Висловлювання та його перетворення. Числові та алгебраїчні вирази

Основні властивості складання та множення чисел.

Переміщувальна властивість додавання: від перестановки доданків значення суми не змінюється. Для будь-яких чисел a і b правильна рівність

Сполучна властивість додавання: щоб до суми двох чисел додати третє число, можна до першого числа додати суму другого та третього. Для будь-яких чисел a, b і c вірна рівність

Переміщувальна властивість множення: від перестановки множників значення твору не змінюється. Для будь-яких чисел а, b і c вірна рівність

Сполучна властивість множення: щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на твір другого та третього.

Для будь-яких чисел а, b і c вірна рівність

Розподільча властивість: щоб помножити число на суму, можна помножити це число на кожен доданок і скласти отримані результати. Для будь-яких чисел a, b і c вірна рівність

З переміщувального та поєднувального властивостей додавання випливає: у будь-якій сумі можна як завгодно переставляти доданки і довільним чином об'єднувати їх у групи.

Приклад 1 Обчислимо суму 1,23 +13,5 +4,27.

Для цього зручно поєднати перший доданок з третім. Отримаємо:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

З переміщувального та поєднувального властивостей множення випливає: у будь-якому творі можна як завгодно переставляти множники і довільним чином об'єднувати їх у групи.

Приклад 2 Знайдемо значення твору 1,8 0,25 64 0,5.

Об'єднавши перший множник із четвертим, а другий із третім, матимемо:

1,8 · 0,25 · 64 · 0,5 = (1,8 · 0,5) · (0,25 · 64) = 0,9 · 16 = 14,4.

Розподільна властивість справедлива і в тому випадку, коли число множиться на суму трьох і більше доданків.

Наприклад, для будь-яких чисел a, b, c і d вірна рівність

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Ми знаємо, що віднімання можна замінити додаванням, додавши до зменшуваного число, протилежне віднімається:

Це дозволяє числове вираз виду a-bвважати сумою чисел a і -b, числове вираз виду a+b-c-d вважати сумою чисел a, b, -c, -d тощо. розглянуті властивості дій справедливі й у таких сум.

Знайдемо значення виразу 3,27-6,5-2,5+1,73.

Цей вираз є сумою чисел 3,27, -6,5, -2,5 та 1,73. Застосувавши властивості додавання, отримаємо: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

Приклад 4 Обчислимо добуток 36 · ().

Множник можна розглядати як суму чисел та -. Використовуючи розподільну властивість множення, отримаємо:

36()=36·-36·=9-10=-1.

Тотожності

Визначення. Два вирази, відповідні значення яких рівні за будь-яких змінних, називаються тотожно рівними.

Визначення. Рівність, вірна за будь-яких значеннях змінних, називається тотожністю.

Знайдемо значення виразів 3(x+y) та 3x+3y при x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3·9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

Ми отримали той самий результат. З розподільної властивостіслід, що за будь-яких значеннях змінних відповідні значення виразів 3(x+y) і 3x+3y рівні.

Розглянемо тепер вирази 2x+y та 2xy. При x=1, y=2 вони набувають рівних значень:

Однак можна вказати такі значення x та y, при яких значення цих виразів не рівні. Наприклад, якщо x = 3, y = 4, то

Вирази 3(x+y) та 3x+3y є тотожно рівними, а вирази 2x+y та 2xy не є тотожно рівними.

Рівність 3(x+y)=x+3y, правильне за будь-яких значеннях x і y, є тотожністю.

Тотожністю вважають і вірні числові рівності.

Так, тотожностями є рівності, що виражають основні властивості дій над числами:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Можна навести й інші приклади тотожності:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Тотожні перетворення виразів

Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом, називають тотожним перетворенням або просто перетворенням виразу.

Тотожні перетворення виразів зі змінними виконуються з урахуванням властивостей дій над числами.

Щоб знайти значення виразу xy-xz при заданих значеннях x, y, z, треба виконати три дії. Наприклад, при x=2,3, y=0,8, z=0,2 отримуємо:

xy-xz = 2,3 · 0,8-2,3 · 0,2 = 1,84-0,46 = 1,38.

Цей результат можна отримати, виконавши лише дві дії, якщо скористатися виразом x(y-z), тотожно рівним виразу xy-xz:

xy-xz = 2,3 (0,8-0,2) = 2,3 · 0,6 = 1,38.

Ми спростили обчислення, замінивши вираз xy-xz тотожно рівним виразом x(y-z).

Тотожні перетворення виразів широко застосовуються при обчисленні значень виразів та вирішенні інших завдань. Деякі тотожні перетвореннявже доводилося виконувати, наприклад, приведення подібних доданків, розкриття дужок. Нагадаємо правила виконання цих перетворень:

щоб привести подібні доданкитреба скласти їх коефіцієнти і результат помножити на загальну літерну частину;

якщо перед дужками стоїть знак "плюс", то дужки можна опустити, зберігши знак кожного доданку, укладеного у дужки;

якщо перед дужками стоїть знак "мінус", то дужки можна опустити, змінивши знак кожного доданку, укладеного у дужки.

Приклад 1 Наведемо такі складові в сумі 5x+2x-3x.

Скористаємося правилом приведення подібних доданків:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Це перетворення ґрунтується на розподільчій властивості множення.

Приклад 2 Розкриємо дужки у виразі 2a+(b-3c).

Застосувавши правило розкриття дужок, перед якими стоїть знак "плюс":

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Проведене перетворення ґрунтується на комбінаційній властивості додавання.

Приклад 3 Розкриємо дужки у виразі a-(4b-c).

Скористаємося правилом розкриття дужок, перед якими стоїть знак "мінус":

a-(4b-c)=a-4b+c.

Виконане перетворення засноване на розподільчій властивості множення та сполучній властивості додавання. Покажемо це. Представимо у даному вираженнідругий доданок -(4b-c) у вигляді твору (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Застосувавши зазначені властивостідій, отримаємо:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Числа та вирази, з яких складено вихідний вираз, можна замінювати тотожно рівними ним виразами. Таке перетворення вихідного виразу призводить до тотожно рівного йому виразу.

Наприклад, у виразі 3+x число 3 можна замінити сумою 1+2 , при цьому вийде вираз (1+2)+x , який тотожно дорівнює вихідному виразу. Інший приклад: у виразі 1+a 5 ступінь a 5 можна замінити тотожно рівним їй твором, наприклад, виду a 4 . Це дасть нам вираз 1+a·a 4 .

Дане перетворення, безперечно, штучно, і зазвичай є підготовкою до будь-яких подальших перетворень. Наприклад, у сумі 4×3 +2×2, враховуючи властивості ступеня, доданок 4×3 можна подати у вигляді твору 2×2×2×2. Після такого перетворення вихідний вираз набуде вигляду 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Очевидно, доданки в отриманій сумі мають загальний множник 2 x 2 , таким чином, ми можемо виконати наступне перетворення - винесення за дужки. Після нього ми прийдемо до виразу: 2 · x 2 · (2 ​​· x +1).

Додаток та віднімання одного й того ж числа

Іншим штучним перетворенням висловлювання є додаток і одночасне віднімання однієї й тієї числа чи висловлювання. Таке перетворення є тотожним, оскільки воно, по суті, еквівалентне додавання нуля, а додавання нуля не змінює значення.

Розглянемо приклад. Візьмемо вираз x 2 +2 · x. Якщо до нього додати одиницю і відібрати одиницю, це дозволить надалі виконати ще одне тотожне перетворення - виділити квадрат двочлена: x 2 +2·x=x 2 +2·x+1−1=(x+1) 2 −1.

Список литературы.

• Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович. - 17-те вид., Дод. – К.: Мнемозіна, 2013. – 175 с.: іл. ISBN 978-5-346-02432-3.

Тип уроку: урок узагальнення та систематизації знань.

Цілі уроку:

• Удосконалити вміння застосовувати раніше отримані знання для підготовки до ДПА у 9 класі.
• Навчити вмінню аналізувати, творчо підходити до поставленого завдання.
• Виховувати культуру та оперативність мислення, пізнавальний інтересдо математики.
• Допомогти учням підготуватися до ДПА.

• Систематизувати теоретичні знанняучнів.
• Підсилити практичну спрямованістьцієї теми під час підготовки до ГИА.
• Формувати навички розумової праці – пошук раціональних шляхів розв'язання.

Обладнання: мультимедійний проектор, робочі листки із завданнями, годинник.

План уроку: 1. Організаційний момент.

1. Актуалізація знань.
2. Відпрацювання теоретичного матеріалу.
3. Підсумок уроку.
4. Домашнє завдання.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент.

1) Привітання вчителя.

Криптографія – наука про засоби перетворення (шифрування) інформації з метою її захисту від незаконних користувачів. Один із таких способів називається “грати”. Він належить до порівняно простих і тісно пов'язаний з арифметикою, але такою, яка в школі не вивчається. Зразок ґрат перед вами. Хтось здогадається, як ним користуватися.

- Розгадка послання.

"Все, що перестає вдаватися, перестає і залучати".

Франсуа Ларашфуко.

2) Повідомлення теми уроку, цілей уроку, плану уроку.

– слайди у презентації.

ІІ. Актуалізація знань.

1) Усна робота.

1. Числа. Які числа ви знаєте?

– натуральні – це числа 1,2,3,4… які використовуються за рахунку

- Цілі - це числа ...-4,-3,-2,-1,0,1, 2 ... натуральні, протилежні їм і число 0.

– раціональні – це числа цілі та дробові числа

– ірраціональні – це нескінченні десяткові неперіодичні дроби

– дійсні – це раціональні та ірраціональні.

2. Вирази. Які вислови ви знаєте?

- Чисельні - це вирази, що складаються з чисел, з'єднаних знаками арифметичних дій.

– літерні – це вираз, що містить деякі змінні величини, числа та знаки дій.

- Цілі - це вирази, що складаються з чисел і змінних з використанням дій складання, віднімання, множення та поділу на число.

- дробові - це цілі вирази з використанням поділу на вираз зі змінною.

3. Перетворення. Які основні властивості використовуються для виконання перетворень?

– переміщувальне – для будь-яких чисел а і в правильно: а+в=в+а, ав=ва

– поєднане – для будь-яких чисел а, в, з вірно: (а+в)+с=а+(в+с),(ав)с=а(вс)

– розподільне – для будь-яких чисел а, в, вірно: а(в+с)=ав+ас

4. Виконайте:

- Розташуйте в порядку зростання числа: 0,0157; 0,105; 0,07

- Розташуйте числа в порядку зменшення: 0,0216; 0,12; 0,016

- Одна з точок, зазначених на координатній прямій, відповідає числу v68. Яка точка?

– якій точці відповідають числа

– на координатній прямій відзначені числа а та ст. Яке з таких тверджень є вірним?

ІІІ. Відпрацювання теоретичного матеріалу.

1. Робота у зошитах, біля дошки.

У кожного навчального закладу є робочий листок, де записані завдання для роботи в зошитах, на уроці. У правому стовпчику цього листка завдання на уроці, а лівому стовпчику – домашня робота.

Для роботи біля дошки виходять учні.

Завдання №1. У якому разі вираз перетворено на тотожне рівне.

Завдання №2. Спростіть вираз:

Завдання №3. Розкладіть на множники:

а 3 - ав - а 2 в + а 2; х 2 у - х 2-у + х 3 .

2х + у + у 2 - 4х 2; а - 3в +9в 2-а 2 .

2. Самостійна робота.

На робочих аркушах у вас є самостійна робота, внизу після тексту є таблиця, у ній ви заносите число під правильною відповіддю. На виконання роботи – 7 хвилин.

Тест “Числа та перетворення”

1. Запишіть 0,00019 у стандартному вигляді.

1)0,019*10 -2 ; 2)0,19*10 -3 ; 3)1,9*10 -4 ; 4)19*10 -5

2. Одна з точок, зазначених на координатній прямій, відповідає числу

3. Про числа а і в відомо, що а>0,>0, а>4в. Яка з таких нерівностей неправильна?

1) а-2а>-3в; 2) 2а> 8в; 3) а/4>в-2; 4) а+3>в+1.

4. Знайдіть значення виразу: (6х - 5у): (3х + у), якщо х = 1,5 а у = 0,5.

1) 1,5; 2) 1,3; 3) 1,33; 4) 2,5.

5.У який із наведених виразів можна перетворити вираз (7 – х)(х – 4)?

1) - (7 - х) (4 - х); 2) (7 – х) (4 – х);

3) - (х - 7) (4 - х); 4) (х - 7) (х-4).

Після виконання роботи перевірка здійснюється за допомогою програми АСУОК (автоматизована система управління навчання та контролю). Хлопці змінюються зошитами із сусідом по парті та спільно з учителем перевіряють тест.

завдання
Відповідь:	3	1	1	2	1

6. Підсумок уроку.

Сьогодні на уроці ви вирішували завдання, підібрані зі збірок для підготовки до ДІА. Це мала частина того, що потрібно повторити для відмінного складання іспиту.

– Урок закінчено. Що вам корисного приніс урок?

"Експерт - це, людина, яка більше вже не думає, вона знає". Френк Хаббард.

7. Домашня робота

На листочках завдання для виконання будинку.

Серед різних виразів, що розглядаються в алгебрі, важливе місце посідають суми одночленів. Наведемо приклади таких виразів:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Суму одночленів називають багаточленом. Доданки в многочлен називають членами многочлена. Одночлени також відносять до многочленів, вважаючи одночлен, що складається з одного члена.

Наприклад, багаточлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можна спростити.

Представимо всі складові у вигляді одночленів стандартного вигляду:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Наведемо в отриманому багаточлені такі члени:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Вийшов багаточлен, усі члени якого є одночленами стандартного виду, причому серед них немає подібних. Такі багаточлени називають багаточленами стандартного вигляду.

За ступінь багаточленастандартного виду приймають найбільший із ступенів його членів. Так, двочлен \(12a^2b - 7b \) має третій ступінь, а тричлен \(2b^2 -7b + 6 \) - другий.

Зазвичай члени многочленів стандартного виду, що містять одну змінну, мають у своєму розпорядженні в порядку зменшення показників її ступеня. Наприклад:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Суму кількох багаточленів можна перетворити (спростити) на багаточлен стандартного виду.

Іноді члени багаточлена потрібно розбити на групи, укладаючи кожну групу на дужки. Оскільки укладання в дужки - це перетворення, зворотне розкриття дужок, то легко сформулювати правила розкриття дужок:

Якщо перед дужками ставиться знак «+», то члени, які укладаються у дужки, записуються з тими самими знаками.

Якщо перед дужками ставиться знак «-», то члени, які укладаються в дужки, записуються протилежними знаками.

Перетворення (спрощення) твору одночлена та багаточлена

За допомогою розподільної властивості множення можна перетворити (спростити) на багаточлен добуток одночлена та багаточлена. Наприклад:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Твір одночлена та багаточлена тотожно дорівнює сумі творів цього одночлена та кожного з членів багаточлена.

Цей результат зазвичай формулюють як правила.

Щоб помножити одночлен на багаточлен, треба помножити цей одночлен на кожен із членів багаточлена.

Ми вже не раз використовували це правило для множення на суму.

Добуток багаточленів. Перетворення (спрощення) твору двох багаточленів

Взагалі, добуток двох багаточленів тотожно дорівнює сумі добутку кожного члена одного багаточлена і кожного члена іншого.

Зазвичай користуються наступним правилом.

Щоб помножити багаточлен на багаточлен, треба кожен член одного помножити на кожен член іншого і скласти отримані твори.

Формули скороченого множення. Квадрати суми, різниці та різниця квадратів

З деякими виразами в алгебраїчних перетворенняхдоводиться мати справу частіше, ніж із іншими. Мабуть, найчастіше зустрічаються вирази \((a + b)^2, \;(a - b)^2 \) і \(a^2 - b^2 \), тобто квадрат суми, квадрат різниці і різницю квадратів. Ви помітили, що назви зазначених виразів як би не закінчені, наприклад, \((a + b)^2 \) - це, звичайно, не просто квадрат суми, а квадрат суми а і b. Однак квадрат суми а і b зустрічається не так часто, як правило, замість букв а і b в ньому виявляються різні, іноді досить складні вирази.

Вирази \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) неважко перетворити (спростити) на багаточлени стандартного виду, власне, ви вже зустрічалися з таким завданням при множенні багаточленів:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Отримані тотожності корисно запам'ятати та застосовувати без проміжних викладок. Допомагають цьому короткі словесні формулювання.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - Квадрат суми дорівнює суміквадратів та подвоєного твору.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - Квадрат різниці дорівнює сумі квадратів без подвоєного добутку.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - Різниця квадратів дорівнює добутку різниці на суму.

Ці три тотожності дозволяють у перетвореннях замінювати свої ліві частини правими і назад - праві частини лівими. Найважче при цьому - побачити відповідні вирази та зрозуміти, чим у них замінені змінні а та b. Розглянемо кілька прикладів використання формул скороченого множення.