З безлічі дробів, що зустрічаються в арифметиці, на окрему увагу заслуговують такі, у яких у знаменнику стоїть 10, 100, 1000 - загалом, будь-який ступінь десятки. У цих дробів є спеціальна назва та форма запису.
Десятковий дріб - це будь-який числовий дріб, у знаменнику якого стоїть ступінь десятки.
Приклади десяткових дробів:
Навіщо взагалі потрібно виділяти такі дроби? Чому їм потрібна власна форма записи? На це є як мінімум три причини:
- Десяткові дроби набагато зручніше порівнювати. Згадайте: для порівняння звичайних дробів їх потрібно відняти один від одного і, зокрема, привести дроби до спільного знаменника. У десяткових дробах нічого подібного не потрібно;
- Скорочення обчислень. Десяткові дроби складаються і множаться за власними правилами, і після невеликого тренування ви працюватимете з ними набагато швидше, ніж зі звичайними;
- Зручність запису. На відміну від звичайних дробів, десяткові записуються в один рядок без наочності.
Більшість калькуляторів також дають відповіді саме у десяткових дробах. Інший формат запису може призвести до проблем. Наприклад, якщо вимагати в магазині здачу в розмірі 2/3 рубля:)
Правила запису десяткових дробів
Основна перевага десяткових дробів - зручний та наочний запис. А саме:
Десятковий запис - це форма запису десяткових дробів, де ціла частина відокремлюється від дробової за допомогою звичайної точки або коми. При цьому сам роздільник (крапка або кома) називається десятковою точкою.
Наприклад, 0,3 (читається: "нуль цілих, 3 десятих"); 7,25 (7 цілих, 25 сотих); 3,049 (3 цілих, 49 тисячних). Усі приклади взято з попереднього визначення.
На листі як десяткова точка зазвичай використовується кома. Тут і далі на всьому сайті теж буде використовуватися саме кома.
Щоб записати довільний десятковий дріб у зазначеній формі, треба виконати три простих кроки:
- Виписати окремо чисельник;
- Зрушити десяткову точку вліво на стільки знаків, скільки нулів містить знаменник. Вважати, що спочатку десяткова точка стоїть праворуч від усіх цифр;
- Якщо десяткова точка зрушила, а після неї наприкінці запису залишилися нулі, їх треба закреслити.
Буває, що на другому кроці у чисельника не вистачає цифр для завершення зсуву. У цьому випадку відсутні позиції заповнюються нулями. Та й взагалі, ліворуч від будь-якого числа можна без шкоди здоров'ю приписувати будь-яку кількість нулів. Це негарно, але іноді корисно.
На перший погляд, цей алгоритм може здатися досить складним. Насправді все дуже і дуже просто – треба лише трохи потренуватись. Погляньте на приклади:
Завдання. Для кожного дробу вкажіть його десятковий запис:
Чисельник першого дробу: 73. Зсуваємо десяткову точку на один знак (бо в знаменнику стоїть 10) - отримуємо 7,3.
Чисельник другого дробу: 9. Зсуваємо десяткову точку на два знаки (бо в знаменнику стоїть 100) - отримуємо 0,09. Довелося дописати один нуль після десяткової точки і ще один перед нею, щоб не залишати дивний запис виду «,09».
Чисельник третього дробу: 10029. Зсуваємо десяткову точку на три знаки (бо в знаменнику коштує 1000) - отримаємо 10,029.
Чисельник останнього дробу: 10500. Знову зрушуємо крапку на три знаки – отримаємо 10,500. Наприкінці числа утворилися зайві нулі. Закреслюємо їх – отримуємо 10,5.
Зверніть увагу на два останні приклади: числа 10,029 та 10,5. Згідно з правилами, нулі праворуч треба закреслити, як це зроблено в останньому прикладі. Однак у жодному разі не можна чинити так з нулями, що стоять усередині числа (які оточені іншими цифрами). Саме тому ми отримали 10,029 та 10,5, а не 1,29 та 1,5.
Отже, з визначенням та формою запису десяткових дробів розібралися. Тепер з'ясуємо, як переводити звичайні дроби до десяткових - і навпаки.
Перехід від звичайних дробів до десяткових
Розглянемо простий числовий дріб виду a/b. Можна скористатися основною властивістю дробу та помножити чисельник і знаменник на таке число, щоб унизу вийшла ступінь десятки. Але перш, ніж це робити, прочитайте таке:
Існують знаменники, які не наводяться до ступеня десятки. Вчитеся розпізнавати такі дроби, тому що з ними не можна працювати за алгоритмом, описаним нижче.
Ось такі справи. Ну і як зрозуміти, наводиться знаменник до ступеня десятки чи ні?
Відповідь проста: розкладіть знаменник на прості множники. Якщо в розкладанні присутні лише множники 2 та 5, це число можна призвести до ступеня десятки. Якщо знайдуться інші числа (3, 7, 11 – будь-що), про ступінь десятки можна забути.
Завдання. Перевірити, чи можна подати зазначені дроби у вигляді десяткових:
Випишемо і розкладемо на множники знаменники цих дробів:
20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - присутні тільки числа 2 і 5. Отже, дріб можна подати у вигляді десяткового.
12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - є «заборонений» множник 3. Дроб не представима у вигляді десяткового.
640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Все в порядку: крім чисел 2 і 5 нічого немає. Дроб представна у вигляді десяткового.
48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Знову «сплив» множник 3. Уявити у вигляді десяткового дробу не можна.
Отже, зі знаменником розібралися – тепер розглянемо весь алгоритм переходу до десяткових дробів:
- Розкласти знаменник вихідного дробу на множники і переконатися, що він взагалі уявний у вигляді десяткового. Тобто. перевірити, щоб у розкладанні були присутні лише множники 2 та 5. Інакше алгоритм не працює;
- Порахувати, скільки двійок і п'ятірок є у розкладанні (інших чисел там уже не буде, пам'ятаєте?). Підібрати такий додатковий множник, щоб кількість двійок та п'ятірок зрівнялася.
- Власне, помножити чисельник і знаменник вихідного дробу цей множник - отримаємо шукане уявлення, тобто. у знаменнику стоятиме ступінь десятки.
Зрозуміло, додатковий множник теж розкладатиметься тільки на двійки та п'ятірки. При цьому, щоб не ускладнювати собі життя, слід вибирати найменший такий множник із усіх можливих.
І ще: якщо у вихідному дробі є ціла частина, обов'язково переведіть цей дріб у неправильний - і тільки потім застосовуйте описаний алгоритм.
Завдання. Перевести ці числові дроби в десяткові:
Розкладемо на множники знаменник першого дробу: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Отже, дріб представний у вигляді десяткового. У розкладанні є дві двійки і жодної п'ятірки, тому додатковий множник дорівнює 5 2 = 25. З ним кількість двійок і п'ятірок зрівняється. Маємо:
Тепер розберемося з другим дробом. Для цього зауважимо, що 24 = 3 · 8 = 3 · 2 3 - у розкладанні присутня трійка, тому дріб не уявний у вигляді десяткового.
Два останні дроби мають знаменники 5 (просте число) і 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 відповідно - скрізь присутні лише двійки та п'ятірки. При цьому в першому випадку "для повного щастя" не вистачає множника 2, а в другому - 5. Отримуємо:
Перехід від десяткових дробів до звичайних
Зворотне перетворення – від десяткової форми запису до звичайної – виконується набагато простіше. Тут немає обмежень і спеціальних перевірок, тому перевести десятковий дріб у класичний «двоповерховий» можна завжди.
Алгоритм перекладу наступний:
- Закресліть всі нулі, що стоять у десятковому дробі зліва, а також десяткову точку. Це буде чисельник шуканого дробу. Головне - не перестарайтеся та не закресліть внутрішні нулі, оточені іншими цифрами;
- Підрахуйте, скільки знаків коштує у вихідному десятковому дробі після коми. Візьміть цифру 1 і припишіть праворуч стільки нулів, скільки знаків ви нарахували. Це буде знаменник;
- Власне, запишіть дріб, чисельник і знаменник якого ми щойно знайшли. По можливості скоротите. Якщо у вихідному дробі була ціла частина, зараз ми отримаємо неправильний дріб, що дуже зручно для подальших обчислень.
Завдання. Перевести десяткові дроби у звичайні: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.
Закреслимо нулі зліва і коми - отримаємо такі числа (це будуть чисельники): 8; 3107; 225; 72008.
У першому і в другому дробах після коми стоїть по 3 знаки, у другій - 2, а в третій - цілих 4 знаки. Отримаємо знаменники: 1000; 1000; 100; 10 000.
Нарешті, об'єднаємо чисельники та знаменники у звичайні дроби:
Як видно з прикладів, отриманий дріб дуже часто можна скоротити. Ще раз зазначу, що будь-який десятковий дріб представний у вигляді звичайного. Зворотне перетворення можна здійснити не завжди.
Тема: Десяткові дроби. Додавання та віднімання десяткових дробів
Урок: Десятковий запис дробових чисел
Знаменник дробу може бути виражений будь-яким натуральним числом. Дробові числа, у яких знаменник виражений числом 10; 100; 1000; ..., де n, домовилися записувати без знаменника. Будь-яке дробове число, у знаменнику якого 10; 100; 1000 і т.д. (тобто одиниця з кількома нулями), можна подати у вигляді десяткового запису (у вигляді десяткового дробу). Спочатку пишуть цілу частину, потім чисельник дробової частини, і цілу частину від дробової відокремлюють комою.
Наприклад,
Якщо ціла частина відсутня, тобто. дріб правильний, тоді цілу частину записують у вигляді 0.
Щоб правильно записати десятковий дріб, чисельник дробової частини повинен мати стільки ж знаків, скільки нулів у дробовій частині.
1. Запишіть у вигляді десяткового дробу.
2. Подати десятковий дріб у вигляді дробу чи змішаного числа.
3. Прочитайте десяткові дроби.
12,4 - 12 цілих 4 десятих;
0,3 - 0 цілих 3 десятих;
1,14 - 1 ціла 14 сотих;
2,07 - 2 цілих 7 сотих;
0,06 - 0 цілих 6 сотих;
0,25 - 0 цілих 25 сотих;
1,234 - 1 ціла 234 тисячних;
1,230 - 1 ціла 230 тисячних;
1,034 - 1 ціла 34 тисячних;
1,004 - 1 ціла 4 тисячних;
1,030 - 1 ціла 30 тисячних;
0,010101 - 0 цілих 10101 мільйонних.
4. Перенесіть кому в кожній цифрі на 1 розряд ліворуч і прочитайте числа.
34,1; 310,2; 11,01; 10,507; 2,7; 3,41; 31,02; 1,101; 1,0507; 0,27.
5. Перенесіть кому в кожному з чисел на 1 розряд праворуч і прочитайте число, що вийшло.
1,37; 0,1401; 3,017; 1,7; 350,4; 13,7; 1,401; 30,17; 17; 3504.
6. Виразіть у метрах та сантиметрах.
3,28 м = 3 м +.
7. Виразіть у тоннах та кілограмах.
24,030 т = 24 т.
8. Запишіть у вигляді десяткового дробу частки.
1710: 100 = 
;
64: 10000 = 
803: 100 = 
407: 10 = 
9. Виразіть у дм.
5 дм 6 см = 5 дм + 
;
9 мм = 
Цей матеріал ми присвятимо такій важливій темі, як десяткові дроби. Спочатку визначимося з основними визначеннями, наведемо приклади і зупинимося на правилах десяткового запису, а також на тому, що являють собою розряди десяткових дробів. Далі виділимо основні види: кінцеві та нескінченні, періодичні та неперіодичні дроби. У фінальній частині ми покажемо, як точки, що відповідають дрібним числам, розташовані на осі координат.
Що таке десятковий запис дробових чисел
Так званий десятковий запис дробових чисел може бути використаний як для натуральних, так і для дробових чисел. Вона виглядає як набір із двох і більше цифр, між якими є кома.
Десяткова кома потрібна для того, щоб відокремлювати цілу частину від дробової. Як правило, остання цифра десяткового дробу не буває нулем, за винятком випадків, коли десяткова кома стоїть відразу після першого ж нуля.
Які можна навести приклади дробових чисел у десятковому записі? Це може бути 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11231552, 9 та ін.
У деяких підручниках можна зустріти використання крапки замість коми (5 . 67 , 6789 . 1011 та ін.) Цей варіант вважається рівнозначним, але він більш характерний для англомовних джерел.
Визначення десяткових дробів
Грунтуючись на зазначеному вище понятті десяткового запису, ми можемо сформулювати таке визначення десяткових дробів:
Визначення 1
Десяткові дроби є дробовими числами в десятковому записі.
Навіщо нам потрібна запис дробів у такій формі? Вона дає нам деякі переваги перед звичайними, наприклад, компактніший запис, особливо в тих випадках, коли в знаменнику стоять 1000, 100, 10 та ін або змішане число. Наприклад, замість 6 10 ми можемо вказати 0 , 6 замість 25 10000 - 0 0023 замість 512 3 100 - 512 03 .
Про те, як правильно уявити у десятковому вигляді звичайні дроби з десятками, сотнями, тисячами у знаменнику, буде розказано в рамках окремого матеріалу.
Як правильно читати десяткові дроби
Існують деякі правила читання записів десяткових дробів. Так, ті десяткові дроби, яким відповідають їхні правильні звичайні еквіваленти, читаються майже так само, але з додаванням слів «нуль десятих» на початку. Так, запис 0, 14, якій відповідає 14100, читається як «нуль цілих чотирнадцять сотих».
Якщо ж десяткового дробу можна поставити у відповідність змішане число, то він читається так само, як і це число. Так, якщо ми маємо дріб 56 , 002 , якому відповідає 56 2 1000 , ми читаємо такий запис як «п'ятдесят шість цілих дві тисячні».
Значення цифри в записі десяткового дробу залежить від того, на якому місці він розташований (так само, як і у випадку з натуральними числами). Так, у десятковому дробі 0,7 сімка – це десяті частки, у 0,0007 – десятитисячні, а у дробі 70 000,345 вона означає сім десятків тисяч цілих одиниць. Таким чином, у десяткових дробах також існує поняття розряду числа.
Назви розрядів, розташованих до коми, аналогічні тим, що існують у натуральних числах. Назви тих, що розташовані після наочно представлені в таблиці:
Розберемо приклад.
Приклад 1
У нас є десятковий дріб 43 , 098 . У неї в розряді десятків знаходиться четвірка, в розряді одиниць трійка, в розряді десятих - нуль, сотих - 9 тисячних - 8 .
Прийнято розрізняти розряди десяткових дробів за старшинством. Якщо ми рухаємося за цифрами зліва направо, то йтимемо від старших розрядів до молодших. Виходить, що сотні старші за десятки, а мільйонні частки молодші, ніж соті. Якщо взяти той кінцевий десятковий дріб, який ми наводили як приклад вище, то в ньому старшим або вищим буде розряд сотень, а молодшим або нижчим - розряд 10-тисячних.
Будь-який десятковий дріб можна розкласти за окремими розрядами, тобто подати у вигляді суми. Ця дія виконується так само, як і для натуральних чисел.
Приклад 2
Спробуємо розкласти дріб 56,0455 за розрядами.
У нас вийде:
56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005
Якщо ми згадаємо властивості додавання, то зможемо уявити цей дріб і в інших видах, наприклад, як суму 56 + 0, 0455, або 56, 0055 + 0, 4 та ін.
Що таке кінцеві десяткові дроби
Усі дроби, про які ми говорили вище, є кінцевими десятковими дробами. Це означає, що кількість цифр, розташована у них після коми, є кінцевою. Виведемо визначення:
Визначення 1
Кінцеві десяткові дроби є видом десяткових дробів, у яких після знака комою стоїть кінцева кількість знаків.
Прикладами таких дробів можуть бути 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49 та ін.
Будь-який із цих дробів можна перевести або в змішане число (якщо значення їх дробової частини відрізняється від нуля), або в звичайний дріб (при нульовій цілій частині). Тому, як це робиться, ми присвятили окремий матеріал. Тут просто вкажемо пару прикладів: так, кінцевий десятковий дріб 5 , 63 ми можемо привести до вигляду 5 63 100 , а 0 , 2 відповідає 2 10 (або будь-який інший рівний їй дріб, наприклад, 4 20 або 1 5 .)
Але зворотний процес, тобто. запис звичайного дробу в десятковому вигляді може бути виконаний не завжди. Так, 5 13 не можна замінити на рівний дріб із знаменником 100 , 10 та ін., отже, кінцевий десятковий дріб з нього не вийде.
Основні види нескінченних десяткових дробів: періодичні та неперіодичні дроби
Ми вказували вище, що кінцеві дроби називаються так тому, що після коми у них стоїть кінцева кількість цифр. Однак воно цілком може бути і нескінченним, і в цьому випадку самі дроби також будуть називатися нескінченними.
Визначення 2
Нескінченними десятковими дробами називаються такі, у яких після коми стоїть безліч цифр.
Очевидно, що повністю такі числа записані бути просто не можуть, тому ми вказуємо лише частину з них і далі ставимо крапку. Це знак говорить про нескінченне продовження послідовності знаків після коми. Прикладами нескінченних десяткових дробів може бути 0 , 143346732 … , 3 , 1415989032 … , 153 , 0245005 … , 2 , 666666666666 … , 69 , 74876815 і т.д.
У «хвості» такого дробу можуть стояти як випадкові здавалося б послідовності цифр, але постійне повторення однієї й тієї ж знака чи групи знаків. Дроби із чергуванням після десяткової коми називаються періодичними.
Визначення 3
Періодичними десятковими дробами називаються такі нескінченні десяткові дроби, у яких після коми повторюється одна чи група з кількох цифр. Частина, що повторюється, називається періодом дробу.
Наприклад, для дробу 3 444444 … . періодом буде цифра 4 , а для 76 , 134134134134 ... - Група 134 .
Яку ж мінімальну кількість знаків можна залишити в записі періодичного дробу? Для періодичних дробів достатньо записати весь період один раз у круглих дужках. Так, дріб 3, 444444 … . правильно буде записати як 3, (4), а 76, 134134134134 … - як 76, (134).
У цілому нині записи з кількома періодами в дужках матимуть такий самий сенс: наприклад, періодичний дріб 0 , 677777 – те саме, що 0 , 6 (7) і 0 , 6 (77) тощо. Також допустимі записи виду 0, 67777 (7), 0, 67 (7777) та ін.
Щоб уникнути помилок, введемо одноманітність позначень. Умовимося записувати лише один період (максимально коротку послідовність цифр), який стоїть ближче до десяткової коми, і укладати його в круглі дужки.
Тобто для зазначеного вище дробу основний вважатимемо запис 0 , 6 (7) , а, наприклад, у випадку з дробом 8 , 9134343434 будемо писати 8 , 91 (34) .
Якщо знаменник звичайного дробу містить прості множники, не рівні 5 і 2 то при перекладі в десятковий запис з них вийдуть нескінченні дроби.
В принципі, будь-який кінцевий дріб ми можемо записати у вигляді періодичного. Для цього нам просто потрібно додати праворуч нескінченно багато нулів. Як це виглядає у записі? Припустимо, ми маємо кінцевий дріб 45 , 32 . У періодичному вигляді вона виглядатиме як 45, 32 (0). Ця дія можлива тому, що додавання нулів праворуч у будь-який десятковий дріб дає нам в результаті рівний їй дріб.
Окремо слід зупинитися на періодичних дробах з періодом 9, наприклад, 4, 89 (9), 31, 6 (9). Вони є альтернативним записом подібних дробів з періодом 0 тому їх часто замінюють при листі саме дробами з нульовим періодом. При цьому значення наступного розряду додають одиницю, а в круглих дужках вказують (0) . Рівність чисел легко перевірити, представивши їх у вигляді звичайних дробів.
Наприклад, дріб 8, 31 (9) можна замінити на відповідний їй дріб 8, 32 (0). Або 4, (9) = 5, (0) = 5.
Нескінченні десяткові періодичні дроби відносяться до раціональних чисел. Інакше кажучи, будь-який періодичний дріб можна подати у вигляді звичайного, і навпаки.
Існують і дроби, у яких після коми послідовність, що нескінченно повторюється, відсутня. У такому разі їх називають неперіодичними дробами.
Визначення 4
До неперіодичним десятковим дробам ставляться ті нескінченні десяткові дроби, у яких після коми немає періоду, тобто. повторюваної групи цифр.
Іноді неперіодичні дроби виглядають дуже схожими на періодичні. Наприклад, 9 , 03003000300003 … на перший погляд здається має період, проте докладний аналіз знаків після коми підтверджує, що це все ж таки неперіодична дріб. З такими числами треба бути дуже уважним.
Неперіодичні дроби відносяться до ірраціональних чисел. У прості дроби їх не переводять.
Основні дії з десятковими дробами
З десятковими дробами можна робити такі дії: порівняння, віднімання, додавання, розподіл і множення. Розберемо кожне з них окремо.
Порівняння десяткових дробів може бути зведене до порівняння звичайних дробів, які відповідають вихідним десятковим. Але нескінченні неперіодичні дроби звести до такого виду не можна, а переведення десяткових дробів у звичайні найчастіше є трудомістким завданням. Як же швидко зробити дію порівняння, якщо нам потрібно зробити це під час вирішення завдання? Зручно порівнювати десяткові дроби за розрядами так само, як ми порівнюємо натуральні числа. Цьому методу ми присвятимо окрему статтю.
Щоб складати десяткові дроби з іншими, зручно використовувати метод складання стовпчиком, як для натуральних чисел. Щоб складати періодичні десяткові дроби, необхідно попередньо замінити їх звичайними і рахувати за стандартною схемою. Якщо ж за умовами завдання нам треба скласти нескінченні неперіодичні дроби, то перед цим треба округлити їх до деякого розряду, а потім уже складати. Чим менший розряд, до якого ми округляємо, тим вищою буде точність обчислення. Для віднімання, множення та поділу нескінченних дробів попереднє округлення також необхідне.
Знаходження різниці десяткових дробів назад до дії додавання. По суті, за допомогою віднімання ми можемо знайти таке число, сума якого з дробом, що віднімається, дасть нам зменшувану. Докладніше про це розповімо в рамках окремого матеріалу.
Множення десяткових дробів проводиться так само, як і для натуральних чисел. І тому теж підходить метод обчислення стовпчиком. Цю дію з періодичними дробами ми знову ж таки зводимо до множення звичайних дробів за вже вивченими правилами. Нескінченні дроби, як ми пам'ятаємо, треба округлити перед підрахунками.
Процес поділу десяткових дробів є зворотним процесом множення. Під час вирішення завдань ми також користуємося підрахунками в стовпчик.
Можна встановити точну відповідність між кінцевим десятковим дробом і точкою на осі координат. З'ясуємо, як відзначити точку на осі, яка точно відповідатиме необхідному десятковому дробу.
Ми вже вивчали, як побудувати точки, що відповідають звичайним дробам, а десяткові дроби можна привести до такого виду. Наприклад, звичайний дріб 14 10 – це те саме, що і 1 , 4 , тому відповідна їй точка буде віддалена від початку відліку в позитивному напрямку рівно на таку ж відстань:
Можна обійтися без заміни десяткового дробу на звичайну, а взяти на основу спосіб розкладання по розрядах. Так, якщо нам треба відзначити точку, координата якої дорівнюватиме 15 , 4008 , то ми попередньо представимо це число у вигляді суми 15 + 0 , 4 + , 0008 . Для початку відкладемо від початку відліку 15 цілих одиничних відрізків у позитивному напрямку, потім 4 десятих частки одного відрізка, а потім 8 десятитисячних часток одного відрізка. У результаті отримаємо точку координат, якій відповідає дріб 15 , 4008 .
Для нескінченного десяткового дробу краще користуватися саме цим способом, оскільки він дозволяє наблизитися до потрібної точки як завгодно близько. У деяких випадках можна побудувати і точну відповідність нескінченного дробу на осі координат: так, 2 = 1,41421. . . , і з цим дробом може бути співвіднесена точка на координатному промені, віддалена від 0 на довжину діагоналі квадрата, сторона якого дорівнюватиме одному одиничному відрізку.
Якщо ми знаходимо не точку на осі, а десятковий дріб, що відповідає їй, то ця дія називається десятковим виміром відрізка. Подивимося, як це зробити.
Припустимо, нам потрібно потрапити від нуля в задану точку на осі координат (або максимально наблизитись у випадку з нескінченним дробом). Для цього ми поступово відкладаємо поодинокі відрізки від початку координат, доки не потрапимо в потрібну точку. Після цілих відрізків при необхідності відміряємо десяті, соті та дрібніші частки, щоб відповідність була максимально точною. У результаті ми отримали десятковий дріб, який відповідає заданій точці на осі координат.
Вище ми наводили малюнок з точкою M. Подивіться на нього ще раз: щоб потрапити в цю точку, потрібно відміряти від нуля один одиничний відрізок і чотири десяті частки від нього, оскільки цій точці відповідає десятковий дріб 1 , 4 .
Якщо ми не можемо потрапити в крапку в процесі десяткового виміру, то означає, що їй відповідає нескінченний десятковий дріб.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Звичайний дріб (або змішане число), у якого знаменник є одиницею з одним або більше нулями (тобто 10, 100, 1000 і т. д.):
можна записати в простішій формі: без знаменника, розділяючи цілу і дробову частини один від одного комою (при цьому вважають, що ціла частина правильного дробу дорівнює 0). Спочатку записується ціла частина, потім ставиться кома, і після неї записується дробова частина.
Записані у такій формі звичайні дроби (або змішані числа) називаються десятковими дробами.
Читання та запис десяткових дробів
Десяткові дроби записують за тими самими правилами, якими записують натуральні числа в десятковій системі числення. Це означає, що в десяткових дробах, як і в натуральних числах, кожна цифра виражає одиниці, які в десять разів більші за сусідні одиниці, що стоять праворуч.
Розглянемо наступний запис:
Цифра 8 означає прості одиниці. Цифра 3 означає одиниці, у 10 разів менші, ніж прості одиниці, тобто десяті частки. 4 означає соті частки, 2 - тисячні і т.д.
Цифри, які стоять праворуч після коми, називаються десятковими знаками.
Читаються десяткові дроби так: спочатку називається ціла частина, потім – дробова. При читанні цілої частини вона завжди повинна відповідати на запитання: скільки цілих одиниць міститься в цілій частині? . До відповіді додають слово цілих (або ціла), залежно кількості цілих одиниць. Наприклад, одна ціла, дві цілих, три цілих і т. д. При читанні дробової частини називається кількість часток і в кінці додають назву тих часток, якими дробова частина закінчується:
3,1 читається так: три цілих одна десята.
2,017 читається так: дві аж сімнадцять тисячних.
Щоб краще зрозуміти правила запису та читання десяткових дробів, розглянемо таблицю розрядів та наведені в ній приклади запису чисел:
Зверніть увагу, після коми в записі десяткового дробу виходить стільки цифр, скільки нулів містить знаменник відповідного їй звичайного дробу:
Десятковий дріб відрізняється від звичайного дробу тим, що знаменник у нього - це розрядна одиниця.
Наприклад:
Десяткові дроби виділені із звичайних дробів в окремий вигляд, що призвело до власних правил порівняння, додавання, віднімання, множення та поділу цих дробів. В принципі, з десятковими дробами можна працювати і за правилами звичайних дробів. Власні правила перетворення десяткових дробів спрощують обчислення, а правила перетворення звичайних дробів на десяткові, і навпаки, є зв'язкою між цими видами дробу.
Запис та читання десяткових дробів дозволяє їх записувати, порівнювати та робити дії над ними за правилами, дуже схожими на правила дій з натуральними числами.
Вперше система десяткових дробів та дій над ними була викладена у XV ст. самаркандським математиком та астрономом Джемшид ібн-Масудаль-Каші у книзі «Ключ до мистецтва рахунку».
Ціла частина десяткового дробу відокремлена від дробової частини комою, у деяких країнах (США) ставлять крапку. Якщо десяткового дробу немає цілої частини, то перед комою ставлять число 0.
До дробової частини десяткового дробу праворуч можна дописувати будь-яку кількість нулів, це величину дробу не змінює. Дробна частина десяткового дробу читається за останнім значним розрядом.
Наприклад:
0,3 - три десятих
0,75 - сімдесят п'ять сотих
0,000005 – п'ять мільйонних.
Читання цілої частини десяткового дробу таке саме, як і натуральних чисел.
Наприклад:
27,5 - двадцять сім...;
1,57 - одна...
Після цілої частини десяткового дробу вимовляється слово "цілих".
Наприклад:
10.7 - десять цілих сім десятих
0,67 - нуль цілих шістдесят сім сотих.
Десяткові знаки – це цифри дробової частини. Дробна частина читається за розрядами (на відміну натуральних чисел), а цілком, тому дробова частина десяткового дробу визначається останнім праворуч значним розрядом. Розрядна система дробової частини десяткового дробу дещо інша, ніж у натуральних чисел.
- 1-й розряд після зайнятої - розряд десятих
- 2-й розряд після коми - розряд сотих
- 3-й розряд після коми - розряд тисячних
- 4-й розряд після коми - розряд десятитисячних
- 5-й розряд після коми - розряд стотисячних
- 6-й розряд після коми - розряд мільйонних
- 7-й розряд після коми - розряд десятимільйонних
- 8-й розряд після коми - розряд стомільйонних
У обчисленнях найчастіше використовуються перші три розряди. Велика розрядність дробової частини десяткових дробів використовується лише у специфічних галузях знань, де обчислюються нескінченно малі величини.
Переведення десяткового дробу в змішаний дрібскладається н наступному: число, що стоїть до коми записати цілою частиною змішаного дробу; число, що стоїть після коми - чисельником її дробової частини, а знаменнику дробової частини записати одиницю зі стількими нулями, скільки цифр коштує після коми.