Зображення на площині безлічі точок, заданих нерівністю з двома змінними Виконувала роботу: Сурова Ксенія
Ціль: 1). Сформувати: - поняття те, що розв'язанням нерівності із двома змінними є безліч точок площини. - вміння зображати на площині безліч точок, заданих нерівністю із двома змінними. - Вчити користуватися алгоритмом. 2). Розвивати: вміння аналізувати запропоновану ситуацію; графічні навички. 3). Виховувати уважність.
Хід: 1. Підготовка до сприйняття нового матеріалу: у-3х+4=0. . х 2 +6х-8=0 х 2 +у-16=0 Що є рішенням рівняння з двома змінними? -Чи можна зобразити на координатній площині рішення рівняння із двома змінним? Що буде рішенням такого рівняння?
2. Вивчення нового матеріалу. Кожна лінія розбиває координатну площину на дві частини (напівплощини). 0 х у у-3х+4=0 -4 2-а напівплощина 1-а напівплощина Якою умовою точки лежать на прямій? f (х;у)=0 (рівняння прямої) Як ви думаєте, а якій умові задовольняють точки, що не лежать на прямій? Розглядаємо перший малюнок: Візьмемо точки А(-4;-1), В(-2;4). З(0;2). Якій напівплощині належать ці точки? Підставимо координати точок у рівняння прямої та порівняємо отримані значення з нулем. А(-4;-1) -1-3(-4)+4= -1+12+4=15, 15 0, В(-2;4) 4-3(-2)+4=4 +6+4=14, 14 0, С(0;2) 2-3 0+4=6, 6 0. Значення нашого багаточлена f (х;у) у точках А,В,С набуває значення більше 0.
Як записати цю умову за допомогою математичної моделі? у-3х+4 0 . Якій напівплощині належать точки Д(6;0), Е(0;-6), F(3;-3). Порівняємо значення многочлена у-3х+4 у цих точках з нулем. Д(6;0) 0-36+4=-18+4=-14, -14 0, Е(0;-6) -6-30+4= -2, -2 0, F (3 ;-3) -3-3 3+4= -3-9+4, -8 0. Якою умовою задовольняють точки нижньої напівплощини у-3х+4 0 Висновок: Точки, що не лежать на прямій, задовольняють нерівності. f (х; у) 0 або f (х; у) 0.
3. Заповнити таблицю. Якій із умов задовольняють точки координатної площини: А(0;4), В(0;-4),О(0;0), С(-2;-2), Д(5;0), Е(4; 8), F(0;-6), К(4;1), М(-2;1), N(8;-2) F(х;у)=0 F(х;у) 0 F (х;у) 0
Задати нерівністю безліч точок площини на малюнках: х у 0 4 2 у = х 2 -6х + 8 у х 0 4 -4 4 -4 х 2 + у 2 = 16 Підіб'ємо підсумок: Як же задати безліч точок площини нерівністю? Склав алгоритм своїх дій. 1. Будуємо графік функції f (х; у) = 0 2. Беремо контрольну точку. 3. Перевіряємо виконання нерівності f (х; у) 0 або f (х; у) 0
6 3 0 у х у+2х-6=0 6 3 0 у х у+2х-6=0 4. Задати нерівністю точок координатної площини У чому відмінність цих двох випадків? Висновок: У першому випадку точки прямої входять у вказану множину, тому дані точки задають безліч, що задовольняє нерівності f(х;у) 0, у другому випадку точки прямої не є частиною множини зазначеної напівплощини, тому наша множина задається нерівністю f (х; у) 0. Отже, якщо знак нерівності нестрогий, то графік рівняння зображаємо суцільною лінією; якщо знак нерівності є суворим, то графік рівняння зображаємо пунктиром.
Самостійна робота. Варіант 1 Варіант 2 Відобразити на площині безліч точок, заданих нерівністю: А) у = 2х-4 0 (2б) у-х -5 0 В) х 2 +4х + у 2 0 (3б) х 2 = у 2 -4у≤0 Задати безліч точок координатної площини нерівністю: (2б) Зобразити графічно розв'язання нерівності (3б) Як на вашу думку можна задати цю безліч: (Такий же малюнок без штрихування зображений на дошці.) Які лінії зображені? (пряме коло) Пряма розбиває площину на дві напівплощини. Якій напівплощині належить заштрихована частина та якій умові вона задовольняє? у+х-4≥0 Окружність розбиває площину на дві частини: усередині кола та поза нею. Нас цікавить внутрішня частина. Якою умовою вона задовольняє.(х+у) 2 +(у-2) 2 -9
Тобто дана множина є результатом перетину двох множин. Тобто розв'язанням системи нерівностей: (х-2) 2 +(y-2) 2 -9 0 І так ми з вами поставили деяку множину системою нерівностей. Підіб'ємо підсумок: Складемо алгоритм побудови безлічі точок площини, задану системою нерівностей: Будуємо графік рівняння f 1 (х; у) = 0 і f 2 (х; у) = 0 Зображаємо безліч точок, що задовольняють першій нерівності. Зображаємо безліч точок, що задовольняють другу нерівність. Результат – перетин множин.
Дякую за увагу!!!
5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Як називається пряма, зображена малюнку?
Назвіть координати точок
А, В, C, D, Про.
А(4), В(-4), С(5,5), D(-1,5), О(0)
Оx - вісь абсцис
Оy - вісь ординат
Крапка 0 – початок відліку
3 – абсциса точки М
4 - ордината точки М
Площина, із зазначеною на ній системою координат, називають координатною.
Числа, за допомогою яких вказують, де знаходиться певний об'єкт, називають його координатами.
( від латинських слів до – «спільно»
ординатус - "певний")
Прямокутна система координат, що складається з двох взаємно перпендикулярних осей із загальним початком, винайдена у XVI ст. Знаменитим французьким математиком Рене Декартом.
Декартова система координат дала можливість поєднати числову та геометричну лінію математики.
Назвіть координати точок
А, В, З, D, Е, F
- A (3;1)
- B (2;-2)
- C (-2;4)
- D (-4;-2)
- E (0;2)
- F(-4;0)
Це потрібно знати:
- Якщо точка лежить на осі ординат, її абсцис дорівнює нулю.
2. Якщо точка лежить на осі абсцис, її ордината дорівнює нулю.
Накресліть у зошиті координатні осі, взявши одиничний відрізок 1 см.
Побудуй точки:
А (4;1), (-1;4), С (3;-2),
D(-3;-1); До (0; 3), N (-2; 1)
F(-2,5;-4,5), S(0,5;-2,5)
Перевіримо себе
Запишіть координати точок B, A, R, S, I, K
- B (3;1)
- A(2:-5)
- R (0; -9)
- S (-3;-5)
- I (-2;3)
- K (-1;9)
Побудуйте фігуру, послідовно з'єднавши відрізками крапки з координатами і
(3; 7), (1; 5), (2; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 2),
(8; 4), (8;-1), (6; 0), (0;-3), (2;-6), (-2;-3), (-4;-2), (-5;-1), (-6; 1), (-6; 2), (-3; 5), (3; 7) Окремо: (-3; 3) Окремо: (-6; 1), (-4; 1) Окремо: (-3; 5), (-2; 2), (-2; 0), (-4;-2) (за одиничний відрізок прийміть 1 клітинку зошита)
3. Зобразіть на координатній осі множину точок х≤2. Зобразіть на координатній площині безліч точок 2 ≤ y ≤5." width="640" - Зобразіть на координатній осі безліч точок y
- Зобразіть на координатній осі множину точок х 3.
- Намалюйте на координатній осі безліч точок х≤2.
- Зобразіть на координатній площині множину точок 2 ≤ y ≤5.
y 
3" width="640"
Нехай поставлено рівняння з двома змінними F(x; y). Ви вже познайомилися зі способами розв'язання таких рівнянь аналітично. Безліч рішень таких рівнянь можна уявити і як графіка.
Графіком рівняння F(x; y) називають безліч точок координатної площини xOy, координати яких задовольняють рівняння.
Для побудови графіка рівняння із двома змінними спочатку виражають у рівнянні змінну y через змінну x.
Напевно, ви вже вмієте будувати різноманітні графіки рівнянь із двома змінними: ax + b = c – пряма, yx = k – гіпербола, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – коло, радіус якого дорівнює R, а центр знаходиться у точці O(a; b).
приклад 1.
Побудувати графік рівняння x2 – 9y2 = 0.
Рішення.
Розкладемо на множники ліву частину рівняння.
(x - 3y) (x + 3y) = 0, тобто y = x/3 або y = -x/3.
Відповідь: рисунок 1.
p align="justify"> Особливе місце займає завдання фігур на площині рівняннями, що містять знак абсолютної величини, на яких ми докладно зупинимося. Розглянемо етапи побудови графіків рівнянь виду | y | = f(x) та |y| = | f (x) |.
Перше рівняння рівносильне системі
(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) або y = -f(x).
Тобто його графік складається з графіків двох функцій: y = f(x) та y = -f(x), де f(x) ≥ 0.
Для побудови графіка другого рівняння будують графіки двох функцій: y = f(x) та y = -f(x).
приклад 2.
Побудувати графік рівняння | y | = 2+х.
Рішення.
Задане рівняння рівносильне системі
(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 або y = -x - 2).
Будуємо безліч точок.
Відповідь: рисунок 2.
приклад 3.
Побудувати графік рівняння | y - x | = 1.
Рішення.
Якщо y ≥ x то y = x + 1, якщо y ≤ x, то y = x – 1.
Відповідь: рисунок 3.
При побудові графіків рівнянь, що містять змінну під знаком модуля, зручно та раціонально використовувати метод областей, заснований на розбиття координатної площини на частини, у яких кожне підмодульне вираз зберігає свій знак.
приклад 4.
Побудувати графік рівняння x + | x | + y + | y | = 2.
Рішення.
У цьому прикладі знак кожного підмодульного виразу залежить від координатної чверті.
1) У першій координатній чверті x ≥ 0 та y ≥ 0. Після розкриття модуля задане рівняння матиме вигляд:
2x + 2y = 2, а після спрощення x + y = 1.
2) У другій чверті, де x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.
3) У третій чверті x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.
4) У четвертій чверті, за x ≥ 0, а y< 0 получим, что x = 1.
Графік цього рівняння будуватимемо по чвертях.
Відповідь: рисунок 4.
Приклад 5.
Зобразити безліч точок, які координати задовольняють рівності |x – 1| + | y - 1 | = 1.
Рішення.
Нулі підмодульних виразів x = 1 та y = 1 розбивають координатну площину на чотири області. Розкриємо модулі по областях. Оформимо це у вигляді таблиці.
| Область |
Знак підмодульного виразу |
Отримане рівняння після розкриття модуля |
| I | x ≥ 1 та y ≥ 1 | x + y = 3 |
| II | x< 1 и y ≥ 1 | -x + y = 1 |
| III | x< 1 и y < 1 | x + y = 1 |
| IV | x ≥ 1 та y< 1 | x - y = 1 |
Відповідь: рисунок 5.
На координатній площині фігури можуть задаватися і нерівностями.
Графіком нерівностііз двома змінними називається безліч усіх точок координатної площини, координати яких є рішеннями цієї нерівності.
Розглянемо алгоритм побудови моделі розв'язків нерівності з двома змінними:
- Записати рівняння, що відповідає нерівності.
- Побудувати графік рівняння із пункту 1.
- Вибрати довільну точку в одній із напівплощин. Перевірити, чи задовольняють координати обраної точки даної нерівності.
- Зобразити графічно множину всіх розв'язків нерівності.
Розглянемо, перш за все, нерівність ax + bx + c > 0. Рівняння ax + bx + c = 0 задає пряму площину, що розбиває, на дві напівплощини. У кожному їх функція f(x) = ax + bx + c зберігає знак. Для визначення цього знака достатньо взяти будь-яку точку, що належить напівплощині, та обчислити значення функції у цій точці. Якщо знак функції збігається зі знаком нерівності, то ця напівплощина і буде розв'язанням нерівності.
Розглянемо приклади графічного розв'язання нерівностей, що найчастіше зустрічаються, з двома змінними.
1) ax + bx + c ≥ 0. Малюнок 6.
2)
|х| ≤ a, a > 0. Малюнок 7.
3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Малюнок 8.
4) y ≥ x 2 . Малюнок 9.
5)
xy ≤ 1. Малюнок 10. 
Якщо у вас виникли питання або ви хочете попрактикуватися зображати на площині моделі безлічі всіх розв'язків нерівностей із двома змінними за допомогою математичного моделювання, ви можете провести безкоштовне 25-хвилинне заняття з онлайн репетиторомпісля того як . Для подальшої роботи з викладачем у вас буде можливість вибрати відповідний для вас
Залишились питання? Не знаєте як зобразити фігуру на координатній площині?
Щоб отримати допомогу репетитора – .
Перший урок – безкоштовно!
blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
"Координатна пряма" - Скеля Динозавр. На уроках якого предмета ви зустрічалися з координатною прямою? Що нагадує вам координатна пряма? Що називається координатами точки на площині? Що таке пряма координатна? Оренбурзький державний степовий заповідник створений у 1989 році. Координати на прямій та площині.
"Прямокутна система координат" - Дві взаємно перпендикулярні прямі, Алгоритм відшукання координати точки М (x1, y1), заданої в прямокутній системі координат. Назва; Позначення. Одиницею довжини. Однозначно визначає положення кожної точки на площині. Тема: Прямокутна система координат на площині. Поділяє площину на чотири частини.
"Системи координат" - Системи координат. Афінна (косовугільна) система координат. Світові лінії спостерігачів Ріндлера (блакитні дуги гіпербол) у декартових координатах. Крапка в циліндричних координатах. Полярна система координат. Прямокутна (Декартова) система координат. В елементарній геометрії координати - величини, що визначають положення точки на площині та просторі.
"Координатна площина з координатами" - Картка 2. Скільки га зорав третій? 4. 24 особи за 6 днів пропололи ділянку полуниці. 5. Розв'яжіть рівняння: 0,9(4у-2)=0,5(3у-4)+4,4. 5. Розв'яжіть рівняння: 0,2 (5у-2) = 0,3 (2у-1) -0,9. 2. Знайдіть площу прямокутника, ширина якого 5,5 м, а довжина на 1,5 більша за ширину. 2.Три трактористи зорали 405 га землі.
«Координати на площині» - Зазначимо на координатній площині Т.А (3; 5), В (-2; 8), С (-4; -3), Е (5; -5). Цілі: 8,150. Хід уроку. Обчисліть: Система координат. Через зазначені точки проведемо прямі, паралельні до осей. Гра Морський Бій. Х – абсциса У – ордината. Рене Декарт Готфрід Вільгельм Лейбніц. Побудуйте трикутник. Алгоритм побудови: Побудуємо координатну площину.
«Декартові координати» – Декарт. Лінія часу. Декарт вперше запровадив координатну систему. Визначення координат точок. Система географічних координат. Гіппарх. Подорож на острів "Координат". Координатна система знайшла своє застосування у багатьох сферах життєдіяльності людини. Рене Декарт (1596–1650). Визначення координат острова.
Всього у темі 19 презентацій