Дати визначення безперервної функції. Безперервність функцій – теореми та властивості

Безперервність функції. Крапки розриву.

Іде бичок, хитається, зітхає на ходу:
- Ох, дошка кінчається, зараз я впаду!

На даному уроці ми розберемо поняття безперервності функції, класифікацію точок розриву та поширене практичне завдання дослідження функції на безперервність. Із самої назви теми багато хто інтуїтивно здогадується, про що піде мова, і думають, що матеріал досить простий. Це правда. Але саме нескладні завдання найчастіше карають за зневагу та поверхневий підхід до їх вирішення. Тому рекомендую дуже уважно вивчити статтю та вловити всі тонкощі та технічні прийоми.

Що потрібно знати та вміти?Не дуже багато. Для якісного засвоєння уроку необхідно розуміти, що таке межа функції. Читачам з низьким рівнем підготовки достатньо осмислити статтю Межі функцій. Приклади рішеньі подивитися геометричний сенс межі в методичці Графіки та властивості елементарних функцій. Також бажано ознайомитись з геометричними перетвореннями графіків, Оскільки практика здебільшого передбачає побудову креслення. Перспективи оптимістичні для всіх, і навіть повний чайник зуміє самостійно впоратися із завданням у найближчу годину-другу!

Безперервність функції. Точки розриву та їх класифікація

Поняття безперервності функції

Розглянемо деяку функцію, безперервну на всій числовій прямій:

Або, кажучи лаконічніше, наша функція безперервна на (множині дійсних чисел).

Який «обивацький» критерій безперервності? Очевидно, графік безперервної функції можна накреслити, не відриваючи олівця від паперу.

При цьому слід чітко відрізняти два прості поняття: область визначення функціїі безперервність функції. У загальному випадку Це не одне і те ж. Наприклад:

Ця функція визначена на всій числовій прямій, тобто для кожногозначення "ікс" існує своє значення "гравця". Зокрема, якщо , то . Зауважте, що інша точка виколота, адже за визначенням функції, значенням аргументу має відповідати єдинезначення функції. Таким чином, область визначенняНашої функції: .

Однак ця функція не є безперервною на !Цілком очевидно, що в точці вона терпить розрив. Термін теж цілком зрозумілий і наочний, дійсно, олівець тут по-кожному доведеться відірвати від паперу. Трохи згодом ми розглянемо класифікацію точок розриву.

Безперервність функції в точці та на інтервалі

У тій чи іншій математичній задачі мова може йти про безперервність функції в точці, безперервність функції на інтервалі, напівінтервалі або безперервність функції на відрізку. Тобто, не існує «просто безперервності»– функція може бути безперервною десь. І основним «цеглиною» всього іншого є безперервність функції у точці .

Теорія математичного аналізу дає визначення безперервності функції у точці з допомогою «дельта» і «эпсилон» околиць, але практично у ході інше визначення, якому ми й приділимо найпильнішу увагу.

Спочатку згадаємо односторонні межі, що увірвалися в наше життя на першому уроці про графіки функцій. Розглянемо буденну ситуацію:

Якщо наближатися по осі до точки зліва(червона стрілка), то відповідні значення "ігреків" будуть йти по осі до точки (малінова стрілка). Математично цей факт фіксується за допомогою лівосторонньої межі:

Зверніть увагу на запис (читається «ікс прагне до зліва»). "Добавка" "мінус нуль" символізує , По суті це і означає, що ми підходимо до числа з лівого боку.

Аналогічно, якщо наближатися до точки «ка» справа(синя стрілка), то «ігреки» прийдуть до того ж значення, але вже за зеленою стрілкою, і правостороння межаоформиться так:

Добавка символізує , і запис читається так: «ікс прагне до як праворуч».

Якщо односторонні межі кінцеві та рівні(як у нашому випадку): , то будемо говорити, що існує Загальна межа . Все просто, спільна межа – це наша «звичайна» межа функції, рівний кінцевому числу.

Зауважте, що якщо функція не визначена при (виколіть чорну точку на гілці графіка), перераховані викладки залишаються справедливими. Як уже неодноразово наголошувалося, зокрема, у статті про нескінченно малі функції, вирази означають, що «ікс» нескінченно близьконаближається до точки, при цьому НЕ МАЄ ЗНАЧЕННЯ, чи визначена сама функція у цій точці чи ні. Хороший приклад зустрінеться у наступному параграфі, коли аналізу піддасться функція .

Визначення: функція безперервна у точці , якщо межа функції у цій точці дорівнює значенню функції у цій точке: .

Визначення деталізується за таких умов:

1) Функція має бути визначена в точці, тобто має існувати значення.

2) Повинна існувати загальна межа функції. Як зазначалося вище, це передбачає існування та рівність односторонніх меж: .

3) Межа функції у цій точці має дорівнювати значенню функції у цій точці: .

Якщо порушено хоча б однеіз трьох умов, то функція втрачає властивість безперервності в точці .

Безперервність функції на інтерваліформулюється дотепно і дуже просто: функція безперервна на інтервалі, якщо вона безперервна в кожній точці цього інтервалу.

Зокрема, багато функцій безперервні на нескінченному інтервалі, тобто на безлічі дійсних чисел. Це лінійна функція, багаточлени, експонента, синус, косинус та ін. І взагалі будь-яка елементарна функціябезперервна на своїй області визначення, наприклад, логарифмічна функція безперервна на інтервалі . Сподіваюся, на даний момент ви досить добре уявляєте, як виглядають графіки основних функцій. Більш детальну інформацію про їх безперервність можна отримати у доброї людини на прізвище Фіхтенгольц.

З безперервністю функції на відрізку і напівінтервала теж все нескладно, але про це доречніше розповісти на уроці про знаходження мінімального та максимального значень функції на відрізку, а поки що голову забивати не будемо.

Класифікація точок розриву

Цікаве життя функцій багата будь-якими особливими точками, і точки розриву лише одна зі сторінок їх біографії.

Примітка : про всяк випадок зупинюся на елементарному моменті: точка розриву – це завжди окремо взята точка– не буває «кілька точок розриву підряд», тобто немає такого поняття, як «інтервал розривів».

Дані точки у свою чергу поділяються на дві великі групи: розриви першого родуі розриви другого роду. Кожен тип розриву має свої характерні особливості, які ми розглянемо прямо зараз:

Точка розриву першого роду

Якщо у точці порушено умову безперервності та односторонні межі кінцеві , то вона називається точкою розриву першого роду.

Почнемо з найоптимістичнішого випадку. За початковим задумом уроку я хотів розповісти теорію «загалом», але щоб продемонструвати реальність матеріалу, зупинився на варіанті з конкретними дійовими особами.

Похмуро, як фото молодят на тлі Вічного вогню, але нижченаведений кадр загальноприйнятий. Зобразимо на кресленні графік функції:

Ця функція безперервна на всій числовій прямій, крім точки . І справді, знаменник же не може дорівнювати нулю. Однак відповідно до змісту межі – ми можемо нескінченно близьконаближатися до «нуля» і ліворуч і праворуч, тобто односторонні межі існують і, очевидно, збігаються:
(Умова №2 безперервності виконана).

Але функція не визначена в точці, отже, порушено Умову №1 безперервності, і функція зазнає розриву в цій точці.

Розрив такого виду (з існуючим спільною межею) називають усувним розривом. Чому усувається? Тому що функцію можна довизначитиу точці розриву:

Дивно виглядає? Можливо. Але такий запис функції нічого не суперечить! Тепер розрив усунений і всі щасливі:

Виконаємо формальну перевірку:

2) – загальна межа існує;
3)

Таким чином, всі три умови виконані, і функція безперервна в точці визначення безперервності функції в точці.

Втім, ненависники матану можуть визначити функцію поганим способом, наприклад :

Цікаво, що тут виконано перші дві умови безперервності:
1) – функція визначена у цій точці;
2) - Спільна межа існує.

Але третій рубіж не пройдено: тобто межа функції в точці не дорівнюєзначення цієї функції в даній точці.

Таким чином, у точці функція зазнає розриву.

Другий, сумніший випадок носить назву розриву першого роду зі стрибком. А смуток навіюють односторонні межі, які кінцеві та різні. Приклад зображений на другому кресленні уроку. Такий розрив виникає, як правило, у шматково-заданих функціях, про які вже згадувалося у статті про перетворення графіків.

Розглянемо шматочкову функцію і виконаємо її креслення. Як збудувати графік? Дуже просто. На напівінтервалі креслимо фрагмент параболи (зелений колір), на інтервалі – відрізок прямий (червоний колір) та на напівінтервалі – пряму (синій колір).

При цьому через нерівність значення визначено для квадратичної функції (зелена точка), і через нерівність , значення визначено для лінійної функції (синя точка):

У найважчому випадку слід вдатися до поточкового побудови кожного шматка графіка (див. перший урок про графіки функцій).

Зараз нас цікавитиме лише точка. Досліджуємо її на безперервність:

2) Обчислимо односторонні межі.

Зліва у нас червоний відрізок прямий, тому лівостороння межа:

Праворуч – синя пряма, та правостороння межа:

В результаті отримано кінцеві числа, причому вони не рівні. Оскільки односторонні межі кінцеві та різні: , то наша функція терпить розрив першого роду зі стрибком.

Логічно, що розрив не усунемо – функцію справді не довизначити та «не склеїти», як у попередньому прикладі.

Точки розриву другого роду

Зазвичай до цієї категорії хитро відносять решту випадків розриву. Все перераховувати не буду, оскільки на практиці в 99% відсотках завдань вам зустрінеться нескінченний розрив– коли лівосторонній чи правосторонній, а частіше, обидві межі нескінченні.

І, звичайно ж, картинка, що напрошується, - гіпербола в точці нуль. Тут обидві односторонні межі нескінченні: , Отже, функція зазнає розриву другого роду в точці .

Я намагаюся наповнювати свої статті максимально різноманітним змістом, тому давайте подивимося на графік функції, який ще не зустрічався:

за стандартною схемою:

1) Функція не визначена у цій точці, оскільки знаменник перетворюється на нуль.

Звичайно, можна відразу зробити висновок про те, що функція зазнає розриву точки, але добре б класифікувати характер розриву, що часто потрібно за умовою. Для цього:

Нагадую, що під записом розуміється нескінченно мале негативне число, а під записом – нескінченно мале позитивне число.

Односторонні межі нескінченні, отже, функція зазнає розриву 2-го роду в точці . Вісь ординат є вертикальною асимптотоюдля графіка.

Не рідкісна ситуація, коли обидві односторонні межі існують, але нескінченний лише один із них, наприклад:

Це графік функції.

Досліджуємо на безперервність точку:

1) Функція не визначена у цій точці.

2) Обчислимо односторонні межі:

Про методику обчислення таких односторонніх меж поговоримо у двох останніх прикладах лекції, хоча багато читачів усе вже побачили та здогадалися.

Лівостороння межа кінцева і дорівнює нулю (у саму точку ми «не заходимо»), але правостороння межа нескінченна і помаранчева гілка графіка нескінченно близько наближається до своєї вертикальній асимптоті, Заданою рівнянням (чорний пунктир).

Таким чином, функція терпить розрив другого родуу точці.

Як і для розриву одного роду, у самій точці розриву функція може бути визначена. Наприклад, для шматкової функції сміливо ставимо чорну жирну крапку на початку координат. Праворуч - гілка гіперболи, і правостороння межа нескінченна. Думаю, майже всі уявили, як виглядає цей графік.

Те, чого всі з нетерпінням чекали:

Як дослідити функцію на безперервність?

Дослідження функції на безперервність у точці проводиться за вже накатаною рутинною схемою, яка полягає у перевірці трьох умов безперервності:

Приклад 1

Дослідити функцію

Рішення:

1) Під приціл потрапляє єдина точка , де функція не визначена.

2) Обчислимо односторонні межі:

Односторонні межі кінцеві та рівні.

Таким чином, у точці функція терпить усунутий розрив.

Як виглядає графік цієї функції?

Хочеться провести спрощення , і начебто виходить звичайна парабола. АЛЕвихідна функція не визначена в точці, тому обов'язкове наступне застереження:

Виконаємо креслення:

Відповідь: функція безперервна на всій числовій прямій крім точки , в якій вона терпить розрив.

Функцію можна визначити хорошим або не дуже способом, але за умовою цього не потрібно.

Ви скажете, приклад надуманий? Анітрохи. Десятки разів зустрічалося практично. Майже всі завдання сайту родом із реальних самостійних та контрольних робіт.

Розробимося з улюбленими модулями:

Приклад 2

Дослідити функцію на безперервність. Визначити характер розривів функції, якщо вони існують. Виконати креслення.

Рішення: чомусь студенти бояться і не люблять функції з модулем, хоча нічого складного в них немає Таких речей ми вже трохи торкнулися на уроці Геометричні перетворення графіків. Оскільки модуль невід'ємний, він розкривається так: , де "альфа" - деякий вираз. В даному випадку , і наша функція повинна розписатися кусковим чином:

Але дроби обох шматків доведеться скоротити на . Скорочення, як і в попередньому прикладі, не пройде без наслідків. Вихідна функція не визначена в точці , оскільки знаменник перетворюється на нуль. Тому в системі слід додатково вказати умову і першу нерівність зробити суворим:

Тепер про ДУЖЕ КОРИСНИЙ прийом рішення: перед чистовим оформленням завдання на чернетці вигідно зробити креслення (незалежно від того, потрібен він за умовою чи ні). Це допоможе, по-перше, відразу побачити точки безперервності і точки розриву, а, по-друге, 100% убереже від помилок при знаходженні односторонніх меж.

Виконаємо креслення. Відповідно до наших викладок, зліва від точки необхідно накреслити фрагмент параболи (синій колір), а праворуч – шматок параболи (червоний колір), при цьому функція не визначена в самій точці:

Якщо є сумніви, візьміть декілька значень "ікс", підставте їх у функцію (не забуваючи, що модуль знищує можливий знак мінус) і звіртеся з графіком.

Досліджуємо функцію на безперервність аналітично:

1) Функція не визначена в точці , тому відразу можна сказати, що не є в ній безперервною.

2) Встановимо характер розриву, при цьому обчислимо односторонні межі:

Односторонні межі кінцеві і різні, отже, функція зазнає розриву 1-го роду зі стрибком у точці . Ще раз зауважте, що при знаходженні меж немає значення, визначена функція в точці розриву чи ні.

Тепер залишається перенести креслення з чернетки (він зроблений як би за допомогою дослідження;-)) і завершити завдання:

Відповідь: функція безперервна на всій числовій прямій крім точки, в якій вона зазнає розриву першого роду зі стрибком.

Іноді вимагають додатково вказати стрибок розриву. Обчислюється він елементарно – з правої межі треба відняти ліву межу: , тобто у точці розриву наша функція стрибнула на 2 одиниці вниз (що нам повідомляє знак «мінус»).

Приклад 3

Дослідити функцію на безперервність. Визначити характер розривів функції, якщо вони існують. Зробити креслення.

Це приклад самостійного рішення, приблизний зразок рішення наприкінці уроку.

Перейдемо до найбільш популярної та поширеної версії завдання, коли функція складається з трьох шматків:

Приклад 4

Дослідити функцію на безперервність та побудувати графік функції .

Рішення: очевидно, що всі три частини функції безперервні на відповідних інтервалах, тому залишилося перевірити лише дві точки «стику» між шматками. Спочатку виконаємо креслення на чернетці, техніку побудови я досить докладно закоментував у першій частині статті. Єдине, необхідно акуратно простежити за нашими особливими точками: через нерівність значення належить прямий (зелена точка), і через нерівність значення належить параболі (червона точка):

Ну ось, у принципі, все зрозуміло =) Залишилось оформити рішення. Для кожної з двох «стикових» точок стандартно перевіряємо 3 умови безперервності:

I)Досліджуємо на безперервність точку

Односторонні межі кінцеві і різні, отже, функція зазнає розриву 1-го роду зі стрибком у точці .

Обчислимо стрибок розриву як різницю правої та лівої меж:
тобто графік рвонув на одну одиницю вгору.

II)Досліджуємо на безперервність точку

1) – функція визначена у цій точці.

2) Знайдемо односторонні межі:

– односторонні межі кінцеві і рівні, отже, існує спільна межа.

3) – межа функції у точці дорівнює значенню цієї функції у цій точці.

На завершальному етапі переносимо креслення на чистовик, після чого ставимо фінальний акорд:

Відповідь: функція безперервна на всій числовій прямій, крім точки, в якій вона зазнає розриву першого роду зі стрибком.

Приклад 5

Дослідити функцію на безперервність та побудувати її графік .

Це приклад для самостійного розв'язання, коротке рішення та приблизний зразок оформлення завдання наприкінці уроку.

Може скластися враження, що в одній точці функція обов'язково має бути безперервною, а в іншій – обов'язково має бути розрив. Насправді це далеко не завжди так. Постарайтеся не нехтувати прикладами, що залишилися - буде кілька цікавих і важливих фішок:

Приклад 6

Дана функція . Дослідити функцію на безперервність у точках. Побудувати графік.

Рішення: і знову відразу виконаємо креслення на чернетці:

Особливість даного графіка у тому, що з кускова функція задається рівнянням осі абсцис . Тут ця ділянка промальована зеленим кольором, а в зошит її зазвичай жирно виділяють простим олівцем. І, звичайно ж, не забуваємо про наших баранів: значення відноситься до гілки тангенса (червона точка), а значення належить прямій.

З креслення все зрозуміло - функція безперервна по всій числовій прямій, залишилося оформити рішення, яке доводиться до повного автоматизму буквально після 3-4 подібних прикладів:

I)Досліджуємо на безперервність точку

1) – функція визначено у цій точці.

2) Обчислимо односторонні межі:

, Отже, спільна межа існує.

На всякий пожежник нагадаю тривіальний факт: межа константи дорівнює самій константі. У цьому випадку межа нуля дорівнює самому нулю (лівостороння межа).

3) – межа функції у точці дорівнює значенню цієї функції у цій точці.

Таким чином, функція безперервна в точці визначення безперервності функції в точці.

II)Досліджуємо на безперервність точку

1) – функція визначено у цій точці.

2) Знайдемо односторонні межі:

І тут – межа одиниці дорівнює самій одиниці.

- Спільна межа існує.

3) – межа функції у точці дорівнює значенню цієї функції у цій точці.

Таким чином, функція безперервна в точці визначення безперервності функції в точці.

Як завжди, після дослідження переносимо наш креслення на чистовик.

Відповідь: функція безперервна в точках.

Зверніть увагу, що за умови нас нічого не питали про дослідження всієї функції на безперервність, і хорошим математичним тоном вважається формулювати точний та чіткийвідповідь на поставлене запитання. До речі, якщо за умовою не потрібно будувати графік, ви маєте повне право його і не будувати (правда, потім викладач може змусити це зробити).

Невелика математична «скоромовка» для самостійного вирішення:

Приклад 7

Дана функція . Дослідити функцію на безперервність у точках. Класифікувати точки розриву, якщо вони є. Виконати креслення.

Постарайтеся правильно "вимовити" всі "слова" =) І графік намалювати точніше, точність, вона скрізь зайвою не буде;-)

Як ви пам'ятаєте, я рекомендував негайно виконувати креслення на чернетці, але іноді трапляються такі приклади, де не відразу зрозумієш, як виглядає графік. Тому у ряді випадків вигідно спочатку знайти односторонні межі і лише потім на основі дослідження зобразити гілки. У двох заключних прикладах ми, крім того, освоїмо техніку обчислення деяких односторонніх меж:

Приклад 8

Дослідити на безперервність функцію та побудувати її схематичний графік.

Рішення: Негативні точки очевидні: (звертає в нуль знаменник показника) і (звертає в нуль знаменник всього дробу). Зрозуміло, як виглядає графік цієї функції, отже, спочатку краще провести дослідження.

Наводяться визначення та формулювання основних теорем та властивостей безперервної функції однієї змінної. Розглянуто властивості безперервної функції у точці, на відрізку, межа та безперервність складної функції, класифікація точок розриву. Дано визначення та теореми, пов'язані зі зворотною функцією. Викладено властивості елементарних функцій.

Зміст

Можна сформулювати поняття безперервності в термінах прирощень. Для цього ми вводимо нову змінну, яка називається збільшенням змінної x у точці.
.
Тоді функція безперервна в точці, якщо
.
Введемо нову функцію: Її називаютьзбільшенням функції
.

у точці.
Тоді функція безперервна в точці, якщо Визначення безперервності праворуч (ліворуч)Функція f (x) 0 називається 0 безперервної праворуч (ліворуч) у точці x 0 :
.

, якщо вона визначена на деякій правосторонній (лівосторонній) околиці цієї точки, і якщо праву (ліву) межу в точці x
дорівнює значенню функції x Визначення безперервності праворуч (ліворуч)Теорема про обмеженість безперервної функції 0 Нехай функція f безперервна в точці x.

Тоді існує така околиця U
(x 0)
.
, де функція обмежена.
Теорема про збереження знака безперервної функції

Нехай функція безперервна у точці.
І нехай вона має позитивне (негативне) значення в цій точці:
Тоді існує така околиця точки , де функція має позитивне (негативне) значення:
при .

Арифметичні властивості безперервних функцій
Нехай функції і безперервні у точці.

Тоді функції і безперервні в точці.

Якщо, то й функція безперервна у точці.

Властивість безперервності ліворуч і праворуч
Функція безперервна в точці тоді і лише тоді, коли вона безперервна праворуч і ліворуч.
Докази властивостей наведено на сторінці «Властивості безперервних у точці функцій».

Безперервність складної функції

Теорема про безперервність складної функції
Нехай функція безперервна у точці.
.
І нехай функція безперервна у точці. 0 Тоді складна функція безперервна у точці.
Межа складної функції
Теорема про межу безперервної функції від функції
.

Нехай існує межа функції при , і він дорівнює:
Нехай функція має межу і відображає проколоту околицю точки на проколоту околицю точки.
Нехай функція визначена на околиці і має на ній межу.
Тут - кінцеві чи нескінченно віддалені точки: .
.

Околиці та відповідні їм межі може бути як двосторонні, і односторонні.

Тоді існує межа складної функції і він дорівнює:
Точки розриву Визначення точки розривуНехай функція визначена на деякій проколоті околиці точки.
Крапка називається
точкою розриву функції

, якщо виконується одна з двох умов:
1) не визначена в; точкою розриву першого роду 2) визначена в , але не є в цій точці.
.

Визначення точки розриву 1-го роду
Крапка називаєтьсяякщо є точкою розриву і існують кінцеві односторонні межі зліва і праворуч:
.

Визначення стрибка функції
1) не визначена в; Стрибком Δ функціїу точці називається різниця меж праворуч і ліворуч
,
Визначення точки усунення розриву

точкою усуненого розриву

якщо існує межа
1) не визначена в; Проте функція у точці або визначена, або дорівнює граничному значению: .Таким чином, точка усуненого розриву - це точка розриву 1-го роду, в якій стрибок функції дорівнює нулю.

Визначення точки розриву 2-го роду

точкою розриву другого роду
якщо вона не є точкою розриву 1-го роду.

Тобто якщо не існує, хоча б односторонньої межі, або хоча б одна одностороння межа в точці дорівнює нескінченності.
Властивості функцій, безперервних на відрізку

Визначення функції, безперервної на відрізку
Функція називається безперервною на відрізку (при), якщо вона безперервна у всіх точках відкритого інтервалу (при) і в точках a і b відповідно.
Перша теорема Вейєрштраса про обмеженість безперервної на відрізку функції

Якщо функція безперервна на відрізку , вона обмежена у цьому відрізку.
Визначення досяжності максимуму (мінімуму)
.

Функція досягає свого максимуму (мінімуму) на безлічі, якщо існує такий аргумент, для якого
для всіх .

Визначення досяжності верхньої (нижньої) грані
Нехай функція безперервна на відрізку.
.

І нехай C є довільне число, що знаходиться між значеннями функції кінцях відрізка: і .
Тоді існує точка, для якої
.

Наслідок 1
Нехай функція безперервна на відрізку.
Теорема про збереження знака безперервної функції

І хай значення функції кінцях відрізка мають різні знаки: або .

Тоді існує точка , значення функції якої дорівнює нулю:
Наслідок 2
Перша теорема Вейєрштраса про обмеженість безперервної на відрізку функції
Нехай функція безперервна на відрізку. І нехай . Тоді функція приймає на відрізку всі значення і тільки ці значення:Зворотні функції
.

Визначення зворотної функції
;
Нехай функція має область визначення X та безліч значень Y .
Перша теорема Вейєрштраса про обмеженість безперервної на відрізку функції

І нехай вона має властивість:
Тоді для будь-якого елемента з множини Y можна поставити у відповідність тільки один елемент множини X, для якого.

Така відповідність визначає функцію, яка називається
зворотною функцією

до.
Зворотна функція позначається так:

З визначення випливає, що

для всіх ;
Лемма про взаємну монотонність прямої та зворотної функцій

Якщо функція строго зростає (зменшується), існує зворотна функція, яка також строго зростає (зменшується).
Властивість про симетрію графіків прямої та зворотної функцій

Графіки прямої та зворотної функцій симетричні щодо прямої.

Теорема про існування та безперервність зворотної функції на відрізку

Нехай функція безперервна і строго зростає (зменшується) на відрізку .

Тоді на відрізку визначено і безперервну зворотну функцію, яка строго зростає (зменшується).

Для зростаючої функції. Для спадної - .Теорема про існування та безперервність зворотної функції на інтервалі > 0 Нехай функція безперервна і строго зростає (зменшується) на відкритому кінцевому чи нескінченному інтервалі.
,
Тоді на інтервалі визначена і безперервна зворотна функція, яка строго зростає (зменшується).
.

Для зростаючої функції.
Для спадної: .
Аналогічним чином можна сформулювати теорему про існування та безперервність зворотної функції на напівінтервалі.Властивості та безперервність елементарних функцій
Елементарні функції та зворотні до них безперервні на своїй галузі визначення. Далі ми наводимо формулювання відповідних теорем і даємо посилання їх докази.Показова функція 1 має безліч значень;
(П.2)строго зростає при , суворо зменшується при , є постійною при ;
(П.3) ;
(П.3 *) ;
(П.4) ;
(П.5) ;
(П.6) ;
(П.7) ;
(П.8)безперервна для всіх;
(П.9)при;
Теорема про збереження знака безперервної функції

Логарифм

Логарифмічна функція, або логарифм, y = log a x, з основою a- це функція, обернена до показової функції з основою a.

Теорема. Властивості логарифму
Логарифмічна функція з основою a, y = log a x, має такі властивості:
(Л.1)визначена і безперервна, при і для позитивних значень аргументу;
(Л.2)має безліч значень;
(Л.3)строго зростає при , суворо зменшується при ;
(Л.4)при;
при;
(Л.5) ;
(Л.6)при;
(Л.7)при;
(Л.8)при;
(Л.9)Теорема про збереження знака безперервної функції

Експонента та натуральний логарифм

У визначеннях показової функції та логарифму фігурує постійна a, яка називається основою ступеня або основою логарифму. У математичному аналізі, в переважній більшості випадків, виходять простіші обчислення, якщо в якості підстави використовувати число e:
.
Показову функцію з основою e називають експонентою: , а логарифм на основі e - натуральним логарифмом: .

Властивості експоненти та натурального логарифму викладені на сторінках
«Екпонента, е в ступені х»,
"Натуральний логарифм, функція ln x"

Ступінна функція

Ступінна функція з показником ступеня p- це функція f (x) = x pзначення якої в точці x дорівнює значенню показової функції з основою x в точці p .
Крім цього, f (0) = 0 p = 0при p> 0 .

Тут ми розглянемо властивості статечної функції y = x p при невід'ємних значеннях аргументу.
Для раціональних, при непарних m, статечна функція визначена і для негативних x.

У цьому випадку її властивості можна отримати, використовуючи парність або непарність.
Ці випадки докладно розглянуті та проілюстровані на сторінці «Ступінна функція, її властивості та графіки».
Теорема. Властивості статечної функції (x ≥ 0)Ступінна функція, y = x p, з показником p має такі властивості:
(З 1)
визначена і безперервна на безлічі

при ,

при».
Тригонометричні функції Теорема про безперервність тригонометричних функційТригонометричні функції: синус ( sin x), косинус ( cos x), тангенс ( tg x

) та котангенс (
ctg x Теорема про безперервність зворотних тригонометричних функційЗворотні тригонометричні функції: арксинус ( arcsin x), арккосинус ( arccos x), арктангенс ( arctg x) та арккотангенс (

arcctg x
), безперервні у своїх галузях визначення.
Л.Д. Кудрявці. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Микільський. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 1983.

Див. також:

лекція 4.

Безперервність функцій

1. Безперервність функції у точці

Визначення 1.Нехай функція y=f(x) визначена у точці х 0 і в деякій околиці цієї точки. Функція y=f(x) називається безперервний у точці х 0 , якщо є межа функції у цій точці і він дорівнює значенню функції у цій точці, тобто.

 Таким чином, умова безперервності функції y=f(x) у точці х 0 полягає в тому що:

Так як
, то рівність (32) можна записати у вигляді

(33)

Це означає, що при знаходженні межі безперервної функціїf(x) можна перейти межі під знаком функції, тобто. у функцію f(x) замість аргументу хпідставити його граничне значення х 0 .

lim sin x= sin (lim x);

lim arctg x=arctg (lim x); (34)

lim lоg x=lоg (lim x).

Завдання.Знайти межу: 1); 2)
.

Дамо визначення безперервності функції, спираючись на поняття збільшення аргументу та функції.

Т.к. умови та
однакові (рис.4), то рівність (32) набуває вигляду:

або
.

Визначення 2.Функція y=f(x) називається безперервний у точці х 0 , якщо вона визначена у точці х 0 та її околиці, і нескінченно малому прирощенню аргументу відповідає нескінченно мале збільшення функції.

Завдання.Дослідити на безперервність функцію y=2х 2 1.

Властивості функцій, неперервних у точці

1. Якщо функції f(x) та φ (x) безперервні в точці х 0 , то їх сума
, твір
та приватне
(за умови
) є функціями, безперервними в точці х 0 .

2. Якщо функція у=f(x) безперервна в точці х 0 та f(x 0)>0, то існує така околиця точки х 0 , в якій f(x)>0.

3. Якщо функція у=f(u) безперервна у точці u 0 , а функція u = φ (x) безперервна в точці u 0 = φ (x 0 ), то складна функція y=f[φ (x)] безперервна в точці х 0 .

2. Безперервність функції в інтервалі та на відрізку

Функція y=f(x) називається безперервний в інтервалі (a; b), якщо вона безперервна у кожній точці цього інтервалу.

Функція y=f(x) називається безперервний на відрізку [a; b], якщо вона безперервна в інтервалі ( a; b), і в точці х=абезперервна справа (тобто ), а точці x=bбезперервна зліва (тобто.
).

3. Точки розриву функції та їх класифікація

Точки, в яких порушується безперервність функції, називаються точками розривуцієї функції.

Якщо х=х 0  точка розриву функції y=f(x), то ній не виконується принаймні одне з умов першого визначення безперервності функції.

приклад.

1.
. 2.

3)
4)
.

▼Точка розриву х 0 називається точкою розриву першого родуфункції y=f(x), якщо у цій точці існують кінцеві межі функції ліворуч і праворуч (односторонні межі), тобто.
і
. При цьому:

Величину | A 1 -A 2 | називають стрибком функціїу точці розриву першого роду. ▲

▼Точка розриву х 0 називається точкою розриву другого родуфункції y=f(x), якщо принаймні одна з односторонніх меж (ліворуч або праворуч) не існує або дорівнює нескінченності. ▲

Завдання.Знайти точки розриву та з'ясувати їх тип для функцій:

1)
; 2)
.

4. Основні теореми про безперервні функції

Теореми про безперервність функцій випливають безпосередньо з відповідних теорем про межі.

Теорема 1.Сума, твір і приватне двох безперервних функцій є безперервна функція (для приватного за винятком тих значень аргументу, в яких дільник не дорівнює нулю).

Теорема 2.Нехай функції u=φ (x) безперервна в точці х 0 , а функція y=f(u) безперервна в точці u=φ (x 0 ). Тоді складна функція f(φ (x)), що складається з безперервних функцій, безперервна в точці х 0 .

Теорема 3.Якщо функція y=f(x) безперервна і строго монотонна на [ a; b] осі Ох, то зворотна функція у=φ (x) також безперервна і монотонна на відповідному відрізку [ c;d] осі Оу.

Будь-яка елементарна функція безперервна у кожній точці, де вона визначена.

5. Властивості функцій, безперервних на відрізку

Теорема Вейєрштраса.Якщо функція безперервна на відрізку, вона досягає цьому відрізку свого найбільшого і найменшого значень.

Слідство.Якщо функція безперервна на відрізку, вона обмежена на відрізку.

Теорема Больцано-Коші.Якщо функція y=f(x) безперервна на відрізку [ a; b] і набирає на його кінцях нерівні значення f(a)=Aі f(b)=B,
, то яке б не було число З, укладене між Аі В,знайдеться точка така, що f(c)=C.

Геометричнотеорема очевидна. Для будь-якого числа З, укладеного між Аі У, знайдеться точка з усередині цього відрізка така, що f(З)=C. Пряма у=Зперетне графік функції принаймні в одній точці.

Слідство.Якщо функція y=f(x) безперервна на відрізку [ a; b] і на його кінцях значення різних знаків, то всередині відрізка [ a; b] знайдеться хоча б одна точка з, в якій функція y=f(x) звертається в нуль: f(c)=0.

Геометричнийсенс теореми: якщо графік безперервної функції переходить з одного боку осі Охна іншу, то він перетинає вісь Ох.

Ця стаття - про безперервну числову функцію. Про безперервні відображення в різних розділах математики див. безперервне відображення.

Безперервна функція- функція без «стрибків», тобто така, у якої малі зміни аргументу призводять до малих змін значення функції.

Безперервна функція, взагалі кажучи, синонім поняття безперервне відображення, тим не менш найчастіше цей термін використовується у більш вузькому сенсі - для відображень між числовими просторами, наприклад, на речовій прямій. Ця стаття присвячена саме безперервним функціям, визначеним на підмножині дійсних чисел і які приймають речові значення.

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

✪ Безперервність функції та точки розриву функції

✪ 15 Безперервна функція

✪ Безперервні функції

✪ Математичний аналіз, 5 урок, Безперервність функції

✪ Безперервна випадкова величина. Функція розподілу

Субтитри

Визначення

Якщо "поправити" функцію f (\displaystyle f)в точці усуненого розриву і покласти f (a) = lim x → a f (x) (\displaystyle f(a)=\lim \limits _(x\to a)f(x)), то вийде функція, безперервна у цій точці. Така операція над функцією називається довизначенням функції до безперервноїабо довизначенням функції безперервності, що і доводить назву точки, як точки усунутогорозриву.

Точка розриву «стрибок»

Розрив «стрибок» виникає, якщо

lim x → a − 0 f (x) ≠ lim x → a + 0 f (x) \to a+0)f(x)).

Точка розриву "полюс"

Розрив «полюс» виникає, якщо одна з односторонніх меж нескінченна.

lim x → a − 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\to a-0)f(x)=\pm \infty )або lim x → a + 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\to a+0)f(x)=\pm \infty ). [ ]

Крапка суттєвого розриву

У точці суттєвого розриву одна з односторонніх меж взагалі відсутня.

Класифікація ізольованих особливих точок у R n , n>1

Для функцій f: R n → R n (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(n))і f: C → C (\displaystyle f:\mathbb (C) \to \mathbb (C) )немає потреби працювати з точками розриву, проте часто доводиться працювати з особливими точками (точками, де функція не визначена). Класифікація подібна.

Поняття «стрибок» відсутнє. Те, що в R (\displaystyle \mathbb (R) )вважається стрибком, у просторах більших розмірностей - істотна особлива точка.

Властивості

Локальні

Функція, безперервна у точці a (\displaystyle a), є обмеженою в деякій околиці цієї точки.
Якщо функція f (\displaystyle f)безперервна в точці a (\displaystyle a)і f(a) > 0 (\displaystyle f(a)>0)(або f(a)< 0 {\displaystyle f(a)<0} ), то f(x) > 0 (\displaystyle f(x)>0)(або f(x)< 0 {\displaystyle f(x)<0} ) для всіх x (\displaystyle x), досить близьких до a (\displaystyle a).
Якщо функції f (\displaystyle f)і g (\displaystyle g)безперервні в точці a (\displaystyle a), то функції f + g (\displaystyle f+g)і f ⋅ g (\displaystyle f\cdot g)теж безперервні в точці a (\displaystyle a).
Якщо функції f (\displaystyle f)і g (\displaystyle g)безперервні в точці a (\displaystyle a)і при цьому g (a) ≠ 0 (\displaystyle g(a)\neq 0), то функція f/g (\displaystyle f/g)теж безперервна у точці a (\displaystyle a).
Якщо функція f (\displaystyle f)безперервна в точці a (\displaystyle a)та функція g (\displaystyle g)безперервна в точці b = f (a) (\displaystyle b = f(a)), то їх композиція h = g ∘ f (displaystyle h = g \ circ f)безперервна в точці a (\displaystyle a).

Глобальні

компактному множині), рівномірно безперервна на ньому.
Функція, безперервна на відрізку (або будь-якому іншому компактному множині), обмежена і досягає на ньому свої максимальне і мінімальне значення.
Область значень функції f (\displaystyle f), безперервною на відрізку , є відрізок [ min f , max f ] , (\displaystyle [\min f,\ \max f],)де мінімум і максимум беруться за відрізком [ a , b ] (\displaystyle ).
Якщо функція f (\displaystyle f)безперервна на відрізку [ a , b ] (\displaystyle )і f (a) ⋅ f (b)< 0 , {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,} то існує точка в якій f (ξ) = 0 (\displaystyle f(\xi)=0).
Якщо функція f (\displaystyle f)безперервна на відрізку [ a , b ] (\displaystyle )та число φ (\displaystyle \varphi)задовольняє нерівності f(a)< φ < f (b) {\displaystyle f(a)<\varphi або нерівності f (a) > φ > f (b) , (\displaystyle f(a)>\varphi >f(b),)то існує точка ξ ∈ (a, b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),)в якій f (ξ) = φ (\displaystyle f(\xi)=\varphi ).
Безперервне відображення відрізка в речову пряму ін'єктивно в тому і тільки в тому випадку, коли ця функція на відрізку суворо монотонна.
Монотонна функція на відрізку [ a , b ] (\displaystyle )безперервна у цьому і лише тому випадку, коли область її значень є відрізком з кінцями f(a) (\displaystyle f(a))і f (b) (\displaystyle f(b)).
Якщо функції f (\displaystyle f)і g (\displaystyle g)безперервні на відрізку [ a , b ] (\displaystyle ), причому f(a)< g (a) {\displaystyle f(a)і f (b) > g (b) , (\displaystyle f(b)>g(b),)то існує точка ξ ∈ (a, b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),)в якій f(ξ) = g(ξ) .(\displaystyle f(\xi)=g(\xi).)

Звідси, зокрема, випливає, що будь-яке безперервне відображення відрізка має хоча б одну нерухому точку .

Приклади

Елементарні функції Ця функція безперервна у кожній точці.

x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0) першого родуКрапка є точкою розриву

, причому,

lim x → 0 − f(x) = − 1 ≠ 1 = lim x → 0 + f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to 0-)f(x)=-1\neq 1= \lim \limits _(x\to 0+)f(x))

тоді як у самій точці функція перетворюється на нуль.

Ступінчаста функція

Ступінчаста функція, що визначається як< 0 , x ∈ R {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }

f (x) = ( 1 , x ⩾ 0 0 , x є всюди безперервною, крім точки x = 0 (\displaystyle x = 0) є всюди безперервною, крім точки, де функція зазнає розриву першого роду. Тим не менш, у точці існує правостороння межа, що збігається зі значенням функції у цій точці. Таким чином, ця функція є прикладомфункції безперервний праворуч.

по всій області визначення

Аналогічно, ступінчаста функція, яка визначається як

f (x) = ( 1 , x > 0 0 , x ⩽ 0 , x ∈ R (\displaystyle f(x)=(\begin(cases)1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end( cases)), \quad x\in \mathbb (R) ) є прикладомфункції безперервний праворуч.

безперервної зліва

Функція Діріхле

Приклад 1

Рішення:

1) Під приціл потрапляє єдина точка , де функція не визначена.

Односторонні межі кінцеві та рівні.

Таким чином, у точці функція терпить усунутий розрив.

Як виглядає графік цієї функції?

Виконаємо креслення:

Відповідь: функція безперервна на всій числовій прямій крім точки , в якій вона терпить розрив.

Функцію можна визначити хорошим або не дуже способом, але за умовою цього не потрібно.

Розробимося з улюбленими модулями:

Приклад 2

Виконаємо креслення. Відповідно до наших викладок, зліва від точки необхідно накреслити фрагмент параболи (синій колір), а праворуч - шматок параболи (червоний колір), при цьому функція не визначена в самій точці :

Якщо є сумніви, візьміть декілька значень "ікс", підставте їх у функцію (не забуваючи, що модуль знищує можливий знак мінус) і звіртеся з графіком.

Досліджуємо функцію на безперервність аналітично:

1) Функція не визначена в точці , тому відразу можна сказати, що не є в ній безперервною.

2) Встановимо характер розриву, при цьому обчислимо односторонні межі:

Односторонні межі кінцеві і різні, отже, функція зазнає розриву 1-го роду зі стрибком у точці . Зауважте, що немає значення, визначена функція у точці розриву чи ні.

Іноді вимагають додатково вказати стрибок розриву. Обчислюється він елементарно - з правої межі треба відняти ліву межу: , тобто у точці розриву наша функція стрибнула на 2 одиниці вниз (що нам повідомляє знак «мінус»).

Приклад 3

Це приклад самостійного рішення, приблизний зразок рішення наприкінці уроку.

Перейдемо до найбільш популярної та поширеної версії завдання, коли функція складається з трьох шматків:

Приклад 4

Дослідити функцію на безперервність та побудувати графік функції

Односторонні межі кінцеві і різні, отже, функція зазнає розриву 1-го роду зі стрибком у точці .

Обчислимо стрибок розриву як різницю правої та лівої меж:
тобто графік рвонув на одну одиницю вгору.

II)Досліджуємо на безперервність точку

1) - функція визначена у цій точці.

2) Знайдемо односторонні межі:

- односторонні межі кінцеві і рівні, отже, існує спільна межа.

На завершальному етапі переносимо креслення на чистовик, після чого ставимо фінальний акорд:

Приклад 5

Дослідити функцію на безперервність та побудувати її графік .

Може скластися враження, що в одній точці функція обов'язково має бути безперервною, а в іншій – обов'язково має бути розрив. Насправді це далеко не завжди так. Постарайтеся не нехтувати прикладами, що залишилися, - буде кілька цікавих і важливих фішок:

Приклад 6

Дана функція . Дослідити функцію на безперервність у точках. Побудувати графік.

Рішення: і знову відразу виконаємо креслення на чернетці:

З креслення все зрозуміло - функція безперервна на всій числовій прямій, залишилося оформити рішення, яке доводиться до повного автоматизму буквально після 3-4-х прикладів:

I)Досліджуємо на безперервність точку

2) Обчислимо односторонні межі:

, Отже, спільна межа існує.

Стався тут невеликий курйоз. Справа в тому, що я створив чимало матеріалів про межу функції, і кілька разів хотів, та кілька разів забував про одне просте питання. І ось, неймовірним зусиллям волі таки змусив себе не втратити думку. =) Швидше за все, деякі читачі-«чайники» сумніваються: Чому дорівнює межа константи?Межа константи дорівнює самій константі. У цьому випадку межа нуля дорівнює самому нулю (лівостороння межа).

3) - межа функції у точці дорівнює значенню цієї функції у цій точці.

Таким чином, функція безперервна в точці визначення безперервності функції в точці.

II)Досліджуємо на безперервність точку

1) - функція визначена у цій точці.

2) Знайдемо односторонні межі:

І тут, у правосторонньому межі - межа одиниці дорівнює самій одиниці.

- Спільна межа існує.

3) - межа функції у точці дорівнює значенню цієї функції у цій точці.

Таким чином, функція безперервна в точці визначення безперервності функції в точці.

Як завжди, після дослідження переносимо наш креслення на чистовик.

Відповідь: функція безперервна в точках.

Невелика математична «скоромовка» для самостійного вирішення:

Приклад 7

Дана функція .

Дослідити функцію на безперервність у точках. Класифікувати точки розриву, якщо вони є. Виконати креслення.

Приклад 8

Дослідити на безперервність функцію та побудувати її схематичний графік.

Рішення: Негативні точки очевидні: (звертає в нуль знаменник показника) і (звертає в нуль знаменник всього дробу). Незрозуміло, як виглядає графік цієї функції, а значить, спочатку краще провести дослідження:

I)Досліджуємо на безперервність точку

2) Знайдемо односторонні межі:

Зверніть увагу на типовий прийом обчислення односторонньої межі: у функцію замість «ікса» ми підставляємо У знаменнику жодного криміналу: «добавка» «мінус нуль» не відіграє ролі, і виходить «чотири». А ось у чисельнику відбувається невеликий трилер: спочатку у знаменнику показника вбиваємо -1 і 1, в результаті чого виходить . Одиниця, поділена на , Дорівнює «мінус нескінченності», отже: . І, нарешті, «двійка» в нескінченно великого негативного ступенядорівнює нулю: . Або, якщо ще докладніше: .

Обчислимо правосторонню межу:

І тут – замість «ікса» підставляємо. У знаменнику "добавка" знову не відіграє ролі: . У чисельнику проводяться аналогічні попередній межі дії: знищуємо протилежні числа та ділимо одиницю на :

Правостороння межа нескінченна, отже, функція зазнає розриву 2-го роду в точці .

II)Досліджуємо на безперервність точку

1) Функція не визначена у цій точці.

2) Обчислимо лівосторонню межу:

Метод такий самий: підставляємо у функцію замість «ікса». У чисельнику нічого цікавого - виходить кінцеве позитивне число. А в знаменнику розкриваємо дужки, прибираємо "трійки", і вирішальну роль відіграє "добавка".

За підсумками, кінцеве позитивне число, поділене на нескінченно мале позитивне число, Дає «плюс нескінченність»: .

Правостороння межа, як брат близнюк, за тим лише винятком, що у знаменнику випливає нескінченно мале негативне число:

Односторонні межі нескінченні, отже, функція зазнає розриву 2-го роду в точці .

Таким чином, у нас дві точки розриву, і, очевидно, три гілки графіка. До кожної гілки доцільно провести поточечную побудову, тобто. взяти кілька значень «ікс» і підставити в . Зауважте, що за умовою допускається побудова схематичного креслення, і таке послаблення є природним для ручної роботи. Я будую графіки за допомогою проги, тому не маю подібних труднощів, ось досить точна картинка:

Прямі є вертикальними асимптотамидля графіка цієї функції.

Відповідь: функція безперервна на всій числовій прямій крім точок, в яких вона зазнає розривів 2-го роду.

Простіша функція для самостійного вирішення:

Приклад 9

Дослідити на безперервність функцію та виконати схематичний креслення.

Зразковий зразок рішення наприкінці, який підкрався непомітно.

До зустрічі!

Рішення та відповіді:

Приклад 3:Рішення : перетворюємо функцію: . Враховуючи правило розкриття модуля і той факт, що , перепишемо функцію в шматковому вигляді:

Досліджуємо функцію на безперервність.

1) Функція не визначена у точці .

Односторонні межі кінцеві і різні, отже, функція зазнає розриву 1-го роду зі стрибком у точці . Виконаємо креслення:

Відповідь: функція безперервна на всій числовій прямій крім точки , в якій вона терпить розрив першого роду зі стрибком. Стрибок розриву: (Дві одиниці вгору).

Приклад 5:Рішення : кожна з трьох частин функції безперервна на інтервалі.
I)
1)

2) Обчислимо односторонні межі:

, Отже, спільна межа існує.
3) - межа функції у точці дорівнює значенню цієї функції у цій точці.
Таким чином, функція безперервна в точці визначення безперервності функції в точці.
II) Досліджуємо на безперервність точку

1) - функція визначена у цій точці. функція зазнає розриву 2-го роду, в точці

Як знайти область визначення функції?

Приклади рішень

Якщо десь немає чогось, значить, десь щось є

Продовжуємо вивчення розділу «Функції та графіки», і наступна станція нашої подорожі - Область визначення функції. Активне обговорення даного поняття розпочалося на першому ж уроці про графіки функційде я розглянув елементарні функції, і, зокрема, їх області визначення. Тому чайникам рекомендую почати з азів теми, оскільки я не знову зупинятимуся на деяких базових моментах.

Передбачається, що читач знає галузі визначення основних функцій: лінійної, квадратичної, кубічної функції, багаточленів, експонентів, логарифмів, синусу, косинуса. Вони визначені на . За рідкісні графіки запам'ятовуються далеко не відразу.

Область визначення - начебто річ проста, і виникає закономірне питання, про що буде стаття? На цьому уроці я розгляну найпоширеніші завдання на знаходження області визначення функції. Крім того, ми повторимо нерівності з однією змінною, навички вирішення яких знадобляться й інших завданнях вищої математики. Матеріал, до речі, весь шкільний, тож буде корисним не лише студентам, а й учням. Інформація, звичайно, не претендує на енциклопедичність, але тут не надумані «мертві» приклади, а смажені каштани, які взяті зі справжніх практичних робіт.

Почнемо з експрес-врубу у тему. Коротко про головне: йдеться про функцію однієї змінної. Її область визначення - це безліч значень «ікс», для яких існуютьзначення «Ігреків». Розглянемо умовний приклад:

Область визначення цієї функції є об'єднання проміжків:
(Для тих, хто забув: - значок об'єднання). Іншими словами, якщо взяти будь-яке значення «ікс» з інтервалу або з , або з , то для кожного такого «ікс» існуватиме значення «ігрок».

Грубо кажучи, де область визначення – там є графік функції. А ось напівінтервал та точка «це» не входять до області визначення, тому графіка там немає.

Так, до речі, якщо щось не зрозуміло з термінології та/або змісту перших абзаців, краще повернутися до статті Графіки та властивості елементарних функцій.