом. Вона може бути необхідною та випадковою, Закон – необхідний зв'язок. Він висловлює істотну зв'язок між співіснуючими у просторі речами (матеріальними утвореннями, у сенсі).
Все, що сказано вище, відноситься до законам функціонування(існування природного середовищаабо штучно створеною людиною). Існують і закони розвитку, що виражають тенденцію, спрямованість чи порядок прямування подій у часі. Усе природні закони- нерукотворні, вони існують у світі об'єктивно та виражають відносини речей, а також відображаються у свідомості людини.
Як мовилося раніше, закони діляться за рівнем спільності. Загальними законами є філософські закони. Фундаментальні закони природи за своєю спільнотою теж поділяються на два великі класи. Найбільш загальні, досліджувані поруч, або навіть абсолютним безліччю наук (до них ставляться, наприклад, закони збереження енергії та інформації та інших.). І менше загальні закони, які поширюються на обмежені області, що вивчаються конкретними науками (фізикою, хімією, біологією)
Емпіричні закони вивчаються приватними науками, до яких належать усі технічні науки. Як приклад можна взяти таку дисципліну, як опір матеріалів. У ній вивчаються предмети та системи, в яких діють усі фундаментальні закони та закони емпіричні, засновані на досвідчених даних, що відносять до предметів дисципліни лише ті механічні тіла, які підпорядковуються закону Гука: деформація тіла прямо пропорційна чинній силі (і навпаки).
У технічні наукиє розділи, що ґрунтуються на більш приватних емпіричних зв'язках, прийнятих як аксіом.
Одні закони виражають сувору кількісну залежність та фіксуються математичними формулами, інші поки не піддаються формалізації, вказуючи обов'язковість одного виду події з допомогою появи іншого, наприклад.
Одні закони - детерміновані,тобто встановлюють на підставі причинно – слідчих зв'язківточні кількісні співвідношення, інші – статистичні, що встановлюють ймовірність появи будь-якої події за певних умов.
У природі закони діють як стихійна сила. Однак, знаючи закони, їх можна використовувати цілеспрямовано практичної діяльності(як силу тиску пари в парових машинах, як силу стиснутого газу двигунах внутрішнього згоряння).
Суспільно – історичні закони мало чим від законів природи, але діють вони між мислячими людьми. Пізнання цих законів сприяє кращої організаціїекономіки та суспільства.
Таким чином, вивчення законів природи та суспільства є найпершим завданням людства. Тільки знання законів і розробка заходів щодо правильного їх використання може забезпечити людство, що розвивається і зростає за чисельністю продуктами харчування і середовищем штучно створених умов, в якому може воно існувати.
Швидкість вирішення нових завдань залежить від того, який запас наукових знаньлюди накопичили на Наразіі як його опрацювали, осмислили. Осмислення наукових знань призводить до формулювання наукової проблеми, Вирішення якої може призвести до завершення теорії з цього кола питань і використання суворіших висновків у практичних справах. Наукова проблема– не лише філософська категорія в описаному плані, а й практична, від якої залежить як теоретична наука, і її практичне втілення у життя людей.
З цієї роз'яснювальної частини значущості наукової проблеми для завершеності теорії випливає і її визначення: наукова проблема – це суперечлива ситуація, яка виступає у вигляді протилежних позицій у поясненні якихось явищ, об'єктів, процесів і потребує адекватної єдиної теорії для її вирішення.
Важливою передумовою її успішного рішення є її правильна постановка. Побачити протиріччя в одержуваних емпіричних знаннях, звернути на них увагу і поставити питання про усунення цієї суперечності, отже, започаткувати вирішення наукової проблеми та просування науки у бік прогресу. Недарма, у науці людей, здатних формулювати проблеми, шанують навіть більше дослідників, які безпосередньо вирішили сформульовану проблему. Формулювання невірних проблем призводить до великого застою у науці.
З категорією «наукова проблема» безпосередньо пов'язана і категорія "Гіпотеза".Гіпотези насамперед використовують для теоретичного усунення протиріч наукової проблеми. Такі гіпотези (припущення) у разі успіху перетворюються навіть на фундаментальні теорії (припущення Ньютона про силу тяжіння між двома фізичними тілами).
Гіпотези використовуються і в технічних науках, де вони мають приватний характер і представляють опис способу взаємодії факторів, що визначають поведінку об'єкта, що вивчається, його елементів. У такому разі гіпотеза називається робочою гіпотезоюяка, як у науковій проблеміможе бути доведена або відкинута на базі досвідчених даних.
Тому гіпотеза - це припущення про ймовірну (можливу) закономірність зміни явища, об'єкта, події, яке не доведено, але здається ймовірним.
Корисність гіпотези полягає в тому, що вона мобілізує дослідників формулювати завдання дослідних робітз метою підтвердження вірності висловленої гіпотези. І якщо виходить інший результат, то накопичений матеріал дозволить відкоригувати гіпотезу та спланувати подальшу науково-дослідну роботу.
У більш загальному формулюванні моделювання як метод методології науки полягає в переході від неформально змістовних уявлень про об'єкт, що вивчається, до використання математичних моделей.
Теоретичний рівень моделей, отриманих з урахуванням аксіом, правил виведення теорем, правил відповідності підвищується надалі з урахуванням гипотико - дедуктивних положень з формулюванням наслідків, отриманих аналізом висунутих гіпотез. Математичний апарат, який використовується при цьому, - це тільки засіб отримання нового знання і ніяк не кінцева метаметодологічного аналізу
За складанням математичної моделіслід її використання, метою якого є отримання інформації, яка була до її створення, тобто. отримана модель має бути евристичною. Саме ця дія перетворює методологію на експериментальну науку, Що допускає верифікацію її висновків на практиці
Модель та її властивості.
Формалізація існуючих знаньпро досліджувану систему (упорядником моделі) створює модель, щоб отримати необхідні властивості системи: несуперечність; повноту; незалежність системи аксіом; змістовність. Гарним прикладомВиконання цих властивостей є теорією неевклідових геометрій Лобачевського, Гауса, Больяї в 19 столітті. Італієць Бельтрамі показав, що існують реальні тіла, на поверхні яких виконуються закони геометрії Лобачевського
На зорі теоретичного осмислення знань людства розвиток теорій завжди йшло від окремих випадків до загального. Нині виникли методики моделювання об'єктів вже з урахуванням структурування математичної моделі. Ланцюжок розвитку такого знання йде в зворотному порядку. Спочатку з'являється аксіоматичний математичний опис події (об'єкта), що вивчається, а вже на його базі формулюється концептуальна модель- Парадигма. Водночас змінюються й принципи відповідності природних процесіві теоретичних схем(моделей). Замість простого збігу результатів рахунку за моделлю з експериментальними даними дослідів розглядаються порівняльні характеристикиїх математичних алгоритмівдосягнення результатів за іншими (непрямими) параметрами. До таких принципів належать, наприклад, принципи простоти та краси наукових теорій . У цьому модель у разі вводиться з новим математичним апаратом разом із інтерпретацією, тобто. вихідним у ній є математичний формалізм, здатний мовою математики пояснити деяку сутність, що проявляється у досвіді. Саме цей крок ускладнює емпіричну перевірку, оскільки досвідом має перевірятися як рівняння описи, а й його інтерпретація.
Введений математичний апарату цьому випадку містить неконструктивні елементи, здатні надалі призвести до неузгодженості теорії з досвідом. Слід зазначити, що у цьому полягає якраз специфіка сучасного наукового дослідження. З іншого боку, ця особливість сучасного наукового дослідження загрожує можливістю відкинути запропонований перспективний апарат. Щоб цього не сталося, потрібно окремо зайнятися цією стороною справи - ліквідацією проблем з урахуванням експерименту (прикладом може бути квантова фізиката електродинаміка).
Стара система класичної фізикиінтерпретації наукових фактівперетворилася при цьому на покрокове «створення» наближеної математично сформованої теорії реального процесудо вихідної моделі. Виникає питання, що штовхає дослідників до такого алгоритму дій, тобто. які ж позиви до такого способу формування теоретичної картини? На це методологія науки дає цілком певну відповідь: самоцінність істини; цінність новизни.
Досягається сказане використанням наступних принципів дослідження: а) заборона на плагіат; б) допустимість критичного перегляду підстав наукового пошуку; в) рівність всіх (геніїв у тому числі) перед істиною; г) заборона на фальсифікацію та підтасовування
Приклад цього у зв'язці Ейнштейн - Лоренц. Перший за існуючим тоді негласним рейтингом був на той час менш авторитетним, але його елементи теорії відносності перетворилися на фундаментальну теорію. .
Незважаючи на численність робіт з математичного моделювання, виявилася деяка складність у формулюванні точного поняття математичного моделювання. Занадто різноманітні вони (моделі) та їх зміст. В цілому ясно, що від моделі потрібно щось більше, ніж зіставлення з реальною дійсністю: модель обов'язково повинна давати інформацію про властивості об'єктів, що моделюються, і явищ. Тому прийнятним визначенням моделі має бути визначення, яке не включає приватних невизначеностей. Наприклад: моделлю даного об'єкта називається інший об'єкт, який зіставляється вихідному, моделюваному і певні властивостіякого заданим чином відбивають (зберігають) обрані властивості об'єкта.
Модель має відображати все відоме (іноді деякі відомі характеристики) про об'єкт і передбачати чи формувати нову інформаціюпро нього в якихось нових умовах існування. Мета моделювання, таким чином, - функціяподання (описи) у разі пояснення явищ, аналізованих моделлю. Саме в цьому випадку модель виступає як теорія. І, незважаючи на це, різке протиставлення математичної (формальної) та змістовної сторін моделі в цілому неспроможне. Враховуючи специфічну сторону формування моделі, можна резюмувати, що математика при цьому виступає як найважливіший засібвироблення змістовних уявлень про досліджуване явище протягом усього дослідження.
Тема 8. Відносини та відповідності
Поняття бінарного відношення між елементами множини
У звичайному житті ми постійно говоримо про стосунки між двома об'єктами. Наприклад, х працює йод керівництву, х є батькові, х і у друзі – це стосунки між людьми. Числох більше числам, числах ділиться на у, числах і у поділі на 3 дають однаковий залишок - це відносини між числами.
Будь-яка математична теорія має справу з безліччю будь-яких об'єктів чи елементів. Щоб збудувати математичну теоріюпотрібні як самі елементи, а й відносини з-поміж них. Для чисел має сенс поняття відносин: a = b, або a > b, або< b. Две прямые плоскости могут быть параллельными или пересекаться.
Усі ці стосунки стосуються двох об'єктів. Тому вони називаються бінарними стосунками.
Коли ми розглядаємо ті чи інші відносини, ми завжди маємо справу з упорядкованими парами, утвореними з елементів цієї множини. Наприклад, для відношення «число x більше на 4, ніж числоy», яке розглядається на множині X = (2, 6, 10, 14), це будуть упорядковані пари (6,2), (10, 6), (14, 10) ). Вони - підмножина декартового твору XX.
Визначення. Бінарним ставленням між елементами множини X або ставленням на множині X називається всяке підмножина декартового твору X X.
Бінарні відносини зазвичай позначають великими літерамилатинського алфавіту: Р, Т, S, R, Q тощо. Отже, якщо P - відношення на множині X, то X X. Множина всіх перших елементів пар з Р називається областю визначення відносин Р. Безліч значень відносинР називається безліч всіх інших елементів пар зР.
У багатьох випадках зручно використовувати графічне зображеннябінарних відносин.
Елементи множини X зображують точками, а стрілками з'єднують відповідні елементи так, що якщо має місце (х, у) Р (хРу), то стрілку проводять з крапок в точку. Отриманий креслення називають графом відносиниР, а точки, що зображують елементи множиниX,
вершинами графа.
Наприклад, граф відношення Р: «числах - дільник числа у», заданого на множині X = (5, 10, 20, 30,40), зображений на рис. 54.
Стрілки графа, у яких початком і кінцем є та сама точка, називаються петлями. Якщо на графі відносини Р змінити напрямки всіх стрілок на
протилежні, то вийде нове ставлення, яке називають оберненим для Р. Його позначають Р-1.
Зазначимо, щоРу уР -1 х.
Способи завдання бінарних відносин, їх властивості
Оскільки відношення R між елементами множини - це безліч, елементами якого є впорядковані пари, то його можна задати тими ж способами, що і будь-яка безліч. Найчастіше відношення R на множині X задають за допомогою характеристичного властивості пар елементів, що знаходяться у відношенні R. Цю властивість формулюють у вигляді речення з двома змінними. Наприклад, серед відносин на безлічі Х = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) можна розглядати такі: «числахменше числа
у в 2 рази», «числах - дільник числау» та ін. Відношення R на множині X можна задати і шляхом перерахування всіх пар елементів, взятих з множини X іпов'язаних ставленням
R.
Наприклад, якщо записати безліч пар (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, | 4), то на множині |
X = (1, 2, 3, 4) ми поставимо деяке | |
ставлення | R = ((x, y) | x X, y< y} . |
Це саме відношення R можна поставити і за допомогою графа (рис). Виділимо найважливіші властивостібінарних відносин.
Визначення 1. Відношення R на множині X називається рефлексивним, якщо кожен елемент із множини X сам із собою знаходиться в цьому відношенні.
Коротше дане визначенняможна записати так: R рефлексивно наХ хRх для будь-яких X.
Очевидно, що якщо відношення R на множині X є рефлексивним, то в кожній вершині графа відношення є петля. Справедливим є зворотне твердження.
Прикладами рефлексивних відносин є відносини: «бути рівними на багатьох трикутників площині», «x ≤ y».
Зазначимо, що є відносини, які мають властивістю рефлексивності, наприклад, ставлення перпендикулярності прямих.
Визначення 2. Відношення R на множині X називається симетричним, якщо для будь-яких елементів, у Х виконується умова: якщо і у знаходяться у відношенні R, то у них теж знаходяться в цьому відношенні.
Коротше: R симетрично X xRy yRx.
Граф симетричного відношення має властивість: якщо є стрілка, що з'єднує пару елементів, то обов'язково є друга, яка з'єднує ці ж елементи, але йде в протилежному напрямку. Правильне і зворотне твердження.
Прикладами симетричних відносин є відносини: «бути взаємно перпендикулярними до множини всіх прямих площині», «бути подібними до множини всіх прямокутників площини».
Визначення 3 . Якщо ні для яких елементів і у з множиниX не може статися, що одночасно іxRy, іyRx, то відношенняR на множиніX називається асиметричним. Приклад асиметричного відношення: «бути батьком» (якщо - батькові, тоу не може бути батьком).
Визначення 4. Відношення R на множині X називається антисим-
Наприклад, відношення «менше» на безлічі цілих чисел є антисиметричним.
Граф антисиметричного відношення має особливість: якщо дві вершини графа з'єднані стрілкою, то ця стрілка лише одна. Справедливим є зворотне твердження. Властивість асиметричності є сукупністю властивості антисиметричності та відсутності рефлексивності.
Визначення 5. Відношення R на множині X називається транзитивним, якщо для будь-яких елементів x, y, z X виконується умова: якщо знаходиться у відношенні R су іу знаходиться у відношенні R с z, то елементах знаходиться у відношенні R з елементом z.
Коротше: R транзитивно на X xRy та yRz xRz.
Наприклад, відношення «пряма х паралельна прямій», задане на безлічі прямих площин, є транзитивним.
Граф транзитивного відношення має особливість: з кожною парою стрілок, що йдуть від х ку і оту кz, він містить і стрілку, що йде відх кz. Правильне і зворотне твердження.
Зауважимо, що є відносини, які мають властивістю транзитивності. Наприклад, ставлення "стояти поруч на полиці" не транзитивне.
Відношення еквівалентності
Нехай Х – безліч людей. На цій множині поставимо бінарне ставлення R за допомогою закону: aRb, якщо а і b народилися в той самий рік.
Легко переконатися в тому, що відношення R має властивості рефлексивності, симетричності та транзитивності. Кажуть, що ставлення R – відношення еквівалентності.
Визначення 1. Бінарне відношення R на множині X називається відношенням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне та транзитивне.
Знову повернемося до відношення R, заданого на безлічі людей законом: aRb, якщо а і b народилися в один і той самий рік.
Разом з кожною людиною розглянемо безліч людей, які народилися в один рік. Два множиниК а іК b або не мають загальних елементів, або збігаються повністю.
Сукупність множин Ка являє собою розбиття безлічі всіх людей на класи, оскільки з її побудови випливає, що виконуються дві умови: кожна людина входить в якийсь клас і кожна людина входить тільки в один клас. Зауважимо, що кожен клас складається з людей, що народилися в один рік.
Таким чином, відношення еквівалентності R породжує розбиття множини X на класи (класи еквівалентності). Правильне і зворотне.
Теорема. Кожному відношенню еквівалентності на множині X відповідає розбиття множини X на класи (класи еквівалентності). Кожному розбиттю множин відповідає відповідність еквівалентності на множиніX.
Цю теорему приймемо без підтвердження.
З теореми випливає, що кожен клас, отриманий в результаті розбиття множини на класи, визначається будь-яким (одним) своїм представником, що дає можливість замість вивчення всіх елементів даної множини вивчати лише сукупність окремих представниківкожного класу.
Відношення порядку
Відносинами порядку ми постійно користуємося в повсякденному житті. Визначення 1. Будь-яке антисиметричне та транзитивне відношення R на
деякій множині X називається ставленням порядку.
Безліч X, на якому встановлено ставлення порядку, називається впорядкованим.
Візьмемо безліч Х = (2, 4, 10, 24). Його впорядковує відношення «х більшу» (рис. 63).
Розглянемо тепер на ньому інше відношення порядку «х ділить
у» (рис. 64).
Результат розгляду може бути дивним. Відносини «x більшy» і «х деліту» впорядковують безліч X по-різному. Ставлення «х більшу» дозволяє порівнювати будь-які два числа з
множини X. Що стосується відношення «х деліту», то воно такою властивістю не має. Так пара чисел 10 та 24 цим ставленням не пов'язана.
Визначення 2. Відношення порядку R на деякій множині X називається ставленням лінійного порядку, якщо воно володіє наступною властивістю: для будь-яких елементів
множини Х або xRy, або у Rx.
Безліч X, на якому задано ставлення лінійного порядку, називається лінійно впорядкованим.
Лінійно впорядковані множини мають ряд властивостей. Нехай а, b, с - елементи множини X, на якому задано відношення лінійного порядку R. Якщо aRb і bRc, то кажуть, що елемент b лежить між елементами a іс .
Лінійно впорядкована множина X називається дискретним, якщо між будь-якими двома його елементами лежить лише кінцева множина елементів.
Якщо для будь-яких двох різних елементівлінійно впорядкованої множини X існує елемент множини, що лежить між ними, то безліч X називається щільним.
Поняття відповідності між множинами. Способи задання відповідностей
Нехай задані двома множинами X і Y. Якщо для кожного елемента X вказаний елемент Y, з яким зіставляється, то кажуть, що між множинами X і Y встановлено відповідність.
Інакше кажучи, відповідністю між елементами множин X і Y називається будь-яке підмножина декартового твору X і Y цих множин: G X Y .
Оскільки відповідність - це безліч, то його можна задати тими самими способами, що і будь-яка безліч: перерахування всіх пар (х, у), де
Коли множини X і Y кінцеві, то відповідність між елементами можна задати таблицею, де в лівому стовпці записують елементи множини X, а у верхньому рядку - елементи множини Y. Пари елементів, що знаходяться у відповідності з G, будуть знаходитися на перетині відповідних стовпців та рядків.
Відповідність між двома кінцевими множинами можна показати і за допомогою графа. Множини X і Y показують овалами, елементи множин X і Y позначають точками, а стрілками з'єднують відповідні елементи так, що якщо має місце (x, у) G, то стрілку проводять з крапок в точку.
Наприклад, граф, зображений на рис. 16, задає відповідність «Письменник х написав твір».
Коли множин і Y числові, то можна побудувати графік відповідності G на координатній площині.
Відповідність, протилежна цьому. Взаємно однозначні відповідності
Нехай R - відповідність «Число в п'ять разів менше числа у» між елементами множин X = (1, 2, 4, 5, 6) і
Y = (10, 5, 20, 13, 25).
Граф цієї відповідності буде таким, як на рис. 23. Якщо змінити напрямок стрілок цього графа на
зворотне, то отримаємо граф (рис. 22) нової відповідності «Число у вп'ятеро більше числа х», що розглядається
між множинами Y і X.
Ця відповідність називається відповідністю, зворотною
відповідності R і позначається R -1 . | ||
Визначення. Нехай | R - відповідність | |
елементами множин X та Y. Відповідність R-1 | ||
елементами множин Y іX називається зворотним даним, |
||
коли (у, х) R -1 тоді і тільки тоді, коли (х, | у) R. |
|
Відповідності R та R -1 називають взаємно зворотними. | ||
Якщо множини X і Y числові, то графік | ||
відповідності R -1 , зворотного відповідності R, складається з | ||
точок, симетричних точокграфіка відповідності R | ||
щодо бісектриси першого та | третього | |
координатних кутів
Уявимо ситуацію: у залі для глядачів на кожному місці сидить глядач і для кожного глядача знайшлося місце. У цьому випадку кажуть, що між безліччю
місць у залі для глядачів і безліччю глядачів встановлено взаємно однозначну відповідність.
Визначення. Нехай дані дві множини X і Y. Відповідність між елементами множин X і Y, при якому кожному елементу множини X відповідає єдиний елемент множини У, і кожен елемент множини Y відповідає тільки одному елементу з множини X, називається взаємно однозначним.
Розглянемо приклади взаємно однозначних відповідностей. Приклад 1. У кожній школі кожному класу
відповідає класний журнал. Ця відповідність є взаємно однозначною.
Приклад 2. Дано трикутник ABC (рис. 25). А 1 С 1 середня лінія трикутника. Нехай Х - безліч точок на відрізку А 1 З 1 Y - безліч точок на АС.
Довільну точку х відрізка А 1 З 1 з'єднаємо з вершиною трикутника відрізком прямої лінії і
продовжимо його до перетину з АС у точці. Поставимо у відповідність точках точку, побудовану таким чином. При цьому між множинами X і Y буде встановлено взаємно однозначну відповідність.
Визначення. Багато X і Y називаються еквівалентними, або рівносильними, якщо між ними яким-небудь способом можна встановити взаємно однозначну відповідність. Еквівалентність двох множин позначається так: Х ~ Y.
Поняття потужності є узагальненням поняття кількості. Це поширення поняття кількості на нескінченні множини.
Щоб побудувати математичну теорію потрібні як самі елементи, а й відносини з-поміж них. Для чисел має значення поняття рівності: а = b. Якщо числа а та b різні, а? b, тоді можливо або > b, або а
Дві прямі площини можуть бути перпендикулярними, паралельними перетинатися під деяким кутом.
Усі ці стосунки стосуються двох об'єктів. Тому вони називаються бінарними стосунками.
Для вивчення відносин між об'єктами математики створена теорія бінарних відносин.
Коли ми розглядаємо ті чи інші відносини, ми завжди маємо справу з упорядкованими парами, утвореними з елементів цієї множини. Наприклад, для відношення «більше на 4», яке розглядається на множині Х = (2, 6, 10, 14), це будуть упорядковані пари (2, 6), (6, 10), (10, 14), а для відносини «ділиться» - (6, 2), (10, 2), (14, 2).
Можна помітити, що безліч пар, які визначають відносини «більше на 4», «ділиться», є підмножинами декартового твору.
Х ' Х = ((2, 2), (2, 6), (2, 10), (2, 14), (6, 2), (6, 6), (6, 10), (6, 14), (10, 2), (10, 6), (10, 10), (10, 14), (14, 2), (14, 6), (14, 10), (14, 24) ).
Визначення 1. Бінарним ставленням між елементами множини Х або ставленням на множині Х називається всяке підмножина декартового твору Х ´Х.
Бінарні відносини зазвичай позначають великими літерами латинського алфавіту: P, T, S, R, Q і т. д. Отже, якщо Р–відношення на множині Х, то Р Ì Х ´ Х. Часто для запису відносин використовуються різні спеціальні символи, наприклад , =, >, ~, ½½, ^ і т. д. Безліч всіх перших елементів пар з Р називається областю визначення відношення Р. Безліч значень відношення Р називається безліч всіх інших елементів пар з Р.
Для наочності бінарні відносини зображують графічно з допомогою спеціального малюнка графа. Елементи множини Х зображують точками. Якщо має місце (х, у) Р(хРу), то з точки х проводять стрілку в точку у. Таке креслення називають графом відношення Р, а точки, що зображують елементи множини Х, вершинами графа. стрілки ребра графа.
приклад. Нехай відношення Р: «число х – дільник числа у», заданого на множині
Х = (5, 10, 20, 30, 40), зображено малюнку 25.
Стрілки графа, у яких початком і кінцем є та сама точка, називаються петлями. Якщо на графі відношення Р змінити напрямки всіх стрілок на протилежні, то вийде нове відношення, яке називають зворотним для Р. Його позначають Р-1. Зазначимо, що хРу уР–1х.
Способи завдання бінарних відносин.
Оскільки відношення R між елементами множини Х - це безліч, елементами якого є впорядковані пари, то його можна задати тими самими способами, що будь-яка безліч.
1. Найчастіше відношення R на множині Х задають за допомогою характеристичної властивості пар елементів, що знаходяться у відношенні R. Цю властивість формулюють у вигляді речення з двома змінними.
Наприклад, серед відносин на множині Х = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10), можна розглядати такі: «число х менше числа у в 2 рази», «число х - дільник числа у», «число х більше, ніж число у» та інші.
2. Відношення R на множині Х можна поставити і шляхом перерахування всіх пар елементів множини Х, пов'язаних ставленням R.
Наприклад, якщо записати безліч пар (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), то на множині Х = (1, 2, 3, 4) ми задамо деяке відношення R. Це ж відношення R можна задати і
3. з допомогою графа (рис. 26).
Властивості бінарних відносин.
Визначення 2. Відношення R на множині Х називається рефлексивним, якщо кожен елемент із множини Х сам із собою знаходиться в цьому відношенні.
Коротше: R рефлексивно на Х хRx для будь-якого x X X.
або, що також: у кожній вершині графа відносини є петля. Вірно і зворотне: якщо кожна вершина графа відносини має петлю, це рефлексивне ставлення.
приклад. Рефлексивні відносини: «бути рівними на багатьох трикутників площині», «? і £ на багатьох дійсних чисел».
Відзначимо, що існують відносини, які не володіють властивістю рефлексивності. (Навести приклад «х більше у»)
Визначення 3. Бінарне відношення R на множині Х називається антирефлексивним на Х, якщо для кожного х з Х (х, х) R, тобто. для кожного х із Х не виконується умова хRх.
Якщо відношення R є антирефлексивним, то жодна вершина його графа не має петлі. Назад: якщо жодна вершина графа немає петлі, то граф представляє антирефлексивне ставлення.
Приклади антирефлексивних відносин: бути старшим, бути менше, бути дочкою та ін.
Визначення 4. Відношення R на множині Х називається симетричним, якщо для будь-яких елементів х, 
Î X виконується умова: якщо х і у знаходяться у відношенні R, то у х теж знаходяться в цьому відношенні.
Коротше: R симетрично на Х? хRу? уRх.
Граф симетричного відношення має властивість: якщо є стрілка, що з'єднує пару елементів, то обов'язково є друга, яка з'єднує ці ж елементи, але йде в протилежному напрямку. Правильне і зворотне твердження.
Прикладами симетричних відносин є відносини: «бути взаємно перпендикулярними до множини всіх прямих площині», «бути подібними до множини всіх прямокутників площини».
Визначення 5. Якщо ні для яких елементів х і у з множини Х не може статися, що одночасно і хRу, і уRх, то відношення R на множині Х називається асиметричним.
Приклад асиметричного відношення: «бути батьком» (якщо х – батько, то у не може бути батьком х).
Визначення 6. Відношення R на множині Х називається антисиметричним, якщо для різних елементівх, у Î Х з того, що елемент х знаходиться у відношенні R з елементом у, слід, що елемент не знаходиться у відношенні R з елементом х.
Коротше: R антисиметрично на Х? хRу і х? у? .
Наприклад, відношення «менше» на безлічі цілих чисел є антисиметричним.
Граф антисиметричного відношення має особливість: якщо дві вершини графа з'єднані стрілкою, то ця стрілка лише одна. Справедливим є зворотне твердження.
Зауважимо, що є відносини, які мають ні властивістю симетричності, ні властивістю антисиметричності.
Визначення7. Відношення R на множині Х називається транзитивним, якщо для будь-яких елементів х, у, z Î Х виконується умова: якщо х знаходиться відносно R с у і у відносно R з z, то елемент х знаходиться відносно R з елементом z.
Коротше: R транзитивно на Х х хру та у Rz? хRz.
Наприклад, відношення «пряма х паралельна прямій у», задане на безлічі прямих площин, є транзитивним.
Граф транзитивного відношення має особливість: з кожною парою стрілок, що йдуть від х до у і від у до z, він містить і стрілку, що йде від х до z. Правильне і зворотне твердження.
Зауважимо, що є відносини, які мають властивістю транзитивності. Наприклад, ставлення "стояти поруч на полиці" не транзитивне.
Усе загальні властивостівідносин можна розбити на три групи:
рефлексивності (кожне відношення рефлексивно або антирефлексивно),
симетричності (відношення завжди або симетрично або асиметрично, або антисиметрично),
транзитивності (кожне відношення транзитивно чи транзитивно). Відносинам, що володіють певним наборомвластивостей, присвоєно спеціальні назви.