Формула n-го члена геометричної прогресії – річ дуже проста. Як за змістом, так і за загальним виглядом. Але завдання формулу n-го члена зустрічаються всякі – від дуже примітивних до цілком серйозних. І в процесі нашого знайомства ми обов'язково розглянемо ті й інші. Ну що, знайомимося?)
Отже, спершу власне сама формулаn
Ось вона:
b n = b 1 · q n -1
Формула як формула, нічого надприродного. Виглядає навіть простіше та компактніше, ніж аналогічна формула для . Сенс формули теж простий, як валянок.
Ця формула дозволяє знаходити БУДЬ-ЯКИЙ член геометричної прогресії ЗА ЙОГО НОМЕРЕ " n".
Як бачите, за змістом повна аналогія з арифметичною прогресією. Знаємо номер n – можемо порахувати і член, який стоїть під цим номером. Який хочемо. Не помножуючи послідовно на "q" багато разів. Ось і весь сенс.)
Я розумію, що на даному рівні роботи з прогресіями всі величини, що входять у формулу, вам уже повинні бути зрозумілі, але вважаю своїм обов'язком все-таки розшифрувати кожну. На всякий випадок.
Отже, поїхали:
b 1 – першийчлен геометричної прогресії;
q – ;
n- Номер члена;
b n – енний (n-й)член геометричної прогресії.
Ця формулка пов'язує чотири основні параметри будь-якої геометричної прогресії – bn, b 1 , qі n. І навколо цих чотирьох ключових фігур і крутяться всі завдання по прогресії.
"А як вона виводиться?"– чую цікаве запитання… Елементарно! Дивіться!
Чому дорівнює другийчлен прогресії? Не питання! Прямо за пишемо:
b 2 = b 1 ·q
А третій член? Теж не проблема! Другий член помножуємо ще раз наq.
Ось так:
B 3 = b 2 ·q
Згадаймо тепер, що другий член, у свою чергу, у нас дорівнює b 1 ·q і підставимо цей вираз у нашу рівність:
B 3 = b 2 · q = (b 1 · q) · q = b 1 · q · q = b 1 · q 2
Отримуємо:
B 3 = b 1 ·q 2
А тепер прочитаємо наш запис російською мовою: третійчлен дорівнює першому члену, помноженому на q другийступеня. Уловлюєте? Поки немає? Добре ще один крок.
Чому дорівнює четвертий член? Все теж саме! Примножуємо попередній(тобто третій член) на q:
B 4 = b 3 · q = (b 1 · q 2) · q = b 1 · q 2 · q = b 1 · q 3
Разом:
B 4 = b 1 ·q 3
І знову перекладаємо російською мовою: четвертийчлен дорівнює першому члену, помноженому на q в третьоюступеня.
І так далі. Ну і як? Вловили закономірність? Так! Для будь-якого члена з будь-яким номером кількість однакових множників q (тобто ступінь знаменника) завжди буде на один менше, ніж номер шуканого членаn.
Отже, наша формула буде, без варіантів:
b n =b 1 · q n -1
Ось і всі справи.)
Ну що, вирішуємо завдання, напевно?)
Розв'язання задач на формулуn-го члена геометричної прогресії
Почнемо, як завжди, із прямого застосування формули. Ось своєрідне завдання:
У геометричній прогресії відомо, що b 1 = 512 та q = -1/2. Знайдіть десятий член прогресії.
Звичайно, це завдання можна взагалі без будь-яких формул вирішити. Прямо за змістом геометричної прогресії. Але нам з формулою n-го члена розім'ятися потрібно, правда? От і розминаємось.
Наші дані для застосування формули є наступними.
Відомий перший член. Це 512.
b 1 = 512.
Відомий також знаменник прогресії: q = -1/2.
Залишається тільки збагнути, чому дорівнює номер члена n. Не питання! Нас цікавить десятий член? Ось і підставляємо у загальну формулу десятку замість n.
І акуратно вважаємо арифметику:
Відповідь: -1
Як бачимо, десятий член прогресії виявився з мінусом. Нічого дивного: знаменник прогресії ми -1/2, тобто. негативнечисло. А це говорить нам про те, що знаки у нашій прогресії чергуються, так.
Тут все просто. А ось схоже завдання, але трохи складніше щодо обчислень.
У геометричній прогресії відомо, що:
b 1 = 3
Знайдіть тринадцятий член прогресії.
Все те саме, тільки цього разу знаменник прогресії – ірраціональний. Корінь із двох. Та й нічого страшного. Формула - штука універсальна, з будь-якими числами справляється.
Працюємо прямо за формулою:
Формула, звичайно, спрацювала як слід, але… ось тут деякі й зависнуть. Що далі робити з коренем? Як звести корінь у дванадцятий ступінь?
Як-то ... Треба розуміти, що будь-яка формула, звичайно, справа хороша, але знання всієї попередньої математики при цьому не скасовується! Як звести? Та властивості ступенів згадати! Перетворимо корінь на ступінь із дробовим показникомі – за формулою зведення ступеня до ступеня.
Ось так:
Відповідь: 192
І всі справи.)
У чому полягає основна складність при прямому застосуванні формули n-го члена? Так! Основні труднощі – це робота зі ступенями!А саме – зведення у ступінь негативних чисел, дробів, коренів тощо конструкцій. Так що ті, у кого з цим проблеми, наполегливе прохання повторити ступеня та їхні властивості! Інакше і в цій темі гальмуватимете, так…)
А тепер вирішуємо типові завдання на пошук одного з елементів формулиякщо дані всі інші. Для успішного вирішення таких завдань рецепт єдиний і простий жах - пишемо формулуn-го члена у загальному вигляді!Прямо в зошиту поруч із умовою. А потім з умови розуміємо, що нам дано, а чого не вистачає. І висловлюємо з формули потрібну величину. Всі!
Наприклад, така нешкідлива задача.
П'ятий член геометричної прогресії зі знаменником 3 дорівнює 567. Знайдіть перший член цієї прогресії.
Нічого складного. Працюємо прямо за заклинанням.
Пишемо формулу n-го члена!
b n = b 1 · q n -1
Що нам дано? По-перше, дано знаменник прогресії: q = 3.
Крім того, нам дано п'ятий член: b 5 = 567 .
Всі? Ні! Ще нам дано номер n! Це п'ятірка: n = 5.
Сподіваюся, ви вже розумієте, що у записі b 5 = 567 приховані відразу два параметри - це сам п'ятий член (567) та його номер (5). В аналогічному уроці я про це вже говорив, але і тут вважаю не зайвим нагадати.)
Ось тепер підставляємо наші дані у формулу:
567 = b 1 ·3 5-1
Вважаємо арифметику, спрощуємо і отримуємо просте лінійне рівняння:
81 b 1 = 567
Вирішуємо та отримуємо:
b 1 = 7
Як ви бачите, з пошуком першого члена проблем жодних. А ось при пошуку знаменника qта номери nможуть траплятися і сюрпризи. І до них (до сюрпризів) теж треба бути готовим, так.
Наприклад, таке завдання:
П'ятий член геометричної прогресії з позитивним знаменником дорівнює 162, а перший член цієї прогресії дорівнює 2. Знайдіть знаменник прогресії.
На цей раз нам дано перший і п'ятий члени, а знайти просять знаменник прогресії. Ось і приступаємо.
Пишемо формулуn-го члена!
b n = b 1 · q n -1
Наші вихідні дані будуть наступними:
b 5 = 162
b 1 = 2
n = 5
Не вистачає значення q. Не питання! Зараз знайдемо.) Підставляємо у формулу все, що нам відомо.
Отримуємо:
162 = 2 ·q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
Просте рівняння четвертого ступеня. А ось зараз – акуратно!На даному етапі рішення багато учнів відразу ж радісно витягують корінь (четвертого ступеня) та отримують відповідь q=3 .
Ось так:
q 4 = 81
q = 3
Але взагалі це недороблена відповідь. Точніше, неповний. Чому? Справа в тому, що відповідь q = -3 теж підходить: (-3) 4 теж буде 81!
Все через те, що статечне рівняння x n = aзавжди має два протилежні кореніпри парномуn . З плюсом та з мінусом:
Обидва підходять.
Наприклад, вирішуючи (тобто. другийступеня)
x 2 = 9
Ви ж чомусь не дивуєтесь появи двохкоріння x=±3? Ось і тут те саме. І з будь-якою іншою парноїступенем (четвертим, шостим, десятим і т.д.) буде так само. Подробиці – у темі про
Тому правильне рішення буде таким:
q 4 = 81
q= ±3
Добре, зі знаками розібралися. Який із них правильний – плюс чи мінус? Що ж, читаємо ще раз умову задачі у пошуках додаткову інформацію.Її, звичайно, може і не бути, але в даному завданні така інформація є.У нас за умови прямим текстом сказано, що дана прогресія з позитивним знаменником.
Тому відповідь очевидна:
q = 3
Тут все просто. А як ви думаєте, що було б, якби формулювання завдання було б таке:
П'ятий член геометричної прогресії дорівнює 162, а перший член цієї прогресії дорівнює 2. Знайдіть знаменник прогресії.
В чому різниця? Так! В умові нічогоне сказано про знак знаменника. Ні прямо, ні побічно. І ось тут завдання вже мало б два рішення!
q = 3 і q = -3
Так Так! І з плюсом і з мінусом.) Математично цей факт означав би, що існують дві прогресії, що підходять під умову завдання. І для кожної – свій знаменник. Заради інтересу, потренуйтеся та випишіть перші п'ять членів кожної з них.)
А тепер потренуємося номер члена знаходити. Це завдання найскладніше, так. Зате і творчіша.)
Дана геометрична прогресія:
3; 6; 12; 24; …
Під яким номером у цій прогресії стоїть число 768?
Перший крок все той же: пишемо формулуn-го члена!
b n = b 1 · q n -1
А тепер, як завжди, підставляємо до неї відомі нам дані. Гм… не підставляється! Де перший член, де знаменник, де все інше?
Де-де… А вічка нам навіщо? Віями плескати? На цей раз прогресія задана нам безпосередньо у вигляді послідовності.Перший член бачимо? Бачимо! Це трійка (b 1 = 3). А знаменник? Поки що не бачимо, але він дуже легко вважається. Якщо, звичайно, розуміти, .
Ось і рахуємо. Прямо за змістом геометричної прогресії: беремо будь-який її член (крім першого) і поділяємо на попередній.
Хоча б ось так:
q = 24/12 = 2
Що нам ще відомо? Нам ще відомий деякий член цієї прогресії, що дорівнює 768. Під якимось номером n:
b n = 768
Номер його нам невідомий, але наше завдання якраз і полягає в тому, щоб його відшукати.) От і шукаємо. Усі необхідні дані для підстановки у формулу ми вже завантажили. Непомітно для себе.)
Ось і підставляємо:
768 = 3 · 2n -1
Робимо елементарні – ділимо обидві частини на трійку та переписуємо рівняння у звичному вигляді: невідоме зліва, відоме – праворуч.
Отримуємо:
2 n -1 = 256
Ось таке цікаве рівняння. Потрібно знайти "n". Що, незвично? Так, я не сперечаюся. Взагалі, це найпростіше. Воно так називається через те, що невідоме (у даному випадку це номер n) стоїть у показникуступеня.
На етапі знайомства з геометричною прогресією (це дев'ятий клас) показові рівняння не вчать, так… Це тема старших класів. Але ж страшного нічого немає. Навіть якщо ви не в курсі, як вирішуються такі рівняння, спробуємо знайти наше n, керуючись простою логікою та здоровим глуздом.
Починаємо міркувати. Зліва у нас стоїть двійка в якійсь мірі. Ми поки що не знаємо, що це за ступінь, але це й не страшно. Зате ми твердо знаємо, що цей ступінь дорівнює 256! Ось і згадуємо, якою ж мірою двійка дає нам 256. Згадали? Так! У восьмийступеня!
256 = 2 8
Якщо не згадали або з розпізнаванням ступенів проблеми, то теж нічого страшного: просто послідовно зводимо двійку в квадрат, куб, четвертий ступінь, п'яту і так далі. Підбір, власне, але на цьому рівні - цілком прокотить.
Так чи інакше, ми отримаємо:
2 n -1 = 2 8
n-1 = 8
n = 9
Отже, 768 – це дев'ятийчлен нашої прогресії. Все, завдання вирішено.)
Відповідь: 9
Що? Нудно? Набридла елементарщина? Згоден. І мені теж. Крокуємо на наступний рівень.)
Більш складні завдання.
А тепер вирішуємо завдання крутіше. Не те щоб зовсім надкруті, але над якими доведеться трохи попрацювати, щоб дістатися до відповіді.
Наприклад, така.
Знайдіть другий член геометричної прогресії, якщо четвертий її член дорівнює -24, а сьомий член дорівнює 192.
Це класика жанру. Відомі якісь два різних члени прогресії, а знайти треба ще якийсь член. Причому всі члени не сусідні. Що й бентежить спочатку, так…
Як і в , Для вирішення таких завдань розглянемо два способи. Перший спосіб – універсальний. Алгебраїчний. Працює безвідмовно та з будь-якими вихідними даними. Тому саме з нього і почнемо.)
Розписуємо кожен член за формулою n-го члена!
Все точнісінько як з арифметичною прогресією. Тільки цього разу працюємо з іншийзагальною формулою. Ось і все.) Але суть та сама: беремо і по черзіпідставляємо у формулу n-го члена наші вихідні дані. Для кожного члена – свої.
Для четвертого члена записуємо:
b 4 = b 1 · q 3
-24 = b 1 · q 3
Є. Одне рівняння готове.
Для сьомого члена пишемо:
b 7 = b 1 · q 6
192 = b 1 · q 6
Разом отримали два рівняння для однієї і тієї ж прогресії .
Збираємо з них систему:
Незважаючи на її грізний вигляд, система дуже проста. Найочевидніший спосіб рішення – звичайна підстановка. Висловлюємо b 1 з верхнього рівняння та підставляємо в нижнє:
Трохи повозившись з нижнім рівнянням (зменшивши ступеня і поділивши на -24), отримаємо:
q 3 = -8
До цього ж рівняння, між іншим, можна дійти і простіше! Яким? Зараз я вам продемонструю ще один секретний, але дуже красивий, потужний і корисний спосіб вирішення подібних систем. Таких систем, у рівняннях яких сидять лише твори.Хоч би в одному. Називається метод почленного поділуодного рівняння інше.
Отже, перед нами система:
В обох рівняннях зліва – твір, а праворуч – просто число. Це дуже добрий знак.) Давайте візьмемо і… поділимо, скажімо, нижнє рівняння на верхнє! Що значить, поділимо одне рівняння на інше?Дуже просто. Беремо ліву частинуодного рівняння (нижнього) та ділимоїї на ліву частинуіншого рівняння (верхнього). З правою частиною аналогічно: праву частинуодного рівняння ділимона праву частинуіншого.
Весь процес поділу виглядає так:
Тепер, скоротивши все, що скорочується, отримаємо:
q 3 = -8
Чим добрий цей спосіб? Та тим, що в процесі такого поділу все погане і незручне може швидко скоротитися і залишитися цілком невинне рівняння! Саме тому так важлива наявність тільки множенняхоч би в одному з рівнянь системи. Нема множення – нічого і скорочувати, так…
А взагалі, цей спосіб (як і багато інших нетривіальних способів вирішення систем) навіть заслуговує на окремий урок. Обов'язково його розберу детальніше. Колись…
Втім, неважливо, як саме ви вирішуєте систему, в будь-якому випадку тепер нам треба вирішити рівняння, що вийшло:
q 3 = -8
Жодних проблем: витягаємо корінь (кубічний) і – готово!
Прошу помітити, що тут, коли виймаєте, ставити плюс/мінус не потрібно. Непарного (третього) ступеня у нас корінь. І відповідь – теж одна, так.)
Отже, знаменника прогресії знайдено. Мінус два. Чудово! Процес іде.)
Для першого члена (скажімо, з верхнього рівняння) ми отримаємо:
Чудово! Знаємо перший член, знаємо знаменник. І тепер у нас з'явилася можливість знайти будь-якого члена прогресії. В тому числі і другий.)
Для другого члена все дуже просто:
b 2 = b 1 · q= 3 · (-2) = -6
Відповідь: -6
Отже, спосіб алгебри вирішення задачі ми з вами розклали по поличках. Важко? Не дуже, згоден. Довго та нудно? Так, безумовно. Але іноді можна суттєво скоротити обсяг роботи. Для цього є графічний метод.Старий добрий і знайомий нам з .)
Малюємо завдання!
Так! Саме так. Знову зображаємо нашу прогресію на числовій осі. Не обов'язково по лінійці, не обов'язково витримувати рівні інтервали між членами (які, до речі, і не будуть однаковими, тому що прогресія – геометрична!), а просто схематичномалюємо нашу послідовність.
У мене вийшло ось так:
А тепер дивимося на картинку та розуміємо. Скільки однакових множників "q" поділяють четвертийі сьомийчлени? Мабуть, три!
Отже, маємо повне право записати:
-24 ·q 3 = 192
Звідси тепер легко шукається q:
q 3 = -8
q = -2
От і добре, знаменник у нас уже в кишені. А тепер знову дивимося на картинку: скільки таких знаменників сидить між другимі четвертимчленами? Два! Отже, для запису зв'язку між цими членами знаменник будемо зводити у квадрат.
Ось і пишемо:
b 2 · q 2 = -24 , звідки b 2 = -24/ q 2
Підставляємо наш знайдений знаменник у вираз для b 2 , рахуємо та отримуємо:
Відповідь: -6
Як бачимо, все набагато простіше та швидше, ніж через систему. Більше того, тут нам взагалі навіть не потрібно було вважати перший член! Зовсім.)
Ось такий простий та наочний спосіб-лайт. Але є в нього й серйозна вада. Здогадалися? Так! Він підходить лише для дуже коротких шматочків прогресії. Таких, де відстані між членами, які нас цікавлять, не дуже великі. А от у всіх інших випадках картинку малювати вже важко, так… Тоді вирішуємо завдання аналітично, через систему. А системи – штука універсальна. З будь-якими числами справляються.
Ще одне епічне завдання:
Другий член геометричної прогресії на 10 більше першого, а третій член на 30 більше другого. Знайдіть знаменник прогресії.
Що, круто? Зовсім ні! Все теж саме. Знову переводимо умову завдання до чистої алгебри.
1) Розписуємо кожен член за формулою n-го члена!
Другий член: b 2 = b 1 ·q
Третій член: b 3 = b 1 · q 2
2) Записуємо зв'язок між членами з умови завдання.
Читаємо умову: "Другий член геометричної прогресії на 10 більше за перший".Стоп це цінно!
Так і пишемо:
b 2 = b 1 +10
І цю фразу перекладаємо у чисту математику:
b 3 = b 2 +30
Здобули два рівняння. Об'єднуємо їх у систему:
Система на вигляд простенька. Але щось вже багато різних індексів у літер. Підставимо замість другого і третього членів їх вираження через перший член і знаменник! Даремно, чи ми їх розписували?
Отримаємо:
А ось така система – вже не подарунок, так… Як таке вирішувати? На жаль, універсального секретного заклинання на вирішення складних нелінійнихсистем у математиці немає і не може. Це фантастика! Але перше що має приходити вам в голову при спробі розгризти подібний міцний горішок - це прикинути, а чи не зводиться одне із рівнянь системи до гарного вигляду, що дозволяє, наприклад, легко висловити одну із змінних через іншу?
От і прикинемо. Перше рівняння системи явно простіше за друге. Його і піддамо тортурам.) А чи не спробувати з першого рівняння щосьвиразити через щось?Якщо ми хочемо знайти знаменник q, то найвигідніше нам було б висловити b 1 через q.
Ось і спробуємо виконати цю процедуру з першим рівнянням, застосовуючи старі добрі :
b 1 q = b 1 +10
b 1 q – b 1 = 10
b 1 (q-1) = 10
Всі! Ось ми й висловили непотрібнунам змінну (b 1) через потрібну(q). Так, не найпростіший вираз отримали. Дроби якусь… Але й система у нас пристойного рівня, так.)
Типове. Що робити – знаємо.
Пишемо ОДЗ (обов'язково!) :
q ≠ 1
Помножуємо все на знаменник (q-1) і скорочуємо всі дроби:
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
Ділимо все на десятку, розкриваємо дужки, збираємо все зліва:
q 2 – 4 q + 3 = 0
Вирішуємо отримане і отримуємо два корені:
q 1 = 1
q 2 = 3
Остаточна відповідь одна: q = 3 .
Відповідь: 3
Як ви бачите, шлях вирішення більшості завдань на формулу n-го члена геометричної прогресії завжди єдиний: читаємо уважноумова задачі та за допомогою формули n-го члена переводимо всю корисну інформацію в чисту алгебру.
А саме:
1) Розписуємо окремо кожен даний у завданні член за формулоюn-го члена.
2) З умови завдання переводимо зв'язок між членами математичну форму. Складаємо рівняння чи систему рівнянь.
3) Вирішуємо отримане рівняння чи систему рівнянь, знаходимо невідомі параметри прогресії.
4) У разі неоднозначної відповіді читаємо уважно умову завдання у пошуках додаткової інформації (якщо така є). Також звіряємо отриману відповідь з умовами ОДЗ (якщо є).
А тепер перерахуємо основні проблеми, що найчастіше призводять до помилок у процесі вирішення задач на геометричну прогресію.
1. Елементарна арифметика. Дії з дробами та негативними числами.
2. Якщо хоча б з одним із цих трьох пунктів проблеми, то неминуче помилятиметеся і в цій темі. На жаль ... Так що не лінуйтеся і повторіть те, про що згадано вище. І за посиланнями – сходіть. Іноді допомагає.)
Видозмінені та рекурентні формули.
А тепер розглянемо кілька типових екзаменаційних завдань з менш звичною подачею умови. Так-так, ви вгадали! Це видозміненіі рекурентніформули n-го члена З такими формулами ми вже з вами стикалися і працювали в арифметичній прогресії. Тут все аналогічно. Суть та сама.
Наприклад, таке завдання з ОДЕ:
Геометрична прогресія задана формулою b n = 3 · 2 n . Знайдіть суму першого та четвертого її членів.
На цей раз прогресія нам задана не зовсім звично. У вигляді формули. Ну і що? Ця формула – теж формулаn-го члена!Ми ж з вами знаємо, що формулу n-го члена можна записати як у загальному вигляді, через літери, так і для конкретної прогресії. З конкретнимипершим членом та знаменником.
У нашому випадку нам насправді задана формула загального члена для геометричної прогресії ось з такими параметрами:
b 1 = 6
q = 2
Перевіримо?) Запишемо формулу n-го члена у загальному вигляді та підставимо до неї b 1 і q. Отримаємо:
b n = b 1 · q n -1
b n= 6 · 2n -1
Спрощуємо, використовуючи розкладання на множники та властивості ступенів, і отримуємо:
b n= 6 · 2n -1 = 3 · 2 · 2n -1 = 3 · 2n -1+1 = 3 · 2n
Як бачите, все чесно. Але наша мета – не продемонструвати виведення конкретної формули. Це так, ліричний відступ. Чисто для розуміння.) Наша мета – вирішити завдання за тією формулою, що дана нам за умови. Уловлюєте?) Ось і працюємо з видозміненою формулою безпосередньо.
Вважаємо перший член. Підставляємо n=1 у загальну формулу:
b 1 = 3 · 2 1 = 3 · 2 = 6
Ось так. До речі, не полінуся і ще раз зверну вашу увагу на типовий ляп з підрахунком першого члена. НЕ ТРЕБА, дивлячись на формулу b n= 3 · 2n, Зразу кидатися писати, що перший член - трійка! Це – груба помилка, так…)
Продовжуємо. Підставляємо n=4 і вважаємо четвертий член:
b 4 = 3 · 2 4 = 3 · 16 = 48
Ну і нарешті, вважаємо потрібну суму:
b 1 + b 4 = 6+48 = 54
Відповідь: 54
Ще завдання.
Геометрична прогресія задана умовами:
b 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
Знайдіть четвертий член прогресії.
Тут прогрес задано рекурентною формулою. Ну і добре.) Як працювати з такою формулою – теж знаємо.
Ось і діємо. За кроками.
1) Вважаємо два послідовнихчлена прогресії.
Перший член нам уже заданий. Мінус сім. А ось наступний, другий член, легко можна порахувати за рекурентною формулою. Якщо розуміти принцип її роботи, звичайно.
Ось і вважаємо другий член за відомим першим:
b 2 = 3 b 1 = 3 · (-7) = -21
2) Вважаємо знаменник прогресії
Теж ніяких проблем. Прямо, ділимо другийчлен на перший.
Отримуємо:
q = -21/(-7) = 3
3) Пишемо формулуn-го члена у звичному вигляді та вважаємо потрібний член.
Отже, перший член знаємо, знаменник – також. Ось і пишемо:
b n= -7 · 3n -1
b 4 = -7 · 3 3 = -7 · 27 = -189
Відповідь: -189
Як ви бачите, робота з такими формулами для геометричної прогресії нічим за своєю суттю не відрізняється від такої для арифметичної прогресії. Важливо лише розуміти загальну суть та зміст цих формул. Та й сенс геометричної прогресії теж треба розуміти, так.) І тоді дурних помилок не буде.
Ну що, вирішуємо самостійно?)
Дуже елементарні завдання, для розминки:
1. Дана геометрична прогресія, в якій b 1 = 243, а q = -2/3. Знайдіть шостий член прогресії.
2. Загальний член геометричної прогресії заданий формулою b n = 5∙2 n +1 . Знайдіть номер останнього тризначного члена цієї прогресії.
3. Геометрична прогресія задана умовами:
b 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
Знайдіть п'ятий член прогресії.
Трохи складніше:
4. Дана геометрична прогресія:
b 1 =2048; q =-0,5
Чому дорівнює шостий негативний її член?
Що, здається, суперскладно? Зовсім ні. Врятує логіка та розуміння сенсу геометричної прогресії. Та й формула n-го члена, само собою.
5. Третій член геометричної прогресії дорівнює -14, а восьмий член дорівнює 112. Знайдіть знаменник прогресії.
6. Сума першого та другого членів геометричної прогресії дорівнює 75, а сума другого та третього членів дорівнює 150. Знайдіть шостий член прогресії.
Відповіді (безладно): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.
Ось майже все. Залишилося лише навчитися нам рахувати суму n перших членів геометричної прогресіїтак відкрити для себе нескінченно спадаючу геометричну прогресіюта її суму. Дуже цікаву та незвичайну штуку, між іншим! Про це – у наступних уроках.)
>>Математика: Геометрична прогресія
Для зручності читача цей параграф будується точно за тим самим планом, якого ми дотримувались у попередньому параграфі.
1. Основні поняття.
Визначення.Числову послідовність, всі члени якої відмінні від 0 і кожен член якої, починаючи з другого, виходить з попереднього члена множенням його на одне і те число називають геометричною прогресією . У цьому число 5 називають знаменником геометричної прогресії.
Таким чином, геометрична прогресія - це числова послідовність (b n), задана рекурентними співвідношеннями
Чи можна, дивлячись на числову послідовність, визначити, чи є геометричною прогресією? Можна, можливо. Якщо ви переконалися в тому, що відношення будь-якого члена послідовності до попереднього члена постійно перед вами - геометрична прогресія.
приклад 1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
Ь 1 = 1, q = 3.
приклад 2.
Це геометрична прогресія, у якої
приклад 3.
Це геометрична прогресія, у якої
приклад 4.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Це геометрична прогресія, яка має b 1 - 8, q = 1.
Зауважимо, що ця послідовність є і арифметичною прогресією (див. приклад 3 § 15).
Приклад 5.
2,-2,2,-2,2,-2.....
Це геометрична прогресія, яка має b 1 = 2, q = -1.
Очевидно, що геометрична прогресія є зростаючою послідовністю, якщо b 1 > 0, q > 1 (див. приклад 1), і спадною, якщо b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).
Для позначення того, що послідовність (b n) є геометричною прогресією, іноді буває зручним наступний запис:
Значок замінює словосполучення "геометрична прогресія".
Зазначимо одну цікаву і водночас досить очевидну властивість геометричної прогресії:
Якщо послідовність 
є геометричною прогресією, те й послідовність квадратів, тобто. 
є геометричною прогресією.
У другій геометричній прогресії перший член дорівнює q 2 .
Якщо в геометричній прогресії відкинути всі члени, які йдуть за b n , то вийде кінцева геометрична прогресія 
У подальших пунктах цього параграфа ми розглянемо найважливіші властивості геометричної прогресії.
2. Формула п-го члена геометричної прогресії.
Розглянемо геометричну прогресію 
знаменником q. Маємо:
Неважко здогадатися, що для будь-якого номера n справедлива рівність
Це – формула n-го члена геометричної прогресії.
Зауваження.
Якщо ви прочитали важливе зауваження з попереднього параграфа і зрозуміли його, спробуйте довести формулу (1) методом математичної індукції подібно до того, як це було зроблено для формули n-го члена арифметичної прогресії.
Перепишемо формулу n-го члена геометричної прогресії
і введемо позначення: Отримаємо у = mq 2 або, докладніше, 
Аргумент х міститься у показнику ступеня, тому таку функцію називають показовою функцією. Отже, геометричну прогресію можна як показову функцію, задану на безлічі N натуральних чисел . На рис. 96а зображено графік функції рис. 966 - графік функції 
В обох випадках маємо ізольовані точки (з абсцисами х = 1, х = 2, х = 3 і т.д.), що лежать на деякій кривій (на обох малюнках представлена та сама крива, тільки по-різному розташована і зображена в різних масштабах). Цю криву називають експонентою. Докладніше про показову функцію та її графіку мова піде в курсі алгебри 11-го класу.
Повернемося до прикладів 1-5 із попереднього пункту.
1) 1, 3, 9, 27, 81, ... . Це геометрична прогресія, яка має Ь 1 = 1, q = 3. Складемо формулу n-го члена 
2) 
Це геометрична прогресія, у якої складемо формулу n-го члена 
Це геометрична прогресія, у якої 
Складемо формулу n-го члена 
4) 8, 8, 8, …, 8, …. Це геометрична прогресія, у якої b 1 = 8, q = 1. Складемо формулу n-го члена 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2, .... Це геометрична прогресія, у якої b 1 = 2, q = -1. Складемо формулу n-го члена 
Приклад 6.
Дано геометричну прогресію
У всіх випадках в основі рішення лежить формула n-го члена геометричної прогресії
а) Поклавши у формулі n-го члена геометричної прогресії n = 6, отримаємо
б) Маємо
Так як 512 = 29, то отримуємо п - 1 = 9, п = 10.
г) Маємо
Приклад 7.
Різниця між сьомим і п'ятим членами геометричної прогресії дорівнює 48, сума п'ятого та шостого членів прогресії також дорівнює 48. Знайти дванадцятий член цієї прогресії.
Перший етап.Складання математичної моделі.
Умови завдання можна коротко записати так:
Скориставшись формулою n-го члена геометричної прогресії, отримаємо:
Тоді другу умову задачі (b 7 - b 5 = 48) можна записати у вигляді
Третя умова задачі (b 5 +b 6 = 48) можна записати у вигляді
У результаті отримуємо систему двох рівнянь із двома змінними b 1 і q:
яка у поєднанні із записаною вище умовою 1) і є математичною моделлю завдання.
Другий етап.
Робота із складеною моделлю. Прирівнявши ліві частини обох рівнянь системи, отримаємо:
(Ми розділили обидві частини рівняння на вираз b 1 q 4 відмінне від нуля).
З рівняння q 2 - q - 2 = 0 знаходимо q 1 = 2, q 2 = -1. Підставивши значення q = 2 у друге рівняння системи отримаємо 
Підставивши значення q = -1 у друге рівняння системи отримаємо b 1 1 0 = 48; це рівняння немає рішень.
Отже, b 1 =1, q = 2 – ця пара є рішенням складеної системи рівнянь.
Тепер ми можемо записати геометричну прогресію, про яку йдеться у завданні: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Третій етап.
Відповідь питанням завдання. Потрібно обчислити b12. Маємо
Відповідь: b 12 = 2048.
3. Формула суми членів кінцевої геометричної прогресії.
Нехай дана кінцева геометрична прогресія
Позначимо через S n суму її членів, тобто.
Виведемо формулу для відшукання цієї суми.
Почнемо з найпростішого випадку, коли q = 1. Тоді геометрична прогресія b 1 , b 2 , b 3 ..., bn складається з n чисел, рівних b 1 , тобто. прогресія має вигляд b1, b2, b3, ..., b4. Сума цих чисел дорівнює nb1.
Нехай тепер q = 1 Для відшукання S n застосуємо штучний прийом: виконаємо деякі перетворення виразу S n q. Маємо:
Виконуючи перетворення, ми, по-перше, користувалися визначенням геометричної прогресії, згідно з яким (див. третій рядок міркувань); по-друге, додали і відняли від чого значення висловлювання, зрозуміло, не змінилося (див. четвертий рядок міркувань); по-третє, скористалися формулою n-го члена геометричної прогресії:
З формули (1) знаходимо:
Це формула суми n членів геометричної прогресії (для випадку, коли q = 1).
Приклад 8.
Дано кінцеву геометричну прогресію
а) суму членів прогресії; б) суму квадратів її членів.
б) Вище (див. с. 132) ми вже зазначали, що якщо всі члени геометричної прогресії звести в квадрат, то вийде геометрична прогресія з першим членом Ь2 і знаменником q2. Тоді сума шести членів нової прогресії буде обчислюватися за
Приклад 9.
Знайти 8-й член геометричної прогресії, у якої
Фактично ми довели таку теорему.
Числова, послідовність є геометричною прогресією тоді і лише тоді, коли квадрат кожного її члена, крім першого Теорема (і останнього, у разі кінцевої послідовності), дорівнює добутку попереднього та наступного членів (характеристичне властивість геометричної прогресії).
Це число називається знаменником геометричної прогресії, тобто кожен член відрізняється від попереднього q разів. (Вважатимемо, що q ≠ 1, інакше все аж надто тривіально). Неважко бачити, що загальна формула n-го члена геометричної прогресії b n = b 1 q n - 1; члени з номерами b n і b m відрізняються q n – m разів.Вже у Стародавньому Єгипті знали як арифметичну, а й геометричну прогресію. Ось, наприклад, завдання з папірусу Райнда: «У семи осіб по сім котів; кожна кішка з'їдає по сім мишей, кожна миша з'їдає по сім колосків, з кожного колосу може вирости по сім заходів ячменю. Які великі числа цього ряду та їх сума?»
 |
|
Мал. 1. Давньоєгипетське завдання про геометричну прогресію |
Це завдання багато разів з різними варіаціями повторювалося і в інших народів за інших часів. Наприклад, у написаній у XIII ст. «Книзі про абака» Леонардо Пизанського (Фібоначчі) є завдання, в якому фігурують 7 старих, що прямують до Риму (очевидно, паломниць), у кожної з яких 7 мулів, на кожному з яких по 7 мішків, у кожному з яких по 7 хлібів , у кожному з яких по 7 ножів, кожен з яких у 7 піхвах. У задачі питається, скільки всього предметів.
Сума перших n членів геометричної прогресії S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1). Цю формулу можна довести, наприклад: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 .
Додамо до S n число b 1 q n і отримаємо:
|
Звідси S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) і ми отримуємо необхідну формулу.
Вже на одній із глиняних табличок Стародавнього Вавилону, що відноситься до VI ст. до зв. е., міститься сума 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Правда, як і в інших випадках ми не знаємо, звідки цей факт був відомий вавилонянам.
Швидке зростання геометричної прогресії у низці культур, – зокрема, в індійській, – неодноразово використовують як наочний символ неоглядності світобудови. У відомій легенді про появу шахів володар надає їх винахіднику можливість самому обрати нагороду, і той просить таку кількість пшеничних зерен, яку вдасться, якщо одне покласти на першу клітинку шахової дошки, два – на другу, чотири – на третю, вісім – на четверту та т. д., щоразу число збільшується вдвічі. Владика думав, що йдеться, найбільше, про кілька мішок, але він прорахувався. Неважко бачити, що за всі 64 клітини шахівниці винахідник мав би отримати (2 64 – 1) зерно, що виражається 20-значним числом; навіть якщо засівати всю поверхню Землі, знадобилося б щонайменше 8 років, щоб зібрати необхідну кількість зерен. Цю легенду іноді інтерпретують як вказівку на практично необмежені можливості, приховані у шахівниці.
Те, що це число справді 20-значне, побачити неважко:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (точніший розрахунок дає 1,84∙10 19). А ось цікаво, чи зможете ви дізнатися, якою цифрою закінчується це число?
Геометрична прогресія буває зростаючою, якщо знаменник за модулем більше 1, або спадною, якщо він менший за одиницю. В останньому випадку число q n при досить великих n може стати як завгодно малим. У той час як зростаюча геометрична прогресія зростає несподівано швидко, спадаюча так само швидко зменшується.
Чим більше n , тим слабше число q n відрізняється від нуля, і тим ближче сума n членів геометричної прогресії S n = b 1 (1 - q n ) / (1 - q ) до S = b 1 / (1 - q ) . (Так міркував, наприклад, Ф. Вієт). Число S називається сумою нескінченно спадної геометричної прогресії. Тим не менш, довгі століття питання про те, який сенс має підсумовування всієї геометричної прогресії, з її нескінченним числом членів, не був досить зрозумілий математикам.
Зменшуючу геометричну прогресію можна побачити, наприклад, в апоріях Зенона «Поділ навпіл» і «Ахіллес і черепаха». У першому випадку наочно показується, що вся дорога (припустимо, довжини 1) є сумою нескінченної кількості відрізків 1/2, 1/4, 1/8 і т. д. Так воно, звичайно, і є з точки зору уявлень про кінцеву суму нескінченної геометричної прогресії. І все-таки – як таке може бути?
|
Мал. 2. Прогресія з коефіцієнтом 1/2 |
В апорії про Ахіллеса ситуація трохи складніша, тому що тут знаменник прогресії дорівнює не 1/2, а якомусь іншому числу. Нехай, наприклад, Ахіллес біжить зі швидкістю v, черепаха рухається зі швидкістю u, а початкова відстань між ними дорівнює l. Ця відстань Ахіллес пробіжить за час l/v, черепаха за цей час зрушить на відстань lu/v. Коли Ахіллес пробіжить і цей відрізок, дистанція між ним і черепахою стане рівною l (u /v ) 2 і т. д. Виходить, що наздогнати черепаху - означає знайти суму нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом l і знаменником u /v . Ця сума - відрізок, який в результаті пробіжить Ахілес до місця зустрічі з черепахою - дорівнює l / (1 - u / v) = lv / (v - u). Але, знову ж таки, як треба інтерпретувати цей результат і чому він взагалі має якийсь сенс, довгий час було не дуже зрозумілим.
|
Мал. 3. Геометрична прогресія з коефіцієнтом 2/3 |
Суму геометричної прогресії використовував Архімед щодо площі сегмента параболи. Нехай даний сегмент параболи відмежований хордою AB і нехай у точці D параболи дотична паралельна AB. Нехай C – середина AB, E – середина AC, F – середина CB. Проведемо прямі, паралельні DC через точки A , E , F , B ; нехай дотичну, проведену в точці D, ці прямі перетинають у точках K, L, M, N. Проведемо також відрізки AD і DB. Нехай пряма EL перетинає пряму AD у точці G, а параболу у точці H; пряма FM перетинає пряму DB у точці Q, а параболу у точці R. Відповідно до загальної теорії конічних перерізів, DC – діаметр параболи (тобто відрізок, паралельний її осі); він і дотична в точці D можуть бути осями координат x і y , в яких рівняння параболи записується як y 2 = 2px (x – відстань від D до будь-якої точки даного діаметра, y – довжина паралельного даної дотичної відрізка від цієї точки діаметра до деякої точки на самій параболі).
Через рівняння параболи, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , а оскільки DK = 2DL , то KA = 4LH . Оскільки KA = 2LG, LH = HG. Площа сегмента ADB параболи дорівнює площі трикутника ADB і площам сегментів AHD і DRB, разом узятих. У свою чергу, площа сегмента AHD аналогічним чином дорівнює площі трикутника AHD і сегментів AH і HD, що залишилися, з кожним з яких можна провести ту ж операцію - розбити на трикутник (Δ) і два залишилися сегмента (), і т. д.:
Площа трикутника ΔAHD дорівнює половині площі трикутника ΔALD (у них загальна основа AD , а висоти відрізняються в 2 рази), яка, у свою чергу, дорівнює половині площі трикутника ΔAKD , а отже, і половині площі трикутника ΔACD . Таким чином, площа трикутника AHD дорівнює чверті площі трикутника ACD . Аналогічно, площа трикутника ΔDRB дорівнює чверті площі трикутника ΔDFB. Отже, площі трикутників AHD і DRB, разом узяті, рівні чверті площі трикутника ADB. Повторення цієї операції у застосуванні до сегментів AH , HD , DR і RB виділить і з них трикутники, площа яких, разом узятих, буде в 4 рази менше, ніж площа трикутників AHD і DRB , разом узятих, а значить, в 16 разів менше, ніж площі трикутника ADB . І так далі:
Таким чином, Архімед довів, що «будь-який сегмент, укладений між прямою і параболою, становить чотири третини трикутника, що має з ним одну і ту ж основу і рівну висоту».
Урок та презентація на тему: "Числові послідовності. Геометрична прогресія"
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 9 класу
Ступені та коріння Функції та графіки
Діти, сьогодні ми познайомимося з ще одним видом прогресії.
Тема сьогоднішнього заняття – геометрична прогресія.
Геометрична прогресія
Визначення. Числова послідовність, у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює добутку попереднього та деякого фіксованого числа, називається геометричною прогресією.Задамо нашу послідовність рекурентно: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
де b та q – певні задані числа. Число q називається знаменником прогресії.
приклад. 1,2,4,8,16… Геометрична прогресія, яка має перший член дорівнює одиниці, а $q=2$.
приклад. 8,8,8,8 ... Геометрична прогресія, у якої перший член дорівнює восьми,
а $ q = 1 $.
приклад. 3,-3,3,-3,3… Геометрична прогресія, у якої перший член дорівнює трьом,
а $ q = -1 $.
Геометрична прогресія має властивості монотонності.
Якщо $b_(1)>0$, $q>1$,
то послідовність зростаюча.
Якщо $b_(1)>0$, $0 Послідовність прийнято позначати як $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Так само як і в арифметичній прогресії, якщо в геометричній прогресії кількість елементів звичайно, то прогресія називається кінцевою геометричною прогресією.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Зазначимо, якщо послідовність є геометричною прогресією, то й послідовність квадратів членів також є геометричною прогресією. У другий послідовність перший член дорівнює $b_(1)^2$, а знаменник дорівнює $q^2$.
Формула n-ого члена геометричної прогресії
Геометричну прогресію можна ставити і в аналітичній формі. Давайте подивимося, як це зробити:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Ми легко помічаємо закономірність: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Наша формула називається "формулою n-ого члена геометричної прогресії".
Повернемося до наших прикладів.
приклад. 1,2,4,8,16 ... Геометрична прогресія, у якої перший член дорівнює одиниці,
а $ q = 2 $.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
приклад. 16,8,4,2,1,1/2… Геометрична прогресія, яка має перший член дорівнює шістнадцяти, а $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
приклад. 8,8,8,8… Геометрична прогресія, яка має перший член дорівнює восьми, а $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
приклад. 3,-3,3,-3,3 ... Геометрична прогресія, у якої перший член дорівнює трьом, а $ q = -1 $.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
приклад. Дано геометричну прогресію $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
а) Відомо, що $ b_ (1) = 6, q = 3 $. Знайти $b_(5)$.
б) Відомо, що $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Знайти n.
в) Відомо, що $q=-2, b_(6)=96$. Знайти $b_(1)$.
г) Відомо, що $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Знайти q.
Рішення.
а) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
б) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$,оскільки $2^7=128 => n-1=7; n = 8 $.
в) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
р) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
приклад. Різниця між сьомим і п'ятим членами геометричної прогресії дорівнює 192, сума п'ятого та шостого члена прогресії дорівнює 192. Знайти десятий член цієї прогресії.
Рішення.
Нам відомо, що $b_(7)-b_(5)=192$ і $b_(5)+b_(6)=192$.
Ми також знаємо: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Тоді:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Отримали систему рівнянь:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Прирівнявши, наші рівняння отримаємо:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Отримали два рішення q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Послідовно підставимо на друге рівняння:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ немає рішень.
Отримали що $b_(1)=4, q=2$.
Знайдемо десятий член: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Сума кінцевої геометричної прогресії
Нехай ми маємо кінцеву геометричну прогресію. Давайте, як і для арифметичної прогресії, порахуємо суму її членів.Нехай дано кінцеву геометричну прогресію: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Введемо позначення суми її членів: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Якщо $q=1$. Усі члени геометричної прогресії дорівнюють першому члену, тоді очевидно, що $S_(n)=n*b_(1)$.
Розглянемо тепер випадок $q≠1$.
Помножимо зазначену вище суму на q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Зауважимо:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Ми отримали формулу суми кінцевої геометричної прогресії.
приклад.
Знайти суму перших семи членів геометричної прогресії, яка має перший член дорівнює 4, а знаменник 3.
Рішення.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
приклад.
Знайти п'ятий член геометричної прогресії, яку відомо: $b_(1)=-3$; $ b_ (n) = -3072 $; $ S_ (n) = -4095 $.
Рішення.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$ q ^ (n-1) = 1024 $.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095 (q-1) = -3 * (1024q-1) $.
$1365q-1365=1024q-1$.
$ 341q = 1364 $.
$ q = 4 $.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Характеристична властивість геометричної прогресії
Хлопці, дано геометрична прогресія. Давайте розглянемо три послідовні її члени: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.Ми знаємо, що:
$ \ frac (b_ (n)) (q) = b_ (n-1) $.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Тоді:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Якщо прогресія кінцева, це рівність виконується всім членів, крім першого і останнього.
Якщо заздалегідь невідомо, який вид у послідовності, але відомо що $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Тоді можна сміливо казати, що це геометрична прогресія.
Числова послідовність є геометричною прогресією, коли квадрат кожного її члена дорівнює добутку двох сусідніх із нею членів прогресії. Не забуваймо, що для кінцевої прогресії ця умова не виконується для першого та останнього члена.
Давайте подивимося на це тотожність: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ називається середнім геометричним чисел a та b.
Модуль будь-якого члена геометричної прогресії дорівнює середньому геометричному двох сусідніх із ним членів.
приклад.
Знайти такі х, щоб $х+2; 2x+2; 3x+3$ були трьома послідовними членами геометричної прогресії.
Рішення.
Скористаємося характеристичною властивістю:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ і $x_(2)=-1$.
Підставимо послідовно у вихідні вирази, наші рішення:
При $x=2$, отримали послідовність: 4;6;9 – геометрична прогресія, яка $q=1,5$.
При $х=-1$ отримали послідовність: 1;0;0.
Відповідь: $х=2.$
Завдання для самостійного вирішення
1. Знайдіть восьмий перший член геометричної прогресії 16; -8; 4; -2 ... .2. Знайдіть десятий член геометричної прогресії 11,22,44….
3. Відомо, що $b_(1)=5, q=3$. Знайти $b_(7)$.
4. Відомо, що $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Знайти n.
5. Знайдіть суму перших 11 членів геометричної прогресії 3; 12; 48 ... .
6. Знайти такі х що $3х+4; 2x+4; x+5$ є трьома послідовними членами геометричної прогресії.