Найменше загальне кратне двох чисел безпосередньо з найбільшим загальним дільником цих чисел. Ця зв'язок між НОД та НОКвизначається наступною теоремою.
Теорема.
Найменше загальне кратне двох позитивних цілих чисел a і b дорівнює добутку чисел a і b, поділеному на найбільший спільний дільник чисел a і b, тобто, НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).
Доказ.
Нехай М - якесь кратне чисел a і b . Тобто, М ділиться на a і за визначенням ділимості існує деяке ціле число k таке, що справедлива рівність M = a · k . Але М ділиться і b , тоді a k ділиться на b .
Позначимо НОД(a, b) як d. Тоді можна записати рівності a = a 1 · d і b = b 1 · d, причому a 1 = a: d і b 1 = b: d будуть взаємно простими числами. Отже, отримана в попередньому абзаці умова, що a k ділиться на b можна переформулювати так: a 1 d k ділиться на b 1 d, а це в силу властивостей ділимості еквівалентно умові, що a 1 k ділиться на b 1 .
Також потрібно записати два важливі наслідки з розглянутої теореми.
Загальні кратні двох чисел збігаються з кратними їх найменшого загального кратного.
Це дійсно так, тому що будь-яке загальне кратне M чисел a і b визначається рівністю M = НОК (a, b) t при деякому цілому значенні t.
Найменше загальне кратне взаємно простих позитивних чисел a і b дорівнює їхньому твору.
Обґрунтування цього факту є досить очевидним. Оскільки a і b взаємно прості, то НОД(a, b)=1 , отже, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)=a·b:1=a·b.
Найменша загальна кратна трьох і більшої кількості чисел
Знаходження найменшого загального кратного трьох чи більшої кількості чисел можна звести до послідовного знаходження НОК двох чисел. Як це робиться, зазначено в наступній теоремі.a 1 , a 2 , …, ak збігаються із загальними кратними чисел m k-1 і ak , отже, збігаються з кратними числа m k . Оскільки найменшим позитивним кратним числа m k є саме число m k , то найменшим загальним кратним чисел a 1 , a 2 , …, ak є m k .
Список литературы.
- Віленкін Н.Я. та ін Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх закладів.
- Виноградов І.М. Основи теорії чисел.
- Михелович Ш.Х. Теорія чисел.
- Куликов Л.Я. та ін. Збірник завдань з алгебри та теорії чисел: Навчальний посібник для студентів фіз.-мат. спеціальностей педагогічних інститутів
Розглянемо три способи знаходження найменшого загального кратного.
Знаходження шляхом розкладання на множники
Перший спосіб полягає у знаходженні найменшого загального кратного шляхом розкладання даних чисел на прості множники.
Допустимо, нам потрібно знайти НОК чисел: 99, 30 і 28. Для цього розкладемо кожне з цих чисел на прості множники:
Щоб число ділилося на 99, на 30 і на 28, необхідно і достатньо, щоб до нього входили всі прості множники цих дільників. Для цього нам необхідно взяти всі прості множники цих чисел найбільшою мірою, що зустрічається, і перемножити їх між собою:
2 2 · 3 2 · 5 · 7 · 11 = 13 860
Таким чином, НОК (99, 30, 28) = 13860. Ніяке інше число менше 13860 не ділиться націло на 99, на 30 і на 28.
Щоб знайти найменше загальне кратне даних чисел, потрібно розкласти їх на прості множники, потім взяти кожен простий множник із найбільшим показником ступеня, з яким він зустрічається, та перемножити ці множники між собою.
Оскільки взаємно прості числа немає загальних простих множників, їх найменше загальне кратне дорівнює добутку цих чисел. Наприклад, три числа: 20, 49 та 33 – взаємно прості. Тому
НОК (20, 49, 33) = 20 · 49 · 33 = 32340.
Так само треба робити, коли знаходиться найменше загальне кратне різних простих чисел. Наприклад, НОК (3, 7, 11) = 3 · 7 · 11 = 231.
Знаходження шляхом підбору
Другий спосіб полягає у знаходженні найменшого загального кратного шляхом підбору.
Приклад 1. Коли найбільше з цих чисел ділиться націло інші дані числа, то НОК цих чисел дорівнює більшому їх. Наприклад, дано чотири числа: 60, 30, 10 та 6. Кожне з них ділиться націло на 60, отже:
НОК (60, 30, 10, 6) = 60
В інших випадках, щоб знайти найменше загальне кратне, використовується наступний порядок дій:
- Визначаємо найбільше з даних чисел.
- Далі знаходимо числа, кратні найбільшому числу, множачи його на натуральні числа в порядку їх зростання і перевіряючи чи діляться на отриманий твір інші дані числа.
Приклад 2. Дано три числа 24, 3 і 18. Визначаємо найбільше з них - це число 24. Далі знаходимо числа кратні 24, перевіряючи чи ділиться кожне з них на 18 і 3:
24 · 1 = 24 – ділиться на 3, але не ділиться на 18.
24 · 2 = 48 – ділиться на 3, але не ділиться на 18.
24 · 3 = 72 - ділиться на 3 та на 18.
Отже, НОК (24, 3, 18) = 72.
Знаходження шляхом послідовного знаходження НОК
Третій спосіб полягає у знаходженні найменшого загального кратного шляхом послідовного знаходження НОК.
НОК двох цих чисел дорівнює добутку цих чисел, поділеного з їхньої найбільший спільний дільник.
Приклад 1. Знайдемо НОК двох даних чисел: 12 та 8. Визначаємо їх найбільший спільний дільник: НОД (12, 8) = 4. Перемножуємо дані числа:
Ділимо твір на їхній НОД:
Отже, НОК (12, 8) = 24.
Щоб знайти НОК трьох чи більше чисел використовується наступний порядок дій:
- Спочатку знаходять НОК якихось двох із цих чисел.
- Потім НОК знайденого найменшого загального кратного і третього даного числа.
- Потім НОК отриманого найменшого загального кратного і четвертого числа і т.д.
- Таким чином, пошук НОК триває до тих пір, поки є числа.
Приклад 2. Знайдемо НОК трьох даних чисел: 12, 8 та 9. НОК чисел 12 та 8 ми вже знайшли у попередньому прикладі (це число 24). Залишилося знайти найменше загальне кратне числа 24 та третього даного числа - 9. Визначаємо їх найбільший спільний дільник: НОД (24, 9) = 3. Перемножуємо НОК з числом 9:
Ділимо твір на їхній НОД:
Отже, НОК (12, 8, 9) = 72.
Тема «Кратні числа» вивчається у 5 класі загальноосвітньої школи. Її метою є вдосконалення письмових та усних навичок математичних обчислень. На цьому уроці вводяться нові поняття – «кратні числа» та «ділителі», відпрацьовується техніка знаходження дільників та кратних натурального числа, уміння знаходити НОК у різний спосіб.
Ця тема є дуже важливою. Знання з неї можна застосувати під час вирішення прикладів з дробами. Для цього необхідно знайти спільний знаменник шляхом розрахунку найменшого загального кратного (НОК).
Кратним А вважається ціле число, яке ділиться на А без решти.
Кожне натуральне число має нескінченну кількість кратних чисел. Найменшим вважається воно саме. Кратне не може бути менше самого числа.
Потрібно довести, що число 125 кратне числу 5. Для цього потрібно перше число поділити на друге. Якщо 125 ділиться на 5 без залишку, то відповідь позитивна.
Даний спосіб застосовується для невеликих чисел.
При розрахунку НОК трапляються особливі випадки.
1. Якщо потрібно знайти загальне кратне для 2-х чисел (наприклад, 80 і 20), де одне з них (80) ділиться без залишку на інше (20), то це число (80) і є найменше кратне цих двох чисел.
НОК (80, 20) = 80.
2. Якщо два немає спільного дільника, можна сказати, що й НОК - це твір цих двох чисел.
НОК (6, 7) = 42.
Розглянемо останній приклад. 6 та 7 по відношенню до 42 є дільниками. Вони ділять кратне число без залишку.
У цьому прикладі 6 та 7 є парними дільниками. Їх добуток дорівнює самому кратному числу (42).
Число називається простим, якщо ділиться тільки на себе або на 1 (3:1=3; 3:3=1). Інші називаються складовими.
В іншому прикладі слід визначити, чи є 9 дільником по відношенню до 42.
42: 9 = 4 (залишок 6)
Відповідь: 9 не є дільником числа 42, тому що у відповіді є решта.
Дільник відрізняється від кратного тим, що дільник - це число, яким ділять натуральні числа, а кратне саме ділиться цього число.
Найбільший спільний дільник чисел aі b, помножений на їх найменше кратне, дасть добуток самих чисел aі b.
А саме: НОД(а, b) х НОК(а, b) = а х b.
Загальні кратні числа більш складних чисел знаходять в такий спосіб.
Наприклад, знайти НОК для 168, 180, 3024.
Ці числа розкладаємо на прості множники, записуємо у вигляді добутку ступенів:
168 = 2?х3?х7?
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
НОК (168, 180, 3024) = 15120.
Найбільший спільний дільник
Визначення 2
Якщо натуральне число a ділиться на натуральне число $b$, $b$ називають дільником числа $a$, а число $a$ називають кратним числа $b$.
Нехай $a$ та $b$-натуральні числа. Число $c$ називають спільним дільником і для $a$ і $b$.
Безліч спільних дільників чисел $a$ і $b$ звичайно, оскільки жоден із цих дільників не може бути більшим, ніж $a$. Отже, серед цих дільників є найбільший, який називають найбільшим спільним дільником чисел $a$ і $b$ і для його позначення використовують записи:
$НОД \ (a; b) \ або \ D \ (a; b) $
Щоб знайти найбільший спільний дільник двох, чисел необхідно:
- Знайти добуток чисел, знайдених на кроці 2. Отримане число і буде найбільшим шуканим спільним дільником.
Приклад 1
Знайти НОД чисел $121$ і $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Вибрати числа, які входять до розкладання цих чисел
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Знайти добуток чисел, знайдених на кроці 2. Отримане число і буде найбільшим шуканим спільним дільником.
$НОД=2\cdot 11=22$
Приклад 2
Знайти НОД одночленів $63$ і $81$.
Будемо знаходити згідно з представленим алгоритмом. Для цього:
Розкладемо числа на прості множники
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Вибираємо числа, що входять до розкладання цих чисел
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Знайдемо добуток чисел, знайдених на кроці 2. Отримане число і буде найбільшим шуканим спільним дільником.
$НОД=3\cdot 3=9$
Знайти НОД двох чисел можна і по-іншому, використовуючи безліч дільників чисел.
Приклад 3
Знайти НОД чисел $48$ та $60$.
Рішення:
Знайдемо безліч дільників числа $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Тепер знайдемо безліч дільників числа $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Знайдемо перетин цих множин: $ \ left \ (( \ rm 1,2,3,4,6,12) \ right \) $ - це безліч буде визначати безліч спільних дільників чисел $ 48 $ і $ 60 $. Найбільший елемент у даній множині буде число $12$. Значить, найбільший спільний дільник чисел $48$ і $60$ буде $12$.
Визначення НОК
Визначення 3
Загальним кратним натуральних чисел$a$ і $b$ називається натуральне число, яке кратне $a$ і $b$.
Загальними кратними чисел називаються числа які діляться на вихідні без залишку.
Найменше із загальних кратних буде називатися найменшим загальним кратним і позначається НОК$(a;b)$ або K$(a;b).$
Щоб знайти НОК двох чисел, необхідно:
- Розкласти числа на прості множники
- Виписати множники, що входять до складу першого числа та додати до них множники, які входять до складу другого та не ходять до складу першого
Приклад 4
Знайти НОК чисел $99$ та $77$.
Будемо знаходити згідно з представленим алгоритмом. Для цього
Розкласти числа на прості множники
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Виписати множники, що входять до складу першого
додати до них множники, які входять до складу другого та не ходять до складу першого
Знайти добуток чисел, знайдених на кроці 2.Отримане число і буде шуканим найменшим загальним кратним
$НОК=3cdot 3cdot 11cdot 7=693$
Упорядкування списків дільників чисел часто дуже трудомістке заняття. Існує спосіб знаходження НОД, який називається алгоритмом Евкліда.
Твердження, на яких заснований алгоритм Евкліда:
Якщо $a$ і $b$ --натуральні числа, причому $a\vdots b$, то $D(a;b)=b$
Якщо $a$ і $b$ --натуральні числа, такі що $b
Користуючись $D(a;b)= D(a-b;b)$, можна послідовно зменшувати ці цифри до тих пір, поки не дійдемо до такої пари чисел, що одне з них ділиться на інше. Тоді найменше з цих чисел і буде шуканим найбільшим спільним дільником для чисел $a$ і $b$.
Властивості НОД та НОК
- Будь-яке загальне кратне чисел $a$ і $b$ ділиться на K$(a;b)$
- Якщо $a\vdots b$ , то $(a;b)=a$
Якщо К$(a;b)=k$ і $m$-натуральне число, то К$(am;bm)=km$
Якщо $d$-загальний дільник для $a$ і $b$, то К($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) $
Якщо $a\vdots c$ і $b\vdots c$ , то $\frac(ab)(c)$ - загальне кратне чисел $a$ і $b$
Для будь-яких натуральних чисел $a$ і $b$ виконується рівність
$D(a;b)\cdot До(a;b)=ab$
Будь-який спільний дільник чисел $a$ і $b$ є дільником числа $D(a;b)$
Найбільший спільний дільник та найменше загальне кратне – ключові арифметичні поняття, які дозволяють без зусиль оперувати звичайними дробами. НОК і найчастіше використовують для пошуку спільного знаменника кількох дробів.
Основні поняття
Дільник цілого числа X - це інше ціле число Y, яке X поділяється без залишку. Наприклад, дільник 4 - це 2, а 36 - 4, 6, 9. Кратне цілого X - це число Y, яке ділиться на X без залишку. Наприклад, 3 кратно 15, а 6 - 12.
Для будь-якої пари чисел ми можемо знайти їхні спільні дільники та кратні. Наприклад, для 6 і 9 загальним кратним є 18, а загальним дільником - 3. Очевидно, що дільників і кратних пар може бути кілька, тому при розрахунках використовується найбільший дільник НОД і найменше кратне НОК.
Найменший дільник немає сенсу, оскільки будь-якого числа це завжди одиниця. Найбільше кратне також безглуздо, оскільки послідовність кратних спрямовується у нескінченність.
Знаходження НІД
Для пошуку найбільшого спільного дільника існує безліч методів, найвідоміші з яких:
- послідовний перебір дільників, вибір спільних для пари та пошук найбільшого з них;
- розкладання чисел на неподільні множники;
- алгоритм Евкліда;
- бінарний алгоритм.
Сьогодні у навчальних закладах найбільш популярними є методи розкладання на прості множники та алгоритм Евкліда. Останній у свою чергу використовується при розв'язанні діофантових рівнянь: пошук НОД потрібний для перевірки рівняння на можливість розв'язання в цілих числах.
Знаходження НОК
Найменше загальне кратне також визначається послідовним перебором або розкладанням на неподільні множники. Крім того, легко знайти НОК, якщо вже визначено найбільшого дільника. Для чисел X і Y НОК і НОД пов'язані наступним співвідношенням:
НОК (X, Y) = X × Y / НОД (X, Y).
Наприклад, якщо НОД(15,18) = 3, то НОК(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Найбільш очевидний приклад використання НОК - пошук спільного знаменника, який є найменшим загальним кратним для заданих дробів.
Взаємно прості числа
Якщо в пари чисел немає спільних дільників, то така пара називається взаємно простою. НОД для таких пар завжди дорівнює одиниці, а виходячи із зв'язку дільників та кратних, НОК для взаємно простих дорівнює їхньому твору. Наприклад, числа 25 і 28 взаємно прості, адже вони немає спільних дільників, а НОК(25, 28) = 700, що їх твору. Два будь-які неподільні числа завжди будуть взаємно простими.
Калькулятор загального дільника та кратного
За допомогою нашого калькулятора ви можете визначити НОД і НОК для довільної кількості чисел на вибір. Завдання на обчислення загальних дільників та кратних зустрічаються в арифметиці 5, 6 класу, проте НОД та НОК – ключові поняття математики та використовуються в теорії чисел, планіметрії та комунікативної алгебри.
Приклади із реального життя
Загальний знаменник дробів
Найменше загальне кратне використовується для пошуку спільного знаменника кількох дробів. Нехай в арифметичній задачі потрібно підсумувати 5 дробів:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Для складання дробів вираз необхідно привести до спільного знаменника, що зводиться до завдання знаходження НОК. Для цього виберіть у калькуляторі 5 чисел та введіть значення знаменників у відповідні комірки. Програма обчислить НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Тепер необхідно обчислити додаткові множники кожного дробу, які визначаються як співвідношення НОК до знаменника. Таким чином, додаткові множники будуть виглядати як:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Після цього множимо всі дроби на відповідний додатковий множник і отримуємо:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Такі дроби ми можемо легко підсумовувати та отримати результат у вигляді 159/360. Скорочуємо дріб на 3 і бачимо остаточну відповідь – 53/120.
Розв'язання лінійних діофантових рівнянь
Лінійні діофантові рівняння – це вирази виду ax + by = d. Якщо відношення d / НОД (a, b) є ціле число, то рівняння можна розв'язати в цілих числах. Давайте перевіримо пару рівнянь на можливість цілого рішення. Спочатку перевіримо рівняння 150x + 8y = 37. За допомогою калькулятора знаходимо НОД (150,8) = 2. Ділимо 37/2 = 18,5. Число не ціле, отже, рівняння не має цілих коренів.
Перевіримо рівняння 1320x + 1760y = 10120. Використовуємо калькулятор для знаходження НОД(1320, 1760) = 440. Розділимо 10120/440 = 23. У результаті отримуємо ціле число, отже, діофантово врівно.
Висновок
НОД і НОК відіграють велику роль у теорії чисел, а самі поняття широко використовуються в різних областях математики. Використовуйте наш калькулятор для розрахунку найбільших дільників та найменших кратних будь-якої кількості чисел.