У цій статті ми поговоримо про змішані числа. Спочатку дамо визначення змішаних чисел і наведемо приклади. Далі зупинимося на зв'язку між змішаними числами та неправильними дробами. Після цього покажемо, як перевести змішане число в неправильний дріб. Нарешті, вивчимо зворотний процес, що називається виділенням цілої частини з неправильного дробу.
Навігація на сторінці.
Змішані числа, визначення, приклади
Математики домовилися, що n+a/b , де n - натуральне число , a/b – правильна звичайна дріб , можна записувати без знака складання як . Наприклад, суму 28+5/7 можна коротко записати як . Такий запис назвали змішаним, а число, яке відповідає даному змішаному запису, назвали змішаним числом.
Так ми наблизилися до визначення змішаного числа.
Визначення.
Змішане число- Це число, що дорівнює сумі натурального числа n і правильного звичайного дробу a / b, і записане у вигляді . У цьому число n називають цілою частиною числа, а число a/b називають дробовою частиною числа.
За визначенням змішане число дорівнює сумі своєї цілої та дробової частини, тобто, справедлива рівність , яку можна записати і так: .
Наведемо приклади змішаних чисел. Число - це змішане число, натуральне число 5 - ціла частина числа, а - дробова частина числа. Іншими прикладами змішаних чисел є 
.
Іноді можна зустріти числа в змішаному записі, але мають дрібною частиною неправильний дріб, наприклад, або . Ці числа розуміють як суму їхньої цілої та дробової частини, наприклад, 
і 
. Але такі числа не підходять під визначення змішаного числа, оскільки дробовою частиною змішаних чисел має бути правильний дріб.
Число це теж не змішане число, так як 0 не натуральне число.
Зв'язок між змішаними числами та неправильними дробами
Простежити зв'язок між змішаними числами та неправильними дробаминайкраще на прикладах.
Нехай на таці лежить торт і ще 3/4 такого ж торта. Тобто, за змістом додавання на підносі знаходиться 1+3/4 торта. Записавши останню суму у вигляді змішаного числа, констатуємо, що на таці знаходиться торта. Тепер цілий торт розріжемо на 4 рівні частки. В результаті на таці виявиться 7/4 торта. Зрозуміло, що кількість торта при цьому не змінилася, тому .
З розглянутого прикладу явно видно такий зв'язок: будь-яке змішане число можна подати у вигляді неправильного дробу.
А тепер нехай на таці знаходяться 7/4 торти. Склавши з чотирьох часток цілий торт, на підносі виявиться 1+3/4, тобто, торта. Звідси видно, що .
З цього прикладу зрозуміло, що неправильний дріб можна подати у вигляді змішаного числа. (В окремому випадку, коли чисельник неправильного дробу ділиться націло на знаменник, неправильний дріб можна подати у вигляді натурального числа, наприклад, так як 8:4 = 2).
Переведення змішаного числа в неправильний дріб
Для виконання різних дій зі змішаними числами виявляється корисним навичка подання змішаних чисел як неправильних дробів. У попередньому пункті ми з'ясували, що будь-яке змішане число можна перевести в неправильний дріб. Настав час розібратися, як здійснюється такий переклад.
Запишемо алгоритм, що показує як перевести змішане число в неправильний дріб:
Розглянемо приклад переведення змішаного числа у неправильний дріб.
приклад.
Подайте змішане число у вигляді неправильного дробу.
Рішення.
Виконаємо всі необхідні кроки алгоритму.
Змішане число дорівнює сумі його цілої та дробової частини: .
Записавши число 5 як 5/1, остання сума набуде вигляду.
Щоб закінчити переведення вихідного змішаного числа в неправильний дріб, залишилося виконати додавання дробів з різними знаменниками: 
.
Короткий запис всього рішення такий: 
.
Відповідь:
Отже, щоб здійснити переведення змішаного числа в неправильний дріб, необхідно виконати наступний ланцюжок действий: . У результаті отримано 
, яку ми і використовуватимемо надалі.
приклад.
Запишіть змішане число у вигляді неправильного дробу.
Рішення.
Скористаємося формулою для переведення змішаного числа в неправильний дріб. У цьому прикладі n=15, a=2, b=5. Таким чином, 
.
Відповідь:
Виділення цілої частини з неправильного дробу
У відповіді не прийнято записувати неправильний дріб. Неправильний дріб попередньо замінюють або рівним їй натуральним числом (коли чисельник ділиться націло на знаменник), або проводять так зване виділення цілої частини з неправильного дробу (коли чисельник не ділиться націло на знаменник).
Визначення.
Виділення цілої частини з неправильного дробу- Це заміна дробу рівним їй змішаним числом.
Залишилося дізнатися, як можна виділити цілу частину з неправильного дробу.
Це дуже просто: неправильний дріб a/b дорівнює змішаному числу виду , де q - неповне приватне, а r - залишок від поділу a на b. Тобто, ціла частина дорівнює неповному приватному від поділу a на b, а залишок дорівнює чисельнику дробової частини.
Доведемо це твердження.
Для цього достатньо показати, що . Перекладемо змішане в неправильний дріб так, як ми це робили у попередньому пункті: . Оскільки q – неповна приватна, а r – залишок від розподілу a на b , то справедлива рівність a=b·q+r (за потреби дивіться
Кожна сучасна людина під час вирішення математичних завдань нерідко стикалася з різноманітними завданнями на дроби. Їх досить багато, тому має сенс розглянути різні варіанти вирішення основних подібних завдань.
Правильні та неправильні дроби
Верхнє число у будь-якого дробу має назву чисельника, тоді як нижнє число – це знаменник. Звичайні дроби - це окремі від двох чисел, причому, одне з них знаходиться в чисельнику у дробу, а друге, відповідно, є знаменником цього дробу. Види таких звичайних дробів визначаються порівнянням значень їх знаменника та чисельника.
Правильний дріб
У тому випадку, коли знаменник у дробу є натуральним числом, яке за своїм значенням більше його чисельника, також натурального числа, то дріб носить назву правильною. Прикладами таких може бути: 8/19; 9/14; 31/162; 5/37 і таке інше.
Якщо ж знаменник у дробу менше, або дорівнює його чисельнику, то такий дріб вже називається неправильним. Наприклад, це такі, як: 7/4; 19/6; 15/3; 231/83 тощо.
Навіщо переводиться неправильний дріб у правильний?
Така математична маніпуляція необхідна, якщо виконується дія з кількома дробами, наприклад їх складають.
Порада
Якщо є змішаний дріб, то спочатку його слід перевести в неправильний, потім уже виконувати інші математичні дії.
Переведення в неправильний дріб
Щоб якийсь змішаний дріб перетворити на неправильний, потрібно, для початку, цілу його частину помножити на знаменник її дробової частини, а потім додати чисельник до цього твору. Далі сума береться, як чисельник, але при тому самому, що й раніше знаменнику. Для здійснення переведення неправильного дробу в правильний, потрібно чисельник такого неправильного дробу поділити на його знаменник. Далі, отримане таким шляхом ціле число слід взяти цілою частиною дробу, тоді як залишок, якщо він, звичайно, є, чисельником дробової частини у правильного дробу. Знаменник пишеться той самий, що й був. Щоб перевести якийсь неправильний дріб у десятковий, треба спочатку з'ясувати, чи існує взагалі такий множник, який дозволяє привести знаменник її дробової частини в неправильному форматі до числа, яке дорівнює десяти або десятці, зведеній у будь-який ступінь. Тобто 10, 100, 1000 і так далі. Якщо ж такий множник є, слід помножити як чисельник, і знаменник у неправильної дробу даний множник, цим як би перевіряючи його. А після помноженого чисельника потрібно через кому приписати до цілої частини у неправильного дробу.
Не можна перевести із заокругленням до десятих
У тому випадку, коли такого множника як такого не існує, це означає, що такий неправильний дріб не має чіткого еквівалента в десятковій формі. Простіше кажучи, далеко не кожен з неправильних дробів можна перекласти, зробивши десятковим. У такому випадку потрібно знайти приблизне, максимально відповідне значення дробу. Тут усе залежить від необхідної за умови тієї чи іншої завдання ступеня точності. Прорахувати цей дріб найпростіше на калькуляторі, але можна це також в розумі або банально в стовпчик. Наприклад, "41/7 = 5(6/7) = 5,9", це з округленням до десятих, або "= 5,86", коли потрібно округляти до сотих, а також "= 5,857", якщо діє округлення до тисячних. Багато дробів чітко в десяткові не переводяться, тому вважати їх простіше не в розумі і не в стовпчик, а за допомогою калькулятора.
Висновок:
Без маніпуляцій з дробами неможливо жоден шкільний курс математики. Та й у повсякденності рідко доводиться мати справу лише з цілими числами, а тому переводити правильні дроби на неправильні, або перетворювати на такі змішані дроби треба вміти кожному. Це дуже просто і тому запам'ятати, як це робити, можна буквально після пари практичних прикладів, вирішених на папері, а потім і взагалі - в умі. З десятковими дробами ситуація дещо інша і не все можна точно перевести в десятковий вигляд.
Математичні дроби
Десяткові числа, такі як 0,2; 1,05; 3,017 і т.п. як чуються, так і пишуться. Нуль цілих дві десятих, отримуємо дріб. Одна ціла п'ять сотих, отримуємо дріб. Три цілих сімнадцять тисячних, отримуємо дріб. Цифри до коми в десятковому числі це ціла частина дробу. Цифра після коми - чисельник майбутнього дробу. Якщо після коми однозначне число – у знаменнику буде 10, якщо двозначне – 100, тризначне – 1000 тощо. Деякі отримані дроби можна скоротити. У наших прикладах 
Перетворення дробу на десяткове число
Це обернене до попереднього перетворення. Десятковий дріб чим характерний? У неї в знаменнику завжди коштує 10, або 100, або 1000, або 10000 і таке інше. Якщо ваш звичайний дріб має такий знаменник, проблем немає. Наприклад, або
Якщо дріб, наприклад . В цьому випадку необхідно скористатися основною властивістю дробу і перетворити знаменник до 10 або 100, або 1000... У нашому прикладі, якщо домножити чисельник і знаменник на 4, отримаємо дріб, який можна записати у вигляді десяткового числа 0,12.
Деякі дроби простіше поділити, ніж перетворити знаменник. Наприклад,
Деякі дроби неможливо перетворити на десяткові числа!
Наприклад,
Перетворення змішаного дробу на неправильний
Змішаний дріб, наприклад, легко перетворити на неправильний. Для цього необхідно цілу частину помножити на знаменник (низ) та скласти з чисельником (верх), знаменник (низ) залишити без зміни. Тобто
При перетворенні змішаного дробу на неправильний, можна згадати, що можна використовувати додавання дробів
Перетворення неправильного дробу на змішану (виділення цілої частини)
Неправильний дріб можна перевести в змішану, виділивши цілу частину. Розглянемо приклад, . Визначаємо, скільки цілих разів "3" вміщується в "23". Або 23 ділимо на 3 на калькуляторі, ціле число до коми - шукане. Це "7". Далі визначаємо чисельник майбутнього дробу: отриману "7" множимо на знаменник "3" і з чисельника "23" віднімаємо отримане. 
Як би знаходимо зайве, що залишається від чисельника "23", якщо вилучити максимальну кількість "3". Знаменник залишаємо без зміни. Все зроблено, записуємо результат
Кожна людина під час вирішення завдань з математики нерідко стикалася із завданнями на дроби. Їх дуже багато, тому ми розглянемо різні варіанти вирішення таких основних завдань.
Що таке дроби
Верхнє число будь-якого дробу називається чисельником, а нижнє число – знаменником. Звичайний дріб - це приватне двох чисел, одне з цих чисел - у чисельнику дробу, друге - у знаменнику дробу. Види цих звичайних дробів будуть визначатися порівнянням знаменника та чисельника дробу.
Якщо знаменник дробу (натуральне число) більше чисельника дробу (натуральне число), то дріб називається правильною. Наведемо приклади: 7/19; 9/13; 31/152; 5/17.
Якщо знаменник дробу (натуральне число) менший або дорівнює чисельнику дробу (натуральне число), то дріб називається неправильним. Наведемо приклади: 7/5; 19/3; 15/9; 231/63.
Як перекласти неправильний дріб
Щоб змішаний дріб перевести в неправильний, необхідно цілу частину дробу помножити на знаменник у дробовій частині та додати чисельник до цього твору. Потім суму взяти як чисельник, написавши той самий, що раніше знаменник. Наведемо приклади:
- 4(3/11) = (4x11+3)/11 = (44+3)/11 = 47/11.
- 11(5/9) = (11x9+5)/9 = (99+5)/9 = 104/9.
Для переведення неправильного дробу в правильний, чисельник цього неправильного дробу поділити на його знаменник. Отримане, при цьому, ціле число взяти цілою частиною дробу, а залишок (звичайно, якщо він є) взяти як чисельник дробової частини правильного дробу, написавши той же, що і раніше знаменник. Наведемо приклади:
- 150/13 = (143/13)+(7/13) = 11(7/13).
- 156/12=(13x12)/12=13.
Для переведення неправильного дробу в десятковий необхідно з'ясувати, чи існує такий множник, що дозволить привести знаменник дробової частини неправильного дробу до числа, яке дорівнює десятці (або десятці, яка зведена в будь-який ступінь (10, 100, 1000 і далі). Якщо такий множник є, то необхідно помножити чисельник і знаменник неправильного дробу на цей множник, щоб перевірити його. Тепер помножений чисельник необхідно приписати через кому до цілої частини неправильного дробу.
- Множник "5" - 8/20 = (8x5) / (20x5) = 40/100 = 0,4.
- Множник "4" - 14/25 = (14x4) / (25x4) = 56/100 = 0,56.
- Множник "25" - 3/40 = (3x25) / (40x25) = 75/1000 = 0,075.
Якщо такого множника не існує, це означає, що цей неправильний дріб у десятковій формі не має чіткого еквівалента. Тобто, не кожен неправильний дріб можна перевести в десятковий. У цьому випадку Вам необхідно знайти приблизне значення дробу з необхідним для Вас ступенем точності. Порахувати такий дріб можна на калькуляторі, в умі або в стовпчик. Наведемо приклади: 41/7 = 5(6/7) = 5,9 (з округленням до десятих), = 5,86 (з округленням до сотих), = 5,857 (із округленням до тисячних); 3/7, 7/6, 1/3 та інші. Також чітко не перекладаються і вважаються на калькуляторі, в умі чи стовпчику.
Тепер Ви знаєте, як перевести неправильний дріб у правильний чи десятковий дріб!