Прості дроби правила. Віднімання змішаних дробів

Калькулятор дробівпризначений для швидкого розрахунку операцій із дробами, допоможе легко дроби скласти, помножити, поділити чи відняти.

Сучасні школярі починають вивчення дробів вже у 5 класі, з кожним роком вправи з ними ускладнюються. Математичні терміни та величини, які ми дізнаємося в школі, рідко можуть стати в нагоді нам у дорослому житті. Проте дроби, на відміну логарифмів і ступенів, зустрічаються у повсякденності досить часто (вимір відстані, зважування товару тощо.). Наш калькулятор призначений для швидкого проведення операцій із дробами.

Спочатку визначимо, що таке дроби і які вони бувають. Дробами називають відношення одного числа до іншого, це число, що складається з цілої кількості часток одиниці.

Різновиди дробів:

Звичайні
Десяткові
Змішані

приклад звичайних дробів:

Верхнє значення є чисельником, нижчим знаменником. Рисунок показує нам, що верхнє число ділиться на нижнє. Замість такого формату написання, коли рисочка знаходиться горизонтально, можна писати по-іншому. Можна ставити похилу лінію, наприклад:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Десяткові дробиє найпопулярнішим різновидом дробів. Вони складаються з цілої частини та дробової, відокремлені комою.

Приклад десяткових дробів:

0,2, або 6,71 або 0,125

Складаються з цілого числа та дробової частини. Щоб дізнатися про значення цього дробу, потрібно скласти ціле число і дріб.

Приклад змішаних дробів:

Калькулятор дробів на нашому сайті здатний швидко в онлайн-режимі виконати будь-які математичні операції з дробами:

Додавання
Віднімання
множення
Поділ

Для здійснення розрахунку потрібно ввести цифри у поля та вибрати дію. У дробів необхідно заповнити чисельник і знаменник, ціле число може писатися (якщо дріб звичайна). Не забудьте натиснути кнопку «рівно».

Зручно, що калькулятор одразу надає процес вирішення прикладу з дробами, а не лише готову відповідь. Саме завдяки розгорнутому рішенню ви можете використовувати даний матеріал при вирішенні шкільних завдань та для кращого освоєння пройденого матеріалу.

Вам потрібно здійснити розрахунок прикладу:

Після введення показників у поля форми отримуємо:

Щоб зробити самостійний розрахунок, введіть дані у форму.

Калькулятор дробів

Введіть два дроби:

		+ - * :

Супутні розділи.

Дроби - це звичайні числа, їх теж можна складати та віднімати. Але через те, що в них є знаменник, тут потрібні складніші правила, ніж для цілих чисел.

Розглянемо найпростіший випадок, коли є два дроби з однаковими знаменниками. Тоді:

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх числа, а знаменник залишити без змін.

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другий, а знаменник знову ж таки залишити без змін.

Усередині кожного виразу знаменники дробів рівні. За визначенням додавання та віднімання дробів отримуємо:

Як бачите, нічого складного: просто складаємо чи віднімаємо чисельники — і все.

Але навіть у таких простих діях люди примудряються припускатися помилок. Найчастіше забувають, що знаменник не змінюється. Наприклад, при складанні їх теж починають складати, а це докорінно неправильно.

Позбутися шкідливої звички складати знаменники досить просто. Спробуйте зробити те саме при відніманні. У результаті знаменнику вийде нуль, і дріб (раптово!) втратить сенс.

Тому запам'ятайте раз і назавжди: при складанні та відніманні знаменник не змінюється!

Також багато хто припускається помилок при складанні кількох негативних дробів. Виникає плутанина зі знаками: де ставити мінус, а де плюс.

Ця проблема також вирішується дуже просто. Досить, що мінус перед знаком дробу завжди можна перенести в чисельник — і навпаки. Ну і звичайно, не забувайте два простих правила:

Плюс мінус дає мінус;
Мінус на мінус дає плюс.

Розберемо все це на конкретних прикладах:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

У першому випадку все просто, а в другому внесемо мінуси до чисельників дробів:

Що робити, якщо знаменники різні

Безпосередньо складати дроби з різними знаменниками не можна. Принаймні мені такий спосіб невідомий. Проте вихідні дроби можна переписати так, щоб знаменники стали однаковими.

Існує багато способів перетворення дробів. Три з них розглянуті в уроці «Приведення дробів до спільного знаменника», тому тут ми не зупинятимемося на них. Краще подивимося на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

У першому випадку наведемо дроби до спільного знаменника методом «хрест-навхрест». У другому шукатимемо НОК. Зауважимо, що 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Останні множники у цих розкладаннях рівні, а перші взаємно прості. Отже, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Що робити, якщо у дробу є ціла частина

Можу вас втішити: різні знаменники у дробів — це ще не найбільше зло. Набагато більше помилок виникає тоді, коли в дробах-доданків виділено цілу частину.

Безумовно, для таких дробів існують власні алгоритми складання та віднімання, але вони досить складні та потребують тривалого вивчення. Найкраще використовуйте просту схему, наведену нижче:

Перевести всі дроби, що містять цілу частину, неправильні. Отримаємо нормальні доданки (нехай навіть із різними знаменниками), які вважаються за правилами, розглянутими вище;
Власне, обчислити суму чи різницю отриманих дробів. В результаті ми практично знайдемо відповідь;
Якщо це все, що потрібно завдання, виконуємо зворотне перетворення, тобто. позбавляємося неправильного дробу, виділяючи в ньому цілу частину.

Правила переходу до неправильних дробів та виділення цілої частини докладно описані в уроці «Що таке числове дроб». Якщо не пам'ятаєте, обов'язково повторіть. Приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Тут усе просто. Знаменники всередині кожного виразу рівні, тому залишається перевести всі дроби в неправильні та порахувати. Маємо:

Щоб спростити викладки, я пропустив деякі очевидні кроки в останніх прикладах.

Невелике зауваження до двох останніх прикладів, де віднімаються дроби з цілою частиною. Мінус перед другим дробом означає, що віднімається саме весь дріб, а не тільки його ціла частина.

Перечитайте цю пропозицію ще раз, погляньте на приклади і задумайтеся. Саме тут початківці припускаються величезної кількості помилок. Такі завдання люблять давати на контрольних роботах. Ви також неодноразово зустрінетеся з ними у тестах до цього уроку, які будуть опубліковані найближчим часом.

Резюме: загальна схема обчислень

На закінчення наведу загальний алгоритм, який допоможе знайти суму чи різницю двох і більше дробів:

Якщо в одному або кількох дробах виділено цілу частину, переведіть ці дроби в неправильні;
Приведіть усі дроби до спільного знаменника будь-яким зручним для вас способом (якщо, звичайно, цього не зробили упорядники завдань);
Складіть або відніміть отримані числа за правилами складання та віднімання дробів з однаковими знаменниками;
Якщо можливо, зменшіть отриманий результат. Якщо дріб виявився неправильним, виділіть цілу частину.

Пам'ятайте, що виділяти цілу частину краще в кінці завдання, безпосередньо перед записом відповіді.

У п'ятому столітті до нашої ери давньогрецький філософ Зенон Елейський сформулював свої знамениті апорії, найвідомішою з яких є апорія "Ахілес і черепаха". Ось як вона звучить:

Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахіллес біжить із постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.

Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.

У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі та дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.

середа, 4 липня 2018 р.

Дуже добре відмінності між безліччю та мультимножиною описані у Вікіпедії. Дивимося.

Як бачите, "у множині не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи у множині є, така множина називається "мультимножина". Подібну логіку абсурду розумним істотам не зрозуміти ніколи. Це рівень папуг, що говорять, і дресованих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають у ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.

Колись інженери, які збудували міст, під час випробувань мосту перебували у човні під мостом. Якщо міст обрушувався, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.

Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняття", є одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх із реальністю. Цією пуповиною є гроші. Застосуємо математичну теорію множин до самих математиків.

Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо у касі, видаємо зарплатню. Ось приходить до нас математик по свої гроші. Відраховуємо йому всю суму та розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри однієї гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі та вручаємо математику його "математичну безліч зарплати". Пояснюємо математику, що решта купюр він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.

Насамперед спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - низьзя!". Далі почнуться запевнення нас у тому, що на купюрах однакової гідності є різні номери купюр, а отже, їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами – на монетах немає номерів. Тут математик почне судомно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількість бруду, кристалічна структура та розташування атомів у кожної монети унікально.

А тепер у мене найцікавіше питання: де проходить та грань, за якою елементи мультимножини перетворюються на елементи множини і навпаки? Такої межі не існує – все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.

Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони із однаковою площею поля. Площа полів однакова – значить у нас вийшло мультимножина. Але якщо розглядати назви цих стадіонів - у нас виходить безліч, адже назви різні. Як бачите, той самий набір елементів одночасно є і безліччю, і мультимножиною. Як правильно? А ось тут математик-шаман-шуллер дістає з рукава козирний туз і починає нам розповідати або про множину, або про мультимножину. У будь-якому разі він переконає нас у своїй правоті.

Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, достатньо відповісти на одне питання: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Я вам покажу, без усяких "мислиме як єдине ціле" чи "не мислиме як єдине ціле".

неділя, 18 березня 2018 р.

Сума цифр числа - це танець шаманів з бубном, який до математики жодного стосунку не має. Так, на уроках математики нас вчать знаходити суму цифр числа та користуватися нею, але на те вони й шамани, щоб навчати нащадків своїм навичкам та премудростям, інакше шамани просто вимруть.

Вам потрібні докази? Відкрийте Вікіпедію та спробуйте знайти сторінку "Сума цифр числа". Її немає. Немає в математиці формули, якою можна знайти суму цифр будь-якого числа. Адже цифри - це графічні символи, з яких записуємо числа і мовою математики завдання звучить так: "Знайти суму графічних символів, що зображують будь-яке число". Математики це завдання вирішити що неспроможні, тоді як шамани - елементарно.

Давайте розберемося, що як ми робимо у тому, щоб знайти суму цифр заданого числа. Тож нехай у нас є число 12345. Що потрібно зробити для того, щоб знайти суму цифр цього числа? Розглянемо всі кроки по порядку.

1. Записуємо число на папірці. Що ми зробили? Ми перетворили число на графічний символ числа. Це не математична дія.

2. Розрізаємо одну отриману картинку на кілька картинок, що містять окремі цифри. Розрізання картинки - це математична дія.

3. Перетворюємо окремі графічні символи на числа. Це не математична дія.

4. Складаємо отримані числа. Це вже математика.

Сума цифр числа 12345 дорівнює 15. Ось такі ось "курси крою та шиття" від шаманів застосовують математики. Але це ще не все.

З погляду математики немає значення, у якій системі числення ми записуємо число. Так от, у різних системах числення сума цифр одного і того ж числа буде різною. У математиці система числення вказується як нижнього індексу праворуч від числа. З великим числом 12345 я не хочу голову морочити, розглянемо число 26 статті про . Запишемо це число у двійковій, вісімковій, десятковій та шістнадцятковій системах числення. Ми не розглядатимемо кожен крок під мікроскопом, це ми вже зробили. Подивимося результат.

Як бачите, у різних системах числення сума цифр одного й того ж числа виходить різною. Подібний результат до математики жодного стосунку не має. Це все одно, що при визначенні площі прямокутника в метрах і сантиметрах ви отримували б різні результати.

Нуль у всіх системах числення виглядає однаково і суми цифр немає. Це ще один аргумент на користь того, що . Питання математикам: як у математиці позначається те, що є числом? Що для математиків нічого, крім чисел, не існує? Для шаманів я можу таке припустити, але для вчених – ні. Реальність складається не лише з чисел.

Отриманий результат слід як доказ те, що системи числення є одиницями виміру чисел. Адже ми не можемо порівнювати числа з різними одиницями виміру. Якщо одні й самі дії з різними одиницями виміру однієї й тієї величини призводять до різних результатів після їх порівняння, це має нічого спільного з математикою.

Що таке справжня математика? Це коли результат математичної дії не залежить від величини числа, що застосовується одиниці виміру і від того, хто цю дію виконує.

Табличка на дверях Відчиняє двері і каже:

Ой! А це хіба не жіночий туалет?
- Дівчино! Це лабораторія з вивчення індефільної святості душ під час вознесіння на небеса! Німб зверху і стрілка вгору. Який ще туалет?

Жіночий... Німб зверху та стрілочка вниз – це чоловічий.

Якщо у вас перед очима кілька разів на день мелькає ось такий витвір дизайнерського мистецтва,

Тоді не дивно, що у своєму автомобілі ви раптом виявляєте дивний значок:

Особисто я роблю над собою зусилля, щоб в людині, яка кавала (одна картинка), побачити мінус чотири градуси (композиція з декількох картинок: знак мінус, цифра чотири, позначення градусів). І я не вважаю цю дівчину дурницею, яка не знає фізики. Просто вона має дугою стереотип сприйняття графічних образів. І математики нас цього постійно навчають. Ось приклад.

1А - це не "мінус чотири градуси" або "один а". Це "какая людина" або число "двадцять шість" у шістнадцятковій системі числення. Ті люди, які постійно працюють у цій системі числення, автоматично сприймають цифру та букву як один графічний символ.

Зміст уроку

Додавання дробів з однаковими знаменниками

Додавання дробів буває двох видів:

Додавання дробів з однаковими знаменниками
Додавання дробів з різними знаменниками

Спочатку вивчимо додавання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх числа, а знаменник залишити без зміни. Наприклад, складемо дроби та . Складаємо чисельники, а знаменник залишаємо без зміни:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на чотири частини. Якщо до піци додати піци, то вийде піци:

приклад 2.Скласти дроби та .

У відповіді вийшов неправильний дріб. Якщо настає кінець завдання, то неправильних дробів прийнято позбавлятися. Щоб позбутися неправильного дробу, потрібно виділити в ньому цілу частину. У нашому випадку ціла частина виділяється легко - два розділити на два одно одиниці:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на дві частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде одна ціла піца:

Приклад 3. Скласти дроби та .

Знову ж складаємо чисельники, а знаменник залишаємо без зміни:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на три частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде піци:

приклад 4.Знайти значення виразу

Цей приклад вирішується так само, як і попередні. Чисельники необхідно скласти, а знаменник залишити без зміни:

Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци і додати піци, то вийде 1 ціла і ще піци.

Як бачите у додаванні дробів з однаковими знаменниками нічого складного немає. Достатньо розуміти такі правила:

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити без зміни;

Додавання дробів з різними знаменниками

Тепер навчимося складати дроби з різними знаменниками. Коли складають дроби, знаменники цих дробів мають бути однаковими. Але однаковими вони не завжди.

Наприклад, дроби і скласти можна, оскільки вони мають однакові знаменники.

А ось дроби і одразу скласти не можна, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дроби потрібно приводити до однакового (загального) знаменника.

Існує кілька способів приведення дробів до однакового знаменника. Сьогодні ми розглянемо лише один із них, оскільки інші способи можуть здатися складними для початківця.

Суть цього способу полягає в тому, що спочатку шукається (НОК) знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу та отримують перший додатковий множник. Аналогічно надходять і з другим дробом - НОК ділять на знаменник другого дробу та отримують другий додатковий множник.

Потім чисельники та знаменники дробів множаться на свої додаткові множники. В результаті цих дій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються до дробів, у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми знаємо.

Приклад 1. Складемо дроби та

Насамперед знаходимо найменше загальне кратне знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу — число 2. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 6

НОК (2 та 3) = 6

Тепер повертаємось до дробів та . Спочатку розділимо НОК на знаменник першого дробу та отримаємо перший додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник першого дробу це число 3. Ділимо 6 на 3, отримуємо 2.

Отримане число 2 це перший додатковий множник. Записуємо його до першого дробу. Для цього робимо невелику косу лінію над дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:

Аналогічно чинимо і з другим дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу та отримуємо другий додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник другого дробу - число 2. Ділимо 6 на 2, отримуємо 3.

Отримане число 3 це другий додатковий множник. Записуємо його до другого дробу. Знову ж таки робимо невелику косу лінію над другим дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:

Тепер у нас все готове до складання. Залишилося помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники:

Подивіться уважно до чого ми прийшли. Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми знаємо. Давайте дорішаємо цей приклад остаточно:

Отже, приклад завершується. Додати виходить.

Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци, то вийде одна ціла піца та ще одна шоста піци:

Приведення дробів до однакового (загального) знаменника також можна зобразити малюнком. Привівши дроби до спільного знаменника, ми отримали дроби і . Ці два дроби зображатимуться тими ж шматками піци. Відмінність буде лише в тому, що цього разу вони будуть поділені на однакові частки (наведені до однакового знаменника).

Перший малюнок зображує дріб (чотири шматочки із шести), а другий малюнок зображує дріб (три шматочки із шести). Склавши ці шматочки ми отримуємо (сім шматочків із шести). Цей дріб неправильний, тому ми виділили в ньому цілу частину. В результаті отримали (одну цілу піцу та ще одну шосту піци).

Зазначимо, що ми з вами розписали цей приклад дуже докладно. У навчальних закладах не заведено писати так розгорнуто. Потрібно вміти швидко знаходити НОК обох знаменників та додаткові множники до них, а також швидко множити знайдені додаткові множники на чисельники та знаменники. Знаходячись у школі, цей приклад нам довелося б записати так:

Але є й зворотний бік медалі. Якщо перших етапах вивчення математики не робити докладних записів, то починають виникати питання роду «А звідки от та цифра?», «Чому дроби раптом перетворюються зовсім на інші дроби? «.

Щоб легше було складати дроби з різними знаменниками, можна скористатися наступною покроковою інструкцією:

Знайти НОК знаменників дробів;
Розділити НОК на знаменник кожного дробу та отримати додатковий множник для кожного дробу;
Помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники;
Скласти дроби, які мають однакові знаменники;
Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то виділити її цілу частину;

приклад 2.Знайти значення виразу .

Скористайтеся інструкцією, яка наведена вище.

Крок 1. Знайти НОК знаменників дробів

Знаходимо НОК знаменників обох дробів. Знаменники дробів це числа 2, 3 та 4

Крок 2. Розділити НОК на знаменник кожного дробу та отримати додатковий множник для кожного дробу

Ділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу це число 2. Ділимо 12 на 2, отримуємо 6. Отримали перший додатковий множник 6. Записуємо його над першим дробом:

Тепер ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу це число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Отримали другий додатковий множник 4. Записуємо його над другим дробом:

Тепер ділимо НОК на знаменник третього дробу. НОК це число 12, а знаменник третього дробу це число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Отримали третій додатковий множник 3. Записуємо його над третім дробом:

Крок 3. Помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники

Помножуємо чисельники та знаменники на свої додаткові множники:

Крок 4. Скласти дроби, у яких однакові знаменники

Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби, у яких однакові (загальні) знаменники. Залишилося скласти ці дроби. Складаємо:

Додавання не помістилося на одному рядку, тому ми перенесли вираз, що залишився, на наступний рядок. Це допускається у математиці. Коли вираз не міститься на один рядок, його переносять на наступний рядок, при цьому треба обов'язково поставити знак рівності (=) на кінці першого рядка та на початку нового рядка. Знак рівності на другому рядку говорить про те, що це продовження виразу, який був на першому рядку.

Крок 5. Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то виділити в ньому цілу частину

У нас у відповіді вийшов неправильний дріб. Ми маємо виділити в неї цілу частину. Виділяємо:

Отримали відповідь

Віднімання дробів з однаковими знаменниками

Віднімання дробів буває двох видів:

Віднімання дробів з однаковими знаменниками
Віднімання дробів з різними знаменниками

Спочатку вивчимо віднімання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб відняти від одного дробу інший, потрібно від числа першого числа вирахувати чисельник другого дробу, а знаменник залишити колишнім.

Наприклад, знайдемо значення виразу. Щоб розв'язати цей приклад, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без зміни. Так і зробимо:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на чотири частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:

приклад 2.Знайти значення виразу.

Знову ж таки з чисельника першого дробу віднімаємо чисельник другого дробу, а знаменник залишаємо без зміни:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на три частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:

приклад 3.Знайти значення виразу

Цей приклад вирішується так само, як і попередні. З чисельника першого дробу треба відняти чисельники інших дробів:

Як бачите у відніманні дробів з однаковими знаменниками нічого складного немає. Достатньо розуміти такі правила:

Щоб відняти від одного дробу інший, потрібно від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без зміни;
Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то потрібно виділити в ньому цілу частину.

Віднімання дробів з різними знаменниками

Наприклад, від дробу можна відняти дріб, оскільки у цих дробів однакові знаменники. А ось від дробу не можна відняти дріб, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дроби потрібно приводити до однакового (загального) знаменника.

Загальний знаменник знаходять за тим самим принципом, яким ми користувалися при складанні дробів із різними знаменниками. Насамперед знаходять НОК знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу та отримують перший додатковий множник, який записується над першим дробом. Аналогічно НОК ділять на знаменник другого дробу та отримують другий додатковий множник, який записується над другим дробом.

Потім дроби множаться на додаткові множники. В результаті цих операцій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються до дробів, у яких однакові знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо.

приклад 1.Знайти значення виразу:

Ці дроби мають різні знаменники, тому потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.

Спочатку знаходимо НОК знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу — число 4. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 12

НОК (3 та 4) = 12

Тепер повертаємось до дробів і

Знайдемо додатковий множник для першого дробу. Для цього розділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу - число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Записуємо четвірку над першим дробом:

Аналогічно чинимо і з другим дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу - число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Записуємо трійку над другим дробом:

Тепер у нас все готове для віднімання. Залишилося помножити дроби на додаткові множники:

Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо. Давайте дорішаємо цей приклад остаточно:

Отримали відповідь

Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци

Це докладна версія рішення. Перебуваючи в школі, нам довелося б вирішити цей приклад коротше. Виглядало б таке рішення в такий спосіб:

Приведення дробів і до спільного знаменника може бути зображено за допомогою малюнка. Привівши ці дроби до спільного знаменника, ми отримали дроби та . Ці дроби будуть зображуватись тими ж шматочками піци, але цього разу вони будуть розділені на однакові частки (приведені до однакового знаменника):

Перший малюнок зображує дріб (вісім шматочків із дванадцяти), а другий малюнок — дріб (три шматочки із дванадцяти). Відрізавши від восьми шматочків три шматочки ми отримуємо п'ять шматочків із дванадцяти. Дріб і описує ці п'ять шматочків.

приклад 2.Знайти значення виразу

Ці дроби мають різні знаменники, тому спочатку потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.

Знайдемо НОК знаменників цих дробів.

Знаменники дробів це числа 10, 3 і 5. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Тепер знаходимо додаткові множники для кожного дробу. Для цього розділимо НОК на знаменник кожного дробу.

Знайдемо додатковий множник для першого дробу. НОК це число 30, а знаменник першого дробу - число 10. Ділимо 30 на 10, отримуємо перший додатковий множник 3. Записуємо його над першим дробом:

Тепер знаходимо додатковий множник для другого дробу. Розділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 30, а знаменник другого дробу - число 3. Ділимо 30 на 3, отримуємо другий додатковий множник 10. Записуємо його над другим дробом:

Тепер знаходимо додатковий множник для третього дробу. Розділимо НОК на знаменник третього дробу. НОК це число 30, а знаменник третього дробу - число 5. Ділимо 30 на 5, отримуємо третій додатковий множник 6. Записуємо його над третім дробом:

Тепер все готове для віднімання. Залишилося помножити дроби на додаткові множники:

Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові (загальні) знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо. Давайте вирішуємо цей приклад.

Продовження прикладу не поміститься на одному рядку, тому переносимо продовження на наступний рядок. Не забуваємо про знак рівності (=) на новому рядку:

У відповіді вийшов правильний дріб, і начебто нас все влаштовує, але він занадто громіздкий і некрасивий. Треба зробити її простіше. А що можна зробити? Можна скоротити цей дріб.

Щоб скоротити дріб, потрібно розділити його чисельник і знаменник на (НД) чисел 20 і 30.

Отже, знаходимо НОД чисел 20 та 30:

Тепер повертаємось до нашого прикладу і ділимо чисельник та знаменник дробу на знайдений НОД, тобто на 10

Отримали відповідь

Розмноження дробу на число

Щоб помножити дріб на число, потрібно чисельник цього дробу помножити на це число, а знаменник залишити тим самим.

Приклад 1. Помножити дріб на число 1 .

Помножимо чисельник дробу на число 1

Запис можна розуміти як взяти половину 1 раз. Наприклад, якщо піци взяти 1 раз, то вийде піци

З законів множення знаємо, що й множимое і множник поміняти місцями, то твір не зміниться. Якщо вираз, записати як, то твір як і раніше буде рівним. Знову ж таки спрацьовує правило перемноження цілого числа і дробу:

Цей запис можна розуміти, як взяття половини від одиниці. Наприклад, якщо є одна ціла піца і ми візьмемо від неї половину, то у нас виявиться піци:

Приклад 2. Знайти значення виразу

Помножимо чисельник дробу на 4

У відповіді вийшов неправильний дріб. Виділимо в ній цілу частину:

Вираз можна розуміти як взяття двох чвертей 4 рази. Наприклад, якщо піци взяти 4 рази, то вийде дві цілі піци

А якщо поміняти множимо і множник місцями, то отримаємо вираз . Воно теж дорівнюватиме 2. Цей вираз можна розуміти, як взяття двох піц від чотирьох цілих піц:

Розмноження дробів

Щоб перемножити дроби, потрібно перемножити їх чисельники та знаменники. Якщо у відповіді вийде неправильний дріб, потрібно виділити в ньому цілу частину.

приклад 1.Знайти значення виразу.

Отримали відповідь. Бажано скоротити цей дріб. Дроб можна скоротити на 2. Тоді остаточне рішення набуде наступного вигляду:

Вираз можна розуміти як взяття піци від половини піци. Допустимо, у нас є половина піци:

Як узяти від цієї половини дві третини? Спочатку потрібно поділити цю половину на три рівні частини:

І взяти від цих трьох шматочків два:

У нас вийде піца. Згадайте, як виглядає піца, розділена на три частини:

Один шматок від цієї піци та взяті нами два шматочки матимуть однакові розміри:

Іншими словами, йдеться про один і той же розмір піци. Тому значення виразу дорівнює

Приклад 2. Знайти значення виразу

Помножуємо чисельник першого дробу на чисельник другого дробу, а знаменник першого дробу на знаменник другого дробу:

У відповіді вийшов неправильний дріб. Виділимо в ній цілу частину:

приклад 3.Знайти значення виразу

У відповіді вийшов правильний дріб, але буде добре, якщо його скоротити. Щоб скоротити цей дріб, потрібно чисельник та знаменник даного дробу розділити на найбільший спільний дільник (НДД) чисел 105 та 450.

Отже, знайдемо НОД чисел 105 і 450:

Тепер ділимо чисельник та знаменник нашої відповіді на НОД, яку ми зараз знайшли, тобто на 15

Подання цілого числа у вигляді дробу

Будь-яке ціле число можна подати у вигляді дробу. Наприклад, число 5 можна як . Від цього п'ятірка свого значення не змінить, оскільки вираз означає «число п'ять розділити на одиницю», а це, як відомо, одно п'ятірці:

Зворотні числа

Зараз ми познайомимося з дуже цікавою темою математики. Вона називається «зворотні числа».

Визначення. Зворотнім доa називається число, яке при множенні наa дає одиницю.

Давайте підставимо на це визначення замість змінної aчисло 5 і спробуємо прочитати визначення:

Зворотнім до 5 називається число, яке при множенні на 5 дає одиницю.

Чи можна знайти таке число, яке при множенні на 5 дає одиницю? Виявляється, можна. Представимо п'ятірку у вигляді дробу:

Потім помножити цей дріб на саму себе, тільки поміняємо місцями чисельник та знаменник. Іншими словами, помножимо дріб на саму себе, тільки перевернутий:

Що вийде внаслідок цього? Якщо ми продовжимо вирішувати цей приклад, то отримаємо одиницю:

Значить зворотним до 5, є число , оскільки при множенні 5 виходить одиниця.

Зворотне число можна знайти також будь-якого іншого цілого числа.

Знайти зворотне число можна також для будь-якого іншого дробу. Для цього достатньо перевернути її.

Розподіл дробу на число

Допустимо, у нас є половина піци:

Розділимо її порівну на двох. Скільки піци дістанеться кожному?

Видно, що після поділу половини піци вийшло два рівні шматочки, кожен з яких складає піци. Значить кожному дістанеться піци.

Розподіл дробів виконується за допомогою зворотних чисел. Зворотні числа дозволяють замінити поділ множенням.

Щоб поділити дріб на число, потрібно цей дріб помножити на число, протилежне дільнику.

Користуючись цим правилом, запишемо поділ нашої половини піци на дві частини.

Отже, потрібно розділити дріб на число 2 . Тут поділеним є дріб, а дільником число 2.

Щоб розділити дріб на число 2, потрібно цей дріб помножити на число, зворотне дільнику 2. Зворотний дільнику 2 це дріб . Значить потрібно помножити на

Щоб до дробу додати ціле число, достатньо виконати ряд дій, а точніше підрахунків.

Наприклад у вас 7 - ціле число, його необхідно додати до дробу 1/2.

Діємо наступним чином:

7 множимо на знаменник (2), виходить 14,
до 14 додаємо верхню частину (1), виходить 15,
та підставляємо знаменник.
у результаті виходить 15/2.

Таким нехитрим способом можна додавати цілі числа до дрібних.

А щоб виділити ціле число з дробу, треба поділити чисельник на знаменник, а залишок – і буде дріб.

Операція додавання до правильного звичайного дробу цілого числа не складна і часом полягає просто в утворенні змішаного дробу, в якому ціла частина ставиться ліворуч від дробової частини, наприклад такий дріб буде змішаним:

Однак частіше при додаванні до дробу цілого числа виходить неправильний дріб, у якого чисельник виявляється більшим за знаменник. Виконується ця операція так: ціле число представляють у вигляді неправильного дробу з тим же знаменником, що і дроб, що додається і потім просто складають чисельники обох дробів. На прикладі це виглядатиме так:

5+1/8 = 5*8/8+1/8 = 40/8+1/8 = 41/8

На мою думку, це дуже просто.

Наприклад, ми маємо дріб 1/4 (це те саме, що 0,25, тобто чверть від цілого числа).

І до цієї чверті можна додати будь-яке ціле число, наприклад, 3. Вийде три з чвертю:

3,25. Або в дробі це виражається так: 3 1/4

Ось за прикладом цього прикладу можна складати будь-які дроби з будь-якими цілими числами.

Потрібно звести ціле число на дріб зі знаменником 10 (6/10). Далі, привести наявний дріб до спільного знаменника 10 (35 = 610). Та й здійснити операцію як зі стандартними дробами 610+610=1210 всього 12.

Можна зробити це двома способами.

1). Дроб можна перевести в ціле число і здійснити додавання. Наприклад, 1/2 це 0,5; 1/4 дорівнює 0,25; 2/5 це 0,4 тощо.

Беремо ціле число 5, до якого потрібно додати дріб 4/5. Перетворимо дріб: 4/5 це 4 розділити на 5 і одержуємо 0,8. Додає 0,8 до 5 і отримуємо 5,8 або 5 4/5.

2). Другий спосіб: 5+4/5=29/5=5 4/5.

Додавання дробів проста математична дія, наприклад, вам потрібно скласти ціле число 3 і дріб 1/7. Щоб скласти ці два числа, у вас має бути один знаменник, тому ви повинні три помножити на сім і розділити на цю цифру, тоді ви отримуєте 21/7+1/7, знаменник один, складаєте 21 та 1, виходить відповідь 22/7 .

Просто взяти і додати ціле число до цього дробу. Допустимо треба 6+1/2=6 1/2. Ну і якщо це десятковий дріб, то можна наприклад так 6+1,2=7,2.

Щоб скласти дріб і ціле число, потрібно до цілого числа додати дробове і записати їх, у вигляді комплексного числа, наприклад, при складанні звичайного дробу з цілим числом, отримаємо: 1/2 +3 =3 1/2; при додаванні десяткового дробу: 0,5 +3 =3,5.

Дроб сам по собі не є цілим числом, тому що він за своєю кількістю до нього не дотягує, а тому немає необхідності переводити ціле число в цей дріб. Тому ціле число залишається цілим і повноцінно демонструє повний номінал, а дріб до нього плюсується, і демонструє те, що цьому числу не вистачає до додавання наступного повного бала.

Академічний приклад.

10 + 7/3 = 10 цілих та 7/3.

Якщо, звичайно, є цілі, то вони підсумовуються з цілими.

12 + 5 7/9 = 17 та 7/9.

Дивлячись, яке ціле число і який дріб.

Якщо обидва доданки позитивні, слід приписати до цілого числа цей дріб. Вийде змішане число. Причому можуть бути 2 випадки.

Випадок 1.

Дроб правильний, тобто. чисельник менший за знаменник. Тоді отримане після приписування змішане число буде відповіддю.

4/9 + 10 = 10 4/9 (десять цілих чотири дев'ятих).

Випадок 2

Дроб неправильний, тобто. чисельник більший за знаменник. Тоді потрібне невелике перетворення. Неправильну дріб слід перетворити на змішане число, тобто виділити цілу частину. Робиться це так:

Після цього до цілого числа потрібно додати цілу частину неправильного дробу та до отриманої суми приписати її дробову частину. Так само до змішаного числа додається ціле.

1) 11/4 + 5 = 2 3/4 + 5 = 7 3/4 (7 цілих три четверті).

2) 5 1/2 + 6 = 11 1/2 (11 цілих одна друга).

Якщо один із доданків або обидва негативні, то додавання виконуємо за правилами складання чисел з різними чи однаковими знаками. Ціле число представляється у вигляді відношення цього числа і 1, а потім і чисельник, і знаменник множиться на число, що дорівнює знаменнику того дробу, до якого додається ціле число.

3) 1/5 + (-2) = 1/5 + -2/1 = 1/5 + -10/5 = -9/5 = -1 4/5 (мінус 1 ціла чотири п'ятих).

4) -13/3 + (-4) = -13/3 + -4/1 = -13/3 + -12/3 = -25/3 = -8 1/3 (мінус 8 цілих одна третя).

Зауваження.

Після знайомства з негативними числами, щодо дій з ними учні 6 класу повинні розуміти, що до негативного дробу додати позитивне ціле число те саме, що віднімати з натурального числа дріб. Ця дія, як відомо, виконується так:

Для того щоб зробити додавання дробу і цілого числа потрібно просто привести існуюче ціле число до дробового, а зробити це простіше простого. Потрібно просто взяти знаменник дробу (є в прикладі) і зробити його знаменником цілого числа, помноживши його на цей знаменник і розділивши, ось приклад:

2+2/3 = 2*3/3+2/3 = 6/3+2/3 = 8/3