Дріб- Форма представлення числа в математиці. Дробова характеристика означає операцію поділу. Чисельникомдробу називається ділене, а знаменником- Дільник. Наприклад, у дробі чисельником є ​​число 5, а знаменником - 7.

Правильноюназивається дріб, у якого модуль чисельника більший за модуль знаменника. Якщо дріб є правильним, то модуль його значення завжди менший за 1. Всі інші дроби є неправильними.

Дроб називають змішаноїякщо вона записана як ціле число і дріб. Це те саме, що і сума цього числа і дробу:

Основна властивість дробу

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на те саме число, то значення дробу не зміниться, тобто, наприклад,

Приведення дробів до спільного знаменника

Щоб привести два дроби до спільного знаменника, потрібно:

1. Чисельник першого дробу помножити на знаменник другого
2. Чисельник другого дробу помножити на знаменник першого
3. Знаменники обох дробів замінити їхній твір

Дії з дробами

Додавання.Щоб скласти два дроби, потрібно

1. Скласти нові чисельники обох дробів, а знаменник залишити без змін

Приклад:

Віднімання.Щоб відняти один дріб з іншого, потрібно

1. Привести дроби до спільного знаменника
2. Відняти від чисельника першого дробу чисельник другий, а знаменник залишити без змін

Приклад:

множення.Щоб помножити один дріб на інший, слід перемножити їх чисельники та знаменники:

Розподіл.Щоб розділити один дріб на інший, слід чисельник першого дробу помножити на знаменник другого, а знаменник першого дробу помножити на чисельник другого:

Визначення звичайного дробу

Визначення 1

Звичайні дроби використовують для опису кількості часток. Розглянемо приклад, з допомогою якого можна дати визначення звичайного дробу.

Яблуко розділили на $8$ часткою. І тут кожна частка становить одну восьму частку цілого яблука, т. е. $\frac(1)(8)$. Дві частки позначаються $\frac(2)(8)$, три частки - $\frac(3)(8)$ і т.д., а $8$ часток - $\frac(8)(8)$ . Кожен із представлених записів називається звичайним дробом.

Наведемо загальне визначення звичайного дробу.

Визначення 2

Звичайним дробомназивається запис виду $\frac(m)(n)$, де $m$ і $n$- будь-які натуральні числа.

Часто можна зустріти наступний запис звичайного дробу $m/n$.

Приклад 1

Приклади звичайних дробів:

\[(3)/(4), \frac(101)(345),\ (23)/(5), \frac(15)(15), (111)/(81).\]

Зауваження 1

Числа $\frac(\sqrt(2))(3)$, $-\frac(13)(37)$, $\frac(4)(\frac(2)(7))$, $\frac( 2,4) (8,3) $ є звичайними дробами, т.к. не підходять під наведене вище визначення.

Чисельник і знаменник

Звичайний дріб складається з чисельника та знаменника.

Визначення 3

Чисельникомзвичайного дробу $\frac(m)(n)$ називається натуральне число $m$, яке показує кількість взятих рівних часток з єдиного цілого.

Визначення 4

Знаменникомзвичайного дробу $\frac(m)(n)$ називається натуральне число $n$, яке показує, наскільки рівних часток поділено єдине ціле.

Малюнок 1.

Чисельник розташовується над дробовою рисою, а знаменник - під дробовою рисою. Наприклад, чисельником звичайного дробу $\frac(5)(17)$ є число $5$, а знаменником - число $17$. Знаменник показує, що предмет розділений на $17$ часток, а чисельник - що взято $5$ таких часток.

Натуральне число як дріб із знаменником 1

Знаменником звичайного дробу може бути одиниця. У разі вважають, що предмет неподільний, тобто. є єдине ціле. Чисельник такого дробу показує, скільки цілих предметів взято. Проста частина типу $\frac(m)(1)$ має сенс натурального числа $m$. Таким чином, отримуємо обґрунтовану рівність $\frac(m)(1)=m$.

Якщо переписати рівність як $m=\frac(m)(1)$, воно дасть можливість будь-яке натуральне число $m$ представити як звичайного дробу. Наприклад, число $5$ можна у вигляді дробу $\frac(5)(1)$, число $123 \ 456$ - це дріб $\frac(123\ 456)(1)$.

Таким чином, будь-яке натуральне число $m$ можна подати у вигляді звичайного дробу зі знаменником $1$, а будь-який звичайний дріб виду $\frac(m)(1)$ можна замінити натуральним числом $m$.

Дробова риса як знак розподілу

Подання предмета як $n$ часток є розподілом на $n$ рівних частин. Після поділу предмета на часткою $n$ його можна розділити порівну між $n$ людьми - кожен отримає по одній частці.

Нехай є $ m $ однакових предметів, розділених на часткою $ n $. Ці $m$ предметів можна порівну розділити між $n$ людьми, якщо роздати кожній людині за однією часткою від кожного з $m$ предметів. При цьому кожна людина отримає $ m $ часткою $ frac (1) (n) $, які дають звичайний дріб $ frac (m) (n) $. Отримуємо, що звичайний дріб $\frac(m)(n)$ може застосовуватися для позначення поділу $m$ предметів між людьми $n$.

Зв'язок між звичайними дробами і поділом виявляється у тому, що дробову межу можна як знак розподілу, тобто. $\frac(m)(n)=m:n$.

Звичайний дріб дає можливість записувати результат поділу двох натуральних чисел, для яких не виконується поділ націло.

Приклад 2

Наприклад, результат розподілу $7$ яблук на $9$ людина можна записати як $\frac(7)(9)$, тобто. кожен отримає сім дев'ятих часток яблука: $7:9=\frac(7)(9)$.

Рівні та нерівні звичайні дроби, порівняння дробів

Результатом порівняння двох звичайних дробів може бути або їхня рівність, або їхня не рівність. За рівності звичайних дробів їх називають рівними, в іншому випадку звичайні дроби називають нерівними.

рівнимиякщо справедливою є рівність $a\cdot d=b\cdot c$.

Звичайні дроби $\frac(a)(b)$ і $\frac(c)(d)$ називають нерівнимиякщо рівність $a\cdot d=b\cdot c$ не виконується.

Приклад 3

З'ясувати, чи є рівними дроби $\frac(1)(3)$ і $\frac(2)(6)$.

Рівність виконується, значить, дроби $ frac (1) (3) $ і $ frac (2) (6) $ є рівними: $ frac (1) (3) = frac (2) (6) $.

Даний приклад можна розглянути на прикладі яблук: одне з двох однакових яблук поділено на три рівні частки, друге - на $6 $ часткою. При цьому видно, що дві шостих частки яблука становлять $ frac (1) (3) $ частку.

Приклад 4

Перевірити, чи рівними звичайні дроби $\frac(3)(17)$ і $\frac(4)(13)$.

Перевіримо, чи виконується рівність $a\cdot d=b\cdot c$:

\ \

Рівність не виконується, значить, дроби $\frac(3)(17)$ і $\frac(4)(13)$ не рівні: $\frac(3)(17)\ne \frac(4)(13) $.

При порівнянні двох звичайних дробів, якщо з'ясовується, що вони не рівні, можна дізнатися, який з них більший, а який менший за інший. Для цього використовують правило порівняння звичайних дробів: потрібно привести дроби до спільного знаменника, а потім порівняти їх чисельники. У якого дробу чисельник буде більшим, той дріб і буде більшим.

Дроби на координатному промені

Усі дробові числа, які відповідають звичайним дробам, можна відобразити на координатному промені.

Щоб на координатному промені відзначити точку, що відповідає дробу $\frac(m)(n)$, необхідно від початку координат у позитивному напрямку відкласти $m$ відрізків, довжина яких становить $\frac(1)(n)$ частку одиничного відрізка . Такі відрізки одержують при розподілі одиничного відрізка на $n$ рівних частин.

Щоб відобразити на координатному промені дрібне число, потрібно одиничний відрізок розділити на частини.

Малюнок 2.

Рівні дроби описуються тим самим дробовим числом, тобто. рівні дроби є координати однієї й тієї ж точки на координатному промені. Наприклад, координатами $\frac(1)(3)$, $\frac(2)(6)$, $\frac(3)(9)$, $\frac(4)(12)$ описується одна і та точка на координатному промені, оскільки всі записані дроби рівні.

Якщо точка описується координатою з більшим дробом, то вона буде правіше на горизонтальному спрямованому праворуч координатному промені від точки, координатою якої є менший дріб. Наприклад, т.к. дріб $\frac(5)(6)$ більше дробу $\frac(2)(6)$, то й точка з координатою $\frac(5)(6)$ знаходиться правіше точки з координатою $\frac(2) (6) $.

Аналогічно, точка з меншою координатою лежатиме лівіше точки з більшою координатою.

Часткою одиниці і представляється у вигляді \frac(a)(b).

Чисельник дробу (a)- Число, що знаходиться над межею дробу і показує кількість часток, на які була поділена одиниця.

Знаменник дробу (b)- Число, що знаходиться під межею дробу і показує на скільки часток поділили одиницю.

Приховати Показати

Основна властивість дробу

Якщо ad = bc, то два дроби \frac(a)(b)і \frac(c)(d)вважаються рівними. Наприклад, рівними будуть дроби \frac35і \frac(9)(15), Так як 3 \ cdot 15 = 15 \ cdot 9 , \frac(12)(7)і \frac(24)(14), Так як 12 \ cdot 14 = 7 \ cdot 24 .

З визначення рівності дробів випливає, що рівними будуть дроби \frac(a)(b)і \frac(am)(bm), оскільки a(bm)=b(am) — наочний приклад застосування поєднаного та переміщувального властивостей множення натуральних чисел у дії.

Значить \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- Так виглядає основна властивість дробу.

Іншими словами, ми отримаємо дріб, рівний даній, помноживши або розділивши чисельник і знаменник вихідного дробу на те саме натуральне число.

Скорочення дробу- Це процес заміни дробу, при якому новий дріб виходить рівною вихідною, але з меншим чисельником і знаменником.

Скорочувати дроби прийнято, спираючись на основну властивість дробу.

Наприклад, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(числитель та знаменник ділиться на число 3); отриманий дріб знову можна скоротити, розділивши на 5 , тобто \frac(15)(20)=\frac 34.

Нескоротний дріб- це дріб виду \frac 34, де чисельник та знаменник є взаємно простими числами. Основна мета скорочення дробу - зробити дріб нескоротним.

Приведення дробів до спільного знаменника

Візьмемо як приклад два дроби: \frac(2)(3)і \frac(5)(8)з різними знаменниками 3 та 8 . Для того, щоб привести ці дроби до спільного знаменника і спочатку перемножимо чисельник і знаменник дробу \frac(2)(3)на 8 . Отримуємо наступний результат: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Потім множимо чисельник і знаменник дробу \frac(5)(8)на 3 . Отримуємо в результаті: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Отже, вихідні дроби наведено до спільного знаменника 24 .

Арифметичні події над звичайними дробами

Додавання звичайних дробів

а) При однакових знаменниках чисельник першого дробу складають із чисельником другого дробу, залишаючи знаменник колишнім. Як видно з прикладу:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

б) При різних знаменниках дроби спочатку призводять до спільного знаменника, а потім виконують додавання чисельників за правилом а):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +frac(3)(12)=frac(31)(12).

Віднімання звичайних дробів

а) При однакових знаменниках з чисельника першого дробу віднімають чисельник другого дробу, залишаючи знаменник тим самим:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

б) Якщо ж знаменники дробів різні, спочатку дроби призводять до спільного знаменника, та був повторюють дії як у пункті а) .

Розмноження звичайних дробів

Примноження дробів підпорядковується наступному правилу:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

тобто перемножують окремо чисельники та знаменники.

Наприклад:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Розподіл звичайних дробів

Розподіл дробів виробляють наступним способом:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

тобто дріб \frac(a)(b)множиться на дріб \frac(d)(c).

Приклад: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Взаємно зворотні числа

Якщо ab=1 , число b є зворотним числомдля числа a.

Приклад: для числа 9 оберненим є \frac(1)(9), так як 9 \cdot \frac(1)(9)=1для числа 5 - \frac(1)(5), так як 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

Десяткові дроби

Десятичним дробомназивається правильний дріб, знаменник якого дорівнює 10, 1000, 10 \, 000, ..., 10 ^ n .

Наприклад: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

Так само пишуться неправильні зі знаменником 10^n або змішані числа.

Наприклад: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63.

У вигляді десяткового дробу представляється кожен звичайний дріб зі знаменником, який є дільником певного ступеня числа 10 .

Приклад: 5 — дільник числа 100 тому дроб \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Арифметичні дії над десятковими дробами

Додавання десяткових дробів

Для складання двох десяткових дробів, потрібно їх розташувати так, щоб один під одним виявилися однакові розряди і кома під комою, а потім виконати додавання дробів як звичайних чисел.

Віднімання десяткових дробів

Виконується аналогічно до додавання.

Розмноження десяткових дробів

При множенні десяткових чисел достатньо перемножити задані числа, не звертаючи уваги на коми (як натуральні числа), а в отриманій відповіді комою праворуч відокремлюється стільки цифр, скільки їх коштує після коми в обох множниках сумарно.

Давайте виконаємо множення 2,7 на 1,3. Маємо 27 \cdot 13 = 351. Відокремлюємо праворуч дві цифри коми (у першого та другого числа — одна цифра після коми; 1+1=2). У результаті отримуємо 2,7 1,3 = 3,51.

Якщо в отриманому результаті виходить менше цифр, ніж треба відокремити комою, то попереду пишуть нулі, що бракують, наприклад:

Для множення на 10, 100, 1000, треба в десятковому дробі перенести кому на 1, 2, 3 цифри вправо (у разі необхідності праворуч приписується певна кількість нулів).

Наприклад: 1,47 \ cdot 10 \, 000 = 14700 .

Розподіл десяткових дробів

Розподіл десяткового дробу на натуральне число роблять також, як і розподіл натурального числа на натуральне. Кома в приватному ставиться після того, як закінчено розподіл цілої частини.

Якщо ціла частина діленого менше дільника, то у відповіді виходить нуль цілих, наприклад:

Розглянемо розподіл десяткового дробу на десятковий. Нехай потрібно розділити 2,576 на 1,12. Насамперед, помножимо ділене і дільник дробу на 100 , тобто перенесемо кому вправо в ділимому і дільнику на стільки знаків, скільки їх коштує в дільнику після коми (у даному прикладі на дві). Потім потрібно виконати поділ дробу 257,6 на натуральне число 112 тобто завдання зводиться до вже розглянутого випадку:

Буває так, що не завжди виходить кінцевий десятковий дріб при розподілі одного числа на інше. В результаті виходить нескінченний десятковий дріб. У разі переходять до звичайним дробам.

2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac(9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac(1)(9).

Чисельник та знаменник дробу. Види дробів. Продовжуємо розглядати дроби. Спочатку невелике застереження – ми, розглядаючи дроби та відповідні приклади з ними, поки працюватимемо лише з числовим її поданням. Бувають ще й дрібні буквені вирази (з числами і без них).Втім, усі «принципи» та правила також поширюються і на них, але про такі вислови поговоримо в майбутньому окремо. Рекомендую відвідати та вивчати (згадувати) тему дробів крок за кроком.

Найголовніше зрозуміти, запам'ятати і усвідомити, що ДРОБІВ - це ЧИСЛО!!!

Звичайний дріб- Це число виду:

Число розташоване «згори» (у даному випадку m) називається чисельником, число розташоване знизу (число n) називається знаменником. У тих, хто тільки торкнувся теми часто з'являється плутанина - що як називається.

Ось вам приймач, як назавжди запам'ятати – де чисельник, а де знаменник. Цей прийом пов'язаний із словесно-подібною асоціацією. Уявіть банку з каламутною водою. Відомо, що в міру відстою води чиста вода залишається зверху, а каламута (бруд) осідає, запам'ятовуємо:

ЧІССС та вода ВВЕРХУ (ЧІССС литель зверху)

Грязь ЗЗННН я вода Внизу (ЗННН аменатель внизу)

Так що, як тільки виникне необхідність згадати, де чисельник, а де знаменник, то відразу візуально представили банку з відстояною водою, в якій зверху ЧИСТА вода, а знизу брудна вода. Є й інші прийоми для запам'ятовування, якщо вони допоможуть, то добре.

Приклади звичайних дробів:

Що означає горизонтальна рисочка між числами? Це не що інше, як знак розподілу. Виходить, що дріб можна розглядати як приклад з дією поділом. Просто записано цю дію ось у такому вигляді. Тобто верхнє число (числитель) ділиться на нижнє (знаменник):

Крім того, є ще форма запису – дріб може записуватись і так (через косу межу):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 тощо…

Можемо записати вищевказані нами дроби так:

Результат поділу, як відомо, це число.

Усвідомили - ДРОБЕЦЬ ЦЕ ЧИСЛО!!!

Як ви вже помітили, у звичайного дробу чисельник може бути меншим за знаменник, може бути більшим за знаменник і може дорівнювати йому. Тут є безліч важливих моментів, які зрозумілі інтуїтивно, без будь-яких теоретичних вишукувань. Наприклад:

1. Дроби 1 та 3 можна записати як 0,5 та 0,01. Забіжимо трохи вперед – це десяткові дроби, про них поговоримо трохи нижче.

2. Дроби 4 та 6 в результаті дають ціле число 45:9 = 5, 11:1 = 11.

3. Дроб 5 в результаті дає одиницю 155:155 = 1.

Які висновки напрошуються самі собою? Наступні:

1. Чисельник при розподілі на знаменник може дати кінцеве число. Може й не вийде, розділіть стовпчиком 7 на 13 чи 17 на 11 – ніяк! Ділити можна нескінченно, але про це також поговоримо трохи нижче.

2. Дроб в результаті може дати ціле число. Отже і будь-яке ціле число ми можемо уявити у вигляді дробу, вірніше нескінченного ряду дробів, подивіться, всі ці дроби рівні 2:

Ще! Будь-яке ціле число ми завжди можемо записати у вигляді дробу – саме це число у чисельнику, одиниця у знаменнику:

3. Одиницю ми завжди можемо подати у вигляді дробу з будь-яким знаменником:

*Вказані моменти дуже важливі для роботи з дробами при обчисленнях та перетвореннях.

Види дробів.

А тепер про теоретичний поділ звичайних дробів. Їх поділяють на правильні та неправильні.

Дроб у якої чисельник менше знаменника називається правильним. Приклади:

Дроб у якої чисельник більший за знаменник або дорівнює йому називається неправильним. Приклади:

Змішаний дріб(Змішане число).

Змішаним дробом називається дріб, записаний у вигляді цілого числа та правильного дробу і розуміється як сума цього числа та дробової його частини. Приклади:

Змішаний дріб завжди можна подати у вигляді неправильного дробу і навпаки. Ідемо далі!

Десяткові дроби.

Вище ми їх уже торкнулися, це приклади (1) та (3), тепер докладніше. Ось приклади десяткових дробів: 03 089 0001 5345.

Дроб, знаменник якого є ступінь числа 10, наприклад 10, 100, 1000 і так далі, називається десятковим. Записати перші три вказані дроби у вигляді звичайних дробів нескладно:

Четверта є змішаним дробом (змішаним числом):

Десятковий дріб має наступну форму запису — зпочала ціла частина, потім роздільник цілої та дробової частини точка або кома і потім дробова частина, кількість цифр дробової частини строго визначається розмірністю дробової частини: якщо це десяті частки, дробова частина записується однією цифрою; якщо тисячні – трьома; десятитисячні - чотирма і т.д.

Дані дроби бувають кінцевими та нескінченними.

Приклади кінцевих десяткових дробів: 0,234; 0,87; 34,00005; 5,765.

Приклади нескінченних. Наприклад число Пі це нескінченний десятковий дріб, ще - 0,333333333333 ...... 0,16666666666 .... та інші. Також результат вилучення кореня з чисел 3, 5, 7 тощо. буде нескінченним дробом.

Дробова частина може бути циклічна (у ній присутній цикл), два приклади вищі саме такі, ще приклади:

0,123123123123 ...... цикл 123

0,781781781718 ...... цикл 781

0,0250102501. цикл 02501

Записати їх можна як 0(123) 0(781) 0(02501).

Число Пі не є циклічним дробом як і, наприклад, корінь із трьох.

Нижче в прикладах будуть звучати такі слова як «перевертаємо» дріб – це означає, що чисельник і знаменник міняємо місцями. Насправді такий дроб має назву – зворотний дріб. Приклади взаємно-зворотних дробів:

Невеликий підсумок! Дроби бувають:

Звичайні (правильні та неправильні).

Десяткові (кінцеві та нескінченні).

Змішані (змішані числа).

На цьому все!

З повагою, Олександре.

1 Що таке прості дроби. Види дробів.
Дроб завжди означає якусь частину цілого. Справа в тому, що не завжди кількість можна передати натуральними числами, тобто перерахувати: 1, 2, 3 і т.д. Як, наприклад, позначити половину кавуна чи чверть години? Ось для цього і з'явилися дробові числа чи дроби.

Спочатку треба сказати, що взагалі дробів буває два види: звичайні дроби і десяткові дроби. Звичайні дроби записуються так:
Десяткові дроби записуються інакше:

Прості дроби складаються з двох частин: вгорі - чисельник, внизу - знаменник. Чисельник і знаменник поділяє дрібна риса. Отже, запам'ятайте:

Будь-який дріб - це частина цілого. За ціле зазвичай приймають 1 (одиницю). Знаменник дробу показує, скільки частин розділили ціле ( 1 ), а чисельник - скільки частин взяли. Якщо ми розрізали торт на 6 однакових частин (у математиці говорять часткою ), то кожна частина торта дорівнюватиме 1/6. Якщо Вася з'їв 4 шматки, то він з'їв 4/6 .

З іншого боку, дробова риса — це нічим іншим, як знак поділу. Тому дріб – це приватне двох чисел – чисельника та знаменника. У тексті завдань чи рецептах страв дроби записуються зазвичай так: 2/3, 1/2 тощо. Деякі дроби отримали власну назву, наприклад, 1/2 – «половина», 1/3 – «третина», 1/4 – «чверть»
А тепер розберемося, які бувають види звичайних дробів.

2 Види звичайних дробів

Звичайні дроби бувають трьох видів: правильні, неправильні та змішані:

Правильний дріб

Якщо чисельник менший, ніж знаменник, то такий дріб називають правильною,наприклад: Правильний дріб завжди менше 1.

Неправильний дріб

Якщо чисельник більше, ніж знаменник або дорівнює знаменнику, такий дріб називається неправильною, наприклад:

Неправильний дріб більше одиниці (якщо чисельник більший за знаменник) або дорівнює одиниці (якщо чисельник дорівнює знаменнику)

Змішаний дріб

Якщо дріб складається з цілого числа (ціла частина) і правильного дробу (дрібна частина), то такий дріб називається змішаної, наприклад:

Змішана дріб завжди більше одиниці.

3 Перетворення дробів

У математиці звичайні дроби часто доводиться перетворювати, тобто змішаний дріб перетворювати на неправильний і навпаки. Це необхідно для виконання деяких дій, наприклад, множення та розподілу.

Отже, будь-який змішаний дріб можна перевести в неправильний. Для цього цілу частину множать на знаменник і додають чисельник дробової частини. Отриману суму беруть чисельником, а знаменник залишають той самий, наприклад:

Будь-який неправильний дріб можна перетворити на змішаний. Для цього ділять чисельник на знаменник (із залишком).

При цьому кажуть: "Ми виділили цілу частину з неправильного дробу".

Необхідно запам'ятати ще одне правило: Будь-яке ціле число можна подати у вигляді звичайного дробу зі знаменником 1, наприклад:

Поговоримо про те, як порівнювати дроби.

4 Порівняння дробів

При порівнянні дробів може бути кілька варіантів: Легко порівнювати дроби з однаковими знаменниками, набагато складніше якщо знаменники різні. А є ще й порівняння змішаних дробів. Але не хвилюйтеся, зараз ми докладно розглянемо кожен варіант і навчимося порівнювати дроби.

Порівняння дробів з однаковими знаменниками

З двох дробів з однаковими знаменниками, але різними чисельниками більший той дріб, у якого чисельник більший, наприклад:

Порівняння дробів з однаковими чисельниками

З двох дробів з однаковими чисельниками, але різними знаменниками більше той дріб, у якого знаменник менший, наприклад:

Порівняння змішаних та неправильних дробів із правильними дробами

Неправильний або змішаний дріб завжди більше правильного дробу, наприклад:

Порівняння двох змішаних дробів

При порівнянні двох змішаних дробів більший той дріб, у якого ціла частина більша, наприклад:

Якщо цілі частини у змішаних дробів однакові, більший той дріб, у якого більша частина, наприклад:

Порівняння дробів з різними чисельниками та знаменниками

Порівнювати дроби з різними чисельниками та знаменниками без їх перетворення не можна. Спочатку дроби потрібно привести до одного знаменника, а потім порівняти їх чисельники. Більше той дріб, у якого чисельник буде більшим. А ось як приводити дроби до однакового знаменника, ми розглянемо наступні два розділи статті статті. Спочатку ми розглянемо основну властивість дробу та скорочення дробів, а потім безпосередньо приведення дробів до одного знаменника.

5 Основна властивість дробу. Скорочення дробів. Поняття про НОД.

Запам'ятайте: складати та віднімати, а також порівнювати можна лише дроби, у яких однакові знаменники. Якщо знаменники різні, то спочатку потрібно привести дроби до одного знаменника, тобто так перетворити один із дробів, щоб його знаменник став таким самим, як у другого дробу.

У дробів є одна важлива властивість, звана також основною властивістю дробу:

Якщо і чисельник, і знаменник дробу помножити або розділити на те саме число, то величина дробу при цьому не зміниться :

Завдяки цій властивості ми можемо скорочувати дроби:

Скоротити дріб - означає розділити і чисельник, і знаменник на одне й те число(Дивіться приклад трохи вище). Коли ми скорочуємо дріб, можна розписати наші дії так:

Найчастіше ж у зошити скорочують дріб так:

Але запам'ятайте: скорочувати можна лише множники. Якщо в чисельнику чи знаменнику сума чи різниця, скорочувати доданки не можна. Приклад:

Потрібно спочатку перетворити суму на множник:

Іноді, при роботі з великими числами, для того, щоб скоротити дріб, зручно знайти найбільший спільний дільник чисельника та знаменника (НДД)

Найбільший спільний дільник (НДД)кількох чисел - це найбільше натуральне число, яке ці числа діляться без залишку.

Для того, щоб знайти НОД двох чисел (наприклад, чисельника та знаменника дробу), потрібно розкласти обидва числа на прості множники, відзначити однакові множники в обох розкладах, і перемножити ці множники. Отриманий твір і буде НОД. Наприклад, нам потрібно скоротити дріб:

Знайдемо НОД чисел 96 і 36:

НОД нам показує, що і в чисельнику, і в знаменнику є множник12, і ми легко скорочуємо дріб.

Іноді, щоб привести дроби до одного знаменника, достатньо скоротити один із дробів. Але найчастіше буває необхідно підбирати додаткові множники для обох дробів. Зараз ми розглянемо, як це робиться. Отже:

6 Як приводити дроби до одного знаменника. Найменше загальне кратне (НОК).

Коли ми наводимо дроби до однакового знаменника, ми підбираємо для знаменника таке число, яке ділилося і перший, і другий знаменник (тобто було б кратним обом знаменникам, висловлюючись математичною мовою). І бажано, щоб число це було якнайменше, так зручніше вважати. Таким чином, ми повинні знайти НОК обох знаменників.

Найменше загальне кратне двох чисел (НОК)- Це найменше натуральне число, яке ділиться на обидва ці числа без залишку. Іноді НОК можна підібрати усно, але частіше, особливо під час роботи з великими числами, доводиться знаходити НОК письмово, за допомогою наступного алгоритму:

Щоб знайти НОК кількох чисел, потрібно:

1. Розкласти ці числа на прості множники
2. Взяти найбільше розкладання, і записати ці числа у вигляді твору
3. Виділити в інших розкладах числа, які не зустрічаються у найбільшому розкладанні (або зустрічаються в ньому менше разів), і додати їх до твору.
4. Перемножити всі числа у творі, це буде НОК.

Наприклад, знайдемо НОК чисел 28 та 21:

Однак повернемось до наших дробів. Після того, як ми підібрали або письмово обчислили НОК обох знаменників, ми повинні помножити чисельники цих дробів на додаткові множники. Знайти їх можна, розділивши НОК на знаменник відповідного дробу, наприклад:

Таким чином, ми привели наші дроби до одного знаменника — 15.

7 Додавання та віднімання дробів

Додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх чисельники, а знаменник залишити той самий, наприклад:

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити той самий, наприклад:

Додавання та віднімання змішаних дробів з однаковими знаменниками

Щоб скласти змішані дроби, треба окремо скласти цілі частини, а потім скласти їх дробові частини, і записати результат змішаним дробом:

Якщо при складанні дробових частин вийшов неправильний дріб, виділяємо з нього цілу частину і додаємо її до цілої частини, наприклад:

Віднімання проводиться аналогічно: ціла частина віднімається від цілої, а дробова — від дробової частини:

Якщо дробова частина віднімається більше, ніж дробова частина зменшуваного, «займаємо» одиницю з цілої частини, перетворюючи зменшуване на неправильний дріб, а далі діємо як завжди:

Аналогічно віднімаємо з цілого числа дріб:

Як скласти ціле число та дріб

Для того, щоб скласти ціле число і дріб, потрібно просто додати це число перед дробом, при цьому вийде змішаний дріб, наприклад:

Якщо ми складаємо ціле число і змішаний дріб, ми додаємо це число до цілої частини дробу, наприклад:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками.

Для того щоб скласти або відняти дроби з різними знаменниками, потрібно спочатку привести їх до одного знаменника, а далі діяти, як при складанні дробів з однаковими знаменниками (скласти чисельники):

При відніманні діємо аналогічно:

Якщо працюємо зі змішаними дробами, приводимо до однакового знаменника їх дробові частини і далі віднімаємо як завжди: цілу частину з цілої, а дробову — з дробової частини:

8 Множення та розподіл дробів.

Помножувати і ділити прості дроби набагато простіше, ніж складати і віднімати, тому що не потрібно приводити їх до одного знаменника. Запам'ятайте прості правила множення та розподілу дробів:

Перед тим, як перемножувати числа у чисельнику та знаменнику бажано скоротити дріб, тобто позбутися однакових множників у чисельнику та знаменнику, як у нашому прикладі.

Щоб розділити дріб на натуральне число, потрібно знаменник помножити на це число, а чисельник залишити без змін:

Наприклад:

Розподіл дробу на дріб

Щоб розділити один дріб на інший, потрібно ділене помножити на число, зворотне дільнику (зворотний дріб). Що ж це за дріб?

Якщо ми перевернемо дріб, тобто поміняємо місцями чисельник і знаменник, отримаємо зворотний дріб. Добуток дробу та зворотного йому дробу дає одиницю. У математиці такі числа називають взаємно оберненими числами:

Наприклад, числа - Взаємно зворотні, оскільки

Таким чином, повернемося до поділу дробу на дріб:

Щоб розділити один дріб на інший, потрібно ділене помножити на дріб, зворотний дільник:

Наприклад:

При розподілі змішаних дробів потрібно так само, як і при множенні, спочатку перевести їх у неправильні дроби:

При множенні та розподілі дробів на цілі натуральні числа, можна представляти ці числа так само у вигляді дробів зі знаменником 1 .

І при розподілу цілого числа на дрібпредставляємо це число у вигляді дробу зі знаменником 1 :