Важливі зауваження!
1. Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Як це зробити у твоєму браузері написано тут:
2. Перш ніж почнеш читати статтю, зверни увагу на наш навігатор по самих корисним ресурсудля
Часто ми чуємо цю неприємну фразу: "спростіть вираз".Зазвичай при цьому перед нами якесь чудовисько типу цього:
"Та куди вже простіше" - говоримо ми, але така відповідь зазвичай не прокочує.
Зараз я навчу тебе не боятися жодних таких завдань.
Більше того, наприкінці заняття ти сам спростиш цей приклад до всього лише! звичайного числа(так-так, до біса ці літери).
Але перш ніж приступити до цього заняття, тобі необхідно вміти поводитися з дробамиі розкладати багаточлени на множники.
Тому, якщо ти цього не зробив раніше, обов'язково освою теми «» та «».
Прочитав? Якщо так, то тепер ти готовий.
Let"s go! (Поїхали!)
Базові операції спрощення виразів
Зараз розберемо основні прийоми, що використовуються при спрощенні виразів.
Найпростіший з них – це
1. Приведення подібних
Що таке? Ти проходив це у 7 класі, як тільки вперше в математиці з'явилися букви замість чисел.
Подібні- це доданки (одночлени) з однаковою літерною частиною.
Наприклад, у сумі подібні доданки- це в.
Згадав?
Навести подібні- означає скласти кілька подібних доданків один з одним і отримати один доданок.
А як нам скласти один з одним літери? - Запитаєш ти.
Це дуже легко зрозуміти, якщо уявити, що літери – це якісь предмети.
Наприклад, літера – це стілець. Тоді чому дорівнює вираз?
Два стільці плюс три стільці, скільки буде? Правильно, стільців: .
А тепер спробуй такий вираз: .
Щоб не заплутатися, нехай різні літерипозначають різні предмети.
Наприклад, - це (як завжди) стілець, а - це стіл.
стільця стільця стільців стільців стільців стільців
Числа, на які множаться літери в таких доданках, називаються коефіцієнтами.
Наприклад, в одночлені коефіцієнт дорівнює. А він він дорівнює.
Отже, правило приведення таких:
Приклади:
Наведіть такі:
Відповіді:
2. (і подібні, тому що, отже у цих доданків однакова літерна частина).
2. Розкладання на множники
Це зазвичай сама важлива частинау спрощенні виразів.
Після того як ти навів подібні, найчастіше отриманий вираз потрібний розкласти на множники, тобто подати у вигляді твору.
Особливо це важливо у дробах:адже щоб можна було скоротити дріб, чисельник та знаменник мають бути представлені у вигляді твору.
Докладно способи розкладання виразів на множники ти проходив у темі «», тому тут тобі залишається лише згадати вивчене.
Для цього розв'яжи кілька прикладів (потрібно розкласти на множники)
Приклади:
Рішення:
3. Скорочення дробу.
Ну що може бути приємніше, ніж закреслити частину чисельника та знаменника, і викинути їх зі свого життя?
У цьому вся краса скорочення.
Все просто:
Якщо чисельник і знаменник містять однакові множники, їх можна скоротити, тобто забрати з дробу.
Це правило випливає з основної властивості дробу:
Тобто суть операції скорочення в тому, що чисельник і знаменник дробу ділимо на одне й те саме число (або на один і той самий вираз).
Щоб скоротити дріб, потрібно:
1) чисельник та знаменник розкласти на множники
2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.
Приклади:
Принцип, я гадаю, зрозумілий?
Хочу звернути увагу на одну типову помилку під час скорочення. Хоча ця тема і проста, але дуже багато хто робить все неправильно, не розуміючи, що скоротити- це означає поділитичисельник і знаменник одне й те число.
Жодних скорочень, якщо в чисельнику чи знаменнику сума.
Наприклад: треба спростити.
Деякі роблять так: що абсолютно неправильно.
Ще приклад: скоротити.
«Найрозумніші» зроблять так:
Скажи мені, що тут не так? Здавалося б: це множник, значить можна скорочувати.
Але ні: - це множник лише одного доданку в чисельнику, але сам чисельник загалом на множники не розкладено.
Ось інший приклад: .
Це вираз розкладено на множники, отже, можна скоротити, тобто поділити чисельник і знаменник на, а потім і на:
Можна й одразу поділити на:
Щоб не допускати подібних помилок, запам'ятай легкий спосіб, як визначити, чи розкладено вираз на множники:
Арифметична дія, яка виконується останнім при підрахунку значення виразу, є «головною».
Тобто, якщо ти підставиш замість літер якісь (будь-які) числа, і спробуєш обчислити значення виразу, то якщо останньою дієюбуде множення - отже, у нас твір (вираз розкладено на множники).
Якщо останньою дією буде додавання або віднімання, це означає, що вираз не розкладено на множники (а отже, скорочувати не можна).
Для закріплення виріши самостійно кілька прикладів:
Приклади:
Рішення:
4. Додавання та віднімання дробів. Приведення дробів до спільного знаменника.
Додавання та віднімання звичайних дробів- операція добре знайома: шукаємо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на множник, що бракує, і складаємо/віднімаємо чисельники.
Давай згадаємо:
Відповіді:
1. Знаменники і – взаємно прості, тобто у них немає спільних множників. Отже, НОК цих чисел дорівнює їхньому твору. Це і буде спільний знаменник:
2. Тут загальний знаменник дорівнює:
3. Тут насамперед змішані дробиперетворюємо на неправильні, а далі - за звичною схемою:
Зовсім інша річ, якщо дроби містять літери, наприклад:
Почнемо з простого:
a) Знаменники не містять літер
Тут все те саме, що і зі звичайними числовими дробами: знаходимо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на множник, що бракує, і складаємо/віднімаємо чисельники:
тепер у чисельнику можна наводити подібні, якщо є, і розкладати на множники:
Спробуй сам:
Відповіді:
b) Знаменники містять літери
Давай згадаємо принцип знаходження спільного знаменника без літер:
· Насамперед ми визначаємо загальні множники;
· Потім виписуємо всі загальні множники по одному разу;
· І домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.
Щоб визначити спільні множники знаменників, спершу розкладемо їх на прості множники:
Підкреслимо спільні множники:
Тепер випишемо спільні множники по одному разу і допишемо до них усі загальні (не підкреслені) множники:
Це є спільний знаменник.
Повернемося до букв. Знаменники наводяться за такою ж схемою:
· Розкладаємо знаменники на множники;
· Визначаємо загальні (однакові) множники;
· Виписуємо всі загальні множники по одному разу;
· Домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.
Отже, по порядку:
1) розкладаємо знаменники на множники:
2) визначаємо загальні (однакові) множники:
3) виписуємо всі загальні множники по одному разу і домножуємо їх на всі інші (непідкреслені) множники:
Отже, спільний знаменник тут. Перший дріб потрібно домножити на, другий - на:
До речі, є одна хитрість:
Наприклад: .
Бачимо в знаменниках одні і ті ж множники, тільки всі різними показниками. До спільного знаменника підуть:
у ступені
у ступені
у ступені
у ступені.
Ускладнимо завдання:
Як зробити у дробів однаковий знаменник?
Давай пригадаємо основну властивість дробу:
Ніде не сказано, що з чисельника і знаменника дробу можна віднімати (або додавати) те саме число. Тому що це не так!
Переконайся сам: візьми будь-який дріб, наприклад, і додай до чисельника і знаменника якесь число, наприклад, . Що повчилося?
Отже, чергове непорушне правило:
Коли наводиш дроби до спільному знаменнику, користуйся лише операцією множення!
Але на що ж треба примножити, щоб одержати?
Ось на і домнож. А примножуй на:
Вирази, які неможливо розкласти на множники називатимемо «елементарними множниками».
Наприклад, це елементарний множник. - Теж. А ось – ні: він розкладається на множники.
Що скажеш про висловлювання? Воно елементарне?
Ні, оскільки його можна розкласти на множники:
(Про розкладання на множники ти вже читав у темі «Реферат»).
Так ось, елементарні множники, на які ти розкладаєш вираз із літерами – це аналог простих множниківна які ти розкладаєш числа. І робитимемо з ними так само.
Бачимо, що в обох знаменниках є множник. Він піде у спільний знаменник у міру (пам'ятаєш, чому?).
Множник - елементарний, і він у них не загальний, значить перший дріб на нього доведеться просто домножити:
Ще приклад:
Рішення:
Перш ніж у паніці перемножувати ці знаменники, треба подумати, як їх розкласти на множники? Обидва вони представляють:
Чудово! Тоді:
Ще приклад:
Рішення:
Як завжди, розкладемо знаменники на множники. У першому знаменнику просто виносимо за дужки; у другому - різниця квадратів:
Здавалося б, спільних множників немає. Але якщо придивитися, то й так схожі.
Так і напишемо:
Тобто вийшло так: усередині дужки ми поміняли місцями доданки, і при цьому знак перед дробом помінявся на протилежний. Візьми на замітку, так робити доведеться часто.
Тепер наводимо до спільного знаменника:
Засвоїв? Зараз перевіримо.
Завдання для самостійного вирішення:
Відповіді:
5. Множення та розподіл дробів.
Ну що ж, найскладніше тепер позаду. А попереду у нас найпростіше, але при цьому найважливіше:
Порядок дій
Який порядок дій при підрахунку числового виразу? Згадай, порахувавши значення такого виразу:
Порахував?
Повинно вийти.
Отже, нагадую.
Насамперед обчислюється ступінь.
Другим - множення та розподіл. Якщо множень і поділок одночасно кілька, робити їх можна у будь-якому порядку.
І наостанок виконуємо складання та віднімання. Знову ж таки, в будь-якому порядку.
Але: вираз у дужках обчислюється позачергово!
Якщо кілька дужок множаться або діляться один на одного, обчислюємо спочатку вираз у кожній із дужок, а потім множимо або поділи їх.
А якщо всередині дужок є ще одні дужки? Ну, давай подумаємо: усередині дужок написано якийсь вираз. А при обчисленні виразу насамперед треба робити що? Правильно, обчислювати дужки. Ну ось і розібралися: спочатку обчислюємо внутрішні дужки, потім решту.
Отже, порядок дій для вираження вище такий (червоним виділено поточне дію, тобто дію, яке виконую зараз):
Добре, це просто.
Але ж це не те саме, що вираз з літерами?
Ні, це те саме! Тільки замість арифметичних дійтреба робити алгебраїчні, тобто дії, описані в попередньому розділі: приведення подібних, додавання дробів, скорочення дробів і так далі. Єдиною відмінністю буде дія розкладання багаточленів на множники (його часто застосовуємо при роботі з дробами). Найчастіше для розкладання на множники потрібно застосовувати або просто виносити загальний множник за дужки.
Зазвичай наша мета - уявити вираз у вигляді твору або приватного.
Наприклад:
Спростимо вираз.
1) Першим спрощуємо вираз у дужках. Там у нас різниця дробів, а наша мета – представити її як твір чи приватний. Отже, наводимо дроби до спільного знаменника і складаємо:
Більше цього виразу спростити неможливо, всі множники тут - елементарні (ти ще пам'ятаєш, що це означає?).
2) Отримуємо:
Розмноження дробів: що може бути простіше.
3) Тепер можна і скоротити:
Ну от і все. Нічого складного, правда?
Ще приклад:
Спрости вираз.
Спочатку спробуй вирішити сам, і тільки потім подивися рішення.
Рішення:
Насамперед визначимо порядок дій.
Спочатку виконаємо складання дробів у дужках, вийде замість двох дробів один.
Потім виконаємо поділ дробів. Ну і результат складемо з останнім дробом.
Схематично пронумерую дії:
Насамкінець дам тобі дві корисні поради:
1. Якщо є такі, їх треба негайно навести. У який би момент у нас не утворилися подібні, їх бажано наводити одразу.
2. Те саме стосується скорочення дробів: як тільки з'являється можливість скоротити, їй треба скористатися. Виняток становлять дроби, які ти складаєш чи віднімаєш: якщо в них зараз однакові знаменники, то скорочення потрібно залишити на потім.
Ось тобі завдання для самостійного вирішення:
І обіцяна на самому початку:
Відповіді:
Рішення (короткі):
Якщо ти впорався хоча б із першими трьома прикладами, то тему ти, вважай, освоїв.
Тепер уперед до навчання!
ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ. КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
Базові операціїспрощення:
- Приведення подібних: щоб скласти (навести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і приписати буквену частину.
- Розкладання на множники:винесення спільного множниказа дужки, застосування та ін.
- Скорочення дробу: чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на те саме ненульове число, від чого величина дробу не змінюється.
1) чисельник та знаменник розкласти на множники
2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.ВАЖЛИВО: скорочувати можна лише множники!
- Додавання та віднімання дробів:
; - Розмноження та розподіл дробів:
;
Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.
Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!
Тепер найголовніше.
Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.
Проблема в тому, що цього не вистачить.
Для чого?
Для успішної здачіЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.
Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…
Люди, які отримали гарна освіта, заробляють набагато більше, ніж ті, хто не отримав. Це – статистика.
Але й це – не головне.
Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостейі життя стає яскравішим? Не знаю...
Але, думай сам...
Що потрібно, щоб бути напевно кращим за інших на ЄДІ і бути в кінцевому підсумку ... щасливішим?
Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.
На іспиті в тебе не питатимуть теорію.
Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.
І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.
Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.
Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!
Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.
Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.
Як? Є два варіанта:
- Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
- Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 499 руб
Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.
Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.
І на закінчення...
Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.
"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.
Знайди завдання та вирішуй!
Серед різних виразів, що розглядаються в алгебрі, важливе місце посідають суми одночленів. Наведемо приклади таких виразів:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Суму одночленів називають багаточленом. Доданки в многочлен називають членами многочлена. Одночлени також відносять до многочленів, вважаючи одночлен, що складається з одного члена.
Наприклад, багаточлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можна спростити.
Представимо всі складові у вигляді одночленів стандартного вигляду:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Наведемо в отриманому багаточлені такі члени:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Вийшов багаточлен, усі члени якого є одночленами стандартного виду, причому серед них немає подібних. Такі багаточлени називають багаточленами стандартного вигляду.
За ступінь багаточленастандартного виду приймають найбільший із ступенів його членів. Так, двочлен \(12a^2b - 7b \) має третій ступінь, а тричлен \(2b^2 -7b + 6 \) - другий.
Зазвичай члени многочленів стандартного виду, що містять одну змінну, мають у своєму розпорядженні в порядку зменшення показників її ступеня. Наприклад:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Суму кількох багаточленів можна перетворити (спростити) на багаточлен стандартного виду.
Іноді члени багаточлена потрібно розбити на групи, укладаючи кожну групу на дужки. Оскільки укладання в дужки - це перетворення, зворотне розкриття дужок, то легко сформулювати правила розкриття дужок:
Якщо перед дужками ставиться знак «+», то члени, які укладаються у дужки, записуються з тими самими знаками.
Якщо перед дужками ставиться знак «-», то члени, які укладаються в дужки, записуються протилежними знаками.
Перетворення (спрощення) твору одночлена та багаточлена
За допомогою розподільної властивості множення можна перетворити (спростити) на багаточлен добуток одночлена та багаточлена. Наприклад:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Твір одночлена та багаточлена тотожно дорівнює сумі творів цього одночлена та кожного з членів багаточлена.
Цей результат зазвичай формулюють як правила.
Щоб помножити одночлен на багаточлен, треба помножити цей одночлен на кожен із членів багаточлена.
Ми вже не раз використовували це правило для множення на суму.
Добуток багаточленів. Перетворення (спрощення) твору двох багаточленів
Взагалі, добуток двох багаточленів тотожно дорівнює сумі добутку кожного члена одного багаточлена і кожного члена іншого.
Зазвичай користуються наступним правилом.
Щоб помножити багаточлен на багаточлен, треба кожен член одного помножити на кожен член іншого і скласти отримані твори.
Формули скороченого множення. Квадрати суми, різниці та різниця квадратів
З деякими виразами в алгебраїчних перетворенняхдоводиться мати справу частіше, ніж із іншими. Мабуть, найчастіше зустрічаються вирази \((a + b)^2, \;(a - b)^2 \) і \(a^2 - b^2 \), тобто квадрат суми, квадрат різниці і різницю квадратів. Ви помітили, що назви зазначених виразів як би не закінчені, наприклад, \((a + b)^2 \) - це, звичайно, не просто квадрат суми, а квадрат суми а і b. Однак квадрат суми а і b зустрічається не так часто, як правило, замість букв а і b в ньому виявляються різні, іноді досить складні вирази.
Вирази \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) неважко перетворити (спростити) на багаточлени стандартного виду, власне, ви вже зустрічалися з таким завданням при множенні багаточленів:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Отримані тотожності корисно запам'ятати та застосовувати без проміжних викладок. Допомагають цьому короткі словесні формулювання.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - Квадрат суми дорівнює суміквадратів та подвоєного твору.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - Квадрат різниці дорівнює сумі квадратів без подвоєного добутку.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - Різниця квадратів дорівнює добутку різниці на суму.
Ці три тотожності дозволяють у перетвореннях замінювати свої ліві частини правими і назад - праві частини лівими. Найважче при цьому - побачити відповідні вирази та зрозуміти, чим у них замінені змінні а та b. Розглянемо кілька прикладів використання формул скороченого множення.
Міністерство освіти Республіки Білорусь
Заклад освіти
«Гомельський державний університетім. Ф. Скорини»
Математичний факультет
Кафедра МПМ
Тотожні перетвореннявиразів та методика навчання учнів їх виконання
Виконавець:
Студентка Стародубова О.Ю.
Канд. фіз-мат. наук, доцент Лебедєва М.Т.
Гомель 2007
Вступ
1 Основні типи перетворень та етапи їх вивчення. Етапи освоєння застосування перетворень
Висновок
Література
Вступ
Найпростіші перетворення виразів і формул, що спираються на властивості арифметичних операцій, виробляються в початковій школіта 5 та 6 класах. Формування вмінь та навичок виконання перетворень відбувається в курсі алгебри. Це пов'язано як з різким збільшенням числа та різноманітності вчинених перетворень, так і з ускладненням діяльності з їх обґрунтування та з'ясування умов застосування, з виділенням та вивченням узагальнених понять тотожності, тотожного перетворення, рівносильного перетворення.
1. Основні типи перетворень та етапи їх вивчення. Етапи освоєння застосування перетворень
1. Початки алгебри
Використовується нерозчленована система перетворень, представлена правилами виконання над однією чи обома частинами формули. Мета – досягти швидкості у виконанні завдань на вирішення найпростіших рівнянь, спрощення формул, що задають функції, у раціональному проведенні обчислень з опорою на властивості дій.
Типові приклади:
Розв'язати рівняння:
а); б); в).
Тотожне перетворення (а); рівносильне та тотожне (б).
2. Формування навичок застосування конкретних видів перетворень
Висновки: формули скороченого множення; перетворення, пов'язані зі зведенням у ступінь; перетворення, пов'язані з різними класами елементарних функций.
Організація цілісної системиперетворень (синтез)
Мета – формування гнучкого та потужного апарату, придатного для використання у вирішенні різноманітних навчальних завдань . Перехід до цього етапу здійснюється при підсумковому повторенні курсу під час осмислення вже відомого матеріалузасвоєного частинами, по окремим типамперетворень до раніше вивчених видів додають перетворення тригонометричних виразів. Всі ці перетворення можна назвати "алгебраїчними" до "аналітичних" перетворень можна віднести ті з них, в основі яких лежать правила диференціювання та інтегрування та перетворення виразів, що містять граничні переходи. Відмінність цього – у характері безлічі, яке пробігають змінні у тотожності (певні безлічі функцій).
Досліджувані тотожності поділяються на два класи:
I – тотожності скороченого множення, справедливі у комутативному кільці та тотожності
справедливого у полі.
II – тотожності, що пов'язують арифметичні операціїта основні елементарні функції.
2 Особливості організації системи завдань щодо тотожних перетворень
Основний принцип організації системи завдань – пред'явлення від простого до складного.
Цикл вправ– з'єднання в послідовності вправ кількох аспектів вивчення та прийомів розташування матеріалу. При вивченні тотожних перетворень цикл вправ пов'язані з вивченням одного тотожності, навколо якого групуються інші тотожності, що з ним у зв'язку.До складу циклу поряд із виконавчими входять завдання, що вимагають розпізнавання застосовності розглянутого тотожності. Точество, що вивчається, застосовується для проведення обчислень на різних числових областях. Завдання у кожному циклі розбиті на дві групи. До першоювідносяться завдання, які виконуються при початковому знайомстві з тотожністю. Вони служать навчальним матеріаломдля декількох уроків, що йдуть поспіль, об'єднаних однією темою.
Друга групавправ пов'язує тотожність, що вивчається, з різними додатками. Ця група не утворює композиційної єдності – вправи тут розкидані з різних тем.
Описані структури циклу належать до етапу формування навичок застосування конкретних перетворень.
На етапі синтезу цикли змінюються, відбувається об'єднання груп завдань у бік ускладнення та злиття циклів, що належать до різних тотожностей, що сприяє підвищенню ролі дій з розпізнавання застосовності тієї чи іншої тотожності.
приклад.
Цикл завдань для тотожності:
I група завдань:
а) подати у вигляді твору:
б) Перевірити вірність рівності:
в) Розкрити дужки у виразі:
.
г) Обчислити:
д) Розкласти на множники:
е) спростити вираз:
.
Учні щойно ознайомилися з формулюванням тотожності, його записом як тотожності, доказом.
Завдання а) пов'язане з фіксуванням структури тотожності, що вивчається, з встановленням зв'язку з числовими множинами(Зіставлення знакових структур тотожності і перетворюваного виразу; заміщення букви числом у тотожності). У останньому прикладіще належить виконати приведення його до виду, що вивчається. У таких прикладах (д і ж) відбувається ускладнення, спричинене прикладною роллютотожності та ускладненням знакової структури.
Завдання типу б) спрямовані на формування навичок заміни 
на . Аналогічна роль завдання в).
Приклади типу г), у яких потрібно вибрати один із напрямів перетворення, завершує розвиток цієї ідеї.
Завдання I групи спрямовані на засвоєння структури тотожності, операції заміщення у найпростіших, принципово найважливіших випадках, і ставлення до оборотності перетворень, здійснюваних тотожністю. Дуже важливе значеннямає також збагачення мовних засобів, що показують різні аспектитотожності. Уявлення про ці аспекти надають тексти завдань.
ІІ група завдань.
ж) Використовуючи тотожність при розкласти на множники многочлен.
з) Виключити ірраціональність у знаменнику дробу.
і) Довести що якщо - непарне число, то поділяється на 4.
к) Функція задана аналітичним виразом
.
Позбутися знака модуля, розглянувши два випадки: , .
л) Розв'язати рівняння 
.
Ці завдання спрямовані на можливо більше повне використанняі облік специфіки саме даного тотожності, припускають сформованість навичок використання тотожності, що вивчається, для різниці квадратів. Мета – поглибити розуміння тотожності за рахунок розгляду різноманітних додатків його до різних ситуаціях, у поєднанні з використанням матеріалу, що відноситься до інших тем курсу математики.
або 
.
Особливості циклів завдань, пов'язаних із тотожністю для елементарних функцій:
1) вони вивчаються з урахуванням функціонального матеріалу;
2) з'являються пізніше тотожності першої групи та вивчаються з використанням вже сформованих навичок проведення тотожних перетворень.
У першу групу завдань циклу мають увійти завдання встановлення зв'язку цих нових числових областей з вихідною областю раціональних чисел.
приклад.
Обчислити:
;
.
Мета таких завдань – освоєння особливостей записів, що включають символи нових операцій та функцій, та у розвитку навичок математичної мови.
Значна частина використання тотожних перетворень, пов'язаних з елементарними функціями, посідає рішення ірраціональних і транцендетних рівнянь. Послідовність кроків:
а) знайти функцію φ, на яку дане рівняння f(x)=0 представимо у вигляді:
б) зробити підстановку y=φ(x) і розв'язати рівняння
в) розв'язати кожне із рівнянь φ(x)=y k , де y k - безліч коренів рівняння F(y)=0.
При використанні описаного способу часто крок б) виконується в неявному вигляді, без введення позначення φ(x). Крім того, учні часто віддають перевагу різних шляхів, Що ведуть до знаходження відповіді, вибирати той, який швидше і простіше призводить до рівня алгебри.
приклад. Розв'язати рівняння 4 x -3 * 2 = 0.
2) (2 2) x -3 * 2 x = 0 (крок а)
(2 x) 2 -3 * 2 x = 0; 2 x (2 x -3) = 0; 2 x -3 = 0. (крок б)
приклад. Вирішити рівняння:
а) 2 2x -3 * 2 x +2 = 0;
б) 2 2x -3 * 2 x -4 = 0;
в) 2 2x -3 * 2 x +1 = 0.
(Запропонувати для самостійного рішення.)
Класифікація завдань у циклах, які стосуються вирішення транцендетних рівнянь, що включають показову функцію:
1) рівняння, що зводяться до рівнянь виду а x = y 0 і мають просту, загальну за формою відповідь:
2) рівняння, що зводяться до рівнянь виду а x = а k , де k-ціле число, або а x = b, де b≤0.
3) рівняння, що зводяться до рівнянь виду а x = y 0 і вимагають явного аналізуформи, в якій записано число y 0 .
Велику користь приносять завдання, у яких тотожні перетворення використовуються побудови графіків при спрощенні формул, що задають функції.
а) Побудувати графік функції y =;
б) Розв'язати рівняння lgx+lg(x-3)=1
в) на якій множині формула lg(x-5)+ lg(x+5)= lg(x 2 -25) є тотожністю?
Використання тотожних перетворень у обчисленнях.(ж. Математика у шкільництві, №4, 1983, стр.45)
Завдання №1. Функція задана формулою y=0,3x2+4,64x-6. Знайдіть значення функції за x=1,2
y(1,2)=0,3*1,2 2 +4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0 ,36 +4,64) -6 = 1,2 * 5-6 = 0.
Завдання №2. Обчисліть довжину катета прямокутного трикутникаякщо довжина його гіпотенузи дорівнює 3,6см, а іншого катета-2,16см.
Завдання №3. Яка площа ділянки прямокутної форми, Що має розміри а) 0,64 м та 6,25 м; б) 99,8м та 2,6м?
а) 0,64 * 6,25 = 0,8 2 * 2,5 2 = (0,8 * 2,5) 2;
б) 99,8 * 2,6 = (100-0,2) 2,6 = 100 * 2,6-0,2 * 2,6 = 260-0,52.
Ці приклади дозволяють виявити практичне застосуваннятотожних перетворень. Учня слід ознайомити з умовами здійсненності перетворення (див. схеми).
| |
- зображення многочлена, де круглі контури вписується будь-який многочлен.(схема 1)
-
умова здійсненності перетворення твору одночлена і наведено вираз, що допускає перетворення на різницю квадратів. (схема 2)
-
тут штрихування означають рівні одночлени і наведено вираз допускає перетворення на різницю квадратів. (схема 3)
| |
| |
- вираз, що припускає винесення загального множника.
Сформувати вміння учнів щодо виявлення умов можна за допомогою таких прикладів:
Які з наступних виразів можуть бути перетворені винесенням загального множника за дужки:
2) 
3) 0,7а 2 +0,2b 2;
5) 6,3*0,4+3,4*6,3;
6) 2x2+3x2+5y2;
7) 0,21+0,22+0,23.
Більшість обчислень практично не задовольняють умовам здійсненності, тому учням необхідні навички приведення їх у виду, допускає обчислення перетворень. І тут доцільні такі завдання:
щодо винесення загального множника за дужки:
цей вираз, якщо це можливо, перетворіть на вираз, який зображується схемою 4:
4) 2а * а 2 * а 2;
5) 2n 4 +3n 6 +n 9;
8) 15ab 2 +5a 2 b;
10) 12,4*-1,24*0,7;
11) 4,9*3,5+1,7*10,5;
12) 10,8 2 -108;
13) 
14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;
15) 2*3 4 -3*2 4 +6;
18) 3,2/0,7-1,8*
При формуванні поняття «тотожне перетворення» слід пам'ятати, що це означає не тільки те, що дане та отримане вираз у результаті перетворення приймають рівні значення при будь-яких значеннях літер, що входять до нього, а й те, що при тотожному перетворенні ми переходимо від виразу, що визначає один спосіб обчислення, до виразу, що визначає інший спосіб обчислення того ж значення.
Можна схему 5 (правило перетворення твору одночлена та багаточлена) проілюструвати на прикладах
0,5a(b+c) або 3,8(0,7+).
Вправи вивчення винесення загального множника за дужки:
Обчисліть значення виразу:
а) 4,59 * 0,25 +1,27 * 0,25 +2,3-0,25;
б) a+bc при a=0,96; b = 4,8; c = 9,8.
в) a(a+c)-c(a+b) при a=1,4; b = 2,8; c = 5,2.
Проілюструємо на прикладах формування умінь і навичок у обчисленнях і тотожних перетвореннях. (Ж. Математика у школі, №5, 1984, стор.30)
1) вміння та навички швидше засвоюються і довше зберігаються, якщо їх формування відбувається на свідомій основі ( дидактичний принципсвідомості).
1) Можна сформулювати правило складання дробів з однаковими знаменникамиабо попередньо на конкретні прикладирозглянути суть складання однакових часток.
2) При розкладанні на множники винесенням загального множника за дужки важливо побачити цей спільний множник і потім застосувати розподільчий закон. За виконання перших вправ корисно кожне доданок многочлене записати як твори, одне із множників якого- загальний всім доданків:
3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .
Особливо корисно так чинити, коли за дужки виноситься один із одночленів багаточлена:
ІІ. Перший етапформування навички - оволодіння вмінням (вправи виконуються з докладними поясненнямита записами)
(Першим вирішується питання про знак)
Другий етап– етап автоматизації вміння шляхом виключення деяких проміжних операцій
ІІІ. Міцність навичок досягається рішенням різноманітних як за змістом, і формою, прикладів.
Тема: "Винесення загального множника за дужки".
1. Запишіть замість багаточлена множник, що не вистачає:
2. Розкладіть на множники так, щоб перед дужками був множником одночлен із негативним коефіцієнтом:
3. Розкладіть на множники так, щоб багаточлен у дужках мав цілі коефіцієнти:
4. Розв'яжіть рівняння:
IV. Формування навичок найефективніше у разі усного виконання деяких проміжних обчислень чи перетворень.
(Усно);
V. Формовані навички та вміння повинні входити до раніше сформованої системи знань, умінь та навичок учнів.
Наприклад, при навчанні розкладання багаточленів на множники за допомогою формул скороченого множення пропонуються такі вправи:
Розкласти на множники:
VI. Необхідність раціонального виконання обчислень та перетворень.
в)спростити вираз:
Раціональність полягає у розкритті дужок, т.к.
VII. Перетворення виразів, що містять ступінь.
№1011 (Алг.9) Спростити вираз:
№1012 (Алг.9) Винести множник з-під знака кореня:
№1013 (Алг.9) Внести множник під знак кореня:
№1014 (Алг.9) Спростити вираз:
У всіх прикладах попередньо виконати або розкладання на множники, або винесення загального множника, або побачити відповідну формулу скорочення.
№1015 (Алг.9) Скоротити дріб:
Багато учнів мають деякі труднощі у перетворенні виразів, що містять коріння, зокрема при дослідженні рівності:
Тому, або докладно розписують вирази виду або 
або перейти до ступеня з оптимальним показником.
№1018 (Алг.9) Знайти значення виразу:
№1019 (Алг.9) Спростити вираз:
2.285 (Сканаві) Спростити вираз
а потім побудувати графік функції yдля
№2.299 (Сканаві) Перевірити справедливість рівності:
Перетворення виразів, що містять ступінь, є узагальнення отриманих навичок і умінь, при вивченні тотожних перетворень багаточленів.
№2.320 (Сканаві) Спростити вираз:
У курсі «Алгебра 7» наведено такі визначення.
Опр. Два вирази, відповідні значення яких є рівними при значеннях змінних, називаються тотожно рівними.
Опр. Рівність, вірно за будь-яких значеннях змінних зв. тотожністю.
№94(Алг.7) Чи є тотожністю рівність:
a) 
c) 
d) 
Опис опр-ня: Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом називають тотожним перетворенням або просто перетворенням виразу. Тотожні перетворення виразів зі змінними виконуються з урахуванням властивостей дій над числами.
№ (Алг.7) Серед виразів
знайдіть ті, які тотожно рівні.
Тема: «Тотожні перетворення виразів» (методика питання)
Перша тема «Алгебри-7»-«Вирази та його перетворення» допомагає закріпити обчислювальні навички, набуті у 5-6 класах, систематизувати і узагальнити відомості про перетворення виразів і рішень рівнянь.
Знаходження значень числових і буквених виразів дає можливість повторити з учнями правила дії раціональними числами. Вміння виконувати арифметичні дії з раціональними числами є опорними для курсу алгебри.
При розгляді перетворень виразів формально – оперативні вміння залишаються тому ж рівні, що було досягнуто в 5-6 класах.
Однак тут учні піднімаються на новий щабель у оволодінні теорією. Вводяться поняття «тотожно рівні вирази», «тотожність», «тотожні перетворення виразів», зміст яких постійно розкриватиметься і поглиблюватиметься щодо перетворень різних алгебраїчних виразів. Підкреслюється, що основу тотожних перетворень становлять властивості процесів над числами.
При вивченні теми «Многочлени» формуються формально-оперативні вміння тотожних перетворень виразів алгебри. Формули скороченого множення сприяють подальшому процесу формування умінь виконувати тотожні перетворення цілих виразів, вміння застосовувати формули як для скороченого множення, так і для розкладання багаточленів на множники використовується не тільки в перетворенні цілих виразів, але і в діях з дробами, корінням, степенями. .
У 8-му класі набуті навички тотожних перетворень відпрацьовуються на діях з алгебраїчними дробами, квадратним коренемта виразами, що містять ступеня з цілим показником.
Надалі прийоми тотожних перетворень відбиваються на виразах, що містять ступінь з раціональним показником.
Особливу групу тотожних перетворень становлять тригонометричні виразита логарифмічні вирази.
До обов'язкових результатів навчання за курс алгебри у 7-9 класах відносяться:
1) тотожні перетворення цілих виразів
a) розкриття дужок та укладання у дужки;
b) приведення таких членів;
c) складання, віднімання та множення багаточленів;
d) розкладання багаточленів на множники за допомогою винесення загального множника за дужки та формули скороченого множення;
e) розкладання квадратного тричленана множники.
«Математика у школі» (Б.У.М.) стор.110
2) тотожні перетворення раціональних виразів: додавання, віднімання, множення та поділ дробів, а також застосовувати перелічені вміння при виконанні нескладних комбінованих перетворень [стор. 111]
3) учні повинні вміти виконувати перетворення нескладних виразів, що містять ступеня та коріння. (Стор. 111-112)
Було розглянуто основні типи завдань, уміння вирішувати яких дозволяють отримати учневі позитивну оцінку.
Однією з найважливіших сторін методики вивчення тотожних перетворень є розвиток учням цілей виконання тотожних перетворень.
1) 
- спрощення чисельного значеннявирази
2) яке із перетворень слід виконати: (1) 
або (2) Розбір цих варіантів є мотивуванням (переважно (1), тому що в (2) відбувається звуження області визначення)
3) Розв'язати рівняння:
Розкладання на множники під час вирішення рівнянь.
4) Обчислити:
Застосуємо формулу скороченого множення:
(101-1) (101+1)=100102=102000
5) Знайти значення виразу:
Для знаходження значення домножимо кожен дріб на сполучений:
6) Побудувати графік функції:
Виділимо цілу частину: .
Попередження помилок при виконанні тотожних перетворень може бути отримано шляхом варіювання прикладів їх виконання. У цьому випадку відпрацьовуються «дрібні» прийоми, які як складові входять у більш об'ємний процес перетворення.
Наприклад:
Залежно від напрямів рівняння можна розглянути кілька завдань: справа ліворуч множення многочленів; зліва направо -розкладання на множники. Ліва частинакратна одному із співмножників у правій частині і т.д.
Крім варіювання прикладів, можна скористатися проведенням апології між тотожностями та числовими рівностями.
Наступний прийом – пояснення тотожностей.
На підвищення інтересу учнів можна віднести пошук різних методів розв'язання завдань.
Уроки з вивчення тотожних перетворень стануть цікавішими, якщо їх присвятити пошуку розв'язання задачі .
Наприклад: 1) скоротити дріб:
3) довести формулу «складного радикала»
Розглянемо:
Перетворимо праву частину рівності:
-
сума сполучених виразів. Їх можна було б примножити і розділити на сполучений, але така операція приведе нас до дробу, знаменник якого є різниця радикалів.
Зауважимо, що перший доданок у першій частині тотожності є число більше, ніж друге, тому можна звести обидві частини квадрат:
Тема: Тотожні перетворення виразів (методика питання).
Література: ”Практикум з МПМ”, с. 87-93.
Ознакою високої культуриобчислень та тотожних перетворень у учнів є міцні знаннявластивостей та алгоритмів операцій над точними та наближеними величинами та вміле їх застосування; раціональні прийомиобчислень та перетворень та їх перевірка; вміння обґрунтувати застосування прийомів та правил обчислень та перетворень, автоматизм навичок безпомилкового виконання обчислювальних операцій.
З якого класу необхідно розпочати з учнями роботу з вироблення перерахованих навичок?
Лінія тотожних перетворень виразів починається із застосування прийомів раціонального обчисленняпочинається із застосування прийомів раціонального обчислення значень числових виразів. (5 клас)
При вивченні таких тем шкільного курсуматематики треба приділяти їм особливу увагу!
Свідомого виконання учнями тотожних перетворень сприяє розуміння те що, що алгебраїчні висловлювання існують власними силами, а нерозривної зв'язку з деяким числовим безліччю, є узагальненими записами числових выражений. Аналогії між алгебраїчними та числовими виразами(і перетвореннями їх) законні у логічному відношенні, використання їх у навчанні сприяє попередженню помилок у учнів.
Тотожні перетворення не є якоюсь окремою темою шкільного курсу математики, вони вивчаються протягом усього курсу алгебри та почав математичного аналізу.
Програма з математики 1-5 класу є пропедевтичний матеріал вивчення тотожних перетворень висловів зі змінною.
В курсі алгебри 7 кл. вводяться визначення тотожності та тотожних перетворень.
Опр.Два вирази відповідні значення яких дорівнюють при будь-яких значеннях змінних, зв. тотожно рівними.
Опр. Рівність, вірна за будь-яких значеннях змінних, називається тотожністю.
Цінність тотожності у тому, що дозволяє цей вираз замінити іншим, тотожно рівним йому.
Опр.Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом називають тотожним перетвореннямабо просто перетвореннямвирази.
Тотожні перетворення виразів зі змінними виконуються з урахуванням властивостей дій над числами.
Основою тотожних перетворень вважатимуться рівносильні перетворення.
Опр. Дві пропозиції, кожна з яких є логічним наслідком іншої, зв. рівносильними.
Опр. Пропозиція зі змінними А зв. наслідком пропозиції зі змінними В, якщо область істинності є підмножина області істинності А.
Можна дати інше визначення рівносильних речень: дві речення зі змінними рівносильні, якщо їхні сфери істинності збігаються.
а) В: x-1 = 0 над R; А: (x-1) 2 над R = A-B, т.к. області істинності (рішення) збігаються (x=1)
б) А: х = 2 над R; У: х 2 =4 над R => область істинності А: х=2; область істинності: х=-2, х=2; т.к. область істинності А міститься у, то: х 2 =4 наслідок пропозиції х=2.
Основою тотожних перетворень є можливість подання одного й того ж числа різних формах. Наприклад,
-
таке уявлення допоможе щодо теми “основні властивості дробу”.
Навички у виконанні тотожних перетворень починають формуватися при вирішенні прикладів, аналогічних наступному: “Знайти числове значення виразу 2а 3 +3аb+b 2 при а=0,5, b=2/3”, які пропонуються учням у 5 класі та дозволяють здійснити пропедевтику Концепція функція.
Вивчаючи формули скороченого множення, слід приділяти увагу їх глибокому розумінню та міцному засвоєнню. Для цього можна скористатися наступною графічною ілюстрацією:
| |
(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)
Питання: Як пояснити учням суть наведених формул за цими кресленнями?
Поширеною помилкою є змішання виразів "квадрат суми" та "сума квадратів". Вказівка вчителя те що, що це висловлювання різняться порядком дії, не здається істотним, оскільки учні вважають, що це дії виробляються одними й тими самими числами і тому зміни порядку дій результат не змінюється.
Завдання: Складіть усні вправи для вироблення у навичок учнів безпомилкового використання названих формул. Як пояснити, чим схожі ці два вирази і чим вони відрізняються один від одного?
Велика різноманітність тотожних перетворень ускладнює орієнтацію учнів у тому, із метою вони виконуються. Нечітке знання мети виконання перетворень (у кожному конкретному випадку) негативно позначається з їхньої усвідомленні, служить джерелом масових помилокучнів. Це свідчить, що роз'яснення учням цілей виконанні різних тотожних перетворень є важливою складовоюметодики їхнього вивчення.
Приклади мотивувань тотожних перетворень:
1. спрощення знаходження числового значення виразу;
2. вибір перетворення рівняння, що не призводить до втрати кореня;
3. і під час перетворення можна назвати його область обчислень;
4. використання перетворень при обчисленні, наприклад, 992-1=(99-1)(99+1);
Для управління процесом рішення вчителю важливо мати вміння давати точну характеристику сутності допущеної учням помилки. Точна характеристика помилки є ключем до правильному виборунаступних дій, що робляться вчителем.
Приклади помилок учнів:
1. виконуючи множення: учень отримав -54abx 6 (7 кл.);
2. виконуючи зведення в ступінь (3х2) 3 учень отримав 3х6 (7 кл.);
3. перетворюючи (m+n) 2 в многочлен, учень отримав m 2 +n 2 (7 кл.);
4. скорочуючий дріб учень отримав (8 кл.);
5. виконуючи віднімання: 
, учень записує (8 кл.)
6. представляючи дріб у вигляді дробів, учень отримав: 
(8 кл.);
7. витягуючи арифметичний коріньучень отримав х-1 (9кл.);
8. розв'язуючи рівняння (9кл.);
9. Перетворюючи вираз, учень отримує: (9 кл.).
Висновок
Вивчення тотожних перетворень проводиться у зв'язку з числовими множинами, які вивчаються у тому чи іншому класі.
Спочатку слід просити учня пояснювати кожен крок перетворення, сформувати ті правила і закони, які застосовуються.
У тотожних перетвореннях виразів алгебри використовуються два правила: підстановки і заміни рівним. Найчастіше використовується підстановка, т.к. у ньому заснований рахунок за формулами, тобто. визначити значення виразу a*b при a=5 і b=-3. Найчастіше учні нехтують дужками і під час дії множення, вважаючи що знак множення мається на увазі. Наприклад, можливий такий запис: 5*-3.
Література
1. А.І. Азаров, С.А. Барвенов «Функціональний та графічний методивирішення екзаменаційних завдань», Мн.. Аверсев, 2004
2. О.М. Пірютко « Типові помилкина централізоване тестування», Мн.. Аверсев, 2006
3. А.І. Азаров, С.А. Барвенов «Завдання-пастки на централізованому тестуванні», Мн.. Аверсев, 2006
4. А.І. Азаров, С.А. Барвенов «Методи рішення тригонометричних завдань», Мн.. Аверсев, 2005
I. Вирази, в яких поряд з літерами можуть бути використані числа, знаки арифметичних дій та дужки, називаються виразами алгебри.
Приклади виразів алгебри:
2m-n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;
Так як букву в алгебраїчному виразі можна замінити якимись різними числами, то букву називають змінною, а саме вираз алгебри — виразом зі змінною.
ІІ. Якщо в алгебраїчному виразі літери (змінні) замінити їх значеннями та виконати зазначені дії, то отримане в результаті число називається значенням виразу алгебри.
приклади.
1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5.
2) | + | y | -|z| при x = -8; y = -5; z = 6.
Рішення.
1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Замість змінних підставимо їх значення. Отримаємо:
— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.
2) | + | y | -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Підставляємо вказані значення. Пам'ятаємо, що модуль від'ємного числа дорівнює протилежному йому числу, а модуль позитивного числадорівнює самому цьому числу. Отримуємо:
|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.
ІІІ.Значення літери (змінної), у яких алгебраїчне вираз має сенс, називають допустимими значеннями літери (змінної).
приклади. При яких значенняхзмінної вираз
не має сенсу?Рішення.
Ми знаємо, що на нуль ділити не можна, тому кожен з цих виразів не матиме сенсу при тому значенні літери (змінної), яка звертає знаменник дробу в нуль!
У прикладі 1) це значення а = 0. Справді, якщо замість а підставити 0, потрібно буде число 6 ділити на 0, а цього робити не можна. Відповідь: вираз 1) немає сенсу при а = 0.
У прикладі 2) знаменник х - 4 = 0 при х = 4, отже, це значення х = 4 і не можна брати. Відповідь: вираз 2) немає сенсу при х = 4.
У прикладі 3) знаменник х + 2 = 0 за х = -2. Відповідь: вираз 3) немає сенсу при х = -2.
У прикладі 4) знаменник 5-|x| = 0 за |x| = 5. Оскільки |5| = 5 та |-5| = 5, то не можна брати х = 5 та х = -5. Відповідь: вираз 4) немає сенсу при х = -5 і за х = 5. IV.
Два вирази називаються тотожно рівними, якщо за будь-яких допустимих значеннях змінних відповідні значення цих виразів рівні.
Приклад: 5 (a – b) і 5a – 5b теж однакові, оскільки рівність 5 (a – b) = 5a – 5b буде вірним за будь-яких значеннях a і b. Рівність 5 (a – b) = 5a – 5b є тотожністю. Тотожність
– це рівність, справедливе за всіх допустимих значеннях змінних, що входять до нього. Прикладами вже відомих вам тотожностей є, наприклад, властивості додавання та множення, розподільна властивість.
Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом, називають тотожним перетворенням або просто перетворенням виразу. Тотожні перетворення виразів зі змінними виконуються з урахуванням властивостей дій над числами.
приклади. a)
перетворіть вираз у тотожно рівне, використовуючи розподільну властивість множення:
Рішення 1) 10 · (1,2 х + 2,3 у); 2) 1,5 · (a -2b + 4c); 3) a · (6m -2n + k).
. Згадаймо розподільну властивість (закон) множення:(розподільний закон множення щодо додавання: щоб суму двох чисел помножити на третє число, можна кожне доданок помножити на це число та отримані результати скласти).
(а-b)·c=a·с-b·c(розподільний закон множення щодо віднімання: щоб різницю двох чисел помножити на третє число, можна помножити на це число, що зменшується і віднімається окремо і з першого результату відняти другий).
1) 10 · (1,2 х + 2,3у) = 10 · 1,2 х + 10 · 2,3у = 12х + 23у.
2) 1,5 · (a -2b + 4c) = 1,5а -3b + 6c.
3) a · (6m -2n + k) = 6am -2an + ak.
б)перетворіть вираз у тотожно рівне, використовуючи переміщувальне та комбінаційні властивості(закони) складання:
4) х+4,5+2х+6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 с -3 -2,5 -2,3 с.
не має сенсу?Застосуємо закони (властивості) складання:
a+b=b+a(переміщувальний: від перестановки доданків сума не змінюється).
(a+b)+c=a+(b+c)(Сполучний: щоб до суми двох доданків додати третє число, можна до першого числа додати суму другого та третього).
4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.
5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.
6) 6) 5,4 с -3 -2,5 -2,3 с = (5,4 с -2,3 с) + (-3 -2,5) = 3,1 с -5,5.
в)перетворіть вираз у тотожно рівне, використовуючи переміщувальну та поєднувальну властивості (закони) множення:
7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3а · (-3) · 2с.
не має сенсу?Застосуємо закони (властивості) множення:
a b = b a(Перемістковий: від перестановки множників твір не змінюється).
(a·b)·c=a·(b·c)(Сполучний: щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на твір другого та третього).
Тема №2.
Перетворення виразів алгебри
I. Теоретичний матеріал
Основні поняття
Алгебраїчне вираз: ціле, дробове, раціональне, ірраціональне.
Область визначення, допустимі значення виразу.
Значення виразу алгебри.
Одночлен, багаточлен.
Формули скороченого множення.
Розкладання на множники, винесення за дужки загального множника.
Основна властивість дробу.
Ступінь, властивості ступеня.
Кортим, властивості коренів.
Перетворення раціонального та ірраціонального виразів.
Вираз, складений з чисел і змінних за допомогою знаків додавання, віднімання, множення, поділу, зведення в раціональний ступінь, вилучення кореня і за допомогою дужок називається алгебраїчним.
Наприклад: ; 
; 
;
; 
; 
; 
.
Якщо вираз алгебри не містить поділу на змінні і вилучення кореня зі змінних (зокрема, зведення в ступінь з дробовим показником), то воно називається цілим.
Наприклад: 
; 
; 
.
Якщо вираз алгебри складено з чисел і змінних за допомогою дій складання, віднімання, множення, зведення в ступінь з натуральним показникомі поділу, причому використовується розподіл на вирази зі змінними, то воно називається дробовим.
Наприклад: 
; 
.
Цілі та дробові виразиназиваються раціональнимивиразами.
Наприклад: ; 
;
.
Якщо в алгебраїчному виразі використовується вилучення кореня зі змінних (або зведення змінних в дрібний ступінь), то такий алгебраїчний вираз називається ірраціональним.
Наприклад: 
; 
.
Значення змінних, у яких алгебраїчне вираз має сенс, називаються допустимими значеннями змінних.
Безліч всіх допустимих значеньзмінних називається областю визначення.
Області визначення цілого алгебраїчного виразу є безліч дійсних чисел.
Областю визначення дробового алгебраїчного виразу є безліч всіх дійсних чисел, крім тих, які перетворюють знаменник на нуль.
Наприклад: має сенс при 
;
має сенс при 
, тобто при 
.
Областю визначення ірраціонального алгебраїчного виразу є безліч усіх дійсних чисел, крім тих, які звертають до від'ємне числовираз, що стоїть під знаком кореня парного ступеня або під знаком зведення в дрібний ступінь.
Наприклад: 
має сенс при 
;
має сенс при 
, тобто при 
.
Числове значення, Отримане при підстановці в алгебраїчне вираз допустимих значень змінних, називається значенням виразу алгебри.
Наприклад: вираз 
при 
, 
приймає значення 
.
Алгебраїчне вираз, що містить лише числа, натуральні ступеня змінних та їх твори, називається одночлен.
Наприклад: 
; 
; 
.
Одночлен, записаний у вигляді твору числового множника, що стоїть на першому місці, та ступенів різних змінних, наведено стандартного вигляду.
Наприклад: 
; 
.
Числовий множник стандартного запису одночлена називається коефіцієнтом одночлена. Сума показників ступенів усіх змінних називається ступенем одночлена.
При множенні одночлена на одночлен і при зведенні одночлена в натуральний ступіньотримуємо одночлен, який слід привести до стандартного вигляду.
Сума одночленів називається багаточленом.
Наприклад: 
; ; 
.
Якщо всі члени багаточлена записані в стандартному виглядіі виконано приведення подібних членів, то отриманий багаточлен стандартного вигляду.
Наприклад: .
Якщо багаточлен тільки одна змінна, то найбільший показник ступеня цієї змінної називається ступенем багаточлена.
Наприклад: багаточлен має п'ятий ступінь.
Значення змінної, за якої значення многочлена дорівнює нулю, називається корінням багаточлена.
Наприклад: корінням багаточлена 
є числа 1,5 та 2.
Формули скороченого множення
Часткові випадки використання формул скороченого множення
Різниця квадратів: 
або
Квадрат суми: 
або
Квадрат різниці: 
або
Сума кубів: 
або
Різниця кубів: 
або
Куб суми: 
або
Куб різниці: 
або
Перетворення многочлена на твір кількох співмножників (багаточленів чи одночленів) називається розкладанням многочлена на множники.
Наприклад:.
Способи розкладання багаточлена на множники
Наприклад: .
Використання формул скороченого множення.
Наприклад: .
Спосіб угруповання. Переміщувальний та сполучний законидозволяють групувати члени багаточлену у різний спосіб. Один із способів призводить до того, що в дужках виходить однаковий вираз, що у свою чергу виноситься за дужки.
Наприклад:.
Будь-яке дробове вираз алгебри можна записати у вигляді приватного двох раціональних виразів зі змінною в знаменнику.
Наприклад: 
.
Дроб, у якого чисельник і знаменник є раціональними висловлюваннямиі в знаменнику є змінна, називається раціональним дробом.
Наприклад: 
; 
; 
.
Якщо чисельник та знаменник раціонального дробупомножити або розділити на те саме відмінне від нуля число, одночлен або многочлен, то значення дробу не зміниться. Даний виразназивається основною властивістю дробу:
.
Дія поділу чисельника і знаменника дробу на те саме число, називається скороченням дробу:
.
Наприклад: 
; 
.
твір nмножників, кожен з яких дорівнює а,де а- Довільне алгебраїчне вираз або дійсне число, а n – натуральне число, називається ступенема :
.
Алгебраїчний вираз аназивається підставою ступеня, число
n – показником.
Наприклад: 
.
Вважають за визначенням, що для будь-кого а, не рівного нулю:
і 
.
Якщо 
, то 
.
Властивості ступеня
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
Якщо , 
, то вираз, n-я ступінь якого дорівнює а, називається коріннямn
-й ступеня за
. Його прийнято позначати 
. При цьому аназивається підкореним виразом, nназивається показником кореня.
Наприклад: 
; 
; 
.
Властивості кореняn-й ступеня з а
1. 
.
2. 
, 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
Узагальнюючи поняття ступеня та кореня, набувають поняття ступеня з раціональним показником:
.
Зокрема, 
.
Дії, що виробляються з корінням
Наприклад: .
Приклади виконання завдань
Приклад 1. Знайдіть значення дробу 
.
Відповідь: 
.
Приклад 2. Спростіть вираз 
.
Перетворимо вираз у перших дужках:
, якщо 
.
Перетворюємо вираз у других дужках:
.
Розділимо результат із першої дужки на результат із другої дужки:
Відповідь: 
Приклад 3. Спростіть вираз:
.
Приклад 4. Спростіть вираз.
Перетворимо перший дріб:
.
Перетворимо другий дріб:
.
В результаті отримаємо: 
.
Приклад 5.Спростіть вираз 
.
Рішення. Виконаємо рішення щодо дій:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
6) 
;
Відповідь: 
.
Приклад 6.Доведіть тотожність 
.
1) 
;
2) 
;
Приклад 7.Спростіть вираз:
.
Рішення. Виконуємо за діями:
;
2) 
.
Приклад 8.Доведіть тотожність 
.
Рішення. Виконуємо за діями:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Завдання для самостійної роботи
1. Спростіть вираз:
а) 
;
б) 
;
2. Розкладіть на множники:
а) 
;
б) 
;.Документ
Тема№5.1. Тригонометричні рівняння I. ТеоретичнийматеріалОсновні поняття Тригонометричне рівняння... за допомогою різних алгебраїчнихі тригонометричних формулі перетворень. ІІ. Практичний матеріалПриклади виконання завдань...
Теоретичний матеріал для груп екстернату та сесійників Зміст урок 1 інформатика урок 2 інформація
УрокТеоретичнийматеріалдля... , перетворення, передачі та використання. Відомості - це знання, виражені... і накопиченої раніше, тимсамим, сприяючи поступальному... їхній істинності за допомогою алгебраїчнихметодів. Висловлювання та висловлювальні...
Тема «Розробка програми курсу щодо вибору в рамках передпрофільної підготовки» Виконала
Документ... Теоретичнеобґрунтування проекту Червень-серпень 2005 3. Відбір матеріалу... показується застосування визначення модуля при перетворенніалгебраїчнихвиразів. Модуль у рівняннях: - ... мотивацію учня, сприяючи тимсамим, внутрішньопрофільним...
... Тема 1. Тотожні перетворенняалгебраїчнихвиразів Тема 2. Алгебраїчні теоретичнийматеріал
І до кондаурова обрані глави теорії та методики навчання математики; додаткова математична освіта школярів
Навчально-методичний посібник... Тема 1. Тотожні перетворенняалгебраїчнихвиразів(В тому числі з використанням підстановок, поняття модуля числа). Тема 2. Алгебраїчні... освітян. Дистанційні лекції – це теоретичнийматеріал, який може бути представлений в...