Лінійні рівняння. Рішення, приклади.
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Лінійні рівняння.
Лінійні рівняння – не найскладніша тема шкільної математики. Але є там свої фішки, які можуть спантеличити навіть підготовленого учня. Розберемося?)
Зазвичай лінійне рівняння визначається як рівняння виду:
ax + b = 0 де а та b- Будь-які числа.
2х + 7 = 0. Тут а=2, b=7
0,1 х - 2,3 = 0 Тут а=0,1, b=-2,3
12х + 1/2 = 0 Тут а=12, b=1/2
Нічого складного, правда? Особливо, якщо не помічати слова: "де а і b – будь-які числа"... А якщо помітити, та необережно замислитись?) Адже, якщо а=0, b=0(будь-які числа можна?), то виходить кумедний вираз:
Але це ще не все! Якщо, скажімо, а=0,а b=5,виходить зовсім щось несусвітне:
Що напружує та підриває довіру до математики, так...) Особливо на іспитах. Але ж із цих дивних виразів ще й ікс знайти треба! Якого немає взагалі. І що дивно, цей ікс дуже просто знаходиться. Ми навчимося це робити. У цьому уроці.
Як дізнатися лінійне рівняння на вигляд? Це, дивлячись якийсь зовнішній вигляд.) Фішка в тому, що лінійними рівняннями називаються не тільки рівняння виду ax + b = 0 , але й будь-які рівняння, які перетвореннями та спрощеннями зводяться до цього виду. А хто ж його знає, зводиться воно чи ні?)
Чітко розпізнати лінійне рівняння можна у деяких випадках. Скажімо, якщо перед нами рівняння, в яких є лише невідомі в першому ступені та числа. Причому в рівнянні немає дробів з розподілом на невідоме , це важливо! А розподіл на число,або дріб числовий – це будь ласка! Наприклад:
Це лінійне рівняння. Тут є дроби, але немає іксів у квадраті, кубі і т.д., і немає іксів у знаменниках, тобто. ні поділу на ікс. А от рівняння
не можна назвати лінійним. Тут ікси все в першому ступені, але є розподіл на вираз з іксом. Після спрощень та перетворень може вийти і лінійне рівняння, і квадратне, і все, що завгодно.
Виходить, що дізнатися лінійне рівняння в якомусь мудрому прикладі не можна, поки його майже не вирішиш. Це засмучує. Але у завданнях, як правило, не питають про вид рівняння, правда? У завданнях велять рівняння вирішувати.Це тішить.)
Розв'язання лінійних рівнянь. приклади.
Все рішення лінійних рівнянь складається з тотожних перетворень рівнянь. До речі, ці перетворення (цілі два!) лежать в основі рішень всіх рівнянь математики.Іншими словами, рішення будь-якогорівняння починається з цих самих перетворень. Що стосується лінійних рівнянь, воно (рішення) цих перетвореннях і закінчується повноцінним відповіддю. Має сенс за посиланням сходити, правда?) Тим більше, там теж приклади розв'язання лінійних рівнянь є.
Для початку розглянемо найпростіший приклад. Без будь-яких підводних каменів. Нехай нам потрібно вирішити таке рівняння.
х - 3 = 2 - 4х
Це лінійне рівняння. Ікси все в першому ступені, поділу на ікс немає. Але, власне, нам все одно, яке це рівняння. Нам його вирішувати треба. Схема тут проста. Зібрати все, що з іксами в лівій частині рівності, все, що без іксів (числа) – у правій.
Для цього потрібно перенести - 4х у ліву частину, зі зміною знака, зрозуміло, а - 3 - У праву. До речі, це і є перше тотожне перетворення рівнянь.Здивовані? Значить, за посиланням не ходили, а дарма...) Отримаємо:
х + 4х = 2 + 3
Наводимо подібні, вважаємо:
Що нам не вистачає на повне щастя? Та щоб ліворуч чистий ікс був! П'ятірка заважає. Позбавляємося п'ятірки за допомогою другого тотожного перетворення рівнянь.А саме - ділимо обидві частини рівняння на 5. Отримуємо готову відповідь:
Приклад елементарний, ясна річ. Це для розминки.) Не дуже зрозуміло, чого я тут тотожні перетворення згадував? Ну гаразд. Беремо бика за роги.) Вирішимо щось солідніше.
Наприклад, ось це рівняння:
З чого почнемо? З іксами – вліво, без іксів – вправо? Можна й так. Маленькими кроками довгою дорогою. А можна відразу, універсальним та потужним способом. Якщо, звичайно, у вашому арсеналі є тотожні перетворення рівнянь.
Задаю вам ключове питання: що вам найбільше не подобається у цьому рівнянні?
95 осіб зі 100 дадуть відповідь: дроби ! Відповідь правильна. От і давайте їх позбудемося. Тому починаємо відразу зі другого тотожного перетворення. На що потрібно помножити дріб зліва, щоб знаменник скоротився геть? Правильно, на 3. А справа? 4. Але математика дозволяє нам множити обидві частини на те саме число. Як викрутимося? А помножимо обидві частини на 12! Тобто. загальний знаменник. Тоді і трійка скоротиться і четвірка. Не забуваймо, що множити треба кожну частину повністю. Ось як виглядає перший крок:
Розкриваємо дужки:
Зверніть увагу! Чисельник (х+2)я взяв у дужки! Це тому, що при множенні дробів, чисельник множиться весь, цілком! А тепер дроби і скоротити можна:
Розкриваємо дужки, що залишилися:
Не приклад, а суцільне задоволення!) Ось тепер згадуємо заклинання з молодших класів: з іксом – ліворуч, без ікса – праворуч!І застосовуємо це перетворення:
Наводимо такі:
І ділимо обидві частини 25, тобто. знову застосовуємо друге перетворення:
Ось і все. Відповідь: х=0,16
Беремо на замітку: щоб привести вихідне замороченого рівняння до приємного вигляду, ми використовували два (всього два!) тотожні перетворення- Перенесення вліво-вправо зі зміною знака і множення-розподіл рівняння на те саме число. Це універсальний спосіб! Працювати таким чином ми будемо з будь-якими рівняннями! Цілком будь-якими. Саме тому я про ці тотожні перетворення постійно занудно повторюю.)
Як бачимо, принцип розв'язання лінійних рівнянь простий. Беремо рівняння та спрощуємо його за допомогою тотожних перетворень до отримання відповіді. Основні проблеми тут у обчисленнях, а не в принципі вирішення.
Але... Зустрічаються в процесі розв'язання найелементарніших лінійних рівнянь такі сюрпризи, що можуть і у сильний ступор увігнати...) На щастя, таких сюрпризів може бути лише два. Назвемо їх особливими випадками.
Особливі випадки під час вирішення лінійних рівнянь.
Сюрприз перший.
Припустимо, трапилося вам найелементарніше рівняння, що-небудь, типу:
2х +3 = 5х +5 - 3х - 2
Злегка нудна, переносимо з іксом вліво, без ікса - вправо... Зі зміною знака, все чин-чинарем... Отримуємо:
2х-5х +3х = 5-2-3
Вважаємо, і... опаньки! Отримуємо:
Сама собою ця рівність не викликає заперечень. Нуль справді дорівнює нулю. Але ж ікс пропав! А ми зобов'язані записати у відповіді, чому дорівнює ікс.Інакше, рішення не вважається, так ...) Тупик?
Спокій! У таких сумнівних випадках рятують найзагальніші правила. Як розв'язувати рівняння? Що означає розв'язати рівняння? Це означає, знайти всі значення ікса, які, при підстановці у вихідне рівняння, дадуть нам правильну рівність.
Але вірна рівність у нас вжевийшло! 0=0, куди вже вірніше? Залишається збагнути, за яких іксів це виходить. Які значення ікса можна підставляти в вихіднерівняння, якщо ці ікси все одно скорочуються на повний нуль?Ну ж?)
Так! Ікси можна підставляти будь-які!Які бажаєте. Хоч 5, хоч 0,05, хоч -220. Вони все одно скоротяться. Якщо не вірите - можете перевірити.) Підставляйте будь-які значення ікса в вихіднерівняння та порахуйте. Весь час виходитиме чиста правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 і так далі.
Ось вам і відповідь: х – будь-яке число.
Відповідь можна записати різними математичними значками, суть не змінюється. Це абсолютно правильна і повноцінна відповідь.
Сюрприз другий.
Візьмемо те саме елементарне лінійне рівняння і змінимо в ньому лише одне число. Ось таке вирішуватимемо:
2х +1 = 5х +5 - 3х - 2
Після тих самих тотожних перетворень ми отримаємо щось інтригуюче:
Ось так. Вирішували лінійне рівняння, здобули дивну рівність. Говорячи математичною мовою, ми отримали неправильна рівність.А говорячи простою мовою, неправда це. Маячня. Але тим не менш, це марення - цілком вагома основа для правильного вирішення рівняння.)
Знову міркуємо, виходячи із загальних правил. Які ікси при підстановці у вихідне рівняння дадуть нам вірнерівність? Та ніякі! Немає таких іксів. Чого не підставляй, все скоротиться, залишиться марення.)
Ось вам і відповідь: рішень немає.
Це також цілком повноцінна відповідь. У математиці такі відповіді часто зустрічаються.
Ось так. Зараз, сподіваюся, зникнення іксів у процесі вирішення будь-якого (не тільки лінійного) рівняння вас анітрохи не збентежить. Справа вже знайома.)
Тепер, коли ми розібралися з усіма підводними каменями в лінійних рівняннях, має сенс їх вирішувати.
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Рівняння - це математичне вираз, що є рівністю, що містить невідоме. Якщо рівність справедлива для будь-яких допустимих значень невідомих, що входять до нього, то вона називається тотожністю; наприклад: співвідношення виду (x - 1) 2 = (x - 1) (x - 1) виконується при всіх значеннях x.
Якщо рівняння, що містить невідоме x, виконується лише за певних, а чи не за всіх значеннях x, як і тотожності, може бути корисним визначити ті значення x, у яких це рівняння справедливо. Такі значення x називаються корінням або розв'язками рівняння. Наприклад, число 5 є коренем рівняння 2x + 7 = 17.
У розділі математики, який називається теорією рівнянь, основним предметом вивчення є методи розв'язування рівнянь. У шкільному курсі алгебри рівнянням приділяється велика увага.
Історія вивчення рівнянь налічує багато століть. Найвідомішими математиками, які зробили внесок у розвиток теорії рівнянь, були:
Архімед (близько 287–212 до н. е.) – давньогрецький вчений, математик та механік. При дослідженні однієї задачі, що зводиться до кубічного рівняння, Архімед з'ясував роль характеристики, яка отримала назву дискримінанта.
Франсуа Вієт жив у XVI ст. Він зробив великий внесок у вивчення різних проблем математики. Зокрема, він ввів буквені позначення коефіцієнтів рівняння та встановив зв'язок між корінням квадратного рівняння.
Леонард Ейлер (1707 - 1783) - математик, механік, фізик та астроном. Автор св. 800 робіт з математичного аналізу, диференціальних рівнянь, геометрії, теорії чисел, наближених обчислень, небесної механіки, математики, оптики, балістики, кораблебудування, теорії музики, і т. д. Надав значний вплив на розвиток науки. Вивів формули (Формули Ейлера), що виражають тригонометричні функції змінного x через показову функцію.
Лагранж Жозеф Луї (1736 – 1813 рр.), французький математик та механік. Йому належать видатні дослідження, серед них дослідження з алгебри (симетричної функції коренів рівняння, диференціальних рівнянь (теорія особливих рішень, метод варіації постійних).
Ж. Лагранж та А. Вандермонд – французькі математики. У 1771 р. вперше застосували спосіб розв'язання систем рівнянь (спосіб підстановки).
Гаус Карл Фрідріх (1777 -1855 рр.) - німецький математик. Написав книгу, в якій викладається теорія рівнянь поділу кола (тобто рівнянь xn – 1 = 0), яка багато в чому була прообразом теорії Галуа. Крім загальних методів розв'язання цих рівнянь, встановив зв'язок з-поміж них і побудовою правильних багатокутників. Він, вперше після давньогрецьких вчених, зробив значний крок уперед у цьому питанні, а саме: знайшов усі ті значення n, для яких правильний n-кутник можна побудувати циркулем та лінійкою. Вивчав спосіб складання. Зробив висновок, що системи рівнянь можна між собою складати, ділити і множити.
О. І. Сомов – збагатив різні частини математики важливими та численними працями, серед них теорія певних рівнянь алгебри вищих ступенів.
Галуа Еварист (1811-1832 рр.), - французький математик. Основною його заслугою є формулювання комплексу ідей, до яких він прийшов у зв'язку з продовженням досліджень про розв'язання рівнянь алгебри, започаткованих Ж. Лагранжем, Н. Абелем та ін, створив теорію рівнянь алгебри вищих ступенів з одним невідомим.
А. В. Погорелов (1919 – 1981 рр.) - У творчості пов'язані геометричні методи з аналітичними методами теорії диференціальних рівнянь із приватними похідними. Його праці вплинули також на теорію нелінійних диференціальних рівнянь.
П. Руффіні – італійський математик. Присвятив низку робіт, доказу нерозв'язності рівняння 5-го ступеня, систематично використовує замкнутість безлічі підстановок.
Незважаючи на те, що вчені давно вивчають рівняння, науці не відомо, як і коли у людей виникла потреба використовувати рівняння. Відомо лише, що завдання, що призводять до вирішення найпростіших рівнянь, люди вирішували відколи стали людьми. Ще 3 – 4 тисячі років до н. е. єгиптяни та вавилоняни вміли вирішувати рівняння. Правило розв'язання цих рівнянь збігається з сучасним, але невідомо, як вони до цього дійшли.
У Стародавньому Єгипті та Вавилоні використовувався метод хибного становища. Рівняння першого ступеня з одним невідомим можна завжди привести до виду ах + Ь = с, у якому а, Ь, з цілі числа. За правилами арифметичних дій ах = с - b,
Якщо Ь > с, то з b число негативне. Негативні числа були єгиптянам і багатьом іншим пізнішим народам невідомі (рівноправно з позитивними числами їх почали використовувати в математиці лише сімнадцятому столітті). Для вирішення завдань, які ми тепер вирішуємо рівняннями першого ступеня, було винайдено метод хибного становища. У папірусі Ахмеса 15 завдань вирішується цим методом. Єгиптяни мали особливий знак для позначення невідомої кількості, яку до недавнього минулого читали «хау» та перекладали словом «купа» («купа» або «невідома кількість» одиниць). Тепер читають трохи менш неточно: ага. Спосіб рішення, застосований Ахмесом, називається методом одного хибного становища. З допомогою цього вирішуються рівняння виду ах = b. Цей спосіб полягає в тому, що кожну частину рівняння поділяють на а. Його застосовували як єгиптяни, і вавілоняни. У різних народів застосовувався метод двох хибних положень. Арабами цей метод було механізовано та отримано ту форму, в якій він перейшов до підручників європейських народів, у тому числі до «Арифметики» Магницького. Магніцький називає спосіб розв'язання «фальшивим правилом» і пише у частині своєї книги, що викладає цей метод:
Бо хитра є ця частина, Як можеш нею все класти. Не тільки що у громадянстві, Але й вищих наук у просторі, які вважаються у сфері неба, Як мудрим є потреба.
Зміст віршів Магницького можна коротко передати так: ця частина арифметики дуже хитра. За допомогою її можна вирахувати не тільки те, що знадобиться в житейській практиці, але вона вирішує і питання «вищі», які постають перед «мудрими». Магніцький користується «фальшивим правилом» у формі, яку йому надали араби, називаючи його «арифметикою двох помилок» чи «методою терезів». Індійські математики часто давали завдання у віршах. Завдання про лотос:
Над озером тихим, з півмери над водою, Було видно лотоса колір. Він зростав самотньо, і вітер хвилею Нагнув його убік, і вже ні
Квітки над водою. Знайшов його око рибалки У двох заходах від місця, де ріс. Скільки озера тут вода глибока? Тобі запропоную я запитання.
Види рівнянь
Лінійні рівняння
Лінійні рівняння – це рівняння виду: ах + b = 0, де a та b – деякі постійні. Якщо а не рівне нулю, то рівняння має один єдиний корінь: х = - b: а (ах + b; ах = - b; х = - b: а.).
Наприклад: розв'язати лінійне рівняння: 4х + 12 = 0.
Рішення: Т. до а = 4, а b = 12, то х = - 12: 4; х = - 3.
Перевірка: 4 (-3) + 12 = 0; 0 = 0.
Т. до 0 = 0, то -3 є коренем вихідного рівняння.
Відповідь. х = -3
Якщо а дорівнює нулю і b дорівнює нулю, то коренем рівняння ах + b = 0 є будь-яке число.
Наприклад:
0 = 0. Т. до 0 дорівнює 0, то коренем рівняння 0х + 0 = 0 є будь-яке число.
Якщо а дорівнює нулю, а b не дорівнює нулю, то рівняння ах + b = 0 немає коріння.
Наприклад:
0 = 6. Т. до 0 не дорівнює 6, то 0х - 6 = 0 не має коріння.
Системи лінійних рівнянь.
Система лінійних рівнянь – це система, всі рівняння якої є лінійними.
Вирішити систему - значить знайти всі її рішення.
Перш ніж розв'язувати систему лінійних рівнянь, можна визначити кількість її розв'язків.
Нехай дана система рівнянь: (а1х + b1y = с1, (а2х + b2y = c2).
Якщо а1 поділений на а2 не дорівнює b1 поділений на b2, система має одне єдине рішення.
Якщо а1 поділений на а2 дорівнює b1 поділений на b2, але одно с1 поділений на с2, то система не має рішень.
Якщо а1 поділене на а2 дорівнює b1 поділене на b2, і одно с1 поділене на с2, то система має безліч рішень.
Система рівнянь, що має принаймні одне рішення, називається спільною.
Спільна система називається певною, якщо має кінцеве число рішень, і невизначеної, якщо безліч її рішень нескінченно.
Система, яка має жодного рішення, називається несовместной чи суперечливою.
Способи розв'язання лінійних рівнянь
Усього є кілька способів розв'язання лінійних рівнянь:
1) Метод підбору. Це найпростіший спосіб. Він у тому, що підбирають всі допустимі значення невідомого шляхом перерахування.
Наприклад:
Вирішити рівняння.
Нехай х = 1.
4 = 6. Т. до 4 не дорівнює 6, то наше припущення, що х = 1 було неправильним.
Нехай x = 2.
6 = 6. Т. до 6 дорівнює 6, то наше припущення, що х = 2 було вірним.
Відповідь: х = 2.
2) Спосіб спрощення
Цей спосіб полягає в тому, що всі члени, що містять невідоме, переносимо в ліву частину, а відомі в праву з протилежним знаком, наводимо подібні, і ділимо обидві частини рівняння на коефіцієнт при невідомому.
Наприклад:
Вирішити рівняння.
5х - 4 = 11 + 2х;
5х - 2х = 11 + 4;
3х = 15; : (3) х = 5.
Відповідь. х = 5.
3) Графічний метод.
Він у тому, що будується графік функцій цього рівняння. Т. до лінійного рівняння у = 0, то графік буде паралельний осі ординат. Точка перетину графіка з віссю абсцис буде вирішенням цього рівняння.
Наприклад:
Вирішити рівняння.
Нехай у = 7. Тоді у = 2х + 3.
Побудуємо графік функцій обох рівнянь:
Способи розв'язання систем лінійних рівнянь
У сьомому класі вивчають три способи розв'язання систем рівнянь:
1) Спосіб підстановки.
Цей спосіб полягає в тому, що в одному із рівнянь виражають одне невідоме через інше. Отримане вираз підставлять на інше рівняння, яке після цього звертається до рівняння з одним невідомим, потім вирішують його. Значення цього невідомого підставляють в будь-яке рівняння вихідної системи і знаходять значення другого невідомого.
Наприклад.
Розв'язати систему рівнянь.
5х – 2у – 2 = 1.
3х + у = 4; у = 4 – 3х.
Підставимо отриманий вираз в інше рівняння:
5х - 2 (4 - 3х) -2 = 1;
5х - 8 + 6х = 1 + 2;
11х = 11; : (11) х = 1.
Підставимо отримане значення рівняння 3х + у = 4.
3 · 1 + у = 4;
3 + у = 4; у = 4 - 3; у = 1.
Перевірка.
/ 3 · 1 + 1 = 4,
5 · 1 - 2 · 1 - 2 = 1;
Відповідь: х = 1; у = 1.
2) Спосіб складання.
Цей спосіб полягає в тому, що якщо дана система складається з рівнянь, які при почленному додаванні утворюють рівняння з одним невідомим, то вирішивши це рівняння, ми отримаємо значення одного з невідомих. Значення цього невідомого підставляють в будь-яке рівняння вихідної системи і знаходять значення другого невідомого.
Наприклад:
Розв'язати систему рівнянь.
/3у - 2х = 5,
5х - 3у = 4.
Вирішимо отримане рівняння.
3х = 9; : (3) х = 3.
Підставимо отримане значення рівняння 3у – 2х = 5.
3у - 2 · 3 = 5;
3у = 11; : (3) у = 11/3; у = 3 2/3.
Отже, х = 3; у = 3 2/3.
Перевірка.
/3 · 11/3 - 2 · 3 = 5,
5 · 3 - 3 · 11 / 3 = 4;
Відповідь. х = 3; у = 3 2/3
3) Графічний метод.
Цей спосіб ґрунтується на тому, що в одній системі координат будуються графіки рівнянь. Якщо графіки рівняння перетинаються, то координати точки перетину є рішенням системи. Якщо графіки рівняння є паралельними прямими, то система не має рішень. Якщо графіки рівнянь зіллються в одну пряму, то система має безліч рішень.
Наприклад.
Розв'язати систему рівнянь.
18х + 3у – 1 = 8.
2х - у = 5; 18х + 3y – 1 = 8;
У = 5 – 2х; 3у = 9 - 18х; : (3) у = 2х – 5. у = 3 – 6х.
Побудуємо графіки функцій у = 2х – 5 і у = 3 – 6х на одній системі координат.
Графіки функцій у = 2х - 5 і у = 3 - 6х перетинаються у точці А (1; -3).
Отже розв'язком цієї системи рівнянь буде х = 1 і у = -3.
Перевірка.
2 · 1 - (- 3) = 5,
18 · 1 + 3 · (-3) - 1 = 8.
18 - 9 – 1 = 8;
Відповідь. х = 1; у = -3.
Висновок
З усього вище викладеного можна дійти невтішного висновку, що рівняння необхідні у світі як вирішення практичних завдань, а й у ролі наукового інструмента. Тому так багато вчених вивчали це питання та продовжують вивчати.
Як правило, рівняннявиникають у завданнях, у яких потрібно знайти певну величину. Рівняння дозволяє сформулювати завдання мовою алгебри. Розв'язавши рівняння, ми отримаємо значення потрібної величини, яка називається невідомою. «У Андрія у гаманці кілька рублів. Якщо помножити це число на 2, а потім відняти 5, вийде 10. Скільки грошей у Андрія? Позначимо невідому суму за х і запишемо рівняння: 2х-5=10.
Щоб говорити про способи розв'язання рівнянь, спочатку потрібно визначити основні поняття та познайомитися із загальноприйнятими позначеннями. Для різних типів рівнянь є різні алгоритми їх вирішення. Найпростіше вирішуються рівняння першого ступеня з одним невідомим. Багатьом зі школи знайома формула на вирішення квадратних рівнянь. Прийоми вищої математики допоможуть вирішити рівняння вищого ладу. Безліч чисел, у яких визначено рівняння, тісно пов'язані з його рішеннями. Також цікава взаємозв'язок між рівняннями і графіками функцій, оскільки уявлення рівнянь у графічному вигляді чудово допомагає у тому .
Опис. Рівняння - це математична рівність з однією або декількома невідомими величинами, наприклад, 2х+3у=0.
Вирази з обох боків знака рівності називаються лівою та правою частинами рівняння. Літерами латинського алфавіту позначаються невідомі. Хоча кількість невідомих може бути будь-яким, далі ми розповімо тільки про рівняння з однією невідомою, яку позначатимемо за х.
Ступінь рівняння- це максимальний ступінь, в який зводиться невідомий. Наприклад,
$3x^4+6x-1=0$ - рівняння четвертого ступеня, $x-4x^2+6x=8$ - рівняння другого ступеня.
Числа, на які множиться невідома, називаються коефіцієнтами. У попередньому прикладі невідома четвертою мірою має коефіцієнт 3. Якщо при заміні х на це число виконується задана рівність, то кажуть, що це число задовольняє рівняння. Воно називається рішенням рівняння, або його коріння. Наприклад, 3 є коренем, або розв'язком рівняння 2х+8=14, так як 2*3+8=6+8=14.
Розв'язання рівнянь. Припустимо, що хочемо вирішити рівняння 2х+5=11.
Можна підставити до нього якесь значення х, наприклад х=2. Замінимо х на 2 та отримаємо: 2*2+5=4+5=9.
Тут щось не так, тому що в правій частині рівняння ми мали отримати 11. Спробуємо х=3: 2*3+5=6+5=11.
Відповідь вірна. Виходить, що якщо невідома набуває значення 3, то рівність виконується. Отже, показали, що число 3 є рішенням рівняння.
Спосіб, який ми використовували для вирішення цього рівняння, називається методом підбору. Очевидно, що він незручний у використанні. Більше того, його навіть не можна назвати методом. Щоб переконатися в цьому, достатньо спробувати застосувати його до рівняння виду $x^4-5x^2+16=2365$.
Методи вирішення. При існують так звані «правила гри», з якими буде корисно ознайомитись. Наша мета – визначити значення невідомої, яка задовольняє рівняння. Тому потрібно у будь-який спосіб виділити невідому. Для цього необхідно перенести члени рівняння з однієї частини до іншої. Перше правило вирішення рівнянь таке…
1. При перенесенні члена рівняння з однієї частини до іншої його знак змінюється на протилежний: плюс змінюється мінус і навпаки. Розглянемо як приклад рівняння 2х+5=11. Перенесемо 5 із лівої частини у праву: 2х=11-5. Рівняння набуде вигляду 2х=6.
Перейдемо до другого правила.
2. Обидві частини рівняння можна множити і ділити на число, що не дорівнює нулю. Застосуємо це правило до нашого рівняння: $x=\frac62=3$. У лівій частині рівності залишилася лише невідома х, отже ми знайшли її значення і вирішили рівняння.
Ми щойно розглянули найпростіше завдання - лінійне рівняння з однією невідомою. Рівняння цього завжди мають рішення, більше, їх можна вирішити з допомогою найпростіших операцій: складання, віднімання, множення і поділу. На жаль, не всі рівняння настільки ж прості. Більше того, ступінь їхньої складності зростає дуже швидко. Наприклад, рівняння другого ступеня легко вирішить будь-який учень середньої школи, але способи розв'язання систем лінійних рівнянь чи рівнянь вищих ступенів вивчаються лише у старших класах.
У цьому відео ми розберемо цілий комплект лінійних рівнянь, які вирішуються по тому самому алгоритму — тому й вони і називаються найпростішими.
Спочатку визначимося: що таке лінійне рівняння і яке з них називати найпростішим?
Лінійне рівняння - таке, в якому є лише одна змінна, причому виключно в першому ступені.
Під найпростішим рівнянням мається на увазі конструкція:
Всі інші лінійні рівняння зводяться до найпростіших за допомогою алгоритму:
- Розкрити дужки, якщо вони є;
- Перенести доданки, що містять змінну, в один бік від знаку рівності, а доданки без змінної - в іншу;
- Навести подібні доданки ліворуч і праворуч від знаку рівності;
- Розділити отримане рівняння на коефіцієнт при змінній $x$.
Зрозуміло, цей алгоритм допомагає який завжди. Справа в тому, що іноді після всіх цих махінацій коефіцієнт при змінній $x$ виявляється нульовим. У цьому випадку можливі два варіанти:
- Рівняння взагалі немає рішень. Наприклад, коли виходить щось на кшталт $0\cdot x=8$, тобто. ліворуч стоїть нуль, а праворуч — число, відмінне від нуля. У відео нижче ми розглянемо відразу кілька причин, через які можлива така ситуація.
- Рішення – усі числа. Єдиний випадок, коли таке можливе – рівняння звелося до конструкції $0\cdot x=0$. Цілком логічно, що який би $x$ ми підставили, однаково вийде «нуль дорівнює нулю», тобто. правильне числове рівність.
А тепер подивимося, як все це працює на прикладі реальних завдань.
Приклади розв'язування рівнянь
Сьогодні ми займаємось лінійними рівняннями, причому лише найпростішими. Взагалі, під лінійним рівнянням мається на увазі всяка рівність, що містить у собі рівно одну змінну, і вона йде лише в першому ступені.
Вирішуються такі конструкції приблизно однаково:
- Насамперед необхідно розкрити дужки, якщо вони є (як у нашому останньому прикладі);
- Потім звести такі
- Нарешті, усамітнити змінну, тобто. все, що пов'язано зі змінною - доданки, в яких вона міститься - перенести в один бік, а все, що залишиться без неї, перенести в інший бік.
Потім, як правило, потрібно навести подібні з кожної сторони отриманої рівності, а після цього залишиться лише розділити на коефіцієнт при «ікс», і ми отримаємо остаточну відповідь.
Теоретично це виглядає красиво і просто, проте на практиці навіть досвідчені учні старших класів можуть припускатися образливих помилок у досить простих лінійних рівняннях. Зазвичай помилки допускаються або при розкритті дужок, або при підрахунку плюсів і мінусів.
Крім того, буває так, що лінійне рівняння взагалі не має рішень, або так, що рішенням є вся числова пряма, тобто. будь-яке число. Ці тонкощі ми й розберемо на сьогоднішньому уроці. Але почнемо ми, як ви вже зрозуміли, із найпростіших завдань.
Схема вирішення найпростіших лінійних рівнянь
Для початку давайте ще раз напишу всю схему вирішення найпростіших лінійних рівнянь:
- Розкриваємо дужки, якщо вони є.
- Усамітнюємо змінні, тобто. все, що містить "ікси" переносимо в один бік, а без "іксів" - в інший.
- Наводимо подібні доданки.
- Поділяємо все на коефіцієнт при «ікс».
Зрозуміло, ця схема працює не завжди, у ній є певні тонкощі та хитрощі, і зараз ми з ними й познайомимося.
Вирішуємо реальні приклади простих лінійних рівнянь
Завдання №1
На першому кроці від нас потрібно розкрити дужки. Але їх у цьому прикладі немає, тому пропускаємо цей етап. На другому кроці нам потрібно усамітнити змінні. Зверніть увагу: йдеться лише про окремі доданки. Давайте запишемо:
Наводимо подібні доданки ліворуч і праворуч, але тут це вже зроблено. Тому переходимо до четвертого кроку: розділити на коефіцієнт:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Ось ми й отримали відповідь.
Завдання №2
У цьому завдання ми можемо спостерігати дужки, тому давайте розкриємо їх:
І ліворуч і праворуч ми бачимо приблизно ту саму конструкцію, але давайте діяти за алгоритмом, тобто. усамітнюємо змінні:
Наведемо такі:
При якому корінні це виконується. Відповідь: за будь-яких. Отже, можна записати, що $x$ - будь-яке число.
Завдання №3
Третє лінійне рівняння вже цікавіше:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Тут є кілька дужок, проте вони ні на що не множаться, просто перед ними стоять різні знаки. Давайте розкриємо їх:
Виконуємо другий уже відомий нам крок:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Порахуємо:
Виконуємо останній крок - ділимо все на коефіцієнт при "ікс":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Що необхідно пам'ятати при вирішенні лінійних рівнянь
Якщо відволіктися від надто простих завдань, то я хотів би сказати таке:
- Як я говорив вище, далеко не кожне лінійне рівняння має рішення - іноді коріння просто немає;
- Навіть якщо коріння є, серед них може затесатися нуль — нічого страшного в цьому немає.
Нуль - таке ж число, як і інші, не варто його дискримінувати або вважати, що якщо у вас вийшов нуль, то ви щось зробили неправильно.
Ще одна особливість пов'язана з розкриттям дужок. Зверніть увагу: коли перед ними стоїть «мінус», то ми його прибираємо, проте у дужках знаки міняємо на протилежні. А далі ми можемо розкривати її за стандартними алгоритмами: ми отримаємо те, що бачили у викладках вище.
Розуміння цього простого факту дозволить вам не допускати дурних і образливих помилок у старших класах, коли виконання подібних дій вважається самим собою зрозумілим.
Розв'язання складних лінійних рівнянь
Перейдемо до складніших рівнянь. Тепер конструкції стануть складнішими і при виконанні різних перетворень виникне квадратична функція. Однак не варто цього боятися, тому що якщо за задумом автора ми вирішуємо лінійне рівняння, то в процесі перетворення всі одночлени, які містять квадратичну функцію, обов'язково скоротяться.
Приклад №1
Очевидно, що насамперед потрібно розкрити дужки. Давайте це зробимо дуже обережно:
Тепер займемося самотою:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Наводимо такі:
Очевидно, що дане рівняння рішень немає, тому у відповіді так і запишемо:
\[\varnothing\]
або коріння немає.
Приклад №2
Виконуємо самі дії. Перший крок:
Перенесемо все, що зі змінною, вліво, а без неї вправо:
Наводимо такі:
Очевидно, що дане лінійне рівняння не має рішення, тому так і запишемо:
\[\varnothing\],
або коріння немає.
Нюанси рішення
Обидва рівняння повністю розв'язані. На прикладі цих двох виразів ми ще раз переконалися, що навіть у найпростіших лінійних рівняннях все може бути не так просто: коріння може бути або одне, або жодне, або нескінченно багато. У нашому випадку ми розглянули два рівняння, в обох коренів просто немає.
Але я хотів би звернути вашу увагу на інший факт: як працювати з дужками і як їх розкривати, якщо перед ними стоїть знак мінус. Розглянемо цей вираз:
Перш ніж розкривати, потрібно перемножити все на ікс. Зверніть увагу: множиться кожне окреме доданок. Усередині стоїть два доданки - відповідно, два доданки і множиться.
І тільки після того, коли ці, начебто, елементарні, але дуже важливі та небезпечні перетворення виконані, можна розкривати дужку з погляду того, що після неї стоїть знак «мінус». Так, так: тільки зараз, коли перетворення виконані, ми згадуємо, що перед дужками стоїть знак мінус, а це означає, що все, що вниз, просто змінює знаки. При цьому самі дужки зникають і, що найголовніше, передній мінус теж зникає.
Так само ми чинимо і з другим рівнянням:
Я не випадково звертаю увагу на ці дрібні, начебто, незначні факти. Тому що рішення рівнянь - це завжди послідовність елементарних перетворень, де невміння чітко і грамотно виконувати прості дії призводить до того, що учні старших класів приходять до мене і знову вчаться вирішувати такі прості рівняння.
Зрозуміло, настане день, і ви відточите ці навички до автоматизму. Вам вже не доведеться щоразу виконувати стільки перетворень, ви все писатимете в один рядок. Але поки ви тільки вчитеся, потрібно писати кожну дію окремо.
Вирішення ще більш складних лінійних рівнянь
Те, що ми зараз вирішуватимемо, вже складно назвати найпростішими завдання, проте сенс залишається тим самим.
Завдання №1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
Давайте перемножимо всі елементи у першій частині:
Давайте виконаємо усамітнення:
Наводимо такі:
Виконуємо останній крок:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Ось наша остаточна відповідь. І, незважаючи на те, що у нас у процесі вирішення виникали коефіцієнти з квадратичною функцією, проте вони взаємно знищилися, що робить рівняння саме лінійним, а не квадратним.
Завдання №2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
Давайте акуратно виконаємо перший крок: множимо кожен елемент із першої дужки на кожен елемент із другої. Усього має вийти чотири нових доданків після перетворень:
А тепер акуратно виконаємо множення в кожному доданку:
Перенесемо доданки з «іксом» вліво, а без вправо:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Наводимо такі складові:
Ми знову отримали остаточну відповідь.
Нюанси рішення
Найважливіше зауваження щодо цих двох рівнянь полягає в наступному: як тільки ми починаємо множити дужки, в яких знаходиться більш ніж воно доданок, то виконується це за таким правилом: ми беремо перший доданок з першої і перемножуємо з кожним елементом з другого; потім беремо другий елемент з першої та аналогічно перемножуємо з кожним елементом з другої. У результаті в нас вийде чотири доданки.
Про алгебраїчну суму
На останньому прикладі я хотів би нагадати учням, що таке сума алгебри. У класичній математиці під $1-7$ ми маємо на увазі просту конструкцію: з одиниці віднімаємо сім. В алгебрі ж ми маємо на увазі під цим наступне: до «одиниця» ми додаємо інше число, а саме «мінус сім». Цим сума алгебри відрізняється від звичайної арифметичної.
Як тільки при виконанні всіх перетворень, кожного додавання та множення ви почнете бачити конструкції, аналогічні вищеописаним, ніяких проблем в алгебрі при роботі з багаточленами та рівняннями у вас просто не буде.
Насамкінець давайте розглянемо ще пару прикладів, які будуть ще складнішими, ніж ті, які ми щойно розглянули, і для їх вирішення нам доведеться дещо розширити наш стандартний алгоритм.
Розв'язання рівнянь із дробом
Для вирішення подібних завдань до нашого алгоритму доведеться додати ще один крок. Але для початку я нагадаю наш алгоритм:
- Розкрити дужки.
- Усамітнити змінні.
- Навести такі.
- Розділити на коефіцієнт.
На жаль, цей прекрасний алгоритм при всій його ефективності виявляється не цілком доречним, коли маємо дроби. А в тому, що ми побачимо нижче, у нас і ліворуч, і праворуч в обох рівняннях є дріб.
Як працювати у цьому випадку? Та все дуже просто! Для цього в алгоритм потрібно додати ще один крок, який можна зробити як перед першою дією, так і після нього, а саме позбутися дробів. Таким чином, алгоритм буде наступним:
- Позбутися дробів.
- Розкрити дужки.
- Усамітнити змінні.
- Навести такі.
- Розділити на коефіцієнт.
Що означає «позбутися дробів»? І чому це можна виконувати як після, так і перед першим стандартним кроком? Насправді у разі всі дроби є числовими за знаменником, тобто. скрізь у знаменнику стоїть просто число. Отже, якщо ми обидві частини рівняння домножимо на це число, ми позбудемося дробів.
Приклад №1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Давайте позбудемося дробів у цьому рівнянні:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Зверніть увагу: на «чотири» множиться один раз, тобто. якщо у вас дві дужки, це не означає, що кожну з них потрібно множити на чотири. Запишемо:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Тепер розкриємо:
Виконуємо усамітнення змінної:
Виконуємо приведення подібних доданків:
\ -4x = -1 \ left | :\left(-4 \right) \right.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Ми одержали остаточне рішення, переходимо до другого рівняння.
Приклад №2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Тут виконуємо ті самі дії:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Завдання вирішено.
Ось, власне, і все, що я сьогодні хотів розповісти.
Ключові моменти
Ключові висновки такі:
- Знати алгоритм розв'язання лінійних рівнянь.
- Вміння розкривати дужки.
- Не варто переживати, якщо десь у вас з'являються квадратичні функції, швидше за все, у процесі подальших перетворень вони скоротяться.
- Коріння в лінійних рівняннях, навіть найпростіших, буває трьох типів: один єдиний корінь, вся числова пряма є коренем, коріння немає взагалі.
Сподіваюся, цей урок допоможе вам освоїти нескладну, але дуже важливу для подальшого розуміння математики тему. Якщо щось незрозуміло, заходьте на сайт, вирішуйте приклади, представлені там. Залишайтеся з нами, на вас чекає ще багато цікавого!
52. Більш складні приклади рівнянь.
приклад 1 .
5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)
Загальний знаменник є x 2 – 1, оскільки x 2 – 1 = (x + 1) (x – 1). Помножимо обидві частини цього рівняння на x 2 – 1. Отримаємо:
або, після скорочення,
5(x + 1) – 3(x – 1) = 15
5x + 5 – 3x + 3 = 15
2x = 7 та x = 3½
Розглянемо ще рівняння:
5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)
Вирішуючи, як вище, отримаємо:
5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 або 2x = 2 та x = 1.
Подивимося, чи виправдовуються наші рівності, якщо замінити у кожному з розглянутих рівнянь знайденим числом.
Для першого прикладу отримаємо:
Бачимо, що тут немає місця жодним сумнівам: ми знайшли таке число для x, що потрібна рівність виправдалася.
Для другого прикладу отримаємо:
5/(1-1) - 3/2 = 15/(1-1) або 5/0 - 3/2 = 15/0
Тут виникають сумніви: ми зустрічаємося тут із розподілом на нуль, яке неможливо. Якщо в майбутньому нам вдасться надати певний, хоча б і непрямий сенс цьому поділу, тоді ми можемо погодитися з тим, що знайдене рішення x – 1 задовольняє нашому рівнянню. До цього ж ми повинні визнати, що наше рівняння зовсім не має рішення, що має прямий сенс.
Подібні випадки можуть мати місце тоді, коли невідоме входить будь-як у знаменники дробів, що є в рівнянні, причому деякі з цих знаменників, при знайденому рішенні, перетворюються на нуль.
Приклад 2 .
Можна відразу бачити, що дане рівняння має форму пропорції: відношення числа x + 3 до x – 1 дорівнює відношенню числа 2x + 3 до 2x – 2. Нехай хтось, через таку обставину, вирішить застосувати сюди для звільнення рівняння від дробів основна властивість пропорції (твір крайніх членів дорівнює добутку середніх). Тоді він отримає:
(x + 3) (2x - 2) = (2x + 3) (x - 1)
2x 2 + 6x - 2x - 6 = 2x 2 + 3x - 2x - 3.
Тут може порушити побоювання, що ми не впораємося з цим рівнянням, та обставина, що до рівняння входять члени з x 2 . Однак ми можемо від обох частин рівняння відняти по 2x 2 - від цього рівняння не порушиться; тоді члени з x 2 знищаться, і ми отримаємо:
6x - 2x - 6 = 3x - 2x - 3
Перенесемо невідомі члени вліво, відомі вправо – отримаємо:
3x = 3 або x = 1
Згадуючи це рівняння
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
ми зараз же зауважимо, що знайдене значення для x (x = 1) перетворює на нуль знаменників кожного дробу; від такого рішення ми, доки не розглянули питання про поділ на нуль, маємо відмовитися.
Якщо ми зауважимо ще, що застосування якості пропорції ускладнило справу і що можна було б отримати більш просте рівняння, помножуючи обидві частини даного на загальний знаменник, а саме на 2(x – 1) - адже 2x – 2 = 2 (x – 1) , то отримаємо:
2(x + 3) = 2x - 3 або 2x + 6 = 2x - 3 або 6 = -3,
що неможливо.
Ця обставина вказує, що дане рівняння не має таких рішень, які мають прямий сенс, які не звертали б знаменників даного рівняння в нуль.
Вирішимо тепер рівняння:
(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)
Помножимо обидві частини рівняння 2(x – 1), тобто на загальний знаменник, отримаємо:
6x + 10 = 2x + 18
Знайдене рішення не перетворює на нуль знаменник і має прямий сенс:
або 11 = 11
Якби хтось замість множення обох частин на 2(x – 1) скористався б властивістю пропорції, то отримав би:
(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) або
6x2 + 4x - 10 = 2x 2 + 16x - 18.
Тут уже члени з x2 не знищувалися б. Перенісши всі невідомі члени до лівої частини, а відомі до правої, отримали б
4x 2 – 12x = –8
x 2 - 3x = -2
Це рівняння ми тепер вирішити не зможемо. Надалі ми навчимося вирішувати такі рівняння та знайдемо для нього два рішення: 1) можна взяти x = 2 та 2) можна взяти x = 1. Легко перевірити обидва рішення:
1) 2 2 - 3 · 2 = -2 і 2) 1 2 - 3 · 1 = -2
Якщо ми згадаємо початкове рівняння
(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),
то побачимо, що тепер ми отримаємо обидва його рішення: 1) x = 2 є те рішення, яке має прямий сенс і не звертає знаменника в нуль; 2) x = 1 є те рішення, яке звертає знаменника в нуль і не має прямого сенсу .
Приклад 3 .
Знайдемо спільного знаменника дробів, що входять до цього рівняння, для чого розкладемо на множники кожного із знаменників:
1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),
2) x 2 - x - 2 = x 2 - 2x + x - 2 = x (x - 2) + (x - 2) = (x - 2) (x + 1),
3) x 2 - 2x - 3 = x 2 - 3x + x - 3 = x (x - 3) + (x - 3) = (x - 3) (x + 1).
Загальний знаменник дорівнює (x - 3) (x - 2) (x + 1).
Помножимо обидві частини цього рівняння (а його ми тепер можемо переписати у вигляді:
загального знаменника (x – 3) (x – 2) (x + 1). Тоді, після скорочення кожного дробу отримаємо:
3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) або
3x + 3 - 2x + 6 = 2x - 4.
Звідси отримаємо:
-x = -13 і x = 13.
Це рішення має прямий зміст: воно не перетворює на нуль жодного із знаменників.
Якби ми взяли рівняння:
то, роблячи так само, як вище, отримали б
3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2
3x + 3 - 2x + 6 = x - 2
3x - 2x - x = -3 - 6 - 2,
звідки отримали б
що неможливо. Ця обставина показує, що не можна знайти для останнього рівняння рішення, що має пряме значення.