Настав час розібрати способи вилучення коренів. Вони базуються на властивостях коренів, зокрема, на рівність, яка справедлива для будь-якого невід'ємного числа b.
Нижче по черзі розглянемо основні способи вилучення коренів.
Почнемо з найпростішого випадку – із вилучення коренів із натуральних чисел із використанням таблиці квадратів, таблиці кубів тощо.
Якщо ж таблиці квадратів, кубів тощо. немає під руками, то логічно скористатися способом вилучення кореня, який має на увазі розкладання підкореного числа на прості множники.
Окремо варто зупинитися на те, що можливо для коріння з непарними показниками.
Нарешті розглянемо спосіб, що дозволяє послідовно знаходити розряди значення кореня.
Приступимо.
Використання таблиці квадратів, таблиці кубів тощо.
У найпростіших випадках добувати коріння дозволяють таблиці квадратів, кубів і т.д. Що ж є ці таблиці?
Таблиця квадратів цілих чисел від 0 до 99 включно (вона показана нижче) і двох зон. Перша зона таблиці розташовується на сірому фоні, вона за допомогою вибору певного рядка і стовпця дозволяє скласти число від 0 до 99 . Наприклад виберемо рядок 8 десятків і стовпець 3 одиниці, цим зафіксували число 83 . Друга зона займає частину таблиці, що залишилася. Кожна її комірка знаходиться на перетині певного рядка та певного стовпця, і містить квадрат відповідного числа від 0 до 99 . На перетині вибраного нами рядка 8 десятків і стовпця 3 одиниці знаходиться осередок з числом 6889 , яке є квадратом числа 83 .
Таблиці кубів, таблиці четвертих ступенів чисел від 0 до 99 тощо аналогічні таблиці квадратів, лише вони у другій зоні містять куби, четверті ступеня тощо. відповідних чисел.
Таблиці квадратів, кубів, четвертих ступенів тощо. дозволяють витягувати квадратне коріння, кубічне коріння, коріння четвертого ступеня і т.д. відповідно з чисел, що у цих таблицях. Пояснимо принцип їх застосування під час вилучення коренів.
Припустимо, нам потрібно витягти корінь n-ого ступеня з числа a, при цьому число a міститься в таблиці n-их ступенів. По цій таблиці знаходимо число b таке, що a = b n. Тоді 
, Отже, число b буде шуканим коренем n-го ступеня.
Як приклад покажемо, як з допомогою таблиці кубів витягується кубічний корінь з 19683 . Знаходимо число 19683 в таблиці кубів, з неї знаходимо, що це число є кубом числа 27 , отже, 
.
Зрозуміло, що таблиці n -их ступенів дуже зручні при витягуванні коріння. Однак їх часто не виявляється під руками, а їх складання потребує певного часу. Більше того, часто доводиться витягувати коріння з чисел, які не містяться у відповідних таблицях. У цих випадках доводиться вдаватися до інших методів коріння.
Розкладання підкореного числа на прості множники
Досить зручним способом, що дозволяє провести вилучення кореня з натурального числа (якщо звичайно корінь витягується), є розкладання підкореного числа на прості множники. Його суть полягає в наступному: після його досить легко подати у вигляді ступеня з потрібним показником, що дозволяє отримати значення кореня. Пояснимо цей момент.
Нехай з натурального числа a витягується корінь n-го ступеня, і його значення дорівнює b. І тут правильна рівність a=b n . Число b як будь-яке натуральне число можна представити у вигляді добутку всіх своїх простих множників p 1 , p 2 , …, p m у вигляді p 1 2 · ... · p m) n . Так як розкладання числа на прості множники єдино, то розкладання підкореного числа a на прості множники буде мати вигляд (p 1 p 2 pm) n , що дає можливість обчислити значення кореня як .
Зауважимо, що й розкладання на прості множники підкореного числа a може бути представлено як (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , то корінь n -ой ступеня з такого числа a націло не витягується.
Розберемося з цим під час вирішення прикладів.
приклад.
Вийміть квадратний корінь із 144 .
Рішення.
Якщо звернутися до таблиці квадратів, даної в попередньому пункті, то видно, що 144=12 2 , звідки зрозуміло, що квадратний корінь зі 144 дорівнює 12 .
Але у світлі даного пункту нас цікавить, як витягується корінь за допомогою розкладання підкореного числа 144 на прості множники. Розберемо цей спосіб розв'язання.
Розкладемо 144 на прості множники:
Тобто, 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 . На підставі отриманого розкладання можна провести такі перетворення: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = (2 · 2) 2 · 3 2 = (2 · 2 · 3) 2 = 12 2. Отже, 
.
Використовуючи властивості ступеня і коріння , рішення можна було оформити і трохи інакше: .
Відповідь:
Для закріплення матеріалу розглянемо рішення ще двох прикладів.
приклад.
Обчисліть значення кореня.
Рішення.
Розкладання на прості множники підкореного числа 243 має вигляд 243 = 35. Таким чином, 
.
Відповідь:
приклад.
Чи є значення кореня цілим числом?
Рішення.
Щоб відповісти на це питання, розкладемо підкорене число на прості множники і подивимося, чи представимо воно у вигляді куба цілого числа.
Маємо 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2 . Отримане розкладання не представляється як куба цілого числа, оскільки ступінь простого множника 7 не кратна трьом. Отже, кубічний корінь із числа 285768 не витягується націло.
Відповідь:
Ні.
Вилучення коренів із дробових чисел
Настав час розібратися, як витягується корінь із дробового числа. Нехай дробове підкорене число записане як p/q . Відповідно до властивості кореня з частки справедлива наступна рівність. З цієї рівності випливає правило вилучення кореня з дробу: корінь із дробу дорівнює частці від поділу кореня з чисельника на корінь із знаменника.
Розберемо приклад вилучення кореня із дробу.
приклад.
Чому дорівнює квадратний корінь зі звичайного дробу 25/169?
Рішення.
За таблицею квадратів знаходимо, що квадратний корінь із чисельника вихідного дробу дорівнює 5 , а квадратний корінь із знаменника дорівнює 13 . Тоді 
. На цьому витяг кореня зі звичайного дробу 25/169 завершено.
Відповідь:
Корінь із десяткового дробу чи змішаного числа витягується після заміни підкорених чисел звичайними дробами.
приклад.
Вийміть кубічний корінь із десяткового дробу 474,552 .
Рішення.
Представимо вихідний десятковий дріб у вигляді звичайного дробу: 474,552 = 474552/1000. Тоді 
. Залишилося витягти кубічні корені, що знаходяться в чисельнику і знаменнику отриманого дробу. Бо 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2·3·13) 3 =78 3 і 1000=10 3 то 
і 
. Залишилося лише завершити обчислення 
.
Відповідь:
.
Вилучення кореня з негативного числа
Окремо варто зупинитися на добуванні коріння з негативних чисел. При вивченні коренів сказали, що коли показник кореня є непарним числом, то під знаком кореня може бути негативне число. Таким записам ми надали наступного змісту: для негативного числа −a та непарного показника кореня 2·n−1 справедливо 
. Ця рівність дає правило вилучення коренів непарного ступеня з негативних чисел: щоб витягти корінь із негативного числа потрібно витягти корінь із протилежного йому позитивного числа, і перед отриманим результатом поставити знак мінус.
Розглянемо рішення прикладу.
приклад.
Знайдіть значення кореня.
Рішення.
Перетворимо вихідний вираз, щоб під знаком кореня виявилося позитивне число: 
. Тепер змішане число замінимо звичайним дробом: 
. Застосовуємо правило вилучення кореня зі звичайного дробу: 
. Залишилося обчислити коріння в чисельнику та знаменнику отриманого дробу: 
.
Наведемо короткий запис рішення: 
.
Відповідь:
.
Поразрядне знаходження значення кореня
У загальному випадку під коренем знаходиться число, яке за допомогою розібраних вище прийомів не вдається подати у вигляді n-ого ступеня якогось числа. Але при цьому буває необхідність знати значення цього кореня, хоча б з точністю до певного знака. У цьому випадку для отримання кореня можна скористатися алгоритмом, який дозволяє послідовно отримати достатню кількість значень розрядів шуканого числа.
На першому етапі даного алгоритму необхідно з'ясувати, який старший розряд значення кореня. Для цього послідовно зводяться в ступінь n числа 0, 10, 100, ... до того моменту, коли буде отримано число, що перевищує підкорене число. Тоді число, яке ми зводили на ступінь n на попередньому етапі, вкаже відповідний старший розряд.
Наприклад розглянемо цей крок алгоритму під час вилучення квадратного кореня з п'яти. Беремо числа 0, 10, 100, … і зводимо їх у квадрат, доки отримаємо число, що перевищує 5 . Маємо 02 = 0<5 , 10 2 =100>5 , Отже, старшим розрядом буде розряд одиниць. Значення цього розряду, а також молодших, буде знайдено на наступних кроках алгоритму вилучення кореня.
Всі наступні кроки алгоритму мають на меті послідовне уточнення значення кореня за рахунок того, що знаходяться значення наступних розрядів шуканого значення кореня, починаючи зі старшого та просуваючись до молодших. Наприклад, значення кореня першому кроці виходить 2 , другому – 2,2 , третьому – 2,23 , тощо 2,236067977… . Опишемо, як відбувається знаходження значень розрядів.
Знаходження розрядів проводиться з допомогою перебору їх можливих значень 0, 1, 2, …, 9 . При цьому паралельно обчислюються n -і ступені відповідних чисел, і вони порівнюються з підкореним числом. Якщо на якомусь етапі значення ступеня перевершить підкорене число, то значення розряду, що відповідає попередньому значенню, вважається знайденим, і здійснюється перехід до наступного кроку алгоритму вилучення кореня, якщо цього не відбувається, то значення цього розряду дорівнює 9 .
Пояснимо ці моменти на тому ж прикладі вилучення квадратного кореня з п'яти.
Спочатку знаходимо значення розряду одиниць. Перебиратимемо значення 0, 1, 2, …, 9 , обчислюючи відповідно 0 2 , 1 2 , …, 9 2 доти, доки отримаємо значення, більше підкореного числа 5 . Всі ці обчислення зручно подавати у вигляді таблиці: 
Так значення розряду одиниць дорівнює 2 (оскільки 2 2<5
, а 2 3 >5). Переходимо до знаходження значення розряду десятих. При цьому будемо зводити в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9, порівнюючи отримані значення з підкореним числом 5: 
Оскільки 2,2 2<5
, а 2,3 2 >5 , то значення розряду десятих дорівнює 2 . Можна перейти до знаходження значення розряду сотих: 
Так знайдено таке значення кореня з п'яти, воно дорівнює 2,23. І так можна продовжувати далі знаходити значення: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Для закріплення матеріалу розберемо витяг кореня з точністю до сотих за допомогою розглянутого алгоритму.
Спочатку визначаємо старший розряд. Для цього зводимо до куба числа 0, 10, 100 і т.д. доки отримаємо число, що перевищує 2 151,186 . Маємо 03 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 таким чином, старшим розрядом є розряд десятків.
Визначимо його значення. 
Оскільки 10 3<2 151,186
, а 20 3 >2 151,186 то значення розряду десятків дорівнює 1 . Переходимо до одиниць. 
Отже, значення розряду одиниць дорівнює 2 . Переходимо до десятої. 
Оскільки навіть 12,9 3 менше підкореного числа 2 151,186 , то значення розряду десятих дорівнює 9 . Залишилося виконати останній крок алгоритму, він нам дасть значення кореня з необхідною точністю. 
На цьому етапі знайдено значення кореня з точністю до сотих: 
.
На закінчення цієї статті хочеться сказати, що є безліч інших способів вилучення коренів. Але для більшості завдань достатньо тих, які ми вивчили вище.
Список литературы.
- Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
- Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
- Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).
Зведення числа у ступінь - це скорочена форма запису операції багаторазового множення, у якому всі множники дорівнюють вихідному числу. А витяг кореня означає зворотну операцію - визначення множника, який має бути задіяний в операції багаторазового множення, щоб у її результаті вийшло підкорене число. Як показник ступеня, так і показник кореня вказують на те саме - скільки співмножників має бути в такій операції множення.
Вам знадобиться
- Доступ до Інтернету.
Інструкція
- Якщо до числа або виразу потрібно застосувати одночасно і операцію вилучення кореня, і зведення його в ступінь, зведіть обидві дії в одну - на зведення в ступінь з дробовим показником. У чисельнику дробу має стояти показник ступеня, а знаменнику - кореня. Наприклад, якщо потрібно звести у квадрат кубічний корінь, то ці дві операції будуть еквівалентні одному зведенню числа в ступінь ⅔.
- Якщо в умовах потрібно звести у квадрат коріньз показником ступеня, що дорівнює двійці, це завдання не на обчислення, а на перевірку ваших знань. Скористайтеся способом першого кроку, і ви отримаєте дріб 2/2, тобто. 1. Це означає, що результатом зведення квадрат квадратного кореня з будь-якого числа буде саме це число.
- За необхідності звести у квадрат коріньз парним показником ступеня завжди є можливість спростити операцію. Так як у двійки (числителя дробового показника ступеня) і будь-якого парного числа (знаменника) є спільний дільник, то після спрощення дробу в чисельнику залишиться одиниця, а це означає, що зводити в ступінь при розрахунках не потрібно достатньо витягти коріньіз половинним показником ступеня. Наприклад, зведення у квадрат кореня шостого ступеня з вісімки можна звести до вилучення з неї кубічного кореня, т.к. 2/6 = 1/3.
- Для обчислення результату за будь-яких показників ступеня кореня скористайтеся, наприклад, калькулятором, вбудованим у пошукову систему Google. Це, мабуть, найлегший спосіб розрахунків за наявності виходу в інтернет із комп'ютера. Загальноприйнятим замінником знака операції зведення в ступінь є така «кришка»: ^. Використовуйте її при введенні пошукового запиту Google. Наприклад, якщо потрібно звести в квадрат коріньп'ятого ступеня з числа 750, сформулюйте запит так: 750 (2/5). Після його введення пошуковик навіть без натискання кнопки відправки на сервер покаже результат обчислень з точністю до семи знаків після коми: 750 (2 / 5) = 14,1261725.
Досить часто при вирішенні завдань ми стикаємося з великими числами, з яких треба витягти квадратний корінь. Багато учнів вирішують, що це помилка, і починають вирішувати весь приклад. У жодному разі не можна так чинити! На те є дві причини:
- Коріння з великих чисел справді зустрічається у завданнях. Особливо у текстових;
- Існує алгоритм, за допомогою якого це коріння вважається майже усно.
Цей алгоритм ми сьогодні розглянемо. Можливо, якісь речі здадуться вам незрозумілими. Але якщо ви уважно поставитеся до цього уроку, то отримаєте потужну зброю проти квадратного коріння.
Отже, алгоритм:
- Обмежити корінь, що шукається, зверху і знизу числами, кратними 10. Таким чином, ми скоротимо діапазон пошуку до 10 чисел;
- З цих 10 чисел відсіяти ті, які точно не можуть бути корінням. В результаті залишаться 1-2 числа;
- Звести ці 1-2 числа у квадрат. Те з них, квадрат якого дорівнює вихідному числу, і буде коренем.
Перш ніж застосовувати цей алгоритм працює на практиці, погляньмо на кожен окремий крок.
Обмеження коріння
Насамперед треба з'ясувати, між якими числами розташоване наше коріння. Дуже бажано, щоб числа були кратні десяти:
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
Отримаємо ряд чисел:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
Що нам дають ці цифри? Все просто: ми маємо кордони. Візьмемо, наприклад, число 1296. Воно лежить між 900 і 1600. Отже, його корінь може бути менше 30 і більше 40:
[Підпис до малюнка]
Те саме — з будь-яким іншим числом, з якого можна знайти квадратний корінь. Наприклад, 3364:
[Підпис до малюнка]Таким чином, замість незрозумілого числа ми отримуємо цілком конкретний діапазон, де лежить вихідний корінь. Щоб ще більше звузити область пошуку, переходимо до другого кроку.
Відсів свідомо зайвих чисел
Отже, ми маємо 10 чисел — кандидатів на корінь. Ми отримали їх дуже швидко, без складних роздумів та множень у стовпчик. Час рухатися далі.
Не повірите, але зараз ми скоротимо кількість чисел-кандидатів до двох — і знову без складних обчислень! Достатньо знати спеціальне правило. Ось воно:
Остання цифра квадрата залежить лише від останньої цифри вихідного числа.
Інакше кажучи, досить поглянути на останню цифру квадрата — і ми одразу зрозуміємо, на що закінчується вихідне число.
Існує лише 10 цифр, які можуть стояти на останньому місці. Спробуємо з'ясувати, на що вони перетворюються при зведенні на квадрат. Погляньте на таблицю:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
Ця таблиця - ще один крок на шляху до обчислення кореня. Як бачите, цифри у другому рядку виявилися симетричними щодо п'ятірки. Наприклад:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
Як бачите, остання цифра обох випадках однакова. А це означає, що, наприклад, корінь із 3364 обов'язково закінчується на 2 або на 8. З іншого боку, ми пам'ятаємо обмеження з попереднього пункту. Отримуємо:
[Підпис до малюнка] Червоні квадрати показують, що ми поки що не знаємо цієї цифри. Але корінь лежить у межах від 50 до 60, на якому є тільки два числа, що закінчуються на 2 і 8:
[Підпис до малюнка]Ось і все! З усіх можливих коренів ми залишили лише два варіанти! І це у найважчому випадку, адже остання цифра може бути 5 чи 0. І тоді залишиться єдиний кандидат у корені!
Фінальні обчислення
Отже, у нас залишилося 2 числа-кандидати. Як дізнатися, яке з них є коренем? Відповідь очевидна: звести обидва числа у квадрат. Те, що у квадраті дасть вихідне число, і буде коренем.
Наприклад, для числа 3364 ми знайшли два числа-кандидати: 52 та 58. Зведемо їх у квадрат:
52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.
Ось і все! Вийшло, що корінь дорівнює 58! При цьому, щоб спростити обчислення, я скористався формулою квадратів суми та різниці. Завдяки чому навіть не довелося множити числа у стовпчик! Це ще один рівень оптимізації обчислень, але, зрозуміло, не обов'язковий:)
Приклади обчислення коренів
Теорія – це, звичайно, добре. Але перевіримо її на практиці.
[Підпис до малюнка]
Для початку з'ясуємо, між якими числами лежить число 576:
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
Тепер дивимось на останню цифру. Вона дорівнює 6. Коли це відбувається? Тільки якщо корінь закінчується на 4 або 6. Отримуємо два числа:
Залишилося звести кожне число квадрат і порівняти з вихідним:
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
Чудово! Перший квадрат виявився дорівнює вихідному числу. Значить, це є корінь.
Завдання. Обчисліть квадратний корінь:
[Підпис до малюнка]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
Дивимося на останню цифру:
1369 → 9;
33; 37.
Зводимо у квадрат:
33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 · 30 · 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 · 40 · 3 + 9 = 1369.
Ось і відповідь: 37.
Завдання. Обчисліть квадратний корінь:
[Підпис до малюнка]
Обмежуємо число:
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
Дивимося на останню цифру:
2704 → 4;
52; 58.
Зводимо у квадрат:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
Отримали відповідь: 52. Друге число зводити до квадрата вже не потрібно.
Завдання. Обчисліть квадратний корінь:
[Підпис до малюнка]
Обмежуємо число:
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
Дивимося на останню цифру:
4225 → 5;
65.
Як бачимо, після другого кроку залишився лише один варіант: 65. Це і шуканий корінь. Але давайте таки зведемо його в квадрат і перевіримо:
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 · 60 · 5 + 25 = 4225;
Все вірно. Записуємо відповідь.
Висновок
На жаль, не краще. Давайте розберемося у причинах. Їх дві:
- На будь-якому нормальному іспиті з математики, чи то ГІА чи ЄДІ, користуватися калькуляторами заборонено. І за пронесений до класу калькулятор можуть легко вигнати з іспиту.
- Не уподібнюйтесь тупим американцям. Які не те що коріння — вони два простих числа скласти не можуть. А побачивши дробів вони взагалі починається істерика.
Математика зародилася тоді, коли людина усвідомила себе і стала позиціонуватися як автономна одиниця світу. Бажання виміряти, порівняти, порахувати те, що оточує тебе, - ось що лежало в основі однієї з фундаментальних наук наших днів. Спочатку це були частинки елементарної математики, що дозволили пов'язати числа з їх фізичними висловлюваннями, пізніше висновки стали викладатися лише теоретично (через свою абстрактність), ну а через деякий час, як висловився один учений, "математика досягла стелі складності, коли з неї зникли усі числа". Поняття "квадратний корінь" з'явилося ще тоді, коли його можна було без проблем підкріпити емпіричними даними, виходячи за площину обчислень.
З чого все починалося
Перша згадка кореня, що на даний момент позначається як √, була зафіксована у працях вавилонських математиків, які започаткували сучасну арифметику. Звичайно, на нинішню форму вони були схожі мало - вчені тих років спочатку користувалися громіздкими табличками. Але у другому тисячолітті до зв. е. ними було виведено наближену формулу обчислень, яка показувала, як витягти квадратний корінь. На фото нижче зображено камінь, на якому вавилонські вчені висіли процес виведення √2 , причому він виявився настільки вірним, що розбіжність у відповіді знайшли лише у десятому знаку після коми.
Крім цього, корінь застосовувався, якщо потрібно було знайти бік трикутника, за умови, що дві інші відомі. Ну і при вирішенні квадратних рівнянь від вилучення кореня нікуди не подітися.
Поряд з вавілонськими роботами об'єкт статті вивчався і в китайській роботі "Математика в дев'яти книгах", а давні греки дійшли висновку, що будь-яке число, з якого не витягується корінь без залишку, дає ірраціональний результат.
Походження цього терміну пов'язують з арабським уявленням числа: давні вчені вважали, що квадрат довільного числа виростає з кореня, подібно до рослини. Латиною це слово звучить як radix (можна простежити закономірність - все, що має під собою "кореневе" смислове навантаження, співзвучно, чи то редис або радикуліт).
Вчені наступних поколінь підхопили цю думку, позначаючи як Rx. Наприклад, у XV столітті, щоб вказати, що витягується корінь квадратний з довільного числа a, писали R 2 a. Звична сучасному погляду "галочка" - з'явилася лише XVII столітті завдяки Рене Декарту.
Наші дні
З погляду математики, квадратний корінь із числа y - це таке число z, квадрат якого дорівнює y. Інакше кажучи, z 2 =y рівносильно √y=z. Однак це визначення актуальне лише для арифметичного кореня, оскільки воно має на увазі невід'ємне значення виразу. Іншими словами, √y=z, де z більше або 0.
У випадку, що діє визначення алгебраїчного кореня, значення висловлювання може бути як позитивним, і негативним. Таким чином, через те, що z 2 = y і (-z) 2 = y, маємо: √y=±z або √y=|z|.
Завдяки тому, що любов до математики з розвитком науки лише зросла, існують різноманітні прояви прихильності до неї, не виражені у сухих обчисленнях. Наприклад, нарівні з такими цікавими явищами, як день числа Пі, відзначаються і свята квадратного кореня. Відзначаються вони дев'ять разів на сто років, і визначаються за таким принципом: числа, які позначають по порядку день і місяць, має бути квадратним коренем з року. Так, наступного разу відзначатиме це свято 4 квітня 2016 року.
Властивості квадратного кореня на полі R
Практично всі математичні вирази мають під собою геометричну основу, не минула ця доля і √y, що визначається як сторона квадрата з площею y.
Як знайти корінь числа?
Алгоритмів обчислення є кілька. Найбільш простим, але при цьому досить громіздким є звичайний арифметичний підрахунок, який полягає в наступному:
1) з числа, корінь якого нам потрібний, по черзі віднімаються непарні числа - до тих пір, поки залишок на виході не вийде менше віднімається або взагалі дорівнюватиме нулю. Кількість ходів і стане в результаті шуканим числом. Наприклад, обчислення квадратного кореня з 25:
Наступне непарне число – це 11, залишок у нас наступний: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
Для таких випадків існує розкладання до ряду Тейлора:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , де n приймає значення від 0 до
+∞, а |y|≤1.
Графічне зображення функції z=√y
Розглянемо елементарну функцію z=√y на полі дійсних чисел R, де y більше або дорівнює нулю. Графік її виглядає так:
Крива росте з початку координат і обов'язково перетинає крапку (1; 1).
Властивості функції z=√y на полі дійсних чисел R
1. Область визначення цієї функції - проміжок від нуля до плюс нескінченності (нуль включений).
2. Область значень розглянутої функції - проміжок від нуля до плюс нескінченності (нуль знову ж таки включений).
3. Мінімальне значення (0) функція набуває лише точці (0; 0). Максимального значення немає.
4. Функція z=√y ні парна, ні непарна.
5. Функція z=√y не є періодичною.
6. Точка перетину графіка функції z=√y з осями координат лише одна: (0; 0).
7. Точка перетину графіка функції z=√y також є нулем цієї функції.
8. Функція z=√y безперервно зростає.
9. Функція z=√y набуває лише позитивних значень, отже, графік її займає перший координатний кут.
Варіанти зображення функції z=√y
У математиці для полегшення обчислень складних виразів іноді використовують статечну форму написання кореня квадратного: √y=y 1/2 . Такий варіант зручний, наприклад, у зведенні функції у ступінь: (√y) 4 = (y 1/2) 4 = y 2 . Цей метод є вдалим уявленням і при диференціюванні з інтегруванням, так як завдяки йому квадратний корінь представляється звичайною статечною функцією.
А в програмуванні заміною символу є комбінація букв sqrt.
Слід зазначити, що у цій галузі квадратний корінь дуже затребуваний, оскільки входить до складу більшості геометричних формул, необхідні обчислень. Сам алгоритм підрахунку досить складний та будується на рекурсії (функції, що викликає сама себе).
Корінь квадратний в комплексному полі
За великим рахунком, саме предмет цієї статті стимулював відкриття поля комплексних чисел C, оскільки математикам не давав спокою питання отримання кореня парного ступеня з негативного числа. Так виникла уявна одиниця i, яка характеризується дуже цікавою властивістю: її квадратом є -1. Завдяки цьому квадратні рівняння та за негативного дискримінанта отримали рішення. В для кореня квадратного актуальні ті ж властивості, що і в R, єдине, зняті обмеження з підкореного виразу.
Формули коріння. Властивості квадратного коріння.
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
У попередньому уроці ми розібралися, що таке квадратний корінь. Настав час розібратися, які існують формули для коріння, які властивості коренів, і що з цим можна робити.
Формули коренів, властивості коренів та правила дій з корінням- це, по суті, те саме. Формул для квадратного коріння на подив небагато. Що, безумовно, тішить! Точніше, понаписати будь-яких формул можна багато, але для практичної та впевненої роботи з корінням достатньо всього трьох. Решта з цих трьох відбувається. Хоча й у трьох формулах коріння багато хто блукає, та...
Почнемо з найпростішої. Ось вона:
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.